传热学-第二章2
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传热学第二章 第二节 导热微分方程式
∂t ∂z
)
+
qv
第二节 导热微分方程式
若物性参数 λ、c 和 ρ 均为常数：
∂t ∂τ
=
a(
∂2t ∂x2
+ ∂2t ∂y2
+
∂2t ∂z2
)
+
qv ; ρc
or
∂t = a∇2t + qv
∂τ
ρc
a = λ — 热扩散率（导温系数） [m2 s] ρc （Thermal diffusivity）
dxdydz ⋅ dτ
[J]
第二节 导热微分方程式
[导入与导出净热量]:
[1] = [dQ x − dQ x+ dx ] + [dQ y − dQ y + dy ] + [dQ z − dQ z + dz ]
[1] = − ( ∂ q x + ∂ q y + ∂ q z ) d x d y d z d τ
qw
=
−
λ
(
∂t ∂n
)n
−
(
∂t ∂n
)
n
=
qw λ
第二类边界条件相当于已知任何时刻物体边界面 法向的温度梯度值
稳态导热： qw = const (恒热流边界条件）
非稳态导热： q w = f (τ )
第二节 导热微分方程式 特例：绝热边界面： 绝热边界条件
qw
=
−λ
⎛ ⎜⎝
∂t ∂n
⎞ ⎟⎠w
=
对特定的导热过程：需要得到满足该过程的补充 说明条件的唯一解
单值性条件：确定唯一解的附加补充说明条件
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件 单值性条件包括四项：几何、物理、时间、边界
传热学第二章(2)精品PPT课件
t2
tf2
三层平壁的稳态导热
1-8
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
有内热源时的导热
电机绕组线圈和输电线、电缆的冷却，核电站中核燃料元件的释 热，水泥的固化，微波加热食品以及半透热介质对辐射的吸收 等. 特点：通过有内热源物体中各等温面的热流量不再处处保持相等， 而是从绝热面到边界面具有一种累加的效果.
q(x)V x
Heat and Mass Transfer
1-11
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
变导热系数问题
实际工程问题的需要. 材料的导热系数一般随温度呈非线性变化。但只要温度范围不 很大，可以近似视为线性. 通常表示为：
0(1b)t
图2.4 复合平壁导热与等效热网络
• 温度场和热流场很难 继续保持严格的一维;
• 只要并排两种材料的导 热系数相近,仍按一维问 题处理不失为一种合 的假设和简化处理方法.
Heat and Mass Transfer
1-6
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
1-7
10.10.2020
Department of Thermal Energy Engineering
多层、第三类边界条件
q
1 h1
tf1 tf 2
n
i1
i i
1 h2
单位：
W m 2
tf1 h1
t2
t3
h2
tf2
传热系数？
传热学 第2章 稳态导热
t t t t c Φ x x y y z z
3、常物性且稳态:
2t 2t 2t Φ a 2 2 2 0 x y z c
如果边界面上的热流密度保持为常数，则 q | w 常数 当边界上的热流密度为零时，称为绝热边界条件
t t qw 0 0 n w n w
18
（3）第三类边界条件 给出了物体在边界上与和它直接接触的流体之 间的换热状况。 根据能量守恒，有：
返回
2.1.1 各类物体的导热机理
气体：气体分子不规则热运动时相互碰撞的结果，高温的气体分子运 动的动能更大 固体：自由电子和晶格振动 对于导电固体，自由电子的运动在导热中起着重要的作用，电的良导 体也是热的良导体 对于非导电固体，导热是通过晶格结构的振动，即原子、分子在其平 衡位置附近的振动来实现的
返回
2.2.2 定解条件
