二次函数的值域PPT演示文稿

y
-1 -3
o
1
3
x
对称轴x=-
a 2
0 m
对 称 轴
1
n
m
n
图（3）
图（1）
对称轴x=-
a 2
m0
1 n
对 称 轴
m
图（2）
n
图（4）
第一类： ：函数对称轴不固定，区间固定， 2 f ( x ) x 2ax 3 在 x [0,1] 上的最值。 例2、求
对称轴x=a 2
1、由图（1） 当对称轴x=a≥1 ymax f (0) 3
0
1
对 称 轴
图（1）
ymin f (1) 4 a
1、由图（2）
对称轴x=-
a 2
当对称轴x=a≤0
0 1
ymax f (1) 4 a ymin f (0) 3
对 称 轴
图（2）
例2、求
f ( x) x2 2ax 3 在
当 0a 1
x [0,1]
2
上的最值。
3、由图（3）得：
对称轴x=a 2
0
1/2
1
ymax f (1) 4 2a ymin f ( a ) 3 a 2
4、由图（4）得： 当
1 a 1 2
对 称 轴
图（3）
对称轴x=-
a 2
0
1/2
1
ymax f (0) 3 ymin f ( a ) 3 a 2
由二次函数的图象可知: -1 ymax =f (a)=0 综上所述:当-1<a<0时, ymax =0
当 a≥0时,ymax =
a2 4
x
a
o
a 2
小结:
•
• •
1：二次函数 最值1看开口，2看对称轴， 3看区间. 2：含参二次函数 在闭区间上的最值应注 意对称轴与闭区间左右端点的位置. 3：？
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o 1 a
2
x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴：x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时 ,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3 1 x o 2 3.当a≥2时 ,函数在[0,1]上单调 a 递减,在[1，a]上单调递增, ∴当x=1时,ymin=2,当x=a时,ymax= a2-2a+3
对 称 轴
图（4）
练习2：已知函数y=x2-2ax-2+a,x∈[0,1] 时函数最小值为-2，求a.
对称轴x=a 2
0
1
对 称 轴
图（1）
对称轴x=a 2
0
对 称 轴
1
图（2）
图3
第2类:函数对称轴固定，动区间
例3 求y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最值。 解: 对称轴 x=1,抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3
-1 o
a 2
a x
练习： 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上最大值
a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时 , 由二次函数图象 2 a a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a a2 (2)当a< 时,即-1<a<0时, 4 2
f(x)=ax2+bx+c 判别式 △>0 a>0
( x∈R ) a<0
函 数 的 图 像
最值
△=0 △ <0
4ac b 4a
2
当x= 2 a 时,y最小值=
b
当x=
b 2a
2 4 ac b 时,y最大值= 4a
例题1：求f(x)=x2-2x-3 ①x∈[-1，0]， ②x∈[2，3]， ③x∈[-1，2]的最值
3 2 o 1 a x
例3 求函数y=x2-2x+3在区间[0，a]上的最 值，并求此时x的值。 解: 对称轴： x=1, 抛物线开口向上 1.当0<a≤1时，函数在[0，a]上单调递减， ∴当x=0时，ymax=3 y 当x=a时，ymin=a2-2a+3 2.当1<a<2时,函数在[0,1]上单 调递减,在[1,a]上单调递增, 3 ∴当x=1时,ymin=2 2 当x=0时，ymax=3
思考： 已知f(x）=x2-2x+3在[0，a]上最大值 3,最小值2，求a的范围。
y
3 2 o
1
2
x
练习 3 ：求f ( x) [ x (3 2a)] 12a 8a , x [a,)最小值
2 2
练习： 求函数y=-x(x-a)在x∈[-1,a]上最大值
a 解:函数图象的对称轴方程为x= ,又x∈[-1,a] 2 a 1 1 故a>-1, 2 > - 2 ,∴对称轴在x= - 2 的右边. a ∴(1)当 -1< 2 ≤a时,即a≥0时 , 由二次函数图象 2 a a 可知: ymax =f ( )= 4 y 2 a a2 (2)当a< 时,即-1<a<0时, 4 2