角平分线与垂直平分线知识点
角平分线和垂直平分线
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角平分线和垂直平分线[知识目标]1、角平分线(1)性质:角平分线上的点到角两边距离相等。
(2)判定:到角两边距离相等的点在角平分线上。
角平分线是到角两边距离相等的所有点的集合2、垂直平分线:(1)性质:垂直平分线上的点到线段两端点距离相等。
(2)判定:到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
线段的垂直平分线是到线段两端点距离相等的点的集合。
3、轴对称的特征:(1)全等:形状大小完全相同(2)对称点的连线被对称轴垂直平分。
[典型例题]角平分线和垂直平分线的尺规作图:1、如图,a,b表示两条公路,A,B表示两个城镇,要建一座电视信号发射塔,使发射塔至两条公路的距离相等,到两个城镇的距离也相等,发射塔应建在何处?在图上找到它的位置。
b2、如图,请你找出一个点P,使P点到A、B两点的距离相等,并且使P在∠ACB的平分线上。
C3、如图所示,M、N为三角形ABC边AB与AC上两点,在BC上求作一点P,使三角形PMN的周长最小。
4、如图,已知E、F分别是△ABC的边AB和AC上的两个定点,问在BC上能否找到一点M,使得△EFM的周长最小?● 角平分线的性质与判定1、如图所示,已知AB=AC ,PB=PC ,PD ⊥AB ,PE ⊥AC ,垂足分别是D 、E ,求证:PE=PD2、如图所示,△ABC 中,∠C=900,AC=BC,DA 平分∠CAB 交BC 于D 点,部能否在AB 上确定一点E,使△BDE 的周长等于AB 的长,请说明理由.4、如图, ∠C=∠B=900,M 为BC 的中点,AM 平分∠DAB,(1)求证:DM 平分∠ADC(2)求∠DMA 的度数5、如图,已知,P 为∠AOB 内一点,过点P 的两条直线PD ⊥OB,PC ⊥OA,垂足分别是D 、C ,交OA 、OB 于M 、N 。
(1) 若点P 在∠AOB 的平分线上,求证:MD=NC (2) 若MD=NC ,求证:点P 在∠AOB 的平分线上● 角平分线的对称性3、如图,在△ABC 中, ∠C=2∠B, ∠1=∠2,求证:AB=AC+CDAA BE CA B MNBCD垂直平分线1、如图,E是∠AOB平分线上一点,EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分别是C、D,求证:OE是CD的垂直平分线。
三角形的角平分线与垂直平分线

三角形的角平分线与垂直平分线角平分线与垂直平分线是三角形中重要的几何概念。
它们可以帮助我们研究三角形的性质和推导出一些有用的结论。
本文将详细介绍角平分线与垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角平分线定义为从一个角的顶点出发,将这个角分成两个相等的角的线段。
以三角形ABC为例,假设角A的角平分线为AD,则角BAD 与角DAC是相等的。
这一定义可以推广到任意三角形中的任意角。
角平分线具有以下性质:1. 一个角的两条平分线相交于该角的顶点,并将该角平分成两个相等的角。
2. 三角形的内角平分线三条相交于一点,称为内心。
这个点到三角形三边的距离相等,可以证明是三角形内接圆的圆心。
3. 三角形的外角平分线三条相交于一点,称为外心。
这个点到三角形的顶点的距离相等,可以证明是三角形外接圆的圆心。
4. 三角形的角平分线分割对边成比例,即根据角平分线定理可得:AB/BC=AD/DC。
角平分线的应用广泛,特别是在证明三角形的性质和推导结论时非常有用。
例如,可以利用角平分线证明角的等分性质、三角形的相似性质、垂心定理等。
二、垂直平分线垂直平分线定义为从一个线段的中点出发,与该线段垂直且将该线段平分为两段相等的线段。
以三角形ABC为例,假设AB的垂直平分线为DE,则AD=BD=BE=CE=CD。
这一定义可以推广到任意线段。
垂直平分线具有以下性质:1. 一个三角形的三条垂直平分线交于一点,称为垂心。
这个点到三角形三顶点的距离相等,可以证明是三角形外接圆的圆心。
2. 一个角的垂直平分线经过角的顶点,并将该角平分成两个相等的角。
3. 垂直平分线等分线段,即对于一个线段AB,若点D是其垂直平分线的交点,则AD=DB。
垂直平分线也有许多应用,特别是在几何证明中常常能发挥关键作用。
例如,可以利用垂直平分线证明角的等分性质、直角三角形的性质、垂心定理等。
总结:角平分线与垂直平分线是三角形中重要的概念,它们有着许多有用的性质和应用。
三角形的角平分线与垂直平分线
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三角形的角平分线与垂直平分线在几何学中,三角形是一个基本的形状,由三条线段连接的三个点组成。
这个形状具有丰富的属性和特性,其中包括角平分线和垂直平分线。
本文将探讨三角形的角平分线和垂直平分线的性质及其重要性。
一、角平分线角平分线是指从一个三角形的顶点出发,将对角的两个角度平均分开的线段。
每个角度由两个角平分线所夹,这些角度称为平分线所包围的对应角度。
对于任意三角形ABC,假设D是BC边上的一个点,使得角BAD与角CAD相等。
则AD称为角BAC的角平分线。
性质1:角平分线将对应角分成相等的两个角。
根据定义,角平分线将对应角分成两个相等的部分。
在三角形ABC 中,如果AD是角BAC的角平分线,则角BAD和角CAD相等。
性质2:角平分线与对边相交于一点。
在三角形ABC中,如果AD是角BAC的角平分线,则AD与BC相交于一点D。
这个点D被称为平分线的交点。
性质3:角平分线上的点到三角形的两边的距离相等。
在三角形ABC中,假设AD是角BAC的角平分线,那么点D到AB和AC的距离相等。
这个距离等于点D到对边BC的距离。
二、垂直平分线垂直平分线是指从一个三角形的边上一点出发,与该边垂直相交并将其平分的线段。
垂直平分线具有以下性质:性质1:垂直平分线垂直于被平分的边。
在三角形ABC中,如果DE是边BC的垂直平分线,那么DE垂直于BC。
性质2:垂直平分线将被平分的边分成相等的两部分。
根据定义,垂直平分线将边BC平分为BD和DC,这两段线段的长度相等。
性质3:垂直平分线与对边相交于三角形的垂直平分点。
在三角形ABC中,如果DE是边BC的垂直平分线,那么点D和点E分别是边AB和边AC的垂直平分点。
角平分线和垂直平分线的重要性:角平分线和垂直平分线在几何学中具有重要的应用和推论。
它们是许多几何问题的基础,包括角的相似性、三角形的面积、三角形内部点的位置等等。
例如,通过角平分线和垂直平分线,我们可以证明关于三角形的中心和内心的性质。
三角形的角平分线和垂直平分线
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三角形的角平分线和垂直平分线三角形是几何学中最常见的形状之一,它由三条边和三个角组成。
在研究三角形的性质时,我们经常会遇到角平分线和垂直平分线这两个重要的概念。