导热微分方程式是能量守恒定律在导热过程中的应用，是一切导热 过程的共性，是通用表达式。 完整数学描述：导热微分方程 + 定解条件 定解条件包括初始条件和边界条件两大类，稳态问题无初始条件 初始条件：初始时刻的状态表示为： =0，t =f (x,y,z)
边界条件： 给出了物体在边界上与外界环境之间在换热上的联系或相互作用
2、推导基本方法：傅里叶定律 + 能量守恒定律 在导热体中取一微元体
进入微元体的总能量+微元体内热源产生的能量-离开微元体的总能量= 微元体内储存能的增加
11
Ein Eg Eout Es
d 时间段内：
Ein Φx Φy Φz d Eiout Φxdx Φy dy Φz dz d
传热学第2章
根据第一类边界条件时的结果:
dt tw1 tw2 1
（此时壁温tw1和tw2为未知）
dr
ln r1 r
r2
与以上两个边界条件共三式变形后
相加,可消去tw1和tw2，得：
单层圆筒壁的单位管长热流量：
ql
tf1 tf2 1 1 ln r2 1
tf1 tf 2
1 1 ln d 2 1
h1 2r1 2 r1 h2 2r2 h1d1 2 d1 h2d 2
x h2 t x t f 2
根据第一类边界条件时的结果: （此时壁温tw1和tw2为未知）
q dt tw1 tw2 dx
与以上两个边界条件共三式变形后 相加,可消去tw1和tw2，得：
单层平壁的热流密度：
q
tf1 tf2
1 1
k tf1 tf2
h1 h2
多层平壁的热流密度：
接触热阻的定义：
Rc
tc
接触热阻的影响因素： 粗糙度
挤压压力 硬度匹配情形 空隙中介质的性质
减小接触热阻的措施： 表面尽量平整 增加挤压压力
两表面一软一硬 涂导热姆
第七节 二维稳态导热
应用领域：房间墙角，地下埋管，矩形保温层，短肋片
二维稳态导热微分方程：
2t x2
2t y 2
0
解析法
二维稳态导热问题的研究手段：
几种导热过程的形状因子
第二章重点：
1.各种稳态导热问题的数学模型 和求解方法
2.临界热绝缘直径问题
3.肋片性能分析
请同学们思考一个问题:
肋高越大，肋的散热面积越大，因而采用 增加肋高的方法可以增加肋的散热量。这 种方法在实际换热器设计中是否可行？若 可行，是否会有某些局限性？
传热学-第二章_1-2节
作用
r q = -λ grad t
计算导热量 确定热应力 确定最佳绝热厚度
非金属的热导率： (2) 非金属的热导率： 小于金属的热导率
导热机理： 导热机理：晶格结构的振动
§2-2 导热微分方程式（Heat Diffusion Equation） ）
问题的提出： 问题的提出：研究导热问题有两个任务
1、确定导热量 、 2、确定物体内的温度分 、确定物体内的温度分布
方法
热平衡法 付氏定律
如常温下： 如常温下： λ纯 铜 = 398w/m.0 c λ黄铜 = 109w/m.0 c
黄铜：70%Cu, 30%Zn
⇒λ↓
金属的加工过程也会造成晶格的缺陷
合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 合金的导热：依靠自由电子的迁移和晶格的振动； 主要依靠后者
T ↑ ⇒ λ ↑ 温度升高、晶格振动加强、导热增强 温度升高、晶格振动加强、
∂t q = −λ ∂x W / m2 W
导热基本定律 数学表达式
∂t 或： Φ = − λ A ∂x
式中负号表示热量传递方向指向温度降低的方向 热量传递方向指向温度降低的方向， 式中负号表示热量传递方向指向温度降低的方向，满 足热力学第二定律：高温向低温传热。 足热力学第二定律：高温向低温传热。
∂t ∂x
的变化率； 方向的热流密度。 是 t 沿 x 的变化率；q 是沿 x 方向的热流密度。 若是三维问题： 若是三维问题：
r q = - λ grad t [ W m2]
(m ⋅ o C)
（ ） 热导率（导热系数） λ : 热导率（导热系数） Thermal conductivity） W
r u r uu r uu r r r r ∂t u ∂t uu ∂t uu 直角坐标中： 直角坐标中： q = qx i + qy j + qz k = −λ ∂x i − λ ∂y j − λ ∂z k
传热学第二章--稳态导热精选全文
