典型例题：用放缩法证明不等式

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放缩法在不等式证明中的应用数学作业毕业论文

放缩法在不等式证明中的应用数学作业毕业论文引言放缩法是数学不等式证明中十分重要的一种方法，它在数学竞赛以及数学研究中有着广泛的应用。

其基本思想是通过找到一个与原式子不同但与之等价的不等式，将原式子的证明转化为证明这个新的不等式。

放缩法的优点是方法简单、易于计算，但需要具备一定的数学基础以及经验才能熟练应用。

本文将深入探讨放缩法在不等式证明中的应用。

一、放缩法的基本思想假设要证明的不等式为$A\\geqslant B$，则放缩法的目的在于找到另一个不等式$C\\geqslant D$，且有所求不等式$A\\geqslant B$可以由另一个不等式$C\\geqslantD$ 经过一系列的推导和化简得到。

要使用放缩法证明某个不等式，通常需要两个关键步骤：（1）首先找到一个与原式子不同但与之等价的不等式；（2）然后利用已知的数学定理和切实可行的数学方法将原有的不等式化为等价不等式，也就是通过一系列的推导和计算将原有的不等式转化成所求的不等式。

二、放缩法的具体应用1.幂、指数函数不等式放缩法在处理与幂、指数函数有关的不等式时尤其有用。

例如，对于如下不等式：$$x^a+y^b\\geqslant 2\\times\\left(\\frac{x^2}{y^{a-2}}\\right)^{\\frac{a}{2(a+b)}}$$其中，$a,b$均为正实数，$x,y$也是正实数。

首先，我们考虑一个简单的情况：当$a=b=1$时，所求不等式可以化为：$$x+y\\geqslant 2\\sqrt{\\frac{x^2}{y}} $$我们可以找到一个新的不等式$$(x+y)^2\\geqslant 4xy$$然后，将$(x+y)^2$拆开得到：$$(x+y)^2=(x^2+y^2)+2xy$$再将原式子转化为$$\\begin{aligned}(x^2+y^2)+2xy&\\geqslant4xy\\\\x^2+y^2&\\geqslant 2xy\\end{aligned}$$显然，$x^2+y^2\\geqslant 2xy$恒成立，证毕。

(完整版)放缩法典型例题

放缩法典型例题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类与数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩例1．正数数列的前项的和，满足，试求：（1）数列的通项公式；（2）设，数列的前项的和为，求证：解：（1）由已知得，时，，作差得：，所以，又因为为正数数列，所以，即是公差为2的等差数列，由，得，所以（2），所以注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列满足条件）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和1．放缩后成等差数列，再求和例2．已知各项均为正数的数列的前项和为,且.(1) 求证：；(2)求证：解：（1）在条件中，令，得，，又由条件有，上述两式相减，注意到得∴所以，，所以（2）因为，所以，所以；2．放缩后成等比数列，再求和例3．（1）设a，n∈N*，a≥2，证明：；（2）等比数列{a n}中，，前n项的和为A n，且A7，A9，A8成等差数列．设，数列{b n}前n项的和为B n，证明：B n＜．解：（1）当n为奇数时，a n≥a，于是，．当n为偶数时，a－1≥1，且a n≥a2，于是．（2）∵，，，∴公比．∴．．∴．3．放缩后为差比数列，再求和例4．已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．4．放缩后为裂项相消，再求和例5．在m（m≥2）个不同数的排列P1P2…P n中，若1≤i＜j≤m时P i＞P（即前面某数大于后面某数），则称P i与P j构成一个逆序.一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数.记排列的逆序数为a n，如排列21的逆序数，排列321的逆序数．j（1）求a4、a5，并写出a n的表达式；（2）令，证明，n=1,2,….（2）因为，所以.又因为，所以=.综上，.注：常用放缩的结论：（1）（2）．在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如例２要证明的结论、为等差数列求和结果的类型，则把通项放缩为等差数列，再求和即可；如例3要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通项放缩为等比数列，再求和即可；如例4要证明的结论为差比数列求和结果的类型，则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例5要证明的结论为裂项相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。

放缩法证明不等式

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k 12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k. 解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n ,所以122121114212+=+-=-∑=n n n knk (2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn n n 21121)12(21--=- (6) n n n -+<+221 (8) nn n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n nnnnnn <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+ (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n说明：1、用放缩法证明不等式，放缩要适应，否则会走入困境．例如证明4712111222<+++n ．由k k k11112--<，如果从第3项开始放缩，正好可证明；如果从第2项放缩，可得小于2．当放缩方式不同，结果也在变化．2、放缩法一般包括：用缩小分母，扩大分子，分式值增大；缩小分子，扩大分母，分式值缩小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求，第一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩后便于求和．例18 求证2131211222<++++n ．分析：此题的难度在于，所求证不等式的左端有多项和且难以合并，右边只有一项．注意到这是一个严格不等式，为了左边的合并需要考查左边的式子是否有规律，这只需从21n 下手考查即可．证明：∵)2(111)1(11112≥--=-<⋅=n nn n n n n n ， ∴ +⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<++++312121111131211222n 212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+n n n201417. (12分)已知数列{}n a 满足111,31n n a a a +==+.(I)证明{12}n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(II)证明2111132n a a a +++<.【答案解析】解析：(I)∵131n n a a +=+11331111)223(22n n n n a a a a ++∴⇒+=+++=+ 1112132a a =+⇒= ∴{12}n a +是首项为32，公比为3的等比数列∴1*131333,2222n n n n n a a n N --⋅+==∈=⇒ (II)由(I)知，*13,2n n a n N -=∈，故 121213*********(13)n n a a a +++=++-+-- 12110331112()3333n n --+-≤+-+12111()11131331(1()).133323213nn n --=++++==⋅-<- 例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n (2)求证:nn412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n nn(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n nn -+<+++=++++(3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先n n n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:一方面:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<1211212144411222n n n n n ,所以 35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 另一方面:1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n。