本文将详细介绍三角形的角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在解题中的应用。
一、角平分线1. 定义:三角形的角平分线是指从一个角的顶点出发,将该角分为两个相等的角的线段。
具体而言,设三角形ABC中的∠BAC的角平分线为AD,那么AD将∠BAC分为两个相等的角∠BAD和∠DAC。
2. 性质:(1)角平分线与对边的关系:角平分线将对边分成两个部分,这两个部分的长度之比等于与它们相对的两个角的正弦值之比。
即AB/AC = BD/DC = sin∠BAD/sin∠DAC。
(2)角平分线的交点:三角形的三条角平分线交于一点,称为内心。
内心是三角形内切圆的圆心,三条角平分线相交于该点的原因是,该点到三条边的距离相等,满足等距离定理。
(3)内心到三边的距离:内心到三边的距离相等,且等于内切圆的半径。
设内心到三边的距离分别为r₁、r₂和r₃,那么r₁=r₂=r₃=r。
二、垂直平分线1. 定义:三角形中的垂直平分线是指从一个角的顶点出发,与对边垂直相交,并将对边分成两个相等部分的直线。
以三角形ABC中∠BAC的垂直平分线为例,假设该垂直平分线与BC相交于点D,那么BD=DC。
2. 性质:(1)垂直平分线与对边的关系:垂直平分线平分对边,并且被平分的两部分的长度相等。
即BD=DC。
(2)垂直平分线与角平分线的关系:垂直平分线与角平分线互相垂直。
也就是说,三角形的垂直平分线同时也是它的内角平分线。
三、角平分线和垂直平分线的应用角平分线和垂直平分线在解决三角形相关问题时起着重要的作用,它们能够提供关键的几何信息,帮助我们求解未知量、证明定理。
1. 解题应用:(1)角平分线的应用:在求解三角形相关问题时,可以利用角平分线的性质来求解未知量,比如利用角平分线将角分为两个相等的角,从而应用三角函数关系进行计算。
小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线
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小学数学认识简单的角的平分线与垂直平分线角是数学中常见的概念,我们可以将其理解为由两条射线所构成的形状。
在学习角的同时,我们也需要了解与角相关的一些重要概念,比如角的平分线和垂直平分线。
本文将为大家详细介绍小学数学中角的平分线和垂直平分线的知识。
1. 角的平分线角的平分线是指将一个角平分为两个相等的部分的射线或线段。
对于任意一个角ABC,我们可以通过黄色的射线AD将其平分为∠BAD和∠DAC两个相等的角,射线AD即是角ABC的平分线。
如下图所示:(图片描述:射线AD为角ABC的平分线)2. 垂直平分线垂直平分线是指将一个线段垂直平分为两段相等的线段的直线。
对于任意一个线段AB,我们可以通过橙色的直线CD将其垂直平分为AC和CB两段相等的线段,直线CD即是线段AB的垂直平分线。
如下图所示:(图片描述:直线CD为线段AB的垂直平分线)3. 平分线与垂直平分线的共同特点虽然平分线和垂直平分线是两个不同的概念,但它们也有一些共同的特点:(1)平分线和垂直平分线都将一个形状等分为两个相等的部分。
对于平分线来说,它将一个角等分为两个相等的角;对于垂直平分线来说,它将一个线段等分为两段相等的线段。
(2)平分线和垂直平分线都是一条直线。
平分线是射线或线段,而垂直平分线是直线。
4. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中有着广泛的应用。
下面,让我们来看一些具体的应用实例:(1)角的平分线应用示例在正方形ABCD中,如图所示,我们可以通过EF将∠ADE角平分为两个相等的角∠AEF和∠DEF。
利用角的平分线,我们可以得到∠AEF=∠DEF=45°。
这对于解决与正方形角度相关的问题非常有用。
(图片描述:EF为∠ADE角的平分线)(2)垂直平分线应用示例在矩形EFGH中,如图所示,我们可以通过IJ将线段GH垂直平分为两段相等的线段GI和HJ。
利用垂直平分线,我们可以得到GI=HJ。
这对于解决与矩形线段相关的问题非常有帮助。
几何中的角平分线与垂直平分线
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几何中的角平分线与垂直平分线在几何学中,角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们不仅帮助我们理解和解决各种几何问题,还具有广泛的应用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、角平分线的定义和性质角平分线是指将一个角平分为两个相等角的线段。
设角BAC是一个角,如果直线AD将该角分为两个相等的角,即∠BAD = ∠DAC,则称直线AD为角BAC的角平分线。
角平分线具有以下性质:1. 角平分线将原角分为两个相等的角。
根据定义可知,角平分线将原角BAC分为∠BAD和∠DAC,且∠BAD = ∠DAC。
2. 角平分线上的点到角两边的距离相等。
设点D为角BAC的角平分线,点E、F分别位于边BA和边AC 上,且DE = DF。
根据三角形的性质可知,∠BDE ≌∠CDF(角平分线AD将角BAC分为两个相等角),因此△BDE ≌△CDF。
根据全等三角形的性质可得,BE = CF,即角平分线上的点到角两边的距离相等。
3. 角平分线与角的两边垂直。
根据性质2可知,点D到边BA的距离等于点D到边CA的距离,即DE = DF。
而∠BED和∠CED为角内角,因此根据三角形的性质可得,△BED ≌△CED,进而得出BE = CE。
根据等腰三角形的性质可知,BE = CE,则∠BDE = ∠CDE = 90°。
因此,角平分线与角的两边垂直。
二、垂直平分线的定义和性质垂直平分线是指将线段垂直平分为两个相等线段的线。
设线段AB为一条线段,如果直线CD同时垂直于线段AB并将其等分,即AC = CB,则称直线CD为线段AB的垂直平分线。
垂直平分线具有以下性质:1. 垂直平分线将原线段分为两个相等线段。
根据定义可知,垂直平分线CD将线段AB分为AC和CB,且AC = CB。
2. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。
设点D为线段AB的垂直平分线,点E、F分别为线段AB的两个端点,且DE = DF。
空间几何中的角平分线与垂直平分线
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空间几何中的角平分线与垂直平分线空间几何是研究三维空间中各种图形的性质和关系的数学分支。
在空间几何中,角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何问题中的应用。
一、角平分线在平面几何中,我们知道,如果一条线段将一个角分成两个相等的部分,那么这个线段就称为角的平分线。
同样地,在空间几何中,角平分线也有类似的定义。