t
无内热源，λ为常数，并已知平 t1
壁的壁厚为，两个表面温度分别 维持均匀而恒定的温度t1和t2
t2
c t ( t ) Φ x x
d 2t dx2
0
o
x 0,
x ,
t t
t1 t2
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
2024/11/6
35
带入边界条件：
c1
t2
t1
c t
1 r2
r 2
r
t r
1
r 2 sin
sin
t
r2
1
sin 2
t
Φ
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26
6 定解条件 导热微分方程式的理论基础：傅里叶定律+能 量守恒。 它描写物体的温度随时间和空间变化的关系； 没有涉及具体、特定的导热过程。通用表达式。
完整数学描述：导热微分方程 + 单值性条件
4
2 等温面与等温线
①定义
等温面：温度场中同一瞬间同温度各点连成的 面。 等温线：在二维情况下等温面为一等温曲线。
t+Δt t
t-Δt
2024/11/6
5
②特点
t+Δt t
t-Δt
a) 温度不同的等温面或等温线彼此不能相交
b)在连续的温度场中，等温面或等温线不会中
止，它们或者是物体中完全封闭的曲面（曲
它反映了物质微观粒子传递热量的特性。
不同物质的导热性能不同：
固体 液体 气体
金属 非金属
金属 12~418 W (m C) 非金属 0.025 ~ 3W/(mC)
合金 纯金属
《传热学》第2章-稳态导热
第一类边界条件： x 0 , t t w1 积分得:
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
控制方程
边界条件
x , t tw 2
t
dt 1 2 0 ( 1 bt ) c1 0 ( t bt ) c1 x c2 tw1 dx 2
代入边界条件，得:
1 1 2 2 ( t bt ) c 0 c , ( t bt 1 2 0 w2 w 2 ) c1 c 2 0 w1 2 w1 2 1 2 c ( t bt 2 0 w1 w1 ) 2 t w1 t w 2 1 c [ 1 b( t w1 t w 2 )] 0 1 2
tw 2 tw3
2
tw3 tw4
3
tw1 tw4 tw1 tw4 3 相加可得： q R ,1 R ,2 R ,3 R ,i
i 1
例2-1：有一锅炉炉墙，三层，内层为230mm的耐火 砖层，中间为50mm厚的保温层，外层为240mm的 红砖层，导热系数分别为1.10 W/(m.K) ，0.072 W/(m.K) ，0.58W/(m.K)，已知炉墙内外表面温度 为500℃与50℃，求炉墙的导热热流密度和红砖墙的 最高温度。
第二章 稳态导热
Steady-State Conduction —— One Dimension
主要内容
掌握稳态导热。
§2-1 §2-2 §2-3 §2-4 §2-5 §2-6
通过平壁的导热 通过复合平壁的导热 通过圆筒壁的导热 具有内热源的平壁导热 通过肋片的导热 通过接触面的导热
对各层直接应用单层大平壁的热量计算式 tw1 tw 2 tw1 tw 2 第一层平壁 : q1 , 变换 : q1 R ,1 t w1 t w 2 1 R ,1
传热学-第二章2
x 30 20x
即可计算出沿墙壁厚度的温度 分布
温度，℃
பைடு நூலகம்3 一双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所 组成，空气隙厚度为 8mm。假设面向室内的玻璃表面温度 与面向室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定双层 玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变， 其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为 60cm×60cm。不考虑空气间隙的自然对流。玻璃的导热系 数为0.78w/(m℃) 解：查附录可知 0℃时空气的导热系数为 0.0244w/(m℃) ，根据 多层平板导热计算公式可知，通过双层玻璃窗的热损失为
