最新高一5月月考数学试题(火箭班)

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高一数学5月月考试题1

卜人入州八九几市潮王学校西湖高级二零二零—二零二壹高一数学5月月考试题一、选择题(每一小题4分，一共40分,()()()()123f x x x x =---，集合(){}|0M x R f x =∈=，那么有〔▲〕A ．{}2.3M =B ．M=1、2、3C ．{}1,2M ∈D ．{}{}1,32,3M =2()2log f x x x =-+的定义域是〔▲〕A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)3.假设锐角α满足sin(α+)=，那么sinα=(▲)A. B. C. D.129()4=〔▲〕 A.8116B.32C.32或者-32D.23(,1)a x =，(2,3)b =-，假设//a b ，那么实数x 的值是〔▲〕A.23-B.23C.32-D.32{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，假设10a >，0d <，39S S =，那么当n S 获得最大值时，n =〔▲〕A.4B.5C.6D.7ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，45B =，30C=，1c =，那么b =〔▲〕A.22B.32C.2D.3()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，那么值域也为[1,2]-的函数是〔▲〕A.2()1y f x =+ B.(21)y f x =+ C.()y f x =- D.()y f x =10.〔▲〕二、填空题(双空题每空3分，单空题每空4分,一共7小题36分)2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，那么(1)f -=▲，(1)f =▲. 12.函数f (x )=2sin (2x +)+1，那么f (x )的最小正周期是_▲__，f (x )的最大值是__▲_.13.假设平面向量a ，b 满足2a+b=(1，6)，a+2b=(−4，9)，那么a ∙b=▲，cos<a,b>=▲.14.如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连，得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，那么第6个正方形的面积为___▲_,第1到第5个正方形的面积之和为▲.15.在△ABC 中，AB =2，AC =3，那么cosC 的取值范围是____▲____.7.〔▲〕16.设a 为实数，假设函数f (x )=2x 2−x +a 有零点，那么函数y =f [f (x )]零点的个数是▲.17.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，假设点P 的速度大小是点Q 的两倍，那么在点P 运动一周的过程中，的最大值为▲. 三、解答题(5小题，一共74分,解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤)18.(总分值是14分)函数13()sin cos 22f x x x =+，x R ∈.假设将函数()f x 的图像上的所有点纵坐标不变横坐标变为原来的两倍一半得到g(x)的函数图像，再将g(x)的函数图像上的所有点向左平移个单位得到h(x)的函数图像.〔Ⅰ〕求()6f π的值；〔Ⅱ〕求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合；〔Ⅲ〕求函数g(x)的表达式及h()的值.19.(总分值是15分) 在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b ac ac =+-.〔Ⅰ〕求角B 的大小；〔Ⅱ〕假设2a c ==，求ABC ∆的面积；〔Ⅲ〕求sin sin A C +的取值范围.20.〔总分值是15分〕函数()2log f x m x t=⋅+的图像经过点()4,1A 、点()16,3B 及点(),n C S n ,其中nS 为数列{}n a 的前n 项和，*n N ∈。

高一数学下学期5月月考试题试题

远东第一中学2021-2021学年度第二学期高一年级5月月考数学试题一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕1、把表示成的形式，使最小的值是〔〕A、 B、 C、 D、2、、、的大小关系为〔〕A、 B、C、D、3、,且,那么与的夹角是〔〕A、B、C、 D、4、那么以下不等式正确的选项是〔〕A、 B、C、 D、5、的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，那么点P与的位置关系是〔〕A、P在内部B、P在外部C、P在AB边上或者其延长线上D、P在AC边上6、假设那么〔〕A、=B、=C、=D、=7、函数为增函数的区间是〔〕A、 B、 C、D、8、函数最小值是〔〕A、 B、 C、0 D、9、函数的定义域是〔〕A．B．C． D．10、向量，且夹角为，那么向量与的夹角的余弦的值是〔〕A、 3 〔B〕 C、 D、二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、函数的值域为12、假设那么13、将函数的图像上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，那么所得到的图像的函数解析式为14、，在方向上的投影为，那么15、，向量与向量平行，那么实数k的值是远东第一中学2021-2021学年度第二学期高一年级5月月考数学答题卡一、选择题：〔每一小题4分，一共40分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题：〔每一小题4分，一共20分〕11、12、13、14、15、三、解答题：〔一共40分〕17、〔8分〕，，求与的夹角18、〔10分〕函数，〔1〕化简；〔2〕求的值19、〔10分〕函数在一个周期内，当时，y取最大值2 ，其图像与x轴的相邻两个交点的间隔为.〔1〕求此函数的解析式，〔2〕求函数的值域20、〔12分〕函数。

〔1〕用“五点法〞作出函数在上的图像；〔2〕写出函数在上的单调递增区间；〔3〕当时，求函数的值域励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

关于努力学习的语录。

四川省彭州中学高一5月月考数学试题(火箭、重点班)

高一下期五月月考题数学（A ）第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个选项符合题目要求的。

1.设a ，b ，c ∈R ，且a ＞b 则下列式子正确的是（）A.ac ＞bcB.C.a 2＞b 2D.a+c ＞b+c2.如果,a b 是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（） A. a b = B. 1a b ⋅= C. 22||||a b = D. 22a b ≠ 3. 在等差数列{}n a 中，已知155=a ，则64a a +的值为（） A.60 B. 45 C.30 D. 1204若不等式的解集是,则a,b 的值为( )A. ,B. ,C.,D.,5.函数f(x)=x x 22sin cos -的最小正周期为（）A.4π B. 2πC. πD. 2π 6. 函数f （x ）= xx 212-的定义域为（）A ．（0，2）B ．（-∞，0）∪（2，+∞）C ．（2，+∞）D ．（0，2，+∞）7. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若2cos a B c =，则ABC ∆的形状（） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形8.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位cm ）可得这个几何体的体积是（）A.833cm B. 433cm C.33cm D.43cm 9．已知{n a }为等比数列，下列判断正确的为（） A. 1201410071008++a a a a > B. 1201410071008++a a a a < C. 1201410071008++a a a a ≥ D. 1201410071008++a a a a 与无法确定 10.{a n }为等差数列，若，且它的前n 项和S n 有最大值，那么当S n 取得最小正值时，n=（） A ． 11B ． 17C ． 19D ．2111. 对于使()f x M ≥恒成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值叫做函数()f x 的下确界，则1211()()2142f x x x x =+≤≤-的下确界（） A. 22143C. 92 D. 512. 设等差数列{}n a 满足：22223535317cos cos sin sin cos 2sin()a a a a a a a --=+，4,2k a k Z π≠∈且公差(1,0)d ∈-. 若当且仅当8n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，则首项1a 的取值范围是( ) A. 3[,2]2ππ B. 3(,2)2ππ C. 7[,2]4ππ D. 7(,2)4ππ 第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为450，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是。

高一数学5月月考试题含解析

智才艺州攀枝花市创界学校上杭一中二零二零—二零二壹第二学期5月月考高一数学试卷一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.每一小题给出的四个选项里面，有且只有一个是正确的，请将你认为正确答案序号填涂在答题卡相应位置上〕21x >的解集是〔〕A.{}1x xB.{}|1x x >±C.{}|11x x -<<D.{1x x 或者}1x <- 【答案】D 【解析】【分析】利用二次不等式求解即可【详解】不等式x 2>1，移项得：x 2﹣1>0，因式分解得：〔x +1〕〔x ﹣1〕>0，那么原不等式的解集为{x |x ＜-1或者x>1}．应选：D ．【点睛】此题考察了一元二次不等式的解法，考察了转化的思想，是一道根底题，也是高考中常考的计算题．ABC ∆中，2a =，那么cos cos b C c B +=〔〕A.1 C.2 D.4【答案】C【解析】【分析】通过余弦定理把cos,cosC B用三边表示出来代入待求值式化简即可．【详解】b cos C＋c cos B＝b·2222a b cab+-＋c·2222c a bac+-＝222aa＝a＝2.【点睛】在边角混合出现的式子中，可用正弦定理或者余弦定理化边为角或者化角为边，然后用相应的公式化简变形．3.在明朝程大位算法统宗中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，一共灯三百八十一，请问尖头〔最少一层〕几盏灯？〞〔〕A.6B.5C.4D.3【答案】D【解析】【分析】设塔顶的a1盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式列出方程，能求出结果．【详解】设塔顶的1a盏灯，由题意{a n}是公比为2的等比数列，∴S7=381=71121-2a，解得13a=．应选：D．【点睛】此题考察等比数列的首项的求法，是根底题，解题时要认真审题，注意等比数列的求和公式的合理运用．l 是直线，α，β是两个不同的平面〔〕A.假设l α，l β，那么αβB.假设l α，l β⊥，那么αβ⊥C.假设αβ⊥，lα⊥，那么l β D.假设αβ⊥，lα，那么l β⊥【答案】B 【解析】【分析】.【详解】对于A ．假设l∥α，l∥β，那么α∥β或者α，β相交，故A 错；对于B ．假设l∥α，l⊥β，那么由线面平行的性质定理，得过l 的平面γ∩α＝m ，即有m∥l，m⊥β，再由面面垂直的断定定理，得α⊥β，故B 对；对于C ．假设α⊥β，l⊥α，那么l∥β或者l ⊂β，故C 错；对于D ．假设α⊥β，l∥α，假设l 平行于α，β的交线，那么l∥β，故D 错．应选:B ．【点睛】5.圆心和圆上任意两点可确定的平面有〔〕 A.0个 B.1个C.2个D.1个或者无数个【答案】D 【解析】【分析】按三点是否一共线讨论，利用平面的根本性质及推论能求出结果．【详解】假设圆心和圆上两点一共线，那么可确定无数个平面假设圆上任意三点不一共线，∴由不一共线三点确定一个平面，得圆上任意三点可确定的平面有且只有1个．应选：D ．【点睛】此题考察平面个数确实定，是根底题，解题时要认真审题，注意平面的根本性质及推论的合理运用．{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，那么10a =〔〕A.2ln10+B.29ln10+C.210ln10+D.11ln10+【答案】A 【解析】【分析】由得a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭由此利用累加法能求出a n ,那么10a 可求【详解】在数列{a n }中，a 1＝2，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++⎪⎝⎭∴a n +1﹣a n ＝ln 1n n ⎛+⎫⎪⎝⎭∴a n ＝a 1+〔a 2﹣a 1〕+〔a 3﹣a 2〕+…+〔a n ﹣a n ﹣1〕＝2+ln 2+33lnln2ln 22121n n n n ⎛⎫++=+⨯⨯⨯⎪--⎝⎭＝2+lnn ，故10a =2+ln10应选：A【点睛】此题考察数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．ABC ∆中，假设22cos 2Ab bc =+，那么ABC ∆为〔〕 A.等边三角形B.等腰直角三角形C.等腰或者直角三角形D.直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式化简整理后表示出cos A ，再利用余弦定理表示出cos A ，整理后得到a 2+c 2＝b 2，根据勾股定理的逆定理即可判断出此三角形为直角三角形．【详解】∵22cos2A b c b += ∴1cos 1cA b+=+,∴cos A=c b，又根据余弦定理得：cos A=2222b c a bc+-，∴b 2+c 2﹣a 2＝2c 2，即a 2+c 2＝b 2， ∴△ABC 为直角三角形．应选：D ．【点睛】此题考察了三角形形状的判断，考察二倍角的余弦公式，余弦定理，以及勾股定理的逆定理；纯熟掌握公式及定理是解此题的关键．x ，y 满足211x y+=，且不等式2220x y m m +--<有解，那么实数m 的取值范围为〔〕 A.(,2)(4,)-∞-⋃+∞ B.(,4)(2,)-∞-+∞C.(2,4)-D.(4,2)-【答案】B 【解析】【分析】由题222x ym m <++有解，利用根本不等式求x+2y 的最小值即可求解【详解】由题222x ym m <++有解()21422448y xx y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当y=2,x=4等号成立那么228m m +>，解得实数m 的取值范围为(,4)(2,)-∞-+∞应选：B【点睛】此题考察根本不等式的应用，考察不等式有解问题，二次不等式解法，准确计算是关键，是根底题A 点，两个观察所分别位于C ，D 两点，ACD ∆为等边三角形，且DC =，当目的出如今B 点〔A ，B 两点位于CD 两侧〕时，测得45CDB ∠=︒，75BCD ∠=︒，那么炮兵阵地与目的的间隔约为〔〕 A.1.1km B.2.2kmC.2.9kmD.3.5km【答案】C 【解析】【分析】由三角形内角和定理得出∠CBD ＝60°，在△BCD 中，由正弦定理得出BD ，再在△ABD 中利用余弦定理解出AB 即可．【详解】如下列图：∠CBD ＝180°﹣∠CDB ﹣∠BCD ＝180°﹣45°﹣75°＝60°，在△BCDsin 75BD ︒=故BD=2sin 75 在△ABD 中，∠ADB ＝45°+60°＝105°，由余弦定理，得AB 2＝AD 2+BD 2﹣2AD •BD cos105° ∴5232.9km ．故炮兵阵地与目的的间隔为2.9km 应选：C【点睛】此题考察解三角形的实际应用，考察正余弦定理的灵敏运用，准确运算是关键，是中档题P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，那么异面直线PA 与BE 所成角为〔〕A.90B.60C.45D.30【答案】C 【解析】试题分析：连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，.因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB∠即为异面直线PA与BE 所成的角．因为四棱锥CDP -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45应选C ．考点：直线与平面所成的角，异面直线所成的角【名师点睛】此题考察异面直线所成角，直线与平面所成的角，考察线面垂直，比较根底连接AC ，BD 交于点O ，连接OE ，OP ，先证明∠PAO 即为PA 与面ABCD 所成的角，即可得出结论．1111ABCD A B C D -的棱长为a ，点E ，F ，G 分别为棱AB ，1AA ，11C D 的中点，以下结论中，正确结论的序号是____〔把所有正确结论序号都填上〕. ①过E ，F ，G 三点作正方体的截面，所得截面为正六边形； ②11B D ∥平面EFG ； ③1BD ⊥平面1ACB ；④二面角1D AC D --；⑤四面体11ACB D 的体积等于312a .A.①④B.①③C.③④D.③⑤【答案】B 【解析】【分析】逐项分析即可【详解】对①，截面为如下列图的正六边形，故正确；对②11B D 与平面1ACB 相交，故错误；对③，由题1BD ⊥,AC 又1AB ⊥面11A D B ，故1BD ⊥1AB ，所以1BD ⊥平面1ACB ，正确；对④，取AC 中点O,连接11,,,,D O DO D OAC DO AC ⊥⊥故1D OD ∠为二面角的平面角，又112,,tan 22D D a DO D OD ==∴∠=，故错误对⑤，四面体11ACB D 的体积V=1111111123314323A AB DC CBD D CAD B CAB a a V V V V V a a 正方体--------=-⨯⨯=，故错误应选：B【点睛】此题考察空间几何体的性质，线面平行与垂直的断定，考察推理与计算才能，是中档题{}n a 满足：12a =，111n na a+=-，记数列{}n a 的前n 项之积为n P .，那么2021P =〔〕A.12-B.12C.1D.-1【答案】D 【解析】根据递推公式，考虑数列的周期性，通过详细计算前几项，发现周期性并利用．【详解】12a =，111n na a +=-,得2341,1,22a a a ==-= 数列的项开场重复出现，呈现周期性，周期为3．且31P =-，2021＝3×673+2，所以2021P =〔﹣1〕673121a a ⨯=-应选：D ．【点睛】此题考察数列的递推公式，数列的函数性质﹣﹣周期性．发现周期性并利用是此题的关键．二.填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分，请将最简答案填写上在答题卡相应位置上〕ABD 中，60A ∠=︒，3AB =，2AD =，那么sin ABD ∠=______【答案】7【解析】【分析】由余弦定理可得BD 的值，由正弦定理可得sin∠ABD 的值．【详解】由余弦定理可得：BD ==∴由正弦定理可得：sin∠ABD AD sin DAB BD ⋅∠==【点睛】此题主要考察了余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．{}n a 的前n 项2nSn n =+，假设(5)n n b n a =-，那么n b 的最小值为______【解析】【分析】先由2n S n n =+求得n a ，再利用二次函数求n b 的最小值【详解】当12,2n n n n a S S n -≥=-=，当n=1,12a =满足上式，故n a =2n,(5)n n b n a =-=()25n n -,对称轴为n=52,故n=2或者3时，n b 最小值为-12故答案为-12【点睛】此题考察由n S 求数列通项，考察数列最值，考察计算才能，是根底题，注意n 为正整数，是易错题P 的线段PA ，PB ，PC 两两垂直，P 在平面ABC 外，PH ⊥平面ABC 于H ，那么垂足H 是三角形ABC 的__心【答案】垂直【解析】【分析】根据PA ，PB ，PC 两两垂直得线面垂直，最后由线面垂直可证明线线垂直，得垂足H 是△ABC 的垂心．从而选出答案．【详解】∵PH ⊥平面ABC 于H ， ∴PH ⊥BC ，又PA ⊥平面PBC ， ∴PA ⊥BC ， ∴BC ⊥平面PAH ，∴BC ⊥AH ，即AH 是三角形ABC 的高线，同理，BH 、CH 也是三角形ABC 的高线，∴垂足H 是△ABC 的垂心．故答案为垂【点睛】此题主要考察了三角形五心，以及空间几何体的概念、空间想象力，线面垂直的判断，属于根底题．P ABC -，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，那么它的外接球的外表积为______. 【答案】412π 【解析】【分析】构造长方体，使得面上的对角线长分别为4,4,3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径，即可求出三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积．【详解】∵三棱锥P ﹣ABC 中，4PA PB BC AC ====，3PC AB ==，∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为4，4，3，那么长方体的对角线长等于三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径．设长方体的棱长分别为x ，y ，z ，那么x 2+y 2＝16，y 2+z 2＝16，x 2+z 2＝9，∴x 2+y 2+z 2＝412∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的直径为2R== ∴三棱锥P ﹣ABC 外接球的外表积为24142R ．故答案为：412π．【点睛】此题考察球内接多面体，考察学生的计算才能，构造长方体，利用长方体的对角线长等于四面体外接球的直径是关键．二、解答题〔本大题一一共6小题，一共70分.解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.〕 1111ABCD A B C D -.〔1〕假设1AD AA =，求异面直线1BD 和1B C 所成角的大小；〔2〕假设三个相邻侧面的对角线长分别为1，求外接球的外表积. 【答案】〔1〕2π；〔2〕3π 【解析】【分析】〔1〕连接1BC 证明1B C ⊥面11BD C 即可求解〔2〕利用长方体外接球心在体对角线中点求解即可【详解】〔1〕连接1BC ，因为1AD AA =，那么1B C ⊥1BC ，又11C D ⊥面11BCC B 故11C D ⊥1B C ，又1111C D BC C ⋂=，故1B C ⊥面11BD C ，所以1B C ⊥1BD∴异面直线1BD 和1B C 所成角的大小为2π；〔2〕设长方体的棱长分别为a,b,c,那么222222123a b c b a c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩那么2223a b c ++=，那么2R=，那么外接球的外表积为243R ππ=【点睛】此题考察异面直线的夹角，线面垂直的断定，长方体的外接球，考察空间想象才能，是根底题〔1〕解关于x 的不等式()42f x a ≤-；〔2〕假设对任意的[1,4]x ∈，()10f x a ++≥恒成立，务实数a 的取值范围. 【答案】〔Ⅰ〕答案不唯一，详细见解析.〔Ⅱ〕4a ≤【解析】【分析】〔Ⅰ〕将原不等式化为()20x a x （）--≤，分类讨论可得不等式的解.〔Ⅱ〕假设1x =那么a R ∈；假设(]1,4x ∈，那么参变别离后可得411a x x ≤-+-在(]1,4恒成立，利用根本不等式可求411x x -+-的最小值，从而可得a 的取值范围. 【详解】〔Ⅰ〕()24f x a ≤-+即()2220x a x a -++≤，∴()20x a x （）--≤，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2x x =；〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤，综上所述，〔ⅰ〕当2a <时，不等式解集为{}2x a x ≤≤；〔ⅱ〕当2a=时，不等式解集为{}2；〔ⅲ〕当2a >时，不等式解集为{}2x x a ≤≤.〔Ⅱ〕对任意的[]()1410x f x a ，，∈++≥恒成立，即()2250x a x a -+++≥恒成立，即对任意的[]1,4x ∈，()2125a x x x -≤-+恒成立.①1x =时，不等式为04≤恒成立，此时a R ∈；②当](1,4x ∈时，2254111x x a x x x -+≤=-+--，14x <≤，∴013x <-≤，∴4141x x -+≥=-，当且仅当411x x -=-时，即12x -=，3x =时取“=〞,4a ∴≤. 综上4a ≤. 【点睛】含参数的一元二次不等式，其一般的解法是：先考虑对应的二次函数的开口方向，再考虑其判别式的符号，其次在判别式于零的条件下比较两根的大小，最后根据不等号的方向和开口方向得到不等式的解．含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变别离，把恒成立问题转化为不含参数的新函数的最值问题，后者可用函数的单调性或者根本不等式来求.ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，3cos 22cos 2A A +=. 〔1〕求角A 的大小；〔2〕假设1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围.【答案】〔1〕3A π=；〔2〕(2,3]l ∈【解析】【分析】〔1〕运用二倍角公式以及特殊角的三角函数值，即可得到A ；〔2〕运用正弦定理，求得b ，c ，再由两角差的正弦公式，结合正弦函数的图象和性质，即可得到范围．【详解】〔1〕根据二倍角公式及题意得212cos 2cos 2A A +=，即24cos 4cos 10A A -+=， ∴2(2cos 1)0A -=，.∴1cos 2A =.又∵0A π<<，∴3A π=. 〔2〕根据正弦定理，sin sin sin a b c A B C ==，得b B =，c C =. ∴11sin )l b c B C =++=++，∵3A π=，∴23B C π+=， ∴21sin sin3l B B π⎤⎛⎫=+- ⎪⎥⎝⎭⎦12sin 6B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ∵203B π<<，∴5666B πππ<+<， ∴1sin 126B π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，∴(2,3]l ∈. 【点睛】此题考察三角函数的化简和求值，考察正弦定理和二倍角公式及两角和差的正弦公式，考察正弦函数的图象和性质，考察运算才能，属于中档题．20.如图，ABC ∆1AE =，AE ⊥平面ABC ，平面BCD ⊥平面ABC ，BD CD =，且BD CD ⊥.〔1〕求证：AE 平面BCD ；〔2〕求证：平面BDE ⊥平面CDE .【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，由平面BCD ⊥平面ABC ，得DM ⊥平面ABC ，再证AE DM 即可证明〔2〕证明CD ⊥平面BDE ，再根据面面垂直的断定定理从而进展证明．【详解】〔1〕取BC 的中点M ，连接DM ，因为BD CD =，且BD CD ⊥，2BC=. 所以1DM=，DM BC ⊥.又因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以DM⊥平面ABC ，又AE ⊥平面ABC ，所以AE DM 又因为AE ⊄平面BCD ，DM ⊂平面BCD ，所以AE平面BCD . 〔2〕连接AM ，由〔1〕知AE DM ，又1AE =，1DM =，所以四边形DMAE 是平行四边形，所以DE AM .又ABC ∆是正三角形，M 为BC 的中点，∴AM BC ⊥，因为平面BCD ⊥平面ABC ，所以AM ⊥平面BCD ，所以DE ⊥平面BCD .又CD ⊂平面BCD ，所以DE CD ⊥.因为BD CD ⊥，BD DE D ⋂=，所以CD⊥平面BDE . 因为CD ⊂平面CDE ，所以平面BDE ⊥平面CDE .【点睛】此题考察了线面平行的证明，线面垂直，面面垂直的断定定理，考察空间想象和推理才能，熟记定理是关键，是一道中档题．{}n a 的前项n 和为n S ，假设对于任意的正整数n 都有23n n S a n =-.〔1〕求数列{}n a 的通项公式.〔2〕求数列13n na ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和. 【答案】〔1〕323n na =⋅-；〔2〕1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+- 【解析】【分析】〔1〕利用a n +1＝S n +1﹣S n 即可得到a n +1＝2a n +3，转化为a n +1+3＝2〔a n +3〕，利用等比数列的通项公式即可得出其通项；〔2〕由123n n na n n =⋅-，利用错位相减法求{}2n n ⋅的和即可求解【详解】〔1〕∵23nn S a n =-，∴1123(1)n n S a n ++=-+ 两式相减，得1123(1)23n nn n S S a n a n ++-=-+-+ ∴11223n n n a a a ++=--，即123n n a a +=+，∴()1323n n a a ++=+，即1323n n a a ++=+1123S a =-即1123a a =-，∴13a = ∴首项136a +=，公比2q .∴1623323n n n a -=⋅-=⋅- 〔2〕∵123n n na n n =⋅-， ∴()231222322(123)n n S n n =⋅+⋅+⋅++⋅-++++，()2341212223222(123)n n S n n +=⋅+⋅+⋅++⋅-++++， ()23122222(123)n n n S n n +-=++++-⋅+++++， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=-⋅+-. 【点睛】此题综合考察了递推关系求等比数列的通项公式及其前n 项和公式、“错位相减法〞、“分组求和〞、等差数列求和，准确计算是关键，属于中档题．22.如图，四边形ABCD 是正方形，PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，点F 是PB 的中点，点E 是边BC 上的任意一点.〔1〕求证：AF EF ⊥：〔2〕在平面AEF 中，是否总存在与平面PAD 平行的直线？假设存在，请作出图形并说明：假设不存在，请说明理由.【答案】〔1〕见解析；〔2〕见解析【解析】【分析】〔1〕证明AF ⊥平面PBC 即可证明〔2〕取AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，得平面FGH平面PAD ，由线面平行的性质定理可求【详解】〔1〕证明：∵F 是PB 的中点，且PA AB =，∴AF PB ⊥. ∵PAB ∆与PAD ∆均是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，∴PA AD ⊥，PA AB ⊥. ∵AD AB A =，AD ⊂平面ABCD ，AB 平面ABCD ，∴PA ⊥平面ABCD∵BC⊂平面ABCD ，∴PA BC ⊥.∵四边形ABCD 是正方形， ∴BCAB ⊥.∵PA AB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB .∵AF ⊂平面PAB ，∴BC AF ⊥. ∵PB BCB ⋂=，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，∴AF ⊥平面PBC . ∵EF ⊂平面PBC ，.∴AF EF ⊥.AB ，CD 的中点G ，H ，连接FG ，GH ，FH ，那么平面FGH平面PAD 设AE GH M ⋂=，连接MF ，因为平面FGH 平面PAD ，那么PD ∥平面FGH ，那么PD MF那么直线MF 即为所求直线.【点睛】此题考察线面垂直的断定定理及性质，面面平行的断定及性质定理，熟记定理，准确推理是关键，是根底题。

