1.4有阻尼的受迫振动解析
高中物理 1.4 阻尼振动 受迫振动课件
预习导学
❖ 二、受迫振动
❖ 1．驱动周力期：性
的外力．
❖ 2．受迫振动：驱系动统力在 动．
作用下的振
驱动力
❖ 3 ． 振 动 稳 定 后 受 迫 振 没动有的 周 期 总 等 于 的周期，受迫振动稳定后的频率与物体的固 有频率 等于关系．
❖ 三、共振
共振
❖ 驱动力的频率
预习导学 课堂讲义 对点练习
[探背景]
第4讲 阻尼振动 受迫振动
本文选自《汉字王国》。该书以图文并茂的形式讲述中国文字的起源和特点，
选取 200 多个与人的生活有关的字进行细致的讲解，如与人的身体、住房、器
皿、丝和麻、家畜、农具、车船、道路等有关的字，同时分析和描述中国人的
生活方式和风俗习惯，从而使人加深对文字的理解，把学术性与趣味性熔于一
这会让孩子们学习语文、学习国语的积极性、自觉性和趣味性，得到空前推进
和提升，正如歌曲《中国话》所唱到的，“最爱说的话永远是中国话，字正腔圆
落地有声说话最算话；最爱写的字是先生教的方块字，横平竖直堂堂正正做人
要像它”。高考语文分数增加，可以让祖国语言文字自豪感、民族文化自豪感、
民族文化自信力，得到现代化的继承和发扬光大。
【答案】 (1)清楚 (2)清晰
预习导学 课堂讲义 对点练习
第4讲 阻尼振动 受迫振动
第 4 步辨熟语——于细微处细斟酌 请判断下列加点的成语使用是否正确。 (1)这里的森林遭到严重破坏，由于经济贫困，群众生态保护意识淡薄，过 度开发，导致土壤严重流失，沙漠化的土地荒．无．人．烟．。( ) 理由：
预习导学 课堂讲义 对点练习
第 3 步用词语——送你一双慧眼
第4讲 阻尼振动 受迫振动
§14阻尼振动受迫振动
课堂练习
2.如图所示演示装置，一根张紧的水平
绳上挂着四个单摆，让b摆摆动，其余各
摆也摆动起来，可以发现（ CD ）
A. a 摆摆动周期最短
B. c 摆摆动周期最长
C.各摆摆动的周期均与b摆相同
D. d 摆振幅最大
3.两个弹簧振子，甲的固有频率为f，乙的 固有频率为4f，当它们均在频率为2f的驱 动力作用下做受迫振动时，则 （ ）C A、甲的振幅较大，振动频率为f B、乙的振幅较大，振动频率为4f C、甲的振幅较大，振动频率为2f D、乙的振幅较大，振动频率为2f
二、受迫振动
1．驱动力： 周期性 的外力． 2．受迫振动：系统在 驱动力 作用下的振动． 思考： 弹簧振子做自由振动的频率是怎样的？ 弹簧振子在驱动力作用下做受迫振动，稳定后弹簧
振子的振动频率又怎样？
3．振动稳定后受迫振动的频率 总等于 驱动力 的频率，受迫 振动稳定后的频率与物体的固有 频率 无 关系．
§1.4阻尼振动 受迫振动
问题设计
在研究弹簧振子和单摆振动时，我们强调忽略阻力 的影响，它们做的振动都属于简谐运动.在实验室中让一 个弹簧振子振动起来，经过一段时间它将停止振动，你 知道是什么原因造成的吗？ 答案 阻力阻碍了振子的运动，使机械能转化为内能.
阻尼振动实例 同学荡秋千，由于受到空气的阻尼作用，
课堂练习
1. 如图所示，是用来测量各种发动机转速的转 速计原理图。在同一铁支架NM上焊有固有频率 依次为80Hz、60Hz、40Hz、20Hz的四个钢片a、 b、c、d。将M端与正在转动的电动机接触，发 现b钢片振幅最大，则a、b、c、d此时振动频率
约为6__0_H__z____ ， 电动机转速3为6_0_0_____r/min 。
1.4阻尼振动受迫振动
四、振动图象的实际运用
心电图仪
地震仪
AC
二、简谐运动的表达式
由图像知道振动物体离开平衡位置的位移可以 用 X=Asin(ωt+φ)来表示 因为 ω=2π/T f=1/T 所以
物体从不同的位置振动，φ值不同。 ωt+φ叫相位，φ叫初相位。
怎样结合图像写表达式
观察三角函数的正弦值的大小在四个象限中随着 夹角大小变化的关系，和四个象限中正弦值的正 负。
三、简谐运动的相位与相位差的物理意义
用单摆演示当两个摆长与振幅都一样的单摆 在振动步调总一致时，我们就说它们的相位相同， 振动相同；当它们的位移总相反时，我们可以从 振动表达式推知它们的相位一定相差π；两个单 摆的振动步调不相同就是因为它们具有相位差。 所以用来描述简谐运动的物理量有：周期、 频率、相位与相位差。
2 、导入：那么如果用位移图象来表示简谐运动 位移与时间的关系，形状又如何呢？
方案一：在水平弹簧振子的小球上安
置一支记录用的笔，在下面放一条白 纸带，当小球振动时，沿垂直于振动 方向匀速拉动纸带，笔就在带上画出 一条振动图线。
实验演示
点击下图观看实验演示
一、由实验可了解到情况：
1、振动图象（如图）
x/m
x/cm
0
t/s
O
t/s
二. 受迫振动
周期性作用于系统的外力, 叫做驱动力。 物体在周期性外力作用下的振动,叫做受迫振 动。 受迫振动的特点: 受迫振动的频率由驱动力的频率决定，与物体 自由振动时的固有频率无关.