定义:在空间中,如果一条直线通过一个角的顶点,并且将这个角分成两个相等的角,那么这条直线就称为这个角的平分线。
角平分线的性质:1. 角平分线将角分成两个相等的角。
2. 角平分线与角的边相交于角的顶点。
3. 如果一个平面与角的两个边相交于角的顶点,并且将这个角分成两个相等的角,那么这个平面就是这个角的平分面。
而角平分线正好是角的平分面在角的顶点上的交线。
角平分线的应用:1. 角平分线可以帮助我们确定角的大小。
通过寻找并绘制角的平分线,我们可以将角分成两个相等的部分,从而更方便地计算和推导角的性质。
2. 角平分线可以用来解决一些几何问题。
例如,当我们希望构造一个特定大小的角时,可以通过角平分线的方法来实现。
二、垂直平分线垂直平分线是另一个在空间几何中常见的概念。
在平面几何中,垂直平分线是指一条通过线段中点并且垂直于这条线段的直线。
在空间几何中,垂直平分线的定义稍有不同。
定义:在空间中,如果一条直线垂直于一条线段,并且将这条线段分成两个相等的部分,那么这条直线就称为这条线段的垂直平分线。
垂直平分线的性质:1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
2. 垂直平分线与线段的中点相交。
3. 如果一平面垂直于一线段,并且将这线段分成两个相等的部分,那么这平面就是这线段的垂直平分面。
而垂直平分线则是垂直平分面在线段中点上的交线。
垂直平分线的应用:1. 垂直平分线可以帮助我们确定线段的长度。
通过绘制线段的垂直平分线,我们可以将线段分成两个相等的部分,从而更方便地计算和推导线段的性质。
角平分线和线段的垂直平分线
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角平分线和线段的垂直平分线一、知识点讲解:1. 定理1:在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等;定理2:在一个角的内部,到这个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
2.角平分线另一种定义:角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。
3.在两个命题中,如果第一个命题的题设是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的题设。
那么这两个命题叫做互逆命题,其中一个叫做另一个的逆命题。
4.如果一个定理的逆命题是经过证明的真命题,那么它也是一个定理,这两个定理叫互逆定理。
其中一个叫另一个的逆定理,虽然一个命题都有逆命题,但一个定理并不都有逆定理。
5.定理:线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等。
逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
6.线段的垂直平分线另一种定义:线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相等的所有点的集合。
二、例题精讲例1.已知如图,在ΔABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证:AD⊥EF。
分析:欲证AD⊥EF,就要证∠AOE=∠AOF=∠EOF=90°。
所以要考虑证ΔAEO≌ΔAFO。
由题中条件可知ΔAEO,ΔAFO已有一边(公共边)一角对应相等,只要证出AE=AF问题就解决了,所以需先证明ΔAED≌ΔAF D。
证明:∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC(已知)∴DE=DF(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)在RtΔAED和RtΔAFD中∴RtΔAED≌RtΔAFD(HL), ∴AE=AF(全等三角形的对应边相等)在ΔAEO和ΔAFO中∴ΔAEO≌ΔAFO,∴∠AOE=∠AOF (全等三角形对应角相等)∴∠AOE=∠EOF=90°,∴AD⊥EF(垂直定义)。
例2.写出下列定理的逆命题,并判断真假。
(1)同位角相等,两直线平行。
(2)如果x=3,那么x2=9.(3)如果ΔABC是直角三角形,那么当每个内角取一个对应外角时,ΔABC的三个外角中只有两个钝角。
线段的垂直平分线与角平分线
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线段的垂直平分线与角平分线线段是几何学中非常基础的概念之一,而线段的垂直平分线与角平分线则是与线段相关的两个重要概念。
本文将详细介绍线段的垂直平分线和角平分线的定义、性质以及应用。
一、线段的垂直平分线线段的垂直平分线是指将一条线段平分,并与该线段垂直的线。
具体来说,对于给定的线段AB,如果存在一条线段CD,满足以下条件:1. 线段CD的长度等于线段AB的长度;2. 线段CD与线段AB垂直。
那么线段CD就是线段AB的垂直平分线。
线段的垂直平分线有以下几个重要性质:1. 垂直平分线与线段的中点相交;2. 垂直平分线上的任意一点到线段两端的距离相等;3. 线段的垂直平分线唯一存在,且与线段垂直。
应用举例:在建筑设计中,垂直平分线可以用来确定一个长方形或正方形的中心位置,帮助确定对称的放置家具或装饰品等物品。
二、线段的角平分线线段的角平分线是指将一条角平分成两个相等的角,并且该线段在原角的内部。
具体来说,对于给定的角AOB,如果存在一条线段OC,满足以下条件:1. 线段OC与线段OB和线段OA的夹角相等;2. 线段OC将角AOB平分。
那么线段OC就是角AOB的角平分线。
线段的角平分线有以下几个重要性质:1. 角的角平分线可以将角平分成两个相等的角;2. 角的角平分线唯一存在。
应用举例:在几何证明或构造中,角平分线的性质被广泛应用。
例如,在正方形中,线段的角平分线即为正方形的对角线,利用这一性质可以证明正方形的对角线互相垂直且平分彼此。
总结:线段的垂直平分线与角平分线都是线段在几何中的重要应用。
垂直平分线可用于确定线段的中点和建筑设计中的对称性;角平分线可用于证明和构造多边形等几何图形。
了解并掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质对于解决几何问题以及理解几何学的基本概念和定理都具有重要意义。
通过本文的介绍,相信读者对线段的垂直平分线与角平分线有了更加深入的了解,希望对读者在学习和应用几何学知识时能够提供帮助。
第 2 讲 垂直平分线与角平分线
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第二讲 线段的垂直平分线与角平分线【知识点】1、 线段垂直平分线性质定理及其逆定理:定理:线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等.逆定理:和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的直平分线上.2、三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。