通过炉墙的热损失为
995 60 q 800.68 w / m 2 1 2 0.348 0.116 1 2 1.3061 0.1287
t1 t3
1 0.348 t 2 t1 q 995 800.68 781.67℃ 1 1.3061
t2计算值与假设不符，重新假设交界面温度为779℃
tw 1 tw 2 tw 1 tw 2 2 rlq ln( r2 r1 ) R 2 l
与r无关,表明通过圆 筒壁热流量是定值
w
长度为 l 的圆筒 壁的导热热阻
4. n层圆筒壁
由不同材料构成的多层圆筒壁，
其导热热流量可按总温差和总热阻计 算
tw 1 tw ( n 1)
d dt (r )0 dr dr
r r1， t tw1 第一类边界条件： r r2， t tw 2
对方程(a)进行两次积分:
第一次积分 第二次积分 应用边界条件 获得两个系数
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
传热学 第二章 对流换热
δtt
tw
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
在层流边界层中， 在层流边界层中，热量的传递只能依靠流体层与层间的 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中， 导热作用，此时对流换热较弱。在紊流边界层中，层流底 层的热量传递方式仍是导热， 层的热量传递方式仍是导热，但在层流底层以外存在着对 因而对流换热较强。 流，因而对流换热较强。所以对流换热实际上是包括流体 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 层流的导热和层流以外的对流共同作用的综合传热过程。 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时， 若同一流体在相同的温度下流过同一壁面时，则层流底层 越薄，对流换热越强烈。 越薄，对流换热越强烈。
第一节 对流换热分析及牛顿冷却定律 一、边界层概念
（一）速度边界层 当粘性流体流过固体壁面时， 当粘性流体流过固体壁面时，若用仪器测出沿壁面法线方 方向不同点的速度u，将得到如图所示的速度分布图。 向Y方向不同点的速度 ，将得到如图所示的速度分布图。 方向不同点的速度 它表明从y=0处u=0开始，速度u随着 方向离壁面的距离 它表明从 处 开始，速度 随着y方向离壁面的距离 开始 随着 的增加而迅速增大，经过厚度为δ的薄层 的薄层， 接近达到主流 的增加而迅速增大，经过厚度为 的薄层，u接近达到主流 速度u ，这个y= 的薄层即为速度边界层 的薄层即为速度边界层， 为边界层厚 速度 ∞，这个 δ的薄层即为速度边界层， δ为边界层厚 度。边界层厚度理论上应等于由壁面到流体达到主流速度 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定， 点之间的距离，但这个点的位置难于准确确定，故通常把 u/ u∞=0.99处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。实验 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度。 处离壁面的垂直距离定义为边界层厚度 表明δ与壁面尺寸 相比是一个极小的量。 与壁面尺寸L相比是一个极小的量 表明 与壁面尺寸 相比是一个极小的量。
传热学-第2章
第二章 稳态热传导 12
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
在导热体中取一微元体 热力学第一定律：
Q U W
W 0, Q U
d 时间内微元体中： [导入与导出净热量]+ [内热源发热量] = [热力学能的增加]
1、导入与导出微元体的净热量 d 时间内、沿 x 轴方向、经 x 表面导入的热量：
dQx qx dydz d
t t1
n i
x
i 1
t tn1