2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年江苏省扬州市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．若复数12iz i+=(i 为虚数单位)，则z =（）.A ．1B ．2C ．3D ．5【答案】D【分析】根据题意先求出z ，然后再求出模.【详解】因为12i z i +=，化简得()212122i i i z i i i ++===-，故2z i =+，所以22215z =+=故选：D2．设α，β为两个不同的平面，m ，n 为两条不同的直线，下列命题正确的是（）A ．若m n ∥，n ⊂α，则m α∥B ．若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥C ．若m β⊥，n β∥，则m n ⊥D ．若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，则n α⊥【答案】C【分析】利用直线、平面的位置关系进行判断以及通过举反例进行排除.【详解】对于A ，若m n ∥，n ⊂α，则m α∥或m α⊂，故A 错误；对于B ，若m α∥，n β∥，m n ∥，则αβ∥或,αβ相交，故B 错误；对于C ，利用线面垂直的性质定理以及平行的传递性，可知C 正确；对于D ，若αβ⊥，m αβ= ，n m ⊥，当n β⊄，n 不一定垂直于α，故D 错误.故选：C.3．在ABC 中，若3AB =，4BC =，30C = ，则此三角形解的情况是（）A ．有一解B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定【答案】B【分析】由sin BC C AB BC <<，根据作圆法结论可得结果.【详解】sin 4sin 302BC C == ，sin BC C AB BC ∴<<，ABC ∴ 有两解.故选：B.4．设平面向量a ，b 满足12a = ，()2,5b = ，18a b ⋅= ，则b 在a 上投影向量的模为（）.A ．32B ．332C ．3D ．6【答案】A【分析】表示出b 在a上投影向量，结合已知条件12a = 即可求得答案.【详解】由题意可知：b 在a 上投影向量为18||||a b a a a a ⋅⋅=，故b 在a 上投影向量的模为113||12882a =⨯= ，故选：A5．中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结了魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作，提出“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高.详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个几何体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.上述原理在中国被称为祖暅原理.一个上底面边长为1，下底面边长为2，高为23的正六棱台与一个不规则几何体满足“幂势既同”，则该不规则几何体的体积为（）A ．16B ．163C ．183D ．21【答案】D【分析】由祖暅原理知不规则几何体的体积与正六棱台体积相等即可求解.【详解】由祖暅原理，该不规则几何体体积与正六棱台体积相等，故()1122113363123232133222V S S S S h ⎛⎫=++=⨯++⨯= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：D6．已知()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，则tan θ=（）A ．3-B ．33-C ．33D ．3【答案】A【分析】利用和差角公式展开，得到2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，即可得到2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒，再利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】因为()()()cos 40cos 40cos 800θθθ︒-+︒++︒-=，所以cos 40cos sin 40sin cos 40cos sin 40sin cos80cos sin80sin 0θθθθθθ︒+︒+︒-︒+︒+︒=，所以2cos 40cos cos80cos sin 80sin 0θθθ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80sin 80tan 0θ︒+︒+︒=，所以2cos 40cos80tan sin 80θ︒+︒=-︒()2cos 12080cos80sin 80︒-︒+︒=-︒()2cos120cos80sin120sin 80cos803sin 803sin 80sin 80︒︒+︒︒+︒︒=-=-=-︒︒.故选：A ．7．已知四边形ABCD 中，,1,32BDAC BD AB BC AC CD ⊥=====，点E 在四边形ABCD 的边上运动，则EB ED ⋅的最小值是（）A ．34B ．14-C ．34-D ．-1【答案】C【分析】由题意分析可知四边形ABCD 关于直线BD 对称，且BC CD ⊥，只需考虑点E 在边,BC CD上的运动情况即可，然后分类讨论,求出EB ED ⋅最小值.【详解】如图所示，因为AC BD ⊥，且AB BC =，所以BD 垂直且平分AC ，则ACD 为等腰三角形，又3AC CD ==，所以ACD 为等边三角形,则四边形ABCD 关于直线BD 对称，故点E 在四边形ABCD 上运动时，只需考虑点E 在边,BC CD 上的运动情况即可，因为12BDAB BC ===，3CD =，知222BC CD BD +=，即BC CD ⊥，则0CB CD ⋅=，①当点E 在边BC 上运动时，设(01)EB CB λλ=≤≤ ，则(1)EC CB λ=-，则22()(1)(1)(1)EB ED EB EC CD CB CB CB λλλλλλλλ⋅=⋅+=⋅-=-=-=- ,当12λ=时，EB ED ⋅ 最小值为1–4；②当点E 在边CD 上运动时，设(01)ED kCD k =≤≤ ,则(1)EC k CD =- ,则2()(1)EB ED EC CB ED EC ED CB ED k k CD kCD CB⋅=+⋅=⋅+⋅=-+⋅ 233k k =-，当12k =时，EB ED ⋅ 的最小值为34-；综上，EB ED ⋅ 的最小值为34-；故选：C ．【点睛】方法点睛：由题意可推得四边形ABCD 的几何性质，即要推出0CB CD ⋅=，然后要考虑E点位置，即要分类讨论，进而根据向量的线性运算表示出EB ED ⋅，结合二次函数性质即可求解.8．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足2cos c b b A -=.若()sin cos 2A C B λ--<恒成立，则实数λ的取值范围为（）A ．(,22⎤-∞⎦B ．(),22-∞C ．53,3⎛⎤-∞ ⎥ ⎝⎦D ．53,3⎛⎫-∞ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】由正弦定理边化角结合两角和差的正弦公式可得sin()sin A B B -=，推出2A B =，则π3C B =-,结合锐角三角形确定B 的范围，继而将不等式恒成立转化为12sin 2sin 2B Bλ<+恒成立，结合对勾函数的单调性，即可求得答案.【详解】由2cos c b b A -=可得sin sin 2sin cos C B B A -=，结合sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+,可得sin cos sin sin cos A B B B A -=，即sin()sin A B B -=，由于在锐角ABC 中，ππ22A B -<-<，故,2A B B A B -=∴=，则ππ3C A B B =--=-,则ππππ2(0,),π3(0,),(,)2264A B C B B =∈=-∈∴∈,又sin 0A >，所以()sin cos 2A C B λ--<恒成立，即2cos()2cos 4sin sin 2C B BA Bλ+--<=恒成立，即212sin 212sin 2sin 2sin 2B B B B λ+<=+恒成立，因为ππ(,)64B ∈，故3sin 2(,1)2B ∈，令3sin 2,(,1)2t B t =∈，则函数1()2g t t t =+在3(,1)2内单调递增，故3()g 53(23)g t >=，即12sin 25sin 233B B +>，故533λ≤，故选：C【点睛】方法点睛：（1）三角等式含有边角关系式时，一般利用正弦定理转化为角或边之间的关系进行化简；（2）不等式恒成立问题一般转化为函数单调性或最值问题解决；（3）一般要注意利用基本不等式或者函数单调性比如对勾函数的单调性，求解函数最值或范围.二、多选题9．下面是关于复数202321i z =--（i 为虚数单位）的命题，其中真命题为（）A ．z 的虚部为i-B ．z 在复平面内对应的点在第二象限C ．z 的共轭复数为1i-+D ．若01z z -=，则0z 的最大值是21+【答案】CD【分析】利用复数的四则运算化简复数z ，利用复数的概念可判断A 选项；利用复数的几何意义可判断B 选项；利用共轭复数的定义可判断C 选项；利用复数模的三角不等式可判断D 选项.【详解】因为2023450533i i i i ⨯+===-，则()()()202321i 221i 1i 1i 1i 1i z --====-----+-+--.对于A 选项，z 的虚部为1-，A 错；对于B 选项，复数z 在复平面内对应的点在第三象限，B 错；对于C 选项，z 的共轭复数为1i -+，C 对；对于D 选项，因为01z z -=，()()22112z =-+-=，由复数模的三角不等式可得00012z z z z z z z =-+≤-+=+，当且仅当022i 22z z -=--时，等号成立，即0z 的最大值是21+，D 对.故选：CD.10．关于函数()23sin cos 3sin 1,R f x x x x x =-+∈,下列说法正确的有（）A ．()f x 的最大值为132-，最小值为132--B ．()f x 的单调递增区间为5πππ,π,Z1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦C ．()f x 的最小正周期为2πD ．()f x 的对称中心为ππ1,,Z622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭【答案】ABD【分析】根据三角函数恒等变换化简()f x ，结合正弦函数的性质可求得()f x D..D..A ；同理结合正弦函数的单调性、周期以及对称中心可判断B ，C ，D..【详解】由题意得()()231cos233sin cos 3sin 1sin2122x f x x x x x -=-+=-+331π1sin2cos23sin 222232x x x ⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭，则()f x 最大值为132-，最小值为132--，A 正确；令πππ2π22π,Z 232k x k k -+≤+≤+∈，即5ππππ,Z 1212k x k k -≤≤+∈，故()f x 单调递增区间为5πππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，B 正确；()f x 的最小正周期为2ππ2=，C 错误；令πππ2π,Z,,Z 326k x k k x k +=∈∴=-∈，故()f x 的对称中心为ππ1,,Z 622k k ⎛⎫-+-∈ ⎪⎝⎭，D 正确，故选：ABD.11．如图，已知O 的内接四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==，下列说法正确的是（）A ．四边形ABCD 的面积为73B ．该外接圆的半径为2213C ．4BO CD ⋅=-D ．过D 作DF BC ⊥交BC 于F 点，则10DO DF ⋅=【答案】BCD【分析】A 选项，利用圆内接四边形对角互补及余弦定理求出1cos 7D =-，1cos 7B =，进而求出sin ,sin B D ，利用面积公式进行求解；B 选项，在A 选项基础上，由正弦定理求出外接圆直径；C选项，作出辅助线，利用数量积的几何意义进行求解；D 选项，结合A 选项和C 选项中的结论，先求出∠DOF 的正弦与余弦值，再利用向量数量积公式进行计算.【详解】对于A ，连接AC ，在ACD 中，21616cos 32AC D +-=，2436cos 24AC B +-=，由于πB D +=，所以cos cos 0B D +=，故22324003224AC AC --+=，解得22567AC =，所以1cos 7D =-，1cos 7B =，所以143sin sin 1497B D ==-=，故1143243sin 262277ABC S AB BC B =⋅=⨯⨯⨯=，1143323sin 442277ADC S AD DC D =⋅=⨯⨯⨯=，故四边形ABCD 的面积为2433238377+=，故A错误；对于B ，设外接圆半径为R ，则25642172sin 3437AC R B ===，故该外接圆的直径为4213，半径为2213，故B 正确；对于C ，连接BD ，过点O 作OG ⊥CD 于点F ，过点B 作BE ⊥CD 于点E ，则由垂径定理得：122CG CD ==，由于πA C +=，所以cos cos 0A C +=，即22416163601648BD BD +-+-+=，解得27BD =，所以1cos 2C =，所以π3C =，且1cos 632CE BC C =⋅=⨯=，所以321EF =-= ，即BO 在向量CD 上的投影长为1，且EG 与CD反向，故4BO CD EG CD ⋅=-⋅=-，故C 正确；对于D ，由C 选项可知：π3C =，故3sin 604232DF CD =⋅︒=⨯= ，且30CDF ∠=︒，因为AD CD =，由对称性可知：DO 为∠ADC 的平分线，故1302ODF ADC ∠=∠-︒，由A 选项可知：1cos 7ADC ∠=-，显然12ADC ∠为锐角，故11cos 21cos 227ADC ADC +∠∠==，1327sin 1277ADC ∠=-=，所以1cos cos 302ODF ADC ⎛⎫∠=∠-︒ ⎪⎝⎭1157cos cos 30sin sin 302214ADC ADC =∠⋅︒+∠⋅︒=，所以22157cos 2334101DO DF DO ODF DF ∠=⨯⨯=⋅=⋅ ，故D 正确.故选：BCD12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，沿AE ､AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B ､C ､D 三点重合于点S ，得到四面体S AEF -（如图2）.下列结论正确的是（）A ．平面AEF ⊥平面SAFB ．四面体S AEF -的体积为13C ．二面角A EF S --正切值为2D ．顶点S 在底面AEF 上的射影为AEF △的垂心【答案】BD【分析】（１）作辅助线，证SNO ∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，从而判断A 选项．（２）先证SO ⊥平面AEF ，从而得到锥体的高，计算出所需长度，算出体积即可．（３）证SMA ∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角，计算SMA ∠的正切值．（４）先证O 为S 在平面AEF 上的射影，由于AM EF ⊥，只需证OE AF ⊥，OF AE ⊥即可．【详解】如图，作EF 的中点M ，连结AM 、SM ，过S 作AM 的垂线交AM 于点O ，连结SO ，过O 作AF 的垂线交AF 于点N ，连结SN由题知AE =AF =5，所以AM EF ⊥，SE =SF =1，所以SM EF ⊥，SMA ∴∠为平面SEF 与平面AEF 的二面角的平面角又SM AM M ⋂=EF ∴⊥平面ASM ，SO ⊂平面ASM ，EF ∴⊥SO ，作法知SO AM ^，AM EF M = ，SO ∴⊥平面AEF ，所以SO 为锥体的高．所以O 为S 在平面AEF 上的射影.AF ⊂平面AEF ，所以SO AF ⊥，由作法知ON AF ⊥，SO NO O⋂=AF ∴⊥平面SON ，SN ⊂平面SON ，SN AF∴⊥SNO ∴∠为平面SAF 与平面AEF 的二面角的平面角，显然SNO ∠为锐角，故A 错．由题知AS SE AS SF AS SEF SE SF S ⊥⎫⎪⊥⇒⊥⎬⎪⋂=⎭平面，SM SEF ⊂平面，AS SM∴⊥又AS ＝２，1222EM EF ==，SE ＝１，2223222SM AM AE EM ∴==-=，22223322AS SM SO AM ⨯⨯===，四面体S −AEF 的体积为1132133233AEFV S SO =⨯=⨯⨯= ，故B 正确．在直角三角形ASM 中：2tan 2222AS SMA SM ∠===故C 不正确．因为2226OM SM SO =-=，423AO AM OM =-=，2253OE OM EM =+=所以2224cos 25OE OF EF EOF OE OF +-∠==-⋅，22210cos 210OE OA AE EOA OE OA +-∠==-⋅()cos cos OE AF OE OF OA OE OF EOF OE OA EOA⋅=⋅-=∠-∠554542103353310⎛⎫⎛⎫=⨯⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭44099=-+=OE AF ∴⊥，由对称性知OF AE ⊥，又AM EF⊥故D 正确．故选：BD ．三、填空题13．圆锥侧面展开图扇形的圆心角为π3，底面圆的半径为1，则圆锥的侧面积为．【答案】6π【分析】根据扇形弧长与底面半径关系得π2π13l =⨯，解出弧长，最后利用侧面积公式即可.【详解】设圆锥的母线为l ,则π2π13l =⨯,所以6l =,则圆锥的侧面积为π6πrl =.故答案为：6π.14．已知tan 2θ=，则1sin 2cos 2θθ+的值是．【答案】5【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式以及弦化切的公式先化简，在将tan 2θ=代入即可.【详解】因为tan 2θ=，所以2211sin 2cos 22sin cos cos sin θθθθθθ=++-2222cos sin 2sin cos cos sin θθθθθθ+=+-221tan 2tan 1tan θθθ+=+-221252212+==⨯+-，故答案为：5.15．已知函数()21,02log ,2x x f x x x x ⎧+<<⎪=⎨⎪≥⎩，且关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，那实数t 的取值范围为．【答案】[)1,2【分析】利用数形结合的方法，将方程根的问题转化为函数图象交点的问题，观察图象即可得到结果.【详解】作出()y f x =的图象，如下图所示：∵关于x 的方程()f x t =有且仅有一个实数根，∴函数()y f x =的图象与y t =有且只有一个交点，由图可知12t ≤<，则实数t 的取值范围是[)1,2.故答案为：[)1,2.四、双空题16．已知锐角ABC 的内角A B C 、、所对的边分别a b c 、、，角π=3A ．若AM 是CAB ∠的平分线，交BC 于M ，且=2AM ，则+3AC AB 的最小值为；若ABC 的外接圆的圆心是O ，半径是1，则()OA AB AC ⋅+ 的取值范围是．【答案】8343+53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.【分析】(1)由已知利用ABC CAM BAM S S S =+△△△，可得1132b c +=，然后利用“1”的代换，基本不等式即可得出结果.(2)根据锐角三角形的角度范围，表示出()OA AB AC ⋅+ π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，进而得出结果.【详解】(1)由AM 是CAB ∠的平分线，得=30CAM BAM ∠=∠︒，又ABC CAM BAM S S S =+Q △△△，即1π1π1πsin 2sin 2sin 232626bc b c =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯，化简得1132b c +=，()211233=+33433c b AC AB b c b c b c b c ⎛⎫⎛⎫∴+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23834+2+433c b b c ⎛⎫≥⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当3c b b c =，即22333c =+，2323b =+时，取等号．(2)π2π=33A B C +=，Q ，∴()()2=22OA AB AC OA OB OC OA OA OB OA OC OA ⋅+⋅+-=⋅+⋅-uur uuu r uuu r uur uuu r uuu r uur uur uuu r uur uuu r uur =cos cos 2=cos 2cos 22AOB AOC C B ∠+∠-+-2π=cos 2cos 223B B ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭13=cos 2sin 2222B B --π=cos 223B ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，ABC 是锐角三角形，π022ππ032B C B ⎧<<⎪⎪∴⎨⎪<=-<⎪⎩，2π4π,2+62333πππB B ∴<<<<π11cos 232B ⎛⎫∴-≤+<- ⎪⎝⎭，()532OA AB AC ⎡⎫∴⋅+∈--⎪⎢⎣⎭,uur uuu r uuu r ．故答案为：8343+；53,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭.五、解答题17．已知复数2121im z =-，()()22i 312i z m =+-+，R m ∈，i 为虚数单位．(1)若12z z +是纯虚数，求实数m 的值；(2)若120z z +>，求12z z ⋅的值．【答案】(1)1m =(2)2012i-【分析】（1）根据复数的运算法则求出12z z +，根据复数的概念列式可求出m ；（2）根据120z z +>求出2m =，再根据复数的乘法法则求出结果即可.【详解】（1）22212(1i)i (1i)(1i)m z m m +==+⋅-+，()2236i z m m =-+-⋅，所以()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为12z z +是纯虚数，所以2223060m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，得1m =.（2）由（1）知，()2212236i z z m m m m +=+-++-，因为120z z +>，所以2223060m m m m ⎧+->⎨+-=⎩，得2m =，所以144i z =+，214i z =-，所以12(44i)(14i)z z ⋅=+-2012i =-.18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，5AB BC ==，12AC AA ==．(1)求证：AC ⊥平面BDE ；(2)求点D 到平面ABE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)63【分析】（1）通过证明AC DB ⊥，AC DE ⊥，得证AC ⊥平面BDE ．（2）由D ABE E ABD V V --=，利用体积法求点D 到平面ABE 的距离．【详解】（1）证明：∵AB BC =，D ，E 分别为AC ，11AC 的中点，∴AC DB ⊥，且1//DE AA ，又1AA ⊥平面ABC ，∴DE ⊥平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ，∴AC DE ⊥，又AC DB ⊥，且DE DB D ⋂=，,DE DB ⊂平面BDE ，∴AC ⊥平面BDE ．（2）∵AC DB ⊥，5AB =，22AC AD ==，∴222AB BD AD -==，∴2222BE DE BD =+=，225AE DE AD =+=，11212ABD S =⨯⨯=△．在ABE 中，5AB AE ==，22BE =，∴BE 边上的高为()()22523-=．∴122362ABE S =⨯⨯=△．设点D 到平面ABE 的距离为d ，根据D ABE E ABD V V --=，得1161233d ⨯⨯=⨯⨯，解得63d =，所以点D 到平面ABE 的距离为63．19．在ABC 中，2CA =，3AB =，2π3BAC ∠=，D 为BC 的三等分点（靠近C 点）．(1)求AD BC ⋅ 的值；(2)若点P 满足CP CA λ= ，求PB PC ⋅ 的最小值，并求此时的λ．【答案】(1)23(2)4916-【分析】（1）将AD BC ⋅ 化为AB 和AC 表示，利用AB 和AC 的长度和夹角计算可得结果；（2）用AB 、AC 表示PB PC ⋅ ，求出PB PC ⋅ 关于λ的函数解析式，根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）因为D 为BC 的三等分点（靠近C 点），所以11()33CD CB AB AC ==- ，所以1133AD AC CD AC AB AC =+=+- 1233AB AC =+ ，所以AD BC ⋅ 12()()33AB AC AC AB =+⋅- 22121||||333AB AC AB AC =-+-⋅ 1212π9432cos 3333=-⨯+⨯-⨯⨯⨯23=.（2）因为CP CA λ= ，所以PC AC λ= ，因为PB PC CB PC AB AC =+=+- (1)AB AC λ=+- ，所以PB PC ⋅ (1)AB AC AC λλ⎡⎤=+-⋅⎣⎦2(1)||AB AC AC λλλ=⋅+- 22π||||cos (1)||3AB AC AC λλλ=+- 34(1)λλλ=-+-247λλ=-27494()816λ=--，所以当78λ=时，PB PC ⋅ 取得最小值4916-.20．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 1sin tan A A B=+.(1)若A B =，求C ；(2)求sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围.【答案】(1)2π3C =(2)()0,1【分析】（1）先由题给条件求得A B =π6=，进而求得2π3C =；（2）先利用正弦定理和题给条件求得π22A B =-和π04B <<，再构造函数122,12y t t t =-<<，求得此函数值域即为sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围【详解】（1）由A B =，cos 1sin tan A A B=+可得cos 1sin tan A A A=+，则()2cos 1sin sin A A A =+整理得22sin sin 10A A +-=，解之得1sin 2A =或sin 1=-A 又π02A <<，则π6A =，则π6B =，则2π3C =（2）A ，B 为ABC 的内角，则1sin 0A +>则由cos 1sin tan A AB =+，可得cos 0tan A B>，则A B 、均为锐角222cos sin 1tan cos π222tan tan 1sin 42(sin cos )1tan 222A A A A AB A A A A --⎛⎫====- ⎪+⎝⎭++又πππ0,02424A B <<<-<，则π42A B =-，π04B <<则π22A B =-，则πsin sin 2cos 22A B B ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭则2sin sin 2sin 2cos 22cos 112cos 2cos 2cos 2cos cos cos a B b A b A b B B B b B b B b B B B+-====-令cos t B =π04B ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则212t <<又1()2f t t t =-在2,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭单调递增，2()02f =，(1)1f =可得1021t t <-<，则12cos cos B B-的取值范围为()0,1，则sin sin 2cos a B b A b B+的取值范围为()0,121．如图所示，在平行四边形ABCD 中，283AB BC ==，π3DAB ∠=，E 为边AB 的中点，将ADE V 沿直线DE 翻折为A DE ' ，若F 为线段A C '的中点．在ADE V 翻折过程中，(1)求证：//BF 平面A DE ¢；(2)若二面角60A DE C '--=︒，求A C '与面A ED '所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)31010【分析】（1）取CD 的中点G ，通过证平面//A DE '平面BFG ，可得//BF 面A DE '.（2）利用二面角的平面角的定义先找出二面角A DE C '--的平面角即为A OG ∠'，再利用面面垂直的性质定理找到平面A DE '的垂线，从而作出A C '与面A ED '所成的角，计算可得答案.【详解】（1）证明：取CD 的中点G ，连接FG BG ，，F 为线段A C '的中点，//GF A D ∴'，FG ⊄ 平面A DE '，A D '⊂平面A DE '，//GF ∴平面A DE '，又//DG BE ，DG BE =，∴四边形BEDG 为平行四边形，则//.BG DE BG ⊄平面A DE '，DE ⊂平面A DE '，可得//BG 平面A DE '，又BG GF G = ，BG ，GF ⊂平面BFG ，可得平面//A DE '平面BFG ，BF ⊂平面BFG ，则//BF 面A DE '.（2）取DC 中点G ，DE 中点O ，连接OG ，A O '，A G '，由283AB BC ==，3DAB π∠=，E 为边AB 的中点，得43AE AD ==，所以ADE V 为等边三角形，从而43DE =，60EDC ︒∠=，又43DG =，O 为DE 的中点所以OG DE ⊥，又A DE '是等边三角形，所以A O DE '⊥，所以A OG ∠'为二面角A DE C '--的平面角，所以60A OG ︒∠'=，过点E 作//EM OA '，过A '作//A M OE '交于M ，连接CM ，A DE ' △是等边三角形，所以可求得6A O '=，23OE =，所以6EM =，23A M '=，DE A O ⊥' ，DE OG ⊥，//OG CE ，//EM A O '，所以DE EM ⊥，DE EC ⊥，又EC EM E = ，EC ，EM ⊂面EMC ，所以DE ⊥面EMC ，又//A M DE '，所以A M '⊥面EMC ，A M '⊂ 平面A DE '，所以面A DE '⊥面EMC ，由6ME =，在CBE △中易求得12CE =，又60MEC A OG ︒∠=∠'=，所以MC EM ⊥，63MC =，面A DE ' 面EMC EM =，MC ⊂面EMC ，所以MC ⊥面A DE '，所以MA C ∠'为A C '与平面A DE '所成的角，在Rt A MC ' 中可求得230A C '=，所以63310sin 10230MA C ∠'==，A C ∴'与面A ED '所成角的正弦值为310.1022．已知向量()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，若函数()12f x a b =⋅+r r 的最小正周期为π.(1)求()f x 的单调递增区间：(2)若关于x 的方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦有实数解，求a 的取值范围.【答案】(1)()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)1a ≥或372a +≤-【分析】（1）利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，求出函数的周期，得到ω，然后求解函数的解析式，再利用正弦型函数的单调性可求得函数()f x 的单调递增区间；（2）化简方程为：()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，令[]π2sin 21,14t x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，等价于22230at t a +--=在[]1,1-有解，利用参变量分离法可知212132t a t -=-在[]1,1-上有解，利用双勾函数的单调性可求得实数a 取值范围.【详解】（1）解：因为()3cos ,cos a x x ωω=- ，()()sin ,cos 0b x x =< ωωω，()21131π3sin cos cos sin 2cos 2sin 222226f x a b x x x x x x ⎛⎫=⋅+=-+=-=- ⎪⎝⎭ωωωωωω，因为0ω<且函数()f x 的最小正周期为π，则2πππ2T ===-ωω，解得1ω=-，所以，()ππsin 2sin 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=--=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由()ππ3π2π22π262k x k k +≤+≤+∈Z 可得()π2πππ63k x k k +≤≤+∈Z ，所以，函数()f x 的单调递增区间为()π2ππ,π63k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）解：()5π5ππsin 2sin 2πsin 212126f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，2π2ππ3πsin 2sin 2cos 23362f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，ππππsin 2sin 2cos 26662f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，方程25π2π5ππ22330123126a f x f x f x f x a ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即方程()()22sin2cos22sin2cos2330a x x x x a +---+=，因为π04x ≤≤，则πππ2444x -≤-≤，设[]πsin 2cos 22sin 21,14t x x x ⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭，()()22sin 2cos 2sin 2cos 22x x x x ++-= ，()22sin 2cos 22x x t ∴+=-，原方程化为()2222330a t t a ---+=，整理22230at t a +--=，方程等价于在22230at t a +--=在[]1,1-有解，设()2223g t at t a =+--，当0a =时，方程为230t -=得[]31,12t =∉-，故0a ≠；当0a ≠时，()221230a t t -+-=在[]1,1-上有解212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有解，问题转化为求函数()2211132t y x t-=-≤≤-上的值域，设32u t =-，则23t u =-，[]1,5u ∈，()232117622u y u u u --⎛⎫=⋅=+- ⎪⎝⎭，设()7h u u u =+，任取1u 、[]21,5u ∈且12u u <，则()()()1212121212171717766222h u h u u u u u u u u u ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--+-=-+-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()()()()12121212121277122u u u u u u u u u u u u ---⎡⎤=--=⎢⎥⎣⎦，当1217u u ≤<<时，120u u -<，1207u u <<，则()()12h u h u >，当1275u u <<≤时，120u u -<，127u u >，则()()12h u h u <，所以，函数()h u 在)1,7⎡⎣上单调递减，在(7,5⎤⎦上单调递增，所以，y 的取值范围是73,1⎡⎤-⎣⎦，212132t a t -⇔=-在[]1,1-上有实数解173,11a a ⎡⎤⇔∈-⇔≥⎣⎦或372a +≤-.。

