第1讲 数的整除(1)
01-第一章-数的整除-六年级(上)-知识点汇总-沪教版
第一章数的整除1.1 整数和整除的意义1、在数物体的时候，用来表示物体个数的数1,2,3,4,5，……，叫做整数2、在正整数1,2,3,4,5，……，的前面添上“—”号，得到的数—1，—2，—3，—4，—5，……，叫做负整数3、零和正整数统称为自然数4、正整数、负整数和零统称为整数5、整数a除以整数b，如果除得的商正好是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a1.2 因数和倍数1、如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的因数2、倍数和因数是相互依存的3、一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身4、一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身1.3 能被2, 5整除的数1、个位数字是0,2,4,6,8的数都能被2整除2、整数可以分成奇数和偶数，能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数3、在正整数中（除1外），与奇数相邻的两个数是偶数4、在正整数中，与偶数相邻的两个数是奇数5、个位数字是0,5的数都能被5整除6、0是偶数1.4 素数、合数与分解素因数1、只含有因数1及本身的整数叫做素数或质数2、除了1及本身还有别的因数，这样的数叫做合数3、1既不是素数也不是合数4、奇数和偶数统称为正整数，素数、合数和1统称为正整数5、每个合数都可以写成几个素数相乘的形式，这几个素数都叫做这个合数的素因数6、把一个合数用素因数相乘的形式表示出来,叫做分解素因数7、分解素因数方法：树枝分解法、短除法1.5 公因数与最大公因数1、几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其最大的一个叫做这几个数的最大公因数2、如果两个整数只有公因数1，那么称这两个数互素数3、把两个数公有的素因数连乘，所得的积就是这两个数的最大公因数4、如果两个数中，较小数是较大数的因数，那么这两个数的最大公因数较小的数5、如果两个数是互素数，那么这两个数的最大公因数是11.6 公倍数与最小公倍数1、几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数2、几个数中最小的公因数，叫做这几个数的最小公倍数3、求两个数的最小公倍数，只要把它们所有的公有的素因数和他们各自独有的素因数连乘，所得的积就是他们的最小公倍数4、如果两个数中，较大数是较小数的倍数，那么这两个数的最小公倍数是较大的那个数如果两个数是互素数，那么这两个数的最小公倍数是两个数的乘积试试你的身手！一：填空题（每空1分，共22分）1．3.6÷2＝1.8，（能，不能）说2整除2.8。
小学五年级奥数--数的整除特征(1)
今日作业
1.只修改970405的某一个数字，就可使修改后的六位数能 被225整除，修改后的六位数是_____。
（安徽省1997年小学数学竞赛题）
2.在3□2□的方框里填入合适的数字，使组成的四位数是能 被15整除的数中最大的一个，这个数是多少？
（山东省1997年小学生数学竞赛初赛试题）
3.一位采购员买了72只桶，在记账本上记下这笔账。由于他 不小心，墨汁落在账本上把这笔账的总数污掉了两个数字。 账本是这样写的：72只桶，共用去□67.9□元（□为被污掉 的数字），请你帮忙把这笔账补上。应是____元。
征可知x＝ 5 ；
当y＝5时，根据 9︱x1993 y 及数的整除特
征可知x＝9
答：满足条件的六位数是 519930或
。
919935
• （2）李老师为学校一共买了28支价格相同 的钢笔，共付人民币9□.2□元，已知□处 数字相同，请问：每支钢笔多少元？
• 分析：由28支钢笔的价格相同可知，总钱 数9□.2□是28 的倍数，同上面的解题思路 类似，可以用数的整除性质和数的整除特 征结合起来解答。
和或差也能被c整除。
•
• 你能再举出一个例子吗？
数的整除性质2
• 2、我们再来看一组例子： • ① 15能整除45，3×5＝15，3和5都能整除
45吗？ • ② 3×7＝21，21能整除84，3和7都能整除
84吗？ • ③ 5×9＝45，45能整除135，5和9都能整除
135吗？ • 上面的3个例子有什么共同点？ • 如果一个数能被两个数的积整除，它能被这两个
• 例如 8整除324685008 ， 9整除 324685008 且8，9，互质
• 那么 72︱324685008。
第1讲 数的整除-学生讲义
第1讲数的整除一、知识点1.整除的概念：整数a 除以整数b，如果除得的商是整数而余数为零，则称a能被b整除（或者说b能整除a），记作b|a，其中a叫做b的倍数，b叫做a的因数。
注意：我们讨论的整除性均在正整数范围内。
2.数的整除特征（1）一个数的个位数字是0，2，4，6，8中的某一个，那么这个整数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字是0或者5，那么这个整数就能被5整除。