t1 t2 t3 t4
热阻：
r1
1 , , rn n 1 n
第二章 稳态热传导
三层平壁的稳态导热
30
q
t1 t n 1
由热阻分析法：
ri
i 1
n
t1 t n 1
i i 1 i
n
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
第一章复习
(1) 导热
傅里叶定律：
(2) 对流换热 牛顿冷却公式： (3) 热辐射
斯忒藩－玻耳兹曼定律 ：
dt Φ A dx
Aht
A T 4
(4) 传热过程
(t f 1 t f 2 ) (t f 1 t f 2 ) Φ 1 1 Rh1 R Rh 2 Ah1 A Ah2
多层、第三类边条
tf1
q
tf1 tf 2 1 n i 1 h1 i 1 i h2
h1 t2 t3
h2 tf2
W 单位： 2 m
传热系数？ tf1
？
t1 t2 t3 t2
？ tf2
32
三层平壁的稳态导热
第二章 稳态热传导
一台锅炉的炉墙由三层材料叠合而成.最里面的是耐火黏土砖,厚 115MM;中间是B级硅藻土砖,厚125MM;最外层为石棉板,厚 70MM.已知炉墙内外表面温度分别为485℃ 和60 ℃ , 试求每平方 米炉墙的热损失及耐火黏土砖和硅藻土砖分界面上的温度。 解：各层的导热系数可根据估计的平均温度从手册中查出。第一 次估计的平均温度不一定正确，待算得分界面温度时，如发现不 对，可重新假定每层的平均温度。经几次试算，逐步逼近，可得 合理的数值。这里列出的是几次试算后的结果： W 3 0.116 /(m K ) W 1 1.12W /(m K ) 2 0.116 /(m K )
传热学讲义—第二章
第二章 稳态导热本章重点：具备利用导热微分方程式建立不同边界条件下稳态导热问题的数学模型的能力第一节 通过平壁的导热1-1 第一类边界条件 研究的问题：（1）几何条件：设有一单层平壁，厚度为δ，其宽度、高度远大于其厚度（宽度、高度是厚度的10倍以上）。
这时可认为沿高度与宽度两个方向的温度变化率很小，温度只沿厚度方向发生变化。
（属一维导热问题）（2）物理条件：无内热源，材料的导热系数λ为常数。
（3） 边界条件：假设平壁两侧表面分别保持均匀稳定的温度1w t 和2w t ，21w w t t >。
（为第一类边界条件，同时说明过程是稳态的）求：平壁的温度分布及通过平壁的热流密度值。
方法1 导热微分方程：采用直角坐标系，这是一个常物性、无内热源、一维稳态导热问题（温度只在 x 方向变化）。
导热微分方程式为：022=dxtd （2-1）边界条件为：10w x t t == ， 2w x t t ==δ （2-2）对式（2-1）连续积分两次，得其通解： 21c x c t += （2-3）这里1c 、2c 为常数，由边界条件确定 ，解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=11221ww w t c t t c δ （2-4）最后得单层平壁内的温度分布为： x t t t t w w w δ211--= （2-5）由于δ 、1w t 、2w t 均为定值。
所以温度分布成线性关系，即温度分布曲线的斜率是常数（温度梯度），const t t dx dt w w =-=δ12 （2-6）热流密度为：)(21w w t t dx dt q -=-=δλλ2/m W （2-7） 若表面积为 A, 在此条件下 , 通过平壁的导热热流量则为 :t A qA ∆==Φδλ W （2-8）考虑导热系数随温度变化的情况：对于导热系数随温度线形变化，即)1(0bt +=λλ，此时导热微分方程为：0=⎪⎭⎫⎝⎛dx dt dx d λ 解这个方程，最后得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+)(211212121121122w w w w w w t t b x t t bt t bt t δ 或 x tt t t b b t b t w w w w w δ12211)(21122-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+说明：壁内温度不再是直线规律，而是按曲线变化。