(交点:锐角三角形在三角形内,直角三角形在斜边的中点,钝角三角形在三角形外)3、 角平分线的性质定理及其逆定理:定理:在角的平分线上的点到这个角两边的距离相等.逆定理:在一个角的内部(包括顶点)且到这个角两边距离相等的点,在这个角的平分线上。
4、三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三条边的距离想等。
【典型例题】例1、如图1所示在△ABC 中,AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ,若AC=6,BC=4,求△BCD 的周长为例2、(2009•怀化)如图2,在Rt △ABC 中,∠B=90°,ED 是AC 的垂直平分线,交AC 于点D ,交BC 于点E .已知∠BAE=10°,则∠C 的度数为( )A .30°B .40°C .50°D .60° 例3、(2013•泰安)如图3,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AB 的垂直平分线DE 交AC 于E ,交BC 的延长线于F ,若∠F=30°,DE=1,则BE 的长是例4、在△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所的锐角为40°则∠B 的大小为 (考虑问题不全,造成漏解)例5、(2013•湘西州)如图5,Rt △ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠CAB ,DE ⊥AB 于E ,若AC=6,BC=8,CD=3.求DE 的长 ;求△ADB 的面积 。
例6、如图6,△ABC 中,∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点I ,根据下列条件,求∠BIC 的度数.(1)若∠ABC=60°,∠ACB=70°,则∠BIC=(2)若∠ABC+∠ACB=130°,则∠BIC=(3)若∠A=50°,则∠BIC=(4)若∠A=110°则∠BIC=(5)从上述计算中,我们能发现已知∠A ,求∠BIC 的公式是:∠BIC= (6)如图7,若BP ,CP 分别是∠ABC 与∠ACB 的外角平分线,交于点P ,若已知∠A ,则求∠BPC 的公式是:∠BPC=(7)如图8所示在△ABC 中,∠A=α,∠ABC 平分线与∠ACD 的平分线交与点P 求∠BPC= 图1图2图3 图6 图5 图7图8C BAD例8、(2013•咸宁)如图,在平面直角坐标系中,以O为圆心,适当长为半径画弧,交x轴于点M,交y轴于点N,再分别以点M、N为圆心,大于12M N的长为半径画弧,两弧在第二象限交于点P.若点P的坐标为(2a,b+1),则a与b的数量关系为()A.a=b B.2a+b=-1 C.2a-b=1 D.2a+b=1【课堂练习】1、(2011河池)如图1所示在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线DE交AC于D,交AB于E,下了说法错误的是()A.BD平分∠ABC B.△BCD的周长等于AB+BCC.AD=BD=BC D.点D是线段AC的中点2、(2009•衡阳)如图2所示,A、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米,在社会主义新农村建设中,为了丰富群众生活,拟建一个文化活动中心,要求这三个村庄到活动中心的距离相等,则活动中心P的位置应在()A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点3、如图3所示,在△ABC中,∠C=90°,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10cm,,BC=8cm,则点D到直线AB的距离是cm4、如图4所示,已知点I为△ABC三个内角的平分线交点,若∠A=50°,则∠BIC= °5、(2011•广东模拟)如图5,在△ABC中,∠A=α,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1,得∠A1,则∠A1= .∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,得∠A2,…,∠A2013BC 的平分线与∠A2013CD的平分线交于点A2014,得∠A2014,则∠A20146、如图6所示在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于点D,垂足为E,连接BD,则∠DBC度数为7、如图7所示,△ABC中,E F垂直平分AB,GH垂直平分AC,设EF与GH相交于O,则O与边BC的关系如何?用一句话表示8、(2011•丹东)如图8,在Rt△ACB中,∠C=90°,BE平分∠ABC,ED垂直平分AB于D.若AC=9,则AE的值是()A、6√3B、4√3C、6D、4图1 图2图3 图4图6图5图7 图89、(2010•烟台)如图9,等腰△ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则∠CBE等于()A、80°B、70°C、60°D、50°10、(2010•无锡)如图,△ABC中,DE垂直平分AC交AB于E,∠A=30°,∠ACB=80°,则∠BCE=_________度.题10 题11 题12 题1311、(2010•黄石)如图,等腰三角形ABC中,已知AB=AC,∠A=30°,AB的垂直平分线交AC于D,则∠CBD的度数为°.12、(2009•泉州)如图,在△ABC中,BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D,交边AB于点E.若△EDC的周长为24,△ABC与四边形AEDC的周长之差为12,则线段DE的长为________.13、(2011•长春)如图,在△ABC中,∠B=30°,ED垂直平分BC,ED=3.则CE长为.14、(2011•万州区模拟)如图,两条国道OA、OB在我市交汇于O,在∠AOB的内部C、D处各有一个工厂.现要修建一个货站P,使货站P到两条国道OA、OB的距离相等,到C厂、D厂的距离也相等,请在图中画出货站P的位置.(要求:用圆规直尺作图,保留作图痕迹,不写已知、求作和作法)【课后练习】1、如图,AB=AC,∠BAC=120°,AB的垂直平分线交BC于点D,那么∠ADC=度.