重庆市2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题含答案

高2025届2022-2023学年（下）5月名校联考数学试题（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1．复数()i 3i z =+在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知向量()1,1a =- ，()2,1b = ，()2,c λ= ．若()2c a b +∥，则λ=（）A ．12-B ．0C ．12D ．83．已知3sin 23πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，且α为第三象限角，则tan α=（）A ．B ．3C ．2D 4．金字塔一直被认为是古埃及的象征，然而，玛雅文明也有类似建筑，玛雅金字塔是仅次于埃及金字塔的著名建筑．玛雅金字塔由巨石堆成，其下方近似为正四棱台，顶端是祭神的神殿，其形状近似为正四棱柱．整座金字塔的高度为29m ，金字塔的塔基（正四棱台的下底面）的周长为220m ，塔台（正四棱台的上底面）的周长为52m ，神殿底面边长为9m ，高为6m ，则该玛雅金字塔的体积为（）A ．374920m3B ．30455m 3C ．37217m 3D ．45439.5m 35．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a x =，6c =，60A =︒，若满足条件的三角形有两个，则x 的取值范围为（）A ．(⎤⎦B ．()C ．()3,6D ．()+∞6．已知一个正六棱锥的所有顶点都在一个球的表面上，六棱锥的底面边长为1，侧棱长为2，则球的表面积为（）A ．43πB ．83πC ．163πD ．4π7．若sin 2204πθθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，则tan tan 44ππθθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（）A ．－2B ．1C ．2D ．48．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知3B π=，8a =，cos cos 6b A a B +=，点O 是ABC △的外心，若BO xBA yBC =+，则x y +=（）A ．712B ．2336C ．2536D ．2936二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2022-2023学年四川省成都市高一下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年四川省成都市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．已知第二象限角α的终边与单位圆交于3,5P m ⎛⎫⎪⎝⎭，则sin2α=（）A ．1225-B ．2425-C ．1225D ．2425【答案】B【分析】由三角函数的定义可求出sin α，进而可求出cos α，sin2α.【详解】因为角α的终边与单位圆交于3,5P m ⎛⎫⎪⎝⎭，所以3sin 5α=，又角α是第二象限角，所以cos 0α<，所以24cos 1sin 5αα=--=-，所以24sin22sin cos 25ααα==-，故选：B.2．已知复数i3iz =-（i 是虚数单位）的共轭复数是z ，则z z -的虚部是（）A ．35iB ．35C ．25D ．25-【答案】B【分析】先根据复数除法运算化简z ，进而可得z ，相减即可得出答案.【详解】因为i i(3i)13i 13i 3i (3i)(3i)101010z +-+====-+--+所以13i 1010z =--所以13133i (i)=i 101010105z z -=-+---所以z z -的虚部为35故选：B3．已知向量a ，b 满足2a = ，3b = ，1a b ⋅= ，则b 在a 上的投影向量为（）A ．14a-B ．19a- C ．14aD ．19a【答案】C【分析】先求出向量a ，b夹角的余弦值，然后利用求解投影向量的方法求解即可.【详解】设向量a ，b的夹角为θ，因为2,3,1a b a b ==⋅=，所以cos 23cos 1a b a b θθ==⨯=⋅⨯，所以1cos 6θ=，所以b 在a上的投影向量为：11cos 3cos 32624a a a b a aθθ⋅=⋅==⨯⋅.故选：C.4．下图是利用斜二测画法画出的ABO 的直观图，已知A B y '''∥轴，4O B ''=，且ABO 的面积为16，过A '作A C O B ''''⊥，垂足为点C '，则A C ''的长为（）A ．22B ．2C ．162D ．1【答案】A【分析】利用面积公式求出原ABO 的高AB ，进而求出A B ''，然后在直角三角形A B C '''中求解即可【详解】由题可知，在ABO 中，2ABO π∠=，因为ABO 的面积为16，4O B OB ''==，所以1162AB OB ⋅=，8AB =，4A B ''=，因为4A B C π'''∠=，A C x '''⊥轴于点C '，所以2sin 42242A C AB π''''=⋅=⨯=，故选：A.5．瑞士数学家欧拉发现的欧拉公式：()i e cos isin θθθθ=+∈R ，其中i 为虚数单位，e 是自然对数的底数．公式非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来，被兴为“数学中的天桥”．下列说法正确的是（）A ．i e 10x +=B ．313i 122⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭C ．iπe 3i+的模长为12D ．i i e e sin 2x xx -+=【答案】C【分析】根据欧拉公式，结合复数的四则运算及模长公式逐一判断各选项.【详解】对于A ，由i e cos isin θθθ=+，得i e 1cos isin 1x x x +=++不一定为0，故A 错误；对于B ，322131313131331i i i i i i 1222222222224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=-++=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对于C ，iπe cosπisinπ131i 443i3i3i+==-=-++++，所以iπe 3i +的模长为22311442⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，()()i i cos isin cos isin e e cos 22x x x x x x x -++-+-+==，故D 错误.故选：C.6．如图所示，边长为2的正ABC ，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧 BC，点P 在圆弧上运动，则AB AP ⋅的取值范围为（）A ．2,23⎡⎤⎣⎦B ．[]2,5C ．[]2,4D ．4,33⎡⎤⎣⎦【答案】B【分析】根据给定条件，可得AP AO OP =+，求出,OP AB 的夹角范围，再利用向量数量积的定义、运算律求解作答.【详解】过点O 作//OD AB 交半圆弧于点D ，连接,AO OP ，如图，而ABC 是正三角形，则π3BOD ∠=，令,OP AB 夹角为θ，当点P 在弧BD 上时，0π3θ≤≤，当点P 在弧CD 上时，2π03θ≤≤，于是1cos 12θ-≤≤，显然π3,1,6AO OP OAB ==∠=，AP AO OP =+，所以π()||||cos ||||cos 6AB AP AB AO OP AB AO AB OP AB AO AB OP θ⋅=⋅+=⋅+⋅=+32321cos 32cos [2,5]2θθ=⨯⨯+⨯⨯=+∈.故选：B7．在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若23sin 2cos32B B +=，cos cos sin sin 6sin B C A B b c C+=，则ABC 的外接圆的面积为（）A ．12πB ．16πC ．24πD ．64π【答案】B【分析】根据二倍角公式将23sin 2cos32B B +=化简得到π3B =，利用余弦定理和正弦定理将cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C+=化简可得43b =，进而求出结果.【详解】因为23sin 2cos32BB +=，所以1cos 3sin 232B B ++⋅=，所以3sin cos 2B B +=，即πsin 16B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又()0,πB ∈，所以ππ7π,666B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以ππ62B +=，所以π3B =.因为cos cos sin sin 6sin B C A Bb c C+=，由余弦定理得222222sin sin 226sin a c b a b c A B bac cab C+-+-+=，即sin sin 6sin a A B bc C=，又3B π=，所以3sin 2B =，所以3sin 12sin a A bcC =，由正弦定理得312a abc c=，所以43b =.设ABC 的外接圆的半径为R ，所以28sin bR B==，解得4R =，所以ABC 的外接圆的面积为2π16πR =.故选：B.8．已知函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭图象与函数()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象相邻的三个交点依次为A ，B ，C ，且ABC 是钝角三角形，则ω的取值范围是（）A ．2π,4⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭B ．π,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．π0,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．2π0,4⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】画出两函数图象，求出A 的纵坐标为2，利用钝角三角形得到不等关系，求出答案.【详解】作出函数()π2sin 03y x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭和()π2sin 06y x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象，如图所示．由图可知2πAC ω=．取AC 的中点D ，连接BD ，则BD AC ⊥．因为ABC 是钝角三角形，所以π4ABD ∠>，则tan 1AD ABD BD ∠=>，即AD BD >．由ππ2sin 2sin 36x x ωω⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得π2ππ3π6x x k ωω-++=+，k ∈Z ，即7ππ12x k ω=+，k ∈Z ，则π7ππ2sin 2sin π23123y x k ω⎛⎫⎛⎫=-=+-=± ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即A 的纵坐标为2，故22BD =．因为AD BD >，所以π22ω>，所以2π4ω<．故选：D二、多选题9．以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是（）A ．两个圆锥拼接而成的组合体B ．一个圆台C ．一个圆锥D ．一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥【答案】AD【分析】考虑以钝角三角形的最长边还是较短边为轴旋转，判断得到的几何体形状，可确定A,D ，排除B,C.【详解】以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A 正确；以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D 正确；同时排除B,C ；10．如图，正方形ABCD 中，E 为AB 中点，M 为线段AD 上的动点，若BM BE BD λμ=+，则λμ+的值可以是（）A ．32B ．12C ．1D ．2【答案】ACD【分析】设AM k AD =，其中01k ≤≤，利用平面向量的线性运算可得出()21k k λμ⎧=-⎨=⎩，求出λμ+的取值范围，即可得出合适的选项.【详解】因为M 在线段AD 上，设AM k AD =，其中01k ≤≤，则()BM BA k BD BA -=- ，所以，()1BM k BA k BD =-+，因为E 为BA 的中点，则2BA BE =，所以，()21BM k BE k BD =-+ ，又因为BM BE BD λμ=+ 且BE、BD 不共线，则()21k kλμ⎧=-⎨=⎩，所以，()[]2121,2k k k λμ+=-+=-∈，故ACD 选项满足条件.故选：ACD.11．函数()()()sin 0,0,f x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．若把()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到的函数在[],ππ-上是增函数C ．若把函数()f x 的图象向右平移2π个单位，则所得函数是奇函数D ．,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，若()332f x a f π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最小值为32+【分析】根据函数图象求出函数解析式，再根据函数坐标得伸缩、平移与解析式之间得联系求出变换后的解析式即可判断出B 、C ，将定义域代入函数中解得值域即可判断出D.【详解】7π2π6π42T T =-⇒=，2π16π3ω==，由图可知2A =，将点()2π,2代入解析式得()2π2πππ2π2sin 23326f ϕϕϕ⎛⎫=+=⇒+=⇒=-⎪⎝⎭，所以()12sin 36x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，A 正确；()f x 图象上各点的横坐标缩短为原来的23得()12sin 26g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所得函数增区间为()12π4π224π4πZ 226233k x k k x k k πππππ-+≤-≤+⇒-+≤≤+∈，B 错误；()f x 的图象向右平移2π个单位得()1ππ1π2sin 2sin 32633x f x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，C 错误；()3π32sin 326f x a f x a π⎛⎫⎛⎫+≥⇒-+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，分离参数可得π32sin 6a x ⎛⎫≥-- ⎪⎝⎭，,33x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ,626x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，π32sin 31,326x ⎛⎫⎡⎤--∈-+ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以a 的最小值为32+，D 正确.故选：AD12．已知ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若()()32sin sin 3sin sin c a B C b B a A -=-，则下列选项正确的是（）A ．cos cos A C 的取值范围是13,24⎛⎫⎪⎝⎭B ．若D 是AC 边上的一点，且2CD DA = ，2BD =，则ABC 的面积的最大值为332C ．若三角形是锐角三角形，则c a 的取值范围是1,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．若三角形是锐角三角形，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为33【答案】BC【分析】利用正弦定理及余弦定理求出角B ，利用三角恒等变换公式化简cos cos A C 求出值域判断A ，利用向量线性运算及数量积的运算律解得224124999c a ac =++，使用基本不等式即可求出面积最大值判断B ，利用正弦定理及三角恒等变换得3122tan c a A=+，求出函数值域即可判断C ，由三角形面积公式寻找a ，c 关系，再利用基本不等式判断D.【详解】因为()()32sin sin 3sin sin c a B C b B a A -=-，所以()()2232sin 3c a B c b a -=-，所以()22232sin +-=a c b ac B ，所以32cos 2sin ac B ac B ⋅=，即tan 3B =，又(0,π)B ∈，所以π3B =，23111cos cos cos cos()sin cos cos sin(2)322264A C A A A A A A ππ=-+=-=--，因为2π(0,)3A ∈，所以ππ7π2(,)666A -∈-，所以1sin(2)(,1]62A π-∈-，所以11cos cos (,]24A C ∈-，故A 错误；因为2CD DA =，所以2133BD BA BC =+ ，所以222221441()33999BD BA BC BA BA BC BC =+=+⋅+，又2BD =，所以22224124122429999993c a ac c a ac ac =++≥⨯+=，即6ac ≤，当且仅当224199c a =即2a c =时，等号成立，所以1π333sin 2342ABC S ac ac =⨯=≤，即ABC 的面积的最大值为332，故B 正确；3sin()sin 132sin sin 2tan A c C a A A Aπ+===+，因为π022ππ032A C A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，所以ππ62A <<，所以π3tan tan 63A >=，所以3320tan 2A <<，所以3112(,2)2tan 2c a A =+∈，故C 正确；由题意得：ABC ABD BCD S S S =+△△△，由角平分线以及面积公式得1π1π1πsin sin sin 232626ac a c ⨯=⨯+⨯，化简得3ac a c =+，所以113a c+=，所以31134344(4)()(41)(52)33333a c a ca c a c a c c a c a+=+⨯+=+++≥+⨯=，当且仅当1134a ca c ca ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即323a c ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，此时2233132cos 3234222b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=，而222c a b =+，所以π2C =，与三角形是锐角三角形矛盾，所以等号不成立,故D 错误；故选：BC三、填空题13．已知向量()()3,2,,1a b λ=-= ，若222||||||a b a b +=+，则λ=__________．【答案】23【分析】化简222||||||a b a b +=+ ，然后由数量积的坐标表示可解.【详解】因为22222|||2|||a b a b a b a b +=++⋅=+ 所以0a b ⋅=，又()()3,2,,1a b λ=-=，所以320λ-=，即23λ=故答案为：2314．已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________.【答案】34；【分析】32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则32i --也是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，再利用根与系数的关系即可得出．【详解】解：32i - 是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，32i ∴--也是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，32(32)2p i i ∴-+--=-，(32)(32)2qi i ---=，解得8p =，26q =．34p q ∴+=．故答案为：34．【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系、复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若π3A =，224sin 2C b a a +=，则tan C =_____________.【答案】33-【分析】由正弦定理和两角和的正弦公式化简即可得出答案.【详解】由正弦定理可得：1cos sin 2sin 4sin 2CB A A -+=⋅，因为π3A =，所以3sin 2A =，所以()sin 331cos B C +=⋅-，πsin 333cos 3C C ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭，31cos sin 3cos 22C C C +=-，所以331cos sin 22C C =-，则tan 33C =-.故答案为：33-.16．直线l 过ABC 的重心G （三条中线的交点），与边AB 、AC 交于点,P Q ，且AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ=，直线l 将ABC 分成两部分，分别为APQ △和四边形PQCB ，其对应的面积依次记为1S 和2S ，则21S S 的最大值为__________．【答案】54/1.25【分析】作辅助线构建相似三角形，结合重心的性质，梯形中位线推出,λμ满足的关系，然后利用基本不等式求解.【详解】由AP AB λ=uuu r uuu r ，AQ AC μ= 可知，,11AP AQ PB QC λμλμ==--，连接AG 并延长交BC 于D ，过B 作BE //AD ，过C 作CF //AD ，分别交PQ 的延长线于,E F 如图所示.根据重心的性质可知，2AG GD =，不妨设2,1AG GD ==.由BE //AG ，容易得到APG 和三角形BPE 相似，于是1222BE PB BE BE AG AP λλλλ--=⇔=⇔=；由CF //AG ，容易得到AQG 和三角形CQF △相似，于是1222CF CQ CF CF AG QA μμμμ--=⇔=⇔=.由DG 是梯形BEFC 的中位线可得222211223BE CF DG λμλμλμ--+=⇔+=⇔+=.根据三角形的面积公式：1211sin 121sin 2ABC APQAB AC BACS S S S S AP AQ BAC λμ⋅⋅∠+===⋅⋅∠ .根据基本不等式111132λμλμ+=≥⋅，即1λ9μ4£，当23λμ==时取得等号.故121194S S S λμ+=≤，即2154S S ≤，21S S 最大值为54.故答案为：54四、解答题17．在（1）3sin 242cos αα=；（2）3sin 32α=．两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线处，并解答问题．已知α，β均为锐角，()tan 2αβ+=-，且满足__________．(1)求tan β的值；(2)求()sin αβ-的值．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）【答案】(1)tan 2β=(2)69【分析】（1）选①或②，根据正弦二倍角公式，求得sin ,cos αα，得出tan α，再根据两角差的正切求得结果；（2）根据两角差的正弦公式求得结果.【详解】（1）若选①：因为3sin 242cos αα=，所以6sin cos 42cos ααα=，因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0α≠，所以2221sin ,cos 1sin 33ααα==-=，则sin tan 22cos ααα==，所以()()()()tan tan 222tan tan 21tan tan 1222αβαβαβααβα+---=+-===⎡⎤⎣⎦+++-⋅．若选②：因为3sin32α=，所以231sin,cos 12sin 2323ααα==-=因为π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222sin 1cos 3αα=-=．则sin tan 22cos ααα==，所以()()()()tan tan 222tan tan 21tan tan 1222αβαβαβααβα+---=+-===⎡⎤⎣⎦+++-⋅.（2）因为2122cos ,sin 1cos 33ααα==-=，且tan 2β=，β为锐角，故63sin ,cos 33ββ==，所以()223166sin sin cos cos sin 33339αβαβαβ-=-=⨯-⨯=．18．已知平面向量,,a b c满足，||1,||2,(R)a b c ta b t ===+∈ ．(1)若,a b 不共线，且2a b -与c 共线，求t 的值；(2)若c 的最小值为3，求向量,a b的夹角大小．【答案】(1)12t =-(2)π3或2π3【分析】（1）由共线向量定理即可求解；（2）由向量的模、夹角、数量积之间的关系即可求解.【详解】（1）因为,a b 不共线，且2a b - 与c 共线，所以存在实数λ，使得()2c a b λ=-，即()2c ta b a b λ=+=- ，因此12t λλ=⎧⎨=-⎩，解得12t =-．（2）设,a b 夹角为θ，由c ta b =+得22222222||()24cos 4(2cos )44cos c ta b t a ta b b t t t θθθ=+=+⋅+=+⋅+=++- ，故当2cos t θ=-时，2||c r有最小值244cos θ-，由題意244cos 3θ-=，解得1cos 2θ=±，又[]0,πθ∈，所以π3θ=或2π319．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足2sin cos sin 223cos a A B b A a C +=．(1)求角C 的大小；(2)若23c =，ABC ∠与BAC ∠的平分线交于点I ，求ABI △周长的最大值．【答案】(1)π3C =(2)423+．【分析】（1）用正弦定理结合三角函数诱导公式求得结果；（2）设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，由正弦定理得,BI AI ,将ABI △的周长表示成关于θ的三角函数，化简求其最大值.【详解】（1）由正弦定理得：2sin sin cos 2sin sin cos 23sin cos A A B B A A A C +=，因为sin 0A ≠，所以2sin cos 2sin cos 23cos A B B A C +=，所以()sin 3cos A B C +=，即sin 3cos C C =，所以()tan 3,0,πC C =∈，故π3C =．（2）由（1）知，π3C =，有2π3ABC BAC ∠+∠=，而BAC ∠与ABC ∠的平分线交于点I ，即有π3ABI BAI ∠+∠=，于是2π3AIB ∠=，设ABI θ∠=，则π3BAI θ∠=-，且π0θ3<<，在ABI △中，由正弦定理得，2342ππsin sin sin sin 33BI AI AB AIB θθ====∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以π4sin ,4sin 3BI AI θθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以ABI △的周长为π31234sin 4sin 234cos sin 4sin 322θθθθθ⎛⎫⎛⎫+-+=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π2323cos 2sin 4sin 233θθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，由π0θ3<<，得ππ2π333θ<+<，则当ππ32θ+=，即π6θ=时，ABI △的周长取得最大值423+，所以ABI △周长的最大值为423+．20．目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大山深处还是广表平原，处处都能见到5G 基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山项上的一座5G 基站AB ，已知基站高AB =50m ，该同学眼高1.5m （眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C 处（眼睛所在位置）测得基站底部B 的仰为37°，测得基站顶端A 的仰角为45°.(1)求出山高BE （结果保留整数）；(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB 前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C 处（眼睛所在位置）到基站AB 所在直线的距离CD =x m ，且记在C 处观测基站底部B 的仰角为α，观测基站顶端A 的仰角为β.试问当x 多大时，观测基站的视角∠ACB 最大？参考数据:sin 80.14,sin 370.6,sin 450.7,sin1270.8≈≈=≈ .【答案】(1)151.5m BE =(2)1003m x =，∠ACB 最大【分析】（1）在ABC 中，利用正弦定理求出BC ，再在Rt BCD 中，求出BD 即可；（2）易得π02ACB βα∠=<-<，分别在在Rt BCD 和在Rt ACD △中，求出tan ,tan αβ，再根据两角和的正切公式结合基本不等式求出tan ACB ∠取得最大值时，x 的值，再根据正切函数的单调性即可得解.【详解】（1）由题意可知，37,45,8,45BCD ACD ACB A ∠=︒∠=︒∠=︒=︒，在ABC 中，sin sin AB BCACB A=∠，所以25022500.14BC ⨯=≈，在Rt BCD 中，sin 2500.6150BD BC BCD =⋅∠≈⨯=，所以出山高150 1.5151.5m BE =+=；（2）由题意知,ACD BCD βα∠=∠=，且π02αβ<<<，则π02βα<-<，在Rt BCD 中，150tan BD CD x α==，在Rt ACD △中，200tan AD CD xβ==，则()200150tan tan tan tan 2001501tan tan 1x x ACB x xβαβαβα--∠=-==++⋅25050503300003000012300002x x x x x x==≤=++⋅，当且仅当30000x x=，即1003x =时，取等号，所以tan ACB ∠取得最大值时，1003x =，又因为π02ACB <∠<，所以此时ACB ∠最大，所以当1003m x =时，ACB ∠最大.21．已知函数()2ππ3sin 2sin 1326x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为π2，0ω>．(1)求()f x 的解析式和单调递增区间；(2)将函数()f x 的图像向右平移π6个単位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，若方程()43g x =在π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的根从小到大依次为，12,,,n x x x ⋅⋅⋅，若1231222n n m x x x x x -=+++⋅⋅⋅++，试求n 与m 的值．【答案】(1)()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2)n 为5，m 为19π3．【分析】（1）根据题意，先由降幂公式与辅助角公式化简，然后再由函数周期即可求得ω，从而得到其解析式，再由正弦型函数的单调区间即可得到结果；（2）根据题意，先由函数的图像变换得到函数()g x 的解析式，然后结合图像求得方程()43g x =的根，分别得到,m n .【详解】（1）函数()2ππ3sin 2sin1326x f x x ωω⎛⎫⎛⎫=+++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭πππ3sin cos 2sin 336x x x ωωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为函数()f x 图像的相邻两对称轴间的距离为π2，所以πT =，可得2ω=，所以()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，其单调递增区间为πππ,π,36k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）将函数()f x 的图像向右平移π6个单位长度，可得π2sin 26y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，再把横坐标缩小为原来的12，得到函数()π2sin 46g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像，由方程()43g x =，即()π42sin 463g x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即π2sin 463x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，因为π4π,63x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得ππ31π4,626x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设π46x θ=-，其中π31π,26θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=，结合正弦函数sin y θ=的图像，可得方程2sin 3θ=在区间π31π,26θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =，其中θθ+=123π，θθ+=235π，347πθθ+=，459πθθ+=，即12ππ443π66x x -+-=，解得125π6x x +=；23ππ445π66x x -+-=，解得234π3x x +=，即34ππ447π66x x -+-=，解得3411π6x x +=；45ππ449π66x x -+-=，解得457π3x x +=.所以123451223344519π2223m x x x x x x x x x x x x x =++++=+++++++=．所以n 为5，m 为19π3．【点睛】本题综合性较强，考查了三角函数的图像变换以及性质，还有三角恒等变换；第二问的关键在于先得到函数()g x 的解析式，然后再解方程即可.22．如图，A ，B 是单位圆上的相异两定点（O 为圆心），π02AOB θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，点C 为单位圆上的动点，线段AC 交线段OB 于点M （点M 异于点O B 、），记AOB 的面积为S ．(1)记()2f S OA AB θ=+⋅uur uur，求()f θ的取值范围；(2)若60θ=︒，（i ）求CA CB ⋅的取值范围；（ii ）设(01)OM tOB t =<<，记()g t ACAM =uuur uuu r ，求()g t 的最小值．【答案】(1)()(0,21f θ⎤∈-⎦(2)（i ）()0,3CA CB ⋅∈；（ii ）min ()233g t =-【分析】（1）根据题意，建立平面直角坐标系，转化为平面向量的坐标运算，再结合正弦型函数的值域，即可得到结果；（2）（i ）由平面向量的坐标运算，结合三角函数的值域即可得到结果；（ii ）根据题意，设(01)AM AC λλ=<<，结合平面向量的线性运算，再由基本不等式即可得到结果.【详解】（1）建立如图所示直角坐标系，则()1,0A ，()cos ,sin B θθ=()()()122sin 1,0cos 1,sin 2f S OA AB θθθθ=+⋅=⨯+⋅- πsin cos 12sin 1,042πθθθθ⎛⎫=+-=+-<<⎪⎝⎭因为ππ3π,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，π2sin ,142θ⎛⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(0,21f θ⎤∈-⎦（2）（i ）设()π,,π,cos ,sin 3AOC C αααα⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭则()131cos ,sin cos ,sin 22CA CB αααα⎛⎫⋅=--⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭ ()()131cos cos sin sin 22αααα⎛⎫⎛⎫=--+-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3333πsin cos 3sin 22223ααα⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭因为π2π4π,333α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以π33sin ,322α⎛⎫⎛⎫+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()0,3CA CB ⋅∈ （ii ）设(01)AM AC λλ=<<，则()()1OM OA AM OA AC OA OC OA OA OCλλλλ=+=+=+-=-+故()11,t tOB OA OC OC OB OA λλλλλ-=-+=-因为1OA OB OC ===，则221OC t OB OA λλλ--=，所以222222(1)1π2cos 31t t OB OA OA OB λλλλλλ--+-⨯⨯= ，即()2222221(1)112t t λλλλλ--=+-⨯，解得212t t t λ-+=-故()2132323322t t g t t t tλ-+===-+-≥---，当且仅当322t t-=-，即23t =-时，min ()233g t =-．。

河北省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一年级5月月考数学试题一、单选题（每题5分，共12题）1. 已知向量，，则（）()1,2a =r ()0,1b = a b -=A. B.C.D.()1,3()3,1()1,1()1,1--【答案】C 【解析】【分析】由向量减法的坐标运算求解．【详解】由题设，．(1,2)(0,1)(1,1)a b -=-=故选：C ．2. 已知向量，，且，则（）()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥2a b += A. 5 B. 4C. 3D. 2【答案】A 【解析】【分析】由，可得，求出的值，从而可求出的坐标，进而可求出a b ⊥1220m -+=m 2a b + 2a b +【详解】解：因为向量，，且，()1,2a =- ()21,1b m =- a b ⊥所以，解得， 1220m -+=32m =所以，()2,1b =r所以，2(1,2)2(2,1)(3,4)a b +=-+=所以，25a b +== 故选：A3. 若单位向量，满足，则与的夹角为（）a b ()2a b a -⊥ a b A.B.C.D.6π3π2ππ【答案】B 【解析】【分析】先求出，然后用夹角公式求解.12a b ⋅= 【详解】由，得，()2a b a -⊥()20a b a -⋅=r r r所以，所以， 12a b ⋅= 1cos ,2||||a b a b a b ⋅==⋅又，所以.[],0,a b π∈,3a b π=r r 故选：B.4. 如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原图的面积为（）A. B.C.D.2【答案】A 【解析】【分析】方法一：还原原图形，再求出面积；方法二：先求出直观图的面积，再根据直观图和原图形的面积比进行求解【详解】方法一：如图所示：根据斜二测画法，可知原图形为平行四边形，其中，1OB O B ''==，故面积为.2OAO A ''==OAOB ⋅=方法二：直观图的面积为，原图的面积与直观图的面积之比为， 111⨯=故原图的面积为1=故选：A5. 在正方体中，是正方形的中心，则直线与直线所成角大小为1111ABCD A B C D -M ABCD 1A D 1B M （）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】A 【解析】【分析】如图，连接，，，利用余弦定理可求的值，从而可得直线与直线1B C MC MB 1CB M ∠1A D 所成角大小.1B M 【详解】设正方体的棱长为，连接，，，2a 1B C MC MB 因为，故或其补角为直线与直线所成角. 11//B C A D 1CB M ∠1A D 1B M而，，，1B C =MC =1B M ===故，所以，22211B C B M CM =+1MB CM ⊥所以为锐角，故， 1cos CB M ∠==1CB M ∠130CB M ∠=︒故选：A.6. 在中，角所对的边分别为．若，则ABC A A B C ，，a b c ，，1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-ABC A 为（） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用正弦定理，化简得，进而对进行分类讨论，分为①sin cos sin cos 0A C B C -=cos C ；②两种情况进行求解，即可得到答案.cos 0C =cos 0C ≠【详解】，利用正弦定理，可得， 1111sin sin tan tan c A c B b A a B-=-，1111sin sin sin sin sin tan sin tan C A C B B A A B -=-，11cos cos sin sin sin sin sin sin A BC A C B B A--=，sin sin sin cos sin cos B A C A C B -=-，sin()sin()sin cos sin cos A C B C C A C B +-+=-，sin cos sin cos 0A C B C -=①时，有等式成立，此时；cos 0C =2C π=②时，有，因为，所以，.cos 0C≠sin sin A B =0,0A B ππ<<<<A B =故为等腰或直角三角形. ABC A 故选：D7. 如图，△ABC 是简易遮阳棚，A ，B 是南北方向上两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD 面积最大，遮阳棚ABC 与地面所成的角应为（）A. 75°B. 60°C. 50°D. 45°【答案】C 【解析】【分析】作出遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，再借助正弦定理推理、计算作答. 【详解】过C 作平面于E ，连DE 并延长交AB 于O ，连CO ，如图，CE ⊥ABD依题意，，而，，则平面，又平面，有⊥DO AB CE AB ⊥CE DO E ⋂=AB ⊥COD CO ⊂COD ，CO AB ⊥因此，是遮阳棚ABC 与地面所成二面的平面角，令，而， COD ∠COD α∠=40CDO ∠= 由于AB 长一定，要使遮阴影面ABD 面积最大，当且仅当最长，DO在中，长是定值，由正弦定理得：，当且仅当COD △CO sin(40)sin 40sin 40CO COOD α+=≤，即取“=”， sin(40)1α+= 50α= 所以遮阳棚ABC 与地面所成的角应为. 50 故选：C8. 锐角中，已知，则取值范围是（）ABC ∆3a A π==223b c bc ++A. B.C.D.(]5,15(]7,15(]7,11(]11,15【答案】D 【解析】【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，则223b c bc +=+2sin ,2sin b B c C ==4sin sin bc B C =，利用三角形内角和定理和三角函数的恒等变换，转化为求三角函数的值域，求出范围即可得到结果. bc 【详解】，由余弦定理得：，即，3a A π==∴2222cos a b c bc A =+-223b c bc +=+由正弦定理得：，， 2sin sin sin a b cA B C===2sin ,2sin b B c C ∴==，4sin sin 4sin sin 2sin 2136bc B C B B B ππ⎛⎫⎛⎫∴==+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭又由得：，， 022032B C B πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩62B ππ<<52,666B πππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 1sin 21,2326B bc π⎛⎫∴<-≤∴<≤ ⎪⎝⎭.(]2234311,15b c bc bc ∴++=+∈故选：D【点睛】本题主要考查了正余弦定理的应用，三角函数的性质，解题的关键是将边化角转化为三角函数的值域求解.二、多选题（每题选全得5分，错选不得分，漏选得2分）9. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（）b ∈R ()1i 32i a b --=-()1i a bz -=+A. z 的虚部是B.2i 2z =C. D. z 对应的点在第二象限2i z =-【答案】BC 【解析】【分析】根据复数相等的定义，结合复数虚部定义、复数模的定义、共轭复数的定义、复数在复平面内对应点的特征逐一判断即可.【详解】由复数相等可得解得所以，3,12,b a -=⎧⎨-=-⎩1,3,a b =-⎧⎨=-⎩2(1i)(1i)2i a bz -=+=+=对于A ，的虚部是2，故A 错误； z 对于B ，，故B 正确； |||2i |2z ==对于C ，，故C 正确；2i z =-对于D ，对应的点在虚轴上，故D 错误. z 故选：BC10. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁若向量，满足，）.a b2a b ==a b +=A.B. 与的夹角为2a b ⋅=-a bπ3C.D. 在上的投影向量为a b a b -<+ a b - b 12b r 【答案】BC 【解析】【分析】利用向量的模长公式以及题中条件即可判断A,C,由夹角公式可判断B ，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】，,2a b ==a b += ,解得,故A 错误22212||2424a b a a b b a b =+=+⋅+=+⋅+2⋅= a b ,，·cos ,2a b a b a b ⋅== 1cos ,2a b a b a b ⋅==由于，与的夹角为，故B 正确, ()0π，，a b ∈a ∴r bπ3故C 正确2a b a b -====<+=在上的投影向量为，故D 错误, a b - b()21··22b a b b a b b b b b b b b b⋅-⋅-==-=-故选：BC11. 设，为不同的直线，，为不同的平面，则下列结论中正确的是（） m n αβA. 若，，则 B. 若，，则//m α//n α//m n m α⊥n α⊥//m n C. 若，，则 D. 若，，，则//m αm β⊂//αβm α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥【答案】BD 【解析】【分析】根据线线、线面、面面的位置关系，逐一分析各选项即可得答案.【详解】解：对A ：若，，则或与相交或与异面，故选项A 错误； //m α//n α//m n m n m n 对B ：若，，则，故选项B 正确；m α⊥n α⊥//m n 对C ：若，，则或与相交，故选项C 正确； //m αm β⊂//αβαβ对D ：若，，，则，故选项D 正确. m α⊥n β⊥m n ⊥αβ⊥故选：BD.12. 如图所示，在三棱锥中，，且，为线段V ABC -AB BC =90VAB VAC ABC ∠=∠=∠=︒P VC 的中点.则（）A. 与垂直 PB ACB. 与平行PB VA C. 点到点，，，的距离相等P A B C V D. 与平面，与平面所成的角可能相等 VB ABC PB ABC 【答案】AC 【解析】【分析】由题设可证底面，作中点，由中位线定理可证，易证，再由为VA ⊥ABC AC H //PH VA PB AC ⊥H 外心得到三点距离相等，为外心，可证点到点，，，的距Rt ABC A P ,,A B C P Rt VAC △P A B C V离相等；结合正切定义可证与平面，与平面所成的角不相等 VB ABC PB ABC 【详解】过点作，垂足为，连接，可得为的中点.P PH AC ⊥H BH H AC 因为，所以，所以平面，所以，从而A 正确； AB BC =BH AC ⊥AC ⊥PBH AC PB ⊥由条件可知，而与有交点，因而与不平行，B 错误； //PH VA PH PB PB VA 点是的外心，所以到，，的距离相等，P Rt VAC △P V A C 根据条件可知平面，从而平面，又因为是的外心，所以点到VA ⊥ABC PH ⊥ABC H Rt ABC △P A ，，的距离相等，所以点到，，，四点的距离都相等，C 正确； B C P A B C V 与平面所成的角即，与平面所成的角即，，VB ABC VBA ∠PB ABC PBH ∠tan VAVBA AB∠=，所以两个角不可能相等，D 错误.tan tan PH PBH VBA BH ∠===<∠故选：AC【点睛】方法点睛：本题考查锥体基本性质的应用，线线垂直的证明，两直线平行的判断，锥体外接球球心的判断，线面角大小的判断，综合性强，需掌握以下方法：（1）能利用线面垂直的性质和判定定理证明线线垂直；（2）要证两直线不平行只需证明两直线或对应的平行直线相交即可；（3）寻找锥体外接球球心关键在于先寻找底面三角形外接圆圆心，在垂直于底面外接圆圆心的线段上，再寻找跟顶点与底面任意一顶点相等的点.三、填空题（13、14五分，第一空2分，第二个空3分） 1516、13. 已知，若向量与共线，则____________．(1,),(3,1)a b λ== a b 2a = 【答案】## 109119【解析】【分析】首先根据向量共线的坐标表示得到方程，求出，再根据向量数量积的坐标运算计算可得； λ【详解】解：因为且，所以，解得， (1,),(3,1)a b λ==//a b r r113λ⨯=13λ=所以，所以; 11,3a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 222110139a ⎛⎫=+=⎪⎝⎭故答案为：10914. 如果三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长度都是2，则它的外接球的体积是___________. 【答案】【解析】【分析】将此三棱锥放入正方体中，即转化为正方体的外接球的问题，而正方体的体对角线即为相应的外接球的球直径，进而可以求得体积.【详解】因为三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且侧棱均为， 2所以它的外接球就是它扩展为正方体的外接球，求出正方体的对角线的长为，2所以球的直径是.343π⨯=故答案为：.15. 在中，，D 是AC 中点，，试用表示为___________，若ABC A ,CA a CB b == 2CB BE = ,a bDE ，则的最大值为____________AB DE ⊥ACB ∠【答案】 ①. ②.3122b a - 6π【解析】【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出，以为基底，表示出，由DE{},a b ,A B D E 可得，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．AB DE ⊥2234b a b a +=⋅法二：以点为原点建立平面直角坐标系，设，由可得点E (0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y AB DE ⊥A 的轨迹为以为圆心，以为半径的圆，方程为，即可根据几何性质可知，(1,0)M -2r =22(1)4x y ++=当且仅当与相切时，最大，即求出． CA M A C ∠【详解】方法一：，，31=22DE CE CD b a -=- ,(3)()0AB CB CA b a AB DE b a b a =-=-⊥⇒-⋅-=，当且仅当2234b a a b +=⋅223cos 4a b b a ACB a b a b ⋅+⇒∠==≥ a = 而，所以．0πACB <∠<(0,]6ACB π∠∈故答案为：；．3122b a - 6π方法二：如图所示，建立坐标系：，，(0,0),(1,0),(3,0),(,)E B C A x y 3(,),(1,)22x y DE AB x y +=--=--，所以点的轨迹是以为圆心，以23(1)022x y DE AB x +⊥⇒-+= 22(1)4x y ⇒++=A (1,0)M -为半径的圆，当且仅当与相切时，最大，此时． 2r =CA M A C ∠21sin ,426r C C CM π===∠=故答案为：；．3122b a - 6π16. 已知是虚数单位.若为实数，则___________，的最小值为,, a b R i ∈(2)(1)z a i bi =-+ab =||z ___________. 【答案】 ①. 2②. 4【解析】【分析】由题设条件计算出复数z ,再由复数是实数的条件即可得ab 值；计算出|z |，配方即可得解. 【详解】，则，而，所以，即2；,a b R ∈(2)(2)z a b ab i =++-z R ∈20-=ab ab =，，当且仅当a =2b ，即2z a b =+|||2|4z a b =+===≥a =2，b =1时取“=”，所以的最小值为4.||z 故答案为：2；4四、解答题（17题10分，其它五题每题12分）17. 已知△的内角，，的对边分别为，，，若．ABC A B C a b c sin cos a C A =（1）求角．A（2）若，求△的面积．a =2c =ABC【答案】（1）；（23A π=【解析】【分析】（1）由正弦定理边角关系，结合三角形内角性质得，进而求角． sin A A =A （2）由余弦定理得求b ，再利用三角形面积公式求△的面积．2230b b --=ABC【详解】（1）由正弦定理，，又，sin sin cos A C C A =sin 0C ≠，即，由，得. sin A A ∴=tan A =(0,)A π∈3A π=（2）由余弦定理知：，2222cos a b c bc A =+-∴，解得，2230b b --=3b =1sin 2ABC S bc A ∴==A 18. 如图，在三棱锥中，分别为的中点，，且，-P ABC D E ，AB PB ，EB EA =PA AC ⊥．求证：平面．PC BC ⊥BC ⊥PAC【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题可得，利用线面垂直的判定定理可得平面，进而可得，然PA AB ⊥PA ⊥ABC PA BC ⊥后利用线面垂直的判定定理即得.【详解】∵在中，D 是AB 的中点，，AEB △EB EA =∴,ED AB ⊥∵E 是PB 的中点，D 是AB 的中点，∴，ED PA ∥∴，PA AB ⊥又，，平面，平面， PA AC ⊥AB ACA ⋂=AB ⊂ABC AC ⊂ABC ∴平面，PA ⊥ABC ∵平面，BC ⊂ABC ∴，PA BC ⊥又，，平面，平面，PC BC ⊥PA PC P = PA ⊂PAC PC⊂PAC ∴平面． BC ⊥PAC 19. 如图所示，在四棱锥中，平面PAD ，，E 是PD 的中点． P ABCD -//BC 12BC AD =（1）求证：；//BC AD （2）线段AD 上是否存在点N ，使平面平面PAB ，若不存在请说明理由：若存在给出证明．//CEN 【答案】（1）证明见解析；（2）存在，当点是的中点时满足题意. 证明见解析解.N AD 【解析】【分析】（1）由线面平行性质定理可以得证；（2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 分别证得平面和平N AD //CEN PAB //EN PAB //CN 面，由面面平行判定定理可证得结论.PAB 【详解】（1）因为平面，平面，平面平面，所以//BC PAD BC ⊂ABCD PAD ⋂ABCD AD =；//BC AD （2）存在，且当点是的中点时，平面平面. 下面给出证明：N AD //CEN PAB 因为、分别是、的中点，所以，E N PD AD //EN PA 又平面，平面，所以平面.EN ⊄PAB PA ⊂PAB //EN PAB 由（1）知，，又是的中点，，所以，所以四边形是平//BC AN N AD 12BC AD =BC AN =ABCN 行四边形，从而，//CN BA 又平面，平面，所以平面.CN ⊄PAB BA ⊂PAB //CN PAB 又因为，所以，平面平面 CN EN N = //CEN PAB【点睛】关键点点睛：本题第（2）问的关键点是证明平面.//CN PAB20. 某海域的东西方向上分别有，两个观测点（如图），它们相距海里.现有一艘轮船在点发A B D 出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，B 点北偏西，这时位于点南偏西且与相D A 45 75 B 45 B 距海里的点有一救援船，其航行速度为海里/小时.80C 35（1）求点到点的距离；B D BD （2）若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间.C D D 【答案】（1）海里；（2）小时502【解析】【分析】（1）根据已知条件求出，在中利用正弦定理即可求解；ADB ∠ABD △（2）求出，在中由余弦定理求出，再根据速度即可得所需要的的时间.CBD ∠BCD △CD 【详解】（1）由题意知：，，，AB =907515DBA ∠=-= 904545DAB ∠=-= 所以，1804515120ADB ∠=--= 在中，由正弦定理可得：即， ABD△sin sin BD AB DAB ADB =∠∠sin 45BD = 所以海里，50BD ===（2）在中，，，，BCD △180754560CBD ∠=--= 80BC =50BD =由余弦定理可得：2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠， 1640025002805049002=+-⨯⨯⨯=所以海里，70CD =所以需要的时间为小时， 70235=所以点到点的距离海里，救援船到达点需要的时间为小时.B D 50BD =D 221. 如图，在正三棱柱中，分别为，的中点.ABC A B C '''-22,,AC AA E F ='=BC A C ''（1）证明：平面.EF A ABB A ''（2）求直线与平面所成角的正切值.EF ACC A ''【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）依据线面平行判定定理去证明平面；EF A ABB A ''（2）先作出直线与平面所成角，再求其正切值即可解决.EF ACC A ''【小问1详解】如图，取的中点，连接.A B ''M ,FM BM 为的中点，，且. F A C ''MF B C ∴''∥12MF B C =''，且，，且， BE B C ''∥ 12BE B C =''MF BE ∴∥MF BE =四边形是平行四边形，.∴BEFM EF BM ∴∥平面，平面平面.BM ⊂ ABB A ''EF ⊄,//ABB A EF '∴'ABB A ''【小问2详解】取的中点的中点，连接.AC ,N CN D ,,,BN DE DF NF 平面平面，平面平面，ABC ⊥ACC A ''ABC ⋂,ACC A AC BN AC ''=⊥平面.BN ∴⊥ACC A ''平面，//,DE BN DE ∴⊥ ACC A ''直线与平面所成的角为.∴EF ACC A ''DFE ∠， 12DE BN DF ====tan DE DFE DF ∠∴==22. 在中，角，，的对边分别为，，，． ABC A A B C a b c 22sin1sin 2B C A +=+（1）求； A ∠（2）再从条件①、条件②这两组条件中选择一组作为已知，使存在且唯一确定，求． ABC A c 条件①：，；2a =3b =条件②：；cos B ab ==【答案】（1）4A π=（2）1c =【解析】【分析】（1）根据已知条件代入二倍角的余弦公式，化简可得，即可求解；tan 1A =（2）若选条件①：根据余弦定理得到，则，无解；250c -+=182020∆=-=-<c 若选条件②：根据，，得到，又根据正弦定理得到，解得cos B =0B π<<1sin 3B=a =a ，后代入正弦定理即可求解．b 【小问1详解】解：因为，所以， 22sin 1sin 2B C A +=+()1cos 1sin B C A -+=+所以，则， 1cos 1sin A A +=+sin tan 1cos A A A ==又，；0A π<<4A π∴=【小问2详解】若选条件①：因为， 222cos 2b c a A bc +-=222326c c+-=所以，则，250c -+=182020∆=-=-<故无解；c 若选条件②：因为，又，所以， cos B =0B π<<1sin3B =由正弦定理得：，sin sin a b A B =13b =所以，又，，a =ab =3a=b =因为，()1sin sin sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+==所以. sin 1sin a C c A ===+。

江苏省高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一下5月月考卷一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 已知复数（是虚数单位），的共轭复数记作，则（）z i =iz z z z=A.B.C. D.2i-2i 2i -2i【答案】A 【解析】【分析】利用复数的模长公式、共轭复数的定义可求得复数. zz【详解】，则，，因此，. z i =+ 2z ==z i =-12z i z =-故选：A. 2. 已知,则的值为( ) sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin 2αA. B.C.D. 2425-2425125125-【答案】B 【解析】【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式，即得解. sin 2cos[2(4παα=-212sin (4πα=--【详解】由诱导公式：，sin 2sin[2()+cos[2(424πππααα=-=-再由二倍角公式： 2cos[2()]12sin (44ππαα-=--=2425故选：B【点睛】本题考查了诱导公式，二倍角公式综合应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.3. 已知，，均为单位向量，且，则（） abc220a b c +-=b c ⋅=A.B.C.D.38587898【答案】C 【解析】【详解】由题意知：，则22c b a -=222448c b b c a +-⋅= 即，得：.881b c -⋅=78b c ⋅= 故选:C .4. 在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，与直线异面且夹角成的直线的1111ABCD A B C D -1A B 60 条数为（） A. B. C. D.2456【答案】B 【解析】【分析】结合图形，利用异面直线所成的角的概念，把符合题意的异面直线列出来即可求解. 【详解】在正方体的八个顶点中任取两个点作直线，1111ABCD A B C D -连接，，则是等边三角形，可得，11AC 1BC 11A BC V 111160C A B C BA ∠=∠=因为，所以与夹角成且异面，11//AC AC AC 1A B 60 因为，所以与夹角成且异面， 11//AD BC 1AD 1A B 60 同理可得，与夹角成且异面，11D B 1B C 1A B 60 所以与直线异面且夹角成的直线有：，，，共条， 1A B 60 1AD AC 11D B 1B C 4故选：B ．5. 如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与l αβ--60︒AB α⊂B l ∈AB l 30︒AB 平面所成的角的正弦值是（）βA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接，由三垂线定A βC βC l D AD 理可知，故为二面角的平面角为，在即可得到答案； AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒ABC 【详解】解：过点作平面的垂线，垂足为，在内过作的垂线．垂足为连接， A βC βC l D AD 由三垂线定理可知，故为二面角的平面角为 AD l ⊥ADC ∠l αβ--60︒又由已知，30ABD ∠=︒连接，则为与平面所成的角， CB ABC ∠AB β设，则，，2AD =AC =1CD =4sin 30ADAB ==︒直线与平面所成的角的正弦值． ∴AB βsin AC ABC AB∠==故选：．A6. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，，∠ABC 的平分线交AC 于点120ABC ∠=︒D ，且BD ＝1，则的最小值为（） 4a c +A. 8 B. 9C. 10D. 7【答案】B【解析】【分析】根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即111a c +=4a c +11(4)(a c a c++可求得答案.【详解】由题意得， 111sin120sin 60sin60222ac a c =+ 即，得，ac a c =+111a c+=得， 114(4)()a c a c a c +=++45c a a c =++≥5459=+=当且仅当，即时，取等号， 4c aa c=23c a ==故选：B ．7. 如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O 为底面圆心，OA ，OB 为底面半径，且∠AOB =2,3πM 是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M 到B 的路径中，最短路径的长度为（）A.B.-1C.D.+1【答案】A 【解析】【分析】画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.AB APB ∠【详解】如图为圆锥的侧面展开图，, 22133AB ππ=⨯=，则，2PA == 3AB APB PAπ∠==在中，，PMB △1,2PM PB ==则，22221221cos33MB π=+-⨯⨯⨯=M 到B 的路径中，最短路径的长.MB ∴=故选：A.8. 在锐角中，内角、、的对边分别为、、，若，则ABC A B C a b c 4cos a b C b a +=tan tan tan tan C C A B+=（）A. B.C. D.11242【答案】D 【解析】【分析】利用正、余弦定理角化边，运用同角三角函数关系切化弦，化简解出即可【详解】锐角中，ABC ， 4cos b aC a b+= 由余弦定理可得， 2222242a b a b c ab ab++-=⨯化简得：， 2222a b c +=又tan tan sin cos sin cos tan tan cos sin cos sin C C C A C BA B C A C B +=+ sin sin cos cos sin cos sin sin C B A B A C A B+= 22sin sin sin cos cos C c A B C ab c ==⋅． 22222222222c ab c ab a b c c c=⋅==+--故选：D9. 下列关于复数的四个命题，真命题的为（） z A. 若，则 B. 若，则 1R z∈z R ∈2z ∈R z R ∈C. 若，则的最大值为 D. 若，则1z i -=z 2310z -=1z =【答案】AC 【解析】【分析】利用复数的运算可判断AB 选项的正误，利用复数模长的三角不等式可判断C 选项的正误，解方程，可判断D 选项的正误.310z -=【详解】对于A 选项，设，则，(),z a bi a b R =+∈220a b +>，，则，从而， ()()222211a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -===-++-++1R z∈ 0b =z R ∈A 选项正确；对于B 选项，取，则，但，B 选项错误；z i =21z R =-∈z R ∉对于C 选项，由复数模的三角不等式可得，C 选项正确； ()2z z i i z i i =-+≤-+=对于D 选项，由，可得或，()()321110z z z z -=-++=1z =210z z ++=由，则，解得或，22131024z z z ⎛⎫++=++= ⎪⎝⎭221324z ⎛⎫⎛⎫+=-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12z =-12z =-+D 选项错误. 故选：AC.10. 已知，，分别是三个内角，，的对边，下列四个命题中正确的是（）a b c ABC A B C A. 若，则是锐角三角形 tan tan tan 0A B C ++>ABC B. 若，则是等腰直角三角形 cos cos a A b B =ABC C. 若，则是直角三角形 cos cos b C c B b +=ABC D. 若，则是等边三角形 cos cos cos a b cA B C==ABC 【答案】AD 【解析】【分析】对于A ，化简得，然后即可判断选项A 正确 0tanA tanB tanC tanAtanBtanC ++=>对于B ，通过倍角公式，化简为，然后即可判断选项B 错误22sin A sin B =对于C,通过和差公式和诱导公式即可化简出，，然后即可判断选项C 错误sin sinB A =对于D ，利用正弦定理，把化简为，即可判断选项D 正确 cos cos cos a b cA B C==tanA tanB tanC ==【详解】对于A ，，()(1)tanA tanB tan A B tanAtanB +=+- ()(1)tanA tanB tanC tan A B tanAtanB tanC++=+-+∴，()10tanC tanAtanB tanC tanAtanBtanC =--+=>又由A ，B ，C 是的内角，故内角都是锐角，故A 正确ABC ∆对于B ，若，则，则，则cos cos a A b B =sinAcosA sinBcosB =22sinAcosA sinBcosB =，则或，是等腰三角形或直角三角形,故B 错误22sin A sin B =A B =90A B ︒+=ABC ∆对于C,，，即，则cos cos b C c B b +=sinB =cos sin()sin sinBcosC sinC B B C A +=+=A B =是等腰三角形，故C 不正确ABC 对于D ，若，则，则， cos cos cos a b c A B C ==sin sin sin cos cos cos A B CA B C==tanA tanB tanC ==，即是等边三角形，故D 正确A B C ==ABC 故选：AD【点睛】本题考查倍角公式、和差公式以及正弦定理的使用，属于简单题11. 如图，正方体的棱长为1，点P 是棱上的一个动点（包含端点），则下列说法1111ABCD A B C D -1CC 不正确的是（）A. 存在点P ，使面 //DP 11AB DB. 二面角的平面角为60° 1P BB D --C. 1PB PD +D. P 到平面11AB D 【答案】BD【分析】当与点重合时，面，A 正确，二面角的平面角为，P 1C DP 11AB D 1P BB D --45CBD ∠=︒B 错误，，C 正确，当与点重合时，P 到平面D 错误，得到答11D PB PD B '≥+P C 11AB D 案.【详解】当与点重合时，，平面，不在面故面，P 1C 1DP AB ∥1AB ⊂11AB D DP 11AB D DP 11AB D A 正确；二面角即二面角，平面角为，B 错误； 1P BBD --1C BB D --45CBD ∠=︒如图所示：共线时等号成立，C 正确；111PB PD PB B PD D '++'=≥=1,,D P B '，得到平面，故，同理可得平面，设1111D B AC ⊥1111D B C C ⊥11D B ⊥11A C C 111D B AC ⊥1A C ⊥11D BA 交平面于，1AC 11D B AH 则，当与点重合时，P到平面的距离11cos AC AH AC ACA AC AC =⋅=⋅==P C 11AB D D 错误. 故选：BD.12. 已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），AB ＝3，DC ＝1，∠BAD ＝45°，DE ⊥AB .将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（）B. 点E 到平面AMC 的距离为C. EM ∥平面ACDD. 四面体ABCE 的外接球表面积为5π 【答案】BD 【解析】【分析】对选项A ，在图1中，过作，连接，易证平面，假设，C CF EB ⊥CE BC ⊥AEC BC AD ⊥得到平面，与已知条件矛盾，故A 错误；对选项B ，设点到平面的距离为，根据BC⊥AED E AMC h 求解即可；对选项C ，假设平面，从而得到平面平面，与已A BCE E ABC V V --=//EM ACD //AEB ACD 知条件矛盾，故C 错误；对选项D ，连接，易得为四面体的外接球的球心，再计算外接球MC M ABCE 表面积即可。

