专题一函数与导数
高考数学第二轮复习专题一函数与导数
公开课教案 【专题一】函数[第五讲] 函数与导数 [教授人] 冯青松 [时间] 2011-4-18[地点] 宿松县隘口中学307教室【考情分析】1．函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法是高中数学的一条重要的主线，选择、填空、解答三种题型每年都有，函数题的身影频现，而且常考常新．以基本函数为背景的综合题和应用题是近几年的高考命题的新趋势．函数的图象也是高考命题的热点之一．近几年来考查导数的综合题基本已经定位到压轴题的位置了．2．对于函数与导数部分考查的重点为：导数的基本公式，复合函数的求导法则；导数的几何意义；可导函数的单调性与其导数的关系，利用导数来解决一些函数的极值与最值问题；函数、方程和不等式的综合问题；应用函数知识解决一些实际问题等。
[知识梳理 ]1． 导数的定义：0000000000()()()()(2)()()limlim lim2x x x x f x x f x f x f x f x x f x f x x x x x∆→→∆→+∆--+∆-'===∆-∆ 2． 导数的几何意义：（1）函数()y f x =在点0x 处的导数0()f x '，就是曲线()y f x =在点00(,)P x y 处的切线的斜率；（2）函数()s s t =在点0t 处的导数0()S t '，就是物体的运动方程()s s t =在时刻0t 时的瞬时速度； 3．要熟记求导公式、导数的运算法则、复合函数的导数等。
4．求函数单调区间的步骤：1）、确定f(x)的定义域，2）、求导数y ′，3）、令y ′>0(y ′<0),解出相应的x 的范围。
当y ′>0时，f(x)在相应区间上是增函数；当y ′<0时，f(x)在相应区间上是减函数5．求极值常按如下步骤：1） 确定函数的定义域； 2） 求方程/y =0的根3）通过列表法, 检查在可能极值点的左右两侧的符号，确定极值点。
专题一 函数与导数 文科数学
文科数学专题一 函数与导数1.若点(a,b)在lg y x = 图像上，a ≠1,则下列点也在此图像上的是（A ）（a 1，b ） (B) (10a,1-b) (C) (a 10,b+1) (D)(a2,2b)2.(安徽文10) 函数()()n f x ax x 2=1-g 在区间〔0,1〕上的图像如图所示，则n 可能是（A ）1 (B) 2 (C) 3 (D) 4【答案】A 【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大. 3.（北京文8）已知点()0,2A ,()2,0B ,若点C 在函数2y x =的图象上，则使得ABC ∆的面积为2的点C 的个数为 A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A4.（福建文6）若关于x 的方程x2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是 A ．（－1，1） B ．（－2，2） C ．（－∞，－2）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（1，＋∞） 【答案】C5.（福建文8）已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x ， x ＞0x ＋1，x≤0，若f(a)＋f(1)＝0，则实数a 的值等于A ．－3B ．－1C ．1D ．3 【答案】A6.（福建文10）若a ＞0，b ＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于A ．2B ．3C ．6D ．9 【答案】D7.（广东文4）函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 （ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)+∞C ．(1,1)(1,)-+∞D ．(,)-∞+∞ 【答案】C8.（广东文10）设)(),(),(x h x g x f 是R 上的任意实值函数．如下定义两个函数()()x g f 和()()x g f ∙；对任意R x ∈,()()())(x g f x g f = ；()()())(x g x f x g f =∙．则下列等式恒成立的是（ ）A ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙=∙B ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙=∙C ．()()()()()())(x h g h f x h g f =D ．()()()()()())(x h g h f x h g f ∙∙∙=∙∙【答案】B9.（湖南文7）曲线sin 1sin cos 2x y x x =-+在点(,0)4M π处的切线的斜率为（ ）A ．12-B ．12 C． D．【答案】B【解析】22cos (sin cos )sin (cos sin )1'(sin cos )(sin cos )x x x x x x y x x x x +--==++，所以2411'|2(sincos )44x y πππ===+。
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第5讲基本不等式的综合问题(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第5讲 基本不等式的综合问题利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求．例1 (1)已知x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是_________________________．(2)设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x ·1＋y 2的最大值为________． (3)已知x >0，y >0，1x ＋2y ＋1＝2，则2x ＋y 的最小值为________． 答案 (1)233 (2)324(3)3 解析 (1)由(x ＋y )2＝xy ＋1，得(x ＋y )2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＋1， 则x ＋y ≤233(当且仅当x ＝y ＝33时取等号)， 故x ＋y 的最大值为233. (2)x ·1＋y 2＝2x ·1＋y 22 ≤2·x 2＋1＋y 222＝2·x 2＋y 22＋122＝324⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝32，y ＝22时取等号， 故x ·1＋y 2的最大值为324. (3)∵2x ＋(y ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2y ＋1[2x ＋(y ＋1)] ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋y ＋1x ＋4x y ＋1＋2≥4， ∴2x ＋y ＝2x ＋(y ＋1)－1≥3(当且仅当x ＝1，y ＝1时取等号)，故2x ＋y 的最小值为3.例2 记max{a ，b }为a ，b 两数的最大值，则当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y的最小值为________．答案 10解析 方法一 由题意知t ≥x 2，t ≥25y x －y ， ∴2t ≥x 2＋25y x －y， 又∵x 2＋25y x －y ≥x 2＋25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2＋100x 2 ≥20，∴2t ≥20，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. 方法二 由题意知t ≥x 2>0，t ≥25y x －y >0， ∴t 2≥x 2·25y x －y ， 又∵x 2·25yx －y ≥x 2·25⎣⎢⎡⎦⎥⎤y ＋x －y 22＝x 2·100x 2 ＝100，∴t 2≥100，即t ≥10.∴当正数x ，y (x >y )变化时，t ＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2，25y x －y 的最小值为10. (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件．(2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值．1．若正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值是( ) A ．1B ．6C ．9D ．16答案 B解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b＝1， ∴b ＝aa －1>0，解得a >1.同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1 ＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9a －1＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立， ∴所求最小值为6.2．(2020·厦门模拟)函数y ＝2x －1＋5－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<x <52 的最大值是________．答案 2 2解析 y 2＝(2x －1＋5－2x )2＝4＋22x －15－2x ≤4＋(2x －1)＋(5－2x )＝8，又y >0，所以0<y ≤22，当且仅当2x －1＝5－2x ，即x ＝32时取等号．故函数的最大值是2 2. 3．(2020·天津)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为________． 答案 4解析 因为a >0，b >0，ab ＝1， 所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b＝a ＋b2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2·8a ＋b＝4， 当且仅当a ＋b2＝8a ＋b， 即a ＋b ＝4时，等号成立．故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 4．设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b取得最小值． 答案 －2解析12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥－14＋2b 4|a |·|a |b ＝34，当且仅当b 4|a |＝|a |b 且a <0，即a ＝－2，b ＝4时取等号．故当a ＝－2时，12|a |＋|a |b取得最小值．。
专题一 培优点2 隐零点问题
若a＝e，f′(x)≥0， ∴f(x)在定义域上是增函数； 若a>e，即ln a>1， 当0<x<1或x>ln a时，f′(x)>0； 当1<x<ln a时，f′(x)<0； ∴f(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，ln a)上单调递减，在区间 (ln a，＋∞)上单调递增.
(2)当a＝0时，判定函数g(x)＝f(x)＋ln x－ 1 x2零点的个数，并说明理由. 2
设切点坐标为(x0，f(x0))， 由 f′(x)＝1x－a，得 f′(x0)＝x10－a， 所以切线方程为 y－(ln x0－ax0＋1)＝x10－a(x－x0)，即 y＝x10－ax＋ln x0. 因为直线y＝2x与函数f(x)的图象相切， 所以x10－a＝2， 解得 a＝－1.
ln x0＝0，
考点二 含参函数的隐零点问题
例2 已知函数f(x)＝aex－ln(x＋1)－1. (1)当a＝e时，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线与两坐标轴所围成的 三角形的面积；
当a＝e时，f(x)＝ex＋1－ln(x＋1)－1，f(0)＝e－1. f′(x)＝ex＋1－x＋1 1，f′(0)＝e－1， 故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－(e－1)＝(e－1)x，即y＝ (e－1)x＋e－1. 因为该切线在x，y轴上的截距分别为－1和e－1， 所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 S＝12×|－1|×(e－1)＝e－2 1.
当x∈(x0，＋∞)时，G(x)>0，F′(x)>0. 所以函数F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增， 故F(x)min＝F(x0)＝x0 ex0－ln x0－x0－1， 由G(x0)＝0得x0 ex0－1＝0，
高考数学专题一 微专题8 利用导数研究函数零点问题
④当x∈(π，＋∞)时，ln(x＋1)>1， 所以f(x)<0，从而f(x)在(π，＋∞)上没有零点. 综上，f(x)有且仅有2个零点.
