丘成桐大学生数学竞赛数学专业大纲(英汉对照版)
丘成桐数学奖竞赛课程
丘成桐数学奖竞赛课程丘成桐数学奖是以纪念丘成桐先生的贡献为名的国际性数学竞赛奖项，旨在鼓励青年数学家的创新精神和学术研究。
为了提升学生在数学竞赛中的水平和竞争力，许多机构开设了丘成桐数学奖竞赛课程，旨在系统地培养学生的数学思维和解题能力。
本文将介绍丘成桐数学奖竞赛课程的特点、内容和学习效果。
一、特点丘成桐数学奖竞赛课程与传统数学课程不同，它更注重培养学生的数学思维和解题能力，而非仅仅追求知识的掌握和运用。
这种课程强调启发性教学，通过引导学生探索数学规律和解题方法，培养他们的创新精神和问题解决能力。
此外，丘成桐数学奖竞赛课程还注重培养学生的团队合作意识，在团队中学习、交流和协作，共同解决数学难题。
二、内容丘成桐数学奖竞赛课程内容丰富多样，涵盖了数学的各个领域，如代数、几何、概率论等。
课程通常会根据学生的年级和数学水平而设定不同的难度和深度。
课程以讲授理论知识为基础，同时重视问题解决和应用能力的培养。
通过丰富的练习和实践，学生能够更好地理解和掌握数学的基本概念和方法，并运用它们解决实际问题。
三、学习效果参加丘成桐数学奖竞赛课程的学生通常会取得显著的学习效果。
首先，课程能够帮助学生建立扎实的数学基础和深厚的数学功底。
其次，通过系统的训练和练习，学生的解题能力和思维灵活性都会有很大提升。
此外，丘成桐数学奖竞赛课程还能够培养学生的自信心和学术热情，激发他们对数学的兴趣和研究的热情。
结语通过参加丘成桐数学奖竞赛课程，学生不仅可以提升数学竞赛的成绩，还能够培养创新思维和解题能力，为未来的学习和职业发展打下坚实的基础。
在这个竞争激烈的时代，具备扎实的数学素养是非常重要的。
因此，我鼓励广大学生积极参加丘成桐数学奖竞赛课程，不断提高自己的数学水平，在未来的人生道路上取得更大的成就。
丘赛计算与应用数学考试大纲
丘赛计算与应⽤数学考试⼤纲原⽂地址：Computational MathematicsInterpolation and approximationPolynomial interpolation and least square approximation; trigonometric interpolation and approximation, fast Fourier transform; approximations by rational functions; splines.Nonlinear equation solversConvergence of iterative methods (bisection, secant method, Newton method, other iterative methods) for both scalar equations and systems; finding rootsof polynomials.Linear systems and eigenvalue problemsDirect solvers (Gauss elimination, LU decomposition, pivoting, operation count, banded matrices, round-off error accumulation); iterative solvers (Jacobi, Gauss-Seidel, successive over-relaxation, conjugate gradient method, multi-grid method, Krylov methods); numerical solutions for eigenvalues and eigenvectorsNumerical solutions of ordinary differential equationsOne step methods (Taylor series method and Runge-Kutta method); stability, accuracy and convergence; absolute stability, long time behavior; multi-stepmethodsNumerical solutions of partial differential equationsFinite difference method; stability, accuracy and convergence, Lax equivalence theorem; finite element method, boundary value problemsReferences:[1] C. de Boor and S.D. Conte, Elementary Numerical Analysis, an algorithmicapproach, McGraw-Hill, 2000.[2] G.H. Golub and C.F. van Loan, Matrix Computations, third edition, JohnsHopkins University Press, 1996.[3] E. Hairer, P. Syvert and G. Wanner, Solving Ordinary Differential Equations, Springer, 1993.[4] B. Gustafsson, H.-O. Kreiss and J. Oliger, Time Dependent Problems and Difference Methods, John Wiley Sons, 1995.[5] G. Strang and G. Fix, An Analysis of the Finite Element Method, second edition, Wellesley-Cambridge Press, 2008.Applied MathematicsODE with constant coefficients; Nonlinear ODE: critical points, phase space& stability analysis; Hamiltonian, gradient, conservative ODE's.Calculus of Variations: Euler-Lagrange Equations; Boundary Conditions, parametric formulation; optimal control and Hamiltonian, Pontryagin maximum principle.First order partial differential equations (PDE) and method of characteristics; Heat, wave, and Laplace's equation; Separation of variables and eigen-function expansions; Stationary phase method; Homogenization method for elliptic and linear hyperbolic PDEs; Homogenization and front propagation of Hamil ton-Jacobi equations; Geometric optics for dispersive wave equations. References:W.D. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations, Wiley, 2009 F.Y.M. Wan, Introduction to Calculus of Variations and Its Applications, Cha pman & Hall, 1995G. Whitham, "Linear and Nonlinear Waves", John-Wiley and Sons, 1974.J. Keener, "Principles of Applied Mathematics", Addison-Wesley, 1988.A. Benssousan, P-L Lions, G. Papanicolaou, "Asymptotic Analysis for Periodic Structures", North-Holland Publishing Co, 1978.V. Jikov, S. Kozlov, O. Oleinik, "Homogenization of differential operators and integral functions", Springer, 1994.J. Xin, "An Introduction to Fronts in Random Media", Surveys and Tutorials in Applied Math Sciences, No. 5, Springer, 2009。
大学生数学竞赛竞赛大纲
(年首届全国大学生数学竞赛)为了进一步推动高等学校数学课程地改革和建设，提高大学数学课程地教学水平，激励大学生学习数学地兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”地目标，特制订本大纲. 个人收集整理勿做商业用途一、竞赛地性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”地目地是：激励大学生学习数学地兴趣，进一步推动高等学校数学课程地改革和建设，提高大学数学课程地教学水平，发现和选拔数学创新人才. “中国大学生数学竞赛”地参赛对象为大学本科二年级及二年级以上地在校大学生. 个人收集整理勿做商业用途二、竞赛地内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题. （一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课地教学内容，即，数学分析占，高等代数占，解析几何占，具体内容如下：个人收集整理勿做商业用途Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数. 实数集、有理数与无理数地稠密性，实数集地界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 个人收集整理勿做商业用途. 上地距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上地闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上地推广. 个人收集整理勿做商业用途. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关地性质. 个人收集整理勿做商业用途二、极限与连续. 数列极限、收敛数列地基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.. 数列收敛地条件（准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛地关系），极限及其应用. 个人收集整理勿做商业用途.一元函数极限地定义、函数极限地基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限地各种方法，无穷小量与无穷大量、阶地比较，记号与地意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数地二重极限与累次极限地关系. 个人收集整理勿做商业用途. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数地局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数地性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）. 个人收集整理勿做商业用途三、一元函数微分学.导数及其几何意义、可导与连续地关系、导数地各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导地关系、一阶微分形式不变性. 个人收集整理勿做商业用途.微分学基本定理：定理，定理，定理，定理，公式(余项与余项). 个人收集整理勿做商业用途.