离散数学第七章__环

用a-1表示a的逆元，且规定 a n (a1 )n
则对任何整数都有
a a a
m n
mn
(a ) a
m n
mn
定义：若在一个环Ｒ里
a 0, b 0 但 ab 0
则称a是环Ｒ的一个左零因子，b是环Ｒ的一个右零因子。
例 Ｒ＝｛所有模n的剩余类｝规定R中的加法和乘法如 下：
[a] [b] [a b] [a][b] [ab]
7.1.3 域
例：Ｒ只包括一个元a加法和乘法规定为：
a a a, aa a
则Ｒ是个环，它只一个元a既是0元，也是a的逆元等。 例：全体有理数作成的集合对于普通数的加法和乘法作成 一个环，显然对于任意一个非０有理数a，都有逆元a-1。 定义：一个环 F 叫做一个域，若
１、F 至少包含一个不等于零的元； ２、有一个单位元； 3、可换的； 4、每一个不等零的元都逆元。
注：一个环Ｒ中的单位元常用1表示，且规定
a0 1
定义（含单位元的环）：（R，。）是单元半 群 常见的环：整数环，有理数环，实数环。 推论：（R，。）不可能构成群。 （因为0元无逆元）
运算规则：
(a b)c ac bc c(a b) ca cb
0a a 0 0 （0为Ｒ中零元）
可以验证Ｒ是一个环，称为模n的剩余类环。 若n不是素数，则 n=ab, n 不整除 a, b,
[a] 0,[b] 0 但 [a][b] [ab] [n] [0]
所以n非平凡因子均为Ｒ的零因子。
例 数域 R 上一切 n 阶方阵对于矩阵的加法和乘法来说做 成一个有单位元的环， 则当 n 2 时有非0矩阵乘积为０矩阵，所以有零因子。
环的分类：
环 交换环 有单位元环 无零因子环
整环
域
除环
常见的域： 有理数域 实数域； 复数域。 整数环不是域
域的性质：
１、无零因子（等价于满足消去律）。
因为
a 0, ab 0 a1ab b 0
２、不等零的元对于乘法来说作成一个群 F＊
称为乘法群。 3、域是整环。整环不一定是域，但有限整环是域。 注：域由两个群构成，分配律是一这两个群之间联系的桥 梁。
a0 和
wk.baidu.com
ab ac ab ac 0 a(b c) 0
得
b c 0 即 b c 消去律成立。
反之，假设消去律成立，因为
ab 0 ab a 0
所以由消去律知若 a
0则 b0
所以环Ｒ没有零因子。
推论: 一个环若有一个消去律成立，则另一个消去律 也成立。
规定：
n n a aa a
则有：
a a a
m n m n
m n mn
(a ) a
定义：一个有单位元环的一个元b叫做元a的逆元，假如
ab ba 1
逆元唯一性：环一个元a若有逆元，则最多只有一个逆元。
注：不是环中所有元都有逆元，如整数环中除１和-1外 其余元都滑逆元。
1 0 1 1 如 A 0, B 0 1 0 1 1
但ＡＢ＝０
定理 在一个没有零因子的环里两个消去律成立。反之 一个环里消去律成立，则这个环没有零因子。
a 0, ab ac b c a 0, ba ca b c
证明：因为Ｒ没有零因子，所以由
第七章 环论与格
§ 7.1 环论
7.1.1 环
定义：一个交换群叫做一个加群，假如将群的代数运算叫 做加法，并且用称号+表示。 因此在加群里n个元 a1 , a2 ,, an 的和有意义，这个和
n
用符号 ai 即： ai a1 a2 an
i 1
n
加群中的单位元用0表示，称为零元。元a的逆元用-a表示， 称为负元。 则有运算规则： 0 a a 0 a
3、关于乘法与加法满足分配律：
定义：一个环Ｒ叫做交换环，假如
ab ba
其中a,b为Ｒ中任意元。 所以有：a
n n
b (ab)n
定义：一个环Ｒ的一个元e叫做一个单位元，假如有
ea ae a
其中a为Ｒ中任意元。
注：不是所有环都有单位元，如下例。
例 Ｒ＝｛所有偶数｝，Ｒ对于普通数的加法和乘法作成 一个环，但Ｒ没有单位元。 单位元的唯一性：一个环Ｒ如果有单位元则其单位元是唯 一的。
(a)b a(b) ab
(a)(b) ab
a(b1 b2 bn ) ab1 ab2 abn
a b
i 1 i j 1
m
n
j
a1b1 a1bn amb1 ambn
(na) b a(nb) n(ab)
定义（子环）：
子环的判定定理：
7.1.2 整环
定义：一个环Ｒ叫做一个整环，若 １、乘法适合交换律： ２、有单位元１:
ab ba
1a a1 a
3、Ｒ没有零因子： ab 0 a 0或b 0 其中a,b为Ｒ中任意元素。 例如：整数环，有理数环，实数环都是整环。
性质： 1、整环满足消去律； 2、（Zm，+m，xm）是整环的充要条件是m是 素数； 3、在整环中，可以进行加减乘除运算。 （P97 定理7.2）
i 1
a a a a 0
(a) a ac b c ba
(a b) a b, (a b) a b
规定:
n na a a a (n)a (na), 0a 0
则有：
ma na (m n)a m na mn a
0a a 0 0（0为Ｒ中零元）
n(a b) na nb
定义 一个集合（Ｒ，+，。）叫做环，假如
1、Ｒ是个加群，即Ｒ对于一个叫做加法的代数运算来说作 成一个交换群；
2、关于乘法满足结合律：
a(bc) (ab)c
a(b c) ab ac (b c) ba bc