跟踪训练1 (2023·常德模拟)已知函数f(x)＝x2＋2－aln x(a∈R). x
(1)若f(x)在x＝2处取得极值，求f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
因为 f(x)＝x2＋2x－aln x，x>0，
2x3－ax－2
所以 f′(x)＝ x2
(x>0)，
令g(x)＝2x3－ax－2，则g′(x)＝6x2－a，
由 a>0，g′(x)＝0，可得 x＝ a6，
所以 g(x)在0，
a6上单调递减，在
a6，＋∞上单调递增，
由于 g(0)＝－2<0，故当 x∈0，
a6时，g(x)<0，
又g(1)＝－a<0，故g(x)在(1，＋∞)上有唯一零点，设为x1，
从而可知f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增，
由于f(x)有唯一零点x0，故x1＝x0，且x0>1，
所以有 2x30－ax0－2＝0，x20＋x20－aln x0＝0，
联立得 2ln x0－x30－3 1－1＝0，
(*)
令 h(x)＝2ln x－x3－3 1－1，可知 h(x)在(1，＋∞)上单调递增，
由于 h(2)＝2ln 2－170<2×0.7－170<0，h(3)＝2ln 3－2296>2×1－2296>0， 故方程(*)的唯一解，即f(x)的唯一零点x0∈(2,3)，故[x0]＝2.
考点二 由零点个数求参数范围
③若a<－1， (ⅰ)当x∈(0，＋∞)时， 则g′(x)＝ex－2ax>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝1＋a<0，g(1)＝e>0， 所以存在m∈(0,1)， 使得g(m)＝0，即f′(m)＝0， 当x∈(0，m)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(m，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x∈(0，m)时，f(x)<f(0)＝0，
专题一 第5讲 导数与不等式的证明
可得h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以h(x)＝x－1－ln x≥h(1)＝0，即x－1≥ln x.
于是，当a≤1时，ex－a≥x－a＋1≥x＋a－1≥ln(x＋a)， 注意到以上三个不等号的取等条件分别为x＝a，a＝1，x＋a＝1，它 们无法同时取等， 所以当a≤1时，ex－a>ln(x＋a)，即f(x)>0.
12
当a＝e时，f(x)＝ln(e－x)－x＋e，
要证 f(e－x)<ex＋2xe，即证 ln x＋x<ex＋2xe，即证lnxx＋1<exx＋21e.
设
g(x)＝lnx
x＋1(x>0)，则
1－ln g′(x)＝ x2
x ，
所以当0<x<e时，g′(x)>0，当x>e时，g′(x)<0，
所以g(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
当t∈(0,1)时，g′(t)<0，g(t)单调递减， 假设g(1)能取到， 则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0； 当t∈(1，＋∞)时，g′(t)>0，g(t)单调递增， 假设g(1)能取到，则g(1)＝0，故g(t)>g(1)＝0，
x＋ln1－x 综上所述，g(x)＝ xln1－x <1 在 x∈(－∞，0)∪(0,1)上恒成立.
方法二 f(x)＝ln ex＝1－ln x. 欲证 f(x)<1＋1x－x2ex，只需证1－elxn x＋x2－1x<1，
因为x∈(0,1)，所以1－ln x>0，ex>e0＝1，
则只需证 1－ln x＋x2－1x<1， 只需证 ln x－x2＋1x>0， 令 t(x)＝ln x－x2＋1x，x∈(0,1)，
专题一函数与导数、方程与不等式(一)
例 ２ （ ２ ０ １ ２ 年 “北 约 ”试 题 ）试 求
√ ＋１ ｌ 一６、 ／ ／ ＋２＋ √ ＋２ ７ —１ ０￣ ／ ＋２
— １的 实 数 根 的 个数 ．
解 析 求 解 本 题 的关 键 在 于 通 过 配
例 １ （ ２ ０ １ ２年 复 旦 大 学 千 分 考 试 题 ）
（ １ ） ｐ 厂 （ ） ＜ ０ ；
（ ２ ）方 程 ＿ 厂 （ ｚ ） ＝ ＝ ＝ ０ 在（ Ｏ ， １ ） 内一 定有 解． 解 析 （ １ ）由
下
（ １ ） ＜ ０即 可 ．
下 面用 反证 法 ： 假 设 （ ０ ） ≥ ０且 厂 （ １ ） ≥ ０ ， 则有 （ １ ） 厂 （ ０ ） 一ｒ ≥０ ， （ ２ ） ，（ １ ） 一Ｐ＋ｑ ＋ｒ ≥
若 ＋ｚ 一１ —０ ， 且Ｉ ｚ ｌ 一１ ， 求 复 数 ｚ的 值 ．
方， 褪 掉 二 重 根 号 ：√ ＋１ １ —６￣ ／ ｚ ＋２一
＋２ ） 一６、 解 析 因式分 解 ＋ｚ 一１ 一 ＋ 。 一 √（
（ 一 ＋ １ ） ＝ ＝ ＝ （ ｚ 一ｚ ＋１ ） （ ＋ 。 一１ ） 一０ ．
１ １例 ４设 二 次 函 数 厂 （ ） 一 ｚ ＋ ｇ ＋ ，
且 ＋ ＋ 一 ０ ， 已知 ＞ ０ ， 求证 ：
② 若 户 ＜ ０ ， 则－ 厂 （ ） ＞ ｏ ， 而 已 知
＞ｏ ， 则ｏ ＜ ＜１ ， 此 时要证 方 程 ． 厂 （ ５ ６ ） 一ｏ ｍ — ｒ １ 在（ ０ ， １ ） 内一 定 有 解 ， 只 要 证 ｆ（ ０ ） ＜ ０或
．
３ ｌ ＋
ｆ ｌ —１ ．
由 。 ＋ｚ 一１ —０ ， 先 将 其 中 的 １代 换 为
高考总复习二轮数学精品课件 专题1 函数与导数 第2讲 基本初等函数、函数的应用
3.函数的零点问题
(1)函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与
函数y=g(x)的图象交点的横坐标.
(2)确定函数零点的常用方法:①直接解方程法;②利用零点存在性定理;③
数形结合,利用两个函数图象的交点求解.
温馨提示函数的零点是一个实数,而不是几何图形.
质与相关函数的性质之间的关系进行判断.
对点练2
9 0.1
(1)(2023·广东湛江一模)已知 a=(11) ,b=log910,c=lg
A.b>c>a
B.c>b>a
C.b>a>c
D.c>a>b
11,则( A )
解析 根据指数函数和对数函数的性质,
可得
9 0.1
9 0
a=(11) < 11 =1,b=log910>log99=1,c=lg
1 1
B. - 2 , 2
1
C. 0, 2
1
1
D. - 2 ,0 ∪ 0, 2
(3)换底公式:logaN= log (a,b>0,且 a,b≠1,N>0).
(4)对数值符号规律:已知a>0,且a≠1,b>0,则logab>0⇔(a-1)(b-1)>0,
logab<0⇔(a-1)(b-1)<0.
1
温馨提示对数的倒数法则:logab= log
(a,b>0,且a,b≠1).
11>lg 10=1,
又由 2=lg 100>lg 99=lg 9+lg 11>2 lg9 × lg11,所以 1>lg
高考数学(理)一轮【专题一】《函数与导数综合题的解答》ppt课件
y＝f′(x)的图象如图所示， 则该函数的图象是
)
C
(
聚焦考向透析
考向一 利用导数研究函数图象
方法分析 解题过程 回归反思
例题精编
(2013· 高考浙江卷)已知函数 y＝f(x) 的图象是下列四个图象之一，且其导函数
①题目条件： 导函数 f′(x)的图象变化 特征．
y＝f′(x)的图象如图所示， 则该函数的图象是
利用导数研究函数性质
方法分析 解题过程 回归反思
Hale Waihona Puke 例题精编(2012· 高考北京卷)已知函数
f(x)＝ax2＋1(a＞0)，g(x)＝x3＋bx.