【数列】放缩证明不等式的4种方法(数列难点)

【数列】放缩证明不等式的4种方法（数
列难点）
数列放缩证明不等式的方法有很多，以下是其中4种方法：
- 直接求和再放缩：通过求和的方式将原式进行化简，再进行放缩证明。

- 先放缩再求和：通过放缩将原式进行化简，再通过求和的方式证明。

- 等差数列：将原式中的数列通过放缩转换为等差数列，再进行证明。

- 等比数列：将原式中的数列通过放缩转换为等比数列，再进行证明。

在使用放缩法证明不等式时，需要根据数列的特点选择合适的放缩方法，并进行严谨的证明。

利用放缩法证明数列型不等式

1 n(n 1)
1 n
-
1 n1
Sn
(1 1
1) 2
(1 2
1) 3
(1 n
1) n1
1
1 n
1
1
小结:可求和先求和，先裂项后放缩。
（2）先放缩后裂项
变式1.已知数列an 的通项公式为an
1 n2
, 且an 的前n项和为Sn，
求证 : Sn 2.
解析: an
1 n2
1 n(n 1)
(n 2)
3 2
.
解析 : 3n
-
2n
(1
2)n
2n
1
C
1 n
2
C
2 n
22
C
n n
2n
2n
C
2 n
22
2n(n
1)
(n 3)
1
1
1 1 1
3n
- 2n
2n(n 1)
2
(n
1)
n
(n 3)
当n
1时，S1
1
3 2
当n
2时，S 2
1
1 5
3 2
当n
3时，Sn
1
1 5
1 2
(1 2
1) 3
1 2
1
3 2
当n
2时，Sn
1
1 31
1 32
1 33
1 3n1
1
(1
1 3n
1 1
)
3 2
(1
1 3n
)
3 2
3
小结:先放缩构造成等比数列，再求和，最后二次放缩.
3.二项式定理放缩

典型例题：用放缩法证明不等式

用放缩法证明不等式所谓放缩法就是利用不等式的传递性，对照证题目标进行合情合理的放大和缩小的过程，在使用放缩法证题时要注意放和缩的“度”，否则就不能同向传递了，此法既可以单独用来证明不等式，也可以是其他方法证题时的一个重要步骤。

下面举例谈谈运用放缩法证题的常见题型。

一. “添舍”放缩通过对不等式的一边进行添项或减项以达到解题目的，这是常规思路。

例1. 设a ，b 为不相等的两正数，且a 3－b 3＝a 2－b 2，求证143＜＋＜a b 。

证明：由题设得a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，于是（a ＋b ）2＞a 2＋ab ＋b 2＝a ＋b ，又a ＋b ＞0，得a ＋b ＞1，又ab ＜14（a ＋b ）2，而（a ＋b ）2＝a ＋b ＋ab ＜a ＋b ＋14（a ＋b ）2，即34（a ＋b ）2＜a ＋b ，所以a ＋b ＜43，故有1＜a ＋b ＜43。

例2. 已知a 、b 、c 不全为零，求证：a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（）证明：因为a ab b a b b a b a b a b 22222234222++=+++=++（）＞（）≥，同理b bc c b c 222+++＞，c ac a c a 222+++＞。

所以a ab b b bc c c ac a a b c 22222232++++++++++＞（）二. 分式放缩一个分式若分子变大则分式值变大，若分母变大则分式值变小，一个真分式，分子、分母同时加上同一个正数则分式值变大，利用这些性质，可达到证题目的。

例3. 已知a 、b 、c 为三角形的三边，求证：12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。

证明：由于a 、b 、c 为正数，所以a b c a a b c +++＞，b a c b a b c +++＞，c a b c a b c+++＞，所以a b c b a c c a b a a b c b a b c c a b c +++＋＋＞＋＋＋＋＋＋＋＋＝1，又a ，b ，c 为三角形的边，故b +c ＞a ，则a b c +为真分数，则a b c a a b c +++＜2，同理b a c b a b c +++＜2，c a b c a b c+++＜2，故a b c b a c c a ba abc b a b c c a b c +++++++++=＋＋＜＋＋2222. 综合得12＜＋＋＜a b c b a c c a b+++。