一元微分学地应用：函数单调性地判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线地凹凸性、拐点、渐近线、函数图象地讨论、洛必达（'）法则、近似计算. 个人收集整理勿做商业用途四、多元函数微分学. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间地关系，复合函数地偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与公式. 个人收集整理勿做商业用途.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换..几何应用（平面曲线地切线与法线、空间曲线地切线与法平面、曲面地切平面与法线）..极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与乘数法.五、一元函数积分学. 原函数与不定积分、不定积分地基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型. 个人收集整理勿做商业用途. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.. 定积分地性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、公式及定积分计算、定积分第二中值定理. 个人收集整理勿做商业用途.无限区间上地广义积分、收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时地收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、判别法、判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 个人收集整理勿做商业用途. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数地体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用. 个人收集整理勿做商业用途六、多元函数积分学.二重积分及其几何意义、二重积分地计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）. .三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）..重积分地应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）..含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序地可交换性.含参量广义积分地一致收敛性及其判别法，含参量广义积分地连续性、可微性、可积性，运算顺序地可交换性. 个人收集整理勿做商业用途.第一型曲线积分、曲面积分地概念、基本性质、计算..第二型曲线积分概念、性质、计算；公式，平面曲线积分与路径无关地条件..曲面地侧、第二型曲面积分地概念、性质、计算，奥高公式、公式，两类线积分、两类面积分之间地关系. 个人收集整理勿做商业用途七、无穷级数. 数项级数级数及其敛散性，级数地和，准则，收敛地必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛地充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们地极限形式；交错级数地判别法；一般项级数地绝对收敛、条件收敛性、判别法、判别法. 个人收集整理勿做商业用途. 函数项级数函数列与函数项级数地一致收敛性、准则、一致收敛性判别法（判别法、判别法、判别法）、一致收敛函数列、函数项级数地性质及其应用. 个人收集整理勿做商业用途.幂级数幂级数概念、定理、收敛半径与区间，幂级数地一致收敛性，幂级数地逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数地关系、函数地幂级数展开、级数、级数.个人收集整理勿做商业用途级数三角级数、三角函数系地正交性、及周期函数地级数展开、不等式、定理、按段光滑函数地级数地收敛性定理. 个人收集整理勿做商业用途Ⅱ、高等代数部分一、多项式. 数域与一元多项式地概念. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法. 互素、不可约多项式、重因式与重根.. 多项式函数、余数定理、多项式地根及性质.. 代数基本定理、复系数与实系数多项式地因式分解.. 本原多项式、引理、有理系数多项式地因式分解、判别法、有理数域上多项式地有理根. 个人收集整理勿做商业用途. 多元多项式及对称多项式、韦达()定理.二、行列式. 级行列式地定义.. 级行列式地性质.. 行列式地计算.. 行列式按一行（列）展开.. 拉普拉斯()展开定理.. 克拉默()法则.三、线性方程组. 高斯()消元法、线性方程组地初等变换、线性方程组地一般解.. 维向量地运算与向量组.. 向量地线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组地等价.. 向量组地极大无关组、向量组地秩.. 矩阵地行秩、列秩、秩、矩阵地秩与其子式地关系.. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解地结构.. 齐次线性方程组地基础解系、解空间及其维数四、矩阵. 矩阵地概念、矩阵地运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.. 矩阵乘积地行列式、矩阵乘积地秩与其因子地秩地关系.. 矩阵地逆、伴随矩阵、矩阵可逆地条件.. 分块矩阵及其运算与性质.. 初等矩阵、初等变换、矩阵地等价标准形.. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型. 双线性函数、对偶空间. 二次型及其矩阵表示.. 二次型地标准形、化二次型为标准形地配方法、初等变换法、正交变换法.. 复数域和实数域上二次型地规范形地唯一性、惯性定理.. 正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间. 线性空间地定义与简单性质.. 维数，基与坐标.. 基变换与坐标变换.. 线性子空间.. 子空间地交与和、维数公式、子空间地直和.七、线性变换. 线性变换地定义、线性变换地运算、线性变换地矩阵.. 特征值与特征向量、可对角化地线性变换.. 相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿凯莱定理.. 线性变换地值域与核、不变子空间.八、若当标准形.矩阵.. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似地条件.. 若当标准形.九、欧氏空间. 内积和欧氏空间、向量地长度、夹角与正交、度量矩阵.. 标准正交基、正交矩阵、施密特()正交化方法.. 欧氏空间地同构.. 正交变换、子空间地正交补.. 对称变换、实对称矩阵地标准形.. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标. 向量地定义、表示、向量地线性运算、向量地分解、几何运算.. 坐标系地概念、向量与点地坐标及向量地代数运算.. 向量在轴上地射影及其性质、方向余弦、向量地夹角.. 向量地数量积、向量积和混合积地定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程.曲面方程地定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间地互化)及其关系..空间曲线方程地普通形式和参数方程形式及其关系..建立空间曲面和曲线方程地一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线地方程..球面地标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴地柱面方程.三、平面与空间直线.平面方程、直线方程地各种形式，方程中各有关字母地意义..从决定平面和直线地几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程..根据平面和直线地方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间地位置关系.. 根据平面和直线地方程及点地坐标判定有关点、平面、直线之间地位置关系、计算他们之间地距离与交角等；求两异面直线地公垂线方程. 个人收集整理勿做商业用途四、二次曲面.柱面、锥面、旋转曲面地定义，求柱面、锥面、旋转曲面地方程..椭球面、双曲面与抛物面地标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面地标准方程. .单叶双曲面、双曲抛物面地直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面地直母线地方法..根据给定直线族求出它表示地直纹面方程，求动直线和动曲线地轨迹问题.五、二次曲线地一般理论.二次曲线地渐进方向、中心、渐近线..二次曲线地切线、二次曲线地正常点与奇异点..二次曲线地直径、共轭方向与共轭直径..二次曲线地主轴、主方向，特征方程、特征根..化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系地位置草图.。
大学生数学竞赛(非数学专业类)竞赛大纲.doc
中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛大纲一、函数、极限、连续1． 函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2． 函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3． 复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4． 数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5． 无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6． 极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7． 函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8． 连续函数的性质和初等函数的连续性.9． 闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学1. 导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.2. 基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3. 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4. 高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n 阶导数.5. 微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6. 洛必达(L ’Hospital )法则与求未定式极限.7. 函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8. 函数最大值和最小值及其简单应用.9. 弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学1. 原函数和不定积分的概念.2. 不定积分的基本性质、基本积分公式.3. 定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz )公式.4. 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5. 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6. 广义积分.7. 定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程1. 常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2. 变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli )方程、全微分方程.3. 可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：),()n (x f y = ),,(y x f y '='' ),(y y f y '=''.4. 线性微分方程解的性质及解的结构定理.5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离.6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次曲面方程及其图形.7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简单应用.七、多元函数积分学1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函数.4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨(Leibniz)判别法.3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数。
