函数的单调性和奇偶性知识归纳和典型题型
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要点三、关于函数奇偶性的常见结论
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
（2）已知奇函数 的定义域是R，当 时， ，求 的解析式.
例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当 时，求 的取值范
【变式1】定义在[1+a，2]上的偶函数 在区间[1，2]上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|-3|.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3. 已知函数 是定义域为 的单调增函数．
（1）比较 与 的大小；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
例4. 求下列函数的值域：
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 （或 ）；
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量 且 ；
（3）都有 ；
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间 上具有单调性， 称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
5．（2016江西一模）设函数 ，若f（a）＜a，则实数a的取值范围为（）
A．（－1，+∞）B．（－∞，－1）C．（3，+∞）D．（0，1）
6．设 ，函数 的图象关于直线 对称，则 之间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．函数 的递增区间是（）
A． B．[﹣5，﹣2]C．[﹣2，1]D．
8．函数 的值域是____________.
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）若有f（x）+f（x﹣2）≤3成立，求x的取值范围．
（2）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（3）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
9．（2016陕西安康三模）若函数 在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是________．
10．已知一次函数 在 上是在增函数，且其图象与 轴的正半轴相交，则 的取值范围是.
11．已知函数 是 上的减函数，且 的最小值为正数，则 的解析式可以为.（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形）
【变式1】（2016 上海崇明模拟）已知函数f（x）=x｜x－a｜+b，x∈R．
当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
例6.已知 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数 的单调递增区间．
例7．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当 时， ．
【变式3】设函数 和g(x )分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A． +|g(x)|是偶函数 B． -|g(x)|是奇函数
C．| | +g(x)是偶函数 D．| |- g(x)是奇函数
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）求 ，可根据 与 之间的关系，判断函数 的奇偶性.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
例1.已知：函数
（1）讨论 的单调性.
（2）试作出 的图象.
举一反三：
【变式1】
已知函数 ．
（Ⅰ）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若 ，求函数 在 上的值域．
类型二、求函数的单调区间
例2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．
举一反三：
【变式1】（2015秋 江苏盐城期末）已知函数 在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________
【巩固练习】
1．定义域 上的函数 对任意两个不相等的实数 ，总有 ，则必有( )
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当 时，函数 在区间 上是减函数；
当 时，函数 在区间 上是增函数.
4.二次函数
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1) ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) ；
(5) ； (6) ．
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) .
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
（2）验证法：在判断 与 的关系时，只需验证 =0及 是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
若 =- ，则 是奇函数；
若 = ，则 是偶函数；
若 ，则 既不是奇函数，也不是偶函数；
若 且 =- ，则 既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数 ，若 在区间 上是单调函数，则 在区间 或者 上是单调函数；若 与 单调性相同（同时为增或同时为减），则 为增函数；若 与 单调性相反，则 为减函数．
单调性与最大（小）值
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是增函数；
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是减函数.
【变式1】已知 为奇函数， ，则 为（ ）．
例3.（2016春 山东临沂期中）已知f（x）的定义域为{x∈R｜x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时 ，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．
【变式1】（1）已知偶函数 的定义域是R，当 时 ，求 的解析式.
A．函数 先增后减
B．函数 先减后增
C．函数 是 上的增函数
D．函数 是 上的减函数
2．在区间 上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数 的一个单调递减区间可以是（）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函数 在 上是递减的，则a的取值范围是（）
A．a≥﹣3B．a≤﹣3C．a≤5D．a≥3
12．（2016春山西怀仁县月考）试用定义讨论并证明函数 在（－∞，－2）上的单调性．
13．已知函数 的定义域为 ，且同时满足下列条件：(1) ；(2) 在定义域上单调递减；(3) 求 的取值范围.
14．已知函数 .
①当 时，求函数的最大值和最小值；
②求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数
函数的奇偶性
奇函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相同的单调性，即已知 是奇函数，它在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是增函数（减函数）；偶函数在其对称区间[a,b]和[-b，-a]上具有相反的单调性，即已知 是偶函数且在区间[a,b]上是增函数（减函数），则 在区间[-b，-a]上也是减函数（增函数）.