(1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点 (1，c)处具有公共切线，求 a，b 的值； (2)当 a2＝4b 时，求函数 f(x)＋g(x)的单调区 间，并求其在区间(－∞，－1]上的最大值．
C
聚焦考向透析
考向三 不等式证明及参数范围问题
方法分析 解题过程 回归反思
例题精编
(2013· 高考辽宁卷) (1)证明：当 x∈[0，1]时， 2 2
x≤sin x≤x；
(2)若不等式
ax＋x2＋
x3
2
＋2(x＋2)cos x≤4 对
x∈[0，1]恒成立，求实数 a 的取值范围．
C
聚焦考向透析
C
聚焦考向透析
考向二
回归反思
利用导数研究函数性质
方法分析
解题过程
a a 当－ ＜－1，即 a＞6 时，函数 h(x)在区间(－∞，－ )上单调递增，在区间－ ，－ 6 6 2 2
a a
a 上单调递减，在区间－ ，－1上单调递增， 6 a 1 1 2 － 又因为 h －h(－1)＝1－a＋ a ＝ (a－2)2＞0， 4 4 2 a 所以 h(x)在区间(－∞，－1]上的最大值为 h－ ＝1. 2
新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第10讲导数中函数的构造问题
即F(2020＋x)>F(－2)．
又F(x)在(－∞,0)上是减函数,所以2 020＋x<－2,即x<－2 022.
3．设f(x)是定义在R上的偶函数,且f(1)＝0,当x<0时,有xf′(x)－f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为________________________．
答案 (－∞,－1)∪(1,＋∞)
解析 构造F(x)＝ ,则F′(x)＝ ,当x<0时,xf′(x)－f(x)>0,可以推出当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(－∞,0)上单调递增,∵f(x)为偶函数,∴F(x)为奇函数,∴F(x)在(0,＋∞)上也单调递增,根据f(1)＝0可得F(1)＝0.根据函数图象(图略)可知f(x)>0的解集为
第
导数问题中已知某个含f′(x)的不等式,往往可以转化为函数的单调性,我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题．
例1 (1)f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,f(x)＋xf′(x)<0,且f(－4)＝0,则不等式xf(x)>0的解集为________________．
答案 (－∞,－4)∪(0,4)
(4)构造函数 ：条件中含“f′(x)sinx－f(x)cosx”的形式．
1．(2020·广东韶关调研)已知f(x)为R上的可导函数,且∀x∈R,均有f(x)>f′(x),则以下判断正确的是( )
A．f(2021)>e2021f(0)
B．f(2021)<e2021f(0)
C．f(2021)＝e2021f(0)
D．f(2021)与e2021f(0)的大小关系无法确定
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回归课本专题一:集合、函数、导数第1页回归课本专题一:集合、函数、导数一．集合：１．弄清集合中元素的属性▲⑴已知集合{}(){}2,,1x y y x B x y y A ==+==,则B A 中元素的个数是 .⑵设集合{}342+-==x x y x M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+==3,6,cos 3sin ππx x x y y NM N = ．２．}|{B x A x x B A ∈∈=且 ；}|{B x A x x B A ∈∈=或 ；{},U C A x x U x A =∈∉．,A B x A X B ⊆⇔∀∈∈； 真子集怎样定义？含n 个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1． ▲满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有______个．３．韦恩图▲期中考试,某班数学优秀率为70％,语文优秀率为75％.问:上述两门学科都优秀的百分率至少为 .４．()()()B C A C B A C U U U =, ()()()B C A C B A C U U U =，A ∩B=A ⇔A ∪B=B ⇔A ⊆B ⇔C U B ⊆C U A ⇔A ∩C U B=∅⇔C U A ∪B=U▲已知集合{}{}A B A m x m x B x x x A =-≤≤+=≤--= ,121,01032,则实数m 的取值范围为 ．（解题时要注意对空集的讨论） ５．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题 二．函数：１.指数式、对数式：m a=1m nm naa -=， 当na =；当n,0||,0a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩.log (0,1,0)b a a N N b a a N =⇔=>≠>；log a N a N =,；()log ()log m n a a nb b m=；log ()log log a a a MN M N =+；log log log aa a M M N N=-； 1log log a b b a =．▲2log1()2＝________；33)5(lg 5lg 2lg 3)2(lg +⋅+= ．２.二次函数：⑴三种形式:一般式2()f x ax bx c =++；顶点式2()()f x a x h k =-+； 零点式12()()()f x a x x x x =--；b=0时，()f x 为偶函数．⑵区间最值:配方后一看开口方向,二讨论对称轴与区间的相对位置关系. ▲已知函数()224422+-+-=a a ax x x f 在区间[]2,0上有最小值3，求a 的值.３. 反比例函数: )0x (xc y ≠=平移⇒b x ca y -+=(中心为()a b ,) ４. 常见函数xax y +=:奇函数；0<a 时；在(),0-∞，()0,+∞上是增函数；0a >时，在((,,0,-∞上是增函数；在())0,+∞上是减函数．５. 幂、指数、对数函数的图象和性质： ▲⑴若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =,则c b a ,,的大小关系为 . ⑵设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，，，，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 为 .⑶不等式1)1lg(<-x 的解集是 方程07369=-⋅-xx 的解是 . ⑷ 研究方程))(lg()3lg()1lg(R a x a x x ∈-=-+-的实数解的个数.６. 单调性：①定义法；②导数法.▲已知函数3()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是_ ； 注意：⑴可导函数)(x f 为增函数能推出()0f x '≥，但反之不一定.如函数1)(=x f ，其导数0)(≥'x f ，但它在),(+∞-∞上不是单调函数，所以()0f x '≥是可导函数)(x f 为增函数的必要不充分条件.⑵复合函数由同增异减判定.▲函数)212log 2y x x =-+的单调递增区间是________.▲已知)3(l o g )(22a ax x x f +-=在[)+∞,2上是增函数，则实数a 的取值范围是 .７．奇偶性：()f x 是偶函数⇔()()(||)f x f x f x -==;()f x 是奇函数⇔()()f x f x -=-;定义域内含零的奇函数的图像过原点(f(0)=0)；定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件. 8.周期性：（1）类比“三角函数图像”得周期.▲已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根. （2）周期函数的定义：函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a ≠恒成立，则()f x 是周期为a 的周期函数．①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则2T a =;②若1()(0)()f x a a f x +=≠恒成立，则2T a =； ③若1()(0)()f x a a f x +=-≠恒成立，则2T a =.回归课本专题一:集合、函数、导数第2页▲ ⑴设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____；⑵定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________；⑶若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________. 9.常见的图象变换①函数()a x f y +=的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左)0(>a 或向右)0(<a 平移a 个单位得到的．▲函数()lg(2)1f x x x =⋅+-的图象与x 轴的交点个数有____个 ②函数()x f y =+a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上)0(>a 或向下)0(<a 平移a 个单位得到的．▲将函数a ax by ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)( ．正确的有 .③函数()ax f y =)0(>a 的图象是把()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a1得到的.▲⑴将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____；⑵如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______． ④函数()x af y =)0(>a 的图象是把()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到.10.函数图像的对称性：①满足条件()()f x a f b x +=-的函数的图象关于直线2a bx +=对称.（两函数()y f a x =+与()y f b x =-图像关于直线2b ax -=对称.） ▲已知二次函数)0()(2≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)( 有等根，则)(x f ＝_____；②点(,)x y 关于y 轴的对称点为 ；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为 ； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为 ；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为 ； ④点(,)x y 关于原点的对称点为 ；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为 ； ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为 ；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+ 的对称曲线的方程为 .提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上．▲已知函数)(1)(R a xa ax x f ∈--+=．求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心对称图形．⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=. ▲⑴若函数x x y +=2与)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______ ⑵作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；⑶若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 11.几类常见的抽象函数 ：①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()()()x f x f yf y =； ③指数函数型：()x f x a = ----------()()()f x y f x f y +=，()()()f x f x y f y -=；④对数函数型：()log a f x x = ---()()()f xy f x f y =+，()()()xf f x f y y=-；⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()f x f y f x y f x f y ++=-.▲设()f x 的定义域为()+∞,0,对任意()+∞∈,0,y x ,都有()()()xf f x f y y=-，且1x >时，()0f x <，又1()12f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.12. 题型方法总结:Ⅰ．判定相同函数:定义域相同且对应法则相同． Ⅱ. 