2.1二阶张量的矩阵
第 2 章 二阶张量
研究定义在一个固定点（张量的元素是实常数， gi 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的
不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量的元素
T = Tij g i g j = Ti• j g i g j = T•ii gi g j = T ij gi g j
k n
(2) T 的不变量由无限多个（不变量的组合仍是不变量），通常关心的有两组：
主不变量（ T 特征多项式的三个系数）
2
η1 = T•11 + T•22 + T•33 = G : T = T•mm = GmnT mn = GmnTmn = Tm•m
( )( ) η2
=
T•11 T•21
T•12 T•22
、 Ni• j
=
N•ji
，
（而一般： N•i j
≠
N
j •i
、
N
• i
j
≠
N •i j
在相同的，混变分量的转置 ≠ 系数矩阵的转置）
N ⋅u=u⋅N
(4) 反对称张量 Ω = −ΩT
性质： Ωij
=
−Ω 、 Ω ij ji
=
−Ω
ji
Ω 、 i •j
=
Ω − Ω 、 •i
•j
j
i
=
−Ω•ij ，
（而一般：
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
第2章二阶张量
+ T•22 T•32
T•23 T•33
+ T•11 T•31
T•13 T•33
=
1 2
⎣⎡
G :T
G :T − T ⋅⋅T ⎦⎤
=
1 2
⎡⎣T•mmT•nn
− T•pqT•qp ⎤⎦
=
1 2
δ
ijpqT•jiT•qp
[共有 6 项相加，前后指标一样为正，不一样为负；指标 m, n 和 p, q 可以互换但乘积不
而一般： Ωi• j
≠
−Ω
j •i
、
Ω
• i
j
≠
−Ω
•i j
Ω ⋅ u = −u ⋅ Ω
(2) 不变量：
η1Ω = 0 ；η3Ω = 0 (对角元为零)
5
( ) ( ) ( ) η2Ω
=
0 − Ω1•2
Ω1•2 0
+
0 − Ω•23
Ω•23 0
+
0 − Ω1•3
Ω1•3 0
=
Ω1•2
2+
Ω•23
2+
变，所以要乘 1/2]
T•11 T•12 T•13
η3 = T•21
T•22
T•23
=
1 3!
εMT
⊗T
⊗TMε
=
1 6
δ limjknT•l iT•mjT•nk
=
1 6
ε
ijk ε lmnT•l iT•mjT•nk
T•31 T•32 T•33
[共有 6 项相加，前后指标均为顺序或逆序为正，一正一逆为负，有非序为零； l, m, n 均顺 序和均逆序的排列有 6 种，同样 i, j, k 也有六种，组合共有 36 种，除去重复的只有 6 种， 所以要乘 1/6]
张量的矩阵表示
张量的矩阵表示
张量是现代数学和物理学中十分重要的概念之一。
在机器学习和深度学习领域中，张量的概念更是无处不在，成为了数据处理和算法设计的基础。
那么，张量与矩阵有什么联系呢？
矩阵可以被认为是二维数组，并且在线性代数中有很重要的地位，张量则是矩阵的扩展。
矩阵中每个元素有两个下标，而张量中每个元素则有多个下标。
根据下标的个数，张量可以被分为标量、向量、矩阵，以及更高维度的张量。
为了更好地描述张量，我们需要使用张量的矩阵表示。
以二阶张量为例，它可以用一个矩阵来表示。
这个矩阵中每个元素都是一个数字，同时有两个下标。
下标既可以看做行的坐标，也可以看做列的坐标。
对于一个二阶张量T，其矩阵表示为Tij，其中i和j分别表示矩阵的行和列。
矩阵中的每一行和每一列都代表着一个向量，同时张量中每个元素的值则代表着该向量在对应维度上的值。
值得注意的是，一个张量的矩阵表示并不唯一，不同的张量可以对应同一个矩阵。
因此，在处理张量时，需要根据上下文来确定其具体含义。
总的来说，张量与矩阵之间的关系非常紧密，张量的矩阵表示为我们处理张量提供了很大的便利。
理解张量和矩阵之间的关系，可以更好地应用它们在各个领域中的应用。
二阶张量主不变量的推导
二阶张量主不变量的推导二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以帮助我们了解张量的性质和特征。
在本文中，我们将推导二阶张量主不变量的计算公式，并解释其物理意义。
我们回顾一下二阶张量的定义。
二阶张量是一个具有两个下标的矩阵，可以表示为一个2x2的矩阵。
在三维空间中，二阶张量可以表示为一个对称矩阵，其中的元素表示了不同方向上的物理量的关系。
为了推导二阶张量主不变量的计算公式，我们先考虑二阶张量的特征值和特征向量。
特征值和特征向量是矩阵理论中的重要概念，它们可以帮助我们了解矩阵的性质。
对于一个二阶张量T，我们可以通过解特征值问题来求得其特征值和特征向量。
特征值问题可以表示为以下形式：T·v = λ·v其中，T表示二阶张量，v表示特征向量，λ表示特征值。
我们可以将特征值问题转化为一个线性方程组来求解。
假设特征向量v为非零向量，我们可以得到以下方程组：(T - λ·I)·v = 0其中，I表示单位矩阵。
由于v非零，所以方程组有非零解的条件是矩阵(T - λ·I)的行列式为0。
计算矩阵(T - λ·I)的行列式，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程，形式如下：det(T - λ·I) = 0将行列式展开并进行计算，我们可以得到一个关于特征值λ的二次方程。
通过求解这个二次方程，我们可以得到二阶张量的两个特征值。
特征值表示了二阶张量在特征向量方向上的伸缩比例。