全国大学生数学竞赛大纲(数学专业组)word资料5页
中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：(cos ,sin )R x x dx ⎰型，()R x dx ⎰型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i i x ωε∆<∑）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、()f x 非负时()a f x dx +∞⎰的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet 判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及2l周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1.n级行列式的定义.2.n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形λ矩阵.1.-2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
丘成桐英才班考试范围
丘成桐英才班考试范围全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、数学1. 初等数论：包括整数、有理数等基本概念的考察，以及一些中级数论题目的解答。
2. 数列与数学归纳法：包括等差数列、等比数列等常见数列的求和公式，以及数列与数学归纳法在解题中的应用。
3. 平面几何：包括角度、三角形、四边形、圆等几何图形的性质和相关定理的考察。
4. 进阶数学：包括微积分、线性代数等高阶数学概念和定理的考察。
5. 竞赛数学：包括奥赛数学中的高难度题目和解题技巧的练习。
二、物理1. 力学：包括牛顿三大定律、摩擦力、弹簧力等力学知识和题目。
2. 热学：包括热力学、温度、热平衡等热学基础知识和问题。
3. 电磁学：包括电场、磁场、电流等电磁学基础知识和问题。
4. 光学：包括光的传播、反射、折射等光学知识和问题。
5. 现代物理：包括相对论、量子力学等现代物理领域的知识。
三、信息学1. 基本算法：包括排序算法、查找算法等常见算法的实现和应用。
2. 数据结构：包括链表、树、图等数据结构的基本概念和应用。
3. 计算机原理：包括计算机组成原理、操作系统、编程语言等计算机基础知识。
4. 算法设计：包括贪心算法、动态规划、回溯法等高级算法设计和分析。
5. 程序设计：包括编程能力、程序调试、算法实现等计算机编程技能的练习。
以上是丘成桐英才班考试范围的主要内容，学生们需要在这些领域取得一定的基础才能进入这个特殊的班级学习。
通过参加丘成桐英才班的学习，学生们将能够更好地提高自己的数学、物理和信息学能力，为未来参加奥赛比赛和科研工作打下坚实基础。
希望学生们在这个班级的学习过程中，不断努力，不断挑战自己，取得更好的成绩。
【2000字】第二篇示例：【丘成桐英才班考试范围】丘成桐英才班作为国内著名的数学培训机构，向来以其严格的教学标准和高质量的教育服务而闻名。
对于学生来说，通过丘成桐英才班的培训，不仅可以提高数学水平，更可以为未来的学业和职业发展打下坚实的基础。
丘成桐大学生数学竞赛数学专业大纲(英汉对照版)
大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲
中国大学生数学竞赛数学专业类竞赛大纲中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下：Ⅰ、数学分析部分集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理.2. 上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、上的闭矩形套定理、聚点定理、有限覆盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在上的推广.3.函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.极限与连续1.数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy收敛准则，两个重要极限及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat定理，Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，Taylor 公式(Peano余项与Lagrange余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital）法则、近似计算.多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：型，型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy收敛准则、绝对收敛与条件收敛、非负时的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel判别法、Dirichlet判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法.5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel判别法、Dirichlet判别法.函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.幂级数幂级数概念、Abel定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor级数、Maclaurin级数.Fourier级数三角级数、三角函数系的正交性、2及2周期函数的Fourier级数展开、Beseel 不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分多项式1. 数域与一元多项式的概念2. 多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3. 互素、不可约多项式、重因式与重根.4. 多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6. 本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7. 多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.行列式1. n级行列式的定义.2. n级行列式的性质.3. 行列式的计算.4. 行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6. 克拉默(Cramer)法则.线性方程组1.高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5.矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7.齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5.初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.双线性函数与二次型1. 双线性函数、对偶空间2. 二次型及其矩阵表示.3. 二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4. 复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2. 维数，基与坐标.3. 基变换与坐标变换.4. 线性子空间.5. 子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.线性变换1. 线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2. 特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4. 线性变换的值域与核、不变子空间.若当标准形1.矩阵.2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2. 标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3. 欧氏空间的同构.4. 正交变换、子空间的正交补.5. 对称变换、实对称矩阵的标准形.6. 主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7. 酉空间.Ⅲ、解析几何部分向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
第届丘成桐大学生数学竞赛试题
第届丘成桐大学生数学竞赛试题数学竞赛一直是激发学生思维、培养数学能力的重要途径之一。
第届丘成桐大学生数学竞赛试题旨在考察学生的数学理解能力、问题解决能力以及创造性思维。
本文将通过对试题内容的详细阐述，帮助读者更好地理解这些试题。
第一道题目是关于概率与组合的。
题目给出了一个问题，某公司有10名员工，其中3人会英语，2人会法语，1人会英语和法语。
要求从中随机挑选3名员工，求被选中的员工会英语或法语的概率。
本题考察了概率、组合以及排列等知识点。
解题思路是先确定从中挑选的员工会英语和法语的人数，然后根据概率的定义计算概率。
第二道题目是关于函数与导数的。
题目给出了一个函数f(x)，要求证明f(x)在某个区间内恒大于等于0。
本题考察了函数的性质、导数与函数变化的关系等知识点。
解题思路是先求出函数的导数，然后根据导数与函数增减性的关系进行分析，最后得出结论。
第三道题目是关于数列与级数的。
题目给出了一个数列的递推式和初值，要求计算数列的前n项和。
本题考察了数列与级数的性质、递推关系的运用等知识点。
解题思路是首先写出数列的前几项，然后根据递推式计算后续项，最后求和得到结果。
第四道题目是关于平面几何的。
题目给出了一个平行四边形，要求证明其对角线相等。
本题考察了平面几何中平行四边形的性质以及证明方法的运用。
解题思路是利用平行四边形的定义、性质以及平面几何中的证明方法，通过构造与推导证明对角线相等。
第五道题目是关于立体几何的。
题目给出了一个正方体，要求计算其对角线的长度。
本题考察了立体几何中正方体的性质以及计算几何的方法。
解题思路是利用正方体的定义、性质以及勾股定理，通过计算两个相邻顶点的距离得到对角线的长度。
第六道题目是关于数论的。
题目给出了一个整数方程，要求求解整数解。
本题考察了数论中整数方程求解的方法。
解题思路是根据方程的特点进行分析，通过整数的性质和运算规律，找出满足方程的整数解。
通过对试题的详细阐述，相信读者对第届丘成桐大学生数学竞赛试题有了更好的理解。
丘成桐数学科学中心数学博士学位国际生全英文项目...