求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法――已知所求函数的类型.▲已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 .（2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式. （()f x 的定义域应是()g x 的值域）▲①已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2x f 的解析式；②若221)1(xx x x f +=-，则函数)1(-x f =_____； （3）函数方程――对已知等式进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程．回归课本专题一:集合、函数、导数第3页▲①已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式； ②已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g =11-x ,则()f x = . Ⅲ. 求定义域:使函数解析式有意义(分母；偶次根式被开方数；对数真数；底数；零指数幂的底数；实际问题有意义；复合函数等．) ▲①若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________；②若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________． Ⅳ.求值域: ⑴直接法（将自变量化到一处，有定义域逐步探求）;⑵借助函数的单调性;⑶基本不等式;⑷利用函数与方程的关系;⑸数形结合 ▲ 求下列函数的值域：⑴313x xy =+；(2)22sin 3cos 1y x x =--；(3)21y x =+；(4)2sin 11cos y θθ-=+；⑹y =三．导数：1．导数几何意义:k=f /(x 0)表示曲线y=f(x)在点P(x 0,f(x 0))处切线的斜率． V ＝s /(t)表示t 时刻即时速度,a=v ′(t)表示t 时刻加速度. ▲(1)一物体的运动方程是21s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒，那么物体在3t =时的瞬时速度为_____.(2) 质点P 在半径为10cm 的圆上逆时针作匀速圆周运动，角速度为2/rad s .设(10,0)A 为起始点，求时刻t 时，点P 在y 轴上的射影点M 的速度为 2. 导数的几何意义及它的简单应用 ⑴切线▲已知函数3()3f x x x =-过点(2,6)P -作曲线()y f x =的切线，求此切线的方程.⑵单调性:分析()y f x =定义域，求导数，解不等式'()0f x ≥得增区间，解不等式'()0f x ≤得减区间，注意'()0f x =的点．▲设0>a 函数ax x x f -=3)(在),1[+∞上单调函数，则实数a 的取值范围______；⑶ 求极值、最值:求导数，求0)(='x f 的根，列表检验)(x f '在根左右两侧符号,得极值，把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.▲（1）函数5123223+--=x x x y 在[0，3]上的最大值、最小值分别是______； （2）方程0109623=-+-x x x 的实根的个数为 ．注意：0x 可导函数的是极值点的充要条件是()00f x '=，且在0x 点两侧导数异号，()00f x '=是0x 为极值点的必要而不充分条件．▲⑴函数()3221f x x ax bx a x =+++=在处有极小值10，则a+b 的值为____⑵已知函数2221()(1ax a f x x x -+=∈+R )，其中a ∈R .①当1a =时，求曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线方程；②当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值.3. 恒成立问题、存在性问题及零点问题：（归结为单调性、极值、最值问题） 四、练习1.(必修①P14.8（1）改编）若集合U={16,}x x x N *≤≤∈,A={2，3，5}，B={1，4}，则()()U U C A C B = .2.（必修①P17.6）已知集合A=[1,4)，集合B=)a -∞（，，若A B ≠⊂,则a 的范围为 . 3.(必修①P17.10）期中考试，（1）班数学优秀率为70％，语文优秀率为75％.则语文、数学两门学科都优秀的百分率至少为 .4.(必修①P33.13)已知一个函数的解析式为2y x =，它的值域为{1,4}，这样的函数有 个. 5. (必修①P55.11)对于任意的12,x x R ∈,若函数()2xf x =，则12()()2f x f x +与12()2x x f +的大小关系是 .(必修①P71.12)对于任意的12,0x x ∈+∞（，）,若函数()l g f x x =，则12()()2f x f x +与12()2x x f +的大小关系是 . 6. (必修①P55.9改编)已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且x<0时，()12x f x =+，则此函数的解析式为 .7. (必修①P55.6改编)若函数2()12xxk f x k -=+⋅在定义域上为奇函数，则k= .8. (必修①P93.3改编)已知函数()21,[1,5]f x x x =+∈，则函数2(3)f x -= .9.(必修①P94.27)若关于x 的方程23(37)40tx t x +-+=的两实根为αβ，满足012αβ<<<<，则实数t 的取值范围为 .10. (必修①P94.28)已知定义在实数集R 上的偶函数()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数，若(1)(lg )f f x <，则x 的取值范围是 .11.(选修1-1P72.13)设曲线2(0)y x x =≥，直线0y =及(0)x t t =>围成的封闭图形的面积为()t S = ,则()='t S .12.(选修1-1P84.1)水波的半径以50cm/s 的速度向外扩张，当半径为250cm 时，圆面积的膨胀率为 .13. (选修1-1P84.3)酒杯的形状为倒立的圆锥,杯深8cm ，上口宽6cm ，水以203/cm s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，水升高的瞬时变化率为 . 14.函数xy e ex =-的极小值为 . 15.曲线1cos 2y x x =-在6x π=处的切线方程为 ；回归课本专题一:集合、函数、导数第4页16.函数1()sin 2f x x x =+在[0,2]π上的值域为 . 17. 不等式02)1(≥+-x x 的解集 _________________.18. 设k ∈R , x 1 , x 2是方程x 2－2kx+1－k 2=0的两个实数根, 则x 21+x 22的最小值为__________.19. 已知A={x|x 2+(P+2)x+4=0}, M={x|x>0}, 若A ∩M=φ, 则实数P 的取值范围__________. 20.给出平面区域如图所示, 若使目标函数Z=ax+y (a>0), 取得最大值的最优解有无数个, 则a 值为______ .21.已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合 ． 22.已知x m x f q R m x x p )37()(:|1|||:--=-+，的解集为＞不等式是减函数，如果两个命题有且只有一个正确，则实数m 的取值范围为______________.23.函数()f x 的定义域为{|,1}x x R x ∈≠且，已知(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()21f x x x =-+，则当1x >时， ()f x 的递减区间是_______________. 24.设定义在R 上的函数()f x 满足()()213f x f x ⋅+=，若()12f =，则()99f =____. 25.若()log (2)a f x ax =-在［0，1］上是减函数，则a 的取值范围是 .26.已知2(199)443()f x x x x R +=++∈，那么函数()f x 的最小值为 ________. 27.设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是__________. 28.（必修1P 55ex8改编）已知定义在R 上的函数()y f x =满足条件3()()2f x f x +=-，且函数3()4y f x =-是奇函数，给出以下几个命题：① 函数()f x 是周期函数； ② 函数()f x 的图象关于点3(,0)4-对称； ③ 函数()f x 是偶函数； ④ 函数()f x 在R 上是单调函数． 在上述四个命题中，真命题的序号是 （写出所有真命题的序号）． 29.（选修2-3P 33例2改编）函数d cx bx x x f +++=23)(在区间]2,1[-上是减函数,则c b +的最大值为 . 30.（必修1P 81习题 2.5ex4改编）方程|sin |(0)x k k x=>有且仅有两个不同的实数解,()θϕθϕ>，则以下有关两根关系的结论正确的序号是____________.① sin cos ϕϕθ=；② sin cos ϕϕθ=- ；③ cos sin ϕθθ= ④ sin sin θθϕ=- 五、品味经典1.（必修1P95.32改编）已知过原点O 的直线与函数8log y x =的图像交于A,B 两点，分别过A,B 作y 轴的平行线与函数2log y x =的图像交于C,D 两点. （1）试证明：O,C,D 三点共线； （2）当0BC BD ⋅=时，求经过B,C,D 三点的圆方程.2.已知函数()f x 的导数2()33,(0),,,12f x x ax f b a b R a '=-=∈<<. （1）若()f x 在区间[1,1]-上的最小值、最大值分别为-2，1，求,a b 的值； （2）在（1）的条件下，求经过点P （2，1）且与曲线()f x 相切的直线L 的方程.3.已知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-. （1）求函数()f x 在[,2]t t +（0t >）上的最小值；（2）对一切(0,),2()()x f x g x ∈+∞≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）证明：对一切(0,)x ∈+∞，都有12ln x x e ex>-成立.回归课本专题一:集合、函数、导数第5页。
2023年新高考数学大一轮复习专题一函数与导数第4讲不等式(含答案)
新高考数学大一轮复习专题：第4讲 不等式[考情分析] 1.不等式的解法是数学的基本功，在许多题目中起到工具作用.2.求最值和不等式恒成立问题常用到基本不等式.3.题型多以选择题、填空题形式考查，中等难度． 考点一 不等式的性质与解法 核心提炼1．不等式的倒数性质 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b.(2)a <0<b ⇒1a <1b.(3)a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d.2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f (x )>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )min >a ，x ∈I ；f (x )<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f (x )max <a ，x ∈I . (2)f (x )>g (x )对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f (x )的图象在g (x )的图象的上方． (3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．例1 (1)若p >1,0<m <n <1，则下列不等式正确的是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <mnC ．m －p<n －pD ．log m p >log n p答案 D解析 方法一 设m ＝14，n ＝12，p ＝2，逐个代入可知D 正确．方法二 对于选项A ，因为0<m <n <1，所以0<m n<1，又p >1，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p <1，故A 不正确；对于选项B ，p －m p －n －m n ＝p －m n －m p －n n p －n ＝p n －m n p －n >0，所以p －m p －n >mn，故B 不正确；对于选项C ，由于函数y ＝x －p在(0，＋∞)上为减函数，且0<m <n <1，所以m －p>n －p，故C 不正确；对于选项D ，结合对数函数的图象可得，当p >1,0<m <n <1时，log m p >log n p ，故D 正确． (2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0的解集是( ) A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)答案 A解析 由关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，得b ＝2a 且a <0， 则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b )x －3b <0可化为x 2＋x －6>0， 即(x ＋3)(x －2)>0，解得x <－3或x >2， 所以不等式的解集为(－∞，－3)∪(2，＋∞)．