通过计算特征值，我们可以得到二阶张量在不同方向上的伸缩程度。
二阶张量主不变量可以由特征值计算得到。
具体而言，二阶张量主不变量的计算公式如下：I1 = λ1 + λ2其中，I1表示二阶张量的主不变量，λ1和λ2表示二阶张量的特征值。
二阶张量主不变量的物理意义是描述了二阶张量在不同方向上的伸缩总和。
通过计算主不变量，我们可以了解二阶张量的整体伸缩情况。
总结起来，二阶张量主不变量是描述二阶张量的一个重要指标，它可以通过计算二阶张量的特征值得到。
第2章 张量分析(清华大学张量分析,你值得拥有)
( Nij ij )a j 0 det( Nij ij ) 0
利用指标升降关系 a为非0矢量 利用主不变量
N ( ) 3 J1N 2 J 2 J3N 0
二阶张量的标准形: 张量最简单的形式
非对称二阶张量
•
请研究以下领域的同学关注。 1、应变梯度理论，偶应力理论 2、电流场，电磁流变（有旋场）
x
x
椭圆曲线的坐标变换
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax bxy cy d 0
任意二阶张量将一线性相关的矢量集映射为线性相 关的矢量集：
(i)u(i) 0
i 1
l
l l 0 T (i)u(i) (i)(T u(i)) i 1 i 1
正则与退化的二阶张量
•
3D空间中任意二阶张量T将任意矢量组u，v，w映射 为另一矢量组，满足：
N S
1 p
S S1e1e1 S2e2e2 S3e3e3
Si N i
1 p
几种特殊的二阶张量
正张量的对数
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
ln N ln N1 e1e1 ln N2 e2e2 ln N3 e3e3
Nij N ji Ni j Nij Nij N ji N ij N ji
N 1 NT 1
( ) , ( ) , ( ) ,
N T 1 N 2 N T 3 N 3 N T 2 N 4
NT 4
N T ( 4 )
反对称张量与其转置张量分量及二者所对应的矩阵
二阶张量的行列式
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
第二章 二阶张量
第二章：二阶张量1. ij T ij ji i j j i i j T T T ;=⊗=⊗=⊗T g g T g g g g ij i j ij i j T ; T =⋅⋅=⋅⋅g T g g T g2. T =T.u u.TT ij ij ij ij j i j i i j j i ( = T T u ;T T u )⋅⊗==⊗⋅=u.T u g g g T.u g g u g 3.i .j det()T =T行列式不等于零的二阶张量定义为正则二阶张量 正则二阶张量存在逆张量：1-⋅T T =G 4.主不变量①1)()()ζ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=⋅⨯T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )u (v w)（1.()::i i Tr T ζ====T T G G T)()()i j k ijk S u v w ⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⨯⋅=T u (v w)+u (T v w)+u (v T w )（m m mijk .i mjk .j imk .k ijm S T T T εεε=++由于mik imkmmmiik .i mik.i imk.k iimS T T T εεεεε=-⇓=++=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时i j k m ijk .i .j .k ijk not sum ijk .m ijk S (T T T )T εε=++=②2)[)][()(]()[()]()ξ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w u v w （2......122123323113.1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.1112233.1.2.2..3.3.1223311.1.2.2..3.3.111()22ij l mi j i l lm i j i j l j T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T TTTTT T ζδ==-=-+-+-=++注意：ij ijklm lmkδδ=是张量的分量张量T 行列式中各阶主子式之和)[)][()(]()[()]i j k ijk S u v w ⋅⋅⋅⨯⋅⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=T u (T v w +u T v T w)+T u (v T w （ 其中......()m n m n n mijk i j mnk j k imn k i mjn S T T T T T T εεε=++..........