（3）一个数各数位上的数字和能被3或9整除，那么这个数就能被3或9整除。
（4）一个数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
（6）|（7）一个数既能被2整除，又能被3整除，则这个数能被6整除，反之一个数能被6整除，则这个数一定能被6的因数（1,2,3,6）整除。
（8）能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）是11的倍数，那么这个数就是11的倍数。
（9）能被7（11或13）整除的特征：一个数的末三位与末三位以前的数字所组成的数之差（大数减小数）能被7（11或13）整除，那么这个数就能被7（11或13）整除。
3.数整除的性质（1）如果两个整数a、b都能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被数c整除（2）如果数a能被数b整除，c是整数，那么ac也能被数b整除。
（3）如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么数a也一定能被数c整除。
（4）如果数a能同时被数b、c整除，而且b、c互质，那么a一定能被积bc整除。
二、典例剖析#例1.周老师为全班28名同学买了价格相同的钢笔（每人一支），共付人民币9□.2□元。
已知□处数字相同，请问钢笔每支多少元练一练1.老师买了72本相同的书，当时没有记住每本书的价格，只用铅笔记下了用掉的总钱数□□元，回校后发现有两个数字已经看不清了，你能帮助补上这两个数字吗|例2.已知292x y 能被36整除，求所有满足条件的五位数。
六年下册奥数试题：数的整除特征（一）全国通用（含答案）
第1讲数的整除特征（一）知识网络数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。
（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。
（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。
（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（8）个位上是0或者5的数都能被5整除。
（9）若一个整数各位数字之和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（12）若一个整数各位数字之和能被9整除，则这个整数能被9整除。
重点·难点数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带来了很大方便，在实际问题中应用广泛。
要学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
学法指导能被2和5，4和25，8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。
三位。
我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：我们可以综合推广成一条：末末n 位数能被（或）整除的数，整除的数，本身必能被本身必能被（或）整除；反过来，末n 位数不能被（或）整除的数，本身必不能被（或）整除。
例如，判断253200、371601能否被16整除，因为，所以只要看各数的末四位数能否被16整除。
学习这一讲知识要学会举一反三。
经典例题[例1]在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数尽可能小。
思路剖析这个六位数分别被3、4、5整除，故它应满足如下三个条件：（1）各位数字和是3的奇数；（2）末两位数组成的两位数是4的倍数；的倍数；（3）末位数为0或5。
数论讲义一：整除
数论讲义一：整除整除是整数的一个重要内容，这里仅介绍其中的几个方面：整数的整除性、最大公约数、最小公倍数、方幂问题。
Ⅰ.整数的整除性初等数论的基本研究对象是自然数集合及整数集合。
我们知道，整数集合中可以作加、减、乘法运算，并且这些运算满足一些规律（即加法和乘法的结合律和交换律，加法与乘法的分配律），但一般不能做除法，即，如是整除，，则不一定是整数。
由此引出初等数论中第一个基本概念：整数的整除性。
定理一：（带余除法）对于任一整数和任一整数，必有惟一的一对整数，使得，，并且整数和由上述条件惟一确定，则称为除的不完全商，称为除的余数。
若，则称整除，或被整除，或称的倍数，或称的约数（又叫因子），记为。
否则，| 。
任何的非的约数，叫做的真约数。
0是任何整数的倍数，1是任何整数的约数。
任一非零的整数是其本身的约数，也是其本身的倍数。
由整除的定义，不难得出整除的如下性质：（1）若（2）若（3）若，则反之，亦成立。
（4）若。
因此，若。
（5）、互质，若（6）为质数，若则必能整除中的某一个。