传热学-第二章2
h1 h2
= ql
r2
= 2πr2h2 (tw2 − t f 2 )
tf1 −tf 2 ql = r2 1 1 1 + ln + h 2πr 2πλ r h2 2πr2 1 1 1 = t f1 −t f 2 Rl
[W m]
通过单位长度圆筒壁传热过程的 热阻 [mK/W]
(1) 单层圆筒壁 思考：温度分布应如何求出？ 思考：温度分布应如何求出？ (2) 多层圆筒壁
q 第二层： 第二层： =
λ1 δ (t1 − t 2 ) ⇒ t2 = t1 − q 1 δ1 λ1
λ2 δ (t 2 − t3 ) ⇒ t3 = t2 − q 2 δ2 λ2
M
第i
q 层： =
M
λi δ (ti − ti +11 ) ⇒ ti +1 = ti − q i δi λi
多层、 多层、第三类边条
1
t2 − t1
=−
∫ t λ(t)
t2
1
t2 − t1
x2
1
(t2 − t1 )
λ=
∫t λ ( t ) dt
t 2 − t1
⇒
Φ =
λ ( t1 − t 2 )
∫x
dx A( x)
随温度呈线性分布时， 当 λ 随温度呈线性分布时，即λ ＝ λ0＋at，则 ，
t1 + t2 λ = λ0 + a 2 实际上，不论 λ 如何变化，只要能计算出平均导热系 实际上， 如何变化， 就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式， 数，就可以利用前面讲过的所有定导热系数公式，只 是需要将λ换成平均导热系数。 是需要将λ换成平均导热系数。
s
= tw
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
1、导入微元体的净热量
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
传热学-第二章(二)
假设单管长度为l，圆筒壁的外半 径小于长度的1/10。 一维、稳态、无内热源、常物性：
d dt (r ) 0 dr dr
(a)
r r1时 t t w1 第一类边界条件： r r2 时 t t w 2
对上述方程(a)积分两次:
第一次积分
第二次积分 应用边界条件
dt r c1 t c1 ln r c2 dr
直接积分，得：
t t1
x
dt c1 t c1 x c2 dx
t2 t1 c 带入边界条件： 1 c2 t1
t2 o
t2 t1 t x t1 带入Fourier 定律 dt t2 t1 dx
t w1 c1 ln r1 c2 ; t w 2 c1 ln r2 c2
t w 2 t w1 ; c1 ln(r2 r1 )
获得两个系数
ln r1 c2 t w1 (t w 2 t w1 ) ln(r2 r1 )
将系数带入第二次积分结果
t 2 t1 t t1 ln(r r1 ) ln(r2 r1 )
a 几何条件：单层平板； b 物理条件：、c、 已知；无内热源 c 时间条件： 稳态导热 : t 0 d 边界条件：第一类
o
x
根据上面的条件可得：
t t c ( ) Φ x x
控制 方程
d 2t dx
2
0
边界 条件
x 0, t t w1 第一类边条： x , t t w2
通过球壳的导热自己推导
5 其它变面积或变导热系数问题 求解导热问题的主要途径分两步： (1) 求解导热微分方程，获得温度场； (2) 根据Fourier定律和已获得的温度场计算热流量； 对于稳态、无内热源、第一类边界条件下的一维导热 问题，可以不通过温度场而直接获得热流量。此时， 一维Fourier定律：
《传热学》第二章课件_chapter2
2、导热系数的相对大小和典型数据
金属 非金属; 固相 液相 气相
在常温（20℃）条件下
纯铜： 399 W (m K)
碳钢： 36.7 W/ (m K)
水： 0.599 W (m K)
空气： 0.0259 W (m K)
传热学 Heat Transfer
传热学 Heat Transfer
沿x 轴方向导入与导出微元体净热量
Φx Φx dx
同理可得：
t dxdydz x x