巧用放缩法证明数列不等式

证明数列不等式问题一般较为复杂.解答这类问题的常用方法是放缩法，通常要灵活运用数列的定义、性质、通项公式、前n 项公式对不等式进行变形、化简，再运用不等式的性质对数列不等式进行适当的放缩.而证明数列不等式的关键是对不等式进合理的放缩，下面重点谈一谈运用放缩法证明数列不等式的几个技巧.一、通过裂项进行放缩有些数列不等式中的各项为分式，通过变形可裂为两项之差的形式，此时可利用裂项求和法来求得数列的和，再对其进行放缩，从而证明不等式.有时数列的通项公式不能直接裂项，可先将其进行适当的放缩，再进行求和.例1.求证：∑k =1n1k2≤53.证明：因为1k 2=44k 2<44k 2-1=2æèöø12k -1-12k +1，所以∑k =1n 1k 2=1+∑k =2n 1k 2<1+∑k =2n2æèöø12k -1-12k +1=1+2æèöø13-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1=1+2æèöø13-12n +1<1+23=53.该数列的通项公式为分式，可根据不等式的可加性和传递性，将其放缩44k 2-1，再将其裂项为2æèöø12k -1-12k +1，这样便可运用裂项相加法求得数列的和，运用放缩法快速证明不等式.二、利用基本不等式进行放缩若a 、b >0，则a +b ≥2ab ，该式称为基本不等式.运用基本不等式可快速将两式的和或积放大或缩小.在运用基本不等式进行放缩时，要注意三个条件“一正”“二定”“三相等”.需根据已知的关系式或目标式，合理配凑出两式的和或积，并使其一为定值.在证明数列不等式时，有时要用到基本不等式的变形式，如a +b +c ≥3abc 3、a 21+a 22+⋯+a 2nn≥a 1a 2⋯a n n 等，对所要证明的不等式进行放缩.例2.设S n =1×2+2×3+⋯+n ()n +1，求证：n ()n +12<S n <()n +122.证明：设a k =k ()k +1(k =1,2,⋯,n )，因为k <k ()k +1<k +k +12=k +12，所以∑k =1n k <∑k =1n k ()k +1<∑k =1n(k +12)，即n ()n +12<S n <n ()n +12+n 2<()n +122.该数列中含有根式,很难快速求得数列的和，于是将其通项看作两式的积，构造出两式的和式，便可利用基本不等式将数列中的每一项进行放缩，再根据等差数列的前n 项和公式进行求解，即可证明不等式.三、根据数列的单调性进行放缩数列具有单调性，所以在证明数列不等式时，可根据不等式的特点找出其中的通项公式，通过作差或作商来判断数列的单调性.若a n ≥a n +1，则该数列单调递增，若a n ≤a n +1，则该数列单调递减，即可利用数列的单调性来放缩不等式.例3.求证：12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710(n ∈N *).证明：令S n =1n +1+1n +2+⋯+1n +n ，则S n +1-S n =æèöø1n +2+1n +3+⋯+1n +n +1n +n +1-æèöø1n +1+1n +2+⋯+1n +n =14æèöøn +12()n +1>0.可知数列{}S n 单调递增，因此S n ≥S 1=12.又因为S n +1-S n =14æèöøn +12()n +1<14æèöøn +14æèöøn +54=14×æèççççöø÷÷÷÷1n +14-1n +54=14n +1-14n +5,即S n +14n +1>S n +1+14n +5，可知数列{}S n +14n +1单调递减，所以S n +14n +1≤S 1+14+1=710.综上可得12≤S n <710，即12≤1n +1+1n +2+⋯+1n +n <710.总之，运用放缩法证明数列不等式，关键是对数列的通项公式、和式进行合理的放缩.同学们可根据目标不等式的结构特点，对通项公式进行裂项，也可利用基本不等式，还可以根据数列的单调性来进行放缩.（作者单位：江西省临川第二中学）解题宝典41。

放缩法证明数列不等式

数列微专题——放缩法证明数列不等式一、常见的放缩变形：（1）()()211111n n n n n <<+-， ()()22111111111211n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭，()()22211411111412121221214n n n n n n n ⎛⎫<==- ⎪--+-+⎝⎭- （2=，从而有：22-=<<<（3）分子分母同加常数：()()0,0,0,0b b m b b m b a m a b m a a m a a m++>>>>>>>>++ （4）()()()()()()()121222221212122212121nn n n n n n n n n n--=<=------- ()1112,2121n nn n N *-=-≥∈-- 可推广为：()()()()()()()121111111nn n n n n n n n n n k k k k k k k k k k k k --=<=------- ()1112,2,,11n nn k k n N k k *-=-≥≥∈-- 二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若()14211n n S n a +=-+，且11a = （1）求证：数列{}n a 是等差数列，并求出{}n a 的通项公式（2）设n b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：32n T <例2：设数列{}n a 满足：111,3,n n a a a n N *+==∈，设n S 为数列{}n b 的前n 项和，已知10b ≠，112,n n b b S S n N *-=⋅∈（1）求数列{}{},n n a b 的通项公式（2）求证：对任意的n N *∈且2n ≥，有223311132n n a b a b a b +++<---例3：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12,n n na S n N a *+=∈ （1）求证：数列{}2n S 是等差数列（2）记数列3121112,n n n n bS T b b b ==+++，证明：312n T <≤-例4：已知数列{}n a 满足21112,21,n n a a a n N n ++⎛⎫==+∈ ⎪⎝⎭（1）求证：数列2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式（2）设n nnc a =，求证：121724n c c c +++<例5：已知数列{}n a 满足()()1111,2,412n n n n a a a n n N a --==≥∈-- （1）试判断数列()11n n a ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭是否为等比数列，并说明理由（2）设()21sin 2n n n b a π-=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：对任意的4,7n n N T *∈<放缩法证明数列不等式教师版一、基础知识：在前面的章节中，也介绍了有关数列不等式的内容，在有些数列的题目中，要根据不等式的性质通过放缩，将问题化归为我们熟悉的内容进行求解。

