2.1二阶张量的矩阵

ij = ji , i j = ji , i j = i , j
τ 1 = τ 1
T
= τ1
τ 3 = (τ 2
T
),
( ),
T
τ 2 = (τ 3
τ 4 = τ 4
T
), = (τ ) ,
T
T
4
2.1.3
二阶张量的行列式
det (τ 1 ) = gdet (τ 2 ) = gdet (τ 3 ) = g 2 det (τ 4 )
u = u (当为反对称 )
双线性函数 二次型
f x i , y j = Tij x i y j = x T y = T : xy f x i , y j = N ij x i x j = x N x
(
)
(
)
（4）二阶张量与二阶张量的点积： 二阶张量与二阶张量的点积：
C = A B ≠ B A
C =A B , C
i j i k k j
j i
= A B , Cij = Aik B , C ij = Aik Bk j
k j
k i
j k
C C C τ 3 = τ 3Aτ 3B , τ 2 = τ 2Aτ 2B , τ 1C = τ 1Aτ 3B , τ 4 = τ 4Aτ 2B
（5）二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算，例如并乘 二阶张量的有些运算没有相应的矩阵运算， 运算。 运算。
[ ]
定义
[T ] = [T i j ] = τ 3
仅在笛卡尔坐标系中， 仅在笛卡尔坐标系中，这四个矩阵才相同 二阶张量与矩阵的区别 （1）二阶张量仅对应方阵； ）二阶张量仅对应方阵； （2）转置（或对称、反对称）张量与转置（或对称、反 ）转置（ 对称、反对称）张量与转置（ 对称、 转置 对称）矩阵不能一一对应； 对称）矩阵不能一一对应； （3）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。 ）二阶张量的某些运算与矩阵运算不完全互相对应。
线性变换（ （3）二阶张量与矢量的点积——线性变换（映射）： 二阶张量与矢量的点积 线性变换 映射）：
w = T u = u T
T
w =T u
i i j
j
T (αu + βv ) = αT u + βT v
t = u T = T T u
T u ≠ u T
t =u T
i j
i j
N u = u N (当N为对称 )
i j j i i ji
i j
= Tij g j g i = T i j g j gi = Ti j g j g i = T ij g j gi
τ
T 1
T
τ
T 3
T
( ), = (τ ) ,
=τ
T T 1
τ
TT 2
TT 4
=τ
T T 2
τ
( ), = (τ )
T T 3
T T 4
对称二阶张量
N=N
二阶张量的转置， 2.1.2 二阶张量的转置， 对称、 对称、反对称张量及其所对应的矩阵
T = T
T
( ) g g = (T )
T i j ij
T j i
g gj = T
i
( )
j
T i j
gi g = T
j
( ) gg
T ij i
j
= T ji g g = T g g j = T gi g = T gi g j
张量分析 及连续介质力学
第2章
二 阶 张 量
2.1 二阶张量的矩阵
2.1.1 二阶张量的四种分量所对应的矩阵
三维空间中的二阶张量T 三维空间中的二阶张量
T 11 源自文库12 T13 τ 1 = T21 T22 T23 = Tij T31 T32 T33
[ ]
T 1 T 2 T 3 1 1 1 1 2 3 τ 2 = T 2 T 2 T 2 = T i j T 31 T 32 T 33 T 11 T 12 T 13 τ 4 = T 21 T 22 T 23 = T ij T 31 T 32 T 33
定义
显然
2.1.4
( ) det (T ) = det (T )
T det (T ) = det τ 3
T
二阶张量的代数运算与矩阵的代数运算
（1）张量的相等、相加、标量与张量相乘等代数运算均与 张量的相等、相加、 矩阵运算一一对应。 矩阵运算一一对应。 （2）二阶张量的迹 trT ：
trT = Ti i
[ ] [ ]
T 11 T 12 T 13 2 2 2 τ 3 = T 1 T 2 T 3 = T i j T 31 T 3 2 T 3 3
[ ]
τ 1 = τ 2 g = gτ 3 = gτ 4 g
式中 g11 g = g 21 g 31 g12 g 22 g 32 g13 g 23 = g ij g 33
T
N ij = N ji , N i j = N ji , N i j = N i , j
N ij = N ji
τ
N 1
N 3
=τ
NT 1
=τ
τ
=τ
( ),
N T 2
( ),
N T 1
τ
=τ
N 2
=τ
τ
N 4
NT 4
( ), = (τ ) ,
N T 3
N T 4
反对称二阶张量
= T
ij = ji