t dxdydz y y
沿 y 轴方向导入与导出微元体净热量
Φy Φy dy
0
δ
x
传热学 Heat Transfer
3. 一块厚度为 的平板，平板内有均匀的内热源， ，平板一侧绝热，平板另一侧与温 热源强度为 度为tf 的流体对流换热，且表面传热系数为h。
传热学 Heat Transfer
4. 已知一单层圆筒壁的内、外半径分别为 r1、r2，
导热系数为常量，无内热源，内、外壁面维持均
匀恒定的温度tw1，tw2 。
3.对各向异性材料必须做一定的修改；
4.当导热发生的过程时间极短或空间尺度极小时，
傅里叶定律不在适合。
传热学 Heat Transfer
2-2 导热问题的数学描写
作用：导热微分方程式及定解条件是对导热体的 数学描述，是理论求解导热体温度分布的基础。
t f ( x, y, z, )
理论：导热微分方程式建立的基础是： 热力学第一定律+傅里叶定律 方法：对导热体内任意的一个微小单元进行分析， 依据能量守恒关系，建立该处温度与其它变量之间 的关系式。
传热学-第二章k2
t = c1 x + c2
t = tw1 −
c1 = −
t w1 − t w 2
tw1 −tw2
dt tw1 −tw2 x q =−λ = dx δλ
δ
c 2 = 得热流量 定律直接求解获得热流量 利用
dt Φ =−λA = const dx
t2 dx Φ∫ =−∫ λdt 0 A t1
t max = t | x = 0.25 = 22 .1 C
o
讨论： 讨论：由边界条件的对称性和内 热源强度均匀分布， 热源强度均匀分布，所以最大温 度必出现在中心面上， 度必出现在中心面上，本例的中 心面可视为绝热平面。 心面可视为绝热平面。
此种类型的模型可以取一半平面进行讨论
§2-3 通过圆筒壁的导热 柱坐标系： 柱坐标系：
tw1 − tw 2 = Rλ
[W]
t w1
Φ
1 2πλ L
tw 2
Q = λA
dt dt = −λ ( 2π rL ) dr dr
r大，面积A大，dt/dr必然小； 大 面积 大 必然小； 必然小 反之，r小 A小处 dt/dr必然 小处， 反之，r小,A小处，dt/dr必然 大。
单位长度圆筒壁的热流量： 单位长度圆筒壁的热流量：
讨论2: 讨论2:
多层平壁
w1 3
q=λ
w ,4
tw1 − tw 2
(t − t ) q= ∑ Rλ
i =1 ,i
δ
t tw1
对于n层平壁, 对于n层平壁,有:
(t q=
w1 n
− tw,n +1 )
tw2
tw3
q
∑ Rλ ,i
i =1
λ1
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RA
则
RA钢
1103 46.4
2.16 103
m 2K/w
RA水
1103 1.16
8.62103
m 2K/w
RA灰
1103 0.116
8.62102
m 2K/w
RA水 RA钢
8.62104 2.16105
39.9
t2
t3
h2
tf2
单位：
W m2
传热系数？
1/h1
1/h2
tf1
t1
t2
t3
t2
tf2
三层平壁的稳态导热
例1 已知钢板、水垢及灰垢的导热系数各为46.4w/(mK)、1.16 w/(mK) 及 0.116w/(mK)，试比较厚为1mm的钢板、水垢及灰垢的面积热阻 。
解：根据平板壁导热热阻计算公式有
25℃ q
q t 0.87 (30 25) 17.4 w/(m℃) 0.25
根据平壁导热温度分布的公式
t
t1
(t1
t2)
x
30
20x
即可计算出沿墙壁厚度的温度
分布
温度，℃
31 30 29 28 27 26 25 24
0
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 厚度，m
t
x
直接积分，得：
dt dx
c1
t c1x c2
带入边界条件：
c1
t2
t1
c2 t1
t1 t2
o
线性分布
t
t2
t1
x
t1
dt
t2
t1
dx
带入Fourier 定律
q
t2
t1
t
t
