离散数学2

离散数学测试题2

一、 选择题

1、若集合A ={1，2}，B ={1，2，{1，2}}，则下列表述正确的是( )．

A ．A ⊂

B ，且A ∈B B ．B ⊂A ，且A ∈B

C ．A ⊂B ，且A ∉B

D ．A ⊄B ，且A ∈B

2．设集合A= {1, 2, 3, 4, 5}上的偏序关系的哈斯图如下图所示，若A 的子集B= {3, 4, 5}，则元素3为B 的（ ）．

A. 下界

B. 最小上界

C. 最大下界

D. 最小元 3.设A （x ）：x 是人，B （x ）：x 是工人，则命题“有人是工人”可符号化为（ ）．

A ．(∃x )(A (x )∧

B (x )) B ．(∀x )(A (x )∧B (x ))

C ．┐(∀x )(A (x ) →B (x ))

D ．┐(∃x )(A (x )∧┐B (x )) 4．图G 如图一所示，以下说法正确的是 ( ) ．

A ．{(a, d )}是割边

B ．{(a, d )}是边割集

C ．{(a, d ) ,(b, d )}是边割集

D ．{(b , d )}是边割集

5、已知一棵无向树T 中有8个顶点，4度、3度、2度的分支点各一个，T 的树叶数为( )． A ．6 B ．4 C ．3 D ．5 二、 填空题

1.设集合A ={0, 1, 2}，B ={1,2, 3, 4,}，R 是A 到B 的二元关系，

},,{B A y x B y A x y x R ⋂∈∈∈><=且且

则R 的有序对集合为 ．

2.设G 是连通平面图，v , e , r 分别表示G 的结点数，边数和面数，则v ，e 和r 满足的关系式 ．

3.已知一棵无向树T 中有8个结点，4度，3度，2度的分支点各一个，T 的树叶数为 ．

4.设集合A ={1，2}上的关系R ＝{<1, 1>,<1, 2>}，则在R 中仅需加一个元素 ，就可使新得到的关系为对称的．

5.()(()()(,))x P x Q x R x y ∀→∨中的自由变元为 ． 三、 逻辑翻译

1.将语句“他今天不去锻炼，仅当他没有时间．”翻译成命题公式．

2.将语句“所有的人都学习努力．”翻译成命题公式．

四、计算题

1.给出命题公式∧

∧

B

↔

⌝的主析取范式。

(C

⌝

A⌝

→))

∧

(

(C

A))

B

(

2.已知带权图G如右图所示．

(1) 求图G的最小生成树；(2)计算该生成树的权值．

五、证明题

1.对任意三个集合A, B和C，试证明：若A⨯B = A⨯C，且A≠∅，则B = C．

2. 试证明如下逻辑公式成立()()()(())

∃→⇒∀→。

x A x B x A x B

答案

一、 选择题

1.A

2.B

3. A

4.C

5.D

二、填空题

1.{<1, 1>，<1, 2>，<2, 1>，<2, 2>}；

2.2.v -e +r =2；

3. 5；

4. <2, 1>；

5.(,)R x y 中的y

三、逻辑翻译

1.设 P ：他去锻炼；Q ：他有时间。 则命题公式为：⌝P →⌝Q ． 3.设():P x x 是人，():Q x x 学习努力； 则命题公式为：()(()())x P x Q x ∀→． 四、计算题

1. 解：方法1：列表法

设))(())((C B A C B A S ⌝∧⌝↔⌝∧∧→=

根据真值表中S 真值为1的赋值所对应的极小项的析取，即为S 的主析取范式。由表可知

)()(C B A C B A S ∧∧∨⌝∧⌝∧⌝=

方法2：等值演算

))(())((C B A C B A ⌝∧⌝↔⌝∧∧→

)))(())((())((A C B C B A C B A ⌝→⌝∧⌝∧⌝∧⌝→⌝∧∧∨⌝= ))())((())((A C B C B A C B A ⌝∨∨∧⌝∧⌝∨∧∧∨⌝=

)))()(())(((())(((C B A C B C B A A C B A ∨∨⌝∧⌝∧⌝∨∨∨⌝∧∧∧∨⌝= ))()()(())(((C B A C A B A C B A ⌝∧⌝∧⌝∨∨∨∨∧∧∨⌝= )()()(C B A C B A C B A ∧∧∨∧∧∨⌝∧⌝∧⌝=

7

0)

()(m m C B A C B A ∨=∧∧∨⌝∧⌝∧⌝=

2. 解 （1）图G 有6个结点，其生成树有5条边，用Kruskal 算法求其权最小的生成树T ：

第1步，取具最小权1的边； 第2步，取剩余边中具最小权2的边； 第3步，取剩余边中不与前2条边构成回路的具最小权3的边；

第4步，取剩余边中不与前3条边构成回路的具最小权5的边； 第5步，取剩余边中不与前4条边构成回路的具最小权7的边． 所求最小生成树T 如右图．

（2）该最小生成树的权为()1235718W T =++++=． 五、证明题

1.证明

若B ＝∅，则A ×C ＝A ×B ＝∅，由于A ≠∅，所以C ＝∅，从而B ＝C ． 若B ≠∅，则A B ⨯≠∅，

任意b B ∈，存在a A ∈，使,a b A B <>∈⨯，由于A ⨯B = A ⨯C ， 所以,a b A C <>∈⨯，从而b C ∈，故B C ⊆．

A C A

B ⨯⨯≠∅＝，

C ≠∅

任意c C ∈，存在a A ∈，使,a c A C <>∈⨯，由于A ⨯B = A ⨯C ， 所以,a c A B <>∈⨯，从而c B ∈，故C B ⊆． 所以B C =．

2.证明：

（1）()() P x A x B ∃→ （2）()() T(1) E x A x B ⌝∃∨ （3）()() T(2) E x A x B ∀⌝∨ （4）()(()) T(3) E x A x B ∀⌝∨ （5）()(()) T(4) E x A x B ∀→