长方体的再认识
13．如图，沿长方形ABCD 的对角线BD 与长方形A 1B 1C 1D 1的对角线B 1D 1将长方体截成相等的两部分，截面BDD 1B 1，是一个______形，与它平行的棱有__________.
14．如图，将一张长方形的硬纸片对折，张开一个角度，然后直立于平面ABCD 上，那么折痕MN 与平面ABCD 的关系是 ．
15．如图，对长方体如图所示那样截去一角后余下的几何体有_________个顶点，_______条棱，________个面.
16．如图所示，长方体截去两个角的几何体，剩下有 个顶点, 条棱, 个面. 17.如图是长方体的 六面展开图，在原来长方体中，与平面B 垂直的面有_______. 18.如图，是由棱长为1的小正方体构成，其小正方体的个数为 个.
三．作图题（12分+14分，共26分）
19．画一个长方体，使它一个顶点出发的三条棱长分别是a 、b 、c .
20．补画下面的图形，使之成为长方体的直观图.
E G
H D
B C A Q R F
P S 第17题图
F
E
D
C B A
第16题图
第15题图第18题图
a b
c
四、简答题（12分+12分+14分+14分，共52分）
21．用一根108cm 长的铁丝做一个长、宽、高的比为2：3：4的长方体框，那么这个长方体的体积是多少？
22．把长、宽、高分别为5㎝、4㎝、3㎝两个相同的长方体粘合成一个大的长方体，求大长方体的表面积和体积.
23．如图，将一个横截面是正方形（面BCGF ）的长方体木料，沿平面AEGC 分
割成大小相同的两块，表面积增加了30平方厘米.已知EG 长5厘米，分割后每块木料的体积是18立方厘米.求原来这块长方体木料的表面积是多少？
24．小明准备用透明胶和硬纸板制作一个长方体纸盒，现在需要你的帮忙：
(1)制作前，要画出长方体纸盒的直观图，小明只画了一部分（如图1），请你帮他画完整（不写画法）； (2)制作时，需要裁剪一块长方形的硬纸板，小明经过设计发现正好将这块硬纸板全部用完（如图2），请你的长a 、宽b 和高c ；
求出长方体
(3)制作完成后，小明想把这个盒子表面的其中5个面都涂满相同的颜色，而且要使涂色部分的面积最少，
那么涂色部分的面积是多少呢？
H
E
F
G
D
A
B
C
第23题图
轴对称再认识二完整版
轴对称再认识(二)教案 备教材内容 1.本节课学习在方格纸上画出某个图形的轴对称图形。进一步帮助学生熟悉画一个图形的轴对称图形的方法并能画出轴对称图形的对称轴。 2．让学生在方格纸上沿对称轴画出轴对称图形的另一半，旨在培养学生的想象力，体会对应的数学思想。 备已学知识 备教学目标 知识与技能 1．借助方格纸补全一个简单的轴对称图形，或画出某个图形的轴对称图形。 2．进一步体会轴对称图形的特征。 过程与方法 1．在画图的活动中进一步体会轴对称图形的特征，积累图形运动的经验。 2．经历画轴对称图形另一半的过程，感受对应思想在轴对称中的应用。 情感、态度与价值观 1．在操作中感受创造的喜悦，发展学生的空间观念。 2．体会轴对称在生活中的广泛应用，感受数学的美。 备重点难点 重点：能在方格纸上根据轴对称图形已有的一半，画出另一半。 难点：画某一个图形的轴对称图形。 备知识讲解
知识点画轴对称图形的方法问题(1)导入淘气根据轴对称小房子的一半(见图①)画出了整座房子(见图②)，他画得对吗？(教材23页例题) 过程讲解 1．判断轴对称小房子画得对不对的依据 根据轴对称图形的特点，沿对称轴对折，看对称轴两侧的部分是否完全重合。如果完全重合，说明画得对，否则画得就不对。 2．判断小房子画得对不对 沿对称轴对折小房子，对折后对称轴两侧的部分不能完全重合，说明淘气画得不对。 3．观察图②，找出画错的原因 对称轴左右两侧小房子上相对应的点到对称轴的距离应该是相等的。小房子左下角的点到对称轴有2格，右下角的点到对称轴也应该有2格，而淘气画的小房子右下角的点到对称轴有3格，所以淘气画得不对。 问题(2)导入以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形的另一半。(教材23页例题) 过程讲解 1．观察画面，理解题意 方格纸上的图形是“松树”的左半边，这个图形由两个三角形和一个长方形组成，要求画出它的另一半。
《轴对称图形再认识》教学设计
北师大版五年级数学上册 《轴对称再认识（一）》教学设计 凭信小学陈素文 教学内容：北师大版小学五年级数学上册的21-22页。 学习目标： 1、进一步理解轴对称图形的特点，会判定一个图形是否是轴对称图形。 2、能在操纵过程中通过折一折，画一画，找到轴对称图形的对称轴。 重点： 经历探索过程，理解轴对称图形的特点，会判定一个图形是否是轴对称图形。 难点： 正确的表示出轴对称图形的对称轴。 教学资源：剪纸图片，课件，平面图形。 教学过程： 一、导入新课 出示剪纸图片，学生欣赏后提问：我们的民间艺术家用自己灵巧的双手剪出一幅幅优美的图案，他们都有一个共同的特点，你知道是什么吗？ 1、怎样来判断一个图形是不是轴对称图形呢？ 2、这节课我们继续研究轴对称图形，进一步认识轴对称图形的
特征。 二、探究新知 1、判断轴对称图形。 其实说起轴对称图形，我们并不陌生。在我们认识的图形中，就有一些轴对称图形。老师带来里一些，你能不能判断出哪些是轴对称图形？ a、课件出示教材第21页中平面图形。 学生判断，哪些是轴对称图形。 b、同学刚才的判断是否正确呢？我们一起来验证一下。 独立活动，学生动手操作，并汇报. 2、折一折，找对称轴。 长方形等腰梯形等这些图形都是轴对称图形。刚刚我们在折的过程中每一个图形都有一个折痕，那么折痕所在的这条直线就是轴对称图形的对称轴，找出每个图形的对称轴，并把你的想法在小组里说一说。 指名小组汇报。 大家用对折的方法找到了他们的对称轴，并发现了有的图形不止一条对称轴，表现不错！ 3、画对称轴。 对称轴的画法也很特殊，一般用点划线也就是用虚线来表示。 请同学们沿着折痕画一画，看一看那行图形不止一条对称轴。 三、巩固练习
初中数学鲁教版(五四制)九年级上册第三章 二次函数1 对函数的再认识-章节测试习题(2)