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题【含答案】

2022-2023学年湖北省武汉市高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．设复数满足，则（）z ()1i 2z +=z =A B ．1C D ．2【答案】C【分析】由复数相等及除法运算求复数，根据共轭复数概念及模的求法求结果即可.【详解】由题设，则.22(1i)1i1i (1i)(1i)z -===-++-1i z =+故选：C2．最接近（）sin2023A ．B ．C D 【答案】B【分析】先利用诱导公式得到，从而利用特殊角的三角函数值，判断出答案.()sin 137sin2023=-︒︒【详解】，()()0s sin 216137si in2023n 137=︒-︒=-︒︒其中为第三象限角，且当为第三象限角时，，137-︒αsin 0α<其中，又()sin 135sin 45-︒=-︒=()sin 120sin 60-︒=-︒=而较，离更近，135-︒120-︒137-︒综上，最接近sin2023故选：B3．下列说法正确的是（）A ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体B ．球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段C ．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥D ．用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台【答案】B【分析】根据几何体的结构特征逐项分析判断.【详解】对于A ：虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A 错误；对于B ：球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B 正确；对于C ：以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C 错误；对于D ：用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D 错误；故选：B.4．已知都是锐角，且，则（）a β、cos a =cos β=a β+=A ．B ．4π34πC ．或D ．或4π34π3π23π【答案】B【分析】先求，，然后求的值，根据为锐角求出的值．sin a sin βcos()a β+,a βa β+【详解】因为都是锐角，且a β、cos a =cos β=所以sin sin a βcos()cos cos sin sin a a a βββ∴+=-==又()0,a βπ+∈34a β∴+=π故选B.【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，是基础题．5．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物MN ，高约为37，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部AB m C B C N A 的仰角分别为30°和45°，在处测得楼顶部的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为（）M A MA ．64B ．74C ．52D ．91m m m m【答案】B【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从AC 30AMC ∠=︒45MAC ∠=︒ACM △MC =而得到的长度.MN 【详解】因为中，⊥，m ，，Rt ABC △AB BC 37AB =30ACB ∠=︒所以m ，274AC AB ==因为中，⊥，，Rt MNC △NC MN 45MCN ∠=︒所以，sin 45MN MC =⋅︒=由题意得：，45,1804530105MAC MCA ∠=︒∠=︒-︒-︒=︒故，1801054530AMC ∠=︒-︒-︒=︒在中，由正弦定理得：，ACM △sin sin MC ACMAC AMC =∠∠即，74sin 45sin 30MC =︒︒故，74sin 45sin 30MC ︒==︒故m74MN ==故选：B6．已知锐角，，则边上的高的取值范围为（）ABC AB =π3C =AB A ．B ．C ．D ．(]0,3()0,3(]2,3()2,3【答案】C【分析】设边上的高为，根据题意得，再结合条件得，再分析求AB h ππ62A <<π2sin 216h A ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭值域即可.【详解】因为为锐角三角形，，设边上的高为，ABC π3C =AB h所以，解得π022ππ032A A ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩ππ62A <<由正弦定理可得，，4sin sin sin a b c A B C ====所以，，因为，4sin a A =4sin b B =11πsin223S ch ab ==所以2π14sin sin 4sin sin 32h A A A AA ⎫⎛⎫==-=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭2πcos 2sin 21cos 22sin 216A A A A A A ⎛⎫=+=+-=-+ ⎪⎝⎭因为，所以，所以，ππ62A <<ππ5π2666A <-<1πsin 2126A ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭所以，所以边上的高的取值范围为.π22sin 2136A ⎛⎫<-+≤ ⎪⎝⎭AB (2,3]故选：C.7．已知向量，，满足，，，则的取值范围是（）a b c 1a = 2a b += ||3a c -= b c ⋅ A ．B ．C ．D ．[]12,6-[]12,4-[]10,6-[]10,4-【答案】A【分析】利用向量三角形不等式，求出的范围，进而求出的范围，再利用数量积的性||,||b c||||b c 质求解作答.【详解】，，而，即，解得，1a = 2a b += ||||||||||||b a a b b a -≤+≤+ |||1|2||1b b -≤≤+ 1||3b ≤≤ ，而，即，解得||3a c -=||||||||||||c a a c c a -≤-≤+ |||1|3||1c c -≤≤+ 2||4c ≤≤ 在直角坐标平面内，作，令，则，1,OA a OC a==- ,OB b OC c ==1||||2C B a b =+= ，||||3AC c a =-=于是点在以为圆心，2为半径的圆上，点在以为圆心，3为半径的圆上，如图，B 1C C A观察图形知，，当且仅当点都在直线上，且方向相反，||||||12b c b c ⋅≤≤ ,B C OA ,b c即点B 与D 重合，点C 与E 重合时取等号，即，解得，||||12b c b c -⋅≤≤ 12b c ⋅≥- 当且仅当点都在直线上，且方向相同，,B C OA ,b c若点B 与A 重合，点C 与E 重合时，，若点B 与D 重合，点C 与F 重合时，，因4b c ⋅= 6b c ⋅=此，6b c ⋅≤所以的取值范围是.b c ⋅126b c -≤⋅≤ 故选：A8．在中，有，则的最大值是（）ABC ()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- tan CA B C D 【答案】D【分析】利用余弦定理和数量积定义化简得出三角形三边，，的关系，利用基本不等式求出a b c 的最小值，显然为锐角，要使取最大值，则取最小值，从而得出的最大值，cos C C tan C cos C sin C 即可求出的最大值．tan C 【详解】因为，()()2AC AB BC CB CA AB⋅-=⋅- 所以，22AC AB AC BC CB CA CB AB ⋅-⋅=⋅-⋅ 又，，AC BC CA CB ⋅=⋅ CB AB BC BA ⋅=⋅ 所以23AC AB BC BA CB CA ⋅+⋅=⋅ 又，，，222cos 2b c a AB AC bc A +-⋅== 222cos 2a c b BA BC ab B +-⋅== 222cos 2a b c CA CB ab C +-⋅==所以，2222222223()()22b c a a b c a c b +-+-++-=即，22223a b c +=，22222221(2)3cos 2236a b a b a b c a b C ab ab b a +-++-∴===+≥当且仅当即时取等号，36a b b a=b 显然为锐角，要使取最大值，则，此时C tan C cos C sinC =所以，即．sin tan cos C C C===tan C 故选：D ．二、多选题9．若复数（i 为虚数单位），则下列结论正确的是（）20231i z =+A B ．z 的虚部为-1C ．为纯虚数D ．2z 1iz =-【答案】ABC【分析】由的幂运算的周期性可求得；根据复数模长、虚部定义、乘方运算和共轭复数定i 1i z =-义依次判断各个选项即可.【详解】，()5052023431i 1i i 1iz =+=+⋅=-对于A ，A 正确；对于B ，由虚部定义知：的虚部为，B 正确；z 1-对于C ，为纯虚数，C 正确；()221i 2iz =-=-对于D ，由共轭复数定义知：，D 错误.1i z =+故选：ABC.10．在正方体中，M 为AB 中点，N 为BC 中点，P 为线段上一动点（不含C ）过1AC 1CC M ，N ，P 的正方体的截面记为，则下列判断正确的是（）αA ．当P 为中点时，截面为六边形1CC αB ．当时，截面为五边形112CP CC <αC ．当截面为四边形时，它一定是等腰梯形αD ．设中点为Q ，三棱锥的体积为定值1DD Q PMN -【答案】AC【分析】延长交于，交于，延长交于，取的中点，连接交MN AD M 'CD N 'N P '11C D T 11A D S M S '于，连接，结合图形即可判断A ；延长交于，交于，连接1AA P '11,AC A C MN AD M 'CD N '交于，连接交于，此时截面为五边形，求出即可判断B ；当截面为1N D '1CC P 1M D '1AA P 'α1CPCC α四边形时，点与点重合，判断四边形的形状即可判断C.设为到平面的距离，P 1C 11A MNC h P QMN 三棱锥的体积：，不为定值，可判断D.Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ h 【详解】对A ，如下图所示，延长交于，交于，延长交于，取MN AD M 'CD N 'N P '11C DT 的中点，连接交于，连接，11A D S M S '1AA P '11,AC A C 因为M 为AB 中点，N 为BC 中点，所以，//MN AC 同理，又因为，所以，11//ST A C 11//AC A C //ST MN 同理，所以共面，//,//SP PN MP PT '',,,,,S T P N M P '此时六边形为截面，STPNMP 'α所以截面为六边形，故A 正确；α对B ，如下图所示，延长交于，交于，连接交于，MN AD M 'CD N '1N D '1CC P 连接交于，此时截面为五边形，1M D '1AA P 'α因为，所以，11CD C D ∕∕11CPN C PD ' ∽所以，即，11112CP CN C P C D '==113CP CC =所以当时，截面为五边形，故B错误；113CP CC ≤α对C ，当截面为四边形时，点与点重合，如图，αP 1C 由A 得，，所以四边形即为截面，11//MN A C 11A MNC α设正方体的棱长为1，则，1NC =1MA 11NC MA =所以四边形是等腰梯形，故C 正确.11A MNC 对D ，设为到平面的距离，h P QMN 延长，交于一点，连接与交于一点，MN DC E QE 1CC F 所以直线与平面相交，所以直线与平面不平行，1CC QMN 1CC QMN 三棱锥的体积：，Q PMN -13Q PMN P QMN QMN V V S h--==⋅ 因为为定值，P 为线段上一动点，所以到平面的距离不为定值，QMNS 1CC P QMN 所以三棱锥的体积为不为定值，故D 不正确.Q PMN -故选：AC.11．设、、是平面上任意三点，定义向量的运算：，其中由向量O A B ()det ,OA OB OA OB'=⋅ OA ' 以点为旋转中心逆时针旋转直角得到（若为零向量，规定也是零向量）.对平面向量、OA O OA OA 'a 、，下列说法正确的是（）b cA ．()()det ,det ,a b b a= B ．对任意，R λ∈()()det ,det ,a b b a bλ+=C ．若、为不共线向量，满足，则，a b(),yb c x a y x +=∈R ()()det ,det ,a c x a b=()()det ,det ,by c b a =D ．()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=【答案】BD【分析】利用平面向量数量积的坐标运算可判断A 选项；利用A 选项中的结论结合题中定义可判断B 选项；利用平面向量数量积的运算性质可判断C 选项；对、是否共线进行分类讨论，结合a b题中定义可判断D 选项.【详解】设向量、在平面直角坐标系中的坐标分别为，，a b()12,a a a = ()12,b b b = 设，则，()cos ,sin a r r θθ=()()21ππcos ,sin sin ,cos ,22a r r r r a a θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=++=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 同理可得，()21,b b b '=-所以，，()()()21122112det ,,,a b a b a a b b a b a b '=⋅=-⋅=-+，则，A 错；()()()21121221det ,,,b a b a b b a a a b a b '=⋅=-⋅=-+()()det ,det ,a b b a≠ 对任意的，由A 选项可知，，R λ∈0b b '⋅= 当、不共线时，，a b ()1221det ,0a b a b a b =-≠，B 对；()()()()()det ,det ,det ,det ,a b b b a b b a b b a b a a bλλλ''+=-+=-⋅+=-⋅=-=因为，所以，，xa yb c +=c b xa b yb b xa b ''''⋅=⋅+⋅=⋅ 所以，，同理可得，C 错；()()()()det ,det ,det,det ,b c c b c b x a b b a a b '⋅==='⋅()()()()det ,det ,det ,det ,c a a c y b a a b==当、不共线时，由C 选项可知，，a b ()()()()det ,det ,det ,det ,c b a c c a b a b a b =+所以，，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c c b a a c b b c a c a b=+=-- 所以，.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=任取两个向量、，对任意的实数，，m n p ()()()det ,det ,m pn m pn p m n p m n''=⋅=⋅= 当、共线时，设存在使得，且，a b k ∈R b ka = ()det ,0a b = 所以，()()()()()det ,det ,det ,det ,det ,a b c b c a c a b b c ka c kb b++=⋅+，()()()()det ,det ,det ,det ,0k b c a k c b a k b c a k b c a =+=-=综上所述，，D 对.()()()det ,det ,det ,0a b c b c a c a b ++=故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题考查平面向量中的新定义，解题的关键在于理解题中运算的含义，结合平面向量的线性运算与数量积运算逐项判断即可.12．假设，且．当时，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射(0,π)α∈π2α≠xoy α∠=xoy α-α-坐标系中，任意一点P 的斜坐标这样定义：分别为x 轴，y 轴正方向上的单位向量，若21,e e ，则记为，那么下列说法中正确的是（）12OP xe ye =+ (,)OP x y = A．设，则(,)a m n = ||a = B ．设，若//，则(,),(,)a m n b s t == a bmt ns -=C ．设，若，则(,),(,)a m n b s t == a b ⊥ ()sin 0ms nt mt ns α+++=D ．设，若与的夹角为，则(1,2),(2,1)a b =-=- ab π3π3α=【答案】ABD【分析】根据题意结合平面向量的相关运算逐项分析判断.【详解】由题意可得：，21211,11cos cos e e e e αα==⋅=⨯⨯=对于A ：若，则，(,)a m n =12a me ne =+ 可得，()2222222212112222cos a me ne m e mne e n e m n mn α=+=+⋅+=++所以，故A 正确；||a = 对于B ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 若//，则有：a b 当或时，则或，可得成立；0a = 0b =0m n ==0s t ==0mt ns -=当且时，则存在唯一实数，使得，0a ≠ 0b ≠λa b λ= 则，可得，整理得；()121212me ne se te se te λλλ+=+=+ m s n t λλ=⎧⎨=⎩0mt ns -=综上所述：若//，则，故B 正确；a b 0mt ns -=对于C ：∵，则，(,),(,)a m n b s t ==1212,a me ne b se te =+=+ 可得，()()()()2212121122cos me ne se te mse m a b t ns e e nte ms nt mt ns α+⋅+=++⋅+=+++⋅= 若，则，故C 错误；a b ⊥ ()cos 0ms nt ns a b mt α+++==⋅对于D ：∵，(1,2),(2,1)a b =-=-由选项A 可得：，|||a b ====由选项C 可得：，()()()()12211122cos 45cos a b αα-⨯-+⨯+-⨯+⨯-=-⎡⎤⎣⎦⋅=若与的夹角为，则，a bπ3πcos 3a b a b⋅=⋅即，解得，145cos 254cos αα-=-1cos 2α=∵，则，故D 正确；(0,π)α∈π3α=故选：ABD.三、填空题13．已知，则________.5π2tan 43θ⎛⎫+=-⎪⎝⎭tan θ=【答案】5-【分析】根据两角和的正切公式可求出结果.【详解】因为，5πtan tan5π4tan()5π41tan tan 4θθθ++=-⋅tan 121tan 3θθ+==--所以.tan 5θ=-故答案为：.5-14．已知，为非零不共线向量，向量与共线，则______.a b4a kb - ka b -+ k =【答案】2±【分析】依题意，可以作为平面内的一组基，则，根据平面向量基本定理a b ()4a a bkb k λ=-+-得到方程组，解得即可.【详解】因为，为非零不共线向量,所以，可以作为平面内的一组基底,a b a b又向量与共线，所以，即，4a kb - ka b -+ ()4a a b kb k λ=-+- 4k b a kb a λλ-=+- 所以，解得.4k k λλ=-⎧⎨-=⎩2k =±故答案为：2±15．如图，一个直三棱柱形容器中盛有水，且侧棱．若侧面水平放置时，液面恰好116AA =11AA B B过的中点．当底面水平放置时，液面高为__________．1111,,,AC BC A C B C ABC 【答案】12【分析】根据给定条件利用柱体体积公式求出水的实际体积，再由两种情况的放置水的体积相同求解作答.【详解】设的面积为a ，底面ABC 水平放置时，液面高为h ，ABC 侧面水平放置时，水的体积为11AA B B133161244ABC V S AA a a =⋅=⋅=当底面ABC 水平放置时，水的体积为，于是，解得，ABC V S h ah == 12ah a =12h =所以当底面水平放置时，液面高为12.ABC 故答案为：1216．在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若，ABC 2b =，点P 是的重心，且，则___________.(()cos 24sin 1A B C ++=ABCAP ==a 【答案】【分析】根据三角恒等变换可得或，利用重心的性质、模的性质及数量积得运算，可3A π=23A π=建立关于的方程，求解后利用余弦定理求a 即可.c 【详解】，(()cos 24sin 1A B C +++=(212sin 4sin 1A A ∴-+=整理得，(22sin 4sin 0A A -++=解得（舍去），sin A =sin 2A =0A π<< 或.3A π∴=23A π=又∵点P 是的重心，ABC 1,3AP AB AC →→→⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭22212||||cos 9AP AB AC AB AC A →→→⎛⎫∴=++⋅ ⎪⎝⎭，||2AP b == 整理得.24cos 240c c A +-=当时，，得，3A π=22240c c +-=4c =此时，214162242a =+-⨯⨯⨯解得；a =当时，，得，23A π=22240c c --=6c =此时，214362262a ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭解得.a =故答案为：【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，向量的数量积运算法则、性质，余弦定理，属于难题.四、解答题17．如图是一个奖杯的三视图，试根据奖杯的三视图计算：(1)求下部四棱台的侧面积；(2)求奖杯的体积．（尺寸如图，单位：，取3）cm π【答案】(1)2120cm(2)31344cm【分析】（1）根据题意直接运算求解即可；（2）根据相关体积公式分析运算.【详解】（1．5cm ==故．()2(816)522120cm 2S +⨯=+⨯=侧（2）V V V V=++球直四棱柱四棱台3441π8420[12816243323⎛⎫=+⨯⨯+⨯+⨯⨯ ⎪⎝⎭.3326406721344cm ≈++=18．已知棱长为1的正方体中．1111ABCD A B C D -（1）证明：平面；1//D A 1C BD （2）求三棱锥的体积．111B A B C -【答案】（1）证明见解析；（2）．16【分析】（1）证明，再由线面平行的判定定理证明；11//AD BC （2）根据三棱锥体积公式计算即可.【详解】证明：（1）在棱长为1的正方体中，，且 1111ABCD A B C D -11//B C A D ∴11AB C D =所以四边形为平行四边形11ABC D 11//D A BC ∴又平面，平面，1BC ⊂1C BD 1AD ⊄1C BD 平面；1//D A ∴1C BD （2）由正方体易知，三棱锥的高为，111B A B C -1BB 所以111111111111113326A B C B A B C V S BB -==⨯⨯⨯⨯=⨯=．19．已知的内角，A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，且．ABC 3()3sin 2sin sin sin a b C Bc A B --=+(1)求；cos A(2)若的面积为为内角A 的角平分线，交边于点D ，求线段长的最大值．ABC AD BC AD【答案】(1)13(2)2【分析】（1）利用正弦定理角化边以及余弦定理求解；（2）根据面积公式求得，再根据等面积得6bc =11sin sin 22ABC S b AD CAD c AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△AD =解.【详解】（1）由正弦定理，得，即，3()32a b c ba b c --=+22223c b a bc +-=故.2221cos 23232bc c b a A bc bc +-===（2）由（1）知，sin A =因为的面积为，ABC 1sin 2bc A =6bc =又因为，1,cos 23A BAD CAD A ∠=∠==所以221cos1sin sin ,sin sin 23A BAD CAD BAD CAD -∠=∠==∠=∠=于是11sin sin 22ABC S b AD CADc AD BAD =⋅⋅∠+⋅⋅∠=△那么．1122AD b c⎛⋅⋅+⋅= ⎝所以（当且仅当时等号成立）2AD =≤=b c ==故的最大值为2．AD 20．设是边长为4的正三角形，点、、四等分线段（如图所示）.ABC 1P 2P 3P BC(1)求的值；112AB AP AP AP ⋅+⋅ (2)为线段上一点，若，求实数的值；Q 1AP 19AQ mAB AC=+m (3)在边的何处时，取得最小值，并求出此最小值.P BC PA PC ⋅【答案】(1)26(2)13m =(3)在处时，取得最小值.P 3P PA PC ⋅1-【分析】（1）根据向量的线性运算和向量数量积的定义；（2）根据平面向量基本定理即可求解；（3）根据向量的数量积的定义和向量的加法即可求解.【详解】（1）∵是边长为4的正三角形，点、、四等分线段，ABC 1P 2P 3P BC ∴()()()112112AB AP AP AP AB AB BP AB BP AB BP ⋅+⋅=⋅+++⋅+ ；2211112264428AB AB BC AB BC AB BC AB AB BC BC ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+++⋅+=+⋅+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （2）设，13134444AQ AP AB AC AB AC λλλλ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭ 又，19AQ mAB AC=+根据平面向量基本定理解得；3111,4943m m λλ==⇒=（3）设，，PC tBC =[]0,1t ∈∴，()()2222168PA PC PC CA PC PC CA PC t BC CA tBC t t⋅=+⋅=+⋅=+⋅=-又，[]0,1t ∈∴当时，即在处时，取得最小值.（本题也可以建系来解题）14t =P 3P PA PC ⋅1-21．如图，某小区有一块空地，其中AB =50，AC =50，∠BAC =90°，小区物业拟在中间挖一ABC 个小池塘，E ，F 在边BC 上（E ，F 不与B ，C 重合，且E 在B ，F 之间），且.AEF △π4EAF ∠=(1)若EF 的值；BE =(2)为节省投入资金，小池塘的面积需要尽可能的小.设，试确定的值，使得AEF △EAB θ∠=θ的面积取得最小值，并求出面积的最小值.AEF △AEF △【答案】(2))12501【分析】（1）在中，利用余弦定理、正弦定理求得中，利用正弦定理EAB sin θ=ACF △结合三角恒等变换可求，即可得结果；CF （2）利用正弦定理用表示，再结合条件得到θ,AE AF AEF S△函数的性质求最值即可.【详解】（1）由题意可得BC ==设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭ππ,42FAC AFC θθ∠=-∠=+在中，由余弦定理，EAB 2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅⋅∠则，即，(222502501700AE=+-⨯⨯=AE =由正弦定理，可得sin sin BE AE EAB ABE =∠∠sin sin BE ABE EAB AE ⋅∠∠==即，可得πsin 0,4θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭cosθ==在中，ACF △πππsin sin sin cos cos sin 444FAC θθθ⎛⎫∠=-=-= ⎪⎝⎭，πsin sin cos 2AFC θθ⎛⎫∠=+==⎪⎝⎭由正弦定理，可得，sin sin CF ACFAC AFC =∠∠sin sin AC FACCF AFC⋅∠===∠故MN BC BE CF =--==故EF（2）设，则，π0,4EAB θ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭3ππ,42AEB AFC θθ∠=-∠=+由正弦定理，可得，sin sin AB AE AEB ABE =∠∠sin sin AB ABEAE AEB⋅∠===∠在中，由正弦定理，可得，ACF △sin sin AF ACACF AFC =∠∠sin sin AC ACFAF AFC⋅∠===∠故的面积AEF△11sin 22AEF S AE AF EAF =⋅⋅∠=，26251250sin cos cos sin 2cos 21θθθθθ====+++∵，∴，，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π2,444θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 214θ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭∴，当且仅当，即时，等号成)12501AEF S =≥=△πsin 214θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭π8θ=立，故面积的最小值.AEF △)1250122．已知函数，其中a 为参数.()()sin cos 3sin 27f x a x x x =+--(1)证明：，；()()π3ππ22f x f x f x f x ⎛⎫⎛⎫=-=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭x ∈R(2)设，求所有的数对，使得方程在区间内恰有2023个根.*N n ∈(),a n ()0f x =()0,πn 【答案】(1)证明见解析；(2).2023)【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式计算推理作答.（2）确定函数的周期，讨论在方程在区间上的根的情况，再结合给定2023()f x π()0f x =(0,π)个根推理计算作答.【详解】（1）依题意，(π)[|sin(π)||cos(π)|]3sin(22π)7f x a x x x +=+++-+-，(|sin ||cos |)3sin 27()a x x x f x =-+---=，πππ()[|sin()||cos()|]3sin(π2)7222f x a x x x -=-+----(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =+--=3π3π3π()[|sin()||cos()|]3sin(3π2)7222f x a x x x -=-+----，(|cos ||sin |)3sin 27()a x x x f x =-+----所以.π3π()()(π)()22f x f x f x f x =-=+=-（2）由（1）知，函数是周期函数，周期为，()f x π对于每个正整数,都有，k ππ3π(7,()10,()4244k f a f f =-=-=-若1）得在区间内若有根，则各有偶数个根，7,a a a ≠≠≠()0f x =ππ(0,),(,π)22于是方程在区间内有偶数个根，不符合题意，()0f x =(0,π)n 如果，则，且，7a =()7(|sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--π()02f =当时,，π(0,2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =23740y y -+=于是，当时，方程在内有两个根，1241,3y y ==2y =43()0f x =π(0,)2当时，，π(,π)2x ∈()7(sin cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23y +7100y -=于是，方程在内无解，因此方程在内有三个解，12101,3y y ==-()0f x =π(,π)2()0f x =(0,π)从而方程在区间内有个解，由，得；()0f x =(0,π)n 3141n n n +-=-412023n -=506n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=于是，即只有一个解，121y y ==<π4x =当时，，π(,π)2x ∈()f x x =-cos )3sin 27x x --设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=显然函数在上单调递增，，方程没有属于2()310g y y =+-(1)70g =>()0g y =的根，因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =若，a =()sin ||cos |)3sin 27f x x x x =+--当时，，π(0,2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =+--设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =+=+∈2sin 21x y =-()0f x =2340y -+=此方程无解，当时，，π(,π)2x ∈()cos )3sin 27f x x x x =---设，结合，知可化为，πsin cos )4y x x x =-=-∈2sin 21x y =-()0f x =23100y +-=于是，即只有一个解，121y y ==<3π4x =因此方程在内只有1个根，从而方程在内有个根，于是；()0f x =(0,π)()0f x =(0,π)n n 2023n =综上所述满足条件的为.(,)a n 2023)【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.。

高一数学下学期5月月考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校向明二零二零—二零二壹高一数学下学期5月月考试题〔含解析〕一.填空题22cos 1y x =-的最小正周期是______．【答案】π【解析】【分析】由二倍角的余弦函数公式化简解析式可得()cos2f x x =，根据三角函数的周期性及其求法即可得解．【详解】()()22cos 11cos21cos2f x x x x =-=+-=．∴由周期公式可得：22T ππ==．故答案为：.π【点睛】此题主要考察了二倍角的余弦函数公式的应用，考察了三角函数的周期性及其求法，属于根本知识的考察．{}n a 满足12a =，13n n a a +=，*n N ∈，那么该数列的通项公式n a =______．【答案】123n -⨯【解析】【分析】判断数列是等比数列，然后求出通项公式．【详解】数列{}n a 中，12a =，()13n n a a n N +=∈，可得数列是等比数列，等比为3，123n n a -=⨯．故答案为：123n -⨯．【点睛】此题考察等比数列的判断以及通项公式的求法，考察计算才能．3.半径为2，圆心角为π4的扇形的面积为______．【答案】π2【解析】【分析】设扇形的圆心角大小为α〔rad 〕，半径为r ，那么扇形的面积为212S r α=，由此得解．【详解】r 2=，πα4=， 2211ππS r α22242∴==⨯⨯=．故答案为：π2．【点睛】此题主要考察了扇形的面积公式的应用，属于根底题．πcos αcos α2⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么tan α=______．【答案】1【解析】【详解】解：πcos αcos α2⎛⎫-= ⎪⎝⎭，可得sin αcos α=，所以tan α1=．故答案为：1．5.实数2和8的等比中项是__________．【答案】4±【解析】所求的等比中项为：4=±. 6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，假设5a =，6b =，8c =，那么最大内角等于________〔用反三角函数值表示〕【答案】1arccos 20π- 【解析】【分析】先利用余弦定理求出cosC,再利用反三角函数求出C.【详解】由题得C 是最大角，由题得cosC=253664125620+-=-⋅⋅，所以C=1arccos 20π-. 故答案为：1arccos 20π- 【点睛】此题主要考察余弦定理解三角形和反三角函数，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.3cos 20x +=，且3[,]2x ππ∈，那么x =________ 【答案】2arccos 3π+ 【解析】【分析】由题得2cos 3x =-，再求出02x ππ≤-≤，求出2cos()3x π-=，即可求解. 【详解】由题得2cos 3x =-， 32x ππ≤≤,所以02x ππ≤-≤. 所以2cos()cos()cos 3x x x ππ-=-=-=，所以x-π=2arccos 3，所以x=2arccos3π+. 故答案为：2arccos 3π+ 【点睛】此题主要考察解三角方程和反三角函数，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题. sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，再把图像上的所有点向左平移3π个单位，最后所得图像的函数解析式为________ 【答案】1sin()26y x π=+ 【解析】【分析】直接利用三角函数的图像的变换解答得解.【详解】将函数sin y x =的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍〔纵坐标不变〕，得到1sin 2y x =，再把图像上的所有点向左平移3π个单位，最后所得图像的函数解析式为11sin +=sin()2326y x x ππ=+（）. 故答案为：1sin()26y x π=+ 【点睛】此题主要考察三角函数图像变换，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题. arcsin tan()4y x x π=+的值域是________ 【答案】[1,1]22ππ--+【解析】【分析】利用函数的单调性，结合函数的定义域求解即可．【详解】因为函数arcsin tan()4y x x π=+的定义域是[1-，1]，函数是增函数，所以函数的最小值为：12π--，最大值为：12π+．所以函数的值域为：[12π--，1]2π+．故答案为：[12π--，1]2π+．【点睛】此题考察函数的单调性以及函数的值域的求法，考察计算才能．[0,3]x π∈时，设关于x 的方程sin 2|sin |x x m +=〔m ∈R 〕根的个数为n ，那么n 的取值构成的集合为________〔用列举法表示〕【答案】{0,2,4,5,6}【解析】【分析】方程sin 2|sin |m x x =+，[0x ∈，3]π的实数根个数，即直线y m =与sin 2|sin |y x x =+，[0x ∈，3]π的交点个数，画出图象，数形结合得答案．【详解】方程的根的个数等价于直线y m =与sin 2|sin |y x x =+的交点个数，[0x ∈，3]π，由题得3sin ,[0,]sin 2sin sin ,(,2]3,(2,3]x x y x x x x sinx x πππππ∈⎧⎪=+=-∈⎨⎪∈⎩，函数的图像如下列图，可以看到交点的个数可能为0,2,4,5,6.故答案为：{0,2,4,5,6}【点睛】此题主要考察方程的根的个数问题，考察函数的图像和性质，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于中档题.{}n a 、{}n b 都是公差为1的等差数列，且115a b +=，n b +∈Z ，设n n b c a =，那么数列{}n c 的前n 项和n S =________ 【答案】1(7)2n n + 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式把n b a 转化到1(1)n a b +-，再把n b 转化11b n +-，然后由和等差数列的前n 项和可求结果．【详解】123n n b b b b S a a a a =+++⋯+(1)14(7)22n n n n n -=+=+．故答案为：1(7)2n n +．【点睛】此题主要考察等差数列通项公式和前n 项和的应用，利用分组求和法是解决此题的关键． ()2sin2f x x =的图象向右平移ϕ (0)ϕπ<<个单位后得到函数()g x 的图象，假设对满足()()124f x g x -=的1x 、2x ，有12x x -的最小值为6π，那么ϕ=______．【答案】3π或者23π 【解析】【分析】先求解()g x 的解析式，根据()()124f x g x -=可知一个获得最大值一个是最小值，不妨设()1f x 获得最大值，()2gx 获得最小值，结合三角函数的性质12x x -的最小值为6π，即可求解ϕ的值；【详解】由函数()2sin2f x x =的图象向右平移ϕ，可得()2sin(22g x x ϕ=- ) 不妨设()1f x 获得最大值，()2g x 获得最小值，1222x k ππ∴=+，232222x k πϕπ-=+，k Z ∈．可得()1222x x ϕπ-+=12x x -的最小值为6π，即126x x π-=±．得3πϕ=或者23π 故答案为：3π或者23π．【点睛】此题主要考察由函数()sin y A x ωϕ=+的解析式，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，属于中档题．二.选择题=-的局部图像是〔〕y x xcosA.B.C. D.【答案】D【解析】试题分析：由函数的表达式可以看出，函数是一个奇函数，因只用这一个特征不能确定那一个选项，故可以再引入特殊值来进展鉴别．解：设y=f〔x〕，那么f〔﹣x〕=xcosx=﹣f〔x〕，f〔x〕为奇函数；又时f 〔x 〕＜0，此时图象应在x 轴的下方故应选D ．考点：函数的图象；奇偶函数图象的对称性；余弦函数的图象．14.以下三角方程的解集错误的选项是〔〕A.方程3sin x =的解集是{|(1),}3k x x k k ππ=+-∈ZB.方程cos 2x ={|22,}x x k k π=±∈ZC.方程tan 2x =的解集是{|arctan 2,}x x k k π=-+∈Z D.方程2sin(515)30x -︒-=〔x 是锐角〕的解集是{15,27,87}︒︒︒【答案】B【解析】【分析】利用三角函数的图像和性质逐一分析得解.【详解】对于A ，3sin 0x =>，可得x 在(0,2)π的解为3π或者23π，可得3sin 2x =的解集为{|23x x k ππ=+或者223x k ππ=+，}{|(1)3k k Z x x k ππ∈==+-， }k Z ∈那么A 正确；对于B ，方程cos 21x >，方程无解，那么B 错误；对于C ，方程tan 2x =的解集为{|arctan 2x x k π=+，}{|arctan 2k Z x x k π∈==-+，}k Z ∈，那么C 正确；对于D ，方程2sin(515)30x -︒=，即3sin(515)x -︒，可得51536060x k -︒=︒+︒或者515360120x k -︒=︒+︒，k Z ∈，可得锐角15x =︒，27︒，87︒，即有解集是{15︒，27︒，87}︒，那么D 正确．应选：B ．【点睛】此题考察三角方程的解法，注意运用诱导公式和三角函数的图象和性质，考察运算才能，属于根底题．()cos(sin )f x x =，()sin(cos )g x x =，那么以下说法正确的选项是〔〕A.()f x 与()g x 的定义域都是[1,1]-B.()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C.()f x 的值域为[cos1,1]，()g x 的值域为[sin1,sin1]-D.()f x 与()g x 都不是周期函数【答案】C【解析】【分析】根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进展判断即可．【详解】A ．()f x 与()g x 的定义域都是R ，故A 错误，B ．()cos(sin())cos(sin )cos(sin )()f x x x x f x -=-=-==，那么()f x 是偶函数，故B 错误，C ．1sin 1x -，1cos 1x -，()f x ∴的值域为[cos1，1]，()g x 的值域[sin1-，sin1]，故C 正确，D ．(2)cos(sin(2))cos(sin )()f x x x f x ππ+=+==那么()f x 是周期函数，故D 错误，应选：C ．【点睛】{}n a 满足212n na p a +=〔p 为正常数，n N *∈〕，那么称{}n a 为“等方比数列〞. 甲：数列{}n a 是等方比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，那么A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】B【解析】试题分析：显然是等比数列一定是等方比数列，是等方比数列不一定是等比数列，故甲是乙的必要不充分条件，选B.考点：充要条件.三.解答题{}n a 满足12a =，112n n a a +=-〔*n ∈N 〕，令11n n b a =-. 〔1〕求证：数列{}n b 是等差数列；〔2〕求数列{}n a 的通项公式.【答案】〔1〕证明略；〔2〕11na n=+〔*n ∈N 〕. 【解析】【分析】〔1〕利用等差数列的定义证明数列{}n b 是等差数列；〔2〕先求出数列{}n b 的通项，再求数列{}n a 的通项公式. 【详解】〔1〕+111111111121n n n n n n b a a a a b +=-=------- =11=1111n n n n n a a a a a --=---是一个常数，所以数列{}n b 是等差数列. 〔2〕由题得11=121b =-，数列{}n b 是公差为1的等差数列，所以111(1),11nn n b n n a a n=+-==∴=+-. 【点睛】此题主要考察等差数列性质的证明，考察等差数列的通项的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.18.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足222a c b +=.〔1〕求角B 的大小；〔2〕假设b =，求△ABC 的面积S 最大值及获得最大值时角A 的大小.【答案】〔1〕6B π=；〔2〕当512A π=时，△ABC 的面积S 最大值14. 【解析】【分析】〔1〕由利用余弦定理可得cos 2B =，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．〔2〕由余弦定理，根本不等式可求得：1ac ，当且仅当1a c ==时等号成立，此时，5212BA ππ-==，进而根据三角形的面积公式即可得解．【详解】〔1〕由题得222,2cos ,cos a c b ac B B +-=∴=∴=因为0,6B B ππ<<∴=.(2)6B π=，b =，∴由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，可得：222a c =+，∴可得：22223a c ac =+-，可得：1ac ，当且仅当1a c ==时等号成立，此时，5212BA ππ-==， 1111sin 12224ABC S ac B ∆∴=⨯⨯=，即ABC ∆的面积S 的最大值为14，获得最大值时角A 的大小为512π．【点睛】此题主要考察了余弦定理，根本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，属于根底题．在海岛北偏东，，相距20海里，物体甲从海岛以海里/小时的速度沿直线向海岛挪动，同时物体乙从海岛沿着海岛北偏西方向以海里/小时的速度挪动．〔1〕问经过多长时间是，物体甲在物体乙的正向；〔2〕求甲从海岛到达海岛的过程中，甲、乙两物体的最短间隔．【答案】〔1〕203-〔22021海里．【解析】【详解】试题分析：〔1〕设经过t 小时，物体甲在物体乙的正向，因为2054=小时，所以05t <<．那么物体甲与海岛A 的间隔为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 间隔为4AF t =海里．在AEF ∆中由正弦定理可求得t 的值．〔2〕在AEF ∆中用余弦定理求EF ，再根据二次函数求EF 的最小值．试题解析：解：〔1〕设经过t(05)t <<小时，物体甲在物体乙的正向．如下列图，物体甲与海岛A 的间隔为102AE t =-海里，物体乙与海岛A 间隔为4AF t =海里，60,75,45EAF AFE AEF ∠=︒∠=︒∠=︒，AEF ∆中，由正弦定理得：sin sin AE AFAFE AEF=∠∠，即2024sin 75sin 45t t-=︒︒，那么203t=-〔2〕由〔1〕题设，202AE t =-，4AF t =，由余弦定理得：228160400,t t =-+∵05t <<，∴当207t=时，min EF =海里．考点：1正弦定理；2余弦定理；3二次函数求最值．22()sin(2)2sin ()34f x x x ππωω=+--，0>ω. 〔1〕当12ω=时，求函数()f x 的单调递增区间；〔2〕对于(,]x a a π∈+，a 为任意实数，关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，务实数ω的值；〔3〕在〔2〕的条件下，假设不等式|()|1f x t +<在[0,]3x π∈恒成立，务实数t 的取值范围.【答案】〔1〕5[2,2]66k k ππππ-+，k ∈Z ；〔2〕1ω=；〔3〕(0,1)t ∈. 【解析】【分析】〔1〕利用和与差公式化简，结合正弦函数的图象及性质即可求解函数()f x 的单调递增区间；〔2〕根据(x a ∈，]a π+，求解内层函数的范围，结合()1f x =-恰好有两个不等实根，即可求解实数ω的值；〔3〕根据〔2〕中ω的值；可得()f x 解析式，[0x ∈，]3π上，求解()f x 的值域，不等式|()|1f x t +<成立，即可求解实数t 的取值范围．【详解】(1)2222()sin(2)2sin ()sin 2cos cos2sin 1cos(2)34332f x x x x x x πππππωωωωω=+--=+-+- 〔1〕当12ω=时，可得函数()sin()13f x x π=+-令22232k x k πππππ-++，得52266k x k ππππ-+∴函数()f x 的单调递增区间为5[26k ππ-，2]6k ππ+，k Z ∈．〔2〕当(x a ∈，]a π+时，()sin(2)13f x x πω=+-，其周期22T ππωω== 关于x 的方程()1f x =-恰好有两个不等实根，即()0f x =恰好有两个不等实根，可得1ω=；〔3〕根据〔2〕中1ω=；可得()sin(2)13f x x π=+-[0x ∈，]3π，2[33x ππ∴+∈，]π，那么()f x 的值域为[1-，0] 不等式|()|1f x t +<成立，即1()1t f x t --<<- 此时(0,1)t ∈【点睛】此题主要考察了函数恒成立问题的求解，三角函数的化简以及转化思想的应用，函数闭区间上的最值应用．。