易错提醒 求解含参不等式ax 2＋bx ＋c <0恒成立问题的易错点 (1)对参数进行讨论时分类不完整，易忽略a ＝0时的情况． (2)不会通过转换把参数作为主元进行求解． (3)不考虑a 的符号．跟踪演练 1 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3，x <12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f (x )＋x －2≤0的解集是________________． 答案 {x |－1≤x ≤1} 解析 由x 2f (x )＋x －2≤0，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x <12，3x 2＋x －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x 2·1x＋x －2≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧x <12，－1≤x ≤23或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤1，∴－1≤x <12或12≤x ≤1，∴原不等式的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2} 答案 B解析 当a 2－4＝0时，解得a ＝2或a ＝－2，当a ＝2时，不等式可化为4x －1≥0，解集不是空集，不符合题意；当a ＝－2时，不等式可化为－1≥0，此式不成立，解集为空集． 当a 2－4≠0时，要使不等式的解集为空集，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4<0，Δ＝a ＋22＋4a 2－4<0，解得－2<a <65.综上，实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65. 考点二 基本不等式 核心提炼基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋Ag x＋Bg (x )(AB >0)，g (x )恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值．例2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( ) A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b ≥2b a ·a b ＝2 B ．若a <0，则a ＋4a≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg b D ．若a ∈R ，则2a＋2－a≥22a ·2－a＝2 答案 D解析 由于b a ，a b的符号不确定，故选项A 错误；∵a <0，∴a ＋4a＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－a ＋⎝⎛⎭⎪⎫－4a≤－2－a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－4a＝－4(当且仅当a ＝－2时，等号成立)，故B 错误；由于lg a ，lg b 的符号不确定，故选项C 错误；∵2a>0,2－a>0，∴2a ＋2－a ≥22a ·2－a＝2(当且仅当a ＝0时，等号成立)，故选项D 正确．(2)(2019·天津)设x >0，y >0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy的最小值为________．答案 4 3解析x ＋12y ＋1xy＝2xy ＋2y ＋x ＋1xy＝2xy ＋6xy＝2xy ＋6xy.由x ＋2y ＝5得5≥22xy ，即xy ≤524，即xy ≤258，当且仅当x ＝2y ＝52时等号成立．所以2xy ＋6xy≥22xy ·6xy＝43，当且仅当2xy ＝6xy，即xy ＝3时取等号，结合xy ≤258可知，xy 可以取到3，故x ＋12y ＋1xy的最小值为4 3.易错提醒 运用基本不等式时，一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指“正数”；“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值；“三相等”是指满足等号成立的条件．若连续两次使用基本不等式求最值，必须使两次等号成立的条件一致，否则最值取不到．跟踪演练2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a >0，b >0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________．答案 22＋2解析 ∵a >0，b >0，由a －b ＝1，得a ＝1＋b ，∴2a ＋1b ＝2＋2b ＋1b≥2＋22b ·1b＝2＋22，当且仅当b ＝22时，等号成立，∴2a ＋1b的最小值为22＋2. (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 答案 45解析 方法一 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1， 可得x 2＝1－y45y2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45， 当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号．所以x 2＋y 2的最小值为45.方法二 设x 2＋y 2＝t >0，则x 2＝t －y 2. 因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以5(t －y 2)y 2＋y 4＝1， 所以4y 4－5ty 2＋1＝0.由Δ＝25t 2－16≥0，解得t ≥45⎝ ⎛⎭⎪⎫t ≤－45舍去.故x 2＋y 2的最小值为45.专题强化练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( ) A ．{x |－1<x <3} B ．{x |1<x <3} C ．{x |x <－1或x >3} D ．{x |x <1或x >3}答案 D解析 不等式即(x －3)(x －1)>0，由二次不等式的解法大于分两边可得不等式的解集为{x |x <1或x >3}．2．下列命题中正确的是( ) A ．若a >b ，则ac 2>bc 2B ．若a >b ，c <d ，则a c >b dC ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －dD ．若ab >0，a >b ，则1a <1b答案 D解析 对于A 选项，当c ＝0时，不成立，故A 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝－2，d ＝－1时，a c <b d，故B 选项错误． 当a ＝1，b ＝0，c ＝1，d ＝0时，a －c ＝b －d ，故C 选项错误． 由不等式的性质知D 正确．3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}，则f (10x)>0的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >lg3} B ．{x |－2<x <lg3} C ．{x |x >lg3} D ．{x |x <lg3}答案 D解析 一元二次不等式f (x )<0的解集为{x |x <－2或x >3}， 则f (x )>0的解集为{x |－2<x <3}，则f (10x)>0可化为－2<10x<3，解得x <lg3， 所以所求不等式的解集为{x |x <lg3}．4．若a >b >0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( ) A ．a ＋1b <b2a <log 2(a ＋b )B.b 2a <log 2(a ＋b )<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b )<b 2aD ．log 2(a ＋b )<a ＋1b <b 2a答案 B解析 由题意得a >1,0<b <1， ∴b2a <1，log 2(a ＋b )>log 22ab ＝1， 12a b+>a ＋1b >a ＋b ⇒a ＋1b>log 2(a ＋b )．5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<ab D ．ab <0<a ＋b答案 B解析 ∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0.∵a ＋b ab ＝1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4， ∴1＝log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31＝0， ∴0<a ＋bab<1，∴ab <a ＋b <0. 6．已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( ) A ．3B ．4C.92D.112答案 B解析 由题意得x ＋2y ＝8－x ·2y ≥8－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22，当且仅当x ＝2y 时，等号成立，整理得(x＋2y )2＋4(x ＋2y )－32≥0，即(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0，又x ＋2y >0，所以x ＋2y ≥4，所以x ＋2y 的最小值为4.故选B.7．已知a >－1，b >－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 由a >－1，b >－2，得a ＋1>0，b ＋2>0，a ＋b ＝(a ＋1)＋(b ＋2)－3≥2a ＋1b ＋2－3＝2×4－3＝5，当且仅当a ＋1＝b ＋2＝4，即a ＝3，b ＝2时等号成立，所以a ＋b 的最小值是5.8．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c取得最大值时，3a ＋1b－12c的最大值为( ) A ．3B.94C ．1D ．0答案 C解析 由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，得a 2c －2ab c ＋9b 2c ＝1≥4ab c， 当且仅当a 2c ＝9b 2c ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14，又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0， 所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b 24＝1，当且仅当b ＝1时等号成立．故最大值为1. 二、多项选择题9．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f (a )＋f (b )]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p <qC ．p ＝rD ．p >q 答案 BC解析 r ＝12(ln a ＋ln b )＝p ＝ln ab ，p ＝ln ab <q ＝ln a ＋b 2.10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( ) A ．6B ．7C ．8D ．9 答案 ABC解析 方法一 设y ＝x 2－6x ＋a ，则其图象为开口向上，对称轴是x ＝3的抛物线，如图所示．若关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则⎩⎪⎨⎪⎧22－6×2＋a ≤0，12－6×1＋a >0，解得5<a ≤8，又a ∈Z ，故a 可以为6,7,8.方法二 分离常数，得a ≤－x 2＋6x ，函数y ＝－x 2＋6x 的图象及直线y ＝a ，如图所示，由图易知5<a ≤8.11．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a >b 的充要条件为( ) A.1a >1bB ．ln a >ln bC ．a ln a <b ln bD ．a －b <e a－e b答案 BD解析 对于A ，因为a >b >0，所以1a <1b，故A 错误；对于B ，因为y ＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，所以a >b >0⇔ln a >ln b ，故B 正确；对于C ，设f (x )＝x ln x ，则f ′(x )＝ln x ＋1(x >0)，令f ′(x )＝0，得x ＝1e ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，所以a >b >0不能推出a ln a <b ln b ，故C 错误；对于D ，设g (x )＝x－e x(x >0)，则g ′(x )＝1－e x.因为x >0，所以e x>1，所以g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以当a >b >0时，g (a )<g (b )，即a －e a<b －e b，即a －b <e a－e b，充分性成立；当a >0，b >0，且a －b <e a －e b 时，易证得a >b ，必要性成立，故D 正确．