丘成桐数学科学中心“数学博士学位国际生(全英文)项目”培养方案一、适用学科学科门类：理学一级学科：数学（Mathematics）学科代码070100同样适用于以下二级学科：基础数学；应用数学；计算数学；概率论与数理统计；二、培养目标具有所在学科领域扎实、宽阔的理论基础和系统深入的专业知识，具有独立从事学术研究工作和开展学术交流的能力，具有创新思想、国际视野和战略眼光，能够从事数学科学领域前沿问题研究，在数学科学及相关领域做出原创性工作。
三、培养类型及学习年限分为普博生和直博生（硕博贯通生）。
普博生学业年限一般为3-4年，直博生（硕博贯通生））学业年限一般为4-6年。
四、培养方式博士生的培养方式以科学研究工作为主，重点培养独立从事学术研究工作的能力。
通过学习并完成一定学分的课程学习，使博士生能够系统扎实掌握数学科学领域的理论和方法，拓宽知识面，提高分析问题和解决问题的能力。
博士生培养主要由导师负责，原则上不设副导师。
如因论文工作有特殊需要，须经丘成桐数学科学中心（以下简称“中心”）审批同意后，导师可以聘任一名学位论文副指导教师（副教授含以上职称的专家）并经中心报研究生院学位办备案。
五、学科培养方案和个人培养计划各学科的博士生方案是博士生培养工作的主要依据。
中心制定的博士生培养方案，经数学学位评定分委员会讨论通过，分委员会主席和中心主管副主任签署意见后，报研究生院审核备案。
博士生个人培养计划，是导师指导博士生、博士生学习和开展研究工作以及对博士生进行毕业及授予学位审查的依据。
个人培养计划包括课程（环节）学习计划和学位论文工作计划，课程（环节）学习计划应在导师指导下于入学后三周内制定，学位论文工作计划在博士生论文选题时完成。
六、培养基本要求（一）课程学习及学分要求课程学习计划须经导师确认签字、中心主管负责人核准后，交中心教学科研办备案；在计划执行过程中，如因特殊情况确需变动，须征得导师及主管负责人同意，在每学期选课期间修改。
清华丘成桐大学生数学竞赛2021年笔试真题computational_and_applied_21s
min
x ∈Rn
Ax − b 2 .
(a) Show that all solutions x can be written as
x = V1Σ−1 1UT1 b + V2z2,
with z2 an arbitrary vector. (b) Show that the solution x has minimal norm x 2 precisely when z2 = 0, and in which case,
=
π 6
,
determine
an
n
that
guarantees
|
xn
−
x∗|
<
1 2
× 10−8.
For
the
fixed
point
iteration
in
(b)
with
x0
=
20,
determine
an
n
that
guarantees
| xn
−
x∗|
<
1 4
.
Problem 4. Let matrix A ∈ Rm×n with m ≥ n and r = rank(A) < n, and assume A has the following SVD
(e) Prove an a priori error estimate for this method in the L2 norm:
∫1
1 2
e L2 =: e =
e2dx .
0
(b) Prove that the sequence defined by the fixed point iteration
2016丘成桐大学生数学竞赛
will be ill-conditioned. So there may be large error in the numerical solution to the
linear system, denoted by y˜k+1. Even though we may get large error in y˜k+1, the x˜k+1
(c) ∇f (x) − ∇f (y), x − y ≥ m x − y 2 for any x, y ∈ Rn.
p0(t) satisfies the following Michaelis-Menten equations
s˙0(t)
=
−(µ
−
λ) µ
s0 + s0
,
p˙0(t)
=
(µ
−
λ) µ
s0 + s0
.
1
2
Problem 3. We say that a vector u = (u1, . . . , un) ∈ Nn is multiplicatively dependent if there is a non-zero vector k = (k1, . . . , kn) ∈ Zn for which
xk+1 − (±)qi = O(|λi − µ| + ).
Problem 5. A function f : Rn → R in C2 is called strongly convex if its Hessian matrix satisfies ∇2f mI for some m > 0. Show that the following statements are
丘成桐大学生数学竞赛试卷
S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Analysis and Differential EquationsTeam(Please select 5problems to solve)1.a)Let f (z )be holomorphic in D :|z |<1and |f (z )|≤1(z ∈D ).Prove that|f (0)|−|z |1+|f (0)||z |≤|f (z )|≤|f (0)|+|z |1−|f (0)||z |.(z ∈D )b)For any finite complex value a ,prove that 12π 2π0log |a −e iθ|dθ=max {log |a |,0}.2.Let f ∈C 1(R ),f (x +1)=f (x ),for all x ,then we have ||f ||∞≤ 10|f (t )|dt + 10|f (t )|dt.3.Consider the equation¨x +(1+f (t ))x =0.We assume that ∞|f (t )|dt <∞.Study the Lyapunov stability of the solution (x,˙x )=(0,0).4.Suppose f :[a,b ]→R be a L 1-integrable function.Extend f to be 0outside the interval [a,b ].Letφ(x )=12h x +h x −hf Show thatb a |φ|≤ b a |f |.5.Suppose f ∈L 1[0,2π],ˆf (n )=12π 2π0f (x )e −inx dx ,prove that 1)∞ |n |=0|ˆf(n )|2<∞implies f ∈L 2[0,2π],2)n |n ˆf (n )|<∞implies that f =f 0,a.e.,f 0∈C 1[0,2π],where C 1[0,2π]is the space of functions f over [0,1]such that both f and its derivative f are continuous functions.126.SupposeΩ⊂R3to be a simply connected domain andΩ1⊂Ωwith boundaryΓ.Let u be a harmonic function inΩand M0=(x0,y0,z0)∈Ω1.Calculate the integral:II=−Γu∂∂n(1r)−1r∂u∂ndS,where 1r=1(x−x0)2+(y−x0)2+(z−x0)2and∂∂ndenotes theout normal derivative with respect to boundaryΓof the domainΩ1.(Hint:use the formula∂v∂n dS=∂v∂xdy∧dz+∂v∂ydz∧dx+∂v∂zdx∧dy.)S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Applied Math.,Computational Math.,Probability and StatisticsTeam(Please select 5problems to solve)1.Let X 1,···,X n be independent and identically distributed random variables with continuous distribution functions F (x 1),···,F (x n ),re-spectively.Let Y 1<···<Y n be the order statistics of X 1,···,X n .Prove that Z j =F (Y j )has the beta (j,n −j +1)distribution (j =1,···,n ).2.Let X 1,···,X n be i.i.d.random variable with a continuous density f at point 0.LetY n,i =34b n (1−X 2i /b 2n )I (|X i |≤b n ).Show that n i =1(Y n,i −EY n,i )(b n n i =1Y n,i )1/2L −→N (0,3/5),provided b n →0and nb n →∞.3.Let X 1,···,X n be independently and indentically distributed ran-dom variables with X i ∼N (θ,1).Suppose that it is known that |θ|≤τ,where τis given.Showmin a 1,···,a n +1sup |θ|≤τE (n i =1a i X i +a n +1−θ)2=τ2n −1τ2+n −1.Hint:Carefully use the sufficiency principle.4.The rules for “1and 1”foul shooting in basketball are as follows.The shooter gets to try to make a basket from the foul line.If he succeeds,he gets another try.More precisely,he make 0baskets by missing the first time,1basket by making the first shot and xsmissing the second one,or 2baskets by making both shots.Let n be a fixed integer,and suppose a player gets n tries at “1and 1”shooting.Let N 0,N 1,and N 2be the random variables recording the number of times he makes 0,1,or 2baskets,respectively.Note that N 0+N 1+N 2=n .Suppose that shots are independent Bernoulli trails with probability p for making a basket.