江苏省南京市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

高一下五月月考卷一､选择题（共8小题，每题5分，共40分）1. 若（－1＋i ）z ＝3＋i ，则|z |＝（）A. B. 8C.D. 5【答案】C 【解析】【分析】根据复数的乘、除法运算求出，结合复数的几何意义计算即可. 2i z =-+【详解】由题意知，， ()()(3i)1i 3i 12i 1i 1i (1i)z +--+===---+-+--所以z ==故选：C2. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且A B C ''' ABC D ¢B C ''A D y '''∥轴，轴，，，那么（）B C x '''∥2A D ''=2B C ''=A. 的长度大于的长度B. 的面积为2 AD AC A B C '''C. 的面积为4D. ABC π4ABC ∠=【答案】C 【解析】【分析】结合斜二测画法的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.【详解】依题意是的中点，且轴，轴，，， D ¢B C ''A D y '''∥B C x '''∥2A D ''=2B C ''=三角形中，， A D C '''π4A D C '''=∠三角形中，，，，ADC π2ADC ∠=24''==AD A D 1CD =AC ==，所以A 选项错误.AD AC <，C 选项正确.12442ABC S =⨯⨯=，B 选项错误.1π221sin 24A B C S '''⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭ 由于，所以三角形不是等腰直角三角形，所以D 选项错误. π,1,4,2ADB BD AD BD AD ∠===≠ABC 故选：C3. 已知两个非零向量，的夹角为，且，则（）a b 60︒(2)a a b ⊥-2ab a b+=- A. 3 B.C. 2D.【答案】B 【解析】【分析】根据已知条件，结合数量积的运算律可推得.进而根据数量积的运算律求出ab =，即可得出答案.2a b += b a =【详解】由已知可得，即， (2)0a a b ⋅-=2222cos 600a a b a a b -⋅=-︒= 所以，.a b =所以，2a b +=，a b a -==所以，.2a ba b +=-故选：B.4. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）,αβ,l mA. 若，则 ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m ⊥B. 若，则 ,l l αβ⊥⊥//αβC. 若，则,m βαβ⊥⊥//m αD. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则 //αβl αm β//l m 【答案】B 【解析】【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A 选项，若，则与可能平行，所以A 选项错误. ,,l m αβαβ⊥⊂⊂l m B 选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B 选项正确. C 选项，若，则可能含于，所以C 选项错误.,m βαβ⊥⊥m αD 选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交， //αβl αm βl m 故选：B5. 如图，是圆柱的轴截面，，点在底面圆周上，且是的中点，则异面直线ABCD 32AB AD =E AB AE 与所成角的正切值为（）BDA.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接，取中点为，中点为，记中点为，连接，，，BE AD M BE F AB O OM OF MF AF，根据题意，得到为异面直线与所成的角或所成角的补角，设，由题中条件，∠MOF AE BD 3AD =求出，，，求出异面直线与所成角的余弦值，进而可求出正切值.OM OF MF AE BD【详解】连接，取中点为，中点为，记中点为， BE AD M BE F AB O 连接，，，，OM OF MF AF则且，且， //OM BD 12OM BD =//OF AE 12OF AE =则为异面直线与所成的角或所成角的补角，∠MOF AE BD 因为是圆柱的轴截面，所以四边形为矩形，且底面； ABCD ABCD AD ⊥设，由得，则3AD =32AB AD =2AB =BD ==因为点在底面圆周上，且是的中点，则为等腰直角三角形，E AB AEB △所以，因此，BE AE AB ===AF ===则MF ===又，12OM BD ==12OF AE ==设异面直线与所成的角为，AE BD θ则，cos cos θ=∠=则， sin θ==因此tan θ====故选：A.【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，根据异面直线的概念求解即可，属于常考题型.6. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶璃所围成圆的直径是8cm ，底部所围成圆的直径是，据此可估算球托之外羽毛球所在曲面的展开图的圆心角为（）6cm 2cmA.B.C.D.2π33π4π2π3【答案】C 【解析】【分析】由已知得出圆台的半径以及母线长，将圆台还原为圆锥，根据相似关系得出.进而根据圆锥4x =的侧面展开图，即可求出答案.【详解】由已知可得，圆台的母线长为8，下底面圆的半径为1，上底面圆的半径为3，将圆台补成圆锥，如图1所示：则羽毛所在曲面的面积为大､小圆锥的侧面积之差，设小圆锥母线长为，则大圆锥母线长为， x 8x +由相似得，解得. 286x x =+4x =将该圆锥展开得到扇形如图2则小圆锥的半径，的长为， 4OA = AB 2π12π⨯=所以估算球托之外羽毛所在的曲面展开图圆心角为. 2ππ42α==故选：C.7. 将顶点在原点，始边为轴非负半轴的锐角的终边绕原点逆时针转过后，交单位圆于点x απ3，则的值为（）3,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭πsin 2α⎛⎫+ ⎪⎝⎭A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由已知可得，根据角的范围，可知.然后根据三角函数的定义得出角的45y =±α45y =π3α+三角函数值.进而根据诱导公式，以及两角差的余弦公式，即可得出答案.【详解】由已知可得，解得.22315y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭45y =±因为锐角，则，所以.0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ5π,336α⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭45y =根据三角函数的定义可得，，， π3cos 35α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭π4sin 35α⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以. πππsin cos cos 233ααα⎛⎫⎛⎫+==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππcos cos sin sin 3333αα⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：A.8. 已知锐角三角形中，角所对的边分别为的面积为，且ABC ,,A B C ,,,a b c ABC S ，若，则的取值范围是（）()22sin 2bc B S -⋅=a kc =kA. B. C. D.()1,2()0,3()1,3()0,2【答案】A 【解析】【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到，结合正弦定理得到，由2cos c a c B =-2B C =为锐角三角形，求出，从而求出，求出的取值范ABC ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭k 围.【详解】因为，所以， 1sin 2S ac B =()22sin 2sin b c B S ac B -⋅==即，22b c ac -=所以， 2222cos ac c a c ac B +=+-整理得：， 22cos ac a ac B =-因为，0a >所以，2cos c a c B =-由正弦定理得：， sin sin 2sin cos C A C B =-因为， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+所以， ()sin sin cos cos sin sin C B C B C B C =-=-因为为锐角三角形， ABC 所以为锐角，B C -所以，即，C B C =-2B C =由，解得：，π0,2π0,22ππ0,22B B C B A B ⎧⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=∈⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=--∈⎪ ⎪⎝⎭⎩ππ,32B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭因为， a kc =所以， 111cos 0,2222a c B k c -⎛⎫==-∈ ⎪⎝⎭解得：， ()1,2k ∈故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.二､多选题（共4小题，每题5分，共20分）9. 已知i 为虚数单位，下列说法中正确的是（）A. 若复数满足，则复数对应的点在以z |i |z -=z (1,0)B. 若复数满足，则复数 z ||28i z z +=+158i z =-+C. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =1122z z z z ⋅=⋅D. 若复数，满足，则1z 2z 12||||z z =2212z z =【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，结合复数的几何意义，即可求解，对于B ，结合复数模公式，以及复数相等的条件，即可求解，对于C ，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解，对于D ，合特殊值法，即可求解．【详解】解：对于A ，复数满足，则复数对应的点在以为半径的圆z |i |z -=z (0,1)上，故A 错误，对于B ，令，，，i z a b =+aR b ∈，||28i +=+ z z ，即，解得，∴||i 28i +=+=+z z a b 28a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩158a b =-⎧⎨=⎩，故B 正确，158i ∴=-+z 对于C ，，，2111||z z z ⋅=2222||z z z ⋅=，12||||z z = 则，故C 正确，∴1122z z z z ⋅=⋅对于D ，令，，满足，但，故D 错误．11z =2i z =12||||z z =2212z z ≠故选：BC ．10. 已知向量，在向量上的投影向量为，则（）()4,3a =r a b()2,4c =rA.a b c b ⋅=⋅B. 与方向相同的单位向量为或 b⎛ ⎝C. 的最小值为0()b b a ⋅-D.的最小值为a b -r r【答案】ABD 【解析】【分析】根据已知条件可知，设，利用数量积的坐标表示可判断A ；由的坐标//b c ()2,4b c λλλ== b可求与方向相同的单位向量可判断B ，利用数量积的坐标运算求的最小值可判断C ；计算b()b b a ⋅- 的最小值，进而可得的最小值可判断D ，进而可得正确选项.2a b -r r a b -r r 【详解】由投影向量的定义可知：，可知，设cos ,b c a a b b=⋅//b c ()2,4b c λλλ== 对于A ：，，所以，423420a b λλλ⋅=⨯+⨯= 224420c b λλλ⋅=⨯+⨯= a b c b ⋅=⋅故选项A 正确；对于B ：由于方向相同的单位向量为b ==b 即或故选项B 正确；))2,42,4bb λλ==⎛ ⎝对于C ：因为，所以()24,43b a λλ-=--()()()22122444*********b b a λλλλλλλ⎛⎫⋅-=-+-=-=-- ⎪⎝⎭r r r 所以当时，的最小值为，故选项C 不正确；12λ=()b b a ⋅- 5-对于D ：因为()42,34a b λλ-=-- ()()22224234204025a b λλλλ--+=-=-+ ，所以当时，的最小值为D 正确，()22015λ=-+1λ=a b -r r故选：ABD.11. 已知函数，则下列结论正确的是（） ()h x =A. 在上单调递增()h x π[0,3B. 的图象的一条对称轴方程为 ()h x π2x =C. 的最小正周期为 ()h x π2D. 的最大值为()h x 342【答案】BCD 【解析】【分析】计算与的值判断A ；计算判断B ；计算判断C ；化函数为π(6h π()3h (π)()h x h x --π()2h x +，再求出最大值判断D 作答.()h x =【详解】函数， ()h x =对于A ，当时，，则在上不单调，A 错误； π[0,3x ∈ππ()(63h h ==()h x π[0,3对于B ，， (π)()0h x h x --=-=于是的图象的一条对称轴方程为，B 正确； ()h x π2x =对于C ，， π()()2h x f x +==+=显然不存在比小的正常数，使得恒成立，于是的最小正周期为，C 正确； π2a ()()h a x h x +=()h x π2对于D ，，()h x ==令，则函数在上单调递增，当时，，|sin 2|[0,1]t x =∈y =[0,1]1t =34max 2y ==所以当，即时，取得最大值.|sin 2|1x =ππ(Z)42k x k =+∈()h x 342故选：BCD12. 如图，在边长为2的正方形中，E ，F 分别是的中点，D 是EF 的中点，将123SG G G 1223G G G G , 分别沿SE ，SF 折起，使两点重合于G ，下列说法正确的是（）13SG E SG F ， 13,G GA. 若把沿着EF 继续折起，与G 恰好重合2G EF 2G B.SG EF ⊥C. 四面体S GEF -D. 点G 在面SEF 上的射影为△SEF 的重心【答案】ABC【解析】【分析】根据，可说明与G 恰好重合，判断A ;根据线面垂直的性质定理可22GE GF G E G F ===2G 判断B ;将四面体补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C ;根据线面S GEF -垂直证明线线垂直，说明点G 在面SEF 上的射影为三角形的高的交点，判断D .【详解】对于A ，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，22GE GF G E G F ===2G EF EF 2G G 正确；A 对于B ,因为,D 是EF 的中点，故;GE GF =GD EF ⊥又，故平面GEF,,,SG GE SG GF GE GF G ⊥⊥= SG ⊥而平面GEF,故,又平面SGD ,EF ⊂SG EF ⊥,,SG GD G SG GD =⊂ 所以平面，平面,所以正确；EF ⊥SDG SG ⊂SDG ,B SG EF ⊥对于，由翻折的性质可知，两两垂直，C ,,GE GF GS 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同，其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， l ==R =故外接球的体积为，故正确； 34π3V =⋅=C 对于D ，因为两两互相垂直，故平面GEF ,则,,,GE GF GS SG ⊥SG EF ⊥设P 为点G 在平面SEF 上的射影，连接EP,SP ,则 ,GP EF ⊥而平面SGP ,故平面SGP, 平面SGP,,,SG GP G SG GP =⊂ EF ⊥SP ⊂故，同理可证,即点P 为三角形高线的交点，EF SP ⊥SF EP ⊥SEF 所以点在平面上的射影为的垂心，故D 错误，G SEF SEF 综上，正确答案为ABC ，故选：ABC三､填空题（共4小题，每题5分，共20分）13. 如图，二面角等于，A 、是棱l 上两点，BD 、AC 分别在半平面、内，，l αβ--120︒B αβAC l ⊥，且，则CD 的长等于________.BD l ⊥2AB AC BD ===【答案】4【解析】【分析】根据二面角的定义，结合空间向量加法运算性质、空间向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】由二面角的平面角的定义知，,120BD AC =︒ ∴，cos ,22cos1202BD AC BD AC BD AC ⋅==⨯⨯︒=- 由，，得，，又， AC l ⊥BD l ⊥0AC BA ⋅= 0BD BA ⋅= DC DB BA AC =++∴()22222222DC DB BA ACDB BA AC DB BA DB AC BA AC =++=+++⋅+⋅+⋅ ， ()2222222122216BD AC =++-⋅=-⨯-= 所以，即.4DC = 4CD =故答案为：4.14. 已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为,a b 3πc (2)()0c a c b -⋅-= ||c _________．【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算性质和定义，结合平面向量数量积不等式进行求解即可, 【详解】，2(2)()0(2)20c a c b c c a b a b -⋅-=⇒⋅++⋅= -因为均为单位向量，且夹角为， ,a b 3π所以有， 221(2)2110(2)12c c a b c a b c ⋅++⨯⨯⨯=⇒⋅+=+ -， (2)2c a b c a ⋅+≤⋅即，(2)c a b ⋅+≤ 2(2)1c a b c ⋅+=+所以有， 21c c +≤≤≤因此， ||c15. 如图，直三棱柱的上､下底面为等腰直角三角形，，，111ABC A B C -AB AC ==90BAC ∠=︒侧棱长为4，为线段上的动点，则当二面角的正切值为4时，三棱锥的外P 11A B A BC P --11A A C P -接球的体积为__________.【答案】【解析】【分析】根据已知条件，作，交于，过作，连接，即可得出1//PM AA AB M M MN BC ⊥PC 二面角的平面角，进而根据已知得出的位置.根据三棱锥的性质，将三棱锥补为长PNM ∠A BC P --P 方体，求出长方体的体对角线的长，即可得出半径，根据体积公式，即可得出答案. 【详解】如图作，交于，则，过作，连接. 1//PM AA AB M 14PM AA ==M MNBC ⊥,PC PN 因为平面，所以平面，1AA ⊥ABC PM ⊥ABC 则二面角的平面角.PNM ∠A BC P --因为，二面角的正切值为4，A BC P --所以， 4PM MN=所以，，1MN =MB =所以，AM =1A P =可把三棱锥补成棱长为4的长方体，11A A C P -则三棱锥的外接球的半径为11A A C P -R ==所以，三棱锥的外接球的体积为. 11A A C P -34π3=故答案为：.16. 在中，若，，则的周长的最大值为ABC ∆3AC =11112sin tan sin tan B B A A+=++ABC __________.【答案】6+6+【解析】【分析】根据已知切化弦，整理可得.由正弦定理角化边，整sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++理可得.然后即可根据角的范围得出答案. π314a c A ⎡⎤⎛⎫+=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦【详解】由可得， 11112sin tan sin tan B B A A +=++1cos 1cos 2sin sin sin sin B A B B A A+=++两边同乘得，.sin sin A B sin sin cos sin sin cos 2sin sin A A B B B A A B +=++两边同加得，， sin cos B A sin sin cos sin cos sin 2sin cos 2sin sin A A B B A B B A A B ++=++即.sin sin()sin 2sin cos 2sin sin A A B B B A A B ++=++又，sin()sin(π)sin A B C C +=-=则.sin sin sin (12cos 2sin )A C B A A +=++设角，，对应的边分别为，，，且，A B C a b c 3b =由正弦定理角化边可得.π(12cos 2sin )314a c b A A A ⎡⎤⎛⎫+=++=++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以，时，取得最大值，此时周长最大值为π4A =a c +3+336++=+故答案为：6+四､解答题（共6小题，共70分）17.已知的角、、所对的边分别是、、，设向量，ABC ∆A B C a b c (,)m a b = (sin ,n B = ，.sin )A (2,2)p b a =-- （1）若，求证：为等腰三角形；//m n ABC ∆（2）若，边长，角，求的面积. m p ⊥ 2c =π3C =ABC ∆【答案】（1）见解析（2【解析】【详解】⑴因为，所以，即,其中是的外接圆半径，所以sin sin a A b B =··22a ba b R R =R ABC ∆，所以为等腰三角形.a b =ABC ∆⑵因为，所以.m p ⊥ ()()220a b b a -+-=由余弦定理可知，，即()22243a b ab a b ab =+-=+-()2340ab ab --=解方程得：（舍去） 4ab =1ab =-所以. 11sin 4sin 223S ab C π==⨯⨯= 18. 如图，三棱柱中，E 为中点，F 为中点．111ABC A B C -1BC 1AA（1）求证：平面ABC ；EF ∥（2）若平面，求证：平面ABC ．1EF BB AC ⊥⊥，11ABB A 1BB ⊥【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取BC 中点M ，连接AM ，EM ，证明四边形EFAM 为平行四边形，可得，再根EF AM ∥据线面平行的判定定理即可得证；（2）易得，根据线面垂直的性质可得，再根据线面垂直的判定定理即可得证.1BB AM ⊥1BB AC ⊥【小问1详解】证明：取BC 中点M ，连接AM ，EM ，因为中，E 为中点，M 为BC 中点，1BCC 1BC 所以且， 112EM CC =1EM CC ∥三棱柱中，且，111ABC A B C -11AA CC =11AA CC ∥因为F 为中点，1AA 所以且，ME AF =ME AF ∥所以四边形EFAM 为平行四边形，所以，EF AM ∥又因为平面ABC ，平面ABC ，AM ⊂EF ⊄所以平面ABC ； EF ∥【小问2详解】证明：因为，由（1）知，所以，1EF BB ⊥EF AM ∥1BB AM ⊥因为平面平面，所以，AC ⊥111,ABB A BB ⊂11ABB A 1BB AC ⊥又因为，平面ABC ，AM AC A = ,AM AC ⊂所以平面ABC ．1BB ⊥19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段P ABCD -ABCD PD ⊥,ABCD PD AD =M 上的动点，为线段的中点.PC N BC（1）若为线段的中点，证明：平面平面； M PC PBC⊥MND （2）若平面，试确定点的位置，并说明理由.PA MND M 【答案】（1）证明见解析（2）点为线段的三等分点，且靠近点处，理由见解析M PC C 【解析】【分析】（1）根据题意结合线面垂直的性质、判定定理可证平面，进而证明结果；（2）利DM⊥PBC 用线面平行的性质定理理解分析．【小问1详解】因为底面为正方形，，所以.ABCD PD AD =,PD CD BC CD =⊥因为为线段中点，所以在平面中，. M PC PCD DM PC ⊥因为底面底面，所以. PD ⊥,ABCD BC⊂ ABCD PD BC ⊥又平面平面，,,BC CD PD CD D PD ⊥⋂=⊂,PCD CD ⊂PCD 所以平面.BC ⊥PCD 因为平面，所以. DM⊂PCD BC DM ⊥又平面平面，,,DM PC PC BC C PC ⊥⋂=⊂,PBC BC ⊂PBC 所以平面. DM⊥PBC 因为平面，所以平面平面.DM ⊂MND PBC ⊥MND 【小问2详解】如图，连接，交于点，连接.AC DN O OM 因为在正方形中，为线段中点，ABCD N BC ，所以，即. AD BC ∥12CO CN AO AD ==2AO CO =因为平面平面，平面平面，PA ,MND PA ⊂PAC PAC MND OM =所以， PA OM ∥所以，即， 12CM CO MP OA ==12CM MP =所以点为线段的三等分点，且靠近点处.M PC C20. 在中，已知．ABC 3AB AC BA BC ⋅=⋅ （1）求证：；tan 3tan B A =（2）若，求A 的值． cos C =【答案】（1）见解析；（2）． 4π【解析】【分析】【详解】试题解析：(1)∵,∴, 3AB AC BA BC ⋅=⋅u u u r u u u r u u r u u u rcos =3cos AB AC A BA BC B即.cos =3cos AC A BC B 由正弦定理,得,∴. =sin sin AC BC B Asin cos =3sin cos B A A B 又∵,∴.∴即. 0A B π<+<cos 0,cos 0>>A B sin sin =3cos cos B A B A⋅tan 3tan B A =(2)∵,∴.∴. cos 0C <C <πsin C =tan 2C =∴,即.∴. ()tan 2A B π⎡-+⎤=⎣⎦()tan 2A B +=-tan tan 21tan tan A B A B+=-- 由 (1) ,得,解得. 24tan 213tan A A =--1tan =1 tan =3A A -，∵,∴.∴.cos 0A >tan =1A =4A π考点：（1）向量的数量积的定义与正弦定理；（2）已知三角函数值，求角.21. 如图，我市有一条从正南方向通过市中心后向北偏东的方向的公路，现要修建一条地OA O 60︒OB 铁，在､上各设一站，，地铁线在部分为直线段，现要求市中心到的距离为L OA OB A B AB O AB .6km（1）若，求，之间的距离；10km OA =O B （2）求，之间距离最小值.A B【答案】（1（2）【解析】【分析】（1）过作于点，根据勾股定理求得，进而得出，O OE AB ⊥E 8AE =4cos 5OAE ∠=.根据两角差的正弦公式得出.由正弦定理，即可得出答案； 3sin 5OAE ∠=sin OBE ∠=（2）设，，根据已知表示出，得出.AOE α∠=0120α︒<<︒,AE BE 6tan 6tan(120)AB αα=+︒-化简即可得出，然后根据的范围，即可得出最大值时的取值，代入即可11sin(230)24AB α=-︒-αα得出答案.【小问1详解】过作于点，如图所示：O OE AB ⊥E市中心到的距离为，即.O AB 6km 6OE =因为，所以， 10OA=8AE ==所以，. 4cos 5OAE ∠=3sin 5OAE ∠=又，60OBE OAE ∠=︒-∠则sin sin(60)OBE OAE ∠=︒-∠sin 60cos cos 60sin OAE OAE =︒∠-︒∠=在中，由正弦定理得， AOB sin sin OA OB OBE OAE =∠∠35OB =解得，OB =故，. O B 【小问2详解】由已知可得，，120AOB ∠=︒设，，则，， AOE α∠=0120α︒<<︒6tan AE α=6tan(120)BE α=︒-所以，6tan 6tan(120)AB αα=+︒-[]6tan1201tan tan(120)αα=︒-︒-sin sin(120)1cos cos(120)αααα⎡⎤︒-=--⋅⎢⎥︒-⎣⎦.cos120cos cos(120)αα︒=-=︒-又， cos cos(120)αα︒-cos (cos120cos sin120sin )ααα=︒+︒11sin(230)24α=-︒-，0120α︒<<︒所以，，30230210α︒︒-︒<-<所以，当时，的最大值为， 60α=︒11cos cos(120)sin(230)24ααα︒-=-︒-111244-=所以，，AB 14=故，之间距离最小值为.A B 22.如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正ABCDE ACD ⊥ABC BE ⊥ABC ABC ACD 三角形，，.4AC =BE =（1）在线段上是否存在点F ，使得平面?说明理由；AC BF ∥ADE （2）求平面与平面所成的锐二面角的正切值.CDE ABC 【答案】（1）存在，理由见解析（2 【解析】【分析】（1）记中点为M ，连结，根据线面平行的判定定理即可得出结论；AC DM （2）连结，过点B 作的垂线，连结，作出平面与平面所成的二面角的平面角，CG CG EH CDE ABC 解三角形，即可求得答案.【小问1详解】记中点为M ，连结，为正三角形，,AC DM ACD 4AC =则，且DM AC ⊥DM =因为平面平面，平面平面，平面ACD , ACD ⊥ABC ACD ABC AC =DM⊂所以平面，又因为平面，DM ⊥ABC BE ⊥ABC 所以.DM BE ∥延长交于点G ，则为平面与平面的交线，,MB DE AG ADE ABC因为，故，所以B 为的中点，BE =2DM BE =MG 取中点F ，连结，则，因为平面，平面， AM BF BF AG ∥AG ⊂ADE BF ⊄ADE 所以平面.BF ∥ADE 即线段上存在点F ，当时，平面. AC 14AF AC = BF ∥ADE 【小问2详解】连结，则为平面与平面的交线，CG CG CDE ABC 在平面内，过点B 作的垂线，垂足为H .ABC CG 连结，因为平面，平面，故,EH BE ⊥ABC CG ⊂ABC BE CG ⊥平面，故平面，,,BE BH B BE BH =⊂ BEH CG ⊥BEH 平面，故,EH ⊂BEH CG EH ⊥则为平面与平面所成的二面角的平面角.BHE ∠CDE ABC为正三角形，，故,ABC 4AC =BM =BG BM ==且,30,150MBC GBC ∠=∴∠=故在中，， GBC 2222cos 121624(52GC BG BC BG BC GBC =+-⋅∠=+-⨯⨯=故，而， CG =1sin1502BGC S BC BG =⨯⨯=故,又因为 2BGC BH CG S == 12BE DM ==所以， tan BE BHE BH ∠==即平面与平面. CDE ABC。

山西省太原市高一下学期5月月考数学试题(解析版)

