2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题
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【解析】
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 ，
则该命题的否定是： ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
4．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为 ，则
一次取出2只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共6种，
6．-2
【解析】
试题分析： ，
考点：等比数列性质及求和公式
7．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出幂函数 的解析式，再求出 的单调递减区间．
【详解】
解：幂函数 的图象经过点 ，
则 ，
解得 ；
所以 ，其中 ；
所以 的单调递减区间为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
（3）若函数 在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
20．已知函数 ．
（1）求函数 的零点；
（2）设函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，求证： ；
（3）若 ，且不等式 对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．
21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝ ，
（1）若 ，求证： ⊥ ；
（2）若二面角 的大小为 ，求线段 的长．
24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为 ”.
（1）当 时，记 ，求 的分布列及数学期望；
其中2只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共5种；
所以所求的概率是 ．
考点：古典概型概率
5．充分不必要源自文库
【解析】
【分析】
由余弦的二倍角公式可得 ,即 或 ,即可判断命题的关系.
【详解】
由 ,所以 或 ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
【点睛】
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
（2）当 ， 时，求 且 的概率.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先解不等式 ,再求交集的定义求解即可.
【详解】
由题,因为 ,解得 ,即 ,
则 ,
故答案为:
【点睛】
本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.
2．
【解析】
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
3． ，
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时 的值；
（3）问当θ为何值时， 的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
19．已知函数 .若在定义域内存在 ，使得 成立，则称 为函数 的局部对称点.
（1）若a， 且a≠0，证明：函数 有局部对称点；
（2）若函数 在定义域 内有局部对称点，求实数c的取值范围；
12．设点P在函数 的图象上，点Q在函数 的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________
13．设 为偶函数，且当 时， ；当 时， ．关于函数 的零点，有下列三个命题：
①当 时，存在实数m，使函数 恰有5个不同的零点；
②若 ，函数 的零点不超过4个，则 ；
③对 ， ，函数 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
9．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
10．设集合 ， （其中e是自然对数的底数），且 ，则满足条件的实数a的个数为______．
11．已知过点 的直线与函数 的图象交于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，点 的横坐标是
评卷人
得分
一、填空题
1．设集合 ， ，则 ____________.
2．已知 （ 为虚数单位），则复数 ________．
3．命题“ ”的否定是______．
4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
8．1
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得 ,由题可分析 的最小值等于 表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,进而求解即可.
【详解】
由题, ,
因为 , ,且 的最小值等于 ,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,
A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
22．本小题满分14分）
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 截得的线段的长度
23．如图，在正四棱锥 中， ，点 、 分别在线段 、 上， ．
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
5．“ ”是“ ”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
6．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是．
7．若幂函数 的图象经过点 ，则其单调递减区间为_______．
8．若函数 ( R， )满足 ，且 的最小值等于 ，则ω的值为___________.
（2）求 的值.
17．设数列 ， 的各项都是正数， 为数列 的前n项和，且对任意 ，都有 ， ， ， （e是自然对数的底数）.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
18．已知矩形纸片 中， ，将矩形纸片的右下角沿线段 折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边 上，记该点为E，且折痕 的两端点M，N分别在边 上.设 ， 的面积为S.
其中，正确命题的序号是_______．
14．已知函数 ，若对于任意正实数 ，均存在以 为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.
评卷人
得分
二、解答题
15．已知集合 ，集合 ， .
（1）求集合B；
（2）记 ，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
16．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；
【分析】
根据特称命题的否定为全称命题得到结果即可.
【详解】
解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题 ，
则该命题的否定是： ，
故答案为： ， ．
【点睛】
本题考查全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．
4．
【解析】
试题分析：根据题意，记白球为A，红球为B，黄球为 ，则
一次取出2只球，基本事件为 、 、 、 、 、 共6种，
6．-2
【解析】
试题分析： ，
考点：等比数列性质及求和公式
7．
【解析】
【分析】
利用待定系数法求出幂函数 的解析式，再求出 的单调递减区间．
【详解】
解：幂函数 的图象经过点 ，
则 ，
解得 ；
所以 ，其中 ；
所以 的单调递减区间为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，属于基础题．
（3）若函数 在R上有局部对称点，求实数m的取值范围.