例3 一双层玻璃窗系由两层厚为6mm 的玻璃及其间的空气隙所 组成，空气隙厚度为8mm。假设面向室内的玻璃表面温度 与面向室外的玻璃表面温度各为20℃及-20℃，试确定双层 玻璃窗的热损失。如果采用单层玻璃窗，其他条件不变， 其热损失是双层玻璃的多少倍？玻璃窗的尺寸为 60cm×60cm。不考虑空气间隙的自然对流。玻璃的导热系 数为0.78w/(m℃)
t2
硅藻土 0.0477 0.0002t
q
t3
假设分界面处的温度为750℃，则可算得
黏土 0.8 0.00058 872.5 1.3061 w/(m ℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 405 0.1287 w/(m ℃)
通过炉墙的热损失为
q
t1
(A)
r
R
A
热阻分析法适用于一维、稳态、无内热源的情况
2. 多层平壁的导热
• 多层平壁：由几层不同材料组成
t1
• 例：房屋的墙壁 — 白灰内层、水泥 沙浆层、红砖（青砖）主体层等组成
• 假设各层之间接触良好，可以近似地认 为接合面上各处的温度相等
t2
t3 t4
边界条件： x 0
n
x i i1
t t1 t tn1
热阻：
r1
1 1
, , rn
n n
t1
t2
t3
t4
三层平壁的稳态导热
由热阻分析法：
q
t1 tn1
n
ri
i 1
t1 tn1
n i i1 i
问：现在已经知道了q，如何计算其中第 i 层的右侧壁温？
1
t3
2
995 60 0.348 0.116
800.68 w / m2
1 2 1.3061 0.1287
t2
t1
q
1 1
995
800.68 0.348 1.3界面温度为779℃
黏土 0.8 0.00058 887 1.3145 w/(m ℃) 硅藻土 0.0477 0.0002 419.5 0.1316 w/(m ℃)
b 物理条件：、c、 已知；无内热源
c 时间条件：稳态导热 t 0
d 边界条件：第一类
o x
根据上面的条件可得：
控制方程
c t ( t ) Φ x x
d2t dx2
0
第一类边条：
x 0,
x ,
t t1 t t2
边界条件
§2-3 通过平壁，圆筒壁，球壳和其它变截面 物体的导热
本节将针对一维、稳态、常物性、无内热源情况，考察平
板和圆柱内的导热。
直角坐标系： c t ( t ) ( t ) ( t ) Φ x x y y z z
1. 单层平壁的导热
a 几何条件：单层平板；
例4 一台锅炉的炉墙由两层材料叠合组成。最里面的是耐火黏 土砖，厚为348mm；外面是B级硅藻土砖，厚116mm，已 知炉墙内外表面温度分别为995℃和60℃，试求每平方米 炉墙每小时的热损失及耐火黏土砖与硅藻土砖分界面上的 温度。
解： 由附录7查得两种耐火材料的导热系数
t1
黏土 0.8 0.00058t
41.95 w
如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为
单
t R玻
20 (20) 0.006
1872 w
0.6 0.6 0.78
n 单 1872 44.6 双 41.95
答：双层玻璃窗的热损失41.95w 如果采用单层玻璃，则通过玻璃的热损失为双层玻璃 窗的44.6倍
、RA灰 RA钢
8.62104 2.16105
399.1
例2 有一砖砌墙壁，厚为0.25m。已知内外壁面的温度分别为25 ℃和30℃。试计算墙壁内的温度分布和通过的热流密度。
解：从附录查得红砖的导热系数 =0.87w/(m℃) ， 根 据 通 过
30℃
平板壁导热热流密度的计算 公式可求得
第一层：q
1 1
(t1
t2
)
t2
t1
q
1 1
第二层：q
2 2
(t2
t3 )
t3
t2
q
2 2
第
i
层：q
i i
(ti
ti11)
ti1
ti
q
i i
多层平壁、第三类边界条件 tf1
h1
q
1 h1
tf1 tf2
n
i1
i i
1 h2
解：查附录可知0℃时空气的导热系数为0.0244w/(m℃)，根据 多层平板导热计算公式可知，通过双层玻璃窗的热损失为
双
t R玻内 R空
R玻外
0.006
20 (20)
0.008
0.006
0.6 0.6 0.78 0.6 0.6 0.0244 0.6 0.6 0.078