太原五中2022-2023学年度第二学期月考高一数学一、单选题（本大题共8小题，共32.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知复数z 在复平面内对应的点为，是z 的共轭复数，则（）()1,2z z z =A. B. C.D.34i 55-+34i 55--34i 55+34i 55-【答案】A 【解析】【分析】根据给定条件，求出复数及，再利用复数除法运算求解作答. z z 【详解】依题意，，则， 12z i =+12i z =-所以.12i (12i)(12i)34i 34i 12i (12i)(12i)555z z +++-+====-+--+故选：A2. 设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的条件是（） a b a b a b=A.B. C.D. 且a b =- //a b2a b = //a b a b = 【答案】C【解析】【详解】若使成立，则选项中只有C 能保证，故选Ca ba b=[点评]本题考查的是向量相等条件模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量，其模为0且方向任意.3. 在空间中，下列条件中不能推出四边形ABCD 为平行四边形的是（） A. 一组对边平行且相等 B. 两组对边分别相等 C. 两组对边分别平行 D. 对角线相互平分【答案】B 【解析】【分析】先根据过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，再由平行四边形的判定定理可判断ACD ；由空间四边形概念可判断B.【详解】因为过两平行直线或相交直线有且只有一个平面，所以ACD 选项中四边形为平面图形，再由平行四边形的判定定理可知ACD 中的四边形为平行四边形；由空间四边形的概念可知B 错误. 故选：B4. 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为（） A. 7 B. 6C. 5D. 3【答案】A 【解析】【分析】设圆台上底面半径为，由圆台侧面积公式列出方程，求解即可得解. r 【详解】设圆台上底面半径为，由题意下底面半径为，母线长， r 3r 3l =所以，解得. ()384S r r l ππ=+=侧7r =故选：A.【点睛】本题考查了圆台侧面积公式的应用，属于基础题.5. 设，，为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题： αβγ①若，，则；l α⊥m l ⊥m α⊥②若，，，，则； m α⊂n ⊂α//m β//n β//αβ③若，，则；//αβl ⊂α//l β④若，，，，则.其中真命题的个数是（）l αβ= m βγ= n γα=I //l γ//m n A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据线面垂直的性质可判断①；根据面面平行的判定定理可判断②；根据面面平行的性质定理可判断③；根据线面平行的性质定理可判断④，即可得到答案.【详解】对于①，若，，则或，故①错误， l α⊥m l ⊥m α∥m α⊂对于②，若，，，，由于m ，n 不一定相交， m α⊂n ⊂α//m β//n β故不一定成立，故②错误，αβ∥对于③，若，，αβ∥l ⊂α由面面平行的性质定理，可得，故③正确， l β∥对于④，若，，，，l αβ= m βγ= n γα=I l γ∥则由于，，，故，同理得，l ⊂αn γα=I l γ∥l n ∥l m ∥故，故④正确. m n ∥所以③④正确，故选：B.6. 沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图）.在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的.已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时10分钟.那么经过5分钟后，沙漏上方圆锥中的沙子的高度与下方圆锥中的沙子的高度之比是（假定沙堆的底面是水平的）A. B.C.D.1:2)1:1+)1:1-【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，把高度比转化为体积比.【详解】由于时间刚好是5分钟，是总时间的一半，而沙子漏下来的速度是恒定的，所以漏下来的沙子是全部沙子的一半，下方圆锥的空白部分就是上方圆锥中的沙子部分，所以可以单独研究下方圆锥，下方圆锥被沙子的上表面分成体积相等的两部分，所以，所以，所以. 312V h V h ⎛⎫== ⎪⎝⎭上上全全h h 上全h h 上下故选D【点睛】本题考查几何体的体积问题的应用，考察空间想象能力和运算求解能力.7. 在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=2，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取CD 的中点F ，连接BF ，EF. 则∠BEF (或补角)为异面直线BE 与PC 的所成角. 分别求出BF 、EF 、BE 的长度，利用余弦定理，即可求得结果. 【详解】如图，取CD 的中点F ，连接BF ，EF. 因为E 是PD 的中点，所以EF //PC ，则∠BEF (或补角)为异面直线BE 与PC 的所成角.由题意可得，. 1122EF PC ==⨯=在中，由余弦定理可得BEF △. 222cos 2BE EF BF BEF BE EF +-∠===⨯⨯故选：B【点睛】本题考查异面直线成角的问题、余弦定理的应用，考查逻辑分析，推理证明，求值计算的能力，属中档题.8. 已知正方体的棱长为分别是棱､的中点，点为底面四边形1111ABCD A B C D -2,E F ､1AA 11A D P 内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（）ABCD 1D P BEF PA. 2B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】取的中点，连接，易证平面，平面，从而得到平BC G 11,,G D G AD A 1//AD BEF 1//GD BEF 面平面，即可得到的轨迹为线段，再求其长度即可. 1//AD G BEF P AG 【详解】取的中点，连接，如图所示：BC G 11,,G D G AD A分别是棱､的中点，所以，E F ､1AA 11A D 1//EF AD 又因为平面，平面，所以平面. EF ⊂BEF 1AD ⊄BEF 1//AD BEF 因为，，所以四边形为平行四边形， 1//FD BG 1=FD BG 1FBGD 所以.1//FB GD 又因为平面，平面，所以平面. FB ⊂BEF 1GD ⊄BEF 1//GD BEF 因为，所以平面平面.111GD AD D = 1//AD G BEF 因为点为底面四边形内（包括边界）的一动点，直线与平面无公共点，P ABCD 1D P BEF所以的轨迹为线段，则.P AG AG ==故选：B二、多选题（本大题共4小题，共16.0分.在每小题有多项符合题目要求，部分选对给2分，全部选对给4分）9. 在△ABC 中a ∶b ∶c =2∶3∶4，则（） A. 最大角为角A B. sin A ∶sin B ∶sin C =2∶3∶4C. △ABC 是钝角三角形D. 若4，则=aABC S =△【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由大边对大角可知，角C 为最大角；对于B ：由正弦定理可知；对于C ：利用余弦定理代入计算判定；对于D ：根据sin :sin :sin ::A B C a b c =222cos 2a b c C ab+-=题意可得，代入面积公式计算判断．sin C =6b =1sin 2ABC S ab C ∆=【详解】解析：由大边对大角可知，角C 为最大角，A 错误；由正弦定理可知，B 正确；sin :sin :sin ::A B C a b c =根据题意可设：，，即角为钝()2,3,40a k b k c k k ===>()()()2222341cos 02234k k k C k k+-==-<⨯⨯C 角，C 正确；由C 可得可得 sin C =4a =6b =所以，D 正确. 11sin 4622ABC S ab C ∆==⨯⨯=故选：BCD ．10. 如图所示，点A ，B ，C ，M ，N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列满足平面ABC 的是//MN （）A. B.C .D.【答案】BC 【解析】【分析】根据线面平行的判定定理或面面平行的性质定理，即可得解．【详解】解：对于A ，如图所示，点，为正方体的两个顶点，则， E F ////MN EF AC 所以、、、四点共面，N M C A 同理可证，即、、、四点共面，//AM BC B C M A 平面，故A 错误；MN ∴⊂ABC对于B ，如图所示，为正方体的一个顶点，则，，D //AC MD //BC ND 平面，平面，所以平面，同理可证平面AC ⊂ABC DM ⊄ABC //DM ABC //DN ABC 又，、平面， MD ND D = MD ND ⊂DMN 平面平面，∴//ABC DMN 又平面，MN ⊂DMN 平面，故B 正确；//MN ∴ABC选项C ，如图所示，为正方体的一个顶点，则平面平面，G //ABC GMN 平面，MN ⊂ GMN 平面，故C 正确；//MN ∴ABC对于D ，连接，则，CN //AB CN ，，，四点共面，A ∴BC N 平面，与平面相矛盾，故D 错误．MN ∴ ABC N =//MN ABC故选：BC ．11. 若非零复数分别对应复平面内的向量，且，线段的中点M 对应12,z z ,OA OB1212z z z z +=-AB 的复数为，则（） 43i +A.B.C.D.OA OB ⊥OA OB =221210+=z z 2212100+=z z【答案】AD 【解析】【分析】利用向量的加减法和复数模的结合意义，得到，再由线段的中点M 对应的复数为OA OB ⊥AB ，得到，即可求解.43i +||2||10AB OM ==【详解】如图所示，由向量的加法及减法法则可知，， OC OA OB =+ BA OA OB =-又由复数加法及减法的几何意义可知对应的模，对应的模，12z z +OC 12z z -BA因为，所以四边形是矩形，则，1212z z z z +=-OACB OA OB ⊥又因为线段的中点M 对应的复数为，所以，AB 43i +||2||10AB OM ==所以．2222212||||||100z z OA OB AB +=+== 故选：AD.12. 如图，在直三棱柱中，，，，､分别是､111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC ==12AA =D 1D AC 的中点，是上的动点，则下列结论中正确的是（）11AC P 1A DA. 直线，所成的角的大小随点的位置变化而变化AP 11B D PB. 三棱锥的体积是定值11P B CD -C. 直线与平面 1B C 1CC DD. 三棱柱的外接球的表面积是 111ABC A B C -24π【答案】BC 【解析】【分析】对于A ，证明平面，从而可证得，即可判断A ；11B D ⊥11ACC A 11B D AP ⊥对于B ，证明，从而可说明点到平面的距离即为点到平面的距离，为定11A D CD ∕∕D 11B CD P 11B CD 值，即可判断B ；对于C ，根据平面，可得即为直线与平面所成的角的平面角，求得11B D ⊥11ACC A 11B CD ∠1B C 1CC D ，即可判断C ；11cos B CD ∠对于D ，根据题意可知矩形的对角线即为三棱柱的外接球的直径，求得外接圆的11ACC A 111ABC A B C -半径，即可判断D .【详解】解：对于A ，在直三棱柱中，111ABC A B C -平面，平面，所以，1AA ⊥111A B C 11B D ⊂111A B C 1AA ⊥11B D 因为，即，是的中点， 1AB BC ==11111A B B C ==1D 11AC 所以，1111B D AC ⊥又，所以平面， 1111AA AC A ⋂=11B D ⊥11ACC A 又平面，所以，故A 错误；AP ⊂11ACC A 11B D AP ⊥对于B ，因为､分别是､的中点，所以且， D 1D AC 11AC 11CD A D =11CD A D ∕∕所以四边形为平行四边形，所以， 11CDA D 11A D CD ∕∕又平面，平面， 1A D ⊄11B CD 1CD ⊂11B CD 所以平面，1A D ∕∕11B CD 所以点到平面的距离即为点到平面的距离，为定值，即三棱锥的高为定D 11B CD P 11B CD 11P B CD -值，又的面积也为定值，即三棱锥的底面积为定值，11B CD 11P B CD -所以三棱锥的体积是定值；11P B CD -对于C ，因为平面，所以即为直线与平面所成的角的平面角， 11B D ⊥11ACC A 11B CD ∠1B C 1CC D 在中，， 11Rt B CD1111B D B C CD ===所以，即直线与平面，故C 正确； 11cos B CD ∠==1B C 1CCD 对于D ，在直三棱柱中，，所以矩形的对角线即为三棱柱111ABC AB C -AB BC ⊥11ACC A 的外接球的直径，111ABC A B C -矩形，即三棱柱 11ACC A 111ABC A B C -所以三棱柱的外接球的表面积是，故D 错误. 111ABC A B C -6464ππ⨯=故选：BC . 三、填空题（本大题共4小题，共16.0分）13. 已知的面积为，则=____． ABC ∆2,3AB B π=∠=sin sin B C【解析】【分析】利用面积公式求得a 的值，利用余弦定理求得b 的值，进而利用正弦定理得到角的正弦的比值等于对应变得比值，从而求得答案.【详解】, 2AB c ==，解得, 11sin 222ABC S ac Ba ==⨯⨯= 4a =所以，22212cos 164242122b a c ac B =+-=+-⨯⨯⨯=∴b =∴, sin sin B b Cc ===【点睛】本题考查正余弦定理和三角形的面积公式的综合应用，关键在于正弦定理进行边角转化. 14. 如图，三角形为水平放置的三角形的直观图，其中，三角形的面A B C '''ABC 1O A A B ''''==A B C '''.则原平面图形三角形的周长为________.ABC【答案】2+【解析】【分析】先根据三角形的面积求出，接着再根据横不变，纵2倍求出三角形的周长.A B C '''O C ''ABC【详解】解：由已知， 122O B C S O C '''=⨯⨯'='得，可得 4O C ''=2,2,OA AB AC AB =====原平面图形三角形的周长为ABC 2+故答案为：.2++15. 在长方体中，，E ，F 分别为棱上一点，且1111ABCD A B C D -1224AA AB BC ===11,BB DD ，则过点C ，E ，F 的平面截该长方体所得的面面积为______． 113DF B E FD EB==【答案】【解析】【分析】连接，取，连接，易得截面即为且是平行四边形求解.11,,A E A F EF 11C G =1B G 1A FCE 【详解】解：如图所示：连接，取，连接，11,,A E A F EF 11C G =1B G 则由长方体的特征知：，， 11//AF CG 1//BG C E 所以，且，1//A F CE 1A F CE =所以四边形是平行四边形，即为所求截面，1A FCE 因为11AF AE E F ===所以， 22211111cos 2AF AE E F FAE AF AE +-∠==⋅则，1si n FAE∠=所以截面的面积为1111222FAES S AF AE ==⨯⨯⨯⨯= 故答案为： .16. 如图，在三棱锥中，三条棱，，两两垂直，且，分别经过三O ABC -OA OB OC OA OB OC >>条棱作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为，，则的大小关系,,OA OB OC1S 23,S S 123,,S S S 为__________________．【答案】321S S S <<【解析】【分析】根据中点的对称性分析相应的截面，结合垂直关系运算求解.【详解】取的中点，连接，BC M ,OM AM 可知点到平面的距离相等，所以平面平分三棱锥的体积，,B C OAM OAM 因为平面，所以平面，,,,,OA OB OA OC OB OC O OB OC ⊥⊥=⊂I OBC OA ⊥OBC 且平面，则，OM ⊂OBC OA OM ⊥设，则， ,,,OA a OB b OC c a b c ===>>BC =因为为直角三角形，则， OBC △12OM BC ==所以， 11122S OA OM a =⋅==同理可得：， 23S S ==因为，则，a b c >>222222222222a b a c a b b c a c b c +>+>+所以.321S S S <<故答案为：.321S S S <<【点睛】方法点睛：体积问题的处理方法：1.用直观图给出几何体，先依据线、面位置关系的判定与性质定理讨论分析几何体的形状特征，再求体积；2.求几何体的体积常用等积转化的方法，转换原则是其高易求，底面在几何体的某一面上，求不规则几何体的体积，主要用割补法．四、解答题（本大题共3小题，共36.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 在中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，，. ABC 5a b +=()2cos cos 0a b C c B ++=（1）若，求c ； ABC（2）若点D 为线段AB 的中点，，求a ，b .30ACD ∠=︒【答案】（1） c =（2）， 53a =103b =【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角可求出，再由三角形的面积公式可求出，再由余弦定1cos 2C =-2ab =理即可求出c ；（2）记，，在直角中，，在中，由正弦定理即可ADC θ∠=AD BD m ==BCD △sin a m θ=ACD 求出，再结合，即可得出答案.2b a =5a b +=【小问1详解】因为，()2cos cos 0a b C c B ++⋅=由正弦定理可得，.()2sin sin cos sin cos 0A B C C B ++⋅=得， 2sin cos sin cos sin cos 0A C B C C B ++⋅=，即，()2sin cos sin 0A C B C ++=2sin cos sin 0A C A +=因为，所以，所以， ()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2C =-因为，因为，所以 1cos 2C =-()0,πC ∈sin C =所以，所以. 1sin 2ABC S a b C =⋅==△2ab =在中，，ABC ()22222cos 25223c a b ab C a b ab =+-=+-=-=所以.c =【小问2详解】因为，所以，又，所以. 1cos 2C =-120C =︒30ACD ∠=︒90BCD ∠=︒记，，ADC θ∠=AD BD m ==在直角中，BCD △sin a m θ=在中，，所以，所以， ACD sin30sin m b θ=︒2sin b m θ=2b a =又，因此，. 5a b +=53a =103b =18. 如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点.（1）证明：MN ∥平面C 1DE ；（2）求点C 到平面C 1DE 的距离．【答案】（1）见解析；（2. 【解析】【分析】（1）利用三角形中位线和可证得，证得四边形为平行四边形，进11//A D B C //ME ND MNDE 而证得，根据线面平行判定定理可证得结论；//MN DE （2）根据题意求得三棱锥的体积，再求出的面积，利用求得点C 到1C CDE -1C DE ∆11C CDE C C DE V V --=平面的距离，得到结果.1C DE 【详解】（1）连接，ME 1B C，分别为，中点为的中位线M E 1BB BC ME ∴1B BC ∆且 1//ME B C ∴112ME B C =又为中点，且且 N 1A D 11//A D B C 1//ND B C ∴112ND B C =四边形为平行四边形//ME ND ∴∴MNDE ，又平面，平面//MN DE ∴MN ⊄1C DE DE ⊂1C DE 平面//MN ∴1C DE （2）在菱形中，为中点，所以，ABCD E BC DE BC ⊥根据题意有， DE =1C E =因为棱柱为直棱柱，所以有平面， DE⊥11BCC B所以，所以， 1DE EC ⊥112DEC S ∆=设点C 到平面的距离为，1C DE d根据题意有，则有， 11C CDE C C DE V V --=1111143232d ⨯=⨯⨯解得， d ==所以点C 到平面. 1C DE 【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，点到平面的距离的求解，在解题的过程中，注意要熟记线面平行的判定定理的内容，注意平行线的寻找思路，再者就是利用等积法求点到平面的距离是文科生常考的内容.19. 如图，已知直三棱柱，O ，M ，N 分别为线段，，的中点，为线段111ABC A B C -BC 1AA 1BB P 1AC 上的动点，，.116AA =8AC =（1）若，试证； 12AO BC =1C N CM ⊥（2）在（1）的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦6AB =P MP 11BB C C值最大，并求出最大值.【答案】（1）证明见解析（2）P 为的中点，1AC 35【解析】【分析】（1）由题意，可证平面，得，，通过勾股定理AB AC ⊥AB ⊥11ACC A AB CM ⊥CM MN ⊥证，可证得平面，得证. 1CM C M ⊥CM ⊥1C MN 1CM C N ⊥（2）利用几何方法表示线面角的正弦值，结合点位置，判断并求解正弦值的最大值.P 【小问1详解】在中，∵O 为BC 中点且，∴， ABC 12AO BC =AB AC ⊥∵平面平面，平面平面， ABC ⊥11ACC A ABC ⋂11ACC A AC =平面且，∴平面， AB ⊂ABC AB AC ⊥AB ⊥11ACC A 平面，∴.CM ⊂11ACC A AB CM ⊥∵M ，N 分别为，的中点，∴，∴. 1AA 1BB //MN AB CM MN ⊥在直角和直角中，AMC 11MAC △∵，，∴， 18AM A M ==118AC AC ==11AMC A MC ≅△△∴， 1CM C M ===∴，22221112812816CM C M CC +=+==∴，平面，， 1CM C M ⊥1,MN C M ⊂1C MN 1MN C M M ⋂=∴平面，平面，∴.CM ⊥1C MN 1C N ⊂1C MN 1CM C N ⊥【小问2详解】延长交于点Q ，作，与相交于点，如图所示，MP 1CC AD BC ⊥BC D，，，，得， 6AB =8AC =AB AC ⊥10BC =245AD =∵平面，平面，∴， 1BB ⊥ABC AD ⊂ABC 1BB AD ⊥又，面，，∴面， AD BC ⊥1,BC BB ⊂11BCC B 1BC BB B = AD ⊥11BCC B ∵面，∴与A 到面的距离相等，且距离为， 1//AA 11BCC B M 11BCC B AD 设直线与平面所成的角为，则， MP 11BB C C θsin AD MQθ=当时，即为的中点时最小，此时，MQ ⊥1CC P 1AC MQ 2435sin 85AD MQ θ===所以为的中点时，线段与平面所成角的正弦值取得最大值.P 1AC MP 11BB C C 35。

高一数学5月月考试题含解析试题

卜人入州八九几市潮王学校金山二零二零—二零二壹高一数学5月月考试题〔含解析〕一、填空题〔本大题一一共有12题，总分值是54分，其中第1题至第6题每一小题填对得4分，否那么一律得零分；第7题至第12题每一小题填对得5分，否那么一律得零分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写上结果．215︒-属于第________象限角.【答案】二；【解析】【分析】通过与角215︒-终边一样的角所在的象限判断得解.【详解】由题得与215-终边一样的角为215360,.k k Z -+⋅∈ 当k=1时，与215-终边一样的角为145，因为145在第二象限，所以角215︒-属于第二象限的角.故答案为：二【点睛】此题主要考察终边一样的角，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.2.在半径为10米的圆形弯道中，120°角所对应的弯道长为米．【答案】203π 【解析】弯道长是半径为10，圆心角为0120即23π弧度所对的弧长。

由弧长公式得弧长为 2201033ππ⨯=。

{}n a 中，12a =，13n n a a +-=那么数列{}n a 的通项公式为________________.【答案】31na n =-；【解析】【分析】先断定数列{}n a 是等差数列，再写出等差数列的通项.【详解】因为13n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为3的等差数列，所以=2+1)331n a n n -⋅=-（.所以数列{}n a 的通项公式为31n a n =-.故答案为：31na n =- 【点睛】此题主要考察等差数列性质的证明和通项的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.sin()y x ϕ=+，[0,]ϕπ∈为偶函数，那么ϕ=_______. 【答案】2π 【解析】【分析】根据诱导公式以及ϕ的取值范围，求得ϕ的值.【详解】根据诱导公式可知，ϕ是π2的奇数倍，而[]0,ϕπ∈，所以π2ϕ=. 【点睛】本小题主要考察诱导公式，考察三角函数的奇偶性，属于根底题.22sin 5sin 20x x ++=在R 上的解集为______________. 【答案】|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭；【解析】【分析】先解方程得1sin 2x =-，写出方程的解集即可. 【详解】由题得2sin 1)(sin 2)0x x ++=（，所以1sin 2(2x =-舍）或sinx=-，所以(1),6kx k k Z ππ=--∈. 故答案为：|(1),6k x x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭【点睛】此题主要考察三角方程的解法，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题. 6.4cos 5α=，那么cos 2sin()22tan()cot 2παπαππαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭__________ 【答案】125【解析】【分析】利用诱导公式化简原式，再将4cos 5α=代入即可得出结论. 【详解】4cos 5α=， 123cos 5α==，故答案为125. 【点睛】此题主要考察诱导公式的应用以及特殊角的三角函数，属于简单题.对诱导公式的记忆不但要正确理解“奇变偶不变，符号看象限〞的含义，同时还要加强记忆几组常见的诱导公式，以便进步做题速度.2arcsin(cos )y x =的定义域为2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦-，那么它的值域为________. 【答案】,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；【解析】【分析】利用余弦函数的性质和反正弦的性质逐步求出函数的值域. 【详解】因为233x ππ-≤≤，所以1cos 12x -≤≤，所以arcsin(cos )62x ππ-≤≤，所以2arcsin(cos )3x ππ-≤≤. 所以函数的值域为,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为：,3ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】此题主要考察反正弦函数的图像和性质，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.0>ω，假设函数()2sin f x x ω=在[,]34ππ-上单调递增，那么ω的取值范围是___ 【答案】302ω<≤ 【解析】【分析】先求增区间，再根据包含关系求结果. 【详解】由2π2π()22k x k k Z ππω-≤≤+∈得增区间为2π2π[,],()22k k k Z ππωωωω-+∈ 所以332[,][,],034222,042ππππππωωππωωωω⎧-≥-⎪⎪-⊆-∴∴<≤⎨⎪≤>⎪⎩ 【点睛】此题考察正弦函数单调性，考察根本分析求解才能，属中档题.()y f x =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应表达式为22sin y x =，那么函数()y f x =的表达式可以是________________.【答案】()sin 2f x x =；【解析】【分析】利用逆向思维反推出函数()y f x =的表达式.【详解】把函数22sin =1cos2y x x =-的图像向下平移一个单位得到1cos21cos2y x x =--=-，再把函数cos2x y =-的图像向左平移4π个单位得到()=cos2(x )cos(2)sin 2x 42y f x x ππ=-+=-+=.故答案为：()sin 2f x x =【点睛】此题主要考察三角函数图像的变换，意在考察学生对该知识的理解掌握程度，属于根底题.10.在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，以下说法中正确的选项是〔〕A.、B.、C.、D.、【答案】B【解析】【分析】由三角形的性质可得：任意两边之和大于第三边，再由余弦定理即可得出结果.【详解】因为在△ABC 中，BC a =，CA b =，AB c =，所以a b c +>，b c a +>，a c b +>，所以220a b c -=+-+>>>>222+-=>222+-=>；222+-=>；.应选B【点睛】此题主要考察三角形的性质以及余弦定理，熟记余弦定理即可，属于常考题型.{}na的通项公式为cos12nna nπ=+，其前n项和为Sn，那么2019S=________.【答案】1009【解析】【分析】先通过列举得到从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.再根据26102018,,,,a a a a是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，求出2018a，再求解.【详解】由题得1cos1=12aπ=+，22cos1=211aπ=+-+=-，333cos1=12aπ=+，44cos21=5aπ=+，555cos1=12aπ=+，66cos31=-5aπ=+，777cos1=12aπ=+，88cos41=9aπ=+，999cos1=12aπ=+,1010cos51=-9aπ=+故可以推测从数列第一项到第四项的和为6，从数列第五项到第八项的和为6，依次类推.2019=4504+3⨯,又26102018,,,,a a a a是以-1为首项，以-4为公差的等差数列，所以20181(5051)(4)2017a=-+--=-，所以2019S =5046+2-2017=1009⨯.故答案为：1009【点睛】此题主要考察归纳推理，考察等差数列的通项，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，5sin 0142()1114x x x f x x π⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪=⎨⎛⎫⎪+> ⎪⎪⎝⎭⎩，假设关于x 的方程2[()]()0(,)f x a f x b a b R +⋅+=∈有且仅有6个不同实数根，那么实数a 的取值范围是________. 【答案】599,,1244⎛⎫⎛⎫--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【解析】【分析】可求得f 〔1〕55sin()424π==，作函数的图象，分类讨论即可．【详解】f 〔1〕55sin()424π==，作函数()y f x =的图象如以下列图，设方程20x ax b ++=的两个根为1x ，2x ； ①假设154x =，2514x <<，故129(4x x a +=-∈，5)2，故5(2a ∈-，9)4-； ②假设101x <，2514x <<，故129(1,)4x x a +=-∈，故9(4a ∈-，1)-；故答案为：5(2-，99)(44--，1)-．【点睛】此题考察了函数的性质的判断与应用，同时考察了数形结合的思想的应用．二、选择题〔本大题一一共有4题，总分值是20分〕每一小题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否那么一律得零分．ABC ∆中，假设sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，那么ABC ∆的形状是〔〕．A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰或者直角三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】化简得到2A B π=且A+B=,即得三角形形状.【详解】因为sin sin sin cos cos sin cos cos 2A B A B A B A B +++=，所以cos()sin()2A B A B -++=,因为cos()1sin()1A B A B -≤+≤，，所以cos()=1sin()1A B A B -+=，，所以2A B π=且A+B=, 所以,42A B C ππ==∴=.所以三角形是等腰直角三角形.【点睛】此题主要考察和角差角的正余弦公式，考察三角函数的有界性，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.101中园内有一个“少年湖〞，湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆，如图，假设设音乐教室在A 处，图书馆在B 处，为测量A ，B 两地之间的间隔，某同学选定了与A ，B 不一共线的C 处，构成△ABC，以下是测量的数据的不同方案：①测量∠A，AC ，BC ；②测量∠A，∠B，BC ；③测量∠C，AC ，BC ；④测量∠A，∠C，∠B.其中一定能唯一确定A ，B 两地之间的间隔的所有方案的序号是_______.【答案】②③.【解析】分析：由题意结合所给的条件确定三角形解的个数即可确定是否可以唯一确定A ，B 两地之间的间隔. 详解：考察所给的四个条件：①测量∠A ，AC ，BC ，两边及对角，由正弦定理可知，三角形有2个解，不能唯一确定点A ，B 两地之间的间隔；②测量∠A ，∠B ，BC ，两角及一边，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A ，B 两地之间的间隔；③测量∠C ，AC ，BC ，两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A ，B 两地之间的间隔；④测量∠A ，∠C ，∠B ，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A ，B 两地之间的间隔；综上可得，一定能唯一确定A ，B 两地之间的间隔的所有方案的序号是②③.点睛：此题主要考察解三角形问题，唯一解确实定等知识，意在考察学生的转化才能和计算求解才能. {}n a 的前n 项和n S 满足56S S <且678S S S =>，那么以下结论错误的选项是〔〕A.6S 和7S 均为n S 的最大值B.70a =C.公差0d< D.95S S >【答案】D【解析】试题分析：由可得,故,且,所以且6S 和7S 均为n S 的最大值,故应选D. 考点：等差数列的前项和的性质及运用.2sin y x =的定义域为[,]a b ，值域为[2,1]-，那么b a -的值不可能是〔〕 A.56π B.76π C.53π D.π【答案】C【解析】【分析】由题意得，[x a ∈，]b 时，11sin 2x -，定义域的区间长度b a -最小为23π，最大为43π，由此选出符合条件的选项．【详解】函数2sin y x =的定义域为[a ，]b ，值域为[2-，1]，[x a ∴∈，]b 时，11sin 2x-，故sin x 能取到最小值1-，最大值只能取到12，例如当2a π=-，6b π=时，区间长度b a -最小为23π；当76a π=-，6b π=时，区间长度b a -获得最大为43π，即2433b a ππ-，故b a -一定取不到53π，应选：C ．【点睛】此题考察正弦函数的定义域和值域，判断定义域的区间长度b a -最小为23π，最大为43π，是解题的关键，属于中档题．三、解答题〔本大题一一共有5题，总分值是76分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．{}n a 的前n 项和28n S n n =-，求〔1〕数列{}n a 的通项公式；〔2〕求25817a +a +a +a ⋯的值. 【答案】〔1〕29n a n =-〔2〕60【解析】【分析】〔1〕先求出数列{}n a 首项和公差，再写出数列的通项；〔2〕由题得25817,,,,a a a a ⋯是以-5为首项，以6为公差的等差数列，再求解即可. 【详解】解：〔1〕因为28n S n n =-，所以12127,41612,a S a a =-=+=-=- 所以25,2a d =-∴=所以7(1)229na n n =-+-⋅=-.〔2〕由题得25817,,,,a a a a ⋯是以-5为首项，以6为公差的等差数列，所以258176565)6602a a a a ⨯+++⋯+=⨯-+⨯=（. 【点睛】此题主要考察等差数列通项的求法和前n 项和的求法，意在考察学生对这些知识的理解掌握程度，属于根底题.18.△ABC 中，1tan 4A =，3tan 5B =，AB =求：〔1〕角C 的大小；〔2〕△ABC 中最小边的边长.【答案】〔1〕34C π=〔2【解析】【分析】〔1〕由内角和定理，以及诱导公式化简tan C ，将tan A 与tan B 代入值代入求出tan C 的值，即可确定出C 的度数；〔2〕由tan A 与tan B 的大小判断出BC 为最小边，由tan A 的值，利用同角三角函数间根本关系求出sin A 的值，利用正弦定理求出BC 的长．【详解】解：(1)()()tan tan tan CA B A B π⎡⎤=-+=-+⎣⎦=–tan tan 1tan tan A B A B +-=–134513145+-⋅1=-，所以34C π=，(2)因为tan tan A B <，所以最小角为A又因为1tan 4A =，所以17sin 17A =，17c AB ==，又sin sin a cA C=，所以a =sin sin c AC⋅=17171722⋅=2．【点睛】此题考察了正弦定理，同角三角函数间的根本关系，以及特殊角的三角函数值，纯熟掌握正弦定理是解此题的关键． 19. 函数()sin()(f x A x A ωϕ=+＞0，ω＞0，ϕ＜π)2的图象与y 轴的交点为〔0，1〕，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2π,2).x +-〔1〕写出()f x 的解析式及0x 的值；〔2〕假设锐角θ满足1cos 3θ=，求(4)f θ的值.【答案】〔1〕1226sin x π⎛⎫+⎪⎝⎭,23π；〔2〕46799-. 【解析】试题分析：〔1〕根据图象的最值求出,A 根据最高点与最低点坐标求出12T，从而求出ω，再由图象经过()0,1，求出ϕ，然后求()f x 的解析式，根据()02x ,，求0x的值；〔2〕锐角θ满足1cos 2θ=，根据平方关系以及二倍角的正弦、余弦公式求出,2,sin sin θθcos 2,θ化简()4f θ，将所求,2sin sin θθ的值代入，即可求得()4f θ的值.试题解析：〔1〕由题意可得，即，，．又，由，,．，所以，，又是最小的正数，.〔2〕，，，，.【方法点睛】此题主要通过三角函数的图象求解析式考察三角函数的性质及恒等变形，属于中档题.利用最值求出A ,利用图象先求出周期，用周期公式求出ω，利用特殊点求出ϕ，正确求ωϕ，ϕ是确定函数解析式的关键，由特殊点求ϕ时，一定要分清特殊点是“五点法〞的第几个点，用五点法求ϕ值时，往往以寻找“五点法〞中的第一个点为打破口，“第一点〞(即图象上升时与x 轴的交点)时0x ωϕ+=；“第二点〞(即图象的“峰点〞)时2x πωϕ+=；“第三点〞(即图象下降时与x 轴的交点)时x ωϕπ+=；“第四点〞(即图象的“谷点〞)时32x πωϕ+=；“第五点〞时2x ωϕπ+=.O 为圆心半径为20米的圆形区域.为丰富民的业余文化生活，现提出如下设计方案：如图，在圆形区域内搭建露天舞台，舞台为扇形OAB 区域，其中两个端点A ，B 分别在圆周上；观众席为等腰梯形ABQP 内且在圆O 外的区域，其中AP=AB=BQ ，23PABQBA π∠=∠=，且AB ，PQ 在点O 的同侧．为保证视听效果，要求观众席内每一个观众到舞心O 处的间隔都不超过60米〔即要求60PO ≤〕.设αOAB ∠=，α0,3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.〔1〕当α6π=时求舞台表演区域的面积；〔2〕对于任意α，上述设计方案是否均能符合要求？【答案】〔1〕4003π平方米〔2〕对于任意α，上述设计方案均能符合要求，详见解析【解析】【分析】〔1〕由求出AOB ∠的弧度数，再由扇形面积公式求解；〔2〕过O 作OH 垂直于AB ，垂直为H ，可求20cos AH α=，240cos AB AH α==，由图可知，点P 处观众离点O 处最远，由余弦定理可得2)16003OP πα=++，由范围(0,)3πα∈，利用正弦函数的性质可求()20max OP =，由2060<，可求上述设计方案均能符合要求．【详解】〔1〕当α6π=时，23AOB π∠=所以舞台表演区域的面积21400α23OAB S r π==扇形平方米〔2〕作OHAB ⊥于H ，那么22cos α40cos αAB AH OA ==⋅=在OAP ∆中，22222cos α3OPOA AP OA AP π⎛⎫=+-⋅+ ⎪⎝⎭因为α0,3π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以当α12π=时，所以对于任意α，上述设计方案均能符合要求.【点睛】此题主要考察了余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质在解三角形中的综合应用，考察了计算才能和转化思想，考察了数形结合思想的应用，属于中档题．f 〔x 〕，g 〔x 〕满足关系g 〔x 〕=f 〔x 〕•f 〔x +α〕，其中α是常数．〔1〕设f 〔x 〕=cos x +sin x ，2πα=，求g 〔x 〕的解析式；〔2〕设计一个函数f 〔x 〕及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+；〔3〕当f 〔x 〕=|sin x |+cos x ，2πα=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g 〔x 1〕≤g 〔x 〕≤g 〔x 2〕恒成立，求|x 1-x 2|的最小值．【答案】〔1〕()cos 2g x x =〔2〕f 〔x 〕=2cos x ，α=-3π〔3〕34π【解析】【分析】〔1〕求出f 〔x+α〕，代入g 〔x 〕=f 〔x 〕•f〔x+α〕化简得出．〔2〕对g 〔x 〕化简得()gx =4cos x •cos〔x -3π〕，故f 〔x 〕=2cosx ，α=-3π．〔3〕求出g 〔x 〕的解析式，由题意得g 〔x 1〕为最小值，g 〔x 2〕为最大值，求出x 1，x 2，从而得到|x 1-x 2|的最小值.【详解】〔1〕∵f 〔x 〕=cos x +sin x ，2πα=∴f 〔x +α〕=cos 〔x +2π〕+sin 〔x +2π〕=cos x -sin x ； ∴g 〔x 〕=〔cos x +sin x 〕〔cos x -sin x 〕=cos 2x -sin 2x =cos2x ．〔2〕∵()()2gx cosx cosx ==4cos x •cos〔x -3π〕， ∴f 〔x 〕=2cos x ，α=-3π．〔3〕∵f 〔x 〕=|sin x |+cos x ，∴g 〔x 〕=f 〔x 〕•f 〔x +α〕=〔|sin x |+cos x 〕〔|cos x |-sin x 〕=2222212223222231222222cos x x k k sin x x k k cos x x k k sin x x k k πππππππππππππππ⎧⎛⎤∈+ ⎪⎥⎝⎦⎪⎪⎛⎤--∈++⎪⎥⎪⎝⎦⎨⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎪⎛⎤⎪-∈++ ⎥⎪⎝⎦⎩，，，，，，，，，因为存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g 〔x 1〕≤g 〔x 〕≤g 〔x 2〕恒成立，所以当x 1=2k π+π或者122x k k Zππ=+∈，时，g 〔x 〕≥g 〔x 1〕=-1当2724x k k Z ππ=+∈，时，g 〔x 〕≤g 〔x 2〕=2 所以1212127224x x k k k k Z ，、ππππ⎛⎫-=+-+∈ ⎪⎝⎭或者12121272224x x k k k k Z ππππ⎛⎫-=+-+∈ ⎪⎝⎭，、所以|x 1-x 2|的最小值是34π．【点睛】此题考察了三角函数的恒等变换，三角函数的图像及性质，考察分段函数的应用，属于中档题．。