20．已知函数 ．
（1）求函数 的零点；
（2）设函数 的图象与函数 的图象交于 ， 两点，求证： ；
（3）若 ，且不等式 对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．
21．选修4-2：矩阵与变换（本小题满分10分）
已知矩阵A＝ (k≠0)的一个特征向量为α＝ ，
（1）若 ，求证： ⊥ ；
（2）若二面角 的大小为 ，求线段 的长．
24．在一次电视节目的答题游戏中，题型为选择题，只有“A”和“B”两种结果，其中某选手选择正确的概率为p，选择错误的概率为q，若选择正确则加1分，选择错误则减1分，现记“该选手答完n道题后总得分为 ”.
（1）当 时，记 ，求 的分布列及数学期望；
其中2只球的颜色不同的是 、 、 、 、 共5种；
所以所求的概率是 ．
考点：古典概型概率
5．充分不必要源自文库
【解析】
【分析】
由余弦的二倍角公式可得 ,即 或 ,即可判断命题的关系.
【详解】
由 ,所以 或 ,所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故答案为:充分不必要
【点睛】
本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.
（2）当 ， 时，求 且 的概率.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
先解不等式 ,再求交集的定义求解即可.
【详解】
由题,因为 ,解得 ,即 ,
则 ,
故答案为:
【点睛】
本题考查集合的交集运算,考查解一元二次不等式.
2．
【解析】
【详解】
解：
故答案为：
【点睛】
本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题.
3． ，
（1）将l表示成θ的函数，并确定θ的取值范围；
（2）求l的最小值及此时 的值；
（3）问当θ为何值时， 的面积S取得最小值？并求出这个最小值.
19．已知函数 .若在定义域内存在 ，使得 成立，则称 为函数 的局部对称点.
（1）若a， 且a≠0，证明：函数 有局部对称点；
（2）若函数 在定义域 内有局部对称点，求实数c的取值范围；
12．设点P在函数 的图象上，点Q在函数 的图象上，则线段PQ长度的最小值为_________
13．设 为偶函数，且当 时， ；当 时， ．关于函数 的零点，有下列三个命题：
①当 时，存在实数m，使函数 恰有5个不同的零点；
②若 ，函数 的零点不超过4个，则 ；
③对 ， ，函数 恰有4个不同的零点，且这4个零点可以组成等差数列．
9．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点A，B，C，D．若AB＝BC，则实数t的值为_________．
10．设集合 ， （其中e是自然对数的底数），且 ，则满足条件的实数a的个数为______．
11．已知过点 的直线与函数 的图象交于 、 两点，点 在线段 上，过 作 轴的平行线交函数 的图象于 点，当 ∥ 轴，点 的横坐标是
评卷人
得分
一、填空题
1．设集合 ， ，则 ____________.
2．已知 （ 为虚数单位），则复数 ________．
3．命题“ ”的否定是______．
4．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为__________．
8．1
【解析】
【分析】
利用辅助角公式化简可得 ,由题可分析 的最小值等于 表示相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,进而求解即可.
【详解】
由题, ,
因为 , ,且 的最小值等于 ,即相邻的一个对称中心与一个对称轴的距离为 ,
A的逆矩阵A－1对应的变换将点(3，1)变为点(1，1)．求实数a，k的值．
22．本小题满分14分）
已知曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线 的参数方程为 （ 为参数），求直线 被曲线 截得的线段的长度
23．如图，在正四棱锥 中， ，点 、 分别在线段 、 上， ．
2020届江苏省南通市海安高级中学高三第二次模拟考试数学试题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号
一
二
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
5．“ ”是“ ”的__________条件.（填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一）
6．已知等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 的值是．
7．若幂函数 的图象经过点 ，则其单调递减区间为_______．
8．若函数 ( R， )满足 ，且 的最小值等于 ，则ω的值为___________.
（2）求 的值.
17．设数列 ， 的各项都是正数， 为数列 的前n项和，且对任意 ，都有 ， ， ， （e是自然对数的底数）.
（1）求数列 ， 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
18．已知矩形纸片 中， ，将矩形纸片的右下角沿线段 折叠，使矩形的顶点B落在矩形的边 上，记该点为E，且折痕 的两端点M，N分别在边 上.设 ， 的面积为S.
其中，正确命题的序号是_______．
14．已知函数 ，若对于任意正实数 ，均存在以 为三边边长的三角形，则实数k的取值范围是_______.
评卷人
得分
二、解答题
15．已知集合 ，集合 ， .
（1）求集合B；
（2）记 ，且集合M中有且仅有一个整数，求实数k的取值范围.
16．已知 ， ， ， .
（1）求 的值；