特别地，若为质数，（7）如在等式中除开某一项外，其余各项都是的倍数，则这一项也是的倍数。
（8）n个连续整数中有且只有一个是n的倍数。
（9）任何n个连续整数之积一定是n的倍数。
（10）二项式定理：；；经典例题：一、带余除法1．若是形如的数中最小的正整数，求证：；分析：利用带余除法，设2．为质数，，证明：被整除；分析：利用带余除法处理，可以设，再来表示二．若3．设和为自然数，使得被整除，证明：分析：根据恒等式4．为给定正整数，对任意，都有，证明：；分析：注意到，对任意，有三、利用牛顿二项式定理；；5．设都是正整数，，且，证明：；分析：首先由，而，讨论的奇偶性6．已知，定义，证明：；分析：当时，四、配对思想7．设为奇数，证明：；分析：由于，这些数的分子都是，分母都小于，因此想到用配对法做此题；五．反证法8．设，，而是一个不小于的正整数，证明：存在整数，使得；整除作业一1．设为有理数，为最小正整数，使得是整数，如果与是整数，证明：。
数的整除(一)
数的整除特性（一）【知识要点】在自然数范围内，如果数a除以数b商是整数没有余数，我们就说数a能被数b整除。
如果数a能被数b整除，那么数a叫做数b的倍数，数b叫做数a的约数。
能被2整除数的特征，个位是02468的数能被2整除。
能被5整除数的特征，个位是0或5的数能被5整除。
能被3（或9）整除数的特征，个位数字之和能被3（或9）整除，这个数就能被3（或9）整除。
能被4（或25）整除数的特征，一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除数的特征，一个数的末三位数能被8（或125）整除，这个数就能被8（或125）整除。
如果要判断Ａ能否被Ｂ整除（Ｂ的数值较大），我们可以把Ｂ分解为Ｃ×Ｄ（Ｂ＝Ｃ×Ｄ），Ａ如果能被Ｃ整除，也能被Ｄ整除，那么Ａ能被Ｂ整除。
【典型例题】例1、四位数7A2B能被2.3.5整除，这个四位数是多少？练1、．一个五位数６Ａ５８Ｂ，既能被３整除，有含有因数５，同时又是２的倍数，这样的五位数有哪几个？例2、有一个三位数8A7能被9整除，这个数是多少？练2. 有一个四位数7AA1能被9整除，A代表什么数？这个四位数是多少？例3.把2000个苹果平均分成四堆（或25堆），能否正好分完？例4.一个五位数865□□能分别被3，4，5，整除，这样的五位数中最小的一个是多少？练4、在568后补上三个数字，组成一个六为数，使它分别能被3，4，5，整除，且使该数尽可能小？练4、在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3.4.5.整除，且使这个数值尽可能的小。
例5、.一个三位数５Ａ６，它能同时被４和９整除，这个三位数是多少？例6、在97538（）（）的（）中填上什么数字，就能被１５整除？填上什么数字就能被４５整除？练6、87654321AB这个十位数能被36整除，那么这个数个位上的数最小是几？【课堂练习】1.按要求填空。
在1278，4632，5468，119375，37625，93648，87615，1548764中，能被9整除的数有（），能被4整除的数有（），能被25整除的数有（），能被8整除的数有（），能被125整除的数有（）。
(1)数的整除
(1)数的整除数的整除（一）【知识精读】如果整数a除以整数b(b≠0)税金的商a/b就是整数,那么叫作a被b相乘.0能够被所有非零的整数相乘.一些数的整除特征除数2或54或253或9117,11,13能被整除的数的特征末位数能被2或5整除末两位数能被4或25整除各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)8或125末三位数能被8或125整除能被7整除的数的特征：①抹去个位数②乘以原个位数的2倍③其差能被7相乘。
如1001100－2＝98（能被7整除）又例如7007700－14＝686，68－12＝56（能够被7相乘）能够被11相乘的数的特征：①抹去个位数②减去原个位数③其差能被11整除如1001100－1＝99（能11整除）又例如102851028－5＝1023102－3＝99（能够11相乘）【分类解析】基准1未知两个三位数328和2x9的和仍就是三位数5y7且能够被9相乘。
求x,y求解：x,y都就是0至9的整数，∵5y7能够被9相乘，∴y=6.∵328＋2x9＝567，∴x=3例2己知五位数1234x能被12整除，求x求解：∵五位数能够被12相乘，必然同时能够被3和4相乘，当1＋2＋3＋4＋x能够被3相乘时，x=2，5，8当末两位4x能够被4相乘时，x＝0，4，8∴x＝8基准3头序被11相乘且各位字都不相同的最轻五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，无法被11相乘，只调整末位数仍没用调整末两位数为30，41，52，63，均可，∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。