放缩法典型例题

放缩法典型例题这类问题数列与不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，本文介绍一类与数列和有关能有效地考查学生综合运用数列与不等式知识解决问题的能力．一是先求和再放缩，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：的不等式问题，二是先放缩再求和．一．先求和后放缩，满足1例项的和．正数数列，试求：的前（1的通项公式；）数列）设项的和为，数列，求证：的前（2，作差得：，）由已知得时，1解：（为正数数，，又因为所以的等差数列，由，即是公差为，得2，所列，所以以，所以（2）注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这满足条件里所谓的差比数列，即指数列）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．二．先放缩再求和．放缩后成等差数列，再求和1项和为,.且2例．已知各项均为正数的数列的前求证：；(1)求证：(2)．，）在条件中，令，又由条件解：（1，得得有，上述两式相减，注意到∴，所以，所以，所以，所以）因为（2；2．放缩后成等比数列，再求和*，证明：≥2Na，n∈；，a．例3（1）设设，A成等差数列．A，且A，，a（2）等比数列{}项的和为中，，前nA87nn9＜．项的和为nB，证明：B数列{b}前nnnn，于是，．≥aa解：（1）当n为奇数时，2n a≥a，于是≥为偶数时，当na－11，且．公比．，，∴2（）∵，．．∴．．∴．放缩后为差比数列，再求和34．求证：．已知数列，满足：例，与，所以证明：因为同号，又因为，所以，即为递增数列，所以．所以数列即，，累加得：即．，所以令，两式相减得：，所以，所以，故得．．放缩后为裂项相消，再求和4（即前面某数大于后面＞＜时中，若Pj≤m…m≥2）个不同数的排列PPPP1≤i（例5．在m i12n记排列构成一个逆序一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数某数），则称与. P.P ji的逆序数的逆序数，排列的逆序数为，如排列．a21321jn、1（）求aa，并写出的表达式；a n54，证明，n2=1,2,）令….（）因为，2（.所以．又因为，所以=.综上，.）注：常用放缩的结论：（1．2）（在解题时朝着什么方向进行放缩，是解题的关键，一般要看证明的结果是什么形式．如、为等差数列求和结果的类型，例２要证明的结论则把通项放缩为等差数要证明的结论为等比数列求和结果的类型，则把通列，再求和即可；如例3要证明的结论为差比数列求和结果的类型，如例项放缩为等比数列，再求和即可；4要证明的结论为裂项5则把通项放缩为差比数列，再求和即可；如例相消求和结果的类型，则把通项放缩为相邻两项或相隔一项的差，再求和即可．。

常见的不等式的放缩方法

常见的不等式的放缩方法天门中学高三数学组一、先求和再放缩类型1、设数列{}n a 的前n 项的和为，n S 42n n a n=-，设2n n n T S =，1,2,3,n =⋅⋅⋅，证明：132nii T =<∑解: 由得S n = 4n 2nna =-23×(2n+1－1)(2n－1) T n = ⇒2n S n= 32×2n (2n+1－1)(2n－1) = 32×(12n －1 － 12n+1－1)，所以, = 1ni =∑i T 321(ni =∑12i －1 － 12i+1－1) = 32×(121－1 － 12i+1－1) < 322、已知2113,12n n n a a a a +==-+，求证：20101112k ka =<<∑。

证明：2112737(1)0,,416n n n n n a a a a a a a ++-=->⇒>==>321 ⇒ 当时，，3n ≥2n a >13(1)113n n n n n a a a a a a n n +=-+>+⇒>+-=-()20112011120100,11a a ⇒>⇒∈-21111111(1)11n n n n n n n n a a a a a a a a +++=-+⇒-=-⇒=---1na ()20101112011201111111112111111k n n n ka a a a a a a =+⇒=-⇒=-=-∈-----∑,2 二、先放缩为等比数列再求和类型1、设，证明：n N +∈11nni i e n e =⎛⎫<⎪-⎝⎭∑ 证明：()ln(1)1x x x +≤<- 111111ln 1ln 1111nnnn n ii i i i i i i i i i e e e n n n n n e --+∞--===⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫i -∴-≤-⇒-≤-⇒-≤⇒-<<=⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑11111nni i e n e e =⎛⎫⇒<+=⎪--⎝⎭∑2、已知：113443n n n a k k --⋅=⋅+-，当13k <<时，求证：138nii n k a k =->∑。

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)

证明数列不等式的常用放缩方法技巧(含答案)work Information Technology Company.2020YEAR证明数列不等式的常用放缩方法技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： ⑴添加或舍去一些项，如：aa >+12；n n n >+)1(⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：4lg 16lg 15lg )25lg 3lg (5lg 3lg 2=<=+<⋅； 2)1()1(++<+n n n n⑷二项式放缩: n n n n n n C C C +++=+= 10)11(2,1210+=+≥n C C n n n , 2222210++=++≥n n C C C n n n n )2)(1(2≥->n n n n(5)利用常用结论：Ⅰ.的放缩 <Ⅱ. 21k 的放缩(1) ： 2111(1)(1)k k k k k <<+-（程度大） Ⅲ. 21k 的放缩(2)：22111111()1(1)(1)211k k k k k k <==+-+--+（程度小） Ⅳ.21k 的放缩(3)：2214112()412121kk k k <=+--+（程度更小）Ⅴ. 分式放缩还可利用真（假）分数的性质:)0,0(>>>++>m a b ma mb ab 和)0,0(>>>++<m b a ma mb ab 记忆口诀“小者小,大者大”。

解释:看b ,若b 小,则不等号是小于号,反之亦然. Ⅵ.构造函数法构造单调函数实现放缩。

新课标人教A版数学：利用放缩法证明不等式

2n
2n
【方法总结之一】
n
放缩法证明与数列求和有关的不等式，若 ai 可直 i 1
接求和，就先求和再放缩；若不能直接求和的，一般要
先将通项 an 放缩后再求和.
问题是将通项 an 放缩为可以求和且“不大不小”的什么样的 bn 才行呢？其实，能求和的常见数列模型并不
多，主要有等差模型、等比模型、错位相减模型、裂项
例6
求证：1 3 5 2n 1 1 (n N)
246
2n 2n 1
n
分析我们能否将证明形如 ai f (n) 的思维策略类比迁移
i 1
过来呢？
思路
135 246
2n 1 2n
1
2n 1 Bn b1b2b3
bn
利用公式 bn
Bn Bn1
(n
2) ， b1
B1 易得： bn
因此，问题转化为只要证 2n 1 2n 1 2n 2n 1
变式3
求证：1
1 22
1 32
1 n2
5 3
(n N)
例2 求证： 1 1 1
13 35 5 7
1
1 (n N)
(2n 1)(2n 1) 2
分析左边可用裂项相消法求和，先求和再放缩.
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
左边 1 [(1 1) (1 1) ( 1 1 )]
1 3n1
)
1 3 17 (n 2) 14 14
当n = 1时，不等式显然也成立.
【方法总结之三】
一般地，形如 an an bn 或 an an b (这里 a b 1)的
数列，在证明 1 1 1 k （ k 为常数）时都可以提取

第14讲放缩法证明不等式(解析版)2023年新高考数学导数压轴题专题突破(尖子生专用

f (x)max
f (e) lne e e
0；
设函数 g(x) x2 lnx ， g(x) 2x 1 2x2 1 ， xx
当 x (0, 2 ) 时， g(x) 0 ，当 x ( 2 ， ) 时， g(x) 0 ，
2
2
g(x)min
g(
2 ) 1 1 ln 1 1 1 ln2 2 22222
h(x) f (x) (3x 1)h(0) 0 ，即 f (x)3x 1 ．
（3）证明：方法一：当 a b 1 时， g(x) x 1 lnx ．
由（1）知， g(x)min g （1） 0 ， g(x) x 1 lnx 0 ，即 x 1 lnx ．当 x 1 时， (x 1)2 0 ， (x 1)2 esin x 0 ，则 (x 1)2 esin x 1 ln[(x 1)2 esin x ] ，
令 g(x) 0 ，得 x b ，则 g(x) 在 (0, b ) 上单调递增，在 (b , ) 上单调递减；
a
a
a
（2）证明：设函数
h(x)
f
(x)
(3x
1)
，则
h( x)
2 x 1
cos x
3．
x 0
，
x
2 (0, 2] 1
，
cos
x [1
，1] ，
则 h(x)0 ，从而 h(x) 在 [0 ， ) 上单调递减，
x
x
令 g(x) ex e 1 lnx 1 ，
x
x
g(x)
(x
1)(e x x2
1)
(x
0)
，
所以 g(x) 在 (0,1) 上递减，在 (1, ) 上递增，

放缩法证明不等式

放缩法证明不等式放缩法是一种非常常用的证明不等式的方法，它通过逐步削弱不等式的一侧，使得最后的不等式很容易得到证明。

本文将通过一些例子来说明放缩法的使用。

例1：证明Cauchy不等式Cauchy不等式的表述为：对于任意的实数a1,a2,...,an和b1,b2,...,bn，有：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=(a1b1+a2b2+...+anbn)^2证明方法如下：首先，我们注意到不等式的左边是一个平方形式，而右边是一个乘积形式。

我们可以利用这个观察来放缩不等式。

由平均值不等式，我们有：(a1^2+a2^2+...+an^2)/n >=(a1+a2+...+an)^2/n^2同样，(b1^2+b2^2+...+bn^2)/n >= (b1+b2+...+bn)^2/n^2将这两个不等式相乘，得到：(a1^2+a2^2+...+an^2)(b1^2+b2^2+...+bn^2) >=[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2注意到右边的中括号内的部分就是(a1b1+a2b2+...+anbn)/n，我们可以进一步放缩为：[(a1+a2+...+an)(b1+b2+...+bn)/n]^2 >= (a1b1+a2b2+...+anbn)^2因此，我们得到了Cauchy不等式的证明。

例2：证明AM-GM不等式AM-GM不等式的表述为：对于非负实数a1,a2,...,an，有：(a1+a2+...+an)/n >=(a1a2...an)^(1/n)证明方法如下：我们首先注意到不等式的左边是一个平均值形式，而右边是一个几何平均值的形式。

我们可以利用这个观察来放缩不等式。

由平均值不等式，我们有：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)对于任意的i，我们可以用a1a2...an的值来替换ai，则不等式仍然成立：(a1+a2+...+an)/n >= √(a1a2...an)因此，我们得到了AM-GM不等式的证明。

高考数学：“放缩法”解不等式8例

高考数学：“放缩法”解不等式8例近年来在高考解答题中，常渗透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

特别值得一提的是，高考中可以用“放缩法”证明不等式的频率很高，它是思考不等关系的朴素思想和基本出发点, 有极大的迁移性,对它的运用往往能体现出创造性。

“放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。

因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。

下面结合一些高考试题，例谈“放缩”的基本策略，期望对同学们能有所帮助。

1、添加或舍弃一些正项（或负项）若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。

由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的。

本题在放缩时就舍去了，从而是使和式得到化简.2、先放缩再求和（或先求和再放缩）此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子, 分母如果同时存在变量时, 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。

如需放大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。

3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”本题通过对因式放大，而得到一个容易求和的式子，最终得出证明.5、逐项放大或缩小本题利用，对中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。

6、固定一部分项，放缩另外的项此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。

7、利用基本不等式放缩本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由放大即可.8、先适当组合, 排序, 再逐项比较或放缩以上介绍了用“放缩法”证明不等式的几种常用策略，解题的关键在于根据问题的特征选择恰当的方法，有时还需要几种方法融为一体。