请观察下列运动是受迫振动吗？
三. 共振
1. 定义： 驱动力的频率接近物体的固有频率 时,受迫振动的振幅增大,等于固有频 率时,振幅最大, 这种现象叫做共振.
1.4有阻尼的受迫振动振动力学课件
F (t )
m mx
实部和虚部分别与 F0 cos和t F相0 s对in 应t 。 振动微分方程：
mx cx kx F0eit
x为复数变量，分别与 F0 c和ost 相F0对sin应。t
kx cx
mx cx kx F0eit
显含 t，非齐次微分方程
＝ ＋ 非齐次微分方程 通解
齐次微分方程 通解
而相位滞后激振力的简谐振动；
（2）稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质
（m, k, c）和激振力的频率及力幅，而与系统进入运动的方
式（即初始条件）无关。
例题1： 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。
x x1 Asin t
c
k
m
解：运动微分方程： mx cx k(x1 x) 0
02
sin
（实部和虚部分别相等）
振幅放大因子
A
02
F0
k
2
02 40
F0 k
1
B
(1 s2 )2 (2 s)2
(s)
1
(1 s2 )2 (2 s)2
相位差
tan
20 02 2
2 s
1 s2
(s) arctan 2 s
1 s2
振动微分方程： mx cx kx F0eit
设：x Xeit
c2 x0 / 0
x(t)
x1(t)
x2 (t)
x0
cos 0t
x0
0
sin
0t
Bs 1 s2
sin
0t
B 1 s2
sin
t
mx kx F0 cost 的全解：
因此：
x(t)
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧
物理中的机械振动知识点解析及解题技巧机械振动是物理学中的重要分支，研究物体在平衡位置附近做微小振幅周期性运动的规律。
在本文中，我们将对机械振动的知识点进行解析，并介绍一些解题技巧。
一、简谐振动简谐振动是理想化的机械振动模型，它假设振动系统没有能量损耗，且恢复力与位移成正比。
简谐振动的典型例子包括弹簧振子和摆锤等。
解析公式：1. 位移公式：x(t) = A*cos(ωt+φ)，其中A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 速度公式：v(t) = -A*ω*sin(ωt+φ)。
3. 加速度公式：a(t) = -A*ω²*cos(ωt+φ)。
解题技巧：1. 周期与频率的关系：T = 1/f，其中T为周期，f为频率。
2. 角频率与频率的关系：ω = 2πf。
3. 振动的周期和频率与弹簧的劲度系数和质量有关：T = 2π√(m/k)，其中m为质量，k为劲度系数。
二、阻尼振动阻尼振动是指振动系统中存在有能量消耗的情况下的振动现象。
根据阻尼的不同，可以分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动。
解析公式：1. 无阻尼振动的位移公式：x(t) = A*cos(ωnt + φ)，其中A为振幅，ωn为自然角频率，t为时间，φ为初相位。
2. 欠阻尼振动的位移公式：x(t) = A*e^(-βt)*cos(ωdt + φ)。
3. 过阻尼振动的位移公式：x(t) = A1*e^((-β1)t) + A2*e^((-β2)t)，其中A1、A2为常数，β1、β2为自然频率。
解题技巧：1. 阻尼比：ζ = β/ωn，其中β为阻尼常数，ωn为自然角频率。
2. 衰减因子：η = e^(-βt)。
三、受迫振动受迫振动是指振动系统在受到外力作用下的振动现象。
当外力频率等于振动系统的固有频率时，会出现共振现象。
解析公式：1. 受迫振动的位移公式：x(t) = X*cos(ωt-δ)，其中X为振幅，ω为外力角频率，t为时间，δ为初相位差。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析引言振动是一种广泛存在于自然界和工程中的现象，其解析和分析对于工程设计和振动控制具有重要意义。
受迫振动是指在外力作用下物体产生的振动现象，而阻尼体系受迫振动位移响应分析则是对于这种受迫振动情况下体系的位移响应进行研究和分析。
本文将对有阻尼体系受迫振动位移响应分析进行探讨，分析受迫振动的基本特性，阻尼对振动的影响以及如何进行位移响应的分析。
一、受迫振动的基本特性受迫振动是指振动系统受到外部作用力的影响而产生的振动现象。