【空战演示】1分解质因数：（写成质因数为底的幂的b乘积）①593②1859③1287④3276⑤10101⑥102962若四位数987a能够被3相乘，那么a=_______________3若五位数12x34能够被11相乘，那么x＝__________-4当m=_________时，35m5能够被25相乘5当n=__________时，9610n能够被7相乘6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________7能够被4相乘的最小四位数就是____________，能够被8相乘的最轻四位数就是_________88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6________,8__________,9_________,11__________9从1至100这100个自然数中，能够同时被2和3相乘的共_____个，能被3整除但不是5的倍数的共______个。
四年级奥数第一讲 数的整除问题
第一讲数的整除问题一、基本概念和知识：1、整除：定义：一般地，如果a，b，c为整数，且a÷b=c，我们就说，a能被b整除（或者说b 能整除a）。
用符号“b| a”表示。
2、因数和倍数：如果a能被b整除，即a÷b=c由a÷b=c得：a=b×c，我们就说b（c）是a的因数（或约数），a是b（c）的倍数.提醒：一个数的因数个数是有限的，最小因数是１，最大因数是它本身。
练习：写出下面每个数的所有的因数：1的因数：__________________； 7的因数：__________________；2的因数：__________________； 8的因数：__________________；3的因数：__________________； 9的因数：__________________；4的因数：__________________； 10的因数：__________________；5的因数：__________________； 11的因数：__________________；6的因数：__________________； 12的因数：__________________；公因数（公约数）：几个自然数公有的因数，叫做这几个自然数的公因数（公约数）。
如：3和4的公因数是：___________，6和8的公因数是：___________，3、质数与合数：在上面的题目中，我们发现，1只有1个因数，有些数只有2个因数，还有些数有很多因数。
根据因数的多少，我们可以把大于1的自然数分为两类：质数与合数。
（１）质数：一个数，如果只有１和它本身两个因数，这样的数叫做质数（素数）。
（２）合数：一个数，除了１和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
（３）0和１既不是质数，也不是合数。
、请写出20以内的所有质数：_____________________________________________________注意：最小的质数是____，质数里面除了______是偶数外，其它都是______数。
第一讲 数的整除
第一讲数的整除一、基础知识：1、能被4（25）、8（125）、3（9）、7（11）（13）整除的数的特征；4（25）：；8（125）：；3（9）：；7（11）（13）：。
2、分解质因数：。
二、例题：例1、一个六位数568abc分别能被3、4、5整除，这个六位数最小是多少？例2、六年级有72名学生捐款（处辨认不清），每人捐款例3、六位数能被66整除，找出所有这样的六位数；例4、一个2004位数A能被9整除，它的各位数字之和为a，a的各位数字之和为b，b的各位数字之和为c，求c是多少？例5、要使932×975×995×（）的积的最后五个数字都是0，那么在括号内最小应该填几？例6、四个班分一批图书，他们所得的本数一个班比一个班多3本，四个班分得图书本数之积是68040。
每个班各分得图书多少本？例7、24有多少个约数？这些约数的和是多少?24=23×3 约数个数=（3+1）×（1+1）=-1 31+1–1×=3-1三、练习：a)四位数8A1B能被2、3、5整除，问这些四位数是多少？b)能同时被2、9整除，填出c)已知六位数19 能被35整除，那么这个六位数是多少？d)84×300×365×（），要使这个连乘积的最后五个数字都是0，在括号里最小应填什么数？e)五个连续奇数的积是135135，这五个奇数的和是多少？四、作业：1、数学考试结果，某班学生中有1/3得优，3/7得良，其余得中或差，已知全班人数在40与60之间，得中或差的学生有多少人？2、一个六位数能被11和13整除，这个六位数所有的质因数的和是多少？3、四个连续自然数的积是3024，这四个自然数分别是多少？4、求4500的约数个数及所有约数的和是多少？五、思考题：在3×3的方格图中填入几个互不相同的自然数，如果每行、每列三个数相乘所得的六个乘积都等于n，那么（1）n可以是1996、1997、1998、1999、2000、2001、2002、2003这八个数中的哪些数？（2）在下面方格中填出一n=第二讲余数问题一、基础知识：1、被除数=除数×商+余数；除数=（被除数-余数）÷商2、余数要比除数小。
第一讲数的整除(1—3)