章节测试题 1.【答题】下列y与x的关系式中，y不是x的函数的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】 【解答】D项中，对于x在它允许范围内的每一个值，y有一个或两个值与它对应，所以y不是x的函数． 2.【题文】（2018浙江舟山中考）小红帮弟弟荡秋千，秋千离地面的高度h（m）与摆时间t（s）之间的关系如图3-1-1所示． （1）根据函数的定义，请判断变量h是不是关于t的函数； （2）结合图象回答： ①当t=0.7s时，h的值是多少？并说明它的实际意义； ②千秋摆动第一个来回需要多长时间？ 【答案】 【分析】
【解答】（1）∵对于每一个摆时间t，h，都有唯一确定的值与其对应，∴变量h是关于t的函数． （2）①当t=0.7s时，h=0.5m，它的实际意义是秋千摆动0.7s时，离地面的高度为 0.5m． ②由题图可知，秋千摆动第一个来回需2.8s． 3.【答题】已知函数，当x=m时，函数值y为1，则m的值为（） A. 1 B. 3 C. -3 D. -1 【答案】B 【分析】 【解答】将x=m，y=1代入，得，解得m=3，经检验，m=3是分式方程的根． 4.【答题】（2018重庆中考B卷）根据如图3-1-2所示的程序计算函数y的值，若输入的x值是4或7时，输出的y值相等，则b等于（） A. 9 B. 7 C. -9 D. -7 【答案】C
【分析】 【解答】由题意得，解得b=-9．选C． 5.【答题】当x=______时，与的函数值相等． 【答案】-11 【分析】 【解答】由题意，得2x+6=x-5，解得x=-11． 6.【答题】已知函数，当y＜0时，x______． 【答案】＞2 【分析】 【解答】由题意，得，解得x＞2． 7.【答题】（2019广西柳州中考）已知A，B两地相距3千米，小黄从A地到B 地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间（小时），y表示余下的路程（千米），则y关于x的函数解析式是______ A. B. C. D. 【答案】D 【分析】
轴对称再认识(一)教案
教学目标： 1、初步认识轴对称图形的基本特征。帮助学生理解对称轴的含义，能画出轴对称图形的对称轴。 2、通过学生动手操作等实践活动，培养学生的观察能力和想象能力。 3、在学生的学习活动中，让学生学会欣赏数学之美。 教学重点： 认识轴对称图形的基本特征，能找出轴对称图形的对称轴。 教学难点： 能画出轴对称图形的对称轴 教学资源： 课件、一些轴对称图形图片、纸、长方形、正方形、圆形纸等。 教学过程： 一、创设情境、提出问题。 1、老师找到了一些漂亮的图片，我们共同来欣赏一下。（课件展示图片） 2、在日常生活中这样的图形还有很多很多，那么这些图形中你发现都有什么特征呢？（学生可能说是两边一样的，也可能说是对称的。） 师：你是怎么理解对称的？ （对称就是左右两边是完全一样的。） 师：刚才我们看到的其实是生活中的轴对称图形的现象。我们数学中也有 好些轴对称图形。今天老师和大家一起来进一步研究数学上的轴对称图形。 （板书课题） 二、合作探究、解决问题。
1、教学“轴对称图形” a、现在我们把准备好的平面图形拿出来，判断它们是不是轴对称图形。 b、学生动手操作，进行判断。 c、学生汇报。 d、结合课件：进一步认识轴对称图形。 师：通过自己动手折，你发现怎样的图形是轴对称图形? 引导学生自己说出轴对称图形的含义。 师：下面我们来看一个动画。这是一只蝴蝶，我们沿一条直线对折，同学们发现这对翅膀怎样了？ 2、深化认识，教学对称轴。 （1）师：我们发现轴对称图形都有一条折痕，那么这条折痕叫什么呢？生：对称轴 师：对，这条折痕就是对称轴，接下来我们就来研究关于对称轴的问题。（课件出示课本内容） （2）折一折：让学生折一折上面轴对称图形，找一找它们有几条对称轴？并画出来。（找出轴对称图形的所有对称轴。） 3、让学生展示自己的做法和结果。 4、边让学生演示边用课件展示。 （三、巩固练习、检测反馈。 师：我们学习了这么多新知识，你认为自己学的情况如何呢？下面我们就来做几个小测验，看看自己到底学的怎么样。 完成课本22页的练习题1、2。 五、总结全课，升华主题。 通过这节课的学习，你有什么收获？
四川省遂宁市船山区河沙镇初级中学数学(北师大版)九年级2.1《对函数的再认识》学案
备课时间：9.23 上课时间：10.7 课型：新授课课时：1课时 2.1《对函数的再认识》学案 学习目标： 1．复习并进一步认识函数的定义，能够表示简单变量之间的函数关系 2.了解表示函数的方法。． 学习重点：会求简单函数的自变量取值范围及函数值。 学习过程： 一、学前准备 (一)一起想一想 （1）对于“函数”这个词我们并不陌生，大家还记得什么是函数吗？你能举出几个函数的例子吗？ （2）你学过哪些函数？请你写出它们的表达式，它们的图象各是什么? （3）函数的定义是什么，你还记得吗? (二)自己做一做： 课本P37 “做一做”（作到书上） 二、探究活动 (一)独立思考：在上面三个例子中 : （1）自变量分别是什么 ? 自变量可以取值的范围是什么 ? （2）对于自变量在它可以取值的范围内的每一个值,另一个变量是否都有惟一确定的值与它对应? （3）由此你对函数有了哪些进一步的认识？与同伴进行交流。 函数的定义：
（二）探究交流 例1：某种商品按进价提高30%后标价，又以9折优惠售出，试写出该商品每件的利润y(元)与每件的进价x(元)之间的关系式. 思考：对于自变量 x 在可以取值范围内的一个确定的值α, 函数y 有惟一确定的对应值 , 这个对应值叫做 . 如对于例 2(1) 中的函数y =3x+7,16就是当x =3 时的函数值 . （三）应用探究 A、课本P38随堂练习1、2做到练习本上 B、课本P39习题1、2做到练习本上 C、课本P39试一试
练习中你出现过什么问题？还有什么需要格外．． 注意的？ 四、回顾思考：通过本节课的学习,你有什么体会和收获? 五、自我测试 1、x 取什么值时，函数y=x+2与函数2 3-=x x y 的值相等 2、x 取什么值时，函数y=x+2的值小于0. 3、x 取什么值时，函数y=x+2的值大于函数y=5-3x 的值.