在实际工程中，受迫振动常常由于外部激励或者周期性作用力引起，比如机械系统中的激振器、电梯系统中的电动机等。
受迫振动的基本特性包括：振幅、频率和相位。
1. 振幅：受迫振动的振幅是指振动系统在外部作用力作用下最大的位移幅度。
振幅的大小取决于外部激励的大小和频率、振动系统的固有特性以及阻尼参数等。
2. 频率：受迫振动的频率是指振动系统在外部作用力的驱动下产生的振动频率。
频率与外部激励的频率有关，当外部激励的频率与振动系统的固有频率接近时，系统会产生共振现象，振幅将会变得非常大。
3. 相位：受迫振动的相位是指系统在受到外部激励驱动时位移的相位变化。
相位对于振动系统的稳定性和能量传递有重要影响。
在阻尼系统中，相位差可以描述外部激励与振动响应之间的关系。
二、阻尼对振动的影响阻尼是振动系统中的一种能量损耗机制，它可以减小振动系统的振幅，改变振动系统的频率响应特性，抑制共振现象，提高系统的稳定性。
在受迫振动中，阻尼对振动的影响主要体现在以下几个方面：1. 振幅的衰减：阻尼会使系统的振动幅度逐渐减小，最终趋于稳定。
阻尼比越大，振动幅度的衰减越快。
2. 频率响应特性：阻尼会改变振动系统的频率响应特性，使得系统的固有频率发生变化，从而影响系统的共振特性。
3. 稳定性和控制性能：适当的阻尼可以提高振动系统的稳定性，防止共振现象的产生；也可以改善振动系统的控制性能，使得系统的响应更加稳定和可控。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析阻尼体系是由弹簧和阻尼器组成的振动系统，当该系统受到外界力的作用时，会产生位移响应。
分析阻尼体系的位移响应，可以帮助我们了解系统对不同外力的响应情况，从而对系统的工作性能进行评估和优化。
设阻尼体系的质量为m，弹簧的刚度为k，阻尼器的阻尼系数为c。
外界力F(t)作用在系统上，使系统发生位移。
我们可以通过求解系统的运动方程来分析阻尼体系的位移响应。
根据牛顿第二定律，可以得到阻尼体系的运动方程为：m d^2x/dt^2 + c dx/dt + kx = F(t)x表示位移，t表示时间。
方程左边是系统的惯性力和阻尼力，右边是外界力。
这是一个二阶线性常微分方程。
为了求解该方程，首先需要确定外界力。
外界力可以是一个确定的函数，也可以是一个随机变量。
根据外界力的不同取值情况，我们可以采用不同的方法来求解该方程。
1. 纯弹簧振动：当外界力F(t)为零时，即系统没有受到外力作用，只有弹簧的力和质量的惯性力在起作用。
这时，方程变为：该方程的解是一个简谐振动函数。
可以通过假设解为x = A cos (ωt + φ)，其中A 为振幅，ω为角频率，φ为初相位，代入方程中解得：m ω^2 A cos (ωt + φ) + k A cos (ωt + φ) = 0整理后得到：m ω^2 + k = 0这是一个特征方程，其中ω为振动的固有频率。
通过求解该方程，可以得到固有频率ω，进而求得振幅A和初相位φ。
2. 纯阻尼振动：当外界力F(t)为零时，但系统中存在摩擦阻尼时，方程变为：这是一个含有二阶导数和一阶导数的常微分方程。
我们可以假设解为x = e^(λt)，其中λ为待定常数，代入方程求解得到特征方程：通过求解该特征方程，可以得到特征根λ的值。
根据特征根的不同情况，可以分别得到过阻尼、临界阻尼和欠阻尼振动的解析表达式。
通过以上分析，我们可以得到阻尼体系受迫振动的位移响应。
根据实际情况，可以采用不同的数值方法进行数值模拟，从而更精确地求解位移响应。
机械振动中的阻尼振动与受迫振动
机械振动中的阻尼振动与受迫振动在机械系统中，振动是一种普遍存在的现象，它包含着阻尼振动和受迫振动两种类型。
阻尼振动是指系统在一定的阻尼作用下运动的周期性减弱振动，而受迫振动是指系统受到外部力的作用而发生周期性振动。
本文将探讨机械振动中的阻尼振动和受迫振动的特点及其应用。
一、阻尼振动阻尼振动是指振动系统在受到阻力的作用下产生的振动。
阻尼力可以分为粘性阻尼、干摩擦阻尼和液体摩擦阻尼等不同形式。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率也逐渐减小。
阻尼振动的主要原因是能量的损失。
当机械系统受到阻尼力的作用时，振动系统的机械能会逐渐转化为热能而损失。
这导致振动幅度逐渐减小，最终停止振动。
例如，摆钟在受到空气阻力的影响下，其摆动幅度会逐渐减小，最终停止。
阻尼振动的应用广泛。
在机械工程中，阻尼振动常常被用于减震和能量吸收的装置设计。
例如，在车辆的悬挂系统中使用减震器，可以有效地缓解车辆行驶中的颠簸感。
同时，阻尼振动还常用于物体的减振和抗震设计，例如建筑物中的隔震装置。