第一讲 数的整除知识清单：1.1整数与整除的意义1、整数整数：正整数、零、负正整统称为整数。
零和正整数统称为自然数。
最大的负整数是–1，没有最小的负整数，最小的正整数是1，没有最大的正整数，没有最大的整数。
2、整除的意义整除：整数a 除以整数b （b ≠0），如果除得的商是整数而余数为零，我们就说数a 能被数b 整除或b 能整除a 。
确定整除的条件：（三整余零）1、除数、被除数都是整数；2、被除数除以除数，商是整数而且余数为零。
除尽：在整数或小数除法中，如果商是整数或有限小数，则叫做能够除尽。
除不尽：数a 除以数b （b ≠0），当所得的商是一个无限循环小数时，我们就说数b 除不尽数a ，或者说数a 不能被数b 除尽。
1.2 因数与倍数1、如果整数a 能被整数b 整除，a 就叫做b 的倍数，b 就叫做a 的因数（或a 的约数）。
倍数和因数是相互依存的。
2、因数和倍数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数的倍数是无限的，其中最小的倍数时它本身，没有最大的倍数；一个数既是它本身的因数，也是它本身的倍数。
1.3 能被2、5整除的数1、偶数：能被2 整除的整数是偶数；奇数：不能被2 整除的整数是奇数．2、通常奇数可以表示为2k+1(或2k-1)的形式，其中k 为整数，偶数可以表示为2k 的形式，其中k 是整数．3、正整数按照能否被2整除分为奇数和偶数2、能被2、5 、3、9整除的数的特征（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被2 整除。
（2）一个数的个位数字如果是0 或5，那么这个数就能被5 整除。
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3 整除，那么这个数就能被3 整除。
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。
2024年上海教育版六上第一章《数的整除》word教案
2024年上海教育版六上第一章《数的整除》word教案一、教学内容本节课选自2024年上海教育版六年级上册第一章《数的整除》，具体内容包括第一章第1节“整除的概念与性质”，第2节“因数与倍数”，以及第3节“最大公因数与最小公倍数”。
通过学习，使学生掌握整除的定义及其相关性质，理解因数与倍数的关系，掌握求最大公因数与最小公倍数的方法。
二、教学目标1. 知识与技能：理解整除的概念，掌握整除的性质，能判断一个数是否能被另一个数整除；掌握因数与倍数的概念，会求一个数的因数和倍数；掌握求最大公因数与最小公倍数的方法。
2. 过程与方法：培养学生运用数学语言表达、逻辑推理、解决问题等能力；通过实践情景引入、例题讲解、随堂练习，提高学生的实践操作能力和团队协作能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学学习的兴趣，培养学生的探究精神和合作意识。
三、教学难点与重点重点：整除的概念、性质，因数与倍数的关系，最大公因数与最小公倍数的求法。
难点：整除性质的灵活运用，求最大公因数与最小公倍数的方法。
四、教具与学具准备教具：黑板、粉笔、教学课件。
学具：练习本、草稿纸、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入通过生活中分物品的例子，引导学生思考如何平均分配，引出整除的概念。
2. 例题讲解（1）整除的概念与性质（2）因数与倍数的关系（3）求最大公因数与最小公倍数的方法3. 随堂练习（1）判断哪些数能被另一个数整除（2）求一个数的因数和倍数（3）求两个数的最大公因数与最小公倍数4. 小组讨论5. 课堂小结六、板书设计1. 整除的概念与性质2. 因数与倍数的关系3. 最大公因数与最小公倍数的求法七、作业设计1. 作业题目（2）求出20的所有因数和倍数（3）求12和18的最大公因数与最小公倍数2. 答案（1）能被2整除的数有：6, 12, 18, 20；能被3整除的数有：6, 12, 18；能被4整除的数有：12, 20；能被5整除的数有：20（2）20的因数有：1, 2, 4, 5, 10, 20；20的倍数有：20, 40, 60,（3）12和18的最大公因数是6，最小公倍数是36八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对整除的概念、性质，以及因数与倍数的关系掌握较好，但在求最大公因数与最小公倍数时，部分学生还存在一定困难，需要在课后加强练习。
小升初 第1讲《数的整除》
六年级
7
三个不同质数的倒数和为 n ，则是
多少？
1001
六年级
8
小明和爸爸进行登台阶运动。台阶共有 60级，爸爸每步登3级，小明每步登2级。 问，小明和爸爸都没有登过的台阶有多 少级？
六年级
9
狐狸和兔子进行跳跃比赛，狐狸每次
跳都只6跳92 一米次，。兔从子起每点次开跳始61，30 每米隔，他3 12米们设每有秒
六年级
12
第一讲 数的整除
六年级
1
（一）填空：
1.56、28的最大公因数是
是
。
，最小公倍数