题1 题2 题3 题42、如图,∠ABC=50°,AD垂直且平分BC于点D,∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的度数是度.3、已知如图,在△ABC中,BC=8,AB的中垂线交BC于D,AC的中垂线交BC与E,则△ADE的周长等于.4、(2008•清远)如图,在△ABC中,已知BC=7,AC=16,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,求△BEC的周长.5、如图5所示,AD是△ABC中∠BAC的平分线,DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,S△ABC=8.5,DE=2,AB=4.5则AC的长是()A. 3B. 4C. 5D. 6图5图96、(2013•雅安)如图,AB∥CD,AD平分∠BAC,且∠C=80°,则∠D的度数为()A.50°B.60°C.70°D.100°题6 题7 题8 题97(2012•长春)如图,在平面直角坐标系中,在x轴、y轴的正半轴上分别截取OA、OB,使OA=OB;再分别以点A、B为圆心,以大于12AB长为半径作弧,两弧交于点C.若点C的坐标为(m-1,2n),则m与n的关系为()A.m+2n=1 B.m-2n=1 C.2n-m=1 D.n-2m=18、(2013•遂宁)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N,再分别以M、N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是()①AD是∠BAC的平分线;②∠ADC=60°;③点D在AB的中垂线上;④S△DAC:S△ABC=1:3A.1B.2C.3D.49、(2012•深圳)如图,已知:∠MON=30°,点A1、A2、A3…在射线ON上,点B1、B2、B3…在射线OM上,△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形,若OA1=1,则△A6B6A7的边长为()A. 6B. 12C. 32D. 6410、(2012•贵阳)如图10,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交于BC的延长线于F,若∠F=30°,DE=1,则EF的长是()A.3 B.2 C.√3D.111、(2013•温州)如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,交CB于点D,过点D作DE⊥AB于点E.(1)求证:△ACD≌△AED;(2)若∠B=30°,CD=1,求BD的长.12、如图所示,在△ABC中,AB=CB,∠ABC=90°,D是AB上一点,AE⊥CD叫其延长线与E,且AE=12CD,BD=8cm,求点D到AC的距离。
专题05 角平分线与垂直平分线(知识点串讲)(解析版)
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专题05 角平分线与垂直平分线知识网络重难突破一、角平分线的性质角的平分线的性质:角的平分线上的点到角两边的距离相等.注意:三角形的三条角平分线交于一点,到三边的距离相等.典例1.(2021·广东八年级期中)如图,点P是ABC内一点,PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,且PD PE PF==,则点P是()A.ABC三边垂直平分线的交点B.ABC三条角平分线的交点C.ABC三条高所在直线的交点D.ABC三条中线的交点【答案】B【分析】连接PA、PB、PC,根据角平分线的性质可知:角平分线上的点到角两边的距离相等,进而即可得到答案.【解析】解:连接PA、PB、PC.∵PD =PF ,∴PB 是∠ABC 的角平分线,同理PA 、PC 分别是∠BAC ,∠ACB 的角平分线,故P 是△ABC 角平分线交点,故选:B .【点睛】本题考查了角平分线的判定定理,能熟记角平分线判定定理是解此题的关键,注意:在角的内部,到角的两边距离相等的点在角的平分线上;角平分线上的点到角两边的距离相等.典例2.(2021·重庆江北区·巴川中学校七年级期末)如图,在△ABC 中,AC =5,AB =7,AD 平分∠BAC ,DE ⊥AC ,DE =2,则△ABC 的面积为( )A .14B .12C .10D .7【答案】B 【分析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ,利用角平分线的性质得出2DE DF ==,将ABC 的面积表示为,ABD ADC 面积之和,分别以AB 为底,DF 为高,AC 为底,DE 为高,计算面积即可求得.【解析】过点D 作DF ⊥AB 于点F ,∵AD 平分∠BAC ,DE ⊥AC ,DF ⊥AB ,∴2DF DE ==,∴ABC ABD ACD S S S =+ 1122AB DF AC DE =+ 11725222=⨯⨯+⨯⨯ 7512=+=,故选:B .【点睛】本题考查角平分线的性质,角平分线上的点到角两边的距离相等,熟记性质作出辅助线是解题关键.二. 角平分线的判定角平分线的判定:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上,通常连接角的顶点和该点就能得到角平分线.典例1.如图,ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ,连接AD .求证:AD 是BAC ∠的外角平分线.【答案】见解析.【分析】作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ,DF AC ⊥于F ,DG BH ⊥于G ,根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到DE DG =,DF DG =,继而根据角平分线的判定解题.【解析】证明:作DE BA ⊥交BA 的延长线于E ,DF AC ⊥于F ,DG BH ⊥于G ,DB 平分ABC ∠、DC 平分ACH ∠,DE DG ∴=,DF DG =,DE DF ∴=,又DE BA ⊥,DF AC ⊥,AD ∴是BAC ∠的外角平分线.【点睛】本题考查角平分线的判定与性质,是重要考点,难度较易,掌握相关知识是解题关键.三、角平分线的尺规作图角平分线的作法:①以点O 为圆心,适当长为半径画弧,交OA 于点C, 交OB 于点D ;②分别以C ,D 为圆心,大于的长为半径画弧,两弧在∠AOB 的内部交于点E ;③画射线OE ,射线OE 即为∠AOB 的平分线.注意:(2)中画弧时,半径一定要大于的长,否则两弧没有交点.典例1.(2021·宁夏石嘴山市·八年级期末)如图,在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,以顶点A 为圆心,适当长为半径画弧,分别交AC ,AB 于点M ,N ,再分别以M ,N 为圆心,大于12MN 的长为半径画弧,两弧交于点P ,作射线AP 交边BC 于点D ,若15AB =,ABD ∆的面积是30,则CD 的长为__________【答案】4【分析】过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ,根据角平分线的性质可得CD DH =,再根据三角形的面积即可求出DH ,从而求出结论.