二、受迫振动受迫振动是指振动系统在外部力的作用下产生的振动。
外力可以是周期性的，也可以是非周期性的。
受迫振动的特点是振幅和频率与外力的频率相关。
外力对振动系统的影响可以分为共振和强迫两种情况。
共振是指外力的频率接近或等于振动系统的固有频率时，振动幅度会显著增大。
强迫是指外力的频率与振动系统的固有频率有一定的差别，但仍然能引起系统振动。
受迫振动在实际生活中有许多应用。
例如，在音乐中，乐器的共振现象使得乐器能够产生特定的音调。
另外，受迫振动还在工程领域中有着广泛的应用，如振动筛、振动输送机等。
它们利用外力作用产生振动，以完成特定的分选和输送任务。
三、阻尼振动与受迫振动的关系阻尼振动与受迫振动是机械振动中两种常见的振动类型，它们在某些情况下可以相互转化。
当受迫振动系统存在阻尼时，会产生阻尼振动。
此时，外力的频率与振动系统的固有频率相同或接近时，阻尼振动的幅度会受到外力的影响，产生共振效应。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析【摘要】有阻尼体系受迫振动是一个重要的研究领域，对于振动系统的稳定性和性能有着关键的影响。
本文首先介绍了有阻尼体系受迫振动的基本特性，包括振动的频率、振幅和相位等方面的特点。
接着分析了阻尼对受迫振动的影响，阻尼大小不同会导致振动系统响应的差异。
然后讨论了受迫振动的位移响应分析方法，包括理论推导和数值模拟两种方法。
我们还探讨了不同参数对振动响应的影响，包括阻尼比、激励频率和振动系统的质量等。
最后总结了阻尼对受迫振动的重要性，强调了未来研究需要进一步深入探讨阻尼对振动系统的影响，并提出了未来研究的展望。
这篇文章对于理解有阻尼体系受迫振动的主要特性和分析方法具有重要的参考价值。
【关键词】有阻尼体系、受迫振动、位移响应、影响、分析、数值模拟、参数、振动响应、重要性、未来研究、阻尼。
1. 引言1.1 研究背景阻尼是动力学系统中的一种重要参数，它对体系的振动特性有着重要的影响。
在实际工程中，许多系统都会受到外部激励而产生振动，这种受迫振动在自然界和工程领域都有广泛的应用。
受迫振动的研究往往需要考虑体系的阻尼特性，因为阻尼会影响振动系统的稳定性和能量衰减。
在过去的研究中，人们已经对受迫振动体系的响应进行了广泛的研究，但对于有阻尼体系受迫振动的位移响应分析仍有一定的局限性。
研究有阻尼体系受迫振动的位移响应具有重要意义，可以帮助我们更好地理解振动系统的动力学行为，并为工程实践提供理论支持。
在本文中，我们将探讨有阻尼体系受迫振动的基本特性、阻尼对受迫振动的影响、受迫振动的位移响应分析方法、受迫振动的数值模拟以及参数对振动响应的影响。
通过对这些内容的研究，我们可以更全面地认识阻尼在受迫振动中的作用，为相关领域的研究和应用提供理论依据。
1.2 研究意义有阻尼体系受迫振动位移响应分析的研究意义主要体现在以下几个方面：1.对于工程应用的重要性：在工程领域中，很多结构或系统都可能受到外部激励的影响而发生振动，而阻尼对于抑制振动、减小能量损耗具有至关重要的作用。
阻尼受迫振动实验报告
一、实验目的1. 了解阻尼受迫振动的基本原理和实验方法。
2. 观察阻尼对受迫振动的影响，分析阻尼系数对振幅和振动频率的影响。
3. 通过实验验证共振现象，并研究共振频率与系统固有频率的关系。
二、实验原理阻尼受迫振动是指在外力作用下，阻尼对振动系统的影响。
在阻尼受迫振动中，系统的运动方程可以表示为：\[ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = F_0\cos(\omega t) \]其中，\( m \) 为质量，\( c \) 为阻尼系数，\( k \) 为弹簧刚度系数，\( F_0 \) 为驱动力幅值，\( \omega \) 为驱动力角频率，\( x \) 为位移。
当驱动力频率 \( \omega \) 与系统固有频率 \( \omega_0 \) 相等时，系统产生共振，振幅达到最大值。
此时，阻尼系数 \( c \) 对振幅的影响显著。
三、实验仪器1. 阻尼振动实验装置：包括质量块、弹簧、阻尼器、驱动器、数据采集系统等。
2. 频率计：用于测量驱动器的频率。
3. 电脑：用于数据采集、处理和分析。
四、实验步骤1. 将质量块、弹簧和阻尼器组装成阻尼振动系统。
2. 使用驱动器对系统施加周期性外力，频率逐渐增加。
3. 使用数据采集系统记录振幅和频率随时间的变化。
4. 改变阻尼系数，重复实验步骤，观察振幅和频率的变化。
5. 分析实验数据，绘制振幅-频率曲线，研究共振现象。