若a>0，在区间 ，函数是减函数；在区间 ，函数是增函数；
若a<0，在区间 ，函数是增函数；在区间 ，函数是减函数．
要点三、一些常见结论
(1)若 是增函数，则 为减函数；若 是减函数，则 为增函数；
(2)若 和 均为增（或减）函数，则在 和 的公共定义域上 为增（或减)函数；
(3)若 且 为增函数，则函数 为增函数， 为减函数； 若 且 为减函数，则函数 为减函数， 为增函数.
(1) ； 1)x∈[5，10]； 2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；
(2) ；
(3) ；
(4) .
举一反三：
【变式1】已知 当 的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值.
（1）[0，3]；（2）[-1，1]；（3）[3，+∞）.
例5．（2015 西安周至县一模）已知函数 ，x∈[―5，5]，
(2) 存在 ，使得 ，那么，我们称 是函数的最大值（或最小值）.
要点诠释：
①最值首先是一个函数值，即存在一个自变量 ，使 等于最值；
②对于定义域内的任意元素 ，都有 （或 ），“任意”两字不可省；
③使函数 取得最值的自变量的值有时可能不止一个；
④函数 在其定义域（某个区间）内的最大值的几何意义是图象上最高点的纵坐标；最小值的几何意义是图象上最低点的纵坐标.
（2）已知奇函数 的定义域是R，当 时， ，求 的解析式.
例4.设定义在[-2，2]上的偶函数f(x)在[0，2]上是单调递增，当 时，求 的取值范
【变式1】定义在[1+a，2]上的偶函数 在区间[1，2]上是（ ）
A．增函数B．减函数C．先增后减函数D．先减后增函数
类型三、函数奇偶性的综合问题
例5．设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.
举一反三：
【变式1】求下列函数的单调区间：
(1)y=|-3|.
类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)
例3. 已知函数 是定义域为 的单调增函数．
（1）比较 与 的大小；
（2）若 ，求实数 的取值范围．
例4. 求下列函数的值域：
②单调性是通过函数值变化与自变量的变化方向是否一致来描述函数性质的；
③不能随意合并两个单调区间；
④有的函数不具有单调性.
(2)已知解析式，如何判断一个函数在所给区间上的单调性？
基本方法：观察图形或依据定义.
3．函数的最大（小）值
一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：
(1)对于任意的 ，都有 （或 ）；
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
要点诠释：
（1）属于定义域A内某个区间上；
（2）任意两个自变量 且 ；
（3）都有 ；
2．单调性与单调区间
（1）单调区间的定义
如果函数f(x)在区间 上是增函数或减函数，那么就说函数f(x)在区间 上具有单调性， 称为函数f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数在某个区间上的性质.
要点诠释：
①单调区间与定义域的关系----单调区间可以是整个定义域，也可以是定义域的真子集；
5．（2016江西一模）设函数 ，若f（a）＜a，则实数a的取值范围为（）
A．（－1，+∞）B．（－∞，－1）C．（3，+∞）D．（0，1）
6．设 ，函数 的图象关于直线 对称，则 之间的大小关系是（）
A. B.
C. D.
7．函数 的递增区间是（）
A． B．[﹣5，﹣2]C．[﹣2，1]D．
8．函数 的值域是____________.
（1）求f（1）、f（4）、f（8）的值；
（2）若有f（x）+f（x﹣2）≤3成立，求x的取值范围．
（2）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（3）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
9．（2016陕西安康三模）若函数 在（2，3）上为增函数，则实数a的取值范围是________．
10．已知一次函数 在 上是在增函数，且其图象与 轴的正半轴相交，则 的取值范围是.
11．已知函数 是 上的减函数，且 的最小值为正数，则 的解析式可以为.（只要写出一个符合题意的解析式即可，不必考虑所有可能情形）
【变式1】（2016 上海崇明模拟）已知函数f（x）=x｜x－a｜+b，x∈R．
当b=0时，判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
例6.已知 是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函数 的单调递增区间．
例7．已知f（x）的定义域为（0，+∞），且满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），又当 时， ．
【变式3】设函数 和g(x )分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论
恒成立的是 （ ）.
