数学建模与数学实验

数学建模与数学实验实验报告班级: 数学师范153 姓名：付爽学号：1502012060 实验名称: 数列极限与函数极限基础实验基础实验一数列极限与函数极限第一部分实验指导书解读一、实验目的从刘徽的割圆术、裴波那奇数列研究数列的收敛性并抽象出极限的定义；理解数列收敛的准则；理解函数极限与数列极限的关系。

二、实验使用软件Mathematic 5.0三．实验的基本理论即方法1割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割圆术计算圆周率π。

刘徽先注意到圆内接正多边形的面积小于圆面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。

割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。

”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS 表示单位圆的圆内接正123-⨯n 多边形面积，则其极限为圆周率π。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nS }的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正123-⨯n 多边形面积)r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ]t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组)ListPlot[t] (散点图)2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F 有著名的裴波那奇数列}{n F 。

如果令nn n F F R 11--=，由nF 递推公式可得出11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215limlim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nR }的收敛情况：n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1];Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t] 3收敛与发散的数列数列}{1∑=-n i p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。

4函数极限与数列极限的关系用Mathematica 程序m=0;r=10^m;x0=0; f[x_]=x*Sin[1/x] Plot[f[x],{x,-r,r}] Limit[f[x],x->x0]观察的1sin )(-=x x x f 图象可以发现，函数在0=x 点处不连续，且函数值不存在，但在0=x 点处有极限。

令100,,2,1,/1 ===n n ax n，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25; a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction→1] 分别取不同的数列na (要求0→na)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于1sin )(-=x x g ，类似地考察在0=x 点处的极限。

三、实验准备认真阅读实验目的与实验材料后要正确地解读实验，在此基础上制定实验计划（修改、补充或编写程序，提出实验思路，明确实验步骤），为上机实验做好准备。

四、实验思路提示 3.1考察数列敛散性改变或增大n ，观察更多的项（量、形），例如，n 分别取50，100，200，…；扩展有效数字k ，观察随n 增大数列的变化趋势，例如，k 分别取20，30，50；或固定50；或随n 增大而适当增加。

对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

3.2考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k ，提高计算精度。

要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

第二部分 实验计划实验主要是从观察数列的敛散性，观察函数值的变化趋势来理解极限的概念，进一步体会实验的准则1.割圆术中国古代数学家刘徽在《九章算术注》方田章圆田术中创造了割面积；其次，当将边数屡次加倍时，正多边形的面积增大，边数愈大则正多边形面积愈近于圆的面积。

“割之弥细，所失弥少。

割之又割以至不可割，则与圆合体而无所失矣。

”这几句话明确地表明了刘徽的极限思想。

以nS 表示单位圆的圆内接正 1 2 3n 多边形面积，则其极限Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nS}的收敛情况：m=2;n=15;k=10;For[i=2,i<=n,i++, l[i_]:=N[2*Sin[Pi/(3*2^i)],k]; (圆内接正1 23n 多边形边长)s[i_]:=N[3*2^(i-1)*l[i]*Sqrt[1-(l[i])^2/4],k]; (圆内接正1 23n 多边形面积) r[i_]:=Pi-s[i]; d[i_]:=s[i]-s[i-1];Print[i," ",r[i]," ",l[i]," ",s[i]," ",d[i]] ] t=Table[{i,s[i]},{i,m,n}] (数组) ListPlot[t] (散点图2裴波那奇数列和黄金分割由2110;1;0--+===n n n F F F F F有著名的裴波那奇数列}{n F 。

如果令nn n F F R 11--=，由nF 递推公式可得出11111/11---+=+=+=n n n n n n n R F F F F F R ，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215limlim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

用下列Mathematica 程序可以从量和形两个角度考察数列{nR }的收敛情况： n=14,k=10;For[i=3,i<=n,i++, t1=(Sqrt[5]+1)/2; t2=(1-Sqrt[5])/2; f[i_]:=N[(t1^(i+1)-t2^(i+1))/Sqrt[5],k]; (定义裴波那奇数列通项)rn=(5^(1/2)-1)/2-f[i-1]/f[i];Rn=f[i-1]/f[i];dn=f[i-1]/f[i]-f[i-2]/f[i-1]; Print[i," ",rn," ",Rn," ",dn]; ]t=Table[{i,f[i-1]/f[i]},{i,3,n}] ListPlot[t]，]251251[5111++⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=n n n F ； 215limlim 1-==+∞→∞→n nn n n F F R 。

3.收敛与发散的数列数列}{1∑=-ni p i 当1>p 时收敛，1≤p 时发散；数列}{sin n 发散。

4.函数极限与数列极限的关系用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察1xxf的图象可以发现，函数在0=x点处不连续，(-)sin=x且函数值不存在，但在0=x点处有极限。

令100,,2,1=nxan,/1==n，作函数的取值表，画散点图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}]ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Direction →1]分别取不同的数列n a(要求0→n a)，重做上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。

对于1x=xg，类似地考察在0=x点处的sin)(-三实验过程与结果设{xn}为实数列，a 为定数，若对任给的正数b,总存在正整数N，使得当n > N 时，有|xn - a|<b,则称数列收敛与a 定数a 称为数列的极限，程序如下：程序结果运行如下:裴波那奇数列和黄金分割1.考察数列敛散性改变或增大n，观察更多的项（量、形），例如，n分别取50，100，200，…；扩展有效数字k，观察随n增大数列的变化趋势，例如，k分别取20，30，50；或固定50；或随n增大而适当增加。

对实验要思考，例如，定义中的指标与柯西准则中的指标间的差异；数列收敛方式；又例如，如何估计极限近似值的误差。

2.考察函数极限与数列极限的关系改变函数及极限类型，例如，考虑六种函数极限，既选取极限存在也选取极限不存在的例子；改变数列，改变参数观察更多的量，考察形的变化趋势；扩展有效数字k，提高计算精度。

要对实验思考，归纳数列敛散与函数敛散的关系。

例：用Mathematica程序m=0;r=10^m;x0=0;f[x_]=x*Sin[1/x]Plot[f[x],{x,-r,r}]Limit[f[x],x->x0]观察1x=xf的图象可以发现，函数在0=x点x)sin(-处不连续，且函数值不存在，但在0=x点处有极限。

令100,,2,1,/1，作函数的取值表，画散点ax=nn==n图看其子列的趋向情况k=10;p=25;a[n_]=1/n;tf=Table[{n,N[f[a[n]],k]},{n,1,p}] ListPlot[tf]Limit[f[a[n]],n→Infinity,Directio n→1]分别取不同的数列a(要求0→n a)，重做n上述过程，并将各次所得图形的分析结果比较，可知各子列的极限值均为上述函数的极限值。