()0m n m n n m iik i i mnk i k imn k i min m n i i mnk m n i i nmk iik S T T T T T T T T T T S εεεεε=++===-=当i,j,k 当中有两个相等时，0iik S = 当i j k ≠≠时 (122123323113).1.2.1.2.2..3.2..3.3.1.3.12()()i j j i j k k j k i i k ijk i j i j j k j k k i k i ijk not sumijkijkijkS T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T εεζε=-+-+-=-+-+-=③()[()()]det()()⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w...()[()()]()()()i j k l m nl m n ijkl m n lmn T T T u v w det u v w det εε⋅⋅⋅⨯⋅===⋅⨯T u T v T w T T u v w ④()()det()()T T -⋅⨯⋅=⨯T v T w T v w()[()()]det()()[()()]det()()T⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯⋅⋅⋅⨯⋅=⋅⨯T u T v T w T u v w u T T v T w T u v w由于上式对任意矢量u 都成立[()()]det()()()()det()()T T-⋅⋅⨯⋅=⨯⋅⨯⋅=⨯T T v T w T v w T v T w T T v w⑤主不变量与矩之间的关系*1*2..*3...()()()ii i kk i i j kj k i Tr T Tr T T Tr T T T ζζζ===⋅==⋅⋅=T T T T T T2212112212ij k li j j i kl .i .j .i .j .i .j *T T (T T T T )[()]ζδζζ==-=-3.....................*3***13121611()()661(()23)6ijk l m nlmn i j ki j k j k i k i j j i k i k j k j i i j k i j k i j k i j k i j k i j k e e T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T T ζζζζζ==++-++=+- 二阶张量标准形 1. 特征值、特征向量 λ⋅=T v v ()λ-⋅=T G v 01111232221233331230.........T T T T T T T T T λλλ--=-特征方程 321230λζλζλζ-+-= 特征根是不变量2. 实对称二阶张量标准形 1. 特征根是实根*************; ; ()0 () λλλλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒=⋅-=⇒=N v N v v v N v v v v N v v v v v N v v 0v v2. 特征向量互相正交1112222112112212121212 ; ; ()00λλλλλλ⋅=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅-⋅=⇒⋅=N v v N v v v N v v v v N v v v v v v v 3. 不存在约当链如果λ是n 重根，但不存在相应的特征向量12,v v ,使1122 ; λλ⋅=⋅=T v v T v v则一定存在约当链11221λλ⋅=⋅=+T v v T v v v然而对对称张量112212112121211110λλλλ⋅=⋅=+⇓⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅+⋅⇓⋅=N v v N v v v v N v v v v N v v v v v v v这是不可能的。
二阶张量的定义
二阶张量的定义二阶张量是线性代数中的一个重要概念。
在数学和物理学领域中，二阶张量被广泛应用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
本文将介绍二阶张量的定义和一些基本性质，以及其在实际应用中的意义。
我们来定义二阶张量。
在线性代数中，一个二阶张量可以被视为一个二维矩阵，它具有两个索引，通常用小写字母的下标表示。
一个二阶张量可以用以下形式表示：T_ij其中，i和j是张量的两个索引，可以取1、2、3等整数值。
这个二阶张量有四个分量，分别是T_11、T_12、T_21、T_22。
这些分量可以对应于矩阵的四个元素。
二阶张量的分量具有特定的变换规律。
当坐标系发生变换时，二阶张量的分量也会相应地发生变化。
具体而言，对于一个二阶张量T_ij，在坐标系变换下，其分量会按照以下规则进行变换：T_ij' = R_i^k * R_j^l * T_kl其中，T_ij'是变换后的二阶张量的分量，R_i^k和R_j^l是坐标系变换矩阵。
这个变换规律保证了二阶张量在不同坐标系下的表示是相容的。
二阶张量具有一些重要的性质。
首先，二阶张量可以进行加法和数乘运算，即两个二阶张量可以相加，一个二阶张量可以与一个标量相乘。
其次，二阶张量还可以进行张量积运算，即两个二阶张量可以进行分量乘积并相加的运算。
这些运算使得二阶张量具有了更强大的描述能力。
在实际应用中，二阶张量有着广泛的应用。
在物质力学中，二阶张量可以描述物质的应力和应变。
通过应力张量和应变张量的组合，可以得到物质的弹性模量和刚度矩阵等重要性质。
此外，在电磁学中，电磁场的张量表示也是一个二阶张量，可以用来描述电磁场的分布和传播。
二阶张量还在图像处理、机器学习等领域中有着重要的应用，例如图像的卷积运算和神经网络的权重矩阵等。