五、实验结果与分析1. 随着驱动器频率的增加，振幅先增大后减小，出现共振现象。
2. 阻尼系数越大，振幅减小越快，共振现象越不明显。
3. 当驱动器频率等于系统固有频率时，振幅达到最大值，即共振现象。
4. 实验结果与理论分析基本一致。
六、结论1. 阻尼受迫振动是物理学中常见的振动形式，阻尼系数对振幅和振动频率有显著影响。
2. 共振现象是阻尼受迫振动的一个重要特性，共振频率与系统固有频率有关。
3. 通过实验，我们可以观察和分析阻尼受迫振动现象，加深对振动理论的理解。
阻尼振动和受迫振动的动力学
阻尼振动和受迫振动的动力学振动是物体在围绕平衡位置上下运动的一种现象。
当物体受到外力的作用时，它可能出现阻尼振动或受迫振动。
本文将分别讨论这两种振动的动力学特征。
1. 阻尼振动阻尼振动指的是物体在受到阻尼力的影响下进行振动。
阻尼力是由于摩擦或阻力而产生的一种力。
一般而言，阻尼力与物体的运动速度成正比。
在阻尼振动中，振幅会逐渐减小，直到最终趋于零。
这是因为阻尼力的作用导致了振动能量的损失。
阻尼振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/dt + k * x = 0其中，m为物体的质量，x为物体的位移，t为时间，c为阻尼系数，k为弹簧的劲度系数。
这是一个二阶常微分方程，可以通过求解得出振动的解析解。
2. 受迫振动受迫振动是指物体在受到外力周期性作用下进行振动。
外力的周期性作用可能是恒定的或变化的。
受迫振动的一个典型例子是在谐振子中。
谐振子是一个具有弹簧和质量的系统，当受到周期性驱动力时，谐振子会在特定的驱动频率下展现出共振现象。
共振是指外力频率与谐振子固有频率相同或接近时的现象。
受迫振动的动力学方程可以表示为：m * d^2x/dt^2 + c * dx/d t + k * x = F0 * sin(ω * t)其中，F0为驱动力的振幅，ω为驱动力的角频率。
通过求解这个方程，可以得到受迫振动的解，包括相位和幅频特征。
3. 动力学特征比较阻尼振动和受迫振动在动力学特征上有一些区别。
首先，阻尼振动的振幅会随时间逐渐减小，直到最终停止。
而受迫振动在存在共振现象时，振幅可能会增大甚至无限增大。
其次，阻尼振动的频率与振幅无关，而受迫振动的频率会对振幅产生明显的影响。
当驱动力的频率接近谐振子的固有频率时，振幅会显著增加。
最后，阻尼振动和受迫振动在相位上也略有不同。
在阻尼振动中，振动的相位随着时间的推移而发生改变。
而在受迫振动中，振动的相位与驱动力的相位存在一定的差距。
综上所述，阻尼振动和受迫振动都是振动的一种形式，但它们在动力学特征上有一些差别。
阻尼振动与受迫振动
阻尼振动与受迫振动振动是自然界中普遍存在的一种现象，它在物理学、工程学等领域中具有重要的应用价值。
而阻尼振动和受迫振动是振动学中两个重要的概念。
阻尼振动是指在振动系统中存在摩擦或阻力的情况下所产生的振动。
当一个物体受到外力作用而开始振动时，若存在阻尼，振动的幅度将逐渐减小，最终停止。
这种振动方式在日常生活中很常见，例如钟摆摆动时逐渐停下来的过程。
阻尼振动的特点是振幅逐渐减小，振动频率不变。
这是因为阻尼力与振动速度成正比，而速度越大，阻尼力就越大。
因此，振动系统在受到外力作用后，振幅将逐渐减小，直到最终停止振动。
与阻尼振动相对应的是受迫振动，它是指在外力作用下振动系统发生的振动。
受迫振动的特点是振幅随时间的变化而发生周期性的变化，振幅的变化与外力的频率和振幅有关。
受迫振动的一个重要应用是共振现象。
当外力的频率与振动系统的固有频率相等时，共振现象会发生。
在共振状态下，振幅将达到最大值，这是因为外力与系统的振动频率相同，能够为系统提供持续的能量输入，从而使振幅增大。
阻尼振动和受迫振动经常在实际工程中应用。
例如，在汽车悬挂系统中，为了提高乘坐舒适性，往往会采用阻尼装置来减小车身的振动。
而在建筑工程中，为了避免共振现象对建筑物产生破坏性影响，工程师们会根据建筑物的固有频率来设计结构。
除了工程领域，阻尼振动和受迫振动也在物理学和生物学中有广泛的应用。
例如，在电子学中，阻尼振动可以用于减小电路的振荡幅度；在生物学中，研究细胞的振动特性有助于了解细胞的结构和功能。
总之，阻尼振动和受迫振动是振动学中的两个重要概念。
阻尼振动是指在存在阻力或摩擦力的情况下发生的振动，振幅逐渐减小；而受迫振动是指在外力作用下发生的振动，振幅随时间的变化而发生周期性变化。
这两种振动方式在实际应用中具有重要意义，对于理解和应用振动学理论有着重要的作用。
1.4阻尼振动解析
【解题探究】
(1)共振曲线中,振幅最大的位置对应的频率的意义是什么?