五年级《轴对称再认识(二)》教学设计
五年级《轴对称再认识(二)》教学设计 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 五年级《轴对称再认识（二）》教学设计 教学目标： 1.借助方格纸，补全一个简单的轴对称图形，或画出某个图形的轴对称图形。 2.在画图活动中，进一步体会轴对称图形的特征，积累图形运动的思维经验，发展空间观念。 教学重点：能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半，画出一个图形的轴对称图形。 教学难点：经历画图的过程，掌握画图的方法。 教学过程： 一、导入新课 我们已经学习了轴对称再认识（一），关于轴对称你都知道了哪些知
识，谁来和大家分享一下？ 二、探究新知 1.（出示P23情景图1）图中画了什么？淘气根据轴对称小房子的一半画出了整个图形，他画的对吗？ （1）生自主观察，独立思考，组内交流。汇报指出错误之处。 （2）你能画出房子的另一半吗？学生动手尝试画。（PPT演示，学生对照改正。） 2.（出示情景图2）你能试着在方格纸上画出这个图形的另一半吗？ （1）引导学生想象这个完整的图形大概是？ （2）学生尝试画，并和同桌交流画的过程。 （3）在学生小结的基础上，示范，并总结出画轴对称图形另一半的方法。（找出关键点——找出对称点——连接各点） （4）进行检验。（看关键点和对称点到对称轴的距离是否相等）
（5）结合方法再次修正自己的作品。 3.完成课本P23的练习。 4.比较第二个问题和第三个问题，有什么相同点和不同点？ 相同点：画图方法相同。 不同点：第二个问题给出的图形是轴对称图形的一部分，对称轴在图形上。第三个问题给出的图形是一个完整的图形，对称轴在图形之外。 三、达标测试 1.课本24页练一练1、2题。 四、课堂总结 这节课你有哪些收获？画轴对称图形应注意哪些问题？ 板书设计: 轴对称再认识（二） 1.找关键点 2.找对称点 3.描点连线 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢
轴对称再认识(一)课堂实录
轴对称再认识（一） 课堂实录1 一、导入新课 师：今天就一起来进一步认识轴对称图形 （板书：轴对称再认识） 二、探究新知 1、判断轴对称图形 师：对于轴对称图形，大家并不陌生，对吗？ 生：对 师：那我们认识的图形当中就有很多图形是轴对称图形，今天老师带来了一些，看你们能不能判断是不是轴对称图形 （课件展示课本21页的图形，逐个展示，学生判断是不是轴对称图形） 生：是 师：说完整 生：是轴对称图形 师：你们觉得自己判断对了吗？ 生：对了 师：口说是没有证据的，那你们有没有办法验证呢？ 生：有 生：把图形对折 师：好方法，接受你的提议。老师给每个小组都准备了这8个图形在信封里，待会小组同学拿出8个图形来折一折，用自己的方法来验证是不是轴对称图形。 小组合作交流，动手操作折一折 教师巡视 师：小组同学要互相交流，小组交流结果写下来 师：都讨论完了没有 生：都讨论完了 师：谁愿意来汇报 （学生举手发言） 生：1,2,4,5,7,8 师：大家同意他的答案吗？ 生：同意 师：有没有不同意见 生：没有 师：那每个小组派出2个同学上来说一说，你们刚才是怎么样进行验证的 生：展示对折结果 师：他们讲清楚了吗？有没有不理解的 生：没有 师：表扬他们 （学生鼓掌）
师：刚才他们是用什么方法来判断是不是轴对称图形 生：对折的方法，看图形是不是完全重合 师：对折的方法，对折之后要看什么 （板书：对折—两边是否完全重合） 生：图形是不是完全重合 师：哪里完全重合 生：两边 师：看两边是否完全重合，如果完全重合说明什么 生：是轴对称图形 师：如果没有完全重合呢？ 生：就不是轴对称图形 师：老师有点疑问，看看3号图形，3号图形，老师觉得这两边是一样的，怎么就不是轴对称图形呢？ （课件展示图3是轴对称图形吗？） 生：两边一样，但是折不出来 师：折不出来是什么意思 生：对折后，不重合 师：是不是轴对称图形 生：不是 师：确定？ 生：确定 师：还是用我们的方法来验证下，对折 （课件展示，对折后的效果图） 师：对折后发现，中间部分重合，但是上面部分没有重合。看来同学们还是非常的爱思考 2、找对称轴 师：我们从这8个图形里面找出了6个图形是轴对称图形 师：把6个图形拿出来 师：刚才我们在对折的时候，在图形上面是不是留下了折痕啊 生：是 师：这条折痕所在的直线，我们就把它叫做这个轴对称图形的对称轴 师：同学们想想，是不是每个图形就只有一条对称轴呢？ 生：不是 师：我们再请同学们拿出那6个轴对称图形，折一折，看每个图形有几条对称轴 学生合作交流，教师巡视 师：好，讨论好了没有 生：好了 师：接下来老师请同学们汇报，你找到了哪个图形的几条对称轴 生汇报，演示（投影展示） 师：同意吗？ 生：同意 师：同学们非常棒。我们还是一样的用对折的方法找到了图形的对称轴。 （板书：对称轴）
《对函数的再认识》同步练习
3.1 对函数的再认识 序号1 主备人:陈云英 审核:初四数学备课组 一、选择题 1、函数2 y x =-的自变量x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x < C ．2x ≥ D ．2x ≤ 2．下列变量之间的关系：①正方体体积V 与它的边长a ；②x-y=3中的x 与y ；③y=23x - 中的y 与x ；④圆的面积S 与圆的半径r ，其中成函数关系的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、函数y=-2x+4当0y <时，x 的取值范围是（ ） A ．0x > B ．0x < C ．2x > D ．2x < 4、根据图4中的程序，当输入数值x 为2-时，输出数值y 为（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．10 图4 5、夏天，一杯开水放在桌子上，杯中水的温度T ℃随时间t 变化的关系的图象是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是( ) A.y=x -2 B.y= 2 1 -x C.y=24x D.y=2+x ·2-x 二、填空题 7、圆的面积S 与半径R 的关系是______，其中常量是______，变量是_______． 8、x-2y=1改写成y 关于x 的函数是______． 输入x 1x ≥ 1 52 y x = + 1 5 2 y x =-+输入y 是 否