总结起来，二阶张量是线性代数中的一个重要概念，用于描述具有两个索引的二维矩阵。
二阶张量具有特定的变换规律和运算性质，可以用于描述物质的性质、力学系统的行为以及电磁场的传播等问题。
《二阶张量的矩阵》课件
06 二阶张量的实例分析
实例一：弹性力学中的应力张量
弹性力学中的应 力张量定义
应力张量的基本 性质
弹性力学中的应 力张量应用
实例分析：某具 体弹性力学问题 中的应力张量
实例二：流体力学中的应力张量
应力张量的定义与性质 流体力学中的应力张量表示 应力张量在流体力学中的应用 实例分析：某流体力学问题的应力张量分析
电磁学：二阶张量用于描述电磁场 的应力-能量张量
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流体力学：二阶张量用于描述流体 的应力场
相对论力学：二阶张量用于描述相 对论力学中的应力-能量张量
在工程中的应用
结构分析：利用二阶张量矩阵对结构进行力学分析，包括应力、应变、刚度等
弹性力学：二阶张量矩阵在弹性力学中的应用，如弹性问题的求解、弹性本构关系的 建立等
注意事项：在计算过程中需要注意各个分量的符号和顺序，以确保结果 的正确性
应用范围：适用于所有类型的二阶张量计算，是一种通用的计算方法
间接计算法
定义：通过已知 的一阶张量计算 二阶张量的方法
计算步骤：先计算 一阶张量的偏导数， 再利用高斯公式计 算二阶张量
适用范围：适用 于具有对称性的 一阶张量
注意事项：需要 保证计算精度和 稳定性
二阶张量的矩阵
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目录 /目录
01
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04
二阶张量的应 用
02
二阶张量的定 义
05
二阶张量的计 算方法
03
二阶张量的矩 阵表示
06
二阶张量的实 例分析
第 2 章 二阶张量
2) 二重根时：如设 λ1 = λ2 ≠ λ3 a3 的方向是确定的，与 a3 垂直平面内的任意方向均是主方向。 ( a1 ⋅ a3 = 0 , a2 ⋅ a3 = 0 )
3) 三重根时： λ1 = λ2 = λ3
(2) 正则T 是单射的： u ≠ v ⇒ T ⋅ u ≠ T ⋅ v (3) 正则T 是满射的： ∀u 所作的线性变换T ⋅ u = v ，必存在唯一的逆变换T −1 ⋅ v = u 定义：正则二阶张量T ，必存在唯一的正则二阶张量T −1 使：T ⋅T −1 = T −1 ⋅T = G
2.3 二阶张量的不变量
Ωi •j
≠
−Ω•ij 、 −Ωi • j
=
−Ωj•i
在相同的
(5) 行列式的值：
定义： detT = T•i j ， Tij = g Ti• j = T•i j g = g 2 T ij ， g = Gij
`Tij
= Tij
、 `T ij
= T ij
、 `Ti • j
=
T•
j i
、
⎡ ⎣
Tij
= Ti•k Gkj
2.4 二阶张量的标准形
1． 实对称张量 N
(1)
定义： Nij
=
N ji 、 N ij
=
N
ji
、
N
i •
j
=
N
•i j
、
Ni•
j
=
N•ji
，而一般：
N
i •
j
≠
N•ji 、 Ni• j
第2章 二阶张量
Ω1 i2
2+
Ω2 i3
2+
Ω1 i3
2 =ϕ2
（3）主方向
特征方程：
Ωi •j
−
λδ
i j
= λ3 + λη2Ω = 0
λΩ 3
=
0；λ1Ω
= ϕi；λ2Ω
=
−ϕi
对应 λ Ω 3
的主方向e3：Ω ⋅ e3 = 0
⎡0 −ϕ 0⎤
对应
λ1Ω、 λ2Ω
的主方向
g1、g2，在这组基矢下：[ Ω
]
=
⎢ϕ
l, m, n均顺序和均逆序的排列有6种，i, j, k同样也有六种，组合共有36种，
除去重复的只有6种，所以要乘1 / 6]
[T ⋅ a, b, c] = [a,T ⋅ b, c] = [a, b,T ⋅ c] = η1(T )[a, b, c]
[T ⋅ a,T ⋅ b, c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = [a,T ⋅ b,T ⋅ c] = η (T )[a, b, c] 2
（1）实反对称二阶张量 Ω=-ΩT 只有3个独立的非零分量，在笛卡尔系中，
⎡0
[ ] 矩阵
Ω
=
⎡⎣Ω
i i
j
⎤⎦
=
⎢⎢−Ω
1 i2
⎢⎣−Ω
1 i3
Ω1 i2 0
−Ω
2 i3
Ω Ω
1 i3
2 i3
⎤ ⎥ ⎥
，
0 ⎥⎦
任意坐标系中，⎡⎣Ω
i i
j
⎤⎦
不一定是对称矩阵
（2）只有一个独立的主不变量：
( ) ( ) ( ) η1Ω = 0；η3Ω = 0；η2Ω =
二阶定向张量
二阶定向张量二阶定向张量（second-order tensor）是张量分析中的重要概念，它在物理学、工程学等领域有广泛应用。
本文将从定向张量的基本概念、性质和应用等方面进行阐述，以帮助读者更好地理解和应用二阶定向张量。
一、基本概念1.张量的定义：张量是向量或矩阵的推广，可以视为具有多个分量的多维数组。
在二阶张量中，每个分量可以表示为T_ij，其中i和j分别代表张量的坐标轴。
2.二阶定向张量：二阶定向张量是一个具有有限个分量的二阶张量。
它可以用矩阵形式表示，例如A = [A_ij]。
其中i和j分别代表矩阵的行和列，A_ij表示矩阵A的(i,j)位置的元素。
3.张量的指标表示：二阶定向张量中的分量通常可以用上标和下标的形式表示。
上标表示张量的行索引，下标表示张量的列索引，例如A^i_j。
二、性质和运算1.定向张量的对称性：对称张量是指满足A^i_j = A^j_i的张量。
对称张量的特点是其矩阵表示具有关于对角线对称的性质，即A_ij =A_ji。
2.定向张量的迹运算：张量的迹运算是指将张量的对角线上的元素相加。
对于二阶定向张量A，其迹的表示为tr(A) = A^i_i。
3.张量的乘法运算：两个二阶定向张量A和B的乘法运算可以通过矩阵乘法来实现。
设C = AB，那么C_ij = A^i_k * B^k_j。
值得注意的是，张量的乘法不满足交换律，即AB不一定等于BA。
三、应用1.物理学中的应用：在物理学中，二阶定向张量经常出现在力学、电磁学等领域的描述中。
例如，应力张量用于描述物体受到的力和压力，磁感应强度张量用于描述磁场的特性等。
2.工程学中的应用：在工程学中，二阶定向张量广泛应用于力学、土木工程等领域。
例如，在应力分析中，应力张量可以用于描述材料内部的应力状态，帮助工程师设计和分析结构的强度和稳定性。
3.图像处理中的应用：在图像处理中，二阶定向张量可以用来提取图像的纹理信息和边缘特征。
通过计算每个像素点处的定向张量，可以实现图像的边缘检测、纹理分析等任务。
第2章-张量分析(清华大学张量分析-你值得拥有)PPT课件
• 负整数次幂
G T 0 T 1(1) T 1 T 1 T T 1
T 2 T 1 T 1
T m T 1 T 1 T 1 T 1
几种特殊的二阶张量
➢ 正张量：N>0的对称二阶张量
uN u 0
➢ 非负张量：N≥0的对称二阶张量 u N u 0
对称二阶张量总可以化为：
N N1e1e1 N2e2e2 N3e3e3
能量密度。而大变形情况会出现高度非线性，则不能 用加法分解，而要用乘法分解。
• 最简单的坐标变换
y y
x cos sin x
y
sin
cos
y
x
• 椭圆曲线的坐标变换
x
正交变换可使椭圆曲线的方程由以下一般形式
ax2 bxy cy2 d 0
变换为最简形式，即两主轴坐标系下形式。
x a
2
y b
2
1
几种特殊的二阶张量
➢ 正交张量Q
• 正交张量的定义和性质
可证： Q e3 e3
Q e1 cos e1 sin e2 Q e2 cos e2 sin e1
e1, e2 整体绕轴向旋转一个角度
几种特殊的二阶张量
• 正交张量对应的正交变换的特性
① 保内积性质 ② 保长度性质 ③ 保角度性质
(Q u) (Q v) u v
(Q u) (Q u) u u
l i
Tii
J2
1 2!
T T ij l
lm i
m j
1 2
(TiiTll
TliTil )
J3
1 3!
T T ijk l
lmn i
Tm n
j k
det(T )
张量和矩阵
张量和矩阵在数学中，张量和矩阵都是非常重要的概念。
它们有许多相似之处，但也有很多不同之处。
在本文中，我们将介绍这两个概念的基础知识，以及它们在数学和物理中的应用。
一、张量的基本概念张量是一个非常基础的数学概念，可以用来描述物理现象、几何结构等。
它可以被描述为一个多维数组，其中每个元素都有一个特定的坐标。
一个张量的维数取决于它的坐标系，通常由几个张量分量决定。
一个二阶张量可以被描述为一个二维数组，其中的每个元素都有两个下标。
用一个具体的例子来说明：假设有一张二维图像，每个像素的颜色值都有一个特定的坐标。
将这个图像表示为一个二阶张量，其中的每个元素都对应一个像素的颜色值。
同样，我们可以将三维图像表示为一个三阶张量，其中的每个元素都对应一个像素的颜色值和位置。
矩阵是一种特殊类型的张量，通常表示为一个二维数组。
每个元素都有一个特定的下标，矩阵的维数由它的行和列数决定。
矩阵的乘法是对两个矩阵进行元素级别的乘法，并将结果相加得到一个新的矩阵。
行列式是一种特殊类型的算术运算，用于确定矩阵是否可逆。
如果一个矩阵的行列式为零，则称该矩阵为奇异矩阵，否则称为非奇异矩阵。
矩阵可以被视为一种特殊类型的张量，其中的每个元素都只有二维坐标。
在某些情况下，我们可以将一个高阶张量表示为一个矩阵的集合。
例如，在深度学习中，一个二阶张量可以被视为一组矩阵，其中每个矩阵表示一个样本的特征向量。
在这种情况下，矩阵乘法可以被视为执行对每个样本的一系列线性变换。
这种线性变换可以被视为对输入数据进行预处理，以便于实现更好的分类或回归效果。
张量和矩阵在数学和物理中有许多应用。
例如，在物理学中，张量可以被用于描述物体的形态、运动和电磁场等。
在机器学习和计算机视觉中，张量可以用来表示图像、声音和文本等数据。
在深度学习中，张量可以被用来描述神经网络的权重和偏差等参数，并用于计算网络的输出。
总之，张量和矩阵是非常重要的数学概念。
它们在许多领域中都有广泛的应用，包括物理学、机器学习、计算机视觉和信号处理等。
二阶张量坐标变换公式
二阶张量坐标变换公式二阶张量是物理学中经常使用的一种量，描述了空间中一个向量与另一个向量的乘积，既具有方向又具有大小。
而坐标变换是数学中重要的一种概念，它将一个向量在一个坐标系中表示成在另一个坐标系中的表示方式。
本文将介绍二阶张量坐标变换的公式及其应用。
在介绍二阶张量坐标变换公式之前，我们先来回顾一下一阶张量的坐标变换。
对于一个一阶张量，其在不同坐标系下的表示方式可以通过矩阵变换得到。
具体而言，若$T$表示一个一阶张量，$A$表示原坐标系的基底，$B$表示新坐标系的基底，那么在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_A=T\cdot A$$在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_B=T\cdot B$$其中，$\cdot$表示矩阵乘法。
根据坐标变换的基本原理，可以得到：$$T_B=S^{-1}\cdot T_A\cdot S$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
根据这个公式，我们能够在不同坐标系下准确地描述一阶张量。
对于二阶张量，同样可以得出类似的坐标变换公式。
对于一个二阶张量$T$，其在$A$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^A=T(e_i)_A\cdot T(e_j)_A$$其中，$e_i$和$e_j$是$A$坐标系的基向量。
同样的，我们可以得到它在$B$坐标系下的表示方式为：$$T_{ij}^B=T(e_i)_B\cdot T(e_j)_B$$其中，$e_i$和$e_j$是$B$坐标系的基向量。
将它们带入坐标变换公式，可以得到：$$T_{ij}^B=S_{ik}\cdot S_{jl}\cdot T_{kl}^A$$其中，$S$是坐标变换矩阵，其满足$B=AS$。
这个公式就是二阶张量坐标变换的公式。
显然，它在形式上与一阶张量坐标变换公式是相似的。
二阶张量坐标变换公式的应用十分广泛。
例如，在弹性力学中，应力张量和应变张量都是二阶张量。
当物体受到外力作用时，其内部就会产生应力和应变，而应力张量和应变张量则可以用来描述物体在不同坐标系下的表现。
【南航研究生课程】[张量分析]第 2 章 二阶张量
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第2章 二阶张量研究定义在空间一个固定点（张量的元素是实常数，i g 也是常数）上的二阶张量随坐标系转动的不同形式，不涉及与另一个张量的关系，也不涉及张量运动。
2.1 二阶张量与矩阵的对应分量同一坐标系：j i ijj i i ij ij i j i ij T T T T g g g g g g g g T ====∙∙ 另一坐标系：j i j i j i i i j i j i j i j i T T T T ''''''''∙'''∙'''''====g g g g g g g g● 对应不同坐标的分量不同：,,,jj i i iji j iji j i i jj T T T T T T T T ''''∙∙''''∙∙≠≠≠≠● 对应不同并矢的分也不同：iji i j i ij T T T T ≠≠≠∙∙● 指标满足升降：mm mniji mj im iim nj T T g g T g T g ∙∙===转置()()()()jiijTTijTiTjTj i i j ijijTT TT ∙∙====T g g g g g g g gi jj ii j jiji ij ji i j T T T T ∙∙====g g g g g g g g 分量指标互换 jijii jijij i j ii j i T T T T ∙∙====g g g g g g g g 并矢指标交换一般情况混变分量的转置≠系数矩阵的转置对称 T=N Nji ij N N =、ji ij N N =、i j i j N N ∙∙=、j i j i N N ∙∙=N u u N ⋅=⋅反对称 T=-ΩΩij ji ΩΩ=-、ijjiΩΩ=-、i i jjΩΩ∙∙=-、jj i iΩΩ∙∙=-，Ωu u Ω⋅-=⋅行列式的值 定义：i jT∙=T det ， iji jjiij T g g T T g T 2===∙∙， ij g G =ji ij T T =、jiijTT =、jj iiT T ∙∙=、i iT tr ∙=T ，()i iiiS T tr ∙∙+=+S T ，()S T S T ⋅⋅=⋅tr ，():Ttr ⋅=T ST S二阶张量与矢量的点积—矢量线性变换=⋅w T u ， ii jjw T u ∙=⋅，⋅≠⋅T u u T2.2 正则与退化的二阶张量定理：任意二阶张量将一个线性相关的矢量集映射为线性相关的矢量集 【设矢量集()i u 线性相关，则存在不全为零的实数()i α使：1()()I i i i α==∑u 0,()11()()()()I Ii i i i i i αα===⋅=⋅∑∑0T u T u , 所以()i ⋅T u 也线性相关】定理：[][],,det ,,⋅⋅⋅=T u T v T w T u v w[det T 为两个平行六面体的体积比，三维空间中3个矢量是否线性相关取决与它们的混合积是否为零] 正则与退化det 0≠T 正则二阶张量；否则为退化的二阶张量(1) T 为正则⇔()i u (i =1,2,3) 性无关，则()i ⋅T u 也线性无关。
牛顿法二阶矩阵为正定矩阵-概述说明以及解释
牛顿法二阶矩阵为正定矩阵-概述说明以及解释1. 引言1.1 概述牛顿法是一种经典的数值优化方法，广泛应用于求解非线性方程、最优化问题等数学领域。
其基本思想是通过不断迭代逼近函数的最优解。
在牛顿法中，二阶矩阵的正定性是一个重要的条件，它影响着算法的稳定性、迭代速度以及收敛性。
二阶矩阵是指一个矩阵的维度为2×2，可以表示为：A = [a11 a12a21 a22]正定矩阵是指所有特征值均为正的矩阵。
对于二阶矩阵来说，它是正定矩阵的条件是主对角线元素a11和a22大于0，并且行列式a11*a22 - a12*a21大于0。
牛顿法中，二阶矩阵为正定矩阵的意义不容忽视。
首先，算法的稳定性得到了保证。
正定矩阵保证了牛顿法每次迭代都能够朝着极小值点的方向前进，避免了出现震荡、发散等问题。
其次，正定矩阵的存在保证了牛顿法的收敛性。
正定矩阵可以保证牛顿法的收敛速度比其他方法更快，能够更快地逼近最优解。
最后，正定矩阵的存在也影响了牛顿法的迭代速度。
正定矩阵可以提供更精确的方向信息，使得牛顿法能够更快地寻找到最优解。