恰当运用放缩法证明导数不等式

恰当运用放缩法证明导数不等式
放缩法是一种常用的证明技巧，它依赖于转换（或放缩）函数、几何形状或是实数的对称性来推断出一个初始问题的结果。

放缩法可以用来证明导数不等式。

接下来，我们将使用放缩法来证明一个导数不等式：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

首先我们观察该导数不等式：
如果f′(x)≤g′(x),
那么积分得到f(x)≤g(x)。

因此，在这里，我们需要证明f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

我们选择一个放缩函数：
φ(x)=f(ax+b)
其中a,b∈R，a>0，0≤b<1
接下来，我们需要证明φ′(x)≤g′(x)，x∈[0,1]。

首先，记f(x)=y
那么φ′(x) =ayf′(ax+b)。

又因为f′(x)≤g′(x),
所以ayf′(ax+b)≤ayg′(ax+b)。

接下来，我们将ayf′(ax+b) 替换为g′(x) ayg′(ax+b) = g′(x)
因此ayf′(ax+b)≤g′(x)。

同样的，我们可以将ayg′(ax+b) 替换为f′(x) ayf′(ax+b) = f′(x)
因此φ′(x)≤f′(x)，x∈[0,1]。

最后，因为φ(x) = f(ax+b)
我们可以得出f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

经过以上推导，我们已经证明了原式的正确性：设f(x)和g(x)为定义在[0,1]上的连续函数：
f′(x)≤g′(x),x∈(0,1)
则有f(x)≤g(x)，x∈[0,1]。

放缩法证明数列不等式经典例题

放缩法证明数列不等式经典例题放缩法证明数列不等式放缩法是一种证明数学不等式的方法，它利用一些基本的放缩技巧来推导出更复杂的不等式。

下面介绍几种常用的放缩技巧：1.$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$证明：将右边的式子化简得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2n}-\frac{1}{2(n+1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n(n+1)}<\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$。

2.$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$证明：将右边的式子平方得到$\frac{n}{n+1}<\frac{n}{n+1}<\frac{(n+1)^2}{n(n+1)}$，再将中间的式子平方根得到$\frac{n}{n+1}<\sqrt{\frac{n}{n+1}}<\frac{n+1}{n}$。

3.$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}=\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{n(n-1)}$，再将右边的两项合并得到$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n(n-1)}-\frac{1}{(n+1)n}$。

4.$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$证明：将右边的式子通分得到$\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}=\frac{2}{n(n+1)}$，再将右边的式子倒数得到$\frac{2}{n(n-1)}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}$。

高考数学放缩法证明数列不等式之常数型与函数型(解析版)