【解析】解:如图,过点D 作AB 的垂线交AB 于点E ,由题意可得:AD 平分BAC ∠,∵DH AB ⊥,90C ∠=︒∴CD DH =,∵15AB =,ABD △的面积为30, ∴1302AB DH ⨯⨯=,即115302DH ⨯⨯=, ∴4DH =,∴4CD =,故答案为:4.【点睛】本题考查的是角平分线的性质,掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键.典例2.(2021·山东青岛市·八年级期末)已知:如图,∠ABC 及边BC 上一点D .求作:点P ,使点P 在∠ABC 内部,点P 到∠ABC 两边的距离相等,且P 到D 点的距离最短.【答案】见解析【分析】利用基本作图,先作∠ABC 的平分线,再过D 点作角平分线的垂线得到P 点.【解析】解:如图,点P 为所作.【点睛】本题考查了作图-基本作图,熟练掌握基本作图(作已知角的角平分线;过一点作直线的垂线)是解决问题的关键.也考查了角平分线的性质和垂线段最短.四. 垂直平分线的性质1. 定义:经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫线段的中垂线.2. 性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.3. 三角形的三边的垂直平分线交于一点,该点到三个定点的距离相等典例1.(2021·四川八年级期末)如图,有A、B、C三个居民点,现要选址建一个新冠疫苗接种点方便居民接种疫苗,要求接种点到三个居民点的距离相等,接种点应建在()A.ABC的三条中线的交点处B.ABC三边的垂直平分线的交点处C.ABC三条角平分线的交点处D.ABC三条高所在直线的交点处【答案】B【分析】根据垂直平分线的性质判断即可.【解析】解:根据线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等.则接种点应建在△ABC三条边的垂直平分线的交点处.故选:B.【点睛】本题主要考查线段的垂直平分线的性质:线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等;此题是一道实际应用题,做题时,可分别考虑,先满足到两个居民点的距离相等,再满足到另两个居民点的距离相等,交点即可得到.典例2.(2021·浙江八年级期末)如图,在ABC 中,,AB AC m AB ==的垂直平分线交AC 于G ,BC n =,则的BGC 周长是( )A .2mB .m n +C .m n -D .2n【答案】B 【分析】根据垂直平分线的性质得AG =BG ,AD =BD ,则利用等线段代换得到△BGC 的周长.【解析】解:∵DG 垂直平分AB ,∴AG =BG ,AD =BD ,∴△BGC 的周长=BG +CG +BC =AG +CG +BC =AC +BC =m +n ,故选B .【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质:垂直平分线垂直且平分其所在线段;垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.五. 垂直平分线的判定垂直平分线的判定:与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上,通常要找到这样的两个点,根据“两点确定一条直线”来判定这条直线是已知直线的垂直平分线。
中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线
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中考数学知识整理三角形中的角平分线与垂直平分线数学知识整理:三角形中的角平分线与垂直平分线在中考数学中,三角形是一个重要的几何图形。
学习和掌握三角形的性质、特点以及相关定理,对于解题和理解某些数学概念都有着重要意义。
本文将着重介绍三角形中的角平分线与垂直平分线,帮助读者更好地理解和应用相关知识。
1. 角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发,将这个角平分成两个相等的角的直线段。
对于任意一个三角形ABC,如果从顶点A引出一条角平分线AD,则AD将角BAC平分为两个相等的角BAD和CAD。
(插图1:三角形ABC,AD为角BAC的角平分线)角平分线的性质有以下几点:1.1 角平分线的定理定理1:如果一条直线平分一个角,那么这条直线上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
定理2:如果一条线段平分一个角且通过角的顶点,那么这条线段上的任意一点到这个角的两边的距离相等。
这两个定理表明了角平分线在平分角时所具备的重要性质,这些性质经常被应用于解决相关的几何问题。
1.2 角平分线分割线段角平分线不仅将角分为两个相等的部分,还有一个重要的性质是它可以将三角形的对边分割成两个比例相等的线段。
具体地说,如果在线段BC上任取一点D,且AD是∠BAC的角平分线,则有以下结论:结论1:$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$结论2:$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB^2}{AC^2}$这两个结论在解决线段的比例问题时经常被使用。
2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个线段的中点引出一条与该线段垂直且等长的线段。
对于任意一个三角形ABC,如果线段DE是边AC的垂直平分线,则AD=DC,且线段DE与边AC垂直。
(插图2:三角形ABC,DE为边AC的垂直平分线)垂直平分线有以下性质:2.1 垂直平分线的定理定理1:如果一条直线垂直平分一个线段,那么这条直线上的任意一点到这个线段的两个端点的距离相等。
角平分线与垂直平分线的性质
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角平分线与垂直平分线的性质一、角平分线1.定义:从一个角的顶点出发,把这个角平分成两个相等的小角的一条射线,称为这个角的角平分线。
(1)一个角只有一条角平分线;(2)角平分线上的任意一点,到这个角的两边的距离相等;(3)角的角平分线与这个角的两边构成等腰三角形;(4)角的角平分线与这个角的对边平行。
二、线段的垂直平分线1.定义:在线段的中点垂直于线段的一条直线,称为线段的垂直平分线。
(1)线段的垂直平分线唯一;(2)线段的垂直平分线垂直于线段;(3)线段的垂直平分线将线段平分成两个相等的部分;(4)线段的垂直平分线上的任意一点,到线段的两个端点的距离相等。