综上所述，牛顿法中二阶矩阵为正定矩阵是非常重要的。
它保证了算法的稳定性、收敛性和迭代速度，为牛顿法的应用奠定了基础。
在实际问题中，我们需要对二阶矩阵的正定性进行判断，以确保牛顿法能够有效地求解问题。
对于二阶矩阵的正定性的重视，也引发了对于正定矩阵性质的深入研究和应用的重要性。
文章结构部分的内容可以如下所示：1.2 文章结构本文将以牛顿法二阶矩阵为正定矩阵为主题，从引言、正文和结论三个部分来展开。
具体结构如下：引言部分将对文章的主题进行概述，介绍牛顿法的基本原理和应用领域，并指出本文的目的。
正文部分将分为三个主要章节，分别为牛顿法简介、二阶矩阵与正定矩阵以及牛顿法中二阶矩阵为正定矩阵的意义。
其中，通过对牛顿法的原理、应用领域以及优缺点的介绍，读者可以对牛顿法有一个全面的了解。
然后，通过对二阶矩阵和正定矩阵的定义以及二阶矩阵为正定矩阵的条件进行讲解，读者可以掌握相关概念和定理。
张量分解学习
X a(1) oa(2) oL oa(N )
c
b
X
a
三阶秩一张量：X a ob oc
8
（超）对称和（超）对角
◦ 立方张量：各个mode的长度相等 ◦ 对称：一个立方张量是对称的，如果其元素在下标的任意
排列下是常数。如一个三阶立方张量是超对称的，如果
xijk xikj x jik x jki xkij xkji ,i, j, k ◦ 对角：仅当 i1 i2 L iN x 时， i1i2L iN 0
X(1) A C e BT X(2) B C e AT X(3) CB e AT
三阶张量：X ¡ I×J×K
4
纤维（fiber）
mode-1 （列）
纤维：x: jk
mode-2 （行）
纤维：xi:k
mode-3 （管）
纤维：xij:
5
切片（slice）
水平切片：Xi::
侧面切片：X: j:
正面切片：X::k (Xk )
6
内积和范数
◦ 设 X ,Y ¡ I1×I2×L ×IN
A e B+ ATA BTB + A e BT
16
CP分解
17
CP分解的其他名字
◦ Polyadic Form of a Tensor, Hitchcock, 1927 ◦ PARAFAC(Parallel Factors), Harshman, 1970 ◦ CANDECOMP/CAND(Canonical decomposition),
aI
1B
aI 2B
L
a1J B
二阶矩阵、二阶矩阵
第一讲二阶矩阵、二阶矩阵与平面向量的乘法、二阶矩阵与线性变换。
一、二阶矩阵1.矩阵的概念①OP → =→的坐标排成一列，并简记为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3③ 概念一：象⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 3 80908688⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦的矩形数字〔或字母〕阵列称为矩阵.通常用大写的拉丁字母A 、B 、C…表示， 横排叫做矩阵的行,竖排叫做矩阵的列.名称介绍：①上述三个矩阵分别是2×1矩阵，2×2矩阵〔二阶矩阵〕，2×3矩阵，注意行的个数在前。
②矩阵相等：行数、列数相等，对应的元素也相等的两个矩阵，称为A ＝B 。
③行矩阵：[a 11,a 12]〔仅有一行〕④列矩阵：⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11 a 21 〔仅有一列〕 ⑤向量a →＝〔x,y 〕，平面上的点P 〔x,y 〕都可以看成行矩阵[,]x y 或列矩阵x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，在本书中规定所有的平面向量均写成列向量x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦的形式。
练习1：1.已知⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=243x A ,⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=21z y B ，假设A=B ，试求z y x ,, 2.设23x A y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，2m n x y B x y m n ++⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦，假设A=B ，求x,y,m,n 的值。
概念二：由4个数a,b,c,d 排成的正方形数表a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦称为二阶矩阵。
a,b,c,d 称为矩阵的元素。
— 2 — 3— ⎣⎢⎡⎦⎥⎤80 90 86 88 231,3242x y mz x y z ++=⎧⎨-+=⎩简记为23324m ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦①零矩阵：所有元素均为0，即0000⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为0。