2.自然数a除以自然数b,商是8，则a和b的最小公倍数是ຫໍສະໝຸດ 。3.最小合数的倒数是
，最小质数的倒数
是
，最小合数的倒数是最小质数倒数
的
%。
六年级
2
（一）填空：
4.能被3整除余2，被4整除余3的数中最小的一个
数是
。
5.三个连续自然数的和是21，这三个数的最小公
六年级
5
小刚用216元去买一种世博会纪念册， 正好将钱用完，他想如果每本纪念册 能便宜1元钱，那么他就可以多买3本， 钱也正好用完。那么他所买纪念册的 单价是多少元？
六年级
6
花花参加数学竞赛，她说：“我的成绩 和我的年龄以及我的名次乘起来是3916， 满分是100分。你知道花花的年龄、成绩 及名次各是多少吗？
倍数是
。
6.把114分解质因数是
，三个不同质数
的最小公倍数是273，这三个质数分别
是
。
六年级
3
一位采购者买了56瓶洗发液，发票上的 一些数字不慎被墨水玷污了，只看到 □78.2□元（□为墨水玷污了的数字）。 你能帮他算一算每瓶洗发液多少元吗？
数的整除问题(含答案)——第一部分-精品
数的整除问题(含答案)——第一部分-精品2020-12-12【关键字】方法、条件、问题、矛盾、分析2014年5月20日星期二【例题1】：试问，能否将由1至100这100个自然数排列在圆周上，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除？如果回答：“可以”，则只要举出一种排法；如果回答：“不能”，则需给出说明．考点：数的整除特征．分析：根据题意，可采用假设的方法进行分析，100个自然数任意的5个数相连，可以分成20个组，使得在任何5个相连的数中，都至少有两个数可被3整除，那么会有40个数是3的倍数，事实上在1至100的自然数中只有33个是3倍数，所以不能．解答：假设能够按照题目要求在圆周上排列所述的100个数，按所排列顺序将它们每5个分为一组，可得20组，其中每两组都没有共同的数，于是，在每一组的5个数中都至少有两个数是3的倍数．从而一共会有不少于40个数是3的倍数．但事实上在1至100的这100个自然数中只有33个数是3的倍数，导致矛盾，所以不能．答：不能．点评：此题主要考查的是在1至100的100个自然数中能被3整除的有多少．【例题2】：找出四个互不相同的自然数，使得对于其中任何两个数，它们的和总可以被它们的差整除，如果要求这四个数中最大的数与最小的数的和尽可能的小，那么这四个数里中间两个数的和是多少？考点：整除．分析：如果最小的数是1，则和1一起能符合“和被差整除”这一要求的数只有2和3两数，因此最小的数必须大于或等于2；我们先考察2、3、4、5这四个数，仍不符合要求，因为5+2=7，不能被5-2=3整除；再往下就是2、3、4、6，经试算，这四个数符合要求．所以，本题的答案是（3+4）=7．解答：这四个自然数为2、3、4、6，因为4-3=1；7÷1=7，得出：3+4=7；答：这四个数里中间两个数的和是7．点评：此题应结合题意进行分析，进而进行验证，排除与题目不符的数字，继而得出正确结论．【例题3】：任取一个四位数乘3456，用A表示其积的各位数字之和，用B表示A的各位数字之和，C表示B的各位数字之和，那么C是（）。
第一节 整除意义、特征和性质(1)
第一讲数的整除第一节整除的意义与特征、性质第1课时教学内容：整除的意义与常用数的整除特征。
教学目标：理解整除的意义，掌握常用数的整除特征，并能运用特征判断。
教学重难点：理解掌握常用数的整除的特征。
教学过程：一、整除的意义当两个整数a和b（b≠0），a除以b商为整数余数为零时，则称a能被b整除或b 能整除a，也把a叫做b的倍数，b叫a的因数，记作b|a，如果a 除以b所得的余数不为零，则称a不能被b整除，或b不整除a，记作b|a.二、整除特征（1）1与0的特性：1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的个位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的个位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（7）若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
（8）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。
（9）如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差（以大减小）能被7（11、13）整除，这个数就能被7（11、13）整除。
三、例题讲解例1：（1）判断47382能否被3或9整除？（2）判断1548764能否被7整除？（3）判断42559，7295872能否被11整除？解：（1）4+7+3+8+2=24 3|24，9|24∴3|47382，9|47382（2）1548－764=784=7×112 7|784 ∴ 7|1548764（3）（4+5+9）―（2+5）=18―7=11∴11|42559（7+9+8+2）―（2+5+7）=26―14=12 11|12 ∴11|7295871小结：判断一个整数能否被另一个整数整除，充分考虑整除的特征，这样有利于我们去判断。