提示:此频率应等于单摆的固有频率。
(2)怎样利用单摆的周期公式求摆长?
提示:由T=2π
2 L 得L= gT 。 4 2 g
【正确解答】(1)由图可知,单摆的固有频率为0.3Hz, T= 10 s=2π
3
L ,解得摆长L= 25 m。 g 9 g
动偏心轮,它每转一周,给筛子一个驱动力,这样就做成了一个共振筛,
筛子做自由振动时,完成10次全振动用时15s。在某电压下,电动偏心
轮转速是36r/min。已知增大电压可使偏心轮转速提高;增加筛子的质
量,可以增大筛子的固有周期。那么要使筛子的振幅增大,下列哪些做
法是正确的 ( ) B.降低输入电压 D.减小筛子质量
4 阻尼振动 受迫振动
一、固有振动、阻尼振动
不受外力 也不受任何阻力,只在自身_______ 回复力 作用 1.自由振动:系统_________, 无阻尼振动 。 下的振动,又叫作___________ 自由 振动的频率。 2.固有频率:_____ 摩擦力 或其他阻力。 3.阻尼:即阻力作用,通常包括_______
因此阻尼振动尽管是减幅振动,但其固有周期不变,当阻尼过大时由于 合外力可能为零,将不能提供回复力,则振动系统将不能发生振动,此 时振动系统的周期可看作无穷大,因此C选项不正确,D选项正确。
2.(2015·成都高二检测)A、B两个单摆,A摆的固有频率为f,B摆的固
有频率为4f,若让它们在频率为5f的驱动力作用下做受迫振动,那么A、
B两个单摆比较
(
)
A.A摆的振幅较大,振动频率为f
B.A摆的振幅较大,振动频率为5f
C.B摆的振幅较大,振动频率为5f D.B摆的振幅较大,振动频率为4f
阻尼振动 受迫振动汇总
向睿
一、阻尼振动
如图1-4-1所示，在鼓皮上放几 颗米粒，猛敲一下鼓，观察米粒在 鼓皮上的运动.
猛敲一下鼓皮，开始时鼓声很大，随后迅速变弱.在鼓 皮上放一些米粒，开始时它跳动的幅度很大，随着鼓声变弱 ，米粒跳动的幅度变小.由此可知，鼓皮振动的振幅变小了. 这是振动的鼓皮受到阻力的缘故.弹簧振子和单摆在振动过 程中振幅总会不断减小，这是因为它们不可避免地要受到摩 擦力等阻力的作用.
系统在振动过程中受到阻力的作用，振动逐渐消逝 ，振动能量逐渐转变为其他能量，这种振动叫做阻尼振 动.
系统不受外力作用，也不受任何阻力，只在自身回 复力作用下的振动，称为自由振动，又叫做无阻尼振动.
自由振动的频率，叫做系统的固有频率.固有频率由 系统本身的特征决定.
图1-4-2 图1-4-2(a)(b)分别是自由振动和阻尼振动的振动图像.
T驱＝T固或f驱 ＝f固
振动物体获 得的能量最
大 共振筛、声
四、共振的应用和防止
美国有一农场农妇，习惯于用吹笛的方式招 呼丈夫回家吃饭，可当她有一次吹笛时，居然发 现树上的毛毛虫纷纷坠地而死，惊讶之余，她到 自己的果园吹了几个小时，一下子将果树上的毛 毛虫收拾的一干二净，究其原因，还是笛子发出 的声音引起毛毛虫内脏发生剧烈共振而死亡。
洗衣机把衣服脱水完毕切断电源后，电动机 由于惯性还要转一会儿才能停下来，在这个过程 中，洗衣机的振动剧烈程度有变化，其中有一阵 子最剧烈。
唐朝时候洛阳某寺一僧人房中挂着的一件乐器， 经常莫名其妙地自动鸣响，僧人因此惊恐成疾，四处 求治无效。他有一个朋友是朝中管音乐的，闻讯特去 看望他。这时正好听见寺里敲钟声，那件乐器又随之 作响。于是朋友说：你的病我可以治好，因为我找到 你的病根了。只见朋友找到一把铁锉，在乐器上锉磨 几下，乐器便再也不会自动作响了。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析阻尼体系受迫振动位移响应是指将一定大小和形式的外力作用于带有阻尼的体系中，来研究阻尼体系相应的位移变化。
在阻尼体系中，由于存在阻力作用，使振动体系的内能逐渐耗散，因此振幅会随时间的推移而减小，同时相角会发生改变，表现出阻尼现象。
受迫振动的基本方程为：$$m\ddot{x}+c\dot{x}+kx=F_c \sin \omega t$$其中，$m$表示振动体系的质量，$c$表示阻尼系数，$k$表示弹簧的劲度系数，$F_c$表示外力的大小，$\omega$表示外力的频率，$x$表示振动体系的位移。
从上式中可以看出，阻尼和弹簧对外力的作用方式是不同的，弹簧是以$x$的形式作用于振动体系，而阻尼则是以$\dot{x}$的形式作用于振动体系，这两种作用方式将使体系的振动方程解决起来变得更加困难。
在研究阻尼体系受迫振动位移响应时，通常会采用另一种形式的方程来描述系统的行为，即响应函数法。
响应函数法实质上是通过建立外力与体系响应的关系，来寻求解决受迫振动问题的方法。