9、已知函数y=2213---x ，则x 的取值范围是________ 10、函数y= 1 -x x 中自变量x 的取值范围是______________ 11.A 、B 两地相距30千米，王强以每小时5千米的速度由A 步行到B ，若设他与B 地距离为y 千米，步行的时间为x 时，请写出y 与x 之间的函数关系式____________． 12.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x 的取值范围是______. 三、解答题 13、已知水池中有水600立方米，每小时放水50立方米． （1）写出剩余水的体积Q （立方米）与时间t （小时）之间的函数关系式； （2）求出自变量t 的取值范围； （3）8小时后，池中还有多少立方米的水？ （4）几小时后，池中还有100立方米的水？ 14、如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，设P 在BC 上，点P 从点C 以1单位/秒的速度从点C 向点B 运动（点P 不与点B ，C 重合），设运动时间为x ，△APB 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）求自变量x 的取值范围．
轴对称再认识(二)完整版
轴对称再认识（二）教案 备教材内容 1?本节课学习在方格纸上画出某个图形的轴对称图形。进一步帮助学生熟悉画一个图形的轴对称图形的方法并能画出轴对称图形的对称轴。 2?让学生在方格纸上沿对称轴画出轴对称图形的另一半，旨在培养学生的 想象力，体会对应的数学思想。 备已学知识 备教学目标 知识与技能 1 ?借助方格纸补全一个简单的轴对称图形，或画出某个图形的轴对称图形。 2.进一步体会轴对称图形的特征。 过程与方法 1.在画图的活动中进一步体会轴对称图形的特征，积累图形运动的经验。 2.经历画轴对称图形另一半的过程，感受对应思想在轴对称中的应用。 情感、态度与价值观 1.在操作中感受创造的喜悦，发展学生的空间观念。 2.体会轴对称在生活中的广泛应用，感受数学的美。 备重点难点 重点：能在方格纸上根据轴对称图形已有的一半，画出另一半。 难点：画某一个图形的轴对称图形。 备知识讲解 知识点画轴对称图形的方法 问题（1）导入淘气根据轴对称小房子的一半（见图①）画出了整座房子（见图②），他画得对吗？（教材23页例题）
过程讲解 1 ?判断轴对称小房子画得对不对的依据 根据轴对称图形的特点，沿对称轴对折，看对称轴两侧的部分是否完全重合。如果完全重合，说明画得对，否则画得就不对。 2.判断小房子画得对不对 沿对称轴对折小房子，对折后对称轴两侧的部分不能完全重合，说明淘气画得不对。 3.观察图②，找出画错的原因 对称轴左右两侧小房子上相对应的点到对称轴的距离应该是相等的。小房子左下角的点到对称轴有2格，右下角的点到对称轴也应该有2格，而淘气画的小房子右下角的点到对称轴有3格，所以淘气画得不对。 问题(2)导入以虚线为对称轴，在方格纸上画出图形的另一半。(教材23 页例题) 过程讲解 1.观察画面，理解题意 方格纸上的图形是“松树”的左半边，这个图形由两个三角形和一个长方形组成，要求画出它的另一半。 2.明确画图依据 轴对称图形的对称点到对称轴的距离相等。 3.画图的具体过程
《轴对称再认识(一)》基础习题
《轴对称再认识（一）》基础习题 引领思路 1．填空。 如果一个图形沿着一条直线对折后，（），这样的图形叫作轴对称图形，这条( )叫作对称轴。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、圆等都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少有( )条对称轴。圆有( )条对称轴，圆的( )都是圆的对称轴。 夯实基础 2．下面的平面图形，是轴对称图形的在( )里画“√”，并写出对称轴的条数。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3里画“√”。 4．画出下面各图形的对称轴。
提升能力 5．将一张正方形纸片对折再对折后，剪去一个角（如图）。选一选剪出来的是哪个图案，并涂上自己喜欢的颜色。
参考答案 引领思路 1．填空。 如果一个图形沿着一条直线对折后，（两边图形能够完全重合），这样的图形叫作轴对称图形，这条( 直线 )叫作对称轴。例如等腰三角形、正方形、等边三角形、圆等都是轴对称图形。有的轴对称图形有不止一条对称轴，但轴对称图形最少有( 1 )条对称轴。圆有( 无数 )条对称轴，圆的( 直径所在的直线 )都是圆的对称轴。 夯实基础 2．下面的平面图形，是轴对称图形的在( )里画“√”，并写出对称轴的条数。 ( ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( √ ) ( √ ) ( ) ( 2 ) (无数) ( ) ( 3 ) ( 1 ) 3里画“√”。 4．画出下面各图形的对称轴。 提升能力 5．将一张正方形纸片对折再对折后，剪去一个角（如图）。选一选剪出来的是哪个图案，并涂