五年级上册奥数含真题(含答案)
第一讲数的整除问题数的整除问题，内容丰富，思维技巧性强。
它是小学数学中的重要课题，也是小学数学竞赛命题的内容之一。
一、基本概念和知识1.整除——约数和倍数例如：15÷3=5，63÷7=9一般地，如a、b、c为整数，b≠0，且a÷b=c，即整数a除以整除b （b不等于0），除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0），我们就说，a能被b整除（或者说b能整除a）。
记作b｜a.否则，称为a 不能被b整除，（或b不能整除a），记作b a。
如果整数a能被整数b整除，a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
例如：在上面算式中，15是3的倍数，3是15的约数；63是7的倍数，7是63的约数。
2.数的整除性质性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,那么（2×7）｜28。
性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
3.数的整除特征①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。
②能被5整除的数的特征：个位是0或5。
③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。
④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
初等数论 第一章 整除1-4
最大公因数与最小公倍数
2020/1/20
01:58
定义3 最大公因数
设al ,a2 ,…, ak和d都是整数, k≥2. 若d|ai， 1≤i≤k, 则称d是al , a2 ,…, ak的公因数. 所有公因数中最大的那一个数，称为 al , a2 ,…, ak的最大公因数, 记为 (al , a2 ,…, ak). 由于每个非零整数的约数的个数是有限的， 所以最大公约数是存在的，并且是正整数。 显然，(a , 1) = 1，(a , 0) = |a|，(a , a) = |a|；
01:58
定理5 鸽巢原理
设n是一个自然数.现有n个盒子和n+1个物体. 无论个盒子中被放了两个或两个以上的 物体。
2020/1/20
01:58
§2 整除
2020/1/20
01:58
定义1
设a，b是整数，a 0，如果存在整数q， 使得b = aq，则称b可被a整除，记作ab ， 且称b是a的倍数，a是b的约数(因数、除数)； 如果不存在整数q使得b = aq成立，则称b不被
定义 6 最小公倍数
设a1 , a2 ,, ak和m都是整数, k≥2 . 若ai|m , 1≤i≤k, 则称m是a1 , a2 , , ak的公倍数. 在a1 , a2 ,, ak所有公倍数中最小的那一个 正整数, 称为a1 , a2 , , ak的最小公倍数, 记为 [a1 , a2 ,, ak] .
01:58
定义2
显然每个非零整数a都有约数 1，a，称 这四个数为a的显然因数，a的另外的因数 称为非显然因数。
若整数a 0，1，并且只有约数 1和 a， 则称a是素数（或质数）；否则称a为合数。
以后在本书中若无特别说明，素数总是指 正素数。
人教版高中数学选修4-6 第一讲 整数的整除(一)整数的整除 名师课件【集体备课】
共六条鱼，平均一只猫咪得几条鱼？
若是再多一条鱼，平均一只猫咪又各 得几条鱼呢？
想一想
在上一页第一种情况下，平均每 只猫咪得到 6÷2 = 3（条）；第二种 情况下每只猫咪在得到3条鱼后还剩一条，就是 说这种情况下鱼并不能平均分给两只猫咪. 生活中这样的例子还有很多，我们从数 学的角度该怎样理解，又怎样定义呢？它们 又有怎样的性质？下面我们将具体的分析.
3、带余除法定义 一般地，设a，b为整数，且b≠0 ，则
存在惟一的一对整数q和r，使得a=bq+r， 0≤r＜︱b︱.
4、素数定义 仅有两个正因数的正整数叫做素数,
不是素数又不是1的正整数叫做合数.
针对性练习
81 1、9192除以100的余数_____________.
分析：
91 c 90 c 90 c 90 c 92
课堂小结
1、整除的概念
如果存在q，使得ɑ=bq，那么称b整除ɑ. 记作： b｜ɑ 2、整除的性质 1)若a|b，a|c，则a|(b±c)； 2)若a|b，b|c，则a|c； 3)若a|bc，且(a，c)=1，则a|b，特别地，若质数p|bc， 则必有p|b或p|c； 4)若b|a，c|a，且(b，c)=1，则bc|a
知识回顾
以前学过的整数加法、减法、乘 法有什么特点？整数除法的商又是怎 样的？ 整数的加法、减法、乘法运 算得到的结果任然为整数.两个 整数的商不一定是整数.
导入新课
从以前学过的乘法中我们知道
若A×B=C,那么C÷B=A或C÷A=B
也就是说乘法和除法是互逆的 运算.
