数值计算方法矩阵特征值与特征向量的计算
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是该子空间的一个特征向量近似；
不同的wk.baidu.com(0）可能得到线性无关的V(k）。
n
V(k) Ak V（0） c jkjx j j 1
Case 3: 1 2 且为实数，1 2 j ( j 3,4,n)
V ( k )
1k
c1x1
(1)k c2x2
j
n 3
c
j
j 1
k
x
j
1k (c1x1 (1)k c2x2 ) (if k 1)
Ax＝λx A－1 x＝λ－1 x
Ax＝λx Ak x＝λk x
§8.1 乘幂法与反幂法
一、乘幂法
求矩阵主特征值和相应特征向量的一种迭代法。
对任一非零向量 V (0) Rn 递推定义
V (k) AV (k1) A2V (k2) AkV (0) , k 0,1,
形成迭代向量序列 V(k)
V (k2) pV (k1) qV (k ) 0
上式说明 1,1 是方程2＋ p＋q＝0的一对共轭复根。 系数p、q由下式确定（最小二乘），即
Vl(k 2) pVl(k1) qVl(k ) 0
V
( j
k
2)
pV
( j
k
1)
qV
( j
k
)
0
1 l, j n,l j
1
p 2
i
q
p
2
设x实1,矩x2阵,A的, x特n 征线值性为无关1，(意味2，着…矩, 阵n，可相对应角特化征)，向且量
1 2 n
n
V(0) c1x1 c2x2 cnxn c jx j j 1
n
n
n
V(k) Ak c jx j c j (Ak x j ) c jkjx j
j 1
A
3
1 2
3 2 7
的主特征值及相应特征向量，要求
(k 1) 1
(k 1
)
107 ．
乘幂法的计算结果
k
V(k) T
(k ) 1
0
(1.0000000 1.0000000 1.0000000)
(A- I)x=0有非零解的数和相应的非零解向量x。 setp 1：det(A- I)=0； step 2： (A- I)x=0 的非零向量x。
高阶的困难； 有效方法：迭代法和变换法
主特征值λ1：按模最大的特征值 |λ1 | ≥ | λ2 | ≥ | λ3 | ≥… ≥ | λn | 谱半径ρ(A)＝ |λ1 | ，主特征值的模 如果det(A)≠0，
2 1 : V(k1) 1V(k) (1)k＋121k1c2x2
此情形判定方法：V(k)呈有规律摆动，V(k)和 V(k＋2)几乎相差正常数因子。
Case 4: 1 2， 1 k k 3,4,, n A为实矩阵
Ax1 1x1 Ax1 Ax1 1x1 2 x1
x2 x1
n
V(0) c1x1 c2x1 c jx j j3
情形，可以取 m=5 或 m=1 等等．
(2) 乘幂法的收敛速度取决于 r 2 1或 r 3 1 或 r r1 1的程
1
1
1
度，r<<1 时收敛速度较快，r1 时收敛速度较慢．对收敛较慢的乘幂法，
可以采用原点平移法或 Rayleigh 商加速法来加快其收敛速度．
例 用乘幂法计算矩阵
12 3 3
从而造成计算溢出．为此，实用中常需要每进行 m 步就对迭代向量 V(k) 进行一
次规范化，即用 V~ (k)
V(k) max V(k)
代替 V(k)
继续迭代．由于特征向量允许相差
一个常数因子，因此从 V~ (k) 开始往后继续迭代与从 V(k) 往后继续迭代的收敛速
度是相同的，但规范化后却避免了溢出的可能性．至于 m 取多少，取决于实际
j 1
j 1
n
n
n
V(k) Ak c jx j c j (Ak x j ) c jkjx j
j 1
j 1
j 1
case 1: 1 j ( j 2,3,n)
V(k)
1k c1x1
j
n
2
c
j
j 1
k
x
j
1k
c1x1 εk
V(k) 1kc1x1 k 1 c1 0
2
2
p 2
i
q
p
2
2
V V
(k 1) (k 1)
2V (k ) 1V (k )
1k (1 k2 (2
2 )c1x1 1)c2 x2
(if k 1)
几点说明
(1) 在用乘幂法求矩阵的主特征值1 及对应的特征向量时，迭代向量的分量
Vi(k) 常会出现绝对值非常大(当 1 1)或者绝对值非常小(当 1 1 )的现象，
1k
r
cjx j
j 1
j
n r
c
1
j
j 1
k
x
j
1k
r
cjx j
j 1
r
V (k) 仍然是对应于1的近似特征向量 c jx j 0 j 1
1
V (k 1) i
V (k) i
(if
V(k) i
0，
k
1)
Remark:由于相应于1的特征向量子空间 可能不是一维的，由上式得到的V(k）只
n
V (k) 1kc1x1 1kc2x1 kjc jx j 1kc1x1 1kc2x1 j3
V(k) 1kc1x1 1kc2x1
V(k1) 1k1c1x1 1k1c2x1
V(k 2) 1k 2c1x1 1k 2c2x1
V (k2) （1 1）V (k1) 11V (k) 0
V (k ) 1k c1x1
V (k 1) i Vi(k )
(k 1
1)
(c1x1
)i
1k (c1x1)i
1
(if
V(k) i
0，
k
1)
n
V(k) Ak V（0） c jkjx j j 1
Case 2: 主特征值是实重根，如
1 2 r 而 1 r1 n ，则
V(k)
第八章 矩阵特征值与特征向量的计算
§8.0 问题描述 §8.1 乘幂法与反幂法 §8.2 雅可比方法(不做要求)
§8.0 问题描述
特征值问题：对于n×n矩阵A，有数和非零列向量x， 使 Ax＝ x 成立。则称数是A的一个特征值，x叫做 与特征值对应的矩阵A的特征向量。
求解方法：原问题等价于求使线性方程组
V (k2) 1k2 (c1x1 (1)k2 c2x2 ) 1k2 (c1x1 (1)k c2x2 )
V(k) 1k (c1x1 (1)k c2x2 )
V(k2) 12V(k)
(if k 1)
V V （k 2） （k） 2
i
i
1
1
V（i k
2）/
V（k） i
V(k1) 1V(k) 21(k1)c1x1
不同的wk.baidu.com(0）可能得到线性无关的V(k）。
n
V(k) Ak V（0） c jkjx j j 1
Case 3: 1 2 且为实数，1 2 j ( j 3,4,n)
V ( k )
1k
c1x1
(1)k c2x2
j
n 3
c
j
j 1
k
x
j
1k (c1x1 (1)k c2x2 ) (if k 1)
Ax＝λx A－1 x＝λ－1 x
Ax＝λx Ak x＝λk x
§8.1 乘幂法与反幂法
一、乘幂法
求矩阵主特征值和相应特征向量的一种迭代法。
对任一非零向量 V (0) Rn 递推定义
V (k) AV (k1) A2V (k2) AkV (0) , k 0,1,
形成迭代向量序列 V(k)
V (k2) pV (k1) qV (k ) 0
上式说明 1,1 是方程2＋ p＋q＝0的一对共轭复根。 系数p、q由下式确定（最小二乘），即
Vl(k 2) pVl(k1) qVl(k ) 0
V
( j
k
2)
pV
( j
k
1)
qV
( j
k
)
0
1 l, j n,l j
1
p 2
i
q
p
2
设x实1,矩x2阵,A的, x特n 征线值性为无关1，(意味2，着…矩, 阵n，可相对应角特化征)，向且量
1 2 n
n
V(0) c1x1 c2x2 cnxn c jx j j 1
n
n
n
V(k) Ak c jx j c j (Ak x j ) c jkjx j
j 1
A
3
1 2
3 2 7
的主特征值及相应特征向量，要求
(k 1) 1
(k 1
)
107 ．
乘幂法的计算结果
k
V(k) T
(k ) 1
0
(1.0000000 1.0000000 1.0000000)
(A- I)x=0有非零解的数和相应的非零解向量x。 setp 1：det(A- I)=0； step 2： (A- I)x=0 的非零向量x。
高阶的困难； 有效方法：迭代法和变换法