三、角平分线与垂直平分线的联系1.圆的角平分线和垂直平分线都是圆的半径;2.圆的直径的垂直平分线也是圆的角平分线;3.线段的垂直平分线是线段的角平分线的垂直平分线。
4.求角的度数:利用角的角平分线和已知角的度数,可以求解未知角的度数;5.证明线段相等:利用线段的垂直平分线,可以证明线段相等;6.证明三角形全等:利用三角形的角平分线和垂直平分线,可以证明三角形全等;7.求解几何图形的面积:利用角平分线和垂直平分线的性质,可以求解几何图形的面积。
以上是关于角平分线与垂直平分线的性质的详细介绍,希望对您有所帮助。
习题及方法:1.习题:求证:在一个等腰三角形中,底角的角平分线与顶角的角平分线相等。
(1)画出等腰三角形ABC,其中AB=AC,BC为底边;(2)分别画出底角B和顶角A的角平分线,交于点D;(3)连接BD和AD;(4)利用等腰三角形的性质,得到∠ABC=∠ACB;(5)利用角平分线的性质,得到∠ABD=∠CBD和∠ADB=∠ADC;(6)根据∠ABC=∠ACB和∠ABD=∠CBD,得到∠ADB=∠ADC;(7)因此,底角的角平分线与顶角的角平分线相等。
2.习题:求证:一个三角形的角平分线与这个三角形的外接圆相切。
(1)画出三角形ABC;(2)画出三角形ABC的外接圆,圆心为O;(3)分别画出三角形ABC的三个角的角平分线,交于点D、E、F;(4)连接OD、OE、OF;(5)利用角平分线的性质,得到OD=OE=OF;(6)利用圆的性质,得到OD垂直于AC,OE垂直于AB,OF垂直于BC;(7)因此,三角形的角平分线与这个三角形的外接圆相切。
初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用
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初中数学知识归纳角平分线和垂直平分线的性质和应用初中数学知识归纳:角平分线和垂直平分线的性质和应用角平分线和垂直平分线是初中数学中两个重要的概念。
它们具有各自独特的性质和应用。
本文将对这两个概念进行归纳总结,并分析它们在数学问题中的实际应用。
一、角平分线的性质和应用角平分线是指把一个角平分成两个相等的角的线段。
下面我们来归纳角平分线的性质和应用。
1. 性质:(1)角平分线把一个角分成两个相等的角。
(2)角平分线上的点到角的两边距离相等。
(3)角平分线是角的内切线。
2. 应用:(1)角平分线的性质可以用于解决角度相等或相似的证明问题,例如证明两条线段的夹角相等,证明两个三角形相似等。
(2)利用角平分线的性质,可以快速求解角平分线在三角形中的位置,从而解决与三角形相关的计算问题。
以上是角平分线的性质和应用的简要介绍。
二、垂直平分线的性质和应用垂直平分线是指垂直于线段并将其平分的线段。
下面我们来归纳垂直平分线的性质和应用。
1. 性质:(1)垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
(2)垂直平分线与线段的两个端点和中点连线垂直。
(3)垂直平分线是线段的中垂线。
2. 应用:(1)垂直平分线的性质可用于证明线段的平分线与垂直平分线相交于线段的中点。
(2)利用垂直平分线的性质,我们可以求解线段的中点坐标,从而解决与平面几何相关的计算问题。
以上是垂直平分线的性质和应用的简要介绍。
三、角平分线和垂直平分线的实际应用举例角平分线和垂直平分线不仅在数学问题中有重要的应用,也在实际生活中有着广泛的应用。
以下是两个实际问题的举例:1. 实际问题1:假设我们要设计一个广告牌,使其以某个角度正好对准太阳光的照射方向。
根据角平分线的性质,我们可以确定广告牌的角度,并根据此角度来安装广告牌,以获取最佳的阳光照射效果。
2. 实际问题2:在制作家具的过程中,如果要确保家具的一条边是水平的,可以利用垂直平分线的性质,通过测量线段两个端点到垂直平分线的距离来调整线段的位置,以保证家具制作的精准度。
角平分线与垂直平分线
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角平分线与垂直平分线在几何学中,角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决几何问题和证明定理时起到了关键作用。
本文将介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质以及它们在几何学中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等角的直线或线段。
对于任意一个角ABC,如果直线AD将角ABC分成两个相等角,那么称直线AD 为角ABC的角平分线。
如图1所示,AD是角ABC的角平分线。
角平分线有以下的性质:1. 角平分线与角的两边垂直角平分线与角的两边垂直是角平分线的重要性质之一。
也就是说,角的两边与角平分线之间的夹角是90度。
这是很容易证明的,我们可以利用垂直角的性质来证明。
2. 角平分线相交于角的内部角平分线与角的两边相交于角的内部。
这可以通过反证法来证明。
假设角平分线与角的内部不相交,那么根据对角分线定理,该线段将角分成两个不等的角,与角平分线的定义相矛盾。
3. 角平分线将角分成两个相等角这是角平分线的定义所保证的。
通过角的内部一点作角的角平分线,可以将角分成两个相等的角。
这一性质在解决几何问题时经常会被应用。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一条线段分成两个相等的线段,并且与该线段垂直的直线或线段。
对于线段AB,如果直线CD将线段AB平分,并且垂直于线段AB,那么称直线CD为线段AB的垂直平分线。
如图2所示,CD是线段AB的垂直平分线。
垂直平分线也有一些重要的性质:1. 垂直平分线与线段相交于线段的中点垂直平分线与线段相交于线段的中点,这是垂直平分线的定义所保证的。
线段的中点是指线段的两个端点的中点,可以通过连结线段的两个端点并取垂直平分线上的一点来证明。
2. 垂直平分线是线段的对称轴垂直平分线将线段分成两个相等的部分,并且对称于垂直平分线。
这是因为线段的两侧与垂直平分线之间的距离相等。
3. 垂直平分线垂直于线段垂直平分线与线段垂直是垂直平分线的重要性质之一。
也就是说,线段与垂直平分线之间的夹角是90度。
平面几何中的角平分线和垂直平分线
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平面几何中的角平分线和垂直平分线在平面几何中,角平分线和垂直平分线是两个重要的概念。
它们在解决三角形和四边形等几何问题时起到了关键的作用。
本文将详细介绍角平分线和垂直平分线的定义、性质和应用。
一、角平分线角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的直线。
具体而言,对于一个角ABC,如果有一条直线AD,使得∠DAB和∠DAC的度数相等,则称线段AD为角ABC的平分线。