上自己喜欢的颜色。
对数学理解的再认识
对数学理解的再认识 作者：黄燕玲等文章来源：数学教育学报 摘要：现代心理学将知识分为陈述性知识和程序性知识 2 大类，根据数学知识的特征，我们将数学知识分为结果性知识和过程性知识 2 类，其中结果性知识包括陈述性知识和程序性知识．因而，数学理解就应指对陈述性知识、程序性知识和过程性知识的理解．图式的获得、产生式系统的建构、关系和观念表征的完善分别是陈述性知识理解、程序性知识理解、过程性知识理解的本质． 关键词：数学理解；陈述性知识；程序性知识；过程性知识 中图分类号：G421 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2002）03–0040–04 “数学理解”已成为当今数学教育研究的一个热点[1~4]．纵观这些研究，可以发现有一个明显的缺陷，即缺乏对数学过程性知识理解的探究，本文旨在对这一问题作初步探索． 1.数学理解”的研究概述 1.1 两种学习理论对“理解”的阐释 行为主义把学习解释为刺激与反应之间的联结，认为学习过程是一种试误过程，在不断的尝试与错误中逐渐形成联结．在行为主义看来，刺激与反应的联结受到练习和使用的次数增多而变得越来越强，反之，变得越弱．因而，行为主义学习观强调技能训练，实现技能由“自觉地执行”向“自动地执行”的转化，于是，个体对知识的理解就是记忆概念、规则和方法，并能迅速提取并用于解决问题．显然，行为主义将知识理解定位在知识记忆的层面上，而不对“机械性记忆”和“在理解基础上的记忆”加以区别．事实上，行为主义只关注人的外部行为，不研究人的内部思维过程，因而不可能对“知识的理解”作深入探讨． 现代认知心理学认为理解的实质是学习者以信息的传输、编码为基础，根据已有信息建构内部的心理表征、并进而获得心理意义的过程．Mayer 给出了学习者的理解过程模式[5]，如图1 所示． 在这一模式中，个体的理解分为3 个阶段：第一阶段，各种信息经过注意的“过滤”，部分信息经过感觉登记进入短时记忆．第二阶段是编码阶段，进入短时记忆的信息没有得到复述和加工的部分很快消退，得到及时复述和进一步加工的信息进入长时记忆．第三阶段是表征的重新建构和整合阶段．当信息进入长时记忆后，一方面，使已有图式的一些节点和相应的区域被激活，从而使已经得到编码的信息获得了心理意义；另一方面，新信息的纳入又使已有的图式发生相应的变化，形成新的知识网络和认知结构．由于认知心理学是从人的内部心理去探索人类的学习规律，从而对知识理解的解释就更加深刻和合理． 1.2 对数学理解的研究 对数学理解的研究主要集中在几个方面． （1）数学理解的界定．Hiebert 和Carpenter[1]认为：“一个数学的概念或方法或事实被理
第1课时 轴对称再认识(一)
第1课时轴对称再认识（一） 教学内容：轴对称再认识（一）（第21～22页） 教学目标： 1、知识技能： 经历观察、操作等活动，进一步理解轴对称图形的特点。 2、数学思考： 会判定一个图形是否是轴对称图形。 3、过程方法： 能在操作过程中通过折一折、画一画，找到轴对称图形的对称轴。 4、情感态度： 积累图形运动的思维经验，发展空间观念。 教学重点：经历探索的过程，理解轴对称图形的特点，会判定一个图形是否是轴对称图形。 教学难点：正确地表示出轴对称图形的对称轴。 教学过程 一、导入新课 我们都学过哪些平面图形？ 能分别说出这些平面图形的特点吗？ 同学们对于这些平面图形都很了解，如果我把它们进行对折，就会发现它们的另一个特点。 判定它们是不是轴对称图形！
关于轴对称的知识你有哪些了解？介绍轴对称图形的特点和对 称轴。 这节课我们就继续研究关于轴对称的知识。 二、探索新知 1、那么这些平面图形中，哪些图形是轴对称图形呢？（课件出示教材第21页中的平面图形） 2、小组合作，学生先猜出哪些图形是轴对称图形，然后通过对折来验证自己的结论。 3、大胆进行交流，养生引导学生说清楚判断的依据。从而选出：长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、菱形、特殊的四边形都是轴对称图形。 4、下面，你们在方格纸上画出一个长方形，让它的长和宽分别是6个格和4个格，不用折纸的办法，你还能找出它的对称轴吗？ 引导学生用数方格的方法找出它们的对称轴。 5、你能画出这些平面图形的对称轴吗？任先一个你喜欢的轴对称图形画出它的对称轴。 学生独立尝试，然后进行交流。
6、画对称轴时一般用点来画线，也就是用虚线来表示对称轴。学生练习画其他图形的对称轴。 7、通过对折和画图，你有什么新发现？ 得出：长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，等腰梯形有一条对称轴，菱形有两条对称轴，特殊的四边形有一条对称轴。 三、巩固练习 完成教材第22页练一练第1、2题。 课堂总结：本节课你有什么收获？ 板书设计 轴对称再认识（一） 长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、菱形?? 对称轴用虚线表示
轴对称再认识(一)
轴对称再认识（一） 教学目标： 1、初步认识轴对称图形的基本特征。帮助学生理解对称轴的含义，能画出轴对称图形的对称轴。 2、通过学生动手操作等实践活动，培养学生的观察能力和想象能力。 3、在学生的学习活动中，让学生学会欣赏数学之美。 教学重点： 认识轴对称图形的基本特征，能找出轴对称图形的对称轴。 教学难点： 能画出轴对称图形的对称轴 教学资源： 课件、一些轴对称图形图片、纸、长方形、正方形、圆形纸等。教学过程： 一、创设情境、提出问题。 1、老师找到了一些漂亮的图片，我们共同来欣赏一下。（课件展示图片） 2、在日常生活中这样的图形还有很多很多，那么这些图形中你发现都有什么特征呢？（学生可能说是两边一样的，也可能说是对称的。） 师：你是怎么理解对称的？ （对称就是左右两边是完全一样的。）