放缩法证明数列不等式之常数型与函数型◆题型一:放缩法证明数列不等式之常数型方法解密:放缩法证明数列不等式属于数列大题中较有难度的一种题型.大部分是以证明某个数列和大于或小于一个常数类型,小部分是证明某个数列前n项和或者积大于或小于一个函数(下一专题详解).本专题我们来介绍最常见的常数类型.放缩的目的有两个:一是通过放缩使数列的和变换成比如裂项相消等可以简单求和的形式,这样可以方便比较大小.二是两者之间无法直接比较大小,这样我们需要通过寻找一个媒介,来间接比较大小.放缩的原则:放缩必然会导致数变大或者变小的情况,我们的原则是越精确越好.在证明过程中,为了使放缩更精确,往往会第一项不变,从第二项或者第三项开始放缩(例题会有讲解).放缩的方法:(1)当我们要证明多项式M<A时,我们无法直接证明两者的大小,这时我们可以将多项式M放大为N1,当我们能够证明N1<A,也间接证明了M<A.切不可将M缩小为N2,即使能够证明N2<A,M与A的关系无法得证.(2)当我们要证明多项式M>A时,这时我们可以将多项式M缩小为N1,当我们能够证明N1>A,也间接证明了M>A.需要放缩的多项式多以分式形式出现,要使得分式的值变大,就是将分母变小,常见是将分母减去一个正数,比如1.常见的放缩形式:(1)1n2<1n-1n=1n-1-1n n≥2；(2)1n2>1n n+1=1n-1n+1；(3)1n2=44n2<44n2-1=212n-1-12n+1；(5)1n =2n+n<2n-1+n=2-n-1+nn≥2；(6)1n =2n+n>2n+n+1=2-n+n+1；(7)1n =2n+n<2n-12+n+12=222n-1+2n+1=2-2n-1+2n+1；(8)2n2n-12=2n2n-12n-1<2n2n-12n-2=2n-12n-12n-1-1=12n-1-1-12n-1n≥2；(12)12n-1<2n-12n-1-12n-1=12n-1-1-12n-1n≥2.类型一:裂项放缩【经典例题1】求证112+122+132+.....+1n2<2【解析】因为1n2<1n2-n=1n n-1=1n-1-1n n≥2,所以112+122+132+.....+1n2<112+1 22-2+132-3+.....+1n2-n=1+1-12+12-13+.....+1n-1-1n=2-1n<2,所以原式得证.为什么第一项没有经过放缩,因为分母不能为0,所以只能从第二项进行放缩.总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式1】求证112+122+132+.....+1n 2<74【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2,所以112+122+132+....+1n 2<112+122-1+132-1+....+1n 2-1=1+121-13+12-14+13-15....+1n -1-1n =1+121+12-1n -1n +1 <74,所以原式得证. 总结:证明数列之和小于常数2,式子左侧我们进行放大处理,各个分式分母减去n ,可以变换成裂项相消的形式,同时又能作为媒介与2比较大小.同时要注意从第几项开始放缩的问题.【变式2】求证112+122+132+.....+1n 2<53【解析】因为1n 2<1n 2-1=1n +1 n -1=121n -1-1n +1 n ≥2 ,所以112+122+132+....+1n 2<112+122+132-1+....+1n 2-1=1+122+1212-14+13-15+14-16+....+1n -1-1n =1+14+1212+13-1n -1n +1 =53-121n +1n +1 <53,注意这是保留前两项,从第三项开始放缩.总结:通过例1和变式题我们发现,我们对分式的进行放大,分母我们依次减去的数是n ,1.不难发现,这些数递减,所得的结果也是递减的.说明减去的数越小,所得的结果越精确.同时通过两道变试题我们也发现,保留前几项不动,这样放缩的精度也会高一些.有些模拟题中,经常出现保留前2项到3项不动的情况.那么作为学生如何判断从第几项开始放缩呢?这需要学生去尝试和试错,如果第一项不行,那就尝试第二项,第三项.【经典例题2】已知a n =n 2,b n =n 2,设c n =1a n +b n,求证:c 1+c 2+⋯+c n <43. 【解析】已知a n =n2,b n=n 2,因为c n =22n 2+n=2n (2n +1)=42n (2n +1)<4(2n -1)(2n +1)=212n -1-12n +1 所以c 1+c 2+⋯+c n <23+213-15+15-17+⋯+12n -1-12n +1 =23+23-22n +1<43,故不等式得证.【经典例题3】已知数列a n 满足a 1=1，a n -1=n -1na n (n ≥2,n ∈N *)，(1)求a n ;(2)若数列b n 满足b 1=13，b n +1=b n +1a 2n(n ∈N *)，求证：b n <2512．【答案】(1)a n =n ；(2)证明见解析．【详解】(1)由题意a n a n -1=nn -1(n ≥2)，∴a n =a 1×a 2a 1×a 3a 2×⋯×a n a n -1=1×21×32×⋯×n n -1=n ，a 1=1也适合．所以a n =n (n ∈N *)；(2)由已知b 1=13<2512，b 2=b 1+1=43<2512，b 3=b 2+122=43+14=1912<2512，当n ≥3时，b n +1-b n =1n2<1n (n -1)=1n -1-1n ，因此b n +1=b 3+(b 4-b 3)+(b 5-b 4)+⋯+(b n +1-b n )<1912+12-13 +13-14 +⋯+1n -1-1n=2512-1n <2512，则b n =b n +1-1n2<2512综上，b n <2512．类型二:等比放缩所谓等比放缩就是数列本身并非为标准的等比数列,我们将数列的通项经过一定的放缩使之成为一个等比数列,然后再求和,我们通过例题进行观察了解.【经典例题4】证明:121-1+122-1+123-1+...+12n -1<53【解析】令a n =12n -1,则a n +1a n =2n -12n +1-1<2n -12n +1-2=12⇒a n +1<12a n又因为a 1=1,a 2=13,由于不等式右边分母为3,因此从第三项开始放缩,得a 1+a 2+⋯+a n <a 1+a 2+12a 2+⋯+12 n -2a 2=1+131-12n -1 1-12<53故不等式得证.【经典例题5】已知数列a n 满足：a 1=2，a n +1=2a n +2n +1，n ∈N *.(1)求证a n2n 是等差数列并求a n ；(2)求数列a n 的前n 项和S n ；(3)求证：1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅+1a n +1-a n <12.【答案】(1)证明见解析，a n =n ⋅2n ；(2)S n =(n -1)2n +1+2；(3)证明见解析.【详解】(1)证明：a n +12n +1-a n 2n =2a n +2n +12n +1-a n 2n =2a n 2n +1+1-a n2n=1，∴a n 2n 是首项为a 121=1，公差为1的等差数列，∴a n 2n =1+(n -1)1=n ，∴a n =n ⋅2n .(2)∵S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n ，∴2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅⋅⋅⋅n ⋅2n +1，两式相减得：-S n =21+22+23+⋅⋅⋅⋅⋅⋅2n -n ⋅2n +1，-S n =21-2n1-2-n ⋅2n +1，∴S n =(n -1)2n +1+2.(3)证明：∵a n =n ⋅2n ，∴a n +1=(n +1)⋅2n +1，∴a n +1-a n =(n +2)⋅2n ，当n ∈N *时，n +2>2，∴(n +2)⋅2n >2n +1，∴1(n +2)⋅2n <12n +1，∴1a 2-a 1+1a 3-a 2+1a 4-a 3+⋅⋅⋅⋅⋅⋅1a n +1-a n <122+123+124+⋅⋅⋅⋅⋅⋅12n +1=141-12 n 1-12=121-12 n <12.【练习1】已知数列{a n }中，a 1=1，其前n 项的和为S n ，且当n ≥2时，满足a n =S 2nS n -1．(1)求证：数列1S n 是等差数列；(2)证明：S 21+S 22+⋯+S 2n <74．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【解析】(1)当n ≥2时，S n -S n -1=S 2nS n -1，S n -1-S n =S n S n -1，即1S n -1S n -1=1从而1S n 构成以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，1S n =1S 1+n -1 ×1=n ，∴S n =1n ．则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-1=121n -1-1n +1 ．故当n ≥2时S 21+S 22+⋯+S 2n <1+121-13 +1212-14 +⋯+121n -1-1n +1=1+121+12-1n -1n +1 <1+12⋅32=74又当n =1时，S 21=1<74满足题意，故S 21+S 22+⋯+S 2n <74．法二：则当n ≥2时S 2n =1n 2<1n 2-n=1n -1-1n ，那么S 21+S 22+⋯+S 2n <1+14+12-13 +13-14 +⋯1n -1-1n =74-1n <74又当n =1时，S 21=1<74，当时，S 21=1<74满足题意.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =12na n+a n -1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若数列2a 2n的前n 项和为T n ，证明：T n <32．【答案】(1)a n =n +1n ∈N * ．(2)见解析【解析】(1)当n =1时，S 1=12a 1+a 1-1，即a 1=2，当n ≥2时，S n =12na n +a n -1①，S n -1=12n -1 a n -1+a n -1-1②，①-②，得：2a n =na n -n -1 a n -1+2a n -2a n -1，即na n =n +1 a n -1，∴a n n +1=a n -1n ，且a 12=1，∴数列a n n +1 是以每一项均为1的常数列，则a nn +1=1，即a n =n +1n ∈N * ；(2)由(1)得a n =n +1，∴2a 2n =2n +12<2n n +2 =1n -1n +2，∴T n <1-13+12-14+13-15+⋯+1n -1n +2=1+12-1n +1-1n +2<32.【练习3】已知函数f (x )=x 3-2x ，数列a n 中，若a n +1=f (a n )，且a 1=14.(1)求证：数列1a n-1是等比数列；(2)设数列a n 的前n 项和为S n ，求证：S n <12.【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】(1)由函数f (x )=x3-2x ，在数列a n 中，若a n +1=f (a n )，得：a n +1=a n 3-2a n，上式两边都倒过来，可得：1a n +1=3-2a n a n =3a n-2，∴1a n +1-1=3a n -2-1=3a n -3=31a n -1 ．∵1a 1-1=3．∴数列1a n -1 是以3为首项，3为公比的等比数列．(2)由(1)，可知：1a n -1=3n ，∴a n =13n +1，n ∈N *．∵当n ∈N *时，不等式13n +1<13n 成立．∴S n =a 1+a 2+⋯+a n =131+1+132+1+...+13n +1<131+132+...+13n =13⋅1-13n 1-13=12-12•13n <12．∴S n <12．【练习4】已知函数f (x )=x 2-2x ，数列a n 的前n 项和为S n ，点P n n ,S n 均在函数y =f x 的图象上．若b n=12a n +3 (1)当n ≥2时，试比较b n +1与2b n的大小；(2)记c n =1b n n ∈N *试证c 1+c 2+⋯+c 400<39.【答案】(1)b n +1<2bn ；(2)证明见解析.【详解】(1)∴f (x )=x 2-2x ，故S n =n 2-2n ，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -3，当n =1时，a 1=S 1=-1适合上式，因此a n =2n -3n ∈N * .从而b n =n ,b n +1=n +1,2b n=2n ，当n ≥2时，2n =1+1 n =C n 0+C n 1+⋯>n +1故b n +1<2b n=2n(2)c n =1b n =1n，c 1=1，1n =2n +n <2n +n -1=2(n -n -1)n ∈N *,n ≥2 c 1+c 2+...+c 400<1+22-1 +23-2 +...+2400-399 =2400-1=39.◆题型二:放缩法证明数列不等式之函数型方法解密:数列放缩较难的的两类便是形如数列的前n 项和与函数f (n )的不等关系,即a 1+a 2+⋯+a n <f (n )或者数列前n 项积与函数f (n )的不等关系,即a 1⋅a 2⋅⋯⋅a n <f (n )的问题,其中,这里的前n 项和与前n 项积难求或者是根本无法求.面对这类题时,首先,我们可以将f (n )看成某个数列的和或者积,然后通过比较通项的大小来解决;其次,我们也可以对a n 进行变形,使之能求和或者求积.往往第二种方法难以把握,对学生综合素质要求较高.而第一种方法相对简单易行,所以本专题以“拆项”为主线详细讲解.【经典例题1】已知数列a 1=32,a n +1=3a n -1,n ∈N *(1)若数列b n 满足b n =a n -12,求证:数列b n 是等比数列。