A． +|g(x)|是偶函数 B． -|g(x)|是奇函数
C．| | +g(x)是偶函数 D．| |- g(x)是奇函数
类型二、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)
例2.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于 轴对称；反之，如果一个函数的图像关于 轴对称，则这个函数是偶函数.
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数 的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）求 ，可根据 与 之间的关系，判断函数 的奇偶性.
【典型例题】
类型一、函数的单调性的证明
例1.已知：函数
（1）讨论 的单调性.
（2）试作出 的图象.
举一反三：
【变式1】
已知函数 ．
（Ⅰ）判断函数 在 上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
（Ⅱ）若 ，求函数 在 上的值域．
类型二、求函数的单调区间
例2. 判断下列函数的单调区间；
(1)y=x2-3|x|+2； (2)
（1）当a=1时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[―5，5]上是单调函数．
举一反三：
【变式1】（2015秋 江苏盐城期末）已知函数 在[4，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是________
【巩固练习】
1．定义域 上的函数 对任意两个不相等的实数 ，总有 ，则必有( )
要点二、基本初等函数的单调性
1.正比例函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
2.一次函数
当k>0时，函数 在定义域R是增函数；当k<0时，函数 在定义域R是减函数.
（2）反比例函数
当 时，函数 在区间 上是减函数；
当 时，函数 在区间 上是增函数.
4.二次函数
【典型例题】
类型一、判断函数的奇偶性
例1. 判断下列函数的奇偶性：
(1) ； (2)f(x)=x2-4|x|+3 ；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4) ；
(5) ； (6) ．
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1) ；(2) ；(3) ；
(4) .
【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.在函数定义域内，对自变量 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断 与 的关系.首先要特别注意 与 的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中， 与 对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
（2）验证法：在判断 与 的关系时，只需验证 =0及 是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（ 轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
若 =- ，则 是奇函数；
若 = ，则 是偶函数；
若 ，则 既不是奇函数，也不是偶函数；
若 且 =- ，则 既是奇函数，又是偶函数
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断 与 之一是否相等.
4.证明函数单调性的步骤
(1)取值.设 是 定义域内一个区间上的任意两个量，且 ；
(2)变形.作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
(3)定号.判断差的正负或商与1的大小关系；
(4)得出结论.
5.函数单调性的判断方法
(1)定义法；
(2)图象法；
(3)对于复合函数 ，若 在区间 上是单调函数，则 在区间 或者 上是单调函数；若 与 单调性相同（同时为增或同时为减），则 为增函数；若 与 单调性相反，则 为减函数．
单调性与最大（小）值
要点一、函数的单调性
1．增函数、减函数的概念
一般地，设函数f(x)的定义域为A，区间
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是增函数；
如果对于 内的任意两个自变量的值x1、x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说f(x)在区间 上是减函数.
【变式1】已知 为奇函数， ，则 为（ ）．
例3.（2016春 山东临沂期中）已知f（x）的定义域为{x∈R｜x≠0}，且f（x）是奇函数，当x＞0时 ，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；（2）求f（x）在x＜0时的表达式．
【变式1】（1）已知偶函数 的定义域是R，当 时 ，求 的解析式.
A．函数 先增后减
B．函数 先减后增
C．函数 是 上的增函数
D．函数 是 上的减函数
2．在区间 上为增函数的是( )
A． B．
C． D．
3．函数 的一个单调递减区间可以是（）
A.[-2，0] B.[0，2] C.[1，3] D. [0，+∞）
4．若函数 在 上是递减的，则a的取值范围是（）
A．a≥﹣3B．a≤﹣3C．a≤5D．a≥3
12．（2016春山西怀仁县月考）试用定义讨论并证明函数 在（－∞，－2）上的单调性．
13．已知函数 的定义域为 ，且同时满足下列条件：(1) ；(2) 在定义域上单调递减；(3) 求 的取值范围.
14．已知函数 .
①当 时，求函数的最大值和最小值；
②求实数 的取值范围，使 在区间 上是单调函数
函数的奇偶性