师：刚才我们看到的其实是生活中的轴对称图形的现象。我们数学中也有好些轴对称图形。今天老师和大家一起来进一步研究数学上的轴对称图形。（板书课题） 二、合作探究、解决问题。 1、教学“轴对称图形” a、现在我们把准备好的平面图形拿出来，判断它们是不是轴对称图形。 b、学生动手操作，进行判断。 c、学生汇报。 d、结合课件：进一步认识轴对称图形。 师：通过自己动手折，你发现怎样的图形是轴对称图形? 引导学生自己说出轴对称图形的含义。 师：下面我们来看一个动画。这是一只蝴蝶，我们沿一条直线对折，同学们发现这对翅膀怎样了？ 2、深化认识，教学对称轴。 （1）师：我们发现轴对称图形都有一条折痕，那么这条折痕叫什么呢？生：对称轴 师：对，这条折痕就是对称轴，接下来我们就来研究关于对称轴的问题。（课件出示课本内容） （2）折一折：让学生折一折上面轴对称图形，找一找它们有几条对称轴？并画出来。（找出轴对称图形的所有对称轴） 3、让学生展示自己的做法和结果。
北师大版五年级数学上册《第1课时 轴对称再认识(一)》教案
第二单元轴对称和平移 第1课时轴对称再认识（一） [教学内容] 轴对称再认识（一）（第21~22页） [教学目标] 1、进一步理解轴对称图形的特点，会判定一个图形是否是轴对称图形。 2、能在操作过程中通过折一折、画一画，找到轴对称图形的对称轴。[教学重点] 经历探索的过程，理解轴对称图形的特点，会判定一个图形是否是轴对称图形。 [教学难点] 正确地表示出轴对称图形的对称轴。 [教学过程] 一、导入新课 师：我们都学过哪些平面图形？ 生：长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形?? 师：能分别说出这些平面图形的特点吗？ 师：同学们对于这些平面图形都很了解，如果我把它们进行对折，就会发现它们的另一个特点。 生：判定它们是不是轴对称图形！师：关于轴对称的知识你有哪些了解？生介绍轴对称图形的特点和对称轴。 师：这节课我们就继续研究关于轴对称的知识。 二、探索新知 师：那么这些平面图形中，哪些图形是轴对称图形呢？（课件出示教材第21页中的平面图形）小组合作，学生先猜出哪些图形是轴对称图形，然后通过对折来验证自己的结论。大胆进行交流，养生引导学生说清楚判断的依据。从而选出：长方形、正方形、等边三角形、等腰梯形、菱形、特殊的四边形都是轴对称图形。 师：下面，你们在方格纸上画出一个长方形，让它的长和宽分别是6个格和4个格，不用折纸的办法，你还能找出它的对称轴吗？引导学生用数方格的方法找出它们的对称轴。
师：你能画出这些平面图形的对称轴吗？任先一个你喜欢的轴对称图形画出它的对称轴。学生独立尝试，然后进行交流。 师：画对称轴时一般用点来画线，也就是用虚线来表示对称轴。学生练习画其他图形的对称轴。 师：通过对白和画图，你有什么新发现？ 学生得出：长方形有两条对称轴，正方形有四条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有三条对称轴，等腰梯形有一条对称轴，菱形有两条对称轴，特殊的四边形有一条对称轴。 三、巩固练习 完成教材第22页练一练第1、2题。 [课堂总结] 本节课你有什么收获？ [教学反思]
函数的初步认识
课题：函数的初步认识 [教学目标] 1、初步了解函数的概念，在具体情景中分清哪个变量是自变量，谁是谁的函数， 会由自变量的值求出函数值。 2、经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维能力，感悟运动变化的 观点。 3、通过具体情景中对函数关系式的建立。提高认识变化规律、预测发展趋势的 能力。 重点：1、函数的概念 2、会由自变量的值求出函数值 难点：1、哪个变量是自变量，谁是谁的函数。 2、从具体实例中抽象出函数 [教学过程] 一、想一想： 1、一台彩色电视机屏幕的对角线长度是34英寸，它合多少厘米？15英寸呢？ （注：1英寸=2.54厘米） 2、如果某种电视机屏幕的对角线长度是x英寸，换算为公制是y厘米，试写出 y与x之间的关系式？ 3、在y与x的关系式中，哪些量是常量？哪些量是变量？y的值是由哪个变量 的取值确定的？ 4、你家的电视机是多少英寸的，合多少厘米？ 二、填一填，学一学： 1、如果三角形一条边的长为x厘米，这条边上的高为6厘米，那末这个三角形
的面积y= 平方厘米；当x =4厘米时，y= 平方厘米；当x =8厘米时，y= 平方厘米. 2、在同一个变化过程中，有两个变量 和 ，变量 的取值是由变量 的取值惟一确定的，我们把 叫做 的函数，其中 叫自变量。 3、8是关于字母x 的代数式2x 当x=4时的值，也叫做函数y=2x 当x=4时对应的 。 三、试一试： 人行道有小正方形水泥地砖铺设而成，下图是小正方形水泥地砖的一种铺设方式 ① ② ③ …… （1）按图①②③的次序这样铺下去，第④个图形中有多少块小正方形水泥地砖？ （2）如果用n 表示上述图形中的序号，S 表示相应图形中小正方形水泥地砖的块数，写出S 与n 之间的关系式。指出在这个问题中哪些量是常量，哪些量是变量，哪个量是哪个量的函数。 （3）在序号为100的图形中，一共有多少块小正方形水泥地砖？ 四、求一求： 当x 分别取-1，0，2时，求下列函数对应的函数值：
轴对称再认识一教学设计(汇编)
《轴对称再认识一》教学设计 凤鸣小学连玉仙 教学目标： 1、在观察、操作等活动中，进一步认识轴对称图形及其对称轴。 2、能根据对称轴的特点，在方格纸上画出简单轴对称图形的对称轴。 3、培养学生认真观察的良好学习习惯,在主动参与画图形的活动中，感受图形的对称美。 教学重点：进一步认识轴对称图形。 教学难点：会在方格纸上画出简单轴对称图形的对称轴。 教学过程： 一、创设情境，导入新知。 (拿一张白纸)同学们，我们用一张白纸可以做什么？发挥你的想象力，动手试一试。 生：折出很多基本图形。（三角形、正方形、长方形、平行四边形、梯形等等。） 师引发思考：这些图形有什么特点？（是轴对称图形吗？什么是轴对称图形呢？？这节课我们就来学习-------轴对称再认识一首先大家要明白本节课的学习目标。 学习目标： 1、通过在折基本图形的活动中重新深入理解什么是轴对称图形和对称轴。 2、能根据对称轴的特点，在方格纸上画出简单轴对称图形的对称轴。
