分式函数求最值班 班

分式函数的图象及性质和值域（4，13班） 耿9.2 在近几年的高考和模拟考试题目中，经常会出现求解模型函数为分式函数值域的题目，而分式函数的值域求法有共同的规律，本节课给大家介绍解法并总结出通法！ 【知识要点】 1．函数(0,)ax b

y c ad bc cx d

+=

≠≠+

（1）定义域：{|}d x x c

≠-（2）值域：{y 调性：单调区间为(,),(,+)d d

c c -∞--∞（4中心：渐近线为直线,

d a x y c c =-=，（5）奇偶性：当0a d ==时为奇函数。（6）图象：如图所示。

2．函数(0,0)

b

y ax a b x

=+>>的图象和性质：

（1）定义域：{|0}x x ≠（2）{|y y y ≥≤-或（3

单调性：在区间+),(,∞-∞间上是减函数（5直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

3．函数(0,0)b

y ax a b x

=+><的图象和性质：

（1）定义域：{|0}x x ≠（2）值域：R （3）奇偶性：奇函数（4）单调性：在区间(0,+)∞和(,0)-∞上是增函数。（5）渐近线：以y 轴和直线y ax =为渐近线（6）图象：如图所示。

4．函数(0)b

y ax a x

=+<的图象（如图所示）和性质（略）：

类型一：(,,,)ax b

y a b c d R cx d

+=

∈+（

“一次比一次”型） 备注：本质上一定是反比例函数上下或左右平移而来，所以一定是中学对称函数，可以从图像观察出其值域范围。 例1。函数1

1

+-

=x y 的图象是 （ ）

A B C D

例2、画出函数21

1

x y x -=-的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

【分析】212(1)112111x x y x x x --+=

==+---，

即函数211x y x -=-的图像可以经由函数1

y x

=的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

由此可以画出函数21

1

x y x -=

-的图像，如下： 单调减区间：(,1),(1,)-∞+∞；

值域：(,2)(2,)-∞+∞；

对称中心：(1,2)。

例3.不等式14x x

>的解集为

（ ）

1111111. (,0)(,) . (-,)(,) . (,0)(0,,+) .(,0)(0,)2222222

A B C D -+∞∞-+∞-∞-

类型二：22,bx c dx ex f

y or y dx ex f bx c

+++==+++，（“一次比二次”或“二次比一次”型）

备注：处理这种分式函数时主要用换元法，即“照着低次配高次”，然后在分离变形。 例

4、设1x >，求函数221

1

x x y x -+=-的最小值．

例5、 求2710

(1)1

x x y x x ++=

>-+的值域。 例6：1

43442122+-=⋅=∆k k PQ d S OPQ

，求面积函数的取值范围 例7、求函数2

y =

的值域。

例8.已知函数2

()ax b

f x x c

+=

+的图象如图所示，则,,a b c 的大小关系为

（ ）

. . . .A a b c B a c b C b a c Db c a >>>>>>>>

类型三：22ax bx c y dx ex f

++=++，（“二次比二次”型）

备注：处理这种分式函数时主要是先分离，再用类型二的方法去处理。

例9：函数221

x x

y x x -=-+的值域是

例10、求函数22

45

(),[0,2]43

x x f x x x x ++=∈++的值域． 类型四：“二次比四次型”

备注：处理这种分式函数时，若二次仅有二次项，则直接将其换元后分离，若二次项比较复杂时，则先将二次转化为完全平方因式，再用换元法拆分后变形

例11．求4221x x y x -=+的值域

例12．求

24

2

2

2e e e λ-=-．的值域， 类型五：“四次比四次型”：

例13

：2()1)ABC S f k k ∆==

>，求面积函数的取值范围

例14求四边形PMQN面积S=

)2

()

1(2 4

2

2

2

2 +

+

k k k

的取值范围