12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则( ) A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b>12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2答案 ABD解析 因为a >0，b >0，a ＋b ＝1， 所以a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，即有ab ≤14.对于A ，a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12，故A 正确；对于B,2a －b＝22a －1＝12×22a， 因为a >0，所以22a>1，即2a －b>12，故B 正确； 对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log 214＝－2，故C 错误；对于D ，由(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ＝1＋2ab ≤2， 得a ＋b ≤2，故D 正确． 三、填空题13．对于0<a <1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )<log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a1＋a<11aa+；④a1＋a>a 1＋1a.其中正确的是________．(填序号)答案 ②④解析 由于0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a <1＋1a，所以②④是正确的．14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 ∵x ∈(0，＋∞)，mx 2－(m ＋1)x ＋m >0恒成立， ∴m (x 2－x ＋1)>x 恒成立，又x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34>0，∴m >xx 2－x ＋1恒成立，当x ∈(0，＋∞)时，xx 2－x ＋1＝1x ＋1x－1≤121－1＝1， 当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取“＝”．∴m >1.15．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12解析 由f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x ，得f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1ex ＝－f (x )，又x ∈R ，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x·1ex＝3x 2≥0，当且仅当x ＝0时“＝”成立， 所以f (x )在R 上单调递增， 因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )． 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12.16．已知实数x ，y 满足x >1，y >0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y的最大值为________． 答案 9 解析 ∵x ＋4y ＋1x －1＋1y＝11， ∴(x －1)＋4y ＝10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ，又⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y [(x －1)＋4y ]＝5＋x －1y ＋4y x －1≥5＋24＝9， 当且仅当x －1y ＝4y x －1，即2y ＝x －1>0时等号成立， ∴⎝⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1＋1y ≥9， 令t ＝1x －1＋1y，则t (10－t )≥9，即t2－10t＋9≤0，∴1≤t≤9，∴1x－1＋1y的最大值为9.11。
高考数学导数专题1：导数的概念及运算
导数的概念及运算1．导数的概念及几何意义(1)了解导数概念的实际背景．(2)理解导数的几何意义．2．导数的运算(1)能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝x(1)，y＝x2，y＝x3，y＝的导数．(2)能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．(3)能求简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b)的复合函数)的导数．一导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0))＝limΔx→0Δx(Δy)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0Δx(Δy)＝limΔx→0Δx(f(x0＋Δx)－f(x0)).(2)导数的几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝limΔx→0Δx(f(x＋Δx)－f(x))为f(x)的导函数．易错点1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．二导数的运算1．基本初等函数的导数公式2．导数的运算法则2．导数的运算法则(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)．3．复合函数的导数复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝yu ′·ux ′，即y 对x的导数等于y 对u 的导数与 u 对x 的导数的乘积． 易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cos x)′＝－sin x.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axln a ，而不是(ax)′＝xax －1. 3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆易误提醒1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(x n)′＝nxn －1中n ≠0且n ∈Q ，(cosx )′＝－sin x .2．注意公式不要用混，如(a x)′＝a xln a ，而不是(a x)′＝xax －1.3．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 题型一 导数的概念1.已知函数f(x)＝2ln 3x ＋8x ， 求f(1－2Δx)－f(1)Δx的值.解析f(1－2Δx)－f(1)Δx＝－2f(1－2Δx)－f(1)－2Δx＝－2f ′(1)＝－20.【点拨】导数的实质是求函数值相对于自变量的变化率，即求当Δx →0时， 平均变化率ΔyΔx2.某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可以近似地表示为f(t)＝t2100，则在时刻t ＝10 min 的降雨强度为( ) A.15 mm/min B.14 mm/min C.12mm/minD.1 mm/min【解析】选A.3．(2015·陕西一检)已知直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的一条切线，则m 的值为( )A ．0B ．2C ．1D ．3解析：因为直线y ＝－x ＋m 是曲线y ＝x 2－3ln x 的切线，所以令y ′＝2x －3x ＝－1，得x ＝1，x ＝－32(舍)，即切点为(1,1)，又切点(1,1)在直线y ＝－x ＋m 上，所以m ＝2，故选B.4．(2015·洛阳期末)函数f (x )＝e xsin x 的图象在点(0，f (0))处的切线的倾斜角为( )A.3π4 B.π3 C.π4D.π6解析：因为f ′(x )＝e xsin x ＋e xcos x ，所以f ′(0)＝1，即曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线的斜率为1， 题型二 导数运算 1. 求下列函数的导数. (1)y ＝ln(x ＋1＋x2)； (2)y ＝(x2－2x ＋3)e2x ；(3)y ＝3x 1－x. 【解析】运用求导数公式及复合函数求导数法则.(1)y ′＝1x ＋1＋x2(x ＋1＋x2)′＝1x ＋1＋x2(1＋x 1＋x2)＝11＋x2. (2)y ′＝(2x －2)e2x ＋2(x2－2x ＋3)e2x ＝2(x2－x ＋2)e2x.Δlim →x 0Δlim →x 0Δlim →x(3)y ′＝13(x 1－x 1－x ＋x(1－x)2＝13(x 1－x1(1－x)2＝13x (1－x) 2. 如下图，函数f(x)的图象是折线段ABC ，其中A 、B 、C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝（ ）；f(1＋Δx)－f(1)Δx＝（ ） (用数字作答).【解析】f(0)＝4，f(f(0))＝f(4)＝2， 由导数定义f(1＋Δx)－f(1)Δx＝f ′(1).当0≤x ≤2时，f(x)＝4－2x ，f ′(x)＝－2，f ′(1)＝－2.3．(2015·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.答案：B4．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：85．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3xlog 3eD ．(x 2cos x )′＝－2sin x解析：选B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ′＝1－1x 2；(log 2x )′＝1x ln 2；(3x )′＝3x ln 3；(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，故选B.32)-32)-32-34-0Δlim →x 0Δlim →x6．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( )A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．6．函数f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.103解析：选D 因为f ′(x )＝3ax 2＋6x ， 所以f ′(－1)＝3a －6＝4， 所以a ＝103.4．(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________．解析：因为f (x )＝(2x ＋1)e x，所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x， 所以f ′(0)＝3e 0＝3. 答案：3题型三 导数的几何意义导数的几何意义为高考热点内容，考查题型多为选择、填空题，也常出现在解答题中前几问，难度较低．归纳起来常见的命题探究角度有： 1．求切线方程问题． 2．确定切点坐标问题． 3．已知切线问题求参数． 4．切线的综合应用．求切线方程问题1．(2015·云南一检)函数f (x )＝ln x －2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为( )已知切线求参数范围3．(2015·河北五校联考)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 28，＋∞ B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 28C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞ D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，e 24 解析：结合函数y ＝ax 2(a >0)和y ＝e x的图象可知，要使曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，只要ax 2＝e x在(0，＋∞)上有解，从而a ＝ex x 2.令h (x )＝e x x 2(x >0)，则h ′(x )＝e x ·x 2－e x·2xx4＝x －2e x x 3，令h ′(x )＝0，得x ＝2，易知h (x )min ＝h (2)＝e 24，所以a ≥e 24.答案：C 切线的综合应用4．(2015·重庆一诊)若点P 是函数f (x )＝x 2－ln x 图象上的任意一点，则点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为( )A.22B. 2C.12D ．3解析：由f ′(x )＝2x －1x＝1得x ＝1(负值舍去)，所以曲线y ＝f (x )＝x 2－ln x 上的切线斜率为1的点是(1,1)，所以点P 到直线x －y －2＝0的最小距离为|1－1－2|2＝2，故选B.