用随机变量的特征函数求积分与级数

1. 引言
特征函数虽不如分布函数那样直观，却有很好的分析性质，利用这些性质可将积分、求 和运算化为求导运算，从而求得某些积分的值和级数的和．
2. 定义、性质
∫ 定义 2．1（[1]） Fξ (x) 是随机变量ξ 的分布函数，称函数ϕξ (t) = Eeitξ =
+∞ −∞
eitx
dFξ
(
x)
为随机变量ξ 的特征函数.[1]
由数学期望的定义知
∑ ( ) n
Eξ =
(−1)k −1
n k
,
k =1
所以有
∑ ( ) ∑ ( ) n
n
(−1)k −1
1 2n
n k
=0 即
(−1)k −1
n k
= 0.
k =1
k =1
∫ 问题 3.4 我们知道 Γ(k +1) = +∞ xke−xdx = k !可用分步积分法来解决,下面我们换个 0
t =±1
.
t ≠±1
ϕ ′(t) = { + + + } ξ
1
−
sin[(
t
+1)
π 2
]
2
(t +1)2
π 2
⋅cos[(t
+1)
π 2
]
t +1
−
sin[(
t
−1)
π 2
]
(t −1)2
; π
2
⋅cos[(t
−1)
π 2
]
t −1
ϕ ′′(t) = { − + − − − } ξ
1
2
sin[(
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
.
0
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解 由引理得
f (0) = i e f (0) = i e (k+1)
k +1
(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
, k +1
(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
所以，由特征函数性质知
ξ E
k +1
=
(−i) k +1
f
(k+1) (0)
+
(1 +
e−it )n
+
(1−
e−it )n ]
故
ϕξ ′ (t )
=
1 2
[n(1
+
eit )n−1ieit
+
n(1− eit
) n −1 ieit
−
n(1 +
e−it )n−1ie−it
+
n(1 −
e−it )n−1ie−it ]
所以
ϕξ′(0) = 0 .
由特征函数的性质知 Eξ = −i ⋅ϕξ′(0) = 0 ,
.
m=1
m=1
-2-
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n
n
即
∑ ∑ m
=
n ( n +1) 2
，
m = 2
n ( n +1)( 2 n +1) 6
.
m=1
m=1
∑ ( ) n
问题 3.3 我们知道级数
(−1)k −1
n k
可用数学分析的知识来求，我们不妨换个角度用
k =1
特征函数来求．
2.
所以由特征函数性质得
Eξ
=
1 i
ϕ
′(0)
=
1 i
i
n+1 2
=
n+1 2
,
Eξ
2
=
(−i)2
⋅ ϕ ′′(0)
=
( n +1)( 2 n +1) 6
.
由矩的定义知
n
n
∑ ∑ Eξ =
m
1 n
,
Eξ 2
=
m2
1 n
.
m=1
m=1
n
n
故
∑ ∑ m
1 n
=
, n+1 2
m = 2 1 n
( n +1)( 2 n +1) 6
|x| a
dx
=ak k !.
令 a=1 得 (2)当 k 为奇数时，
∫ ∫ +∞ xke−|x|dx = 2k !， Γ(k +1) = +∞ xke−xdx = k !.
−∞
0
由 k −1为偶数则
∫ ∫ Γ(k +1) = +∞ xke−xdx = k +∞ xk−1e−xdx ,
0
0
∫ Γ(k +1) = k +∞ xk−1e−xdx = k(k −1)! = k !. 0
⎛ ⎜ ⎝
1, 2,L,
1 n
,
1 n
,L
,
n⎞
1 n
⎟ ⎠
,则其特征函数为
所以
n
ϕ (t) = ∑ e = ξ
1 itm n
; eit −eit ( n+1) n(1−eit )
m=1
ϕ′ (t) = ξ
, ieit [1−(n+1)eitn +nei ( n+1)t ] n(1−eit )2
ϕ ′′(t ) = ⋅ . i2 [eit −(n+1)2 eit ( n+1) +(2n2 +2n−1)eit (n+2) +e2it −n2eit (n+3) ]
特别地
(1)如果ξ 为连续性的，它的密度函数为 fξ (x) ,则它的特征函数为
∫ ϕξ (t) = Eeitξ =
+∞ −∞
eitxfξ
(x)dx
;
(2)如果 ξ
是离散型的，它的密度矩阵为
⎛ ⎜ ⎝
x1, p1,
x2 ,L ⎞ p2 ,L⎟⎠
，则它的特征函为
+∞
∑ ϕξ (t) = Eeitξ = eitxj p j . j =1
pieit (1−qeit )+ pieit qeit (1−qeit )2
; pieit
(1−qeit )2
ϕ′′(t) = i p ξ
2
; (eit +qe2it )
(1−qeit )3
-1-
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ϕ′′′(t) = i p ξ
3
. (eit +4qe2it +q2e3it ) (1−qeit )4
(2k
− 1) !! .