主特征值λ1：按模最大的特征值 |λ1 | ≥ | λ2 | ≥ | λ3 | ≥… ≥ | λn | 谱半径ρ(A)＝ |λ1 | ，主特征值的模 如果det(A)≠0，
2 1 : V(k1) 1V(k) (1)k＋121k1c2x2
此情形判定方法：V(k)呈有规律摆动，V(k)和 V(k＋2)几乎相差正常数因子。
Case 4: 1 2， 1 k k 3,4,, n A为实矩阵
Ax1 1x1 Ax1 Ax1 1x1 2 x1
x2 x1
n
V(0) c1x1 c2x1 c jx j j3
情形，可以取 m=5 或 m=1 等等．
(2) 乘幂法的收敛速度取决于 r 2 1或 r 3 1 或 r r1 1的程
1
1
1
度，r<<1 时收敛速度较快，r1 时收敛速度较慢．对收敛较慢的乘幂法，
可以采用原点平移法或 Rayleigh 商加速法来加快其收敛速度．
例 用乘幂法计算矩阵
12 3 3
从而造成计算溢出．为此，实用中常需要每进行 m 步就对迭代向量 V(k) 进行一
次规范化，即用 V~ (k)
V(k) max V(k)
代替 V(k)
继续迭代．由于特征向量允许相差
一个常数因子，因此从 V~ (k) 开始往后继续迭代与从 V(k) 往后继续迭代的收敛速
度是相同的，但规范化后却避免了溢出的可能性．至于 m 取多少，取决于实际
j 1
j 1
n
n
n
V(k) Ak c jx j c j (Ak x j ) c jkjx j
j 1
j 1
j 1
case 1: 1 j ( j 2,3,n)
V(k)
1k c1x1
j
n
2
c
j
j 1
k
x
j
1k
c1x1 εk
V(k) 1kc1x1 k 1 c1 0
2
2
p 2
i
q
p
2
2
V V
(k 1) (k 1)
2V (k ) 1V (k )
1k (1 k2 (2
2 )c1x1 1)c2 x2
(if k 1)
几点说明
(1) 在用乘幂法求矩阵的主特征值1 及对应的特征向量时，迭代向量的分量
Vi(k) 常会出现绝对值非常大(当 1 1)或者绝对值非常小(当 1 1 )的现象，
1k
r
cjx j
j 1
j
n r
c
1
j
j 1
k
x
j
1k
r
cjx j
j 1
r
V (k) 仍然是对应于1的近似特征向量 c jx j 0 j 1
1
V (k 1) i
V (k) i
(if
V(k) i
0，
k
1)
Remark:由于相应于1的特征向量子空间 可能不是一维的，由上式得到的V(k）只
n
V (k) 1kc1x1 1kc2x1 kjc jx j 1kc1x1 1kc2x1 j3
V(k) 1kc1x1 1kc2x1
V(k1) 1k1c1x1 1k1c2x1
V(k 2) 1k 2c1x1 1k 2c2x1
V (k2) （1 1）V (k1) 11V (k) 0
V (k ) 1k c1x1
V (k 1) i Vi(k )
(k 1
1)
(c1x1
)i
1k (c1x1)i
1
(if
V(k) i
0，
k
1)
n
V(k) Ak V（0） c jkjx j j 1
Case 2: 主特征值是实重根，如
1 2 r 而 1 r1 n ，则
V(k)
第八章 矩阵特征值与特征向量的计算
§8.0 问题描述 §8.1 乘幂法与反幂法 §8.2 雅可比方法(不做要求)
§8.0 问题描述
特征值问题：对于n×n矩阵A，有数和非零列向量x， 使 Ax＝ x 成立。则称数是A的一个特征值，x叫做 与特征值对应的矩阵A的特征向量。
求解方法：原问题等价于求使线性方程组
V (k2) 1k2 (c1x1 (1)k2 c2x2 ) 1k2 (c1x1 (1)k c2x2 )
V(k) 1k (c1x1 (1)k c2x2 )
V(k2) 12V(k)
(if k 1)
V V （k 2） （k） 2
i
i
1
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V（i k
2）/
V（k） i
V(k1) 1V(k) 21(k1)c1x1