答案：B导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下三个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k .(3)已知过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)的切线斜率为k 时，常需设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f x 1－f x 0x 1－x 0求解．易错题：混淆“在某点处的切线”与“过某点的切线”致误1. 若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋154x －9都相切，则a 等于( )A ．－1或－2564B ．－1或214C ．－74或－2564D ．－74或7[解析] 因为y ＝x 3，所以y ′＝3x 2， 设过(1,0)的直线与y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)， 则在该点处的切线斜率为k ＝3x 20，所以切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30，又(1,0)在切线上，则x 0＝0或x 0＝32，当x 0＝0时，由y ＝0与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－2564，当x 0＝32时，由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋154x －9相切，可得a ＝－1，所以选A.[答案] A2.(2015·兰州一模)已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1,3)，则实数b 的值为________．解析：因为函数y ＝x 3＋ax ＋b 的导函数为y ′＝3x 2＋a ，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＋a ＝2，3＝1＋a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：3[易误点评] 没有对点(1,0)的位置进行分析，误认为是切点而失误． [防范措施]对于曲线切线方程问题的求解，对曲线的求导是一个关键点，因此求导公式，求导法则及导数的计算原则要熟练掌握．(2)对于已知的点，应首先确定其是否为曲线的切点，进而选择相应的方法求解． 随堂测试1、已知函数y ＝f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程x －2y ＋1＝0，则f (1)＋2f ′(1)的值是( ) A.12 B ．1 C ．32D ．2【答案】D【解析】∵函数y ＝f (x )的图象在点(1, f (1))处的切线方程是x －2y ＋1＝0，∴f (1)＝1, f ′(1)＝12.∴f (1)＋2f ′(1)＝2.故选D.2、曲线y ＝sin x ＋e x 在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0 D ．3x －y ＋1＝0 【答案】C【解析】y ′＝cos x ＋e x ，故切线斜率为k ＝2，切线方程为y ＝2x ＋1，即2x －y ＋1＝0.3、.已知奇函数y=f (x )在区间(-∞,0]上的解析式为f (x )=x 2+x ,则曲线y=f (x )在横坐标为1的点处的切线方程是( ) A.x+y+1=0 B.x+y-1=0 C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0【答案】B【解析】由函数y=f (x )为奇函数,可得f (x )在[0,+∞)内的解析式为f (x )=-x 2+x ,故切点为(1,0). 因为f'(x )=-2x+1, 所以f'(1)=-1,故切线方程为y=-(x -1), 即x+y -1=0.4、已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( )A ．－23B ．－43C ．43D ．34【答案】D【解析】因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34.故选D.5、过函数f (x )＝13x 3－x 2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )A.⎣⎡⎦⎤0，3π4 B ．⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π C.⎣⎡⎭⎫3π4，π D ．⎝⎛⎦⎤π2，3π4 【答案】B【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k ＝f ′(x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，即k ＝tan α≥－1，解得0≤α<π2或3π4≤α<π，即切线倾斜角的范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.故选B. 6．(2015·长春二模)若函数f (x )＝ln xx ，则f ′(2)＝________.解析：由f ′(x )＝1－ln x x 2，得f ′(2)＝1－ln 24.答案：1－ln 247．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的倾斜角α的取值范围是________．解析：根据已知可得f ′(x )≥ 3，即曲线y ＝f (x )上任意一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3，结合正切函数的图象，可知α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.答案：⎣⎡⎭⎫π3，π28．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝b ＝0，f ′(0)＝－a (a ＋2)＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0， ∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 94．(2016·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围． 解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1， 得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。
2022年高考总复习数学(理科)课时作业：第2章 专题一 函数与导数 第1课时 Word版含解析
专题一 函数与导数 第1课时1．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e2．若函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(0，＋∞)3．某厂生产某种产品x 件的总成本C (x )＝1200＋275x 3(单位：万元)，已知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为______件时总利润最大．( )A ．10B ．25C ．30D ．404．已知函数f (x )＝13x 3＋ax 2－bx ＋1(a ，b ∈R )在区间[－1,3]上是减函数，则a ＋b 的最小值是( )A.23B.32 C ．2 D ．3 5．(2022年新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3－3x 2＋1，若f (x )存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( )(导学号 58940254)A ．(2，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－1)6．(2022年新课标Ⅱ)已知函数f (x )＝(x ＋1)ln x －a (x －1)．(导学号 58940255) (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＞0，求a 的取值范围．7．(2021年广东肇庆一模)已知函数f (x )＝x 3－3x .(导学号 58940256) (1)争辩f (x )的单调区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，求实数m 的取值范围； (3)设函数h (x )＝e x －e x ＋4n 2－2n (e 为自然对数的底数)，假如对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，求实数n 的取值范围．8．(2022年北京)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)专题一 函数与导数第1课时1．B 解析：由于f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，所以f ′(x )＝2f ′(1)＋1x .令x ＝1，得f ′(1)＝2f ′(1)＋1.解得f ′(1)＝－1.故选B.2．C 解析：由题意知x >0，f ′(x )＝1＋a x ，要使函数f (x )＝x ＋a ln x 不是单调函数，则需方程1＋ax ＝0在x >0上有解，即x ＝－a ，所以a <0.故选C.3．B 解析：设单价为q ＞0，由题意q 2＝kx，当x ＝100时，q ＝50，∴k ＝q 2x ＝502×100＝250 000.∴q 2x＝250 000，q ＝500x .∴总利润y ＝xq －C (x )＝x ·500x －⎝⎛⎭⎫1200＋275x 3.令y ′＝500·12 x －275·3x 2＝0，解得x ＝25.当0＜x ＜25时，y ′＞0，当x ＞25时，y ′＜0，∴当x ＝25时，总利润最大．4．C解析：f ′(x )＝x 2＋2ax －b在[－1,3]上有f ′(x )≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(3)≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ≥1，6a －b ≤－9.设⎩⎪⎨⎪⎧u ＝2a ＋b ≥1，v ＝b －6a ≥9.设a ＋b ＝mu ＋n v ＝m (2a ＋b )＋n (－6a ＋b )＝(2m －6n )a ＋(m ＋n )b ，对比参数：2m －6n ＝1，m ＋n ＝1，解得m ＝78，n ＝18，∴a ＋b ＝78u ＋18v ≥2.则a ＋b 的最小值为2.5．C 解析：a ＝0时，不符合题意．a ≠0时，f ′(x )＝3ax 2－6x ，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2a .若a ＞0，则由图象知f (x )有负数零点，不符合题意．则a ＜0，由图象结合f (0)＝1＞0知，此时必有f ⎝⎛⎭⎫2a ＞0，即a ×8a 3－3×4a 2＋1＞0， 化简，得a 2＞4.又a ＜0，所以a ＜－2.故选C.6．解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝4时，f (x )＝(x ＋1)ln x －4(x －1)，f ′(x )＝ln x ＋1x －3，f ′(1)＝－2，f (1)＝0.曲线y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为2x ＋y －2＝0.(2)当x ∈(1，＋∞)时，f (x )>0等价于ln x －a (x －1)x ＋1>0.令g (x )＝ln x －a (x －1)x ＋1，则g ′(x )＝1x －2a(x ＋1)2＝x 2＋2(1－a )x ＋1x (x ＋1)2，g (1)＝0，(ⅰ)当a ≤2，x ∈(1，＋∞)时，x 2＋2(1－a )x ＋1≥x 2－2x ＋1>0，故g ′(x )>0，g (x )在x ∈(1，＋∞)上单调递增，因此g (x )>0；(ⅱ)当a >2时，令g ′(x )＝0，得 x 1＝a －1－(a －1)2－1，x 2＝a －1＋(a －1)2－1.由x 2>1和x 1x 2＝1，得x 1<1.故当x ∈(1，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在x ∈(1，x 2)单调递减，因此g (x )<0. 综上，a 的取值范围是(－∞，2]．7．解：(1)f (x )的定义域为R ，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1). 由于当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－1,1)． (2)方法一，由(1)知，g (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增， 在(－1,1)上单调递减，所以g (x )在x ＝－1处取得极大值g (－1)＝2－m ，在x ＝1处取得微小值g (1)＝－2－m .由于g (x )在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点， 所以有⎩⎪⎨⎪⎧ g ⎝⎛⎭⎫－32≤0，g (－1)＞0，g (1)＜0，g (3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧98－m ≤0，2－m ＞0，－2－m ＜0，18－m ≥0.解得98≤m ＜2.故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.