由特征函数的性质
Eξ 2k
= (−i)2k ϕξ 2k (0)
=
(2k −1)!! 2k
,
由 2k 阶矩定义
∫ Eξ 2k = +∞ x2k e−x2 dx , 0
故
∫ x e dx = +∞ 2k −x2 −∞
(2k −1)!! 2k
.
即
∫ x e dx = +∞ 2k −x2 0
ξ
n
(1−eit )3
由于ξ 存在二阶矩，故ϕ′(t) 连续
所以
ϕ′ (0) = lim = i ξ
ieit [1−(n+1)eitn +nei ( n+1)t ]
t→0
n(1−eit )2
n+1 2
,
ϕξ′′(0)
=
lim
t→0
ϕξ′′(t
)
=
⋅ n(n+1)(2n+1) i2
6
n
=
i ( n +1)( 2 n +1) 6
1 k3
,并整理得
+∞
∑ ( ) = m 3 km
. k3 (k6 +4k3 +1) (k3 −1)4
m=1
n
n
∑ ∑ 问题 3.2 我们知道级数
m
=
n ( n +1) 2
,
m2
=
n ( n +1)( 2 n +1) 6
可以用数学分析的知识来证
m=1
m=1
明，现在换个角度用特征函数将其解决.
解
设ξ
的密度矩阵为
故
∫ +∞ xke−xdx = k ! 即 Γ(k +1) = k !. 0
∫ 问题 3.5 我们知道 +∞ x2ke−x2 dx 可用递推法来解决，下面我们换个角度用特征函数 0
来解决设随机变量 ξ
服从
N
(0,
1 2
)
，其密度函数为：
p(x)
=
e 1
π
−x2 .
则其特征函数为：
∫ ∑ ϕξ (t) =
t
+1)
π 2
]
2
(t +1)3
π
⋅cos[(
t
+1)
π 2
]
(t +1)2
2sin[(t
−1)
π 2
]
(t −1)3
π
⋅cos[(
t
−1)
π 2
]
t −1
sin[(
t
−1)
π 2
](
π 2
)2
t −1
. sin[(t
性质 2.2 （[2]） 设随机变量ξ 的 n 阶矩存在，则它的特征函数可微 n 次，且当 k ≤ n 时，
f (k) (0) = ik E(ξ k ) .
3. 问题与讨论
+∞
+∞
∑ ∑ 问题 3.1([4]) 求级数
m 的和可用错位相减法来计算，那么级数
km
(
m km
)2
和级数
m=1
m=1
+∞
∑(
⎛ 0, 1, −2, L,
设随机变量 ξ
的密度矩阵为：
⎜ ⎜⎝
(
n 0
)
2n
,
(
n 1
)
2n
,
(
n 2
)
2n
,L ,
(−1)n−1 ⎞
(
n n
)
Leabharlann Baidu
2n
⎟ ⎟⎠
∑ 则其特征函数为： ϕξ (t) =
n
( ) it (−1)m−1
n m
e m 2n
m=0
=
1 2
[(1
+
eit )n
− (1− eit
)n
−
π 2
−
π 2
用特征函数来求.
{ 设随机变量ξ 的密度函数为： p(x) =
1 2
cos
x
0
, −
π 2
≤
x
≤
π 2
其他
则ξ 的特征函数为
π
⎧4
ϕ (t) = ⎨⎩ ξ
1 2
{
sin[( t +1)π2 t +1
]
+
sin[( t−1)π2 t−1
]
}
我们只研究| t |< 1时ϕξ (t) 的性质，则
故 由特征函数性质
ϕξ′(0) = i,ϕξ′′(0) = 2i2 ,L,ϕξ k (0) = k !ik .
Eξ = −i ⋅ϕξ′(0) = 1, Eξ 2 = (−i)2ϕξ′′(0) = 2!, L, Eξ k = (−i)k ⋅ϕξ k (0) = k !.