二、自主学习，探究新知。 1、折一折 用课前在附页中剪下来的基本图形折一折，判断哪些图形是轴对称图形，哪些不是轴对称图形。（动手实践，体会特征）生汇报：正方形、长方形、平行四边形、等腰梯形、等边三角形、菱形都是轴对称图形。 师：为什么呢？（请学生上黑板把每一种图形在投影下展示折的过程、说出是轴对称图形的原因）引导学生说出：因为这些图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，所以是轴对称图形。 2、辩一辩：平行四边形是轴对称图形吗？你们同意淘气和笑笑谁的观点？（生亲自动手折一折，看一看、辩一辩。） 学生会得出不同的结果，有的说是轴对称图形，有的说不是轴对称图形。因为学生有的懒得折，凭自己的直观感觉判断，这时出示课件演示平行四边形对折的过程，强调什么是轴对称图形以及它的对称轴。老师和学生一起小结：如何判断轴对称图形？ 如果一个图形沿着一条直线对折，直线两边的部分能够完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴。 （师强调：轴对称图形是一条直线。） 3、尝试画出简单轴对称图形的对称轴。 认真完成课本21页表格，有困难的学生可以亲自动手实践来找一找图形的对称轴。（小组合作完成） 三、展示点拨，交流提升。
北师大版五年级上册数学教案-2 轴对称再认识(二)
画出轴对称图形的另一半。(教材第23~24页) 1.在观察、操作等活动中,经历在方格纸上画出一个图形的轴对称图形的过程。 2.能比较熟练地画出一个轴对称图形的另一半。 3.在画图活动中,使学生进一步体会轴对称图形的特征,积累图形运动的思维经验,发展空间观念。 重点:能熟练地画出一个轴对称图形的另一半。 难点:在画图活动中,使学生进一步体会轴对称图形的特征,积累图形运动的思维经验,发展空间观念。 多媒体课件。 1.什么是轴对称图形? 2.我们上节课学习了平面图形中的轴对称图形,今天我们就来利用轴对称图形的性质画出轴对称图形的另一半。〔板书课题:轴对称再认识(二)〕 1.画小房子图形的另一半。
师:图中画了什么?完整吗?(出示课件) 生:是小房子的一半。 师:淘气根据轴对称小房子的一半,画出了整座房子,他画得对吗? 生:通过观察可以发现,淘气画好的房子对折后不能完全重合,所以淘气画的房子不对。 师:如果要你画,你在另一半里都要画什么? 生:画屋顶、房体、门。 师:怎样画出小房子的另一半? 小组讨论后回答。 生:房子下边最左边一点到对称轴有2格,最右边也应该到对称轴有2格;房子的门左边到对称轴有1格,右边到对称轴也应该有1格。 学生在图上画出轴对称小房子的另一半。 2.画出轴对称图形树的另一半。 出示课件,方格纸上画了轴对称图形的一半。 师:图中画了什么?完整吗?借助我们学过的轴对称的知识,你能画出轴对称图形的另一半吗?怎样画得又快又好? 小组讨论,汇报。 生1:想象左边的图形是沿对称轴对折后的图形,把对折后的图形展开。 生2:先找到每条线段的端点,看每个端点到对称轴是几格,再找到和这些点对称的点,按照左边图形的形状画出轴对称图形的另一半。 小组汇报中,教师边听边用粉笔在黑板上画出图形的另一半,如果有说得不到位的地方,提出质疑。 师:下面请同学们根据自己想出的方法画出小树的另一半。 学生独立完成。教师提醒学生画图时用直尺。 师:下面我们总结一下,画轴对称图形的另一半的步骤和方法。 小组讨论,教师总结:先画几个关键的对称点,再连线。 3.以虚线为对称轴,画出图形的轴对称图形。 师:(出示课件)下面第一幅图中左边是什么数字?如果要画出这个图形的轴对称图形,需要注意看什么?怎样画出这个图形的轴对称图形? 学生讨论后回答。
新北师大版五年级上册数学《轴对称再认识(一)》》精品说课稿
《轴对称再认识（一）》说课稿 尊敬的各位评委老师，大家好！今天我说课的题目是《轴对称再认识（一）》，下面我将从说教材、说学情、说教法学法、说教学过程等几个方面来完成我今天的说课。 一、说教材 （一）教材的地位与作用 《轴对称再认识（一）》是北师大版小学数学五年级上册第二单元第一课时。本节课是在学生初步认识轴对称图形及对称轴的基础上进行教学的，将进一步体会轴对称图形的特征，为以后学习图形的旋转、图形的运动及设计图案打下坚实的基础。 （二）教学目标 根据《课标》要求，基于上述教材分析，考虑到学生已有的认知结构和心理提点，立足于每一位学生的全面发展，我确立了如下三维教学目标： 1、知识与技能：进一步认识对称图形及对称轴，能根据对称轴的特点，在方格纸上画出简单轴对称图形的对称轴。 2、过程与方法：经历观察、操作等活动，积累图形运动的思维经验，发展空间观念。 3、情感态度与价值观：培养学生的合作意识与合作能力，培养学生对于数学学习的喜爱。 （三）重点难点 基于以上认识，根据教学内容的特点和学生的认知规律，我将本节课的重点确立为进一步认识对称图形及对称轴，将画轴对称图形的对称轴作为本节课的难点。 二、说学情 五年级学生的观察、动手操作、归纳概括能力已经逐步形成，他们很愿意通过观察、动手操作、归纳整理，找出规律。他们在探索新知识上，主动性已比较强。同时他们思维活跃，已具备了一定的探究能力和小组合作意识。 并且学生在学习本节课之前，已经初步认识了轴对称图形及对称轴，它是进一步学习本节课内容的基础。 三、说教法学法 根据本节课的内容和学生的思维特点，我将采取动手操作法、探究法、小组合作交流法、练习法等几组教学方法的优化组合。 《数学课程标准》中指出“动手实践、自主探究、合作交流”是学生的主要学习方式。