方法二，要函数g (x )＝f (x )－m 在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个零点，就是要方程g (x )＝f (x )－m ＝0在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个实根，也就是只要函数y ＝f (x )和函数y ＝m 的图象在⎣⎡⎦⎤－32，3上有三个不同的交点． 由(1)知，f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减； 所以f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝2，在x ＝1处取得微小值f (1)＝－2.又f ⎝⎛⎭⎫－32＝98，f (3)＝18. 故实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫98，2.(3)对任意的x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，2，都有f (x 1)≤h (x 2)恒成立，等价于当x ∈⎣⎡⎦⎤12，2时，f (x )max ≤h (x )min 成立.由(1)知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增，且f ⎝⎛⎭⎫12＝－118，f (2)＝2，所以f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最大值f (x )max ＝2.h ′(x )＝e x －e ，令h ′(x )＝0，得x ＝1. 由于当x ＜1时，h ′(x )＜0；当x ＞1时，h ′(x )＞0；所以h (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,2]上单调递增． 故h (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的最小值h (x )min ＝h (1)＝4n 2－2n . 所以4n 2－2n ≥2.解得n ≤－12，或n ≥1.故实数n 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞)． 8．解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22，或x ＝22. 由于f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎫－22＝2，f ⎝⎛⎭⎫22＝－2，f (1)＝－1，所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为 f ⎝⎛⎭⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)．整理，得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”． g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的状况如下：x (－∞，0)0 (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(x ) ＋－＋ g (x )t ＋3 t ＋1所以g (0)当g (0)＝t ＋3≤0，即t ≤－3时，此时g (x )在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (1)＝t ＋1≥0，即t ≥－1时，此时g (x )在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g (x )至多有2个零点．当g (0)＞0，且g (1)＜0，即－3＜t ＜－1时，由于g (－1)＝t －7＜0，g (2)＝t ＋11＞0，所以g (x )分别在区间(－1,0)，(0,1)和(1,2)上恰有1个零点．由于g (x )在区间(－∞，0)和(1，＋∞)和(0,1)上单调，所以g (x )分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)和(0,1)上恰有1个零点．综上可知，当过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。
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【思路点拨】 的问题．
首先将新的概念“补函数”“中介元”理解清
楚，然后再将问题化归转化为能借助于导数或其它知识能解决
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③令 g(x)＝(h(x))p，有 g′(x) －pxp 11＋λxp－1－xpλpxp ＝ 1＋λxp2
－ －1
－p1＋λxp 1 ＝ . p 2 1＋λx 因为 λ＞－1，p＞0，所以当 x∈(0,1)时，g′(x)＜0，所以函数 g(x)在(0,1)上是减少的，故函数 h(x)在(0,1)上是减少的．
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专题探究
专题 1 用导数研究函数的性质 导数和函数结合是近年来各套试题命题热点，主要考查利用导 数判定一些函数的单调性、求函数的极值和最值，这是研究函 数性质的强有力的工具，并且具有普遍的适用性． 例1 (2012· 高考北京卷)已知函数 f(x)＝ax2＋1(a>0)，g(x) ＝x3＋bx. (1)若曲线 y＝f(x)与曲线 y＝g(x)在它们的交点(1， c)处具有公共 切线，求 a，b 的值． (2)当 a＝3，b＝－9 时，若函数 f(x)＋g(x)在区间[k,2]上的最大 值为 28，求 k 的取值范围．
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0， n 上，f′(x)>0，故 f(x)是增加的． 在 n＋1 n ，＋∞ 上，f′(x)<0，故 f(x)是减少的． 而在 n＋1 n ＝ n n·1－ n ＝ 故 f(x)在(0， ＋∞)上的最大值为 f n＋1 n＋1 n＋1
nn n＋1. n＋1 1 (3)证明：令 φ(t)＝ln t－1＋ (t>0)， t 1 1 t－1 则 φ′(t)＝ － 2＝ 2 (t>0)． t t t 在(0,1)上 φ′(t)<0，故 φ(t)是减少的； 而在(1，＋∞)上，φ′(t)>0，故 φ(t)是增加的．
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【解】 (1)因为 f(1)＝b，由点(1，b)在 x＋y＝1 上，可得 1＋b＝1，即 b＝0. － 因为 f′(x)＝anxn 1－a(n＋1)xn，所以 f′(1)＝－a. 又因为切线 x＋y＝1 的斜率为－1， 所以－a＝－1，即 a＝1. 故 a＝1，b＝0. ＋ (2)由(1)知，f(x)＝xn(1－x)＝xn－xn 1， n－ 1 n －x. f′(x)＝(n＋1)x n＋1 n 令 f′(x)＝0，解得 x＝ ，即 f′(x)在(0，＋∞)上有唯一零 n＋1 n 点 x0＝ . n＋1
－
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1 n 得中介元 xn＝ . 1＋λ＋1 综合①②，对任意的 λ＞－1，
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1 n 中介元为 xn＝ (n∈N＋)，于是，当 λ＞－1 时， 1＋λ＋1 n 1 i 有 Sn＝∑ i ＝1 1＋λ＋1 1 1 1 n ＝ ， 1－ ＜ 1＋λ 1＋λ＋1 1＋λ 1 n 当 n 无限增大时， 无限接近于 0，Sn 无限接近于 1＋λ＋1 ， 1＋λ 1 1 1 故对任意的 n∈N＋，Sn＜ 成立等价于 ≤ ， 2 1＋λ 2 即 λ∈[3，＋∞)．
专题一
函数与导数综合题的解答
本节目录
专 题 探 究 突 破 热 点
知 能 演 练 轻 松 闯 关
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专题探究•突破热点
方法综述
在高考中，函数与导数的综合解答题基本上每年都有，其分值 一般占 12～14 分，所以做好函数与导数解答题尤其重要．试 题多以函数知识为载体设置，主要考查利用导数研究函数单调 性、极值、最值等性质，充分体现导数的工具性，一般试题难 度较大．
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1
知能演练•轻松闯关
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nn 1 由(2)知，f(x)≤ ，故所证不等式成立． n＋1< ne n＋1
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专题 3
恒成立求参数范围问题
恒成立问题可以转化为我们较为熟悉的求最值的问题进行求 解．若不能分离参数，可以将参数看成常数 f(x)＝ex－ax，其中 a>0.
(1)若对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立，求 a 的取值集合； (2)在函数 f(x)的图像上取定两点 A(x1， 1))， 2， 2))(x1<x2)， f(x B(x f(x 记直线 AB 的斜率为 k，证明：存在 x0∈(x1，x2)，使 f′(x0) ＝k 成立．
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故 φ(t)在(0，＋∞)上的最小值为 φ(1)＝0， 1 所以 φ(t)>0(t>1)，即 ln t>1－ (t>1)． t n＋1 1 1 令 t＝1＋ ，得 ln > ， n n n＋1
n＋1n＋ 1>ln e， 即 ln n n 1 n＋1n＋1>e，即 n 所以 n＋1< . n ne n＋1
(－∞，－3) 3 ＋ ↗ 0 28
(－3,1) － ↘
1 0 －4
(1,2) ＋ ↗
2
3
专题 2 导数、函数与不等式 用导数的方法研究不等式的关键是通过构造函数，然后研究这 个函数的单调性、极值、最值以及通过函数在整个区间上的函 数值和极值、最值以及特殊点的函数值的比较解决不等式． 例2 设函数 f(x)＝axn(1－x)＋b(x>0)，n 为正整数，a，b 为 常数．曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 x＋y＝1. (1)求 a，b 的值； (2)求函数 f(x)的最大值； 1 (3)证明：f(x)< . ne
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h(x)与 h′(x)在(－∞，2]上的变化情况如下： － x h′(x) h(x) 由此可知： 当 k≤－3 时，函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值为 h(－3)＝28； 当－3<k<2 时，函数 h(x)在区间[k,2]上的最大值小于 28.因此，k 的 取值范围是(－∞，－3]．
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专题 4 新定义背景下的抽象函数问题 例4 (2012· 高考江西卷节选)若函数 h(x)满足 ①h(0)＝1，h(1)＝0； ②对任意 a∈[0,1]，有 h(h(a))＝a； ③在(0,1)上单调递减． 则称 h(x)为补函数． 1－xp 已知函数 h(x)＝ (λ＞－1，p＞0)． p 1＋λx (1)判断函数 h(x)是否为补函数，并证明你的结论； (2)若存在 m∈[0,1]， h(m)＝m， m 是函数 h(x)的中介元． 使 称 记 n 1 p＝ (n∈N＋ )时 h(x)的中介元为 xn，且 Sn＝∑ xi， 若对任意的 n i ＝1 n 1 ∈N＋，都有 Sn＜ ，求 λ 的取值范围． 2
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【解】 (1)f′(x)＝ex－a.令 f′(x)＝0 得 x＝ln a. 当 x<ln a 时，f′(x)<0，f(x)是减少的；当 x>ln a 时，f′(x)>0， f(x)是增加的． 故当 x＝ln a 时，f(x)取最小值 f(ln a)＝a－aln a. 于是对一切 x∈R，f(x)≥1 恒成立， 当且仅当 a－aln a≥1.① 令 g(t)＝t－tln t，则 g′(t)＝－ln t. 当 0<t<1 时，g′(t)>0，g(t)是增加的． 当 t>1 时，g′(t)<0，g(t)是减少的． 故当 t＝1 时，g(t)取最大值 g(1)＝1. 因此，当且仅当 a＝1 时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．
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【解】 (1)∵f(x)＝ax2＋1，∴f′(x)＝2ax，∴f′(1)＝2a. 又 f(1)＝c＝a＋1，∴f(x)在点(1，c)处的切线方程为 y－c＝2a(x －1)，即 y－2ax＋a－1＝0. ∵g(x)＝x3＋bx，∴g′(x)＝3x2＋b，∴g′(1)＝3＋b. 又 g(1)＝1＋b＝c， ∴g(x)在点(1，c)处的切线方程为 y－(1＋b)＝(3＋b)(x－1)，即 y－(3＋b)x＋2＝0. 依题意知 3＋b＝2a，且 a－1＝2，即 a＝3，b＝3. (2)记 h(x)＝f(x)＋g(x)．当 a＝3，b＝－9 时， h(x)＝x3＋3x2－9x＋1， h′(x)＝3x2＋6x－9. 令 h′(x)＝0，得 x1＝－3，x2＝1.