(a)Write down the likelihood for (N 0,N 1,N 2).12(b)Show that the maximum likelihood estimator of p is ˆp =N 1+2N 2N 0+2N 1+2N 2.(c)Is ˆp an unbiased estimator for p ?Prove or disprove.(Hint:E ˆp is a polynomial in p ,whose order is higher than 1for p ∈(0,1).)(d)Find the asymptotic distribution of ˆp as n tends to ∞.5.When considering finite difference schemes approximating partial differential equations (PDEs),for example,the scheme(1)u n +1j =u n j −λ(u n j −u n j −1)where λ=∆t ∆x ,approximating the PDE (2)u t +u x =0,we are often interested in stability,namely(3)||u n ||≤C ||u 0||,n ∆t ≤T for a constant C =C (T )independent of the time step ∆t and the spa-tial mesh size ∆x .Here ||·||is a given norm,for example the L 2norm orthe L ∞norm,of the numerical solution vector u n =(u n 1,u n 2,···,u n N ).The mesh points are x j =j ∆x ,t n =n ∆t ,and the numerical solutionu n j approximates the exact solution u (x j ,t n )of the PDE (2)with aperiodic boundary condition.(i)Prove that the scheme (1)is stable in the sense of (3)for boththe L 2norm and the L ∞norm under the time step restriction λ≤1.(ii)Since the numerical solution u n is in a finite dimensional space,Student A argues that the stability (3),once proved for a spe-cific norm ||·||a ,would also automatically hold for any other norm ||·||b .His argument is based on the equivalency of all norms in a finite dimensional space,namely for any two norms ||·||a and ||·||b on a finite dimensional space W ,there exists a constant δ>0such thatδ||u ||b ≤||u ||a ≤1δ||u ||b .Do you agree with his argument?If yes,please give a detailed proof of the following theorem:If a scheme is stable,namely (3)holds for one particular norm (e.g.the L 2norm),then it is also stable for any other norm.If not,please explain the mistake made by Student A.6.We have the following 3PDEs(4)u t +Au x =0,(5)u t +Bu x =0,3 (6)u t+Cu x=0,C=A+B.Here u is a vector of size m and A and B are m×m real matrices. We assume m≥2and both A and B are diagonalizable with only real eigenvalues.We also assume periodic initial condition for these PDEs.(i)Prove that(4)and(5)are both well-posed in the L2-norm.Recall that a PDE is well-posed if its solution satisfies||u(·,t)||≤C(T)||u(·,0)||,0≤t≤Tfor a constant C(T)which depends only on T.(ii)Is(6)guaranteed to be well-posed as well?If yes,give a proof;if not,give a counter example.(iii)Suppose we have afinite difference schemeu n+1=A h u nfor approximating(4)and another schemeu n+1=B h u nfor approximating(5).Suppose both schemes are stable in theL2-norm,namely(3)holds for both schemes.If we now formthe splitting schemeu n+1=B h A h u nwhich is a consistent scheme for solving(6),is this scheme guar-anteed to be L2stable as well?If yes,give a proof;if not,givea counter example.S.-T.Yau College Student Mathematics Contests2010Geometry and TopologyTeam(Please select5problems to solve)1.Let S n⊂R n+1be the unit sphere,and R n⊂R n+1the equator n-plane through the center of S n.Let N be the north pole of S n.Define a mappingπ:S n\{N}→R n called the stereographic projection that takes A∈S n\{N}into the intersection A ∈R n of the equator n-plane R n with the line which passes through A and N.Prove that the stereographic projection is a conformal change,and derive the standard metric of S n by the stereographic projection.2.Let M be a(connected)Riemannian manifold of dimension2.Let f be a smooth non-constant function on M such that f is bounded from above and∆f≥0everywhere on M.Show that there does not exist any point p∈M such that f(p)=sup{f(x):x∈M}.3.Let M be a compact smooth manifold of dimension d.Prove that there exists some n∈Z+such that M can be regularly embedded in the Euclidean space R n.4.Show that any C∞function f on a compact smooth manifold M (without boundary)must have at least two critical points.When M is the2-torus,show that f must have more than two critical points.5.Construct a space X with H0(X)=Z,H1(X)=Z2×Z3,H2(X)= Z,and all other homology groups of X vanishing.6.