响应函数法中的响应函数表示系统对于单位外力的谐振响应，因此通常用$X_0$来表示，其满足线性微分方程：在阻尼体系中，由于存在能量的散失现象，因此振幅会逐渐减小，为了描述振幅随时间的变化情况，可以引入阻尼比$\xi$，其定义为：$$\xi=\frac{c}{2\sqrt{mk}}$$阻尼比是描述体系耗散能力的一个比较重要的参数，它是阻尼系数$c$与振动体系固有频率$\sqrt{k/m}$的比值。
当外力的频率与系统固有频率相等时，响应函数的幅值达到最大，此时振动称为共振。
共振时的振幅与阻尼比密切相关，当阻尼比为0时，系统会发生无阻尼共振，振幅会无限增大；当阻尼比为1时，系统发生临界阻尼，振幅达到最大。
当阻尼比大于1时，系统进入过阻尼状态，振幅逐渐减小，最终趋于稳定。
通过分析响应函数，可以得到系统在任意频率下的响应情况，进而研究阻尼体系受迫振动的稳定性和动态特性。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析1. 引言振动是在物体受外力作用下产生的周期性的运动。
在实际的工程问题中，往往会遇到受迫振动的问题，即外界施加着周期性的力或位移而引起的振动现象。
而当受迫振动的物体存在阻尼时，振动的特性将会发生一些变化。
对于有阻尼体系受迫振动的位移响应进行分析和研究具有重要的意义。
2. 有阻尼体系受迫振动的基本方程对于有阻尼体系受迫振动的分析，首先需要建立受迫振动的基本方程。
考虑一个有阻尼的单自由度振动系统，系统的受迫振动可以表示为以下方程：m*x'' + c*x' + k*x = F0*cos(ω*t)m为系统的质量，c为阻尼系数，k为刚度，F0为外界施加的迫振动力的振幅，ω为外界力的角速度，x为系统的位移，x'为位移的一阶导数，x''为位移的二阶导数。
这个方程描述了阻尼体系受迫振动的基本特征，通过对这个方程进行分析可以得到系统的位移响应。
针对上述的受迫振动方程，我们可以通过解析方法得到系统的位移响应。
最常用的方法是采用叠加原则和复数法，通过解析得到系统的稳态和瞬态解。
对于稳态解，我们可以通过欧拉公式将其表示为：x(t) = A*cos(ω*t - φ)A和φ分别为振幅和相位，可以通过系统的初始条件和受迫振动的特性进行计算。
而对于瞬态解，我们可以通过拉普拉斯变换的方法得到系统的响应函数，从而得到系统的瞬态解。
有阻尼体系受迫振动的频率响应特性是描述系统响应的重要指标之一。
频率响应特性可以通过系统的传递函数来描述，传递函数可以通过对系统的受迫振动方程进行拉普拉斯变换得到。
通过对传递函数的分析，我们可以得到系统在不同频率下的频率响应特性。
具体来说，我们可以得到系统的共振频率、阻尼比对系统响应的影响，从而对系统进行频率特性的分析。
除了通过解析方法进行分析外，我们还可以通过数值模拟的方法来研究有阻尼体系受迫振动的位移响应。
数值模拟方法可以通过有限元分析、时域积分等方法来进行，通过对系统的微分方程进行离散化，我们可以得到系统在不同时间下的位移响应。
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
有阻尼体系受迫振动位移响应分析
阻尼体系受迫振动是指在有阻尼的情况下，外加一定的外力或激励下，体系发生的振动。
在此种情况下，结构体系受到的阻尼通常是线性的，可用一个简单的阻尼系数描述。
受迫振动的位移响应分析是将外力或激励作用下的位移情况进行分析，以确定结构体系在不同频率下的响应情况，从而优化结构的设计。
在受迫振动分析中，需要确定结构体系的振动模态以及受迫振动频率。
振动模态是指结构体系在自由振动过程中的振动状态，其包含了结构体系的振型和振动频率。
受迫振动频率则与外加激励的频率有关，因此需要考虑激励的特征频率。
一般情况下，受迫振动的位移响应可以用复数形式表示。
通过确定振动模态和频率，可以求得位移响应的幅值和相位差，从而进一步分析结构体系在受迫振动下的响应特征。
如果结构体系受到的激励频率与其中一种自由振动频率相同，那么该自由振动的振幅增长，而其他自由振动的振幅则不变或减小。
这种现象称为共振，并对于结构体系的稳定性和运行寿命产生重要影响。
因此，在结构体系设计和运行中，需要尽可能避免共振现象的发生。
在实际应用中，受迫振动位移响应分析常常用于优化结构体系的设计，以增强结构的稳定性、减少振动幅值，降低噪声和振动疲劳等问题。
例如，在桥梁设计中，需要考虑车辆行驶时对桥梁的振动影响，以保证桥梁的结构安全和稳定。
在飞机设计中，需要考虑发动机振动对飞机结构的影响，以保证安全和性能稳定。
因此，受迫振动位移响应分析在工程实践中具有重要的应用价值。
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F0 it c k x x x e m m m