数学所有不等式放缩技巧及证明方法

文档收集于互联网，已重新整理排版word 版本可编辑•欢迎下载支持.高考数学所有不等式放缩技巧及证明方法一、裂项放缩畀 2 15例1.⑴求芥门 --------- 7的值；（2）求证：>2 7T V —・A=1 4* — 1Ar = l k3例2・⑴求证：1 +丄+丄+・・・+ —>1-一!一> 2）32 52⑵Li ）， 6 2（2n-1）1 1 1 1 114 16 364n 2 2 4n⑶求证丄+12+空+」"•…⑵i2 2-4 2-4-6 2-4-6••…2n例 3•求证: ---- - ---- <i + l +l + ... + -L<-(n +1)( 2/1 + 1)4 9 ir 3例4・（2008年全国一卷）设函数f ⑴二X-H1U.数列仇｝满足0<q<l ・％明：畋+】>b.例 5.已知"，加 e 他,兀 > -1,S,” 二 r n + T +3川 + …+ 心求证：/严 < (m +1)5,, <(〃 + 1严 -1例 6.已知® = 4" - T , T n= ------ 二 ----- ,求证：£+◎+◎人 < —.a { + a 2 + ・• • + a n2例7.已知坷=1, £ = < W (mi,"Z),求证：亠*亠+ •..+亠>逅(耐®訓) W - l(n = 2k 、k wZ) 护2 ・x 3 化・x 5.. 4丁 /、 In 2a In 3a In n a hr -n-l例 9.求证——<^—^^>2)例 10.求证:—+ - + ・・・ + —< ln(n + 1) < 1 + —4-・・• +」■2 3 77 + 1 2 n例 11.求证：(1 + \(1 +、•….(1 + ^-Xe 和(1 + ；)(1 + 厶)•….(1 + 点)<辰 2! 3! n\ 9 81 3" 例 12•求证：(1 +1 x 2) • (1 + 2 x 3) ••…[1 + n(n +1)] > 严I12例14.已知4=1。

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