北师大版五年级上册数学教案--第二单元 第2课时 轴对称再认识(二))
第二单元轴对称和平移 第2课时轴对称再认识（二） [教学内容] 轴对称再认识（二）（第23~24页） [教学目标] 1、通过画图的活动使学生进一步理解轴对称的特征。 2、能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半，画出一个图形的轴对称图形。 [教学重点] 能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半，画出一个图形的轴对称图形。 [教学难点] 经历画图的过程，掌握画图的方法。 [教学过程] 一、导入新课 师：还记得照镜子的游戏吗？我们来玩玩照镜子的游戏吧！生：照自己、图形、数字?? 回忆通过照镜子的游戏我们学会了什么数学知识？ 引导学生回答出镜子里和镜子外面所形成的轴对称图形的特征：两边对称、大小相等、距离相等、方向相反?? 师：这节课我们就根据轴对称图形的这些特征继续学习轴对称的知识。（板书课题：轴对称再认识（二）） 二、探究新知 出示教材主题图1（半个小房子） 1、图中画了什么？完整吗？ 2、借助我们学习的关于轴对称图形的知识，你能画出轴对称图形的另一半吗？ 3、如果要你画，你在中一半里都要画什么？ 4、出示教材主题图中淘气根据轴对称小房子的一半画出的整个房子，他画的对吗？ 5、学生自主观察独立思考，组内交流。 6、引导学生发现他画的小房子不对称，不对称的原因是房子右下方的长方形与左下方的长方形距离对称轴的格数不一样多。
7、你能试着画出正确的小房子吗？要注意什么？ 8、学生画好后总结：房顶左边的三角表距离对称轴三格，右边也要距离对称轴三格，左边墙体距离对称轴两格，右边墙体也距离对称轴两格，大门左右距离对称轴都是1格。 9、出示教材主题图 2.你能试着沿对称轴，在方格纸上画出这个图形的另一半吗？ 10、生独立完成后，在小组内讨论，初步总结出画轴对称图形另一半的步骤和方法。 11、引导学生汇报总结。画出轴对称图形另一半的方法。 （1）找出所给图形的关键点，如图形的顶点、线段的相交点、端点等。 （2）数出或量出图形的关键点到对称轴的距离。 （3）在对称轴的另一侧找出关键点的对称点。 （4）按所给图形的顺序连接各点，画出所给图形的另一半。 12、结合方法再次修正自己的作品。 三、巩固练习 1、完成教材第23页下图。 2、完成教材第24页练一练第1、2题。 3、自己在方格纸上设计一个轴对称图形。 [课堂总结] 你有哪些收获？画轴对称图形应该注意哪些问题？ [教学反思]
《轴对称再认识二》教学设计
《轴对称在认识二》教学设计 新阳小学初黎黎教学内容：北师大版数学五年级上册第二单元《轴对称再认识二》 教学目标：1、通过画图的活动使学生进一步理解轴对称图形的特征。 2、能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半，画出一个图形的轴对称图形。 3、经历观察分析、欣赏想象，积累图形运动的思维经验，发展空间观念。 教学重点：能在方格纸上按要求画出轴对称图形的另一半，或一个图形的轴对称图形。 教学难点：经历画图的过程，掌握画图的方法。 教学资源：课件、题卡。 教学过程： 一、创设情境，揭示问题。 1、课件出示图片，引导学生观察想象。 2、课件出示教材主题图1（半个小房子）。 A：你能想象一下它的另一半吗？（学生想象） B：课件出示淘气画出的房子另一半。 教师提出问题：和你想象的图案一致吗？和同桌说说哪里不一样? 3、揭示问题：如果要你画，你想怎样画？ 【设计意图：由于本节课的重要目标是让学生进一步体会轴对称图形的特征，所以不能只停留在在简单的直观认识上，因此细致的观察和大胆的想象是帮助我们达成目标的前提。所以课的伊始创设了一个观察图片的情境，激发学生的兴趣同时也让学生体会观察和想象的重要作用，有意识的发展学生的空间观念。从生活情境的引入到抽象的图形的引入，是引导学生逐步抽象的过程，借助淘气的错误认知进入下一环节更深入的学习。】 二、探究发现，建立模型。 （一）活动一： 1、出示题卡，学生独立完成活动一。 2、展示成果并汇报方法。 3、师生总结画法。（根据轴对称图形来画） （二）活动二： 1、题卡出示教材第二幅图。 2、学生充分想象图形的另一半是什么样子。
3、借助先前的经验画出该图形的轴对称图形。 4、汇报交流画法。 （三）活动三： 1、题卡出示活动三内容，引导学生观察每个图形的特点：图形相同，只是对称轴的位置不同，那么对称图形会有怎样的变化呢？让学生带着这样的疑问进行画图。 2、汇报画法，说发现。 （四）活动四： 1、课件出示教材第三幅图。 2、学生独立画图。 2、汇报画图方法。 3、说发现。 【设计意图：学生已经有了对轴对称图形的直观认识，再认识实质上是进入分析阶段，引导学生进行细致的刻画轴对称图形的特征，那么就需要借助一个有效的载体——画，所以在本环节设计了多个画的环节，就是通过画图让学生深入理解轴对称图形的特征。通过每一次活动的不断深入，都让学生对轴对称图形有更深层次的了解和掌握。】 三、理解应用，强化体验。 （五）活动五： 1、课件出示活动五内容，学生独立画图。 2、汇报画法，集体交流。 3、师生小结。 （六）活动六： 题卡出示活动六内容，引导学生观察、想象，发现规律。 2、完成画图。 3、交流想法和画法。 【设计意图：这两道习题的设计，实际是借助学生先前的经验，进行的更深一层的探究，如活动五的内容，设计了三道小题，是点、线、面三个方面的尝试与考验，让学生体会三者的不同，有力于学生跟好的理解轴对称图形，形成空间观念。而第二道习题则是让学生将细致的观察想象与轴对称的特征相联系，发现规律，同时也不乏趣味性。】 四、总结归纳，提升经验。 1、说说这节课，你最大的收获是什么？