(a).Define the degree deg f of a C∞map f:S2−→S2and prove that deg f as you present it is well-defined and independent of any choices you need to make in your definition.(b).Prove in detail that for each integer k(possibly negative),there is a C∞map f:S2−→S2of degree k.1S.-T.Yau College Student Mathematics Contests 2010Algebra,Number Theory andCombinatoricsTeam(Please select 5problems to solve)1.For a real number r ,let [r ]denote the maximal integer less or equal than r .Let a and b be two positive irrational numbers such that 1a +1b = 1.Show that the two sequences of integers [ax ],[bx ]for x =1,2,3,···contain all natural numbers without repetition.2.Let n ≥2be an integer and consider the Fermat equationX n +Y n =Z n ,X,Y,Z ∈C [t ].Find all nontrivial solution (X,Y,Z )of the above equation in the sense that X,Y,Z have no common zero and are not all constant.3.Let p ≥7be an odd prime number.(a)Evaluate the rational number cos(π/7)·cos(2π/7)·cos(3π/7).(b)Show that (p −1)/2n =1cos(nπ/p )is a rational number and deter-mine its value.4.For a positive integer a ,consider the polynomialf a =x 6+3ax 4+3x 3+3ax 2+1.Show that it is irreducible.Let F be the splitting field of f a .Show that its Galois group is solvable.5.Prove that a group of order 150is not simple.6.Let V ∼=C 2be the standard representation of SL 2(C ).(a)Show that the n -th symmetric power V n =Sym n V is irre-ducible.(b)Which V n appear in the decomposition of the tensor productV 2⊗V 3into irreducible representations?1。
第届丘成桐大学生数学竞赛试题
第届丘成桐大学生数学竞赛试题第 X 届丘成桐大学生数学竞赛试题丘成桐大学生数学竞赛是一项具有重要影响力的数学竞赛，旨在激励大学生对数学的兴趣，培养新一代的数学人才。
每一届的竞赛试题都凝聚了数学领域的精华和挑战，为参赛者提供了一个展示才华和能力的平台。
在第 X 届丘成桐大学生数学竞赛中，试题涵盖了多个数学分支，包括分析、代数、几何、概率、数论等。
这些试题不仅考查了参赛者对基础知识的掌握程度，更注重考查他们的创新思维和解决问题的能力。
分析部分的试题通常要求参赛者对函数、极限、连续、导数、积分等概念有深入的理解，并能够熟练运用各种分析方法和技巧。
例如，有一道试题要求证明某个复杂函数在给定区间上的单调性，这就需要参赛者巧妙地运用导数的性质和相关定理，进行严谨的推理和计算。
代数方面的试题则侧重于考查群、环、域、线性空间、矩阵等基本概念和理论。
其中，可能会要求参赛者求解某个矩阵的特征值和特征向量，或者证明某个代数结构的性质。
这些问题需要参赛者具备扎实的代数功底和严密的逻辑思维。
几何试题常常涉及到欧式几何、非欧几何、拓扑等领域。
比如，让参赛者证明某个几何图形的性质，或者求解空间中曲线和曲面的相关问题。
这要求参赛者具有良好的空间想象力和几何直观能力。
概率部分的试题会涉及到随机变量、概率分布、期望、方差、大数定律等内容。
可能会给出一个实际的概率问题，要求参赛者建立数学模型并进行求解。
数论的试题则通常围绕整数的性质、同余、素数、整除等展开。
例如，让参赛者证明某个数论定理，或者求解某个数论方程。
这些试题的难度和综合性都很高，需要参赛者在平时的学习中积累大量的知识和经验，并且不断地进行思考和探索。
同时，竞赛也鼓励参赛者之间的交流和合作，共同探讨解决问题的方法和思路。
在解答试题的过程中，参赛者不仅需要具备扎实的数学基础，还需要有良好的心理素质和时间管理能力。
面对复杂的问题，要保持冷静，逐步分析，寻找解题的关键。
而且，由于竞赛时间有限，合理安排时间，确保能够完成尽可能多的试题也是非常重要的。
丘成桐大学数学竞赛试题及解答
丘成桐大学数学竞赛试题及解答一、选择题1. 某数列的前5项为1, 4, 7, 10, 13，求第100项的值。
解答：根据题意可知，该数列的公差为3，第100项的值可以由以下公式得出：a_n = a_1 + (n-1)d其中，a_n 表示第n项的值，a_1 表示首项的值，d 表示公差。
代入已知条件，即可求出第100项的值：a_100 = 1 + (100-1)3= 1 + 99*3= 298所以，第100项的值为298。
2. 设函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，求 f(3) 的值。
解答：将 x = 3 代入函数 f(x) 中，即可求得 f(3) 的值：f(3) = 3^2 + 2*3 + 1= 9 + 6 + 1= 16所以，f(3) 的值为16。
二、填空题1. 已知 a + b = 5，且 a - b = 3，求 a 和 b 的值。
解答：将两个等式相加得到：(a + b) + (a - b) = 5 + 32a = 8a = 4将 a 的值代入第一个等式可求得 b 的值：4 + b = 5b = 1所以，a 的值为4，b 的值为1。
2. 若 a:b = 2:3，且 a + b = 25，求 a 和 b 的值。
解答：设 a 的倍数为 2x，b 的倍数为 3x，则有：2x + 3x = 255x = 25x = 5将 x 的值代入 a:b 的比例中，可求得 a 和 b 的值：a = 2 * 5 = 10b = 3 * 5 = 15所以，a 的值为10，b 的值为15。
三、解答题1. 求解下列方程组：2x + y = 53x + 2y = 8解答：可以通过消元法解决这个方程组。
首先将第一个方程乘以2，得到：4x + 2y = 10然后将第二个方程减去第一个方程，消去 y 的系数：4x + 2y - (3x + 2y) = 10 - 84x + 2y - 3x - 2y = 2x = 2将 x 的值代入第一个方程，可求得 y 的值：2*2 + y = 54 + y = 5y = 1所以，该方程组的解为 x = 2，y = 1。
全国大学生数学竞赛大纲数学专业组word精品文档5页
中国大学生数学竞赛竞赛大纲(数学专业组)为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，激励大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛”的目标，特制订本大纲。
一、竞赛的性质和参赛对象“中国大学生数学竞赛”的目的是：激励大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。
“中国大学生数学竞赛”的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。
二、竞赛的内容“中国大学生数学竞赛”分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。
（一）中国大学生数学竞赛（数学专业类）竞赛内容为大学本科数学专业基础课的教学内容，即，数学分析占50%，高等代数占35%，解析几何占15%，具体内容如下： Ⅰ、数学分析部分一、集合与函数1. 实数集、有理数与无理数的稠密性，实数集的界与确界、确界存在性定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理. 2. 2上的距离、邻域、聚点、界点、边界、开集、闭集、有界（无界）集、2上的闭矩形套定理、聚点定理、有限复盖定理、基本点列，以及上述概念和定理在n 上的推广. 3. 函数、映射、变换概念及其几何意义，隐函数概念，反函数与逆变换，反函数存在性定理，初等函数以及与之相关的性质.二、极限与连续 1. 数列极限、收敛数列的基本性质（极限唯一性、有界性、保号性、不等式性质）.2. 数列收敛的条件（Cauchy 准则、迫敛性、单调有界原理、数列收敛与其子列收敛的关系），极限1lim(1)nn e n →∞+=及其应用.3.一元函数极限的定义、函数极限的基本性质（唯一性、局部有界性、保号性、不等式性质、迫敛性），归结原则和Cauchy 收敛准则，两个重要极限sin10lim 1,lim(1)x x x x x x e →→∞=+=及其应用，计算一元函数极限的各种方法，无穷小量与无穷大量、阶的比较，记号O 与o 的意义，多元函数重极限与累次极限概念、基本性质，二元函数的二重极限与累次极限的关系.4. 函数连续与间断、一致连续性、连续函数的局部性质（局部有界性、保号性），有界闭集上连续函数的性质（有界性、最大值最小值定理、介值定理、一致连续性）.三、一元函数微分学1.导数及其几何意义、可导与连续的关系、导数的各种计算方法，微分及其几何意义、可微与可导的关系、一阶微分形式不变性.2.微分学基本定理：Fermat 定理，Rolle 定理，Lagrange 定理，Cauchy 定理，Taylor 公式(Peano 余项与Lagrange 余项).3.