热学练习题(答案)

热学练习题第一章 1.3.4 1.3.6 1.4.4 1.4.6 1.4.8 1.6.9 1.6.11 1.7.21-7 水银温度计浸在冰水中时，水银柱的长度为4.0cm;温度计浸在沸水中时，水银柱的长度为24.0cm.(1) 在室温22.0℃时，水银柱的长度为多少？(2) 温度计浸在某种沸腾的化学溶液中时，水银柱的长度为25.4cm ，试求溶液的温度。

解：设水银柱长L 与温度T 成线性关系： L=at+b 当t=0℃时 则L 0=a×0+b ∴b=1. 代入上式 L=at+1. 当t 1=100℃时 则L 1=at 1+1. ∴a=（L 1-L 0）/t 1(1) L=011L t t L L +-=0.4221000.40.24+⨯-=8.4(cm)(2) t /=（L /-L 0）/a=1000.40.240.44.25--=107℃1-9 在容积V=3L 的容器中盛有理想气体，气体密度为ρ=1.3g /L 。

容器与大气相通排出一部分气体后，气压下降了0.78atm 。

若温度不变，求排出气体的质量。

解：根据题意RT pV ν=，可得：RT M m pV =，ρpmV pRT M==1所以当温度不变时，气体的压强和密度成正比，初始密度为1.3g/L ，后来的密度为：1122ρρp p =则排除的气体的质量为：33.178.0)1()(111212⨯⨯=-=-=∆P V p p V m ρρρ大气压为1atm ，容器与大气相通即2p =1atm ，也就是1p =1+0.78=1.78atm0.781.33 1.71.78m g ∆=⨯⨯=1-16 截面为1.0cm 2的粗细均匀的U 形管，其中贮有水银，高度如图1-16所示。

今将左侧的上端封闭，将其右侧与真空泵相接，问左侧的水银将下降多少？设空气的温度保持不变，压强75cmHg 。

解：根据静力平衡条件，右端与大气相通时，作端的空气压强为大气压P 0=75cmHg ，当由端与真空泵相接时，左端空气压强为P=△l 。

（两端水银柱高度差） 设左端水银柱下降X=P l 2121=∆∴P=2X ∵PV=常数 ∴ 即75×50=2X （50+X ） 整理得：07525502=⨯-+X X∴X=25cm舍去X=-751-18 如图1-18所示，两个截面相同的连通管，一为开管，一为闭管，原来两管内水银面等高。

今打开活塞使水银漏掉一些，因此开管内水银下降了h ，问闭 管内水银面下降了多少？设原来闭管内水银面上空气柱的高度R 和大气 压强为P 0，是已知的。

解：设管截面积为S ，原闭管内气柱长为R ，大气 压强为P ，闭管内水银面下降h ′后，其内部压强为P 0，对闭管内一定质量的气体有：S h K P KS P )(0'+=h K K P P '+=0 以水银柱高度为压强单位：h h P P '-=-0 ∴P=h h P '+-0h h P h K K P '+-='+00))((00h h P h K K P '+-'+=，2000h k h h h hk h P K P K P '+'+'--'+= 0)(02=-'-++'hk h h K P h24)()(200hK h K P h K P h +-+±-+-='取正值，即得2)(4)(02h k p hk h k p h -+-+-+='1-30 一立方容器的容积为V ，其中贮有一摩尔气体。

设把分子看作直径为d 的刚体，并设想分子是一个一个地放入容器的，问：（1） 第一个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （2） 第二个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （3） 第N A 个分子放入容器后，其中心能够自由活动的空间体积是多大？ （4） 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间体积是多大？由此证明，范德瓦耳斯方程中的改正量b 约等于一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。

解：假定两分子相碰中心距为d ，每一分子视直径为d 的小球，忽略器壁对分子的作用。

（1） 设容器四边长为L ，则V=L 3，第一个分子放入容器后，其分子中心与器壁的距离应2d ≥，所以它的中心自由活动空间的体积V 1=（L-d ）3。

（2） 第二个分子放入后，它的中心自由活动空间应是V 1减去第一个分子的排斥球体积，即：21234dV V π-=(3)第N A 个分子放入后, 其中心能够自由活动的空间体积:2134)1(dNV V AA π--=(4) 平均地讲，每个分子的中心能够自由活动的空间为：2134)]}1(321[34{1]}34)1([)342()34({13131131311--=-+⋯⋯+++-=--⋯⋯+⋅-+-+=AAA AAANdV Nd V N Nd NV d V d V V NV πππππ因为d L ≥，1≥AN，所以33)2(344234d NV N dV V AAππ⋅-=⋅-=容积为V 的容器内有N A 个分子，即容器内有一摩尔气体，按修正量b 的定义，每个分子自由活动空间b V V -=，与上面结果比较，易见：3)2(344d Nb Aπ⋅=即修正量b 是一摩尔气体所有分子体积总和的四倍。