例如：
13×2 = 26
26÷2 = 13 26÷13 = 2
n
m
n
c c ∴ n ＜ m ， m
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第一讲数的整除（1）
【知识梳理】
1、整除的定义：对于整数a和不为零的整数b，如果a除以b的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，b能整除a，记做b a。
a就是b的倍数，b是a的因数（或因数）。
2、一些数的整除特征：
①被2整除的特征：数的个位上是0、2、4、6、8（即是偶数）；
②被3、9整除的特征：数的各数位上的数字和是3或9的倍数；
③被5整除的特征：数的个位上是0、5；
④被4、25整除的特征：数的末两位是4或25的倍数；
⑤被8、125整除的特征：数的末三位是8或125的倍数；
⑥被11整除的特征：数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和，两者的差是11的倍数。
【例题精讲】
例1、按要求写出符合要求的数：一个四位数467□。
（1）要使它是2的倍数，这个数可能是（）；
（2）要使它是5的倍数，这个数可能是（）；
（3）要使它既含有因数2，又含有因数5，这个数是（）。
分析：个位上是0、2、4、6、8的数是2的倍数数；个位上是0或5的数是5的倍数；个位上是0的数，能同时被2和5整除。
解答：（1）这个数可能是4670、4672、4674、4676、4678。
（2）这个数可能是4670、4675。
（3）这个数是4670。
例2、判断47382能否被3或9整除？
分析：能被3或9整除的数的特点是这个数各数位上的数字和是3或9的倍数。
47382各个数位的数字相加和是24，24是3的倍数但不是9的倍数。
解答：47382能被3整除，不能被9整除。
例3、判断：1864能否被4整除？
分析：能被4整除的数的特点是这个数的末两位是4的倍数， 1864的末两位是64，64是4的倍数。
能被125整除的数的特点是这个数的末三位是125的倍数，29375的末三位是375，375是125的倍数。
解答：1864能被4整除，29375能被125整除。
例4、29372能否被8整除？
分析：能被125整除的数的特点是这个数的末三位是8的倍数，29372的末三位是372，372不是8的倍数。
解答：29372不能被8整除。
【巩固练习】
1、在□里填上合数的数，使四位数7□6□能被5整除，也能被3整除。
2、在□里填上适当的数，使五位数865□□能被
3、
4、5整除，而且使这个数尽可能地小。
3、七位数22A333A是6的倍数，那么A是多少？
4、在□里填上适当的数，使五位数2187□是8的倍数。
5、在一个四位数12□0中的□里填上一个数字，使它能同时被2、3、5整除，最多有（）
种填法。
6、最高位数字是1，并且能被2、3、5同时整除的最小四位数是（）。
【堂堂清检测】
1、M是一个非0自然数，它最小的倍数是（），最大因数是（），最小因数是（）。
1、自然数按能否被2整除，可分为（）和（）。
2、在1、2、
3、
4、6中，是12的因数有（），是12的质因数有（）。
3、是3的倍数，又是5的倍数的最小两位数是（）。
5、一个数的最大因数和最小倍数是36，这个数是（）。
6、同时是2、3、5的倍数的最小三位数是（），最大三位数是（）。
7、用0，1，2，3，4，5这六个数码组成的没有重复数字的两位数中，能被5整除的有几个？能被2整除的有几个？能被10整除的有几个？
8、在□里填上合适的数，使428□是3的倍数。
9、在□里填上合适的数，使六位数89342□能被4整除。
10、用10以内的奇数组成一个能同时被3、5整除的最大三位数是（），最小四位数是（）。
【课后练习】
1、在15、36、45、60、135、96、120、180、570、588这十个数中，能被2整除的数是（），能被5整除的数是（），能同时被
2、5整除的数是（）。
2、下面的这些数中，哪些能被3整除？能被4整除？能被9整除？
234 、789、7756、8865、3728、8064
3、五位数34A67能被3整除，那么A=（）。
4、一个三位数既能被2整除，又能被3整除，而且个位、十位上相同，这个三位数最大是（）。
5、0、2、5、8四个数字组成的四位数中，能同时被3和5整除的最大的数是（），最小的数是（）。
6、四位数36AB能同时被2、3、4、5整除，则A=（） B=（）。
7、把516至少连续写几次，所组成的数能被9整除？
8、如果六位数1992口口能被15整除，那么它的最后两位数是多少?
9、从0、2、5、7四个数字中任选3个，组成能同时被2、5、3整除的数，并将这些数从小到大依次排列。
10、 173□是一个四位数，在这个□中先后填入3个数，所得到的3个四位数依次能被9、6、整除，先后填入的2个数分别是几？。