一元微分学的应用：函数单调性的判别、极值、最大值和最小值、凸函数及其应用、曲线的凹凸性、拐点、渐近线、函数图象的讨论、洛必达（L'Hospital ）法则、近似计算.四、多元函数微分学1. 偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与Taylor 公式.2.隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.3.几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线）.4.极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange 乘数法.五、一元函数积分学1. 原函数与不定积分、不定积分的基本计算方法（直接积分法、换元法、分部积分法）、有理函数积分：(cos ,sin )R x x dx ⎰型，()R x dx ⎰型.2. 定积分及其几何意义、可积条件（必要条件、充要条件：i i x ωε∆<∑）、可积函数类.3. 定积分的性质（关于区间可加性、不等式性质、绝对可积性、定积分第一中值定理）、变上限积分函数、微积分基本定理、N-L 公式及定积分计算、定积分第二中值定理.4.无限区间上的广义积分、Canchy 收敛准则、绝对收敛与条件收敛、()f x 非负时()a f x dx +∞⎰的收敛性判别法（比较原则、柯西判别法）、Abel 判别法、Dirichlet 判别法、无界函数广义积分概念及其收敛性判别法. 5. 微元法、几何应用（平面图形面积、已知截面面积函数的体积、曲线弧长与弧微分、旋转体体积），其他应用.六、多元函数积分学1.二重积分及其几何意义、二重积分的计算（化为累次积分、极坐标变换、一般坐标变换）.2.三重积分、三重积分计算（化为累次积分、柱坐标、球坐标变换）.3.重积分的应用（体积、曲面面积、重心、转动惯量等）.4.含参量正常积分及其连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.含参量广义积分的一致收敛性及其判别法，含参量广义积分的连续性、可微性、可积性，运算顺序的可交换性.5.第一型曲线积分、曲面积分的概念、基本性质、计算.6.第二型曲线积分概念、性质、计算；Green 公式，平面曲线积分与路径无关的条件.7.曲面的侧、第二型曲面积分的概念、性质、计算，奥高公式、Stoke 公式，两类线积分、两类面积分之间的关系.七、无穷级数1. 数项级数级数及其敛散性，级数的和，Cauchy 准则，收敛的必要条件，收敛级数基本性质；正项级数收敛的充分必要条件，比较原则、比式判别法、根式判别法以及它们的极限形式；交错级数的Leibniz 判别法；一般项级数的绝对收敛、条件收敛性、Abel 判别法、Dirichlet 判别法.2. 函数项级数函数列与函数项级数的一致收敛性、Cauchy 准则、一致收敛性判别法（M-判别法、Abel 判别法、Dirichlet 判别法）、一致收敛函数列、函数项级数的性质及其应用.3.幂级数幂级数概念、Abel 定理、收敛半径与区间，幂级数的一致收敛性，幂级数的逐项可积性、可微性及其应用，幂级数各项系数与其和函数的关系、函数的幂级数展开、Taylor 级数、Maclaurin 级数.4.Fourier 级数三角级数、三角函数系的正交性、2 及2l周期函数的Fourier级数展开、Beseel不等式、Riemanm-Lebesgue定理、按段光滑函数的Fourier级数的收敛性定理.Ⅱ、高等代数部分一、多项式1.数域与一元多项式的概念2.多项式整除、带余除法、最大公因式、辗转相除法3.互素、不可约多项式、重因式与重根.4.多项式函数、余数定理、多项式的根及性质.5.代数基本定理、复系数与实系数多项式的因式分解.6.本原多项式、Gauss引理、有理系数多项式的因式分解、Eisenstein判别法、有理数域上多项式的有理根.7.多元多项式及对称多项式、韦达(Vieta)定理.二、行列式1.n级行列式的定义.2.n级行列式的性质.3.行列式的计算.4.行列式按一行（列）展开.5.拉普拉斯(Laplace)展开定理.6.克拉默(Cramer)法则.三、线性方程组1. 高斯(Gauss)消元法、线性方程组的初等变换、线性方程组的一般解.2. n维向量的运算与向量组.3. 向量的线性组合、线性相关与线性无关、两个向量组的等价.4. 向量组的极大无关组、向量组的秩.5. 矩阵的行秩、列秩、秩、矩阵的秩与其子式的关系.6. 线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构.7. 齐次线性方程组的基础解系、解空间及其维数四、矩阵1. 矩阵的概念、矩阵的运算(加法、数乘、乘法、转置等运算)及其运算律.2. 矩阵乘积的行列式、矩阵乘积的秩与其因子的秩的关系.3. 矩阵的逆、伴随矩阵、矩阵可逆的条件.4. 分块矩阵及其运算与性质.5. 初等矩阵、初等变换、矩阵的等价标准形.6. 分块初等矩阵、分块初等变换.五、双线性函数与二次型1.双线性函数、对偶空间2.二次型及其矩阵表示.3.二次型的标准形、化二次型为标准形的配方法、初等变换法、正交变换法.4.复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性、惯性定理.5.正定、半正定、负定二次型及正定、半正定矩阵六、线性空间1.线性空间的定义与简单性质.2.维数，基与坐标.3.基变换与坐标变换.4.线性子空间.5.子空间的交与和、维数公式、子空间的直和.七、线性变换1.线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵.2.特征值与特征向量、可对角化的线性变换.3.相似矩阵、相似不变量、哈密尔顿-凯莱定理.4.线性变换的值域与核、不变子空间.八、若当标准形λ矩阵.1.-2. 行列式因子、不变因子、初等因子、矩阵相似的条件.3. 若当标准形.九、欧氏空间1.内积和欧氏空间、向量的长度、夹角与正交、度量矩阵.2.标准正交基、正交矩阵、施密特(Schmidt)正交化方法.3.欧氏空间的同构.4.正交变换、子空间的正交补.5.对称变换、实对称矩阵的标准形.6.主轴定理、用正交变换化实二次型或实对称矩阵为标准形.7.酉空间.Ⅲ、解析几何部分一、向量与坐标1. 向量的定义、表示、向量的线性运算、向量的分解、几何运算.2. 坐标系的概念、向量与点的坐标及向量的代数运算.3. 向量在轴上的射影及其性质、方向余弦、向量的夹角.4. 向量的数量积、向量积和混合积的定义、几何意义、运算性质、计算方法及应用.5. 应用向量求解一些几何、三角问题.二、轨迹与方程1.曲面方程的定义：普通方程、参数方程(向量式与坐标式之间的互化)及其关系.2.空间曲线方程的普通形式和参数方程形式及其关系.3.建立空间曲面和曲线方程的一般方法、应用向量建立简单曲面、曲线的方程.4.球面的标准方程和一般方程、母线平行于坐标轴的柱面方程.三、平面与空间直线1.平面方程、直线方程的各种形式，方程中各有关字母的意义.2.从决定平面和直线的几何条件出发，选用适当方法建立平面、直线方程.3.根据平面和直线的方程，判定平面与平面、直线与直线、平面与直线间的位置关系.4. 根据平面和直线的方程及点的坐标判定有关点、平面、直线之间的位置关系、计算他们之间的距离与交角等；求两异面直线的公垂线方程.四、二次曲面1.柱面、锥面、旋转曲面的定义，求柱面、锥面、旋转曲面的方程.2.椭球面、双曲面与抛物面的标准方程和主要性质，根据不同条件建立二次曲面的标准方程.3.单叶双曲面、双曲抛物面的直纹性及求单叶双曲面、双曲抛物面的直母线的方法.4.根据给定直线族求出它表示的直纹面方程，求动直线和动曲线的轨迹问题.五、二次曲线的一般理论1.二次曲线的渐进方向、中心、渐近线.2.二次曲线的切线、二次曲线的正常点与奇异点.3.二次曲线的直径、共轭方向与共轭直径.4.二次曲线的主轴、主方向，特征方程、特征根.5.化简二次曲线方程并画出曲线在坐标系的位置草图.。
丘成桐中国大学生数学竞赛大纲
2010年中国大学生数学竞赛（丘成桐教授发起）竞赛大纲一．Syllabuses for Geometry and TopologyGeometry:Curves and surfaces1) Plane curves and space curves2) The fundamental theorem of curves3) Concept and examples of surfaces4) The first and second fundamental forms5) Normal curvature, principal curvature and the Gauss curvature6) Orthogonal moving frames and structure equations of surfaces7) Existence and uniqueness of surfaces8) Isometric transformation of surfaces9) Covariant derivatives on surfaces10) Geodesic curvatures and geodesics, Geodesic coordinates11) The Gauss-Bonnet formula12) Laplacian operator on surfacesGeometry on manifolds1) Manifolds2) Vector fields and differentials3) Tensors and differential forms4) Stokes formula5) De Rham theorem6) Lie derivatives7) Lie algebras8) Maurer-Cartan equations9) Vector bundles10)Connection and curvatures11) Structure equations12) Riemannian metrics13) The Hodge star operator and Laplacian operator14) The Hodge theoremReferences:M. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces.S S Chern and Chen Weihuan, Lectures on differential geometry Q. Chen and CK Peng, Differential geometryT. Frenkel: Geometry from physicsJ. Milnor, Morse theoryTopologyPoint Set Topology1) Open set and closed set2) Continuous maps3) Haudorff space, seperability and countable axioms4) Compactness and Heine-Borel theorem5) Connectivity and path connectivity6) Quotient space and quotient topologyFundamental groups1) Definition of fundamental groups, homotopic maps2) Computation of fundamental groups: Van Kampen theorem3) Covering maps and covering spaces4) Applications: Brouwer fixed point theorem, Lefschetz fixed point theoremComplexes and homology groups1) Simplex, complexes and polyhedron2) Barycentric subdivision and simplex approximation3) Computation of fundamental groups of complexes4) Classification of surfaces5) Simplex homology groups6) Application: Lefschetz fixed point theoremDifferential topology1) Smooth manifolds and smooth maps2) Sard’s theorem3) Transversality and intersection4) Vector fileds and Poincare-Hopf theorem5) Differential forms and de Rham complexes6) Orientation and integration7) Poincare Lemma8) Poincare duality9) Meyer-Vietoris sequences10)de Rham theorem11)Vector bundle and Euler classesReferences:Armstrong, Basic topologyJ. Milnor, Topology from the differentiable viewpointV. Guillemin and A. Pollack, Differential topologyBott and Tu, Differential forms in algebraic topology (first chapter)二．Syllabuses on algebra, combinatorics, number theory and representation theoryAlgebra群论（31）：集合论预备知识；对称和群；子群和陪集分解；生成元集和循环群；正规子群、商群和同态定理；置换群和线性群；群在集合上的作用；Sylow定理和单群；自由群和群的表现；有限生成Abel群的结构；小阶群的结构；幂零群和可解群。
丘成桐大学生数学竞赛
丘成桐大学生数学竞赛
佚名
【期刊名称】《高等数学研究》
【年(卷),期】2022(25)2
【摘要】丘成桐大学生数学竞赛面向中国大陆、香港、澳门、台湾地区高校在读本科生,着重考查学生在本科阶段的数学基本知识与基本功。
竞赛试题及大纲由丘成桐先生领衔国内外一流数学家制定,测试范围和难度与国外知名大学的研究生资格考试相当,涵盖分析与微分方程、几何与拓扑、代数与数论、应用与计算数学、概率与统计、数学物理六个方向。
【总页数】1页(P39-39)
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.关于举办第5届丘成桐大学生数学竞赛的通知
2.第5届丘成桐大学生数学竞赛获奖名单揭晓
3.丘成桐大学生数学竞赛奖项设置
4.丘成桐就举办中国大学生数学竞赛致数学同仁的一封公开信
5.关于举办第四届丘成桐大学生数学竞赛的通知
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Analysis and differential equations (second draft)
分析和微分方程（修改稿） Calculus and mathematical analysis Derivatives, chain rule; maxima and minima, Lagrange multipliers; line and surface integrals of scalar and vector functions; Gauss’, Green’s and Stokes’ theorems. Sequences and series, Cauchy sequences, uniform convergence and its relation to derivatives and integrals; power series, radius of convergence, convergence of improper integrals. Inverse and implicit function theorems and applications; the derivative as a linear map; existence and uniqueness theorems for solutions of ordinary differential equations, explicit solutions of simple equations.; elementary Fourier series. 微积分和数学分析 导数， 链式法 则； 极大值 和极小 值， 拉格朗 日乘 数法； 标量 函数与 向量函 数的 曲线 积分与曲 面积分 ；高斯公 式、格林公 式和斯 托克斯 公式.数 列和级 数，柯西 列，一致 收敛及其 与可微 和可积 的关系 ；幂 级数 ，收敛 半径，反常积 分和收 敛性.反 函数定 理、 隐函数 定理及 其应 用；看 作线性 映射 的求导 ；常 微分方 程解 的存在 唯一性 定理 ，简 单方程的隐函数解；傅里叶级数. Complex analysis Analytic function, Cauchy's Integral Formula and Residues, Power Series Expansions, Entire Function, Normal Families, The Riemann Mapping Theorem, Harmonic Function, The Dirichlet Problem Simply Periodic Function and Elliptic Functions, The Weierstrass Theory Analytic Continuation, Algebraic Functions, Picard's Theorem 复分析 解析函 数，柯 西积 分公式 和留数 ，幂 级数展 开， 整函数 ，正 规簇， 黎曼映 射定 理， 调和函 数，狄 利克 雷问题 ，简单 周期 函数和 双曲 函数， 维尔 斯特拉 斯定理 ，解 析延 拓，代数函数，皮卡定理. Point set topology of Rn Countable and uncountable sets, the axiom of choice, Zorn's lemma. Metric pleteness; separability; compactness; Baire category; uniform continuity; connectedness; continuous mappings of compact spaces. Functions on topological spaces. Equicontinuity and Ascoli's theorem; the Stone-Weierstrass theorem; topologies on
fields of fractions, Euclidean domains, principal ideal domains and unique factorization domains,
polynomial and power seriБайду номын сангаасs rings, Chinese Remainder Theorem, local rings and localization,
I.M. Gelfand, Linear Algebra 《整数与多项式》冯克勤余红兵著高等教育出版社 Jacobson, Nathan Basic algebra. I. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1985. xviii+499 pp. Jacobson, Nathan Basic algebra. II. Second edition. W. H. Freeman and Company, New York, 1989. xviii+686 pp. S. Lang, Algebra, Addison-Wesley 冯克勤，李尚志，查建国，章璞，《近世代数引论》 刘绍学，《近世代数基础》 J. P. Serre, Linear representations of finite groups J. P. Serre: Complex semisimple Lie algebra and their representations J. Humphreys: Introduction to Lie algebra and representation theory, GTM 009. W. Fulton, Representation theory, a First Course, GTM 129.