第二章 2.3.6 2.4.4 2.5.1 2.5.2 2.6.5 2.7.22-4 容积为的烧瓶内有个氧分子，有个氮分子和的氩气。

设混合气体的温度为，求混合气体的压强。

解：根据混合气体的压强公式有其中的氩的分子个数：个2-5 容器的体积为2V 0，绝热板C 将其隔为体积相等的A 、B 两个部分，A 内储有1mol 单原子理想气体，B 内储有2mol 双原子理想气体，A 、B 两部分的压强均为p 0。

（1）求A 、B 两部分气体各自的内能；（2）现抽出绝热板C ，求两种气体混合后达到平衡时的压强和温度。

解：（1）由理想气体内能公式：RT iE 2ν=A 中气体为1mol 单原子理想气体：00232323V p RT RT E ===νB 中气体为2mol 双原子理想气体：00525222E RT RT p V ν=== （2）混合前总内能 210523RT RT E +=由于100RT V p =2002RT V p =所以 212T T = 104RT E = 混合后，温度为T ，内能不变 14523RT RT RT E =+=RV p T T 138138001==0000003833122221313N p V p nkT kT RT R p V V V R ====⨯=2-7 大量粒子（100102.7⨯=N 个）的速率分布函数图象如图所示，试求：（1）速率小于m/s 30的分子数约为多少？（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数约为多少？ （3）所有0N 个粒子的平均速率为多少？（4）速率大于m/s 60的那些分子的平均速率为多少？解：根据题意：a N ⨯+=⨯=）（1203021102.7100所以910154.14⨯=a（1） 速率小于m/s 30的分子数：101044.13021⨯=⨯⨯=a N（2）速率处在m/s 99到m/s 101之间的分子数： 71019910199104.6602⨯=-==∆⎰⎰dv a v a N dv v f NN ）（（）（（3）所有0N 个粒子的平均速率：先写出这个分段函数的表达式：v a30 （300≤≤v ）f （v ）= a （6030≤≤v ）av a 602-（12060≤≤v ）0 （1200 v ）sm dv a v a v vadv vdv avNdv v vf v /54]60230[1)(12060603030=-++==⎰⎰⎰⎰∞）（（4）速率大于m/s 60的那些分子的平均速率s m dv a va dv a va v dvv f dvv vf v /80]602]602)()(12060120606060=--==⎰⎰⎰⎰∞∞）（）（2． 令2pv x v =，试推出关于x 的分布函数()f x ，它的归一化公式、求各种平均值如x 、2x 公式、并求出x 的最概然值p x解：取一小区间x x dx →+，此区间内的的分子数d N 占总分子数比例()dN f x dx N=令： 23/222()()4()2m vkTmf x dx f vdv v edv kTππ-==代入：222, , p ppv dv kT x dx v v v m===，上式可改写成：222/42/411() ()22x x f x dx x edx f x x eππ--=∴=归一化：()1f x d x ∞=⎰平均值： 22(), ()x xf x dx x x f x dx ∞∞==⎰⎰令：223/4/4()1(2)022x x df x xxeedxπ--=-=得出最概然值 2p x =2-10一容器的器壁上开有一直径为0.20mm 的小圆孔，容器贮有100℃的水银，容器外被抽成真空，已知水银在此温度下的蒸汽压为0.28mmHg 。

（1） 求容器内水银蒸汽分子的平均速率。

（2） 每小时有多少克水银从小孔逸出？解：（1）)/(1098.11020114.337331.88823s m RTV ⨯=⨯⨯⨯⨯==-πμ（2）逸出分子数就是与小孔处应相碰的分子数，所以每小时从小孔逸出的分子数为：t s V n N ⋅⋅=41其中KTV P V n ⋅=4141是每秒和器壁单位面积碰撞的分子数，2)2(d s π=是小孔面积，t=3600s ，故t s V KTP N ⋅⋅⋅=41，代入数据得：N=4.05×1019（个）∴)(1035.11005.41002.610201219233g N NmN M A--⨯=⨯⨯⨯⨯===μ2-11 一容器体积为V 2，一导热隔板把它分成相等的两半，开始时左边盛有压强为0P 的理想气体，右边为真空。

在隔板上有一面积为S 的小孔，求打开小孔后左右两边压强1P 和2P 与时间t 的关系（已知单位时间与器壁单位面积相撞的分子数为v n 41）。

解：设某时刻左、右分子数分别为N 、N 0-N ，则在d t 内左面分子数变化为()0120111d d d d 2d 4444N N N S N n S t n S t S t N N t V V V -⎛⎫=-+=-+=- ⎪⎝⎭v v v v由P=NkT/V 得：()0d 2d 4S p p p t V=-v ,由此解得⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-t V Sv p p 40L e 12由N 1+N 2=N 0可得p 1+p 2=p 0，04R 011e 2vS t Vp p p p -⎛⎫∴=-=-⎪⎝⎭2．一容积为1升的容器，盛有温度为300K ，压强为30×104Pa 的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg 。