1.4有阻尼的受迫振动解析

F0 2 it 0 e k
(t ) iAe i (t ) x
(t ) A 2 e i (t ) x
即
F0 A i 2 0 A A 0 e i k
2 2 0
欧拉公式：
e i (t ) cos(t ) i sin(t )
s 1 0
也急剧增大，振幅显著增大，且阻尼对振幅抑制作用十分明显，
即阻尼增大，振幅显著下降。将振幅取极大值时的激励频率 m 为共振频率，
d 0 ds
有最大值
m 0 1 2 2
1 2 1
2
max
有最大的幅值
Amax
B 2 1 2
其中，激励力的频率和幅值分别为
、 F0
F (t ) F0 eit
x 为复变量，其实部和虚部分别为余弦和正弦激励响应。
根据常微分方程，非齐次线性常微分方程的全解有两部分：
齐次方程的通解 ——指数衰减或衰减振动为非往复运动—暂态响应 非齐次方程的特解——持续等幅振动（稳态受迫振动）—稳态响应。
2 2 it 20 x 0 x x B0 e
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,

l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
2.
s＝1（接近共振），且
1 时系统的振幅和相位角
解:
(1)
2
动力学微分方程
l 2l 2l m c k l l F (t )l 3 3 3
ml 2 4 2 cl kl 2 F0l sin t 9 9
动力学微分方程：

m k

2
( s ) arctan
2 s arctan 1 s2
2
2c 3 mk

9k m
2
质点的振幅
9F0 l B Amax 3 4c
m k
s
n
1 9k m
作业：p51
2.1 2.2
F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；

c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
B
是频率比s及阻尼比 的函数，与初始
幅频特性：给出不同的阻尼比
及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1.不论s<<1，即
0
还是s>>1，即 0 一般 阻尼对振幅影响甚小，可按无阻尼受迫振动处理； 。 前者 1 后者 1 ，响应近似于静态，
2.
s 0
(s)
A B
A B
系统的稳态响应的实振幅；
系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（幅频特性）；
( s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（相频特性）。
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结论： 1. 稳态响应与激励是相同频率的简谐运动，并且相位滞后于激励； 2. 稳态响应的振幅 A 条件无关。
2
F0 2 A( ) i 2 A 0 0 (cos i sin ) k
2 0
A

F0 2 2 2 A ( ) 0 cos 0 k 2 A F0 2 sin 0 0 k F0 2 0 F0 k 2 2 2 4 2 2 2 k
当 1 时，
max
1 Q 2
Q为系统的品质因数。
品质因数越大，共振峰越高， 测量的信号强，灵敏度高。它反 映了系统的窄带滤波性能，品质 因数值越大，选择性越好。
此时振幅
Amax
B 2
相频特性：给出不同的阻尼比 及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1. 随着s在 0 ~
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
0
（实部和虚部分别相等）
1 (1 s ) (2 s)
2 2 2

B
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
0
20 2s tan 2 2 0 1 s2
( s)
( s ) arctan
2s 1 s2
B
F0 k
系统与幅值相等的常值力施加于物体上所引起的弹簧静变形 （系统在静力F0作用下的静偏位）； 系统的频率比；
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml

当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl