上海市杨浦区高三数学二模(含解析)

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上海市杨浦区2022届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑中，平面，，且，过点分别作于点，于点，连结，当的面积最大值时，（）.A．B．C．D．2. 在中，，．若，则（）．A．B．C．D．3.已知数列满足，其中，则（）A ．1B．C ．2D．4. 已知函数，若，，均不相等，且= =，则的取值范围是（）A ．（1，10）B ．(5，6)C ．(10，12)D ．(20，24)5. 若曲线上到直线的距离为2的点恰有3个，则实数m 的值是（）A．B．C ．2D．6. 德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率随时间（小时）变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为（）（参考数据：）A ．2小时B ．0.8小时C ．0.5小时D ．0.2小时7. 在中，角、、对应的边分别为、、，若，，则的外接圆面积为（）A ．B．C．D．8. 《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首古民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈，头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④，一蚁往上爬，遇圈则绕圈．爬到竹子顶，行程是多远”(注释：①第节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺；③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺)，问：此民谣提出的问题的答案是A ．61.395尺B ．61.905尺C ．72.705尺D ．73.995尺9. 如图，是正六边形的中心，则（）上海市杨浦区2022届高三二模数学试题上海市杨浦区2022届高三二模数学试题三、填空题四、解答题A．B．C．D．10. 设O 为坐标原点，，是双曲线的焦点．若在双曲线上存在点P，满足，，则（）A．双曲线的方程可以是B．双曲线的渐近线方程是C．双曲线的离心率为D ．的面积为11. 在平行六面体中，已知，，若，，，则（）A ．的最小值为B ．的最大值为C ．的最大值为D ．的最大值为12. 设，是两条不同的直线，，是不同的平面，则下列结论正确的是（）A ．若，，则B．若，，，则C ．若，，，则D ．若，，，则13.已知等比数列满足，，则__．14.若直线被圆截得的弦长为2，则实数的值为___________．15.设函数，若，则___________.16. 已知函数．(1)求的单调区间；(2)设且，求证：．17.小军在校园内测对岸广电大厦楼顶无线塔的高度，他在校园水平面上选取两点，测得，测得，，，，.(1)求；(2)求无线塔的高度.18. 新一代新冠病毒奥密克戎致病性与原始毒株相比显著降低，但传染力显著增强.已知我国沿海某特区人口约为800万，其中感染过新冠的人口占比.(1)以频率估计概率，从该地区所有人口中随机抽出60人，则这60个人中感染过新冠的人数最有可能是多少？(2)从该地区所有新冠患者中随机抽出1000人，统计得到轻症患者有960人，重症患者有40人，其中轻症患者有600人接种过新冠疫苗，重症患者有12人接种过新冠疫苗，是否有99.5%的把握认为接种新冠疫苗可以减少新冠重症率？(3)若该地区人口失业率与感染过新冠人员的重症率均为4%（失业率指失业人口占总人口比例），失业与是否感染过新冠独立，该地区政府出台政策，对所有感染过新冠且轻症的失业人员每人发放400元补助，对所有感染过新冠且重症的人员无论是否失业每人发放1000元补助，预计总的资金投入是多少？参考公式：，.0.100.050.010.0052.7063.841 6.6357.87919. 数列满足：（I）证明：数列是单调递减数列的充分必要条件是（II）求的取值范围，使数列是单调递增数列．20. 如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.（1）证明：；（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.21. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2.(1)求椭圆的标准方程；(2)点，斜率为k的直线l不过点，且与椭圆交于A，B两点，(O为坐标原点).直线l是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.。

2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷(含答案)

2022届上海市杨浦区高三数学二模试卷一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。

考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果1.若集合(),1A =-∞，()0,B =+∞，则A B = ___________.2.复数2z i =-，则z =___________.3.直线l 的参数方程为2,12,x t t y t =+⎧∈⎨=+⎩R ，则直线l 的斜率为___________.4.()1012x +的二项展开式中,2x 项的系数为___________.5.若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为___________.6.函数()1lg f x x =+的反函数是1()f x -=___________.7.设,,,a b c d ∈R ，若行列式12903ab cd =，则行列式a bc d的值为___________.8.已知集合1112,1,,,,1,2,3232A ⎧⎫=---⎨⎬⎩⎭，从集合A 中任取一个元素a ，使函数ay x =是奇函数且在()0,+∞上递增的概率为___________.9.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57S S =，且238a a +=，则2limnn S n →∞=__________.10.已知点P 为正ABC ∆边上或内部的一点，且实数,x y 满足2AP xAB y AC =+，则x y -的取值范围是___________.11.设点P是曲线y =(0,F，)A满足4PF PA +=，则点P 的坐标为___________.12.函数()()cos 0,Z f x x x ωω=>∈的值域中仅有5个不同的值，则ω的最小值为___________.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13.“0,2απ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件14.下列不等式恒成立的是（）A.x y x y +≥-B.x +>C.12x x+≥ D.x y x y x y++-≤+15.上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于22C ︒.立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是（）A.总体均值为25C ︒，中位数为23C ︒B.总体均值为25C ︒，总体方差大于20C ︒C.总体中位数为23C ︒，众数为25C︒ D.总体均值为25C ︒，总体方差为21C︒16.记函数()11,y f x x D =∈，函数()22,y f x x D =∈，若对任意的x D ∈，总有()()21f x f x ≤成立，则称函数()1f x 包裹函数()2f x .判断如下两个命题真假①函数()1f x kx =包裹函数()2cos f x x x =的充要条件是1k ≥；②若对于任意0p >，()()12f x f x p -<对任意x D ∈都成立，则函数()1f x 包裹函数()2f x ；则下列选项正确的是（）A.①真②假B.①假②真C.①②全假D.①②全真FED 1C 1B 1A 1DCBA 三、解答题（本大题满分76分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长1，侧棱长4，1AA 中点为E ，1CC 中点为F .（1）求证：平面BDE ∥平面11B D F ；（2）连结1B D ，求直线1B D 与平面BDE 所成的角的大小.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()sin cos f x t x x =+，其中常数t R ∈.（1）讨论函数()f x 的奇偶性，并说明理由；（2）ABC ∆中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =，b =，()2f A =，求当t =ABC ∆的面积.北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地.A 地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B 地在观测站北偏东4arcsin5方向，且距离观测站5公里.观测站派出一辆观测车（记为点M ）沿着公路向正东方向行驶进行观测，记AMB ∠为观测角.（1）当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角AMB ∠的大小；（精确到0.1︒）.（2）为了确保观测质量，要求观测角AMB ∠不小于45︒，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长.（精确到0.1公里）20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.如图，中心在原点O 的椭圆Γ的右焦点为()F ，长轴长为8.椭圆Γ上有两点,P Q ，连结,OP OQ ，记它们的斜率为 , OP OQ k k ，且满足14OP OQ k k ⋅=-.（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）求证：22OP OQ +为一定值，并求出这个定值；（3）设直线OQ 与椭圆Γ的另一个交点为R ，直线RP 和PQ分别与直线x =交于点,M N ，若PQR ∆和PMN ∆的面积相等，求点P 的横坐标.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+，对一切*n ∈N 都成立.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若存在一个非零常数*T ∈N ，对于任意*n ∈N ，n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，T 是一个周期.（1）求2a 、3a 所有可能的值，并写出2022a 的最小可能值；（不需要说明理由）（2）若0n a >，且存在正整数(),p q p q ≠，使得p a q与q a p均为整数，求p q a +的值；（3）记集合*{0,}n S n S n ==∈N ，求证：数列{}n a 为周期数列的必要非充分条件为“集合S 为无穷集合”.y参考答案一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分1.()0,12.3.24.1805.12π6.110x -7.38.389.12-10.1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11.,44⎫⎪⎪⎝⎭12.29π二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分13.A 14.B 15.D 16.D三、解答题17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则()()()()()()111,0,0,0,1,0,0,0,2,1,0,4,0,1,4,1,1,2B D E B D F （2分）()10,1,2DE FB ==-∴DE∥1FB 同理BD ∥11B D （2分）平面BDE 与平面11B D F 不重合，∴平面BDE 与平面11B D F 平行.（2分）（2）同（1）建系设平面BDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n BD n BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，得2x y z ==不妨取1z =，则()2,2,1n =（4分）又()11,1,4DB =-设直线1B D与平面BDE所成的角为θ故11sin9n DBn DB⋅θ===（2分）直线1B D与平面BDE所成的角为arcsin9.（2分）18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.解：（1）()sin cosf x t x x=+，x∈RⅠ0t=时，()cosf x x=()()()cos cosf x x x f x-=-==∴偶函数（2分）Ⅱ0t≠时， ()010f=≠∴不是奇函数（2分）1 , 122f t f tππ⎛⎫⎛⎫=+-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22f fππ⎛⎫⎛⎫≠-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴不是偶函数（2分）∴函数()f x非奇非偶函数；（2）由t=，()2f A=cos2A A+=，因为2a b=<=，所以0,2Aπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin16Aπ⎛⎫+=⎪⎝⎭，3Aπ=（4分）由2222cosa b c bc A=+-，解得12c±=（2分）1sin28ABCS bc A∆==.（2分）北东19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）如图，建立平面直角坐标系，则()()()0,2,4,3,1,0A B M ，则()1,2MA =- ,()3,3MB =（2分）10cos 10MA MBAMB MA MB⋅∠==（2分）故观测角71.610AMB ∠=≈︒（2分）（2）设()(),0 0M x x >①4x =时，tan 2AM B ∠=，arctan 245AMB ∠=>︒（2分）②4x ≠时，2MAk x =-，34MB k x=-2460MA MB x x ⋅=-+>，AMB ∴∠为锐角,设tan y AMB=∠()2238464614x x x y x x x x --+-∴==-+--（2分）当4x =时，2y =符合上式，综上28, 046x y x x x +=>-+45A M B ∠≥︒ ，1y ∴≥整理得2520x x --≤（2分）502x +<≤所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为5.4公里.（2分）20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分解：（1）由已知条件，设椭圆Γ：()222210x y a b a b+=>>，则 4c a ===（2分）椭圆Γ：221164x y +=（2分）（2）设()()1122,,,P x y Q x y 则121214OP OQy yk k x x ⋅=-=，整理得121240x x y y +=，由221122224444x y x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ ()22222222121212384OP OQ x x y y x x ∴+=+++=++（2分）222222121212444416x x x x y y ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得221216x x +=（2分）代入()22221238204OP OQ x x +=++=，为定值.（2分）（3）由椭圆的对称性可知，()22,R x y --()211121:PQ y y l y y x x x x --=--，()211121:RP y yl y y x x x x +-=-+，故()211121Ny y y y x x x -=+--，()211121M y yy y x x x +=+-+，于是()2122111222112PMN M N x y x y S x y y x x x ∆-=-⋅-=-（2分）又1122122112101PQR OPQ x y S S x y x y x y ∆∆===-（2分）代入PQR PMN S S ∆∆=，再将222116x x =-代入得()2211162x x -=-.若()2211162x x -=-，化简得2113320x-+=，方程无解；若()2211216x x -=-，化简得211640x +-=解得：14x =（4-+舍去）∴点P横坐标为4.（2分）21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.解：（1）2 1 , 3a =-；3 3 , 1 , 5a =-（2分）()()()20222021min max 1202024041a a =-=-+⨯=-；（2分）（2）首先证明：pa q 和q a p 中至少一个等于1.（2分）反证法：设pa q 和qa p 都大于等于2，则212212p q q p-⎧≥⎪⎪⎨-⎪≥⎪⎩，即212212p q q p -≥⎧⎨-≥⎩，相加得20-≥，矛盾！（2分）所以pa q 和qa p 中至少一个等于1.不妨设1qa p=，则211q p -=，即21p q =-那么214334pa p q q q q q--===-，所以83,5,15p q q p a a +====.（2分）（3）非充分：取数列{}n a 如下：11a =，23a =，33a =-，1(1)(4)n n a n -=-≥.数列{}n a 满足条件，且对一切*N ,2n n ∈≥，均有20n S =，但不为周期数列；（3分）必要性：已知数列{}n a 为周期数列，设正整数T 为其一个周期.分如下三步证明1下证：若01n a =-，则00n S =；若数列{}n a 满足：11a =，1n n a a +=-或12n n a a +=+由22112()n n n n a a a a ++-=+可得：221144(1)(1)n n n n S S a a ++-=+-+所以2n ≥时：22212111444444(1)(1)4(1)n n n n n S S S S S S a a a -=-++-+=+-++=+ 1n =时，21144(1)S a ==+，即对一切*n N ∈，24(1)n n S a =+（2分）利用上式可知：0021(1)04n n S a =+=.（1分）2下证：若1(3)n a n =≥，则11n a -=-；由条件：1n n a a -=-，或12n n a a -=-可得：11n a -=-.1分3由11a =，21a =-或23a =，可知，周期2T ≥.由11kT a +=，且13(*)kT k N +≥∈，由②可知1kT a =-，由①可知0kT S =，所以，对一切*k N ∈，kT S ∈，即集合S 为无穷集合.1分。

2020届上海杨浦区高三二模数学试题解析

绝密★启用前2020届上海杨浦区高三二模数学试题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项：注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题 1．不等式102x x -≤-的解集为（） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞ D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞答案：B把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．解：原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．点评：本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．2．设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件答案：B根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．解：充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立．故选：B ．. 点评：本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．3．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅u u u r u u u r u u u u r.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（） A ．逐渐变大 B ．逐渐变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大答案：B设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论．解：设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u u r2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小，故选：B. 点评：本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础． 4．设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅L 的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =L .①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（） A ．①和②都是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．②是真命题，①是假命题 D ．①和②都是假命题答案：D先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．解：设110n n n a a a k ++⋅=L ；则1211n n n a a a k +++⋅=L ，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个.若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ．点评：本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．二、填空题5．设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =I _______. 答案：{1,3}. 根据交集定义计算．解：由题意A B =I {1,3}．故答案为：{1,3}．点评：本题考查交集的运算，属于简单题．6．行列式120235580=_______. 答案：10根据行列式定义直接计算．解：120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=．故答案为：10．点评：本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 7．函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______. 答案：π用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期．解：21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π．点评：本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 8．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________．答案：2i -.在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 解：()1243i z i +=+Q ，()()()()24312434836105212121255i i i i i i iz i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -. 点评：本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.9．若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 答案：12. 直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．解：1131213S ==-．故答案为：12．点评：本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键． 10．在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______. 答案：47根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．解：由题意11 3427124217C CPC⋅===.故答案为：47．点评：本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．11．实数,x y满足约束条件3423x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y=+的最大值为_______.答案：2作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解．解：作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），联立2334x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，即点()1,1B，作直线:0l x y+=，平移直线l，当l过点()1,1B时，直线f x y=+在x轴上的截距最大，此时f x y=+取得最大值max112f=+=.故答案为：2.点评：本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．12．已知曲线1C的参数方程为212x ty t=-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为155xyθθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为_______.答案：5把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长．解：消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =d ==5==.故答案为：5．点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 13．数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.答案：3031由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ．解：由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=， ∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031．点评：本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减． 14．设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______.答案：10根据二项式定理确定(2n 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)n x +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．解：12r n rr r n T C -+=，有理项为奇数项，即0220222n n n n n n C C C -+++L ，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++L n n n x a a x a x a x ，并记()(2)nf x x =+，则012(1)n f a a a a =++++L ，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-L ，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===L ，∴10n =．故答案为：10．. 点评：本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)nf x x =+的系数是解题关键．15．设a b c r rr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r ，则a b ⋅rr 的值为_______.利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r 可设a b k ⋅=r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c r r 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅r r r r，建立θ方程关系求解即可.解：():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r ，设a b k ⋅=r r ，则,2b c k a c k ⋅=⋅=r r r r ， a b c r r r、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c rr 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=r r r r，22cos 2cos 10θθ--=，解得cos θ=cos θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==r r .故答案为：13-．点评：本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题. 16．已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 答案：23y x =根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程．解：按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=，两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧，故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =．点评：本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．三、解答题17．如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小答案：（1）83π（2）3arccos 4 （1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角．解：（1）由题可得4,23PB OP ==，故体积21183223333V S h ππ=⋅⋅=⋅⨯⨯=. （2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,3),(2,0,0),(0,0,23)M A P ，所以(0,1,3),(2,0,23)OM AP ==-u u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故所成角为3arccos 4.点评：本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18．已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.答案：（1）8c =（2）（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．解：（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=，∴()22222CA CB CM AM +=+，即()2492529AM +=+，∴AM =∴2c AM ==，由222492511219cos sin 27035a b c C C ab +-+-===-⇒=∴11sin 5722ABC S ab C ==⨯⨯=V 点评：本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论；（2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值．解：（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =- 令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小. （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.点评：本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20．已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r，求证：λμ+为定值.答案：（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析；（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅u u u u r u u u r可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=u u u u r u u u u r可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．解：（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k -=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++u u u u r u u u r122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r 得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.点评：本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21．已知()21x mf x mx +=++，其中m 是实常数.（1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围；（2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.答案：（1）(0,2(2)⋃+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析；（1）直接解不等式1()18f m>即可；（2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论；（3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．解：（1）112218m m f m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,2(2)m ∈⋃+∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mmf f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-※大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u mu mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩，两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=①同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=②，①-②得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故※0>.证毕. 点评：本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题含解析

上海市杨浦区2021届新高考第二次模拟数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,a b r r 为非零向量，则“a b a b +=+r r r r ”是“a r 与b r 共线”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案. 【详解】若a b a b +=+r r r r ，则a r 与b r共线，且方向相同，充分性；当a r 与b r共线，方向相反时，a b a b ≠++r r r r ，故不必要.故选：A . 【点睛】本题考查了向量共线，充分不必要条件，意在考查学生的推断能力. 2．已知2π()12cos ()(0)3f x x ωω=-+>.给出下列判断： ①若12()1,()1f x f x ==-，且12minπx x -=，则2ω=；②存在(0,2)ω∈使得()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的图象关于y 轴对称； ③若()f x 在[]0,2π上恰有7个零点，则ω的取值范围为4147,2424⎡⎫⎪⎢⎭⎣； ④若()f x 在ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的取值范围为20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦.其中，判断正确的个数为（） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【分析】对函数()f x 化简可得π()sin(2)6f x x ω=+，进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】因为2π2ππ()12cos ()cos(2)sin(2)336f x x x x ωωω=-+=-+=+，所以周期2ππ2T ωω==. 对于①，因为12min 1π2x x T -==，所以ππ2T ω==，即12ω=，故①错误；对于②，函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得到的函数为ππsin(2)36y x ωω=-+，其图象关于y 轴对称，则ππππ()362k k ω-+=+∈Z ，解得13()k k ω=--∈Z ，故对任意整数k ，(0,2)ω∉，所以②错误；对于③，令π()sin(2)06f x x ω=+=，可得π2π6x k ω+=()k ∈Z ，则ππ212k x ωω=-，因为π(0)sin 06f =>，所以()f x 在[]0,2π上第1个零点1>0x ，且1ππ212x ωω=-，所以第7个零点7ππππ3π41π321221212x T ωωωωωω=-+=-+=，若存在第8个零点8x ，则8ππ7ππ7π47π2122212212x T ωωωωωω=-+=-+=，所以782πx x ≤<，即2π41π47π1212ωω≤<，解得41472424ω≤<，故③正确；对于④，因为π(0)sin 6f =，且ππ0,64⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以πππ2662πππ2462ωω⎧⎛⎫-+≥- ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪⨯+≤⎪⎩，解得23ω≤，又0>ω，所以203ω<≤，故④正确. 故选：B. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性，考查学生的计算求解能力与推理能力，属于中档题. 3．已知复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数（） A ．-1 B ．1C ．0D ．2【答案】B 【解析】【分析】化简得到，根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】为纯虚数，故且，即.故选：. 【点睛】本题考查了根据复数类型求参数，意在考查学生的计算能力. 4．设2log 3a =，4log 6b =，0.15c -=，则（） A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】A 【解析】【分析】先利用换底公式将对数都化为以2为底,利用对数函数单调性可比较,a b ,再由中间值1可得三者的大小关系. 【详解】()2log 31,2a =∈，()422log 6log 1,log 3b ==，()0.150,1c -=∈，因此a b c >>，故选：A.【点睛】本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小,属于基础题.5．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（） A ．2 B ．3C ．4D ．1【答案】B 【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题. 【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a 中，公比2q =，前n 项和为n S ，55S =，3531m S =，求m 的值．因为()51512512a S -==-，解得1531a =，()51235311231m mS -==-，解得3m =．故选B ．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.6．已知x ，y 满足条件0020x y y x x y k ≥≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩，（k 为常数），若目标函数3z x y =+的最大值为9，则k =（）A ．16-B ．6-C ．274-D ．274【答案】B 【解析】【分析】由目标函数3z x y =+的最大值为9，我们可以画出满足条件件0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）的可行域，根据目标函数的解析式形式，分析取得最优解的点的坐标，然后根据分析列出一个含参数k 的方程组，消参后即可得到k 的取值．【详解】画出x ，y 满足的0,0(20x y y xk x y k ⎧⎪⎨⎪++⎩厖……为常数）可行域如下图：由于目标函数3z x y =+的最大值为9，可得直线0y =与直线93x y =+的交点(3,0)B ，使目标函数3z x y =+取得最大值，将3x =，0y =代入20x y k ++=得：6k =-．故选：B ．【点睛】如果约束条件中含有参数，我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组)，代入另一条直线方程，消去x ，y 后，即可求出参数的值．7．已知函数()f x 满足：当[)2,2x ∈-时，()()22,20log ,02x x x f x x x ⎧+-≤≤=⎨<<⎩，且对任意x ∈R ，都有()()4f x f x +=，则()2019f =（）A ．0B ．1C ．-1D ．2log 3【答案】C 【解析】【分析】由题意可知()()20191f f =-，代入函数表达式即可得解. 【详解】由()()4f x f x +=可知函数()f x 是周期为4的函数，∴()()()()20191450511121f f f =-+⨯=-=-⨯-+=-.故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数和函数周期的应用，属于基础题. 8．已知复数()()2019311i i z i --=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =- D．z =【答案】D 【解析】【分析】利用i 的周期性先将复数z 化简为42i z =-+即可得到答案. 【详解】因为2i 1=-，41i =，5i i =，所以i 的周期为4，故4504334i 24i 24i 242i i i iz ⨯++++====-+-，故z 的虚部为2，A 错误；z 在复平面内对应的点为(4,2)-，在第二象限，B 错误；z 的共轭复数为42z i =--，C错误；z ==D 正确. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的四则运算，涉及到复数的虚部、共轭复数、复数的几何意义、复数的模等知识，是一道基础题.9．《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思是：“现在有一根金箠，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少?”按这一问题的颗设，假设金箠由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（） A ．73斤 B ．72斤 C ．52斤 D ．3斤【答案】B 【解析】【分析】依题意，金箠由粗到细各尺重量构成一个等差数列，14a =则52a =，由此利用等差数列性质求出结果．【详解】设金箠由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为{}n a ，设首项14a =，则52a =，∴公差5124151512a a d --===---，2172a a d ∴=+=. 故选B 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．已知函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42xg x x a -=-⋅，若存在实数0x ，使()()005f x g x -=成立，则正数a 的取值范围为（）A ．(]01，B ．(]04，C ．[)1+∞，D ．(]0,ln2 【答案】A 【解析】【分析】根据实数0x 满足的等量关系，代入后将方程变形0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，构造函数()ln 5h x x x =+-，并由导函数求得()h x 的最大值；由基本不等式可求得00242x x a a -⋅+⋅的最小值，结合存在性问题的求法，即可求得正数a 的取值范围. 【详解】函数()2xf x x a =+⋅，()ln 42x gx x a -=-⋅，由题意得()()0000002ln 425x x f x g x x a x a --=+⋅-+⋅=，即0000242ln 5x x a a x x -⋅+⋅=+-，令()ln 5hx x x =+-，∴()111x h x x x-'=-=， ∴()h x 在()01，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，∴()()14max hx h ==，而0024224xx a a a -⋅+⋅≥=，当且仅当00242x x -=⋅，即当01x =时，等号成立， ∴44a ≤， ∴01a <≤. 故选：A. 【点睛】本题考查了导数在求函数最值中的应用，由基本不等式求函数的最值，存在性成立问题的解法，属于中档题.11．已知:cos sin 2p x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，:q x y =则p 是q 的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据诱导公式化简sin cos 2y y π⎛⎫+= ⎪⎝⎭再分析即可. 【详解】因为cos sin cos 2x y y π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,所以q 成立可以推出p 成立,但p 成立得不到q 成立,例如5cos cos33ππ=,而533ππ≠,所以p 是q 的必要而不充分条件. 故选：B 【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.12．已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若点2F 关于双曲线渐近线的对称点A 满足11F AO AOF ∠=∠（O 为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x =±B ．y =C ．y =D ．y x =±【答案】B 【解析】【分析】先利用对称得2AF OM ⊥，根据11F AO AOF ∠=∠可得1AF c =，由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，从而解得渐近线方程.【详解】如图所示：由对称性可得：M 为2AF 的中点，且2AF OM ⊥，所以12F A AF ⊥，因为11F AO AOF ∠=∠，所以11AF F O c ==，故而由几何性质可得160AFO ∠=o ，即260MOF ∠=o ，故渐近线方程为3y x =，故选B. 【点睛】本题考查了点关于直线对称点的知识，考查了双曲线渐近线方程，由题意得出260MOF ∠=o是解题的关键，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

上海市杨浦区2023届高三二模数学试题

一、单选题二、多选题1. 已知是双曲线的焦点，是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，是椭圆与双曲线的一个公共点，设，则（）A．B．C．D ．且且2.已知点为的外心，的边长为2，则（）A．B ．1C ．2D ．43. 已知椭圆的上顶点为A ，离心率为e ，若在C 上存在点P ，使得，则的最小值是（）A．B．C．D．4. 在四边形ABCD中，，且满足，则（）A ．2B．C．D．5. 已知数列是无穷项等比数列，公比为，则“”是“数列单调递增”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件6. 设全集，，，则A．B．C．D．7. 设有下面四个命题，其中的真命题为A ．若复数，则B ．若复数满足，则或C ．若复数满足，则D ．若复数满足，则8.已知向量满足，且，则向量在向量上的向量为（）A ．1B ．-1C．D．9. 袋中装有除颜色外完全相同的1个红球和2个白球，从袋中不放回的依次抽取2个球.记事件A =“第一次抽到的是白球”，事件B =“第二次抽到的是白球”，则（）A ．事件A 与事件B 互斥B ．事件A 与事件B 相互独立C．D．10.已知点分别是直线和圆上的动点，则（）A．点到直线的最大距离为7B ．当直线被圆所截得的弦长最大时，的值为1C ．若直线与圆相切，则的值为D ．若直线与被圆截得的弦长为，则的值为11. 下列命题是假命题的有（）A ．回归方程至少经过点中的一个B ．若变量y 和x 之间的相关系数，则变量y 和x 之间的负相关性很强C ．在回归分析中，决定系数为0.80的模型比决定系数为0.98的模型拟合的效果要好D ．在回归方程中，变量时，变量y 的值一定是﹣7上海市杨浦区2023届高三二模数学试题三、填空题四、解答题12.如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A 为塔顶，B 为塔底)的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C 与D (B ，C ，D 不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（）A．B．C．D．13. 的展开式中的常数项为___________.14. 在R上定义运算，则满足的实数x 的取值范围是____________15.已知函数，若在内无零点，则的取值范围是________.16.已知等差数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.17. 产品的总成本与原料成本､运费及存储保管所需费用（简称仓储费）有密切关系.某企业上半年分数次共购进吨生产原料，且每次均购进原料吨（）.据前期测算分析，运费为每次2万元，总仓储费为万元.设该企业上半年的运费与总仓储费之和为.(1)求关于的表达式；(2)每次购进多少吨原料，可以使该企业上半年的运费与总仓储费之和最小？最小为多少万元？18. 如图，直角中，，，分别是边的中点，沿将折起至，且.(1)求四棱锥的体积；(2)求证：平面平面．19. 已知的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且，．在①；②；③．这三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，并作答．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）(1)求的面积S；(2)求角A的平分线的长．20. 锐角的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，求；（2）若，求b的取值范围．21. 已知函数在上单调递减.（1）求实数的取值范围；（2）若存在非零实数，满足，，依次成等差数列.求证：.。

上海市四区(杨浦、青浦、宝山、静安)高三数学二模考试试题文(含解析)

上海市四区（杨浦、青浦、宝山、静安）高三数学二模考试试题文（含解析）一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）（2013•宝山区二模）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则∁U A= [﹣1，3] ．考点：并集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：由题意求出集合A，然后直接写出它的补集即可．解答：解：全集U=R，集合A={x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，所以∁U A={x|﹣1≤x≤3}，即∁U A=[﹣1，3]．故答案为：[﹣1，3]．点评：本题考查集合的基本运算，补集的求法，考查计算能力．2．（4分）（2013•宝山区二模）若复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），则|z|= ．考点：复数求模；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得（1+i）z=2i，可得z=，再利用两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质求得z的值，即可求得|z|．解答：解：∵复数z满足z=i（2﹣z）（i是虚数单位），∴z=2i﹣iz，即（1+i）z=2i，∴z===1+i，故|z|=，故答案为．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3．（4分）（2013•宝山区二模）已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是θ，则tan2θ=．考点：两角和与差的正切函数；直线的倾斜角．专题：三角函数的图像与性质．分析：有直线的方程求出直线的斜率，即得tanθ=﹣2，再利用二倍角的正切公式求得tan2θ的值．解答：解：已知直线2x+y+1=0的倾斜角大小是θ，则有tanθ=﹣2，且0≤θ＜π．∴tan2θ===，故答案为．点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率，二倍角的正切公式的应用，属于基础题．4．（4分）（2013•宝山区二模）若关于x、y的二元一次方程组有唯一一组解，则实数m的取值范围是．考点：两条直线的交点坐标．专题：数形结合．分析：把给出的二元一次方程组中的两个方程看作两条直线，化为斜截式，由斜率不等即可解得答案．解答：解：二元一次方程组的两个方程对应两条直线，方程组的解就是两直线的交点，由mx﹣y+3=0，得y=mx+3，此直线的斜率为m．由（2m﹣1）x+y﹣4=0，得y=﹣（2m﹣1）x+4．若二元一次方程组有唯一一组解，则两直线的斜率不等，即m≠1﹣2m，所以m．故答案为．点评：本题考查了二元一次方程组的解法，考查了数形结合的解题思想，二元一次方程组的解实质是两个方程对应的直线的交点的坐标，是基础题．5．（4分）（2013•宝山区二模）已知函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线x ﹣y=0对称，则函数y=f（x）的解析式为y=2x﹣1 ．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数y=f（x）和函数y=log2（x+1）的图象关于直线x﹣y=0对称，知f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，求出y=log2（x+1）的反函数即得到f（x）的表达式．解答：解：∵数y=f（x）的图象与函数y=log2（x+1）（x＞﹣1）的图象关于直线x﹣y=0对称，∴f（x）是函数y=log2（x+1）的反函数，∴f（x）=2x﹣1，（x∈R）；故答案为：y=2x﹣1．点评：本题考查反函数、求反函数的方法，属于基础题．6．（4分）（2013•宝山区二模）已知双曲线的方程为，则此双曲线的焦点到渐近线的距离为 1 ．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．解答：解：由题得：其焦点坐标为（﹣2，0），（2，0）．渐近线方程为y=±x，即y ﹣x=0，所以焦点到其渐近线的距离d==1．故答案为：1．点评：本题以双曲线方程为载体，考查双曲线的标准方程，考查双曲线的几何性质，属于基础题．7．（4分）（2013•宝山区二模）函数的最小正周期T= π．考点：二阶行列式与逆矩阵；两角和与差的余弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用行列式的计算方法化简f（x）解析式，再利用二倍角的余弦函数公式化为一个角的余弦函数，找出ω的值，即可求出最小正周期．解答：解：f（x）=cos2x﹣sin2x=cos2x，∵ω=2，∴T=π．故答案为：π点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及二阶行列式与逆矩阵，化简函数解析式是解本题的关键．8．（4分）（2013•宝山区二模）（文）若，则目标函数z=2x+y的最小值为 4 ．考点：简单线性规划．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+y，过可行域内的点A（1，2）时的最小值，从而得到z 最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域三角形，A（1，2），（4，2），C（1，5），则目标函数z=2x+y的最小值为4．故答案为：4．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．9．（4分）（2013•宝山区二模）执行如图所示的程序框图，若输入p的值是7，则输出S的值是．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6的值．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是：输出S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6的值．而S=2﹣1+2﹣2+…+2﹣6==最后输出的值为．故答案为：．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．10．（4分）（2013•宝山区二模）已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm，如果圆锥的体积恰好也与球的体积相等，那么这个圆锥的母线长为cm．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积．专题：计算题．分析：求出球的体积，利用圆锥的体积与球的体积相等，求出圆锥的高，然后求出圆锥的母线长即可．解答：解：由题意可知球的体积为：=，圆锥的体积为：=，因为圆锥的体积恰好也与球的体积相等，所以，所以h=4，圆锥的母线：=．故答案为：．点评：本题考查球的体积与圆锥的体积公式的应用，考查计算能力．11．（4分）（2013•宝山区二模）某中学在高一年级开设了4门选修课，每名学生必须参加这4门选修课中的一门，对于该年级的甲、乙、丙3名学生，这3名学生选择的选修课互不相同的概率是（结果用最简分数表示）．考点：等可能事件的概率．专题：概率与统计．分析：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有=24种，由此求得这3名学生选择的选修课互不相同的概率．解答：解：所有的选法共有43=64 种，3这名学生选择的选修课互不相同的选法有=24种，故这3名学生选择的选修课互不相同的概率为=，故答案为．点评：本题主要考查等可能事件的概率，分步计数原理的应用，属于中档题．12．（4分）（2013•宝山区二模）正项无穷等比数列a n的前n项和为S n，若，则其公比q的取值范围是（0，1）．考点：数列的极限；等比数列的性质．专题：计算题．分析：由题设条件知=1，所以0＜q＜1．解答：解：∵正项无穷等比数列a n的前n项和为S n，且，∴==1，∴0＜q＜1．故答案为：（0，1）．点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意公式的灵活运用．13．（4分）（2013•宝山区二模）已知函数f（x）=x|x|．当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（1，+∞）．考点：奇偶性与单调性的综合．专题：函数的性质及应用．分析：根据已知函数的解析式易判断出函数的奇偶性及单调性，结合单调性可将不等式f （x+2a）＞4f（x）可化为x+2a＞2x，将恒成立问题转化为最值问题后，易得答案．解答：解：∵y=|x|为偶函数，y=x为奇函数∴f（x）=x|x|奇函数当x≥0时，f（x）=x2为增函数，由奇函数在对称区间上单调性相同可得函数f（x）在R上增函数又∵不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为（x+2a）|x+2a|＞4x•|x|=2x•|2x|=f（2x）故当x∈[a，a+1]时，不等式f（x+2a）＞4f（x）恒成立，即当x∈[a，a+1]时，不等式x+2a＞2x恒成立即x＜2a恒成立即a+1＜2a解得a＞1故实数a的取值范围是（1，+∞）故答案为：（1，+∞）点评：本题考查的知识点是函数奇偶性与单调性的综合应用，恒成立问题，其中分析出函数的单调性并将不等式f（x+2a）＞4f（x）可化为x+2a＞2x是解答的关键．14．（4分）（2013•宝山区二模）函数y=f（x）的定义域为[﹣1，0）∪（0，1]，其图象上任一点P（x，y）满足x2+y2=1．①函数y=f（x）一定是偶函数；②函数y=f（x）可能既不是偶函数，也不是奇函数；③函数y=f（x）可以是奇函数；④函数y=f（x）如果是偶函数，则值域是[0，1）或（﹣1，0]；⑤函数y=f（x）值域是（﹣1，1），则y=f（x）一定是奇函数．其中正确命题的序号是②③⑤（填上所有正确的序号）．考点：命题的真假判断与应用．专题：作图题．分析：由题意知：函数图象均为单位圆x2+y2=1的一部分，按选项的要求作出函数的图象，数形结合可得答案．解答：解：如图1，图象满足题意，则可知①错误，③正确，⑤正确；如图2，可知②正确；如图3，为偶函数，但值域不是[0，1）或（﹣1，0]，故④错误，故答案为：②③⑤点评：本题考查命题真假的判断，涉及函数的奇偶性和值域问题，属基础题．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.15．（5分）（2013•宝山区二模）已知a∈（，π），sina=，则tan（a﹣）等于（）C．7D．A．﹣7 B．﹣考点：同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：根据同角三角函数关系先求出cosa，然后根据tana=求出正切值，最后根据两角差的正切函数公式解之即可．解答：解：∵a∈（，π），sina=，∴cosa=﹣，则tana===﹣∴tan（a﹣）===﹣7故选A．点评：本题主要考查了同角三角函数的基本关系，以及两角差的正切函数，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．16．（5分）（2013•宝山区二模）一个空间几何体的正视图、侧视图为两个边长是1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个几何体的表面积等于（）A．B．C．D．6考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：利用三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求出几何体的表面积．解答：解：由三视图知，几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，底面直角边的长为：1；棱柱的高为：1．所以三棱柱的表面积为：2S底+S侧==3+．故选B．点评：本题考查三棱柱的三视图的判断，考查空间想象能力，计算能力．17．（5分）（2013•宝山区二模）若直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），则（）A．a2+b2≤4B．a2+b2≥4C．D．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用题设中的直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），得到acosα+bsinα=2，结合同角关系式中的平方关系，利用基本不等式求得正确选项．解答：解：直线ax+by=2经过点M（cosα，sinα），∴acosα+bsinα=2，∴a2+b2=（a2+b2）（cos2α+sin2α）≥（acosα+bsinα）2=4，（当且仅当时等号成立）故选B．点评：本题主要考查了直线的方程、柯西不等式求最值等．注意配凑的方法，属于基础题．18．（5分）（2013•宝山区二模）某同学为了研究函数的性质，构造了如图所示的两个边长为1的正方形ABCD和BEFC，点P是边BC上的一个动点，设CP=x，则f（x）=AP+PF．那么，可推知方程解的个数是（）A．0．B．1．C．2．D．4．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得当A、P、F共线，即x=时，f（x）取得最小值为＜，当P与B 或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为+1＞．由此作出函数的图象可得答案．解答：解：由题意可得函数=AP+PF，当A、P、F共线，即x=时，f（x）取得最小值为＜，当P与B或C重合，即x=1或0时，f（x）取得最大值为+1＞．故函数f（x）的图象应如图所示：而方程解的个数就是函数f（x）与y=的图象交点的个数，故方程解的个数应为2故选C点评：本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，体现了化归与转化的数学思想，属中档题．三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2013•宝山区二模）如图，设计一个正四棱锥形冷水塔，高是0.85米，底面的边长是1.5米．（1）求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板？（精确到0.01米2）考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）确定棱锥的边长与棱锥的高，然后直接求这个正四棱锥形冷水塔的容积；（2）求出棱锥的斜高，求出侧面积，即可得到制造这个水塔的侧面需要多少平方米钢板（精确到0.01米2）．解答：（本题满分12分）本题共有2小题，第1小题满分（5分），第2小题满分（7分）．解：（1）如图正四棱锥底面的边长是1.5米，高是0.85米=所以这个四棱锥冷水塔的容积是0.6375m3．（2）如图，取底面边长的中点E，连接SE，=答：制造这个水塔的侧面需要3.40平方米钢板．点评：本题考查棱锥的体积与侧面积的求法，考查计算能力．20．（14分）（2013•宝山区二模）如图所示，扇形AOB，圆心角AOB的大小等于，半径为2，在半径OA上有一动点C，过点C作平行于OB的直线交弧AB于点P．（1）若C是OA的中点，求PC；（2）设∠COP=θ，求△POC周长的最大值及此时θ的值．考点：余弦定理的应用；正弦定理．专题：计算题；解三角形．分析：（1）通过已知条件，利用余弦定理，就求出PC即可；（2）设∠COP=θ，利用正弦定理求出OC，然后求△POC周长的表达式，利用两角和的正弦函数化简函数的表达式，然后求出最大值及此时θ的值．解答：（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（8分）．解：（1）在△POC中，，OP=2，OC=1由得PC2+PC﹣3=0，解得．（2）∵CP∥OB，∴，在△POC中，由正弦定理得，即∴，又∴．记△POC的周长为C（θ），则=∴时，C（θ）取得最大值为．点评：本题考查解三角形的知识，正弦定理与余弦定理的应用，两角和与差的三角函数的应用，考查分析问题解决问题的能力．21．（14分）（2013•宝山区二模）已知椭圆．（1）直线AB过椭圆Γ的中心交椭圆于A、B两点，C是它的右顶点，当直线AB的斜率为1时，求△ABC的面积；（2）设直线l：y=kx+2与椭圆Γ交于P、Q两点，且线段PQ的垂直平分线过椭圆Γ与y 轴负半轴的交点D，求实数k的值．考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意写出C点坐标，直线AB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交点A、B 的纵坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，代入数值即可求得面积；（2）联立直线l与椭圆方程消掉y得x的二次方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），由韦达定理及中点坐标公式可用k表示出中点坐标，由垂直可得k DH•k PQ=﹣1，解出即得k值，注意检验△＞0；解答：解：（1）依题意，，，直线AB的方程为y=x，由，得，设A（x1，y1）B（x2，y2），∵，∴；（2）由得（3k2+1）x2+12kx=0，△=（12k）2≥0，依题意，k≠0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点H（x0，y0），则，，D （0，﹣2），由k DH •k PQ =﹣1，得，解得．所以实数k 的值为．点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、三角形面积公式，韦达定理、判别式是解决该类题目的常用知识，要熟练掌握．22．（16分）（2013•宝山区二模）已知函数f （x ）=x 2+a ．（1）若是偶函数，在定义域上F （x ）≥ax 恒成立，求实数a 的取值范围；（2）当a=1时，令g （x ）=f （f （x ））﹣λf（x ），问是否存在实数λ，使g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数？如果存在，求出λ的值；如果不存在，请说明理由．考点：函数恒成立问题．专题：函数的性质及应用．分析：（1）把函数f （x ）的解析式代入函数F （x ）利用函数是偶函数求出b=0，把b=0代回函数F （x ）的解析式，由F （x ）≥ax 恒成立分离出参数a ，然后利用基本不等式求最值，则a 的范围可求；（2）把a=1代入函数f （x ）的解析式，求出函数g （x ）解析式，由偶函数的定义得到函数g （x ）为定义域上的偶函数，把函数g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数转化为在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数，换元后利用复合函数的单调性得到换元后的二次函数的对称轴，由对称轴可求λ的值．解答：解：（1）．由F （x ）是偶函数，∴F（﹣x ）=F （x ），即∴﹣bx+1=bx+1，∴b=0．即F （x ）=x 2+a+2，x ∈R ．又F （x ）≥ax 恒成立，即x 2+a+2≥ax 恒成立，也就是a （x ﹣1）≤x 2+2恒成立．当x=1时，a ∈R当x ＞1时，a （x ﹣1）≤x 2+2化为，而，∴．当x ＜1时，a （x ﹣1）≤x 2+2化为，而，∴综上：；（2）存在实数λ=4，使g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数．事实上，当a=1时，f （x ）=x 2+1．g （x ）=f （f （x ））﹣λf（x ）=（x 2+1）2+1﹣λ（x 2+1）=x 4+（2﹣λ）x 2+（2﹣λ）．∵g（﹣x ）=（﹣x ）4+（2﹣λ）（﹣x ）2+（2﹣λ）=g （x ）∴g（x ）是偶函数，要使g （x ）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，在（﹣1，0）上是增函数，即g （x ）只要满足在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数即可．令t=x 2，当x ∈（0，1）时t ∈（0，1）；x ∈（1，+∞）时t ∈（1，+∞），由于x ∈（0，+∞）时，t=x 2是增函数，记g （x ）=H （t ）=t 2+（2﹣λ）t+（2﹣λ），故g （x ）与H （t ）在区间（0，+∞）上有相同的增减性，当二次函数H （t ）=t 2+（2﹣λ）t+（2﹣λ）在区间（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数时，其对称轴方程为t=1， ∴，解得λ=4．点评：本题考查了函数的性质，考查了函数的单调性与奇偶性的应用，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了分离变量及利用基本不等式求参数的取值范围，考查了二次函数的单调性．属难题． 23．（18分）（2013•宝山区二模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，．从{a n }中抽出部分项，（k 1＜k 2＜…＜k n ＜…）组成的数列是等比数列，设该等比数列的公比为q ，其中．（1）求a 2的值；（2）当q 取最小时，求{k n }的通项公式；（3）求k 1+k 2+…+k n 的值．考点：数列递推式；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知：a 1=2，．令n=1即可得出；（2）当n≥2时，由⇒na n+1﹣（n﹣1）a n=a n+n，（n=1时也成立）即可得出通项a n．解法一：数列{a n}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，由k2=2，3，经验证不符合题意，应舍去；若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，可求出k n；解法二：设存在（k1＜k2＜…＜k n＜…）组成的数列是等比数列，则，即即可得出k n．（3）利用（2）求出的k n，利用等比数列的前n项和公式即可得出．解答：解：（1）令n=1得，即，又a1=2，∴．（2）当n≥2时，由⇒na n+1﹣（n﹣1）a n=a n+n，由（1）可知：．∴∀n∈N*，都有．∴数列{a n}是以2为首项，为公差的等差数列，∴．解法一：数列{a n}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，若k2=2，则由，得，此时，由解得，所以k2＞2，同理k2＞3；若k2=4，则由a4=4得q=2，此时组成等比数列，∴，3•2n﹣1=m+2，对任何正整数n，只要取m=3•2n﹣1﹣2，即是数列{a n}的第3•2n﹣1﹣2项．最小的公比q=2．∴．解法二：数列{a n}是正项递增等差数列，故数列的公比q＞1，设存在（k1＜k2＜…＜k n＜…）组成的数列是等比数列，则，即∵k2、k3∈N*且k2＞1所以k2+2必有因数3，即可设k2+2=3t，t≥2，t∈N，当数列的公比q最小时，即k2=4，⇒q=2最小的公比q=2．∴．（3）由（2）可得从{a n}中抽出部分项（k1＜k2＜…＜k n ＜…）组成的数列是等比数列，其中k1=1，那么的公比是，其中由解法二可得k2=3t﹣2，t≥2，t∈N．，t≥2，t∈N 所以．点评：熟练掌握数列的通项与前n项和公式S n之间的关系，等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式事件他的关键．。

2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷+答案解析(附后)

2022年上海市杨浦区高考数学二模试卷1. 若集合，，则______.2. 复数，则______.3. 直线l的参数方程为，，则直线l的斜率为______.4. 的二项展开式中，项的系数为______.5. 若圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的体积为______.6. 函数的反函数是______.7. 设a，b，c，，若行列式，则行列式的值为______.8. 已知集合，从集合A中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增的概率为______.9.等差数列的前n项和为，若，且，则______. 10. 已知点P为正边上或内部的一点，且实数x，y满足，则的取值范围是__________.11. 设点P是曲线上的动点，点，满足，则点P的坐标为______.12. 函数的值域中仅有5个不同的值，则的最小值为______.13. “”是“为第一象限角”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件14. 下列不等式恒成立的是( )A. B.C. D.15. 上海入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于立夏之后，测得连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定上海入夏的是( )A. 总体均值为，中位数为B. 总体均值为，总体方差大于C. 总体中位数为，众数为D. 总体均值为，总体方差为16. 记函数，，函数，，若对任意的，总有成立，则称函数包裹函数判断如下两个命题真假．①函数包裹函数的充要条件是；②若对于任意，对任意都成立，则函数包裹函数则下列选项正确的是( )A. ①真②假B. ①假②真C. ①②全假D. ①②全真17. 如图所示，正四棱柱的底面边长1，侧棱长4，中点为E，中点为求证：平面平面；连结，求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18. 已知函数，其中常数讨论函数的奇偶性，并说明理由；中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求当时，的面积．19. 如图所示，鸟类观测站需同时观测两处鸟类栖息地．A地在观测站正北方向，且距离观测站2公里处，B地在观测站北偏东方向，且距离观测站5公里．观测站派出一辆观测车记为点沿着公路向正东方向行驶进行观测，记为观测角．当观测车行驶至距观测站1公里时，求观测角的大小；精确到为了确保观测质量，要求观测角不小于，求观测车行驶过程中满足要求的路程有多长．精确到公里20. 如图，中心在原点O 的椭圆的右焦点为，长轴长为椭圆上有两点P ，Q ，连结OP ，OQ ，记它们的斜率为，，且满足求椭圆的标准方程；求证：为一定值，并求出这个定值；设直线OQ 与椭圆的另一个交点为R ，直线RP 和PQ 分别与直线交于点M ，N ，若和的面积相等，求点P 的横坐标．21. 已知数列满足：，或，对一切都成立．记为数列的前n 项和．若存在一个非零常数，对于任意，成立，则称数列为周期数列，T 是一个周期．求、所有可能的值，并写出的最小可能值；不需要说明理由若，且存在正整数p ，，使得与均为整数，求的值；记集合，求证：数列为周期数列的必要非充分条件为“集合S为无穷集合”．答案和解析1.【答案】【解析】解：，，故答案为：直接利用交集运算的概念得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合复数模公式，即可求解．本题主要考查复数模公式，属于基础题．3.【答案】2【解析】解：直线l的参数方程为，消去参数t可得，，即，直线l的斜率为故答案为：消去参数t可得，，即，再结合斜率的定义，即可求解．本题主要考查直线的参数方程，属于基础题．4.【答案】180【解析】解：的二项展开式的通项为，取，可得项的系数为故答案为：写出二项展开式的通项，取x的指数为2，求得r值，进一步得答案．本题考查二项式定理的应用，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．5.【答案】【解析】解：圆锥的母线长为5，底面半径为3，圆锥的高，该圆锥的体积故答案为：由圆锥的母线长为5，底面半径为3，求出圆锥的高，由此能求出该圆锥的体积．本题考查直圆锥的结构特征、体积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】【解析】解：，，故答案为：根据反函数的定义求出的反函数的解析式即可．本题考查了反函数的定义，是基础题．7.【答案】3【解析】解：，，解得故答案为：根据已知条件，结合行列式公式，即可求解．本题主要考查行列式的公式，属于基础题．8.【答案】【解析】解：从集合中任取一个元素a，使函数是奇函数且在上递增，则，1，3，所以，其概率为故答案为：利用古典概型公式计算即可．本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型．9.【答案】【解析】解：设等差数列的首项为，公差为d，由，且，得，解得，则故答案为：设等差数列的首项为，公差为d，由已知列方程组求得首项与公差，再求数列的极限得答案．本题考查等差数列的通项公式与前n项和，训练了数列极限的求法，是基础题．10.【答案】【解析】解：是三角形ABC内含边界的一点，且向量足，当P点在BC上时，，特别地，当点P与点B重合时有，，即，；当点P与点C重合时有，，即，；又点P在三角形ABC内含边界，，，；，即的取值范围是故答案为：根据题意，利用平面向量基本定理，结合特殊点的位置P与点B重合以及P与点C重合时对应的x、y值，即可求出的取值范围．本题考查了平面向量的基本定理的应用问题，也考查了平面向量的几何意义的应用问题，属中档题．11.【答案】【解析】解：因曲线在双曲线在x轴上方的部分，故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由，又，，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得，，故点P的坐标为故答案为：设双曲线的上焦点为，由已知可得，又，可示点P的坐标．本题考查双曲线的几何性质，属中档题．12.【答案】【解析】解：的图象，只是将的图象变成原来的倍，结合的对称性，当，，……，时，即最小正周期为9时，满足题意的最小正周期最大，此时故答案为：先求得余弦函数的周期最大值，进而求得的最小值，易知，则在一个周期内，结合对称性，只要，此时恰好有，，，，恰好满足题意，此时周期最大，则的最小值可求．本题考查三角函数的图像和性质，属于中档题．13.【答案】A【解析】解：，则一定为第一象限角；若为第一象限角，设，在第一象限，所以“”是“为第一象限角”的充分不必要条件．故选：利用第一象限角的定义，结合充分条件、必要条件的定义进行分析即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．14.【答案】B【解析】解：当，时，不成立，故选项A错误；当时，不成立，故选项C错误；当，时，不成立，故选项D错误；，故，故选项B正确；故选：举反例判断选项A、C、D，再通过不等式的性质判断选项B即可．本题考查了不等式的性质及其应用，属于基础题．15.【答案】D【解析】解：对于A，总体均值为，中位数为，可能出现低于的情况，故A不正确；对于B，当总体方差大于，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小，故B不正确；对于C，中位数和众数也不能确定，故C不正确：对于D，当总体均值为，总体方差为，平均气温会大概会不低于，故D正确．故选：根据总体均值，中位数，众数，总体方差的定义判断即可．本题考查总体均值，中位数，众数，总体方差，属于基础题．16.【答案】D【解析】解：①因数函数包裹函数，所以，又因为，所以，所以函数包裹函数的充要条件是，故①正确；②由，又因为，当且仅当时，等号成立，又因为，故对于任意，，可得，即函数包裹函数，所以②正确．故选：①根据包裹函数的定义可以得到，由，可得，即①正确；②根据包裹函数的定义可以得到，可得函数包裹函数，即②正确．本题属于新概念题，考查了学生的推理能力，理解定义是解答本题的关键，属于中档题．17.【答案】解：以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图则，，，，，，，，DE不在平面内，在平面内，可得DE与平面平行同理平面，又BD与DE为平面BDE内两条相交直线，可得平面BDE与平面平行．同建系，设平面BDE的一个法向量为，则，得，不妨取，则，又，设直线与平面BDE所成的角为，故，直线与平面BDE所成的角的正弦值为【解析】本题考查面面平行的证明，考查线面角的大小的求法，属中档题．以A为原点，AB，AD，所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图利用向量法证，同理平面，可证平面平面；利用向量法可求直线与平面BDE所成的角的正弦值．18.【答案】解：，，①时，，偶函数．②时，，不是奇函数，，不是偶函数．函数非奇非偶函数；由，，得，因为，所以，则，，由，解得，【解析】利用函数的奇偶性的定义，通过t是否为0，判断函数的奇偶性即可．利用已知条件求解A的大小，然后求解三角形的面积即可．本题考查三角形的解法，函数奇偶性的判断，余弦定理的应用，是中档题．19.【答案】解：根据题意，建立平面直角坐标系，如图所示：则，，，则，，所以，所以观测角设，①时，，所以，②时，直线MA的斜率为，直线MB的斜率为，因为，，所以，所以为锐角，设，则函数，当时，符合上式，又，且，所以，整理得，解得，且，所以观测车行进过程中满足要求的路程长度约为公里．【解析】根据题意建立平面直角坐标系，用坐标表示向量，利用数量积计算夹角的大小；设点M，利用坐标表示向量和直线的斜率，求出的正切值，从而求出对应的结果．本题考查了平面向量的坐标表示和直线方程的应用问题，是中档题．20.【答案】解：由已知条件，设椭圆：，则，椭圆：证明：设，，则，整理得，由，，，解得，代入，为定值．法一：设直线OQ与椭圆的另一个交点为R，直线RP和PQ分别与直线交于点M，N，设，，由椭圆的对称性可知，，，，故，，于是，又，若和的面积相等，代入，再将代入，得若，化简得，方程无解；若，化简得解得：舍去，点P横坐标为法二：设，，由椭圆的对称性可知，，，，，，或者，，或者，，或者舍，解得：，点P横坐标为【解析】利用椭圆的长轴长以及焦点坐标，求解a，c，然后求解b，得到椭圆方程．设，，通过结合得到坐标满足方程，转化求解为一定值即可．法一：推出，转化求解M、N的纵坐标，通过，转化求解点P 横坐标．法二通过，推出，转化求解点P横坐标即可．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：，3；，1，5，；首先证明：和中至少一个等于反证法：设和都大于等于2，则，即，相加得，矛盾！所以和中至少一个等于不妨设，则，即那么，所以，，证明：非充分：取数列如下：，，，数列满足条件，且对一切，，均有，但不为周期数列；必要性：已知数列为周期数列，设正整数T为其一个周期．分如下三步证明：①下证：若，则；若数列满足：，或由可得：所以时：时，，即对一切，，利用上式可知：②下证：若，则；由条件：，或可得：③由，或，可知，周期由，且，由②可知，由①可知，所以，对一切，，即集合S为无穷集合．【解析】由题意，直接写出、所有可能的值，写出的值即可，利用反证法，设和都大于等于2，得出矛盾，在求值，从充分性与必要性分别进行证明即可．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．。

2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷

2019-2020学年上海市杨浦区高三年级二模考试数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,3,5,7}B =，则=⋃B A 【答案】{1,3}【解析】,A B 共同元素是1,32. 行列式120235580的值为【答案】10【解析】行列式展开公式展开,得103. 函数23cos 1y x =+的最小正周期为【答案】π【解析】252cos 231212cos 31cos 32+=++=+=x x x y Θ ππ==∴22T4. 设i 是虚数单位，复数z 满足(12i)43i z +=+，则z = 【答案】i -2【解析】由复数z 满足i z i 34)21(+=+，可得i ii i i i i i z -=-=-+-+=++=25510)21)(21()21)(34(2134 5. 若{}n a 是无穷等比数列，首项113a =，公比13q =，则{}n a 各项的和S =【答案】21【解析】213113111=-=-=q a S 6. 在3名男生，4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为1男1女的概率为（结果用最简分数表示）【答案】74 【解析】742112271413===C C C P7. 实数x 、y 满足约束条件242300x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y =+的最大值为【答案】37【解析】如图可知，最优解为375332max =⎪⎭⎫ ⎝⎛f ，，8. 已知曲线1C 的参数方程为212x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 是参数），曲线2C 的参数方程为1x y θθ⎧=-⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C 和2C 的两个交点之间的距离为【答案】556 【解析】 ()51:,052:2221=++=+-y x C y x C5501---=∴d 54=55653251652222==-=-=∴d r l9. 数列{}n a 满足11a =，且132n n a a n ++=+对任意*n ∈N 均成立，则2020a = 【答案】3031【解析】由题可知521=+a a 且11=a ，则42=a ；832=+a a ，则43=a ；1143=+a a ，则74=a ；1454=+a a ，则75=a ；以此类推13,10,10876===a a a ……则这个数列的偶数项是首项为4公差为3的等差数列2020a 是这个等差数列的第1010项，则30313)11010(42020=⨯-+=a10. 设*n ∈N ，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =【答案】10=n【解析】第1+r 项为212r rn r nr x C T -+=所以当r 为偶数时为有理项即二项展开式的奇数项系数之和为29525 ()()2121229525nn -++=∴即10=n11. 设a r 、b r 、c r 是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r，则a b ⋅r r的值为【答案】12【解析】由a b b c ⋅=⋅r r r r 及a c =r r，可知a r 与b r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，设这个夹角为θ，① 当0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即()cos 0,1θ∈时，a r 与c r 的夹角为2θ，此时cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=r r r r ，cos 2cos 2c a c a θθ⋅=⋅⋅=r r r r，从而2cos 22cos 2cos 2cos 10cos θθθθθ=⇒--=⇒=均含)； ② 当,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()cos 1,0θ∈-时，a r 与c r 的夹角为22πθ-，类似①，可得()cos 222cos πθθ-=，即cos22cos θθ=，解得1cos 2θ-=或1cos 2θ+=(舍)；综上，1cos 2a b θ⋅==r r12. 已知抛物线1Γ与2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程分别为0x =与5120x y +=，设两抛物线交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为【答案】230x y -=【解析】由题意可知A 和B 两点既在1Γ又在2Γ上，所以到两准线的距离相等，由点到直线距离公式可知51213x yx +=，由抛物线定义以及焦点位置和准线方程并结合图像知AB 斜率为正，所以AB 方程为230x y -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 不等式102x x -≤-的解集为（）【A 】 [1,2] 【B 】 [1,2) 【C 】 (,1][2,)-∞+∞U 【D 】 (,1)(2,)-∞+∞U 【答案】B【解析】()()021≤--x x 且2≠x 解得选B14. 设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（）【A 】充分非必要条件【B 】必要非充分条件【C 】充要条件【D 】既非充分又非必要条件【答案】B【解析】举出反例即可比如i 2321--=ω. 15. 设1F 、2F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 分别是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅uu u r uuu r uuu r，在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小的变化情况为（）【A 】逐渐变大【B 】逐渐变小【C 】先变大后变小【D 】先变小后变大【答案】B【解析】令()()()()()20202022100520,5,0,5,,y x y xs F F y x P +--+=∴-595591452020202020+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++=x x x y x s ，可知选B16. 设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,,n n n a a a ++⋅⋅⋅的乘积是定值（1,2,3,,2010n =⋅⋅⋅），命题① 存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ② 不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1；的真假情况为（）【A 】 ①和②都是真命题【B 】 ①是真命题，②是假命题【C 】 ②是真命题，①是假命题【D 】 ①和②都是假命题【答案】D【解析】令A a a a n n n =⋅⋅⋅++101Λ则A a a a n n n =⋅⋅⋅+++1121Λ则n n a a =+11，即周期为11=T ；183112020=余数是7；若一个周期内有两个1，则至少有366个1，①错；若一个周期内有三个1，则有549至552个1，②错；选D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面上的两条相互垂直的半径，点M 是母线BP 的中点，已知2OA OM ==. （1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成的角的大小. 【答案】（1）π338（2）3arccos 4【解析】（1）0229024,4223POB PM MB MO PB PO ∠=∴===∴==-=Q故圆锥的体积21183223333V Sh ππ==⋅⋅=；（2）以O 点为原点，,,OA OB OP u u u r u u u r u u u r方向为x,y,z 轴正方向，建立空间直角坐标系，则()1(OB+)=0,1,3,(0,0,23)(2,0,0)(2,0,23)2OM OP AP ==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则63cos 244OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，所以异面直线OM 与AP 所成角为3arccos 4.18. 已知三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且5a =，7b =. （1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积. 【答案】（1）8=c （2）66 【解析】(1)（解法一）由余弦定理，2222-=2cos ,25-49=58a cb ac B c c c ++=即，在正实数集合中解得（解法二）由正弦定理，sin sin a A B a b A B B b ==<∴<∴为锐角111sin 214sin 8sin bc C B+=∴=⋅=（2）（解法一）设AM MB x ==则由cos CMA cos CMB∠=-∠知222222353702323x x x x +-+-+=⨯⨯⨯⨯解得x =故22235cos 23x CMB CMB x +-∠==∠=⨯⨯三角形的面积11sin 322S AB CM CMB =⋅⋅∠=⨯⨯= （解法二）设CA=,CB=,a b u u u r r u u u r r 则5,7,6a b a b ==+=r r r r.因此22236,a b a b ++=r r r rg ,解得19a b ⋅=-r r .故19cos 35ACB ∠=-，从而sin ACB ∠=因而三角形ABC的面积1sin 2S CA CB ACB =⋅⋅∠=（解法三）延长CM 至D .使CM MD =,则四边形ABCD 是平行四边形因而三角形ABC 的面积与三角形BCD 的面积相等而三角形BCD 的三边长分别为5,6,7,根据Heron 公式，其面积为S == 因此三角形ABC的面积为.19. 某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足：1 1.020.20n n I I +=-；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足：1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害的严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）见解析（2）第9周解除【解析】（1）111(1.020.20)(1.080.46)0.260.06I I I ---=- 不等式10.260.060I ->,得1133I <因此，当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，用第二种策略将使第二周的虫害的严重程度更小；当113(,8]3I ∈时，用第一种策略将使第二周的虫害的严重程度更小；当1133I =时，两种策略效果相同。

杨浦区二模高考数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 3，则f(x)的图像的对称轴为：A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -22. 下列各式中，表示平面直角坐标系中第二象限的点的是：A. (2, 3)B. (-2, 3)C. (2, -3)D. (-2, -3)3. 在△ABC中，已知a=3，b=4，c=5，则△ABC的面积为：A. 6B. 8C. 12D. 154. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，S5=50，则公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数f(x) = |x-2| + |x+3|，则f(x)的值域为：A. [0, +∞)B. (-∞, 5]C. [0, 5]D. (-∞, 5]6. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为：A. 0B. 1C. -1D. 27. 在平面直角坐标系中，点P(m, n)到点A(2, 3)的距离等于点P到直线x+y-5=0的距离，则点P的轨迹方程为：A. (x-1)^2 + (y-2)^2 = 5B. (x-1)^2 + (y-2)^2 = 1C. (x+1)^2 + (y-2)^2 = 5D. (x+1)^2 + (y-2)^2 = 18. 已知数列{an}满足an = an-1 + 2an-2，且a1=1，a2=2，则数列{an}的通项公式为：A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^nD. an = 2^n - 29. 若等比数列{bn}的首项b1=3，公比q=2，则b3+b5+b7的值为：A. 48B. 60C. 72D. 9610. 在△ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，b=4，c=5，则sinA+sinB+sinC的值为：A. 6B. 8C. 10D. 1211. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的虚部为：A. 0B. 1C. -1D. 212. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且f(1) = 3，f(-1) = 5，则a、b、c的值分别为：A. a=1，b=2，c=0B. a=1，b=-2，c=0C. a=-1，b=2，c=0D. a=-1，b=-2，c=0二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13. 已知函数f(x) = (x-1)/(x+1)，则f(x)的奇偶性为__________。

上海市杨浦区2023届高三二模数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 函数的大致图象为（）A．B．C．D．2. 把4个相同的红球，4个相同的白球，全部放入4个不同的盒子中，每个盒子放2个球，则不同的放法种数有（）A ．12B ．18C ．19D ．243. 在△中，角的对边分别是，则=（）A ．B．C．D．4.已知向量，若，则λ=（）A．B．C ．-1D ．15.若函数的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则的值为A．B．C．D．6. 在一个空房间中大声讲话会产生回音，这个现象叫做“混响”．用声强来度量声音的强弱，假设讲话瞬间发出声音的声强为，则经过秒后这段声音的声强变为，其中是一个常数．把混响时间定义为声音的声强衰减到原来的所需的时间，则约为（参考数据：）（）A．B．C．D．7. 已知是定义在R 上的函数，，且当时，，若，，，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．c >b >a8. 2022年，中央网信办举报中心受理网民举报违法和不良信息1.72亿件．下面是2021年、2022年连续两年逐月全国网络违法和不良信息举报受理情况数据及统计图，下面说法中的是（）A ．2022年比2021年平均每月举报信息数量多B ．举报信息数量按月份比较，8月平均最多C ．两年从2月到4月举报信息数量都依次增多D ．2022年比2021年举报信息数据的标准差大错误9.若实数，，满足，则下列不等关系可能成立的是（）A．B．C．D．10. 若，则（）A．上海市杨浦区2023届高三二模数学试题(2)上海市杨浦区2023届高三二模数学试题(2)三、填空题四、解答题B．C．D．11. 已知正数a ，b ，c 满足，，且，记，，则下列说法正确的是（）A ．若，则，都有B．若，则，都有C ．若，则，都有D ．若，则，都有12.已知正方体的棱长为3，P 为正方体表面上的一个动点，Q为线段上的动点，.则下列说法正确的是（）A ．当点P 在侧面（含边界）内时，为定值B ．当点P 在侧面（含边界）内时，直线与直线所成角的大小为C ．当点P 在侧面（含边界）内时，对任意点P ，总存在点Q，使得D ．点P的轨迹长度为13. 1967年，法国数学家蒙德尔布罗的文章《英国的海岸线有多长？》标志着几何概念从整数维到分数维的飞跃.1977年他正式将具有分数维的图形成为“分形”，并建立了以这类图形为对象的数学分支——分形几何.分形几何不只是扮演着计算机艺术家的角色，事实表明它们是描述和探索自然界大量存在的不规则现象的工具.下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段AB 的长度为a ，在线段AB 上取两个点C ，D ，使得，以CD 为一边在线段AB 的上方做一个正三角形，然后去掉线段CD ，得到图2中的图形；对图2中的线段EC ､ED 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第n 个图形(图1为第一个图形)中的所有线段长的和为，若存在最大的正整数a ，使得对任意的正整数n ，都有，则a 的值为___________.14. 随着自然语言大模型技术的飞速发展，ChatGPT 等预训练语言模型正在深刻影响和改变着各衍各业.为了解决复杂的现实问题，预训练模型需要在模拟的神经网络结构中引入激活函数，将上一层神经元的输出通过非线性变化得到下一层神经元的输入.经过实践研究，人们发现当选择的激活函数不合适时，容易出现梯度消失和梯度爆炸的问题.某工程师在进行新闻数据的参数训练时，采用作为激活函数，为了快速测试该函数的有效性，在一段代码中自定义：若输的满足则提示“可能出现梯度消失”，满足则提示“可能出现梯度爆炸”，其中表示梯度消失阈值，表示梯度爆炸间值.给出下列四个结论：①是上的增函数；②当时，，输入会提示“可能出现梯度爆炸”；③当时，，输入会提示“可能出现梯度消失”；④，输入会提示“可能出现梯度消失”.其中所有正确结论的序号是______.15. 已知直线与曲线相切，则的值为___________．16. 已知直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且，，D 为垂足，点D的坐标为．(1)求C 的方程；(2)若点E是直线上的动点，过点E 作抛物线C 的两条切线，，其中P ，Q 为切点，试证明直线恒过一定点，并求出该定点的坐标．17. 已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)证明：．18. 已知是等比数列，；是等差数列，，．(1)求数列的通项公式及前n项和的公式；(2)求数列的通项公式；(3)设，其中，求的值．19. 已知数列的前n项和为．(1)求证：数列是等差数列；(2)设，求数列的前n项和．20. 已知函数在点处的切线方程为 .(1)求的值，并讨论在上的增减性；(2)若，且，求证：.（参考公式）21. 已知曲线，对坐标平面上任意一点,定义,若两点,，满足，称点,在曲线同侧；，称点,在曲线两侧.(1)直线过原点，线段上所有点都在直线同侧，其中，,求直线的倾斜角的取值范围；(2)已知曲线，为坐标原点，求点集的面积；(3)记到点与到轴距离和为的点的轨迹为曲线，曲线，若曲线上总存在两点,在曲线两侧,求曲线的方程与实数的取值范围.。

上海市杨浦区高考数学二模试卷

高考数学二模试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.若x、y满足，则目标函数f=x+2y的最大值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42.已知命题α：“双曲线的方程为x2-y2=a2（a＞0）”和命题β：“双曲线的两条渐近线夹角为”，则α是β的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件3.对于正三角形T，挖去以三边中点为顶点的小正三角形，得到一个新的图形，这样的过程称为一次“镂空操作“，设T是一个边长为1的正三角形，第一次“镂空操作”后得到图1，对剩下的3个小正三角形各进行一次“镂空操作”后得到图2，对剩下的小三角形重复进行上述操作，设A n是第n次挖去的小三角形面积之和（如A1是第1次挖去的中间小三角形面积，A2是第2次挖去的三个小三角形面积之和），S n是前n次挖去的所有三角形的面积之和，则=（）A. B. C. D.4.已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，I为△ABC内部的一点，且，若，则x+y的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.函数f（x）=1-2sin2x的最小正周期是______．6.方程组的增广矩阵为______．7.若幂函数f（x）=x k的图象过点（4，2），则f（9）=______．8.若（1+3x）n的二项展开式中x2项的系数是54，则n=______．9.若复数z满足（a+bi）2=3+4i（i为虚数单位，a，b∈R），则a2+b2=______．10.函数y=-1+log a（x+3）（a＞0且a≠1）的反函数为f-1（x），则f-1（-1）=______．11.函数的值域是______．12.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如8=3+5，在不超过13的素数中，随机选取两个不同的数，其和为偶数的概率是______（用分数表示）．13.若定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）的函数是奇函数，则实数m的值为______．14.古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何问题：在平面上给定两点A（-a，0），B（a，0），动点P满足（其中a和λ是正常数，且λ≠1），则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”，该圆的半径为______．15.若△ABC的内角A、B、C，其中G为△ABC的重心，且，则cos C的最小值为______．16.定义域为集合{1，2，3，…，12}上的函数f（x）满足：①f（1）=1；②|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11）；③f（1）、f（6）、f（12）成等比数列；这样的不同函数f（x）的个数为______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.已知函数f（x）=（1+tan x）•sin2x．（1）求f（x）的定义域；（2）求函数F（x）=f（x）-2在区间（0，π）内的零点．18.上海地铁四通八达，给市民出行带来便利，已知某条线路运行时，地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足：2≤t≤20，t∈N，经测算，地铁载客量p（t）与发车时间间隔t满足，其中t∈N．（1）请你说明p（5）的实际意义；（2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益．19.我国古代数学名著《九章算术》中记载了有关特殊几何体的定义：阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，堑堵指底面是直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱．（1）某堑堵的三视图，如图1，网格中的每个小正方形的边长为1，求该堑堵的体积；（2）在堑堵ABC-A1B1C1中，如图2，AC⊥BC，若A1A=AB=2，当阳马B-AA1C1C 的体积最大时，求二面角C-A1B-C1的大小．20.已知椭圆的左右两焦点分别为F1、F2．（1）若矩形ABCD的边AB在y轴上，点C、D均在Ω上，求该矩形绕y轴旋转一周所得圆柱侧面积S的取值范围；（2）设斜率为k的直线l与Ω交于P、Q两点，线段PQ的中点为M（1，m）（m＞0），求证：；（3）过Ω上一动点E（x0，y0）作直线，其中y0≠0，过E作直线l的垂线交x轴于点R，问是否存在实数λ，使得|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|恒成立，若存在，求出λ的值，若不存在，说明理由．21.已知数列{a n}满足：a1=1，，其中n∈N*，m∈R．（1）若a1、m、a2成等差数列，求m的值；（2）若m=0，求数列{a n}的通项a n；（3）若对任意正整数n，都有a n＜4，求m的最大值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由图象可知当直线经过点A时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，由，得A（1，1）此时z=1+2×1=3．故选：C．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．2.【答案】A【解析】解：若双曲线的方程为x2-y2=a2（a＞0），则双曲线为等轴双曲线，则双曲线的渐近线为y=±x，双曲线渐近线的夹角为，即充分性成立，双曲线y2-x2=1的渐近线为y=±x，满足双曲线渐近线的夹角为，但双曲线的方程为x2-y2=a2（a＞0）不成立，即必要性不成立，即α是β的充分不必要条件，故选：A．根据等轴双曲线渐近线的夹角关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件判断，结合等轴双曲线的渐近线的夹角关系是解决本题的关键．3.【答案】A【解析】解：依题意，A1=，当n≥2时，，所以{A n}是以为首项，以为公比的等比数列，有因为公比不为1，所以=，所以：S n==．故选：A．A1=，当n≥2时，，故数列{A n}是等比数列，求其前n项和的极限即可．本题考查了等比数列的定义，前n项和公式，数列极限等知识，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：∵，∴，∴，∴，∴，．∴．又∵a2=b2+c2-2bc cos A且．又∵．∴．∴．故选：D．利用平面向量基本定理，向量的线性运算可求出x，y与a，b，c的数量关系；再利用整体思想及基本不等式就能求出x+y的最大值．本题考查了向量的线性运算，基本不等式求最值，注意整体代换的运用．5.【答案】π【解析】解：f（x）=1-2sin2x=cos2x∴函数最小正周期T==π故答案为：π．先利用二倍角公式对函数解析式进行化简整理，进而利用三角函数最小正周期的公式求得函数的最小正周期．本题主要考查了二倍角的化简求值和三角函数的周期性及其求法．考查了三角函数的基础的知识的应用．6.【答案】【解析】解：由题意，可将题中方程组转化为下面的形式：，∴方程组的增广矩阵为，故答案为：．本题可以先将方程组转化成常数在等于号右边的形式，然后即可根据增广矩阵的定义写出这个方程组的增广矩阵．本题主要考查增广矩阵的定义，属基础题．7.【答案】3【解析】解：∵幂函数f（x）=x k的图象经过点（4，2），∴4k=2；解得k=．故f（x）=，则f（9）=3，故答案为：3．求出幂函数的解析式，从而求出f（9）的值即可．本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．8.【答案】4【解析】解：（1+3x）n的二项展开式中，x2项的系数是•32=54，化简得n2-n-12=0，解得n=4或n=-3（不合题意，舍去），∴n=4．故答案为：4．根据二项展开式定理求得x2项的系数，列方程求得n的值．本题考查了二项式定理的应用问题，是基础题．9.【答案】5【解析】解：由（a+bi）2=a2-b2+2abi=3+4i，得，解得或．∴a2+b2=5．故答案为：5．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，是基础题．10.【答案】-2【解析】解：由互为反函数的函数定义域值域互换知，y=-1+log a（x+3）=-1，得x+3=1，x=-2．故答案为：x=-2．由题意知y=-1+log a（x+3）=-1，得x=-2即为所求．本题考查反函数性质属于简单题．11.【答案】【解析】解：∵函数=arcsin x+2x，∵x∈[-1，1]，∴函数的值域为．故答案为：．由二阶行列式展开式先展开二阶行列式，再由反正弦弦数的性质能求出函数的值域．本题考查函数的值域的求法，考查二阶行列式展开式、反正弦弦数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.【答案】【解析】解：设A={两素数和为偶数}．不超过13的素数有2，3，5，7，11，13．从中任取两个，共包含（2，3），（2，5），（2，7），（2，11），（2，13），（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共15个．事件A包含（3，5），（3，7），（3，11），（3，13），（5，7），（5，11），（5，13），（7，11），（7，13），（11，13）共10个基本事件．故p（A）=．本题也可用组合数计算．p（A）==．故填：．本题可以列举出从不超过13的素数中取两个的所有和的情况，以及和为偶数的情况，代入概率公式即可．本题考查了古典概型的概率计算，得到事件A包含的基本事件个数和基本事件的总数是计算的关键，属于基础题．13.【答案】-1【解析】解：根据题意，函数，当x＞0时，f（x）=1-2-x，此时-x＜0，有f（-x）=2-x+m，又由f（x）为奇函数，则f（-x）=-f（x），即2-x+m=-（1-2-x），变形可得：m=-1；故答案为：-1根据题意，结合函数的解析式可得当x＞0时，f（x）=1-2-x，此时-x＜0，有f（-x）=2-x+m，结合函数的奇偶性可得f（-x）=-f（x），即2-x+m=-（1-2-x），变形可得m的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的定义以及判定，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．14.【答案】【解析】解：设P（x，y），由动点P满足（其中a和λ是正常数，且λ≠1），∴=λ．平方化为：x2+x+a2+y2=0．∴该圆的半径r==．故答案为：．设P（x，y），由动点P满足（其中a和λ是正常数，且λ≠1），可得=λ．化简整理即可得出．本题考查了圆的标准方程及其性质、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：因为G为△ABC的重心，所以；，因为，所以，即，整理得，所以，所以，故答案为．将向量分表表示，利用垂直关系建立方程，最后借助重要不等式求解．本题考查了平面向量的数量积和向量的线性运算，属于中档题目，有一定难度．16.【答案】155【解析】解：经分析，f（x）的取值的最大值为x，最小值为2-x，并且成以2为公差的等差数列，故f（6）的取值为6，4，2，0，-2，-4．f（12）的取值为12，10，8，6，4，2，0，-2，-4，-6，-8，-10，所以能使f（x）中的f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时，f（1）、f（6）、f（12）的取值只有两种情况：①f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4；②f（1）=1、f（6）=-2、f（12）=4．|f（x+1）-f（x）|=1（x=1，2，…，11），f（x+1）=f（x）+1，或者f（x+1）=f（x）-1，即得到后项时，把前项加1或者把前项减1．（1）当f（1）=1、f（6）=2、f（12）=4时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到2，故应从5次中选择3步加1，剩余的两次减1．对应的方法数为=10种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从2变化到4，故应从6次变化中选择4次增加1，剩余两次减少1，对应的方法数为=15种．根据分步乘法原理，共有10×15=150种方法．（2）当f（1）=1、f（6）=-2、f（12）=4时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从f（1）变化到f（6），第二步：从f（6）变化的f（12）．从f（1）变化到f（6）时有5次变化，函数值从1变化到-2，故应从5次中选择1步加1，剩余的4次减1．对应的方法数为=5种．从f（6）变化到f（12）时有6次变化，函数值从-2变化到4，故应从6次变化中选择6次增加1，对应的方法数为=1种．根据分步乘法原理，共有5×1=5种方法．综上，满足条件的f（x）共有：150+5=155种．故填：155．分析出f（x）的所有可能的取值，得到使f（x）中f（1）、f（6）、f（12）成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数f（x）的个数即可．解决本题的难点在于发现f（x）的取值规律，并找到使f（1）、f（6）、f（12）成等比数列所对应的三项．然后用计数原理计算种类．本题属于难题．17.【答案】（本题满分为14分）解：（1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域为：； (4)分（2）∵f（x）=（1+）•2sin x cosx=sin2x+2sin2x=sin2x-cos2x+1=sin（2x-）+1，∴F（x）=f（x）-2=sin（2x-）-1=0，解得：2x-=2kπ+，或2x-=2kπ+，k∈Z，即：x=kπ+，或x=kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），∴k=0时，x=．或x=，故F（x）在（0，π）内的零点为，或x=．…10分【解析】（1）由正切函数的性质可求f（x）的定义域；（2）利用三角函数恒等变换的应用可求F（x）=sin（2x-）-1=0，解得x=kπ+，或x=kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），即可解得F（x）在（0，π）内的零点．本题主要考查了正切函数的图象和性质，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）由分段函数的表达式得p（5）的实际意义，发车间隔为5，载客量为950；（2）当2≤x＜10时，p（t）=-10t2+200t+200，=-360=840-60（t+）≤840-60×=840-60×12=120，当且仅当t=，即t=6时取等号．当10≤t≤20，=-360=-360≤-360=384-360=24．则当t=6，Q max=120．即发车时间间隔为6分钟时，该线路每分钟的净收益最大？并求最大净收益为120元．【解析】（1）根据分段函数的表达式进行判断即可．（2）求出Q的表达式，结合基本不等式以及函数单调性的性质进行求最值即可．本题主要考查函数的应用问题，利用基本不等式以及函数的单调性求最大值是解决本题的关键．19.【答案】解：（1）由三视图还原原几何体如图，可知该几何体为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，直角边长为，直三棱柱的高为2，则其体积为V=；（2）解：∵A1A=AB=2，阳马B-A1ACC1的体积：V=×A1A×AC×BC=AC×BC≤（AC2+BC2）=×AB2=，当且仅当AC=BC=时，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，则A1（0，，2），B（，0，0），C1（0，0，2），∴=（0，，2），=（，0，0），=（0，，0），=（，0，-2），设平面CA1B的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（0，，-1），设平面C1A1B的法向量=（a，b，c），则，取a=，得=（，0，1），设当阳马B-A1ACC1体积最大时，二面角C-A1B-C1的平面角为θ，则cosθ==，∴当阳马B-A1ACC1体积最大时，二面角C-A1B-C1的大小为arccos．【解析】（1）由三视图还原原几何体，再由棱柱体积公式求解；（2）阳马B-A1ACC1的体积V=×A1A×AC×BC=AC×BC≤（AC2+BC2）=×AB2=，当且仅当AC=BC=时，，以C为原点，CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，建立空间直角坐标系，然后利用空间向量求解空间角．本题考查由三视图求面积、体积，考查二面角的余弦值的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．20.【答案】（1）解：设D（x，y），由D在椭圆上，得1==，得|xy|，当且仅当=，即，时取“=”．矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S侧=2π•|BC|•|AB|=4π|xy|，∴S侧=4π|xy|≤4π；（2）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，两式作差可得：k=•=，由M（1，m）在椭圆内部，得，即m2＜，又m＞0，∴0＜m＜，得k=-；（3）解：直线的斜率为，则，又，，设直线EF1到直线ER的角为α，直线ER到直线EF2的角为β，则tanα==，tanβ==．∴tanα=tanβ，则α=β，即ER为∠F1EF2的角分线，∴，即|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|，∴存在实数λ=1，使得|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|恒成立．【解析】（1）设D（x，y），由D在椭圆上，可得|xy|，再由矩形绕y轴旋转一周后所得圆柱体侧面积为S侧=2π•|BC|•|AB|=4π|xy|求解；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），利用点差法可得k=•=，再由M（1，m）在椭圆内部，得m2＜，即0＜m＜，由此证明结论；（3）直线的斜率为，则，求出，，再由到角公式可得ER为∠F1EF2的角分线，得到，即|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|，可知存在实数λ=1，使得|EF1|•|RF2|=λ|EF2|•|RF1|恒成立．本题是直线与椭圆的综合题，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了到角公式的应用，是中档题．21.【答案】解：（1）a1=1，a2=×a1+m=+m，若a1、m、a2成等差数列，则a1+a2=2m，即1++m=2m，得；（2）若m=0，则a n+1=×a n2，两边取2为底的对数，得log2a n+1=log2（×a n2）=2log2a n-3，即log2（a n+1-3）=2（log2a n-3），即数列{log2a n-3}是以-3为首项，2为公比的等比数列，则log2a n-3=-3•2n-1，得a n=2，即；（3）①当m=2时，a n+1=×a n2+2，由a1=1，则由a n+1=×a n2+2得当n≥2时，a n＞2，则4+a n＞0，若a n＜4，则必有a n+1-4=×（a n2-16）=×（a n-4）（a n+4）＜0，即a n+1-4＜0，即m=2满足条件．②下证m＞2时，不符合题意，假设存在m＞2，则a n+1-a n=a n2+m-a n=×（a n-4）2+m-2≥m-2＞0，应用累加法得a n+1-a1≥（n-1）（m-2），即a n≥1+（n-1）（m-2），取N=[]+2，（[x]表示不超过x的最大整数），则当n≥N，n∈N•，a n≥4与题设条件a n＜4矛盾，即m＞2时，不符合题意，综上m的最大值为2．【解析】（1）根据等差数列的定义建立方程进行求解即可．（2）当m=0时，利用取对数法结合数列的递推关系构造等比数列进行求解．（3）讨论当m=2时，结合数列的递推关系证明成立，然后当m＞2时，不等式不成立即可．本题主要考查递推数列的应用，结合等差数列的定义，以及数列递推关系，利用取对数法以及构造法是解决本题的关键．。

2020届上海杨浦区高三二模数学试题(解析版)

2020届上海杨浦区高三二模数学试题一、单选题 1．不等式102x x -≤-的解集为（） A ．[1,2] B ．[1,2)C ．(,1][2,)-∞⋃+∞D ．(,1)(2,)-∞⋃+∞【答案】B【解析】把分式不等式转化为整式不等式求解．注意分母不为0．【详解】原不等式可化为(1)(2)020x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得12x ≤<．故选：B ．【点睛】本题考查解分式不等式，解题方法是转化为整式不等式求解，转化时要注意分式的分母不为0．2．设z 是复数，则“z 是虚数”是“3z 是虚数”的（） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】根据充分必要条件的定义及复数的概念进行判断．可取特例说明一个命题为假．【详解】充分性：取12z =-+，故31z =是实数，故充分性不成立；必要性：假设z 是实数，则3z 也是实数，与3z 是虚数矛盾，∴z 是虚数，故必要性成立．故选：B ．. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断，考查复数的概念，属于基础题．3．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两焦点，A 与B 是该椭圆的右顶点与上顶点，P 是该椭圆上的一个动点，O 是坐标原点，记2122s OP F P F P =-⋅u u u r u u u r u u u u r.在动点P 在第一象限内从A 沿椭圆向左上方运动到B 的过程中，s 的大小变化情况为（）A ．逐渐变大B ．逐渐变小C ．先变大后变小D ．先变小后变大【答案】B【解析】设(,)P x y ，然后由向量数量积的坐标表示求出s 为x 的函数后，根据函数性质可得结论．【详解】设(,)P x y ，由椭圆方程知12(F F ， 2221222()()()s OP F P F P x y x y x y =-⋅=+-⋅u u u r u u u r u u u u r2222222()(5)5x y x y x y =+--+=++2225415999x x x ⎛⎫=+-+=+ ⎪⎝⎭，随x 的减小而变小，故选：B. 【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，掌握向量数量积的的坐标表示是解题基础． 4．设{}n a 是2020项的实数数列，{}n a 中的每一项都不为零，{}n a 中任意连续11项110,,n n n a a a ++⋅L 的乘积是定值(1,2,3,,2010)n =L .①存在满足条件的数列，使得其中恰有365个1； ②不存在满足条件的数列，使得其中恰有550个1. 命题的真假情况为（） A ．①和②都是真命题 B ．①是真命题，②是假命题 C ．②是真命题，①是假命题 D ．①和②都是假命题【答案】D【解析】先确定数列是周期数列，然后根据一个周期中出现的1的个数，判断数列中可能出现的1的个数（与365,550接近的可能个数），得出结论．【详解】设110n n n a a a k ++⋅=L ；则1211n n n a a a k +++⋅=L ，也就是11n n a a +=，即{}n a 是以11为周期的数列.而2020111837=⨯+.若一个周期内有1个1，则1的个数有183或184个. 若一个周期内有2个1，则1的个数有366或367或368个. 若一个周期内有3个1，则1的个数有549或550或551或552个. 故选：D ．本题考查数列的周期性，解题方法是确定出数列的周期，然后分类讨论1出现的次数的可能（与365,550接近的可能个数）．二、填空题5．设集合{1,2,3,4}A =，集合{1,,3,5}B =，则A B =I _______. 【答案】{1,3}.【解析】根据交集定义计算．【详解】由题意A B =I {1,3}．故答案为：{1,3}．【点睛】本题考查交集的运算，属于简单题．6．行列式120235580=_______.【答案】10【解析】根据行列式定义直接计算．【详解】120352523512(040)2(025)108050580=⨯-⨯=--⨯-=．故答案为：10．【点睛】本题考查三阶行列式的计算，掌握行列式计算公式即可．属于基础题． 7．函数23cos 1y x =+的最小正周期为_______. 【答案】π【解析】用降幂公式化函数为一次的形式后可计算周期．【详解】21cos 2353cos 131cos 2222x y x x +=+=⨯+=+，故周期22T ππ==. 故答案为：π．本题考查三角函数的周期，考查余弦的二倍角公式，属于基础题． 8．已知复数z 满足()1243i z i +=+，则z =__________．【答案】2i -.【解析】在等式()1243i z i +=+两边同时除以12i +，再利用复数的除法法则可得出复数z . 【详解】()1243i z i +=+Q ，()()()()24312434836105212121255i i i i i i i z i i i i +-+-+--∴=====-++-，故答案为2i -. 【点睛】本题考查复数的除法，解题的关键就是从等式中得出z 的表达式，再结合复数的四则运算律得出结果.9．若{}n a 是无穷等比数列，首项111,33a q ==，则{}n a 的各项的和S =_______. 【答案】12. 【解析】直接由无穷递缩等比数列的和的公式计算．【详解】1131213S ==-．故答案为：12．【点睛】本题考查无穷递缩等比数列的和，掌握无穷递缩等比数列的和的公式是解题关键． 10．在3名男生、4名女生中随机选出2名学生参加某次活动，则选出的学生恰为一男一女的概率为_______. 【答案】47【解析】根据组合的知识求出从7人中任取2人的方法数，同时计算出选出的学生恰为一男一女的方法数，然后可计算出概率．由题意11 3427124217C CPC⋅===.故答案为：47．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是求出所有基本事件的个数．11．实数,x y满足约束条件3423x yx yxy+≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，目标函数f x y=+的最大值为_______.【答案】2【解析】作出可行域，作出目标对应的直线，平移此直线可得最优解．【详解】作出可行域，如图四边形OABC内部（含边界），联立2334x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得11xy=⎧⎨=⎩，即点()1,1B，作直线:0l x y+=，平移直线l，当l过点()1,1B时，直线f x y=+在x轴上的截距最大，此时f x y=+取得最大值max112f=+=.故答案为：2.【点睛】本题考查简单的线性规划，解题关键是作出可行域，作出目标函数对应的直线．12．已知曲线1C的参数方程为212x ty t=-⎧⎨=+⎩，曲线2C的参数方程为155xyθθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ是参数），则1C和2C的两个交点之间的距离为_______.【答案】5【解析】把两曲线的参数方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理计算弦长．【详解】消去参数得两曲线的普通方程为：2212:250,:(1)5C x y C x y -+=++=，曲线2C 是圆，圆心为2(1,0)C -，半径为r =5d ====.．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查求直线与圆相交弦长，求直线与圆相交弦长问题，一般不是直接求出交点坐标，而是求出圆心到弦所在直线距离，用勾股定理（几何方法）计算弦长． 13．数列{}n a 满足111,32n n a a a n +=+=+对任意*n N ∈恒成立，则2020a =_______.【答案】3031【解析】由已知再写出1235n n a a n +++=+，两式相减可得数列{}n a 的偶数项成等差数列，求出2a 后，由等差数列的通项公式可得2020a ．【详解】由1123235n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，两式相减得23n n a a +-=.而2514a =-=， ∴2020210094100933031a a d =+=+⨯=. 故答案为：3031．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与等差数列的判断，解题关键是由已知递推式写出相邻式（用1n +代n ）后两式相减． 14．设*n N ∈，若(2n +的二项展开式中，有理项的系数之和为29525，则n =_______.【答案】10【解析】根据二项式定理确定(2n 的二项展开式中，有理项是奇数项，其系数与(2)n x +展开式中奇数项系数相等，这样可在(2)n x +的展开式中用赋值法求得奇数项系数和．【详解】12r n rr r n T C -+=，有理项为奇数项，即0220222n n n n n n C C C -+++L ，也就是(2)n x +的奇数项，设2012(2)+=++++L n n n x a a x a x a x ，并记()(2)nf x x =+，则012(1)n f a a a a =++++L ，012(1)(1)n n f a a a a -=-+++-L ，∴02(1)(1)312952522n nf f a a +-+++===L ，∴10n =．故答案为：10．. 【点睛】本题考查二项式定理，考查用赋值法求二项展开式中的系数和，类比成()(2)nf x x =+的系数是解题关键．15．设a b c r rr、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，若():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=r r r r r r ，则a b ⋅rr 的值为_______.【解析】利用():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r 可设a b k ⋅=r r ，设,a b r r 的夹角为θ，则,b cr r 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，利用得2a c a b ⋅=⋅r r r r，建立θ方程关系求解即可. 【详解】():():()1:1:2a b b c c a ⋅⋅⋅=rr r r r r ，设a b k ⋅=r r ，则,2b c k a c k ⋅=⋅=r r r r ， a b c r r r、、是同一平面上的三个两两不同的单位向量，设,a b r r 的夹角为θ，则,b c rr 的夹角为θ，,a c r r 的夹角为2θ或22πθ-，cos22()2cos a c a b θθ⋅==⋅=r r r r，22cos 2cos 10θθ--=，解得cos θ=cos θ=（舍去）.所以13cos 2a b θ-⋅==r r . 故答案为：13-．【点睛】本题考查向量的数量积以及三角恒等变换求值，考查了转化与化归思想，属于中档题. 16．已知抛物线1Γ和2Γ的焦点均为点(2,1)F ，准线方程为0x =和5120x y +=.设两抛物线交于A B 、两点，则直线AB 的方程为_______. 【答案】23y x =【解析】根据抛物线定义写出两抛物线方程（平方），相减后可得,A B 两点坐标满足的方程，化简此方程（根据,A B 两点在两准线的位置确定正负）可得直线AB 方程．【详解】按抛物线定义有222222122(512):(2)(1);:(2)(1)13x y x y x x y +Γ-+-=Γ-+-=，两方程相减即得222(512)13x y x +=，而,A B 位于0x =的右侧和5120x y +=的上侧，故51213x y x +=，即23y x =.故答案为：23y x =．【点睛】本题考查抛物线的定义，考查两曲线公共弦所在直线方程．本题中掌握抛物线的定义和直线方程的定义是解题关键．三、解答题17．如图，线段OA 和OB 是以P 为顶点的圆锥的底面的两条互相垂直的半径，点M 是母线PB 的中点，已知2OA OM ==.（1）求该圆锥的体积；（2）求异面直线OM 与AP 所成角的大小【答案】（1）83π（2）3arccos 4 【解析】（1）由圆锥性质知4PB =，然后计算出高PO 后可得体积；（2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴.建立空间直角坐标系，用空间向量法示得异面直线所成的角．【详解】（1）由题可得4,23PB OP ==，故体积21183223333V S h ππ=⋅⋅=⋅⨯⨯=. （2）以OA 为x 轴正半轴，OB 为y 轴正半轴，OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O ，(0,1,3),(2,0,0),(0,0,23)M A P ，所以(0,1,3),(2,0,23)OM AP ==-u u u u r u u u r，设异面直线OM 与AP 所成角为θ，则||63cos 244||||OM AP OM AP θ⋅===⨯u u u u r u u u ru u u u r u u u r ，故所成角为3arccos 4.【点睛】本题考查求圆锥的体积，考查用空间向量法求异面直线所成的角．掌握圆锥的性质是解题关键．18．已知三角形ABC 中，三个内角、、A B C 的对应边分别为a b c 、、，且5,7a b ==.（1）若3B π=，求c ；（2）设点M 是边AB 的中点，若3CM =，求三角形ABC 的面积.【答案】（1）8c =（2）【解析】（1）用余弦定理后解方程可求得c ；（2）由余弦定理求得中线与边长的关系，从而求得三角形的第三边长，再由余弦定理求出一个角的余弦，转化为正弦后可得三角形面积．【详解】（1）由余弦定理可得22222cos 492558b a c ac B c c c =+-⇒=+-⇒=. （2）由题意可得2222cos CA CM AM CM AM AMC =+-⋅∠，2222cos CB CM BM CM BM BMC =+-⋅∠，又AM BM =，AMC BMC π∠+∠=，∴()22222CA CB CM AM +=+，即()2492529AM +=+，∴AM =∴2c AM ==，由222492511219cos sin 27035a b c C C ab +-+-===-⇒=∴11sin 5722ABC S ab C ==⨯⨯=V 【点睛】本题考查余弦定理解三角形，考查三角形面积，本题中涉及三角形路线问题，根据余弦定理有结论()22222CA CB CM AM+=+成立（其中M 是AB 中点）． 19．某地出现了虫害，农业科学家引入了“虫害指数”数列{}n I ，{}n I 表示第n 周的虫害的严重程度，虫害指数越大，严重程度越高，为了治理虫害，需要环境整治、杀灭害虫，然而由于人力资源有限，每周只能采取以下两个策略之一：策略A ：环境整治，“虫害指数”数列满足1 1.020.20n n I I +=-；策略B ：杀灭害虫，“虫害指数”数列满足1 1.080.46n n I I +=-；当某周“虫害指数”小于1时，危机就在这周解除.（1）设第一周的虫害指数1[1,8]I ∈，用哪一个策略将使第二周的虫害严重程度更小？（2）设第一周的虫害指数13I =，如果每周都采用最优的策略，虫害的危机最快在第几周解除？【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）虫害最快在第9周解除【解析】（1）根据两种策略，分别计算第二周虫害指数2I ，比较它们的大小可得结论；（2）由（1）可知，最优策略为策略B ，得1 1.080.46n n I I +=-，凑配出数列23{}4n I -是等比数列，求得通项n I ，由1n I <可解得n 的最小值．【详解】（1）由题意可知，使用策略A 时，211.020.2I I =-；使用策略B 时，211.080.46I I =- 令()111131.020.20 1.080.4603I I I --->⇒<，即当1131,3I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略B 第二周严重程度更小；当1133I =时，使用两种策哈第二周严重程度一样；当113,83I ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，使用策略A 第二周严重程度更小. （2）由（1）可知，最优策略为策略B ，即1123231.080.46, 1.0844n n n n I I I I ++⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭，所以数列234n I ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以114-为首项，1.08为公比的等比数列，所以12311 1.0844n n I -⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭，即111231.0844n n I -⎛⎫=-⋅+ ⎪⎝⎭，令1n I <，可得9n ≥，所以虫害最快在第9周解除.【点睛】本题考查数列的应用，考查由递推公式求数列的通项公式．掌握由递推公式1(1,0)n n a pa q p +=+≠求通项公式的方法是解题基础．20．已知双曲线222:1(0)y H x b b-=>，经过点(2,0)D 的直线l 与该双曲线交于M N 、两点.（1）若l 与x 轴垂直，且||6MN =，求b 的值；（2）若b =M N 、的横坐标之和为4-，证明：90MON ∠=︒.（3）设直线l 与y 轴交于点,,E EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r，求证：λμ+为定值.【答案】（1）b =2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】（1）把2x =代入双曲线方程求得,M N 坐标，由6MN =可求得b ；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，设直线方程为(2)y k x =-，代入双曲线方程应用韦达定理得1212,x x x x +，由124x x +=-可求得k ，再由数量积的坐标运算计算出OM ON ⋅u u u u r u u u r可得结论；（3）设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -，由,EM MD λ=u u u u r u u u u r可用,λμ表示出11,x y ，代入双曲线方程得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.由韦达定理可得结论．【详解】（1）:2l x =，2241y b-=，y =，∴),(2,),6M N MN b ==⇒=（2）22:12y H x -=，设()()1122,,,M x y N x y ，显然直线斜率存在，设方程为(2)y k x =-，并与H 联立得()222224420k x k x k -+--=，由124x x +=-得224412k k k -=-⇒=±-，此时126x x ⋅=-. ()()()12121212121222224OM ON x x y y x x x x x x x x ⋅=+=+--=-++u u u u r u u u r122(4)40=--⨯-+=.（3）有题意可知直线l 斜率必存在，设方程为(2)y k x =-，且(0,2)E k -.由,EM MD EN ND λμ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r 得()()()()11112222,22,,22,x y k x y x y k x y λλ⎧+=--⎪⎨+=--⎪⎩，所以121x λλ=+，121k y λ-=+，又由于点M 在双曲线H 上，故22221122221111k y x b b λλλ-⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭-=⇒-= ⎪+⎝⎭化简得222223240b b k b λλ---=，同理222223240bb k b μμ---=.故λμ、是方程222223240b x b x k b ---=的两根.则222233b b λμ+==为定值.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题，考查韦达定理的应用．在直线与双曲线相交时常常设交点坐标为1122(,),(,)x y x y ，由直线方程与双曲线方程联立方程组消元后应用韦达定理得出1212,x x x x +，然后代入其他条件求解． 21．已知()21x m f x mx +=++，其中m 是实常数. （1）若118f m ⎛⎫>⎪⎝⎭，求m 的取值范围；（2）若0m >，求证：函数()f x 的零点有且仅有一个；（3）若0m >，设函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若1234,,,a a a a 是公差0d >的等差数列且均在函数()f x 的值域中，求证：()()()()11111423f a f a f a f a ----+<+.【答案】（1）(0,2(2)⋃+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析；【解析】（1）直接解不等式1()18f m>即可；（2）说明函数是增函数，然后由(0)0f >，2()0f m m--<可得结论；（3）首先不等式变形：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-，即()()()()11113311f a d f a f a d f a ----+-<+-，而31a a >，问题转化为证明1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数，即设12t t <，证明()()()()111111220f t d f t f t d f t ----+--+->，利用反函数定义，设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得1212,,,u u n n 之间的大小关系，得()()()()()()111111221212f t d f t f t d f t u u n n ----+--+-=---.作两个差12()()f u f u -，12()()f n f n -，并相减得()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---，若()()12120u u n n ---≤，此式中分析左右两边出现矛盾，从而只能有()()12120u u n n --->，证得结论．【详解】（1）112218m mf m +⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以1216m m +>，14m m +>，易知0m >，所以2410m m -+>，所以(0,2(2)m ∈⋃+∞.（2）函数()f x 为增函数，且222(0)210,21mm f f m m m -⎛⎫=+>--=-- ⎪⎝⎭，由于2222212100mmm f m m --⎛⎫<⇒--<⇒--< ⎪⎝⎭.故在2,0m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上必存在0x ，使()00f x =.又()f x 为增函数，所以函数()f x 的零点有且仅有一个.（3）即证：()()()()11114321fa f a f a f a -----<-.()()()()11113311f a d f a f a d f a ----⇔+-<+-，而31a a >，所以只需证1()()t f t d f t --+-是关于t 的减函数.设12t t <，即证()()()()11111122f t d f t f t d f t ----+--+-※大于0设()()()()11211222,,,f u t d f u t f n t d f n t =+==+=，由()f x 单调递增可得12121122,,,u u n n u n u n >><<. ()()1212u u n n =---※.而()()121112212121u mu mf u mu t d f u mu t ++⎧=++=+⎪⎨=++=⎪⎩，两式相减得()121222mn m u m u u d ++-+-=，()()21212221u m u u m u u d +--+-=①同理()()21212221n mn n m n n d +--+-=②，①-②得：()()()()2122121212221221u m u n m n u n m n n m u u +-+----=---.若()()12120u u n n ---≤，则上式左侧0<，右侧0≥矛盾，故※0>.证毕. 【点睛】本题考查函数的零点，反函数的概念，考查函数的单调性，主要考查转化与化归思想，利用反函数定义把反函数问题转化为原函数的问题求解．对学生分析问题解决问题的能力要求较高，属于难题．。

2021届上海市杨浦区高三二模数学Word版(附解析)

上海市杨浦区2021届高三二模数学试卷2021.4一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知复数z 满足2i z =-（i 为虚数单位），则z z ⋅=2. 已知函数()21f x x =-的反函数为1()f x -，则1(3)f -=3. 在行列式137252124D =-中，元素3的代数余子式的值为4. 在8(2)x -的二项展开式中，6x 项的系数是5. 已知x 、y 满足102040x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y =-的最大值为6. 方程55log (411)1log (23)x x --=-的解为x =7. 已知一组数据a 、3、2-、6的中位数为4，则其总体方差为8. 已知函数()()|21|f x g x x =+-为奇函数，若(1)7g -=，则(1)g =9. 直线:(2)210l n x y n +-+-=（n ∈*N ）被圆22:(1)16C x y -+=所截得的弦长为n d ，则lim n n d →∞= 10. 非空集合A 中所有元素乘积记为()T A ，已知集合{1,4,5,7,8}M =，从集合M 的所有非空子集中任选一个子集A ，则()T A 为偶数的概率是（结果用最简分数表示）11. 函数()sin()3cos()f x x x ωω=+（0ω>），若有且仅有一个实数m 满足： ① 02m π≤≤；② x m =是函数图像的对称轴. 则ω的取值范围是12. 如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是平面11ACC A 上一动点，且满足10D P CP ⋅=，则满足条件的所有点P 所围成的平面区域的面积是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 若m 、n ∈R ，i 是虚数单位，则“m n =”是“()()i m n m n -++为纯虚数”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 已知数列{}n a 是无穷等比数列，若120a a <<，则数列{}n a 的前n 项和n S （）A. 无最大值，有最小值B. 有最大值，有最小值C. 有最大值，无最小值D. 无最大值，无最小值15. 在四边形ABCD 中，(3,3)AB DC ==，且满足||||||AB AD AC AB AD AC +=，则||AC = （）A. 2B. 6C. 3D. 2316. 已知函数()f x 的定义域为D ，值域为A ，函数()f x 具有下列性质：（1）若x 、y D ∈，则()()f x A f y ∈；（2）若x 、y D ∈，则()()f x f y A +∈. 下列结论正确的是（） ① 函数()f x 可能是奇函数；② 函数()f x 可能是周期函数；③ 存在x D ∈，使得2021()2020f x =；④ 对任意x D ∈，都有2()f x A ∈. A. ①③④ B. ②③④ C. ②④ D. ②③三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，棱柱111ABC A B C -中，12AB BC AA ===，1BB ⊥底面ABC ，AB BC ⊥， D 是棱AB 的中点.（1）求证：直线BC 与直线1DC 为异面直线；（2）求直线1DC 与平面1A BC 所成角的大小.18. 已知22()1x f x ax x =++（a 为实常数）. （1）当1a =时，求不等式1()()f x f x x+<的解集；（2）若函数()f x 在(0,)+∞中有零点，求a 的取值范围.19. 如图，A 、B 、C 三地在以O 为圆心的圆形区域边界上，30AB =公里，10AC =公里， 60BAC ︒∠=，D 是圆形区域外一景点，90DBC ︒∠=，60DCB ︒∠=.（1）O 、A 相距多少公里？（精确到小数点后两位）（2）若一汽车从A 处出发，以每小时50公里的速度沿公路AD 行驶到D 处，需要多少小时？（精确到小数点后两位）20. 焦点为F 的抛物线21:4C y x =与圆222:(1)16C x y -+=交于A 、B 两点，其中A 点横坐标为A x ，方程2224,(1)16,A Ay x x x x y x x ⎧=≤⎪⎨-+=>⎪⎩的曲线记为Γ，P 是曲线Γ上一动点. （1）若P 在抛物线上且满足||3PF =，求直线PF 的斜率；（2）(,0)T m 是x 轴上一定点，若动点P 在Γ上满足A x x ≤的范围内运动时，||||PT AT ≤恒成立，求m 的取值范围；（3）Q 是曲线Γ上另一动点，且满足FP FQ ⊥，若PFQ 的面积为4，求线段PQ 的长.21. 已知无穷数列{}n a 与无穷数列{}n b 满足下列条件：① {0,1,2}n a ∈，*n ∈N ；②1111(1)||24n n n n n b a a b ++=-⋅-，*n ∈N . 记数列{}n b 的前n 项积为n T .（1）若111a b ==，20a =，32a =，41a =，求4T ；（2）是否存在1a 、2a 、3a 、4a ，使得1b 、2b 、3b 、4b 成等差数列？若存在，请写出一组1a 、2a 、3a 、4a ，若不存在，请说明理由；（3）若11b =，求2021T 的最大值.参考答案一. 填空题1. 52. 53. 10-4. 565. 96. 2x =7. 1928. 11- 9. 10. 2431 11. 17[,)33 12. 32π二. 选择题13. B 14. C 15. D16. B三. 解答题17.（1）略；（2）4π18.（1）(1,0)-；（2）1[,0)2-19.（2）15.28公里；（2）1.25小时20.（1）±2）7(,]2-∞；（3）21.（1）3128；（2）不存在；（3）102010012。