如下图所示:[图]角平分线具有以下性质:1. 角平分线将原始角分成两个度数相等的角。
2. 角平分线与角的两边相交,且交点在角的内部。
3. 如果一条线段是角的平分线,则这条线段上的所有点到角的两边的距离相等。
角平分线的应用广泛。
在解决几何问题时,我们常常需要根据已知条件来确定角的度数,进而研究其他相关性质。
在构造角的平分线时,可以帮助我们将一个角划分为两个相等的部分,从而简化问题的处理。
二、垂直平分线垂直平分线是指将一个线段分成两个相等部分,并且与该线段垂直的直线。
具体来说,对于一个线段AB,如果有一条直线CD,使得CD与AB垂直且AD=BD,则称线段CD为线段AB的垂直平分线。
如下图所示:[图]垂直平分线具有以下性质:1. 垂直平分线将线段分成两个相等的部分。
2. 垂直平分线与线段的中点重合。
垂直平分线的应用也非常广泛。
在解决几何问题时,我们经常需要将线段平分成相等的部分,以便进行进一步的研究。
垂直平分线的存在可以帮助我们确定线段的中点,并且可以方便地构造出与线段垂直的直线。
综上所述,角平分线和垂直平分线在平面几何中具有重要的地位和作用。
它们的定义和性质为我们解决各种几何问题提供了有力的工具和方法。
熟练掌握角平分线和垂直平分线的性质,对于理解和应用几何知识具有重要的意义。
因此,在学习和研究平面几何的过程中,我们应该注重对角平分线和垂直平分线的理解和运用。
相信通过不断的练习和实践,我们将能够灵活地应用它们,解决各类几何问题。
角的平分线与垂直平分线
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角的平分线与垂直平分线角是几何学中常见的重要概念,平分线是指将一个角平分为两个相等部分的线段。
垂直平分线则是指从一个角的顶点到对边中点的垂线。
角的平分线与垂直平分线在几何学中有着广泛的应用,并且具有一些重要的性质和定理。
本文将详细介绍角的平分线与垂直平分线的概念、性质以及应用。
1. 角的平分线角的平分线是指从角的顶点出发,将角分成两个相等的部分的线段。
平分线可以是直线、射线或线段。
当平分线是直线时,它穿过角的顶点并且将角分成两个相等的角度。
当平分线是射线或线段时,它起始于角的顶点但不穿过角的顶点,并且将角分成两个相等的一部分。
平分线有时候也被称为角的二等分线。
平分线是角的重要性质之一。
在几何学中,平分线可以帮助我们解决各种角相关的问题。
例如,当我们需要将一个角分成两个相等的角度时,可以通过构造该角的平分线来达到目的。
平分线也可以用来证明两个角相等,当且仅当它们的平分线重合时,这是角的平分线的一个重要性质。
2. 垂直平分线垂直平分线是指从一个角的顶点作垂线,且该垂线与对边重合的线段。
换句话说,垂直平分线是从一个角顶点到对边中点的垂线。
垂直平分线有时候也被称为角的垂直二等分线。
与平分线类似,垂直平分线也有许多重要的性质和应用。
首先,垂直平分线将一个角分成两个相等的角度。
其次,垂直平分线是角的对称轴,即通过对称操作,将角绕垂直平分线旋转180度,可以得到一个重合的角。
这个性质在角的对称性证明中经常被使用到。
3. 角的平分线与垂直平分线的应用角的平分线和垂直平分线在几何学中广泛应用于证明和解决各种角相关的问题。
它们可以帮助我们证明两个角相等、寻找角的平分线、构造垂直平分线等。
举个例子,假设我们需要证明两个角相等。
可以通过构造两个角的平分线来达到目的。
首先,我们利用直尺和铅笔构造出两个角,并在它们的顶点处作出平分线。
接着,我们可以利用这些平分线的性质来证明这两个角是相等的。
此外,平分线还可以帮助我们寻找未知角的大小。
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角平分线与垂直平分线知识点
一、角平分线
1.角平分线可以得到两个相等的角。
(角平分线的定义)
∵AD是∠CAB的角平分线
1∠CAB
∴∠CAD=∠B AD=
2
2.角平分线上的点到角两边的距离相等。
(角平分线的性质)
∵AD是∠CAB的角平分线,DC⊥AC ,DB⊥AB
∴DC=DB
3.三角形的三条角平分线交于一点,称作三角形内心。
三角形的内心到三角形三边的距离相等。
4.到角两边的距离相等的点在角平分线上。
(角平分线的判定)
∵DC⊥AC ,DB⊥AB,DC=DB
∴点D在∠CAB的角平分线上。
二、角平分线图模(对称性)
1、角平分线作垂线
角平分线+垂直一边:“图中有角平分线,可向两边作垂线,作完垂线全等必出现”
若PA⊥OM于点A,可以过P点作PB⊥ON于点B,则PB=PA。
利用角平分线的性质定理,可以得到∆OAP≌∆OBP(AAS)。
2、角平分线+垂线:“角分垂必延长”垂直角分线,等腰全等现。
若AP⊥OP于点P,可延长AP交ON于点B,构造△AOB是等腰三角形,P是底边AB的中点,三线合一,∆OAP≌∆OBP(ASA)。
3、角平分线+斜线:“截等长构造全等”
若点A是射线OM上任意一点,可以在ON上截取OB=OA,连接PB,构造△OPB≌△OPA(SAS)。
4、角平分线+平行线:“角平分线+平行线,等腰三角形必出现”
若过P点作PQ∥ON交OM于点Q,利用平行的内错角相等及等角对等边
可以得到△POQ是等腰三角形。
5、角平分线+对角互补:“截长补短构造全等”
6、夹角模型
①双内角角平分线模型:BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线,则:
∠P=90°+1
2∠A.
②内角和外交角平分线模型:BP、CP分别是∠ABC、∠ACE的角平分线,则:
∠P=1
2∠A.
③双外角角平分线模型:BP、CP分别是∠CBD、∠BCD的角平分线,则:
∠D=90°-1
2∠B.
在∠AOB中,画角平分线:
1.以点O为圆心,以任意长为半径画弧,两弧交∠AOB两边于点M,N。
2.分别以点M,N为圆心,以大于1
2MN的长度为半径画弧,两弧交于点P。
3.作射线OP。
射线OP就是所求作的∠AOB的角平分线。
三、垂直平分线(中垂线)
1、经过某一条线段的中点,并且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线。
(垂直平分线的定义)
∵PC是AB的垂直平分线
∴AC=BC ,∠ACP=∠BCP=90°
2、线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
(垂直平分线的性质)
∵PC是AB的垂直平分线
∴AP=BP
3、到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
(垂直平分线的判定)
∵AC=BC ,∠ACP=∠BCP=90°
∴PC是AB的垂直平分线
或∵AP=BP
∴点P在AB的垂直平分线上。
4、三角形三条垂直平分线的交点叫外心,外心到三个顶点的距离是相等的。
5、垂直平分线的画法:
1.先用圆规取大于1
2AB的长度
2.分别以A、B为圆心在线段两边,向上下界面画弧
3.连接两个交点所得到的直线就是线段AB的垂直平分线。