②二阶单位矩阵：1001⎡⎤⎢⎥⎣⎦，记为E 2. 二、二阶矩阵与平面向量的乘法定义：规定二阶矩阵A=a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，与向量x y α→⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的乘积为ax by A cx dy α→+⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦，即A α→＝a b c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝ax by cx dy +⎡⎤⎢⎥+⎣⎦练习2：1.〔1〕⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-131021＝ 〔2〕 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-311021＝ 2.⎥⎦⎤⎢⎣⎡2101⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-11，求⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x 三、二阶矩阵与线性变换1.旋转变换问题1:P 〔x,y 〕绕原点逆时针旋转180o 得到P ’(x ’,y ’),称P ’为P 在此旋转变换作用下的象。
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二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置， 对称、 对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与 张量的相等、相加、 矩阵运算一一对应。 矩阵运算一一对应。 （2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
张量分析 及连续介质力学
第2章
二 阶 张 量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 T12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
τ 1 = τ 2 g = gτ 3 = gτ 4 g
式中 g11 g = g 21 g 31 g12 g 22 g 32 g13 g 23 = g ij g 33
u = u (当为反对称 )
双线性函数 二次型
f x i , y j = Tij x i y j = x T y = T : xy f x i , y j = N ij x i x j = x N x
(
)
(
)
（4）二阶张量与二阶张量的点积： 二阶张量与二阶张量的点积：
C = A B ≠ B A
C =A B , C
i j i k k j
j i
= A B , Cij = Aik B , C ij = Aik Bk j
k j
k i
j k
C C C τ 3 = τ 3Aτ 3B , τ 2 = τ 2Aτ 2B , τ 1C = τ 1Aτ 3B , τ 4 = τ 4Aτ 2B
（5）二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘 二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算， 运算。 运算。
ij = ji , i j = ji , i j = i , j
τ 1 = τ 1
T
= τ1
τ 3 = (τ 2
T
),
( ),
T
τ 2 = (τ 3
τ 4 = τ 4
T
), = (τ ) ,
T
T
4
2.1.3
二阶张量的行列式
det (τ 1 ) = gdet (τ 2 ) = gdet (τ 3 ) = g 2 det (τ 4 )
T
N ij = N ji , N i j = N ji , N i j = N i , j
N ij = N ji
τ
N 1
N 3
=τ
NT 1Βιβλιοθήκη =ττ=τ( ),
N T 2
( ),
N T 1
τ
=τ
N 2
=τ
τ
N 4
NT 4
( ), = (τ ) ,
N T 3
N T 4
反对称二阶张量
= T
ij = ji
线性变换（ （3）二阶张量与矢量的点积——线性变换（映射）： 二阶张量与矢量的点积 线性变换 映射）：
w = T u = u T
T
w =T u
i i j
j
T (αu + βv ) = αT u + βT v
t = u T = T T u
T u ≠ u T
t =u T
i j
i j
N u = u N (当N为对称 )
[ ]
定义
[T ] = [T i j ] = τ 3
仅在笛卡尔坐标系中， 仅在笛卡尔坐标系中，这四个矩阵才相同 二阶张量与矩阵的区别 （1）二阶张量仅对应方阵； ）二阶张量仅对应方阵； （2）转置（或对称、反对称）张量与转置（或对称、反 ）转置（ 对称、反对称）张量与转置（ 对称、 转置 对称）矩阵不能一一对应； 对称）矩阵不能一一对应； （3）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。 ）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。
i j j i i ji
i j
= Tij g j g i = T i j g j gi = Ti j g j g i = T ij g j gi
τ
T 1
T
τ
T 3
T
( ), = (τ ) ,
=τ
T T 1
τ
TT 2
TT 4
=τ
T T 2
τ
( ), = (τ )
T T 3
T T 4
对称二阶张量
N=N