∫ 由 k 阶矩的定义知 Eξ k = +∞ xke−xdx , 0
m=1
m=1
所以
+∞
+∞
∑ ∑ m2 pqm−1 = p−2 (1+ q) ， m3 pqm−1 = p−3 (1+ 4q + q2 ) .
m=1
m=1
取q
=
1 k2
,
p
=1−
1 k2
,并整理得
+∞
∑ ( ) = m 2 km
. k 2 (k 2 +1)
(k 2 −1)3
m=1
取q
=
1 k3
,
p
=1−
=
e(
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
,
由 k +1 阶矩的定义知
ξ ∫ E = x e dx k+1
+∞
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
,
0
故
∫ x e dx = e +∞
k
−
1 2σ
2
(ln
x
−
a
)2
0
. (
k
+1)
a
+
(
k
+1)2 2
σ
2
π
π
∫ ∫ 问题 3.6 我们知道 2 x cos xdx ， 2 x2 cos xdx 可用分步积分法来求，我们换个角度
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用随机变量的特征函数求积分与级数
张庆月
南开大学数学院，天津（300071）
E-mail：jczhangqingyue@163.com
摘 要：本文主要讲述应用随机变量的特征函数求某些积分与级数的和，说明随机变量特征 函数在数学分析中有着重要的应用． 关键词：随机变量，k 阶矩，特征函数 中图分类号：0211.1
e +∞ itx ⋅ e− x2 ⋅
−∞
1 π
dx
=
e−
1 4
t
2
=
+∞
(− )1 i t2i 4 i!
,
i=0
故
ϕξ
2k
(t
)
=
(−
1 4
)k
(2k )! k!
+
(−
)1 k +1
4
2(k +1)L3t2 (k +1)!
+L,
所以
ϕξ 2k (0)
=
(−
1 4
)k
(2k )! k!
=
(−
1 2
)k
1 −i
2a
(it
+
1 a
)2
; i
(it
−
1 a
)2
所以
ϕ′′(t) = ( − ) ξ
1
2i2
2a
(it
+
1 a
)3
2i2
(it
−
1 a
)3
;
ϕ (t) = [ − ] k ξ
1 ik (−1)k k!
2a 2a
(it
+
1 a
)k
+1
. (−1)k k!
(
it
−
1 a
)k
+1
ϕξk (0)
= ik
1 2a
2k !ak+1
=
k !ik ak
.
所以由特征函数性质
Eξ k
=
1 ik
ϕ
(k
)
(0)
=
ik
1 ik
k !ak
= k!ak
,
由 k 阶矩的定义知
∫ ξ E
k=
x e dx +∞ 1
k
−
|x| a
−∞ 2a
,
-3-
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所以
∫ +∞ −∞
1 2a
x
k
e−
. (2k −1)!! 2k +1
引理( [3] )
设ξ 服从对数正态分布 LN (a,σ 2 ) 其密度 p(x)= 1 e−2σ12(lnx−a)2, x > 0 ，
x 2π
-4-
则其特征函数 f (t) 满足
f
(k ) (t)
=
i ek
ka
+
k
2σ 2
2
f
(tekσ 2
).
∫ 深化：求积分
x e dx +∞
于是，由特征函数的性质 4 得
Eξ 2 = (−i)2ϕ′′(0) = (−1)2 i4 p(1+ q)(1− q)−3 = p−2 (1+ q) ，
Eξ 3 = (−i)3ϕ′′′(0) = i3 pip−4 (1+ 4q + q2 ) = p−3(1+ 4q + q2 ) .
又因为
+∞
+∞
∑ ∑ Eξ 2 = m2 pqm−1, Eξ 3 = m3 pqm−1 .
m km
)3
怎么求呢？下面我们用特征函数来解决.
m=1
设ξ 为几何分布： P(ξ = m) = pqm−1(m=1,2,L), q=1-p, 且 0<p<1, 则有
+∞
+∞
∑ ∑ ϕξ (t) =
eitm pqm−1
=
p q
(qeit )m
=
peit 1−qeit
;
m=1
m=1
ϕ′ (t) = = ξ
法二
{ 设随机变量 ξ 服从参数为 1 的指数分布，其密度函数为 p(x) = e−x 0
x>0
x≤0 .
则其特征函数为：ϕξ (t) = (1− it)−1 .
所以
ϕξ′(t) = i ⋅ (1− it)−2 ,ϕξ′′(t) = 2i2 ⋅ (1− it)−3 ,L, ϕξ k (t) = k !ik ⋅ (1− it)−(k+1) .
角度，用特征函数来解决这个问题. 法一：(1)当 k 为偶数时
设随机变量 ξ
服从拉普拉斯分布,其密度函数为
p(x)
=
1 2a
e−
|x| a
.
则其特征函数为
ϕ ∫ ξ (t) =
e e dx = ( − ) +∞ itx 1
−
|x| a
−∞
2a
11
2a
it
+
1 a
, 1
it
−
1 a
所以
ϕ′ (t) = ( + ) ξ