立体几何(角度、距离、体积)

立体几何

一、角度问题。

1. 如图,四棱锥P ABCD -中,PA ABCD ⊥底面,

2,4,3

BC CD AC ACB ACD π

===∠=∠=

,F 为PC 的中点,AF PB ⊥. (1)求PA 的长; (2)求二面角B AF D --的正弦值.

【答案】

2. 如图,圆锥顶点为p .底面圆心为o ,其母线与底面所成的角为22.5°.AB 和CD 是底

面圆O 上的两条平行的弦,轴OP 与平面PCD 所成的角为60°.

(Ⅰ)证明:平面PAB 与平面PCD 的交线平行于底面; (Ⅱ)求cos COD ∠. 【答案】解:

(Ⅰ) PAB P D ,

////C m AB CD CD PCD AB PCD ⋂=⊂⇒设面面直线且面面

//AB m ⇒直线 ABCD m ABCD AB 面直线面//⇒⊂ .

所以,ABCD D P PAB

的公共交线平行底面与面面C . (Ⅱ)

r

PO

OPF F CD r =

︒︒=∠5.22tan .60,由题知，则的中点为线段设底面半径为. ︒

-︒

=︒∠==︒⋅︒⇒=︒5.22tan 15.22tan 245tan ,2cos 5.22tan 60tan 60tan ,2

COD r OF PO OF . )

223(3)],1-2(3[2

1

cos ,1-25.22tan 12cos 2cos 22-==+∠=︒⇒-∠=∠COD COD COD 212-17cos .212-17cos =∠=∠COD COD 所以.

3. 如图,在四面体BCD A -中,⊥AD 平面BCD ,22,2,==⊥BD AD CD BC .M 是

AD 的中点,P 是BM 的中点,点Q 在线段AC 上,且QC AQ 3=.

(1)证明://PQ 平面BCD ;(2)若二面角D BM C --的大小为0

60,求BDC ∠的大

小.

【答案】解:证明(Ⅰ)方法一:如图6,取MD 的中点F ,且M 是AD 中点,所以

3AF FD =.因为P 是BM 中点,所以//PF BD ;又因为(Ⅰ)3AQ QC =且3AF FD =,所以//QF BD ,所以面//PQF 面BDC ,且PQ ⊂面BDC ,所以

//PQ 面BDC

;

方法二:如图7所示,取BD 中点O ,且P 是BM 中点,所以1

//

2PO MD ;取CD 的三等分点H ,使3DH CH =,且3AQ QC =,所以11

////42

QH AD MD ,所以

A

B

C

D

P

Q

M

（第20题图）

////PO QH PQ OH ∴,且OH BCD ⊂,所以//PQ 面BDC ;

(Ⅱ)如图8所示,由已知得到面ADB ⊥面BDC ,过C 作CG BD ⊥于G ,所以CG BMD ⊥,过G 作GH BM ⊥于H ,连接CH ,所以CHG ∠就是C BM D --的二面角;

由已知得到3BM ==,设BDC α∠=,所以

cos ,sin ,sin ,,CD CG CB

CD CG BC BD CD BD

αααααα===⇒===,

在RT BCG ∆中

,2sin BG

BCG BG BC

ααα∠=∴=

∴=,所以在RT BHG ∆中

213

3HG α

=∴=,所以在RT CHG ∆中

tan tan 6033

CG CHG

HG ∠===

= tan (0,90)6060BDC ααα∴=∈∴=∴∠=;

4. 如图,AB 是圆O 的直径,点C 是圆O 上异于,A B 的点,直线PC ⊥平面ABC ,E ,F

分别是PA ,PC 的中点.

(I)记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ,试判断直线l 与平面PAC 的位置关系,并加以证明;

(II)设(I)中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ,且点Q 满足1

2

DQ CP =

.记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ,异面直线PQ 与EF 所成的角为α,二面角E l C --的大小为β,求证:sin sin sin θαβ=.

【答案】解:(I)

EF AC ,AC ABC ⊆平面,

EF ABC ∴平面

又EF BEF ⊆平面

EF l ∴ l PAC ∴平面

(II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差

.)

第19题图

5. 如图,三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,CA=CB,AB=A A 1,∠BA A 1=60°.

(Ⅰ)证明AB ⊥A 1C;

(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA 1B 1B,AB=CB=2,求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值.

【答案】(Ⅰ)取AB 中点E,连结CE,1A B ,1A E ,

∵AB=1AA ,1BAA ∠=0

60,∴1BAA ∆是正三角形,

∴1A E ⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵1CE A E ⋂=E,∴AB⊥面1CEA ,