【高中教育】最新高一数学5月月考试题(含解析)

——教学资料参考参考范本——【高中教育】最新高一数学5月月考试题（含解析）______年______月______日____________________部门数学试卷考生注意：1、考试时间120分钟，总分150分。

2、所有试题必须在答题卡上作答否则无效。

3、交卷时只交答题卡，请认真填写相关信息。

第I卷（选择题，共60分）一、单项选择题（每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将答案填写在答题卡的相应位置。

）1。

1。

已知集合A=，B=，则 ( )A。

B。

C。

D。

【答案】B【解析】【分析】直接利用交集的运算求解。

【详解】由题得{2}，故答案为：B【点睛】本题主要考查交集的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平。

2。

已知成等比数列，则( )A。

6 B。

C。

-6 D。

【答案】B【解析】【分析】由等比中项的性质得即得解。

【详解】由等比中项的性质得，所以。

故答案为：B【点睛】(1)本题主要考查等比中项的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力。

(2)如果成等比数列，则3。

3。

的内角A、B、C的对边分别为a、b、已知，则A。

B。

C。

2 D。

3【答案】D【解析】，由余弦定理可得：，整理可得：，解得：或舍去．故选：D．4。

4。

已知，，，则( )A。

B。

C。

D。

【答案】A【解析】【分析】先证明c<0,a>0,b>0，再利用指数函数的图像和性质比较a和b的大小得解。

【详解】由题得a>0,b>0。

，所以c最小。

因为，。

所以。

故答案为：A【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力。

(2) 实数比较大小，一般先和“0”比，再和“±1”比。

多用作差法和作商法,多用函数的图像和性质。

5。

已知，且是第四象限角，则的值是( )A。

B。

C。

D。

【答案】B【解析】【分析】先化简已知得到，再化简=，再利用平方关系求值得解。

高一数学5月月考试题含解析试题1_1

卜人入州八九几市潮王学校外国语二零二零—二零二壹高一数学5月月考试题〔含解析〕一、单项选择题〔一共12题；一共60分〕1.计算sin43°cos13°-cos43°sin13°的结果等于A. B. C. D.【答案】A【解析】〕A.假设，那么B.假设，那么C.假设，那么D.假设，那么【答案】B【解析】逐一考察所给选项：A.假设，那么,该说法错误；B.假设，那么，该说法正确；C.假设，那么，那么，该说法错误；D.假设，那么：，两侧除以可得，该说法错误.此题选择B选项.的前项和为，假设，那么等于〔〕A.58B.54C.56D.52【答案】D【解析】，得,.应选D.中，，，，那么等于〔〕A.或者B.C.D.以上答案都不对【答案】C【解析】由题中，，，，那么由正弦定理得结合，可得或者，又，得，〔舍去〕.应选C.的各项均为正数，且，那么A.12B.8C.10D.【答案】C【解析】试题分析：由等比数列的性质，a5a6＝a4a7，a5a6＝9，log3a1＋log3a2＋＋log3a10＝log3〔a1a2a10〕=log3＝10．考点：等差数列的性质以及对数的运算法那么．的边长为lcm，它是程度放置的一个平面图形的直观图，那么原图形的周长是〔〕A.6cmB.8cmC.D.【答案】B【解析】【分析】根据题目给出的直观图的形状，画出对应的面图形的形状，求出相应的边长，那么问题可求．【详解】作出该直观图的原图形，因为直观图中的线段C′B′∥x′轴，所以在原图形中对应的线段平行于x轴且长度不变，点C′和B′在原图形中对应的点C和B的纵坐标是O′B′的2倍，那么OB＝2，所以OC＝3，那么四边形OABC的长度为8．应选：B．【点睛】此题考察了平面图形的直观图，考察了数形结合思想，解答此题的关键是掌握平面图形的直观图的画法，能正确的画出直观图的原图形．的局部图象如下列图，那么的解析式是A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】观察图象的长度是四分之一个周期，由此推出函数的周期，又由其过点然后求出，即可求出函数解析式.【详解】解：由图象可知：的长度是四分之一个周期函数的周期为2，所以函数图象过所以，并且，的解析式是应选：A．【点睛】此题考察由的局部图象确定其解析式，读懂图象是解题关键，并结合图象求出三角函数的解析式，此题是根底题．8.莱茵德纸草书(RhindPapyrus)是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，那么最小的1份为A.磅B.磅C.磅D.磅【答案】D【解析】分析：设五个人所分得的面包为〔其中〕，根据题中所给的条件，列出方程组，求出和的值，从而求得最小的一份的值.详解：设五个人所分得的面包为〔其中〕，因为把100个面包分给五个人，所以，解得，因为使较大的两份之和的是较小的三份之和，所以，得，化简得，所以，所以最小的1份为，应选D.点睛：该题考察的是有关等差数列的应用题，在解题的过程中，需要根据题中的条件，设出对应的项，根据条件列出等量关系式，求得结果，再根据题意，列出对应的式子，求得结果.的解集为，那么不等式的解集为〔〕A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据不等式的解集，利用韦达定理得到与的关系，代入所求不等式，利用一元二次不等式的解法求出解集即可．【详解】由不等式的解集为，得到，且方程的两个根分别为，2．由韦达定理：，，化为，化简得：，即，解得：或者即不等式的解集为或者，应选B．【点睛】此题主要考察了一元二次不等式的解法，属于中档题.假设，那么的解集是；的解集是.10.，那么的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由于，因此由诱导公式可求解．【详解】，应选B．【点睛】此题考察诱导公式的应用，三角函数化简求值时，第一步应观察角和未知角的关系，通过角的关系确定选用什么公式，千万不能盲目地想当然地选用公式，否那么可能会人为地加大难度，甚至不能正确地求解．11.那么等于〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将用两角和正弦公式化开，然后与合并后用辅助角公式化成一个三角函数，最后再由三角函数的诱导公式可得答案.【详解】由题意，，，.应选：D.【点睛】此题主要考察了三角函数的化简求值，其中解答中根据三角函数的诱导公式和辅助角公式，得到的值是解答的关键，着重考察了推理与运算才能.x，y满足，且不等式有解，那么实数m的取值范围是A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】将原问题转化为求最值的问题，然后利用均值不等式求最值即可确定实数m的取值范围.【详解】假设不等式有解，即即可，，，那么，当且仅当，即，即时取等号，此时，，即，那么由得，即，得或者，即实数m的取值范围是，应选：D．【点睛】此题主要考察根本不等式的应用，利用不等式有解转化为最值问题是解决此题的关键．在同一个球面上，，假设四面体体积的最大值为，那么这个球的外表积是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：由可知为直角三角形，,所以的外形为的中点，由四面体的体积公式可知，当顶点到平面的间隔最大时，有最大体积，所以只有当球体的球心一共线，由题及可求得顶点到平面的间隔为，假设球体半径,那么球心到圆心的间隔为,那么，可求得，那么求得外表积,故此题选择D.考点：三棱锥的体积，球的外表积.【思路点睛】此题关键在于求四面体的外接球半径，对于一个空几何体，其外接球的球心为到几何体上不一共面的四个点的间隔相等的点，由为直角三角形，可知当过做四面体面上的高过的中点时，外接球的半径才可以为最大值，有勾股定理求得求得半径，在代入公式便可求得外表积.14.如图，点列{A n}，{B n}分别在某锐角的两边上，且，.〔〕假设A.是等差数列B.是等差数列C.是等差数列D.是等差数列【答案】A【解析】试题分析：表示点到对面直线的间隔〔设为〕乘以长度的一半，即，由题目中条件可知的长度为定值，那么我们需要知道的关系式，由于和两个垂足构成了直角梯形，那么，其中为两条线的夹角，即为定值，那么，，作差后：，都为定值，所以为定值．应选A．【考点】等差数列的定义．【思路点睛】先求出的高，再求出和的面积和，进而根据等差数列的定义可得为定值，即可得是等差数列．二、填空题〔一共4题；一共20分〕的解集为_____.【答案】【解析】分析：首先将分式不等式转化为整式不等式，利用一元二次不等式的解法，求得其解集，得到结果.详解：分式不等式可以转化为，解得，所以原不等式的解集为，故答案是.点睛：该题考察的是有关分式不等式的解法问题，在解题的过程中，注意将分式不等式转化为整式不等式，之后应用一元二次不等式的解法求得结果，涉及到的知识点就是分式不等式与整式不等式的等价转化.的同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，那么该长方体的外接球外表积为______．【答案】【解析】【分析】根据长方体外接球的特征求得求半径，然后可求得外接球的外表积．【详解】由题意得长方体外接球的直径为长方体的体对角线的长．∵长方体同一顶点的三条棱长分别为3、4、5，即，，．∴长方体外接球的半径．∴长方体的外接球外表积为．故答案为．【点睛】解题时注意以下结论的运用：即长方体一定有外接球，球心为长方体的体对角线的交点，假设过长方体一个顶点的三条棱的长度分别为，那么求半径为．满足：，，假设，且数列的单调递增数列，那么实数的取值范围为_______．【答案】【解析】【分析】由题意，数列满足，取倒数可得，即，利用等比数列的通项公式可得，代入得，再利用数列的单调性，即可求解.【详解】由题意，数列满足，取倒数可得，即，所以数列表示首项为2，公比为2的等比数列，所以，所以，因为数列是单调递增数列，所以当时，，即；当时，，因此.【点睛】此题主要考察了等比数列的定义的通项公式，以及数列的递推关系式，数列的单调性等知识点的综合应用，其中解答中根据等比数列的定义和递推关系式，合理利用数列的单调性，列出相应的不等式是解答的关键，着重考察了推理与运算才能，属于中档试题.18.在锐角三角形ABC中，假设sinA=2sinBsinC，那么tanAtanBtanC的最小值是.【答案】8.【解析】，又，因此即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用【名师点睛】消元与降次是高中数学中的主旋律，利用三角形中隐含的边角关系作为消元根据是此题打破口，斜三角形中恒有，这类同于正、余弦定理，是一个关于切的等量关系，平时应多总结积累常见的三角恒等变形，进步转化问题才能，培养消元意识．此类问题的求解有两种思路：一是边化角，二是角化边．19.的内角的对边分别为，假设，那么的最小值为__________．【答案】【解析】分析：由余弦定理结合可得，从而把两元问题转化为一元问题，然后利用均值不等式即可求出的最小值.详解：由余弦定理及，得即，再由正弦定理，得即，即所以，所以，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为故答案为：点睛：在用根本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或者积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，获得最值.三、解答题〔一共6题；一共70分〕20.一个几何体的三视图如下列图．〔1〕求此几何体的外表积；〔2〕假设点P，Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体外表上，从P点到Q点的最短途径的长．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其外表积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.利用面积公式分别求面积然后相加得到外表积；〔2〕沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，展开图为矩形，最短间隔为对角线.试题解析：〔1〕由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其外表积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和.，，所以.〔2〕沿点与点所在母线剪开圆柱侧面，如图那么，所以从点到点在侧面上的最短途径的长为.考点：三视图.21.〔此题总分值是14分〕在中，内角A，B，C所对的边分别为..〔1〕求的值；〔2〕假设，求的面积.【答案】〔1〕；〔2〕【解析】〔1〕利用两角和与差的正切公式，得到，利用同角三角函数根本函数关系式得到结论；〔2〕利用正弦定理得到边的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：〔1〕由，得，所以.〔2〕由可得，.，由正弦定理知：.又，所以.考点：1.同角三角函数根本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.，函数．〔1〕求函数的最小正周期以及单调递增区间；〔2〕设的内角A，B，C的对边分别a，b，c且，假设，求a，b 值．【答案】〔1〕,〔2〕【解析】【分析】〔1〕由向量数量积的坐标运算求出函数，利用二倍角公式和两角差的正弦公式化简函数为一个角的一个三角函数形式，最后由三角函数的性质求得周期和增区间；〔2〕由〔1〕及求得，条件可化为，结合正弦定理可得，再由含有角的余弦定理可求得．【详解】〔1〕解：∴最小正周期由的图象和性质，可知是增区间．∴是增区间，解得：，所以，的单调增区间为：〔2〕解：，∴，∵，∴，∴，∴，∴.∵，∴，由正弦定理，①∵由余弦定理得：，即，②∴联立①、②解得【点睛】此题考察向量数量积的坐标运算，考察二倍角公式，两角差的正弦公式，考察正弦定理与余弦定理，属于中档题．解题时要求纯熟掌握并能灵敏运用三角函数公式，公式的选用不同，解法就不一样．如第〔2〕小题可另解：由得，展开变形后可求得，从而，由直角三角形的性质易得值．的前项和为，且，数列满足，点在上，〔1〕求数列，的通项公式；〔2〕设，求数列的前项和．【答案】〔1〕，〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用与的递推关系可以的通项公式；点代入直线方程得，可知数列是等差数列，用公式求解即可.(2)用错位相减法求数列的和.【详解】由可得，两式相减得，．又，所以．故是首项为1，公比为3的等比数列．所以．由点在直线上，所以．那么数列是首项为1，公差为2的等差数列．那么因为，所以．那么，两式相减得：．所以．【点睛】用递推关系求通项公式时注意的取值范围，所求结果要注意检验的情况；由一个等差数列和一个等比数列的积组成的数列求和，常用错位相减法求解.24.建立生态文明是关系人民福祉、关乎民族将来的大计，是实现中国梦的重要内容.HY指出：“绿水青山就是金山银山〞。

河南省林州市高一数学5月调研考试试题(火箭班)

河南省林州市2016-2017学年高一数学5月调研考试试题（火箭班）一、选择题（每题5分，共60分）1．若|a |＝2，|b |＝3，a 与b 的夹角θ＝150°，则a ·(a －b )＝( ) A ．1 B ．－1 C ．7 D ．－72．下列函数中，周期为π，且在[π4，π2]上为减函数的是( )A ．y ＝sin(2x ＋π2)B ．y ＝cos(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x ＋π2)3. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分)．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,5 B ．5,5 C ．5,8 D ．8,84．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x 3 4 5 6 y 2.5 t 4 4.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y ^＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的精确值为( ) A ．3 B ．3.15 C ．3.5 D ．4.55．已知流程图如下图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．76．数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5，…的第100项是( ) A ．14 B ．12 C ．13 D ．157．函数f (x )＝sin x －cos(x ＋π6)的值域为( )A ．[－2,2]B ．[－3，3]C ．[－1,1]D ．[－32，32]8．若sin(α－β)sin β－cos(α－β)cos β＝45，且α是第二象限角，则tan(π4＋α)等于( ) A ．7 B ．－7C.17 D ．－179．用秦九韶算法求多项式：f(x)＝12＋35x －8x 2＋79x 3＋6x 4＋5x 5＋3x 6在x ＝－4的值时，v 4的值为( )A ．－57B ．220C ．－845D ．339210．已知等差数列{a n }中，|a 3|＝|a 9|，公差d <0，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 5>S 6 B ．S 5<S 6 C ．S 6＝0 D ．S 5＝S 611．已知等比数列{a n }中，a 4＋a 6＝10，则a 1a 7＋2a 3a 7＋a 3a 9的值等于( ) A ．10 B ．20 C ．60 D ．10012．设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5 D ．159.5 二、填空题（每题5分，共20分）13．已知数列{a n }中，a 3＝2，a 5＝1，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫11＋a n 是等差数列，则a 11等于________．14．已知{a n }的前n 项和为S n ，满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝________. 15．在ABC ∆中，已知tan sin 2A BC +=给出下列四个结论： ①tan =1tan AB ②0sin sin 2A B <+≤ ③22sin cos =1A B + ④222cos cos sin A B C +=其中正确的命题个数是________。

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据诱导公式，化简即可得到余弦值。

详解：因为，所以所以选A点睛：本题考查了利用三角函数诱导公式对三角函数式进行简单的化简求值。

在应用公式时，“奇变偶不变，符号看象限”是化简求值的基本原则。

2. 下列各数中，最大的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先把不同的进制都转化为十进制，再统一比较大小。

详解：A、B、C、D、29所以比较大小，可知最大所以选C点睛：解决本题的关键是掌握把不同的进制转化为十进制的方法，属于简单题目。

3. 某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02，03，…，50进行编号，然后从随机数表第9行第11列开始向右读，则选出的第7个个体是（）（注：表为随机数表的第8行和第9行）A. 02B. 13C. 42D. 44 【答案】A【解析】依题意，选取数据依次为，故为.4. 在棱长为2的正方体中任取一点，则满足的概率为（）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】以为直径作球，球在正方体内部的区域体积为，正方体的体积为，所以由几何概型得，，故选A ．5. 设函数，下列四个结论正确的是（） ①是奇函数；②的图象关于直线对称；③当时，；④当时，单调递增.A. ①③B. ②④C. ③④D. ②③ 【答案】D 【解析】分析：根据的定义域不同，分成四个区间，在各区间内画出函数的图像，即可判定是否正确。

详解：因为，所以画出函数图像如下由图可知，的图像关于y轴对称，是偶函数，所以①错；的图象关于直线对称，所以②正确；在上的值域为，所以③正确；在时，没有单调性，所以④错。

综上，所以选D点睛：本题考查了三角函数、分段函数图像的画法，利用函数图像分析解决问题的能力。

把三角函数利用辅助角公式，化成一个角的三角函数，根据定义域画出图像，综合性强，属于中档题。

6. 若数列满足，则这个数列的通项公式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】分析：根据递推数列的性质，可以得到，两式相减，即可得到的表达式；此时要注意首项是否符合通项公式。

详解：因为所以两式相减，得，且当n=1时，在原式中，首项二者不相等，所以所以选D点睛：本题主要考查了利用递推公式求数列通项公式的方法。

在两式相减过程中，注意利用递推式求出的首项与通项公式的首项是否相等。

若相等，则通项公式即可；若不相等，则需写成分段函数的形式。

7. 在中，若，，为边的三等分点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】∵∴∴∵,为的三等分点∴故选B.8. 《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小一份为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列为，，则，且，解得：，选D.9. 为了研究椭圆面积公式，某学习小组制定了下列的几何概型模型，如图，已知矩形的长、宽分别为，以矩形的中心为中心制作的内切椭圆如图中阴影部分所示，为保证试验的准确性，经过了10次试验，若10次试验在矩形中共随机撒入了5000颗豆子，落在阴影部分的豆子是3925颗，那么估计椭圆的面积的公式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：落在阴影部分的概率为，所以椭圆面积为考点：几何概型10. 在中，，则是（）A. 等腰三角形B. 等腰直角三角形C. 直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D【解析】分析：利用同角三角函数关系式，把正切函数化成正余弦函数。

然后用倍角公式化简，得到角A和角B的关系。

详解：，因为所以，所以所以，所以或所以选D11. 已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】分析：根据最小正周期π和时函数取得最小值两个条件，分别求出和的值，根据单调性判断大小。

详解：因为，所以因为当时，函数取得最小值，所以，所以所以所以且，且在上单调递减，所以综上，所以选A点睛：本题综合考查了三角函数解析式、三角函数最值、三角函数的单调性，利用三角函数的对称性和单调性判断函数值的大小关系，属于中档题。

12. 在中，分别是角的对边，且满足.若，则的值为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】D【解析】分析：利用正弦定理，把中的边化成角，即，求出的值，根据向量的数量积运算，即可求出ac的值。

详解：因为所以，化简得所以因为，所以即所以所以选D点睛：本题综合考查了利用正弦定理、向量的数量积运算求值。

正弦定理实现边角转化中是三角函数变形的重点，是求边、求角的重要方法，属于简单题。

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知向量，的模是方程的正根，，且，则与的夹角为_______.【答案】.【解析】分析：根据一元二次方程，求得正根为，即，根据向量的运算可化为，代入即可求得与的夹角。

详解：，所以，所以因为，所以，代入即可求得，所以夹角点睛：本题主要考查了一元二次方程解法、向量数量积的运算和化简求值，属于简单题。

14. 已知满足，若是递增数列，则实数的取值范围是_______. 【答案】.【解析】,是递增数列,所以>0,所以，所以<n+2,所以<3故答案为点睛：本题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其单调性、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，利用是递增数列，则恒成立，采用变量分离即得解.15. 执行如图所示的程序框图，输入，则输出______.【答案】.考点：程序框图．16. 在中，若，，则的最大值为______.【答案】.【解析】分析：利用余弦定理，求出，再利用正弦定理表示出。

将角都化成B，利用正弦的差角公式与辅助角公式化简即可求出最大值。

详解：由余弦定理，所以所以，所以，所以根据正弦定理可得，所以，所以最大值为点睛：本题综合考查了正余弦定理的应用，利用边角关系、辅助角公式化简三角函数式，注意化简过程中的计算，知识点综合性强，属于难题。

三、解答题（本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）求函数的单调递增区间.【答案】(1).(2).【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期.因为点在函数图像上，所以.又即.又点在函数图像上，所以，故函数f（x）的解析式为（Ⅱ）由得的单调递增区间是【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期从而求得.再利用特殊点在图像上求出，从而求出f（x）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及的单调性求得18. 一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外其余完全相同.随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为. （1）求“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）求“抽取的卡片上的数字不完全相同”的概率.【答案】(1).(2).【解析】试题分析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足”的概率；（2）所有的可能结果共有种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．试题解析：（1）所有的可能结果共有种，而满足的有、、共计3个故“抽取的卡片上的数字满足”的概率为（2）所有的可能结果共有种满足“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的有、、共计三个故“抽取的卡片上的数字、、完全相同”的概率为所以“抽取的卡片上的数字、、不完全相同”的概率为考点：独立事件的概率．【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．视频19. 某保险公司有一款保险产品的历史收益率（收益率=利润÷保费收入）的频率分布直方图如图所示：（1）试估计平均收益率；（2）根据经验，若每份保单的保费在20元的基础上每增加元，对应的销量（万份）与（元）有较强线性相关关系，从历史销售记录中抽样得到如下与的对应数据：据此计算出的回归方程为.（i）求参数的估计值；（ii）若把回归方程当作与的线性关系，用（1）中求出的平均收益率估计此产品的收益率，每份保单的保费定为多少元时此产品可获得最大收益，并求出该最大收益.【答案】(1).(2)（i）；（ii）当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元. 【解析】试题分析：（1）先根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率求概率,再根据组中值与对应区间概率乘积的和为平均数可得平均收益率,（2）（i）根据回归方程过点,先根据数据求平均值,再代入回归方程求参数的估计值；（ii）先根据收入等于销量与每份保单的保费乘积得一个一元二次函数,根据二次函数对称轴确定函数最值.试题解析：（Ⅰ）区间中值依次为：0.05，0.15，0.25，0.35，0.45，0.55，取值概率依次为：0.1，0.2，0.25，0.3，0.1，0.05，平均收益率为.（Ⅱ）（i）所以（ii）设每份保单的保费为元，则销量为，则保费收入为万元，当元时，保费收入最大为360万元，保险公司预计获利为万元.20. 已知数列中，且.（1）证明：数列为等差数列；（2）若，求的取值的集合.【答案】(1)证明见解析.(2).【解析】分析：根据，构造数列，利用为常数证明为等差数列；利用是等差数列，可求出数列的通项公式，利用通项公式解不等式组。

详解∴，∴设，则，∴数列是首项为2，公差为1的等差数列.由（1）知，∴易知在上为单调递增函数，，∴的取值集合为.点睛：本题主要考查构造数列解决问题的方法。

通过构造数列证明等差等比数列是常见的证明方法；通过已构造的数列求原数列的通项公式或求和也是常见题目，要注意条件和结论结合应用。

21. 在平面直角坐标系中，，， (O是坐标原点)，其中。

（1）求B点坐标；（2）求四边形OABC在第一象限部分面积 .【答案】(1).(2).【解析】分析：（1）利用向量的加法运算，表示出，再根据OABC为矩形的特征，表示出B 点坐标。

（2）讨论当t取不同值时（也就是B点坐标在第一象限或第二象限），四边形OABC落在第一象限内的面积。

当点B在第一象限时，落在第一象限内的部分为直角梯形，可用整个面积减去第二象限面积的方法求得；当B在第二象限时，落在第一象限内的部分为直角三角形，可以直接求得。