其中， 0
k m
系统的无阻尼固有频率；
系统的阻尼比；
c 2 km
i (t ) x ( t ) Ae 设非齐次方程的特解，即稳态响应：
2 A 2 e i (t ) i 2 0 Ae i (t ) 0 Aei (t )
2. s＝1处，即 不同
区间单调上升的曲线；
1 0 2 时，共振，
的曲线共交于一点。
3. 小阻尼 0
s 1
0
时，激励力与位移同相； 时，激励力与位移反相；
s 1
,
l 例题：已知等效质量m且可简化于杆长 处，阻尼为c，弹簧刚度为k， 3 F (t ) F0 sin t ，水平位置平衡，试求： 1. 动力学微分方程；
第四节 有阻尼的受迫振动
一．
定义：
受迫振动：有阻尼的系统在外界控制的持续激 励作用下所产生的振动。 激励：外界力、基座运动所产生的惯性力。 响应：激励所引起的系统的振动状态。
非自治系统：显含时间变量的系统。
二．
有阻尼受迫振动
受激励力存在使得动力学方程成为非齐次方程：
cx kx F0 eit m x
9 F0 4c 9k sin t m m ml
(2)
0
9k k =3 m m
2c m
3F0 B k
2c 0 3 mk
9F 4c 9k 0 sin t m m ml
当 n时 振幅（最大摆角)
Amax B 3F0 3 mk 9F0 2 2kl 2c 4cl
2.
s＝1（接近共振），且
1 时系统的振幅和相位角
解:
(1)
2
动力学微分方程
l 2l 2l m c k l l F (t )l 3 3 3
ml 2 4 2 cl kl 2 F0l sin t 9 9
动力学微分方程：
2
F0 2 A( ) i 2 A 0 0 (cos i sin ) k
2 0
A
F0 2 2 2 A ( ) 0 cos 0 k 2 A F0 2 sin 0 0 k F0 2 0 F0 k 2 2 2 4 2 2 2 k
其中，激励力的频率和幅值分别为
、 F0
F (t ) F0 eit
x 为复变量，其实部和虚部分别为余弦和正弦激励响应。
根据常微分方程，非齐次线性常微分方程的全解有两部分：
齐次方程的通解 ——指数衰减或衰减振动为非往复运动—暂态响应 非齐次方程的特解——持续等幅振动（稳态受迫振动）—稳态响应。
2 2 it 20 x 0 x x B0 e
B
是频率比s及阻尼比 的函数，与初始
幅频特性：给出不同的阻尼比
及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1.不论s<<1，即
0
还是s>>1，即 0 一般 阻尼对振幅影响甚小，可按无阻尼受迫振动处理； 。 前者 1 后者 1 ，响应近似于静态，
2.
m k
2
( s ) arctan
2 s arctan 1 s2
2
2c 3 mk
9k m
2
质点的振幅
9F0 l B Amax 3 4c
m k
s
n
1 9k m
作业：p51
2.1 2.2
F0 2 it 0 e k
(t ) iAe i (t ) x
(t ) A 2 e i (t ) x
即
F0 A i 2 0 A A 0 e i k
2 2 0
欧拉公式：
e i (t ) cos(t ) i sin(t )
s 0
(s)
A B
A B
系统的稳态响应的实振幅；
系统的振幅放大因子，它是关于频率比的函数（幅频特性）；
( s) 系统的响应与激励的相位角，它是关于频率比的函数（相频特性）。
结论： 1. 稳态响应与激励是相同频率的简谐运动，并且相位滞后于激励； 2. 稳态响应的振幅 A 条件无关。
0
（实部和虚部分别相等）
1 (1 s ) (2 s)
2 2 2
B
1 (1 s 2 ) 2 (2s) 2
0
20 2s tan 2 2 0 1 s2
( s)
( s ) arctan
2s 1 s2
B
F0 k
系统与幅值相等的常值力施加于物体上所引起的弹簧静变形 （系统在静力F0作用下的静偏位）； 系统的频率比；
s 1 0
也急剧增大，振幅显著增大，且阻尼对振幅抑制作用十分明显，
即阻尼增大，振幅显著下降。将振幅取极大值时的激励频率 m 为共振频率，
d 0 Байду номын сангаасs
有最大值
m 0 1 2 2
1 2 1
2
max
有最大的幅值
Amax
B 2 1 2
当 1 时，
max
1 Q 2
Q为系统的品质因数。
品质因数越大，共振峰越高， 测量的信号强，灵敏度高。它反 映了系统的窄带滤波性能，品质 因数值越大，选择性越好。
此时振幅
Amax
B 2
相频特性：给出不同的阻尼比 及变化的频率比s的幅频曲线，如图
有重要的结论：
1. 随着s在 0 ~