拉普拉斯变换基本应用.docx
2第二章拉普拉斯变换及其应用
斜坡函数的定义式为：
f
(t)
0 Kt
(t 0) (t 0)
式中k为常数
在自动控制原理中，斜坡函数是一个对时间作均匀变化的信号。
在研究随动系统时，常以斜坡信号作为典型的输入信号。同理，
根据拉氏变换的定义式有：
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2.1 拉氏变换的概念
F (s) LKt Ktestdt 0
L
f
(t
)(dt
)2
F(s) s2
L
n
f
(t)(dt)n
F(s) sn
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2.2 拉氏变换的运算定理
上式同样表明，在零初始条件下，原函数的重积分的拉氏式等 于其象函数除以。它是微分的逆运算，与微分定理同样是十分 重要的运算定理。
五、位移定理 L et f (t) F(s )
即
0
(t)dt lim 0
0
(t)dt 1
（2.2）
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2.1 拉氏变换的概念
在自动控制系统中，单位脉冲函数相当一个瞬时的扰动信号。 它的变换式由式（2.1）有
F (s) L (t) (t)estdt 0
lim
0
0
(t
)e
st
dt
(t
)e
st
dt
存在（收敛），应满足下列条件：
当 t 0 ， f (t) 0 ；
当 t 0 ， f (t) 分段连续；
当 t ，est 较 f (t) 衰减得更快。
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2.1 拉氏变换的概念
由于
f (t)est dt
0
是一个定积分，t 将在新函数中消失。
因此， F(s) 只取决于s，它是复变数s的函数。拉氏变换将原
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
f (t )
0
s f (t )e st dt
0
sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
拉普拉斯变换在电路分析中的应用)
目录
• 引言 • 拉普拉斯变换基本原理 • 电路元件拉普拉斯变换表示 • 线性时不变电路分析 • 非线性电路分析 • 复杂电路分析 • 总结与展望
01
引言
目的和背景
电路分析的重要性
电路分析是电气工程和电子工程领域 的基础，对于设计和分析各种电路系 统至关重要。
复杂电路的挑战
独立电流源的拉普拉斯变换表示为 $frac{I}{s}$，其中$I$为电源电流。 在拉普拉斯域中，独立电流源的阻 抗与频率成反比。
传输线元件
传输线
传输线的拉普拉斯变换表示为$frac{1}{sqrt{LC}s}$，其中$L$和$C$分别为传 输线的单位长度电感和电容。传输线的阻抗与频率的平方根成反比，随着频率 的增加而减小。
与傅里叶变换的关系
拉普拉斯变换可视为傅里叶变换的扩展，能够处理更广泛 的信号和系统，包括不稳定系统和具有初始条件的系统。
在电路分析中的应用
拉普拉斯变换在电路分析中的主要应用包括求解线性时不 变电路的响应、分析电路的稳定性和暂态行为，以及设计 滤波器、控制器等电路元件。
02
拉普拉斯变换基本原理
定义与性质
利用伏安特性曲线或负载线等方 法，通过图形直观分析非线性电 路的工作状态。
解析法
通过建立非线性电路的数学模型， 采用数值计算或符号计算等方法 求解电路方程，得到电路的响应。
仿真法
利用电路仿真软件对非线性电路 进行建模和仿真分析，可以得到 较为准确的电路响应和性能参数。
拉普拉斯变换在非线性电路中应用
逆拉普拉斯变换
定义
逆拉普拉斯变换是将复平面上的函数转换回时域的过程，它 是拉普拉斯变换的逆操作。通过逆拉普拉斯变换，可以得到 电路的时域响应。
拉普拉斯变换在电路中的应用
拉普拉斯变换在电路中的应用在电路中，拉普拉斯变换是一种非常重要的数学工具，它在分析电路的动态行为、求解电路的传递函数和时域响应等方面起着至关重要的作用。
拉普拉斯变换可以帮助我们将微分方程转化为代数方程，从而简化了电路分析的复杂性，使得我们能够更加方便地理解电路的工作原理和性能特性。
1. 拉普拉斯变换的基本概念和原理拉普拉斯变换是一种对函数进行积分变换的数学工具，它可以将一个时域函数转化为复频域函数，从而方便进行系统的动态分析和响应预测。
在电路分析中，我们经常会遇到包含电压、电流随时间变化的问题，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将这些时域函数转化为复频域函数，更好地理解电路的行为和响应。
2. 拉普拉斯变换在电路分析中的应用通过拉普拉斯变换，我们可以方便地求解电路的传递函数，从而可以预测电路的动态响应和稳态性能。
这对于电路的设计和优化至关重要，因为我们可以通过分析传递函数，预测电路在不同频率下的响应特性，从而更好地进行电路参数选择和性能优化。
3. 拉普拉斯变换在滤波器设计中的应用滤波器是电子系统中常见的一个功能模块，它可以对信号进行滤波和频率选择，通过应用拉普拉斯变换，我们可以方便地分析滤波器的频率响应和频率特性。
这对于滤波器的设计和性能评估非常重要，因为我们可以通过分析频率响应，选择合适的滤波器类型和参数，从而满足系统对信号处理的要求。
4. 拉普拉斯变换在控制系统中的应用控制系统是现代工程技术中一个重要的方向，通过应用拉普拉斯变换，我们可以将控制系统的微分方程转化为代数方程，从而方便进行控制系统的分析和设计。
拉普拉斯变换在控制系统中的应用，可以帮助我们更好地理解控制系统的稳定性、性能和鲁棒性，从而更好地设计和优化控制系统。
5. 总结与展望通过对拉普拉斯变换在电路分析中的应用进行深入探讨，我们可以看到，在电路设计、滤波器设计和控制系统设计中，拉普拉斯变换都扮演着非常重要的角色。
它为我们提供了一种方便、高效的数学工具，帮助我们更好地理解电路的动态行为和系统的频率特性。
拉普拉斯变换基本应用
.拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用在工程学上应用拉普拉拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，使问题得以解决。
可以将微分方程化为代数方程，斯变换解常变量齐次微分方程，转换为复频拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，在工程学上，域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图域（s上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。
(2)希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、 ..模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。
三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤：（一）、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
教学课件：第二章拉普拉斯变换及其应用
在信号处理中，拉普拉斯变换可以用于分析信号的频域特性，例如傅里 叶变换和Z变换等。
03
电路分析
在电路分析中，拉普拉斯变换可以用于分析线性时不变电路的响应，例
如求解一阶和二阶电路的零状态响应。
02 拉普拉斯变换的基本理论
拉普拉斯变换的公式和定理
拉普拉斯变换的定义
对于所有实数$s$，定义函数$f(t)$的拉普拉斯变换为$int_{0}^{infty}f(t)e^{-st}dt$。
拉普拉斯变换的线性性质
如果$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变换存在，那么对于任意实数$a$和$b$，$(af(t)+bg(t))$的 拉普拉斯变换等于$aF(s)+bG(s)$，其中$F(s)$和$G(s)$分别是$f(t)$和$g(t)$的拉普拉斯变 换。
拉普拉斯变换的延迟性质
如果$f(t)$的拉普拉斯变换存在，那么$f(t-a)$的拉普拉斯变换等于$e^{-as}F(s)$，其中 $F(s)$是$f(t)$的拉普拉斯变换。
拉普拉斯变换的公式为：F(s) = ∫f(t)e^(-st) dt (s为复数，t为 实数)。
拉普拉斯变换的性质
线性性质
如果c1和c2是常数，f1(t)和f2(t) 是任意函数，那么c1f1(t) + c2f2(t)的拉普拉斯变换等于 c1F1(s) + c2F2(s)。
时移性质
如果f(t)的拉普拉斯变换为F(s)， 那么f(at-b)的拉普拉斯变换为 a^(-b)F(s/a)。
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根轨迹的应用
03
根轨迹分析在控制系统分析和设计中具有重要应用，通过根轨
迹可以判断系统的稳定性、分析系统的性能指标等。
拉普拉斯变换的应用
例8.23 求方程组 y x x y et 2, 2 y x 2 y x t
解：记 L y (s) Y (s), L x (s) X (s) .对方程组两边取拉普 拉斯变换，并考虑初始条件，则有
1 2 2 2 s Y ( s ) s X ( s ) sX ( s ) Y ( s ) , s 1 s 2s 2Y ( s ) s 2 X ( s ) 2sY ( s ) X ( s ) 1 . 2 s
所以，当t>0时，有
1 it it f (t ) (e e ) cos t 2
6
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铃
s2 例8.20 求函数 F ( s) 2 的拉普拉斯逆变换. s 4s 5
解：由拉普拉斯逆变换公式，有 s2 s2 1 1 f (t ) L 2 (t ) L (t ). 2 s 4s 5 (s 2) 1 由拉普拉斯变换的位移性质，有
Y(s)的原像函数 y(t ) 1 et (t 1)
11
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铃
2s 1 X (s) 2 s 2 具有两个二阶极点： s ( s 1)
s 1 0，
d 2s 1 st d 2 s 1 st X (t ) lim e lim 2 e s 0 d s ( s 1) 2 s 1 d s s 2 s 1 st 2s 2s 1 st 2(1 s) st st lim te e lim 2 t e e 3 3 s 0 ( s 1) 2 s 1 ( s 1) s s t et t .
拉普拉斯变换应用-资料
例3：周期函数的拉氏变换
f(t)
1 ...
设f1(t)为第一周函数
L [f1 (t) ]F 1 (S )
S为复频率
sj
f(t)与F(s)一 一对应
当 0， sj时
傅立叶变换
F(j)f(t)ejtdt 正变换 f(t)21F(j)ejtd反变换
2. 单边拉氏变换
t < 0 , f(t)=0
F(s)0 f(t)estdt 正变换 f(t)21j jjF(s)estds反变换
0
0
0
积分下限从0 开始，称为0 拉氏变换 。 积分下限从0+ 开始，称为0+ 拉氏变换 。
c0积分存e在 t为收敛因子
4.典型函数的拉氏变换 F(S)0 f(t)esd t t
(1)指数函数
L [e a( tt) ]0 e ae tsd t ts1ae(sa)t
0
1 sa
(2)单位阶跃函数
L [(t) ]0 (t)esd t t0estdt
1est s0
1 s
t
F(S)
s(s) 0
f()dt0
(S)F(S)
S
例 1： L[t(t)]L[ t (t)dt] 1 1
0
SS
例2：L[t2(t)]
2 S3
[t2(t)]2 t tdt 0
四.平移性质 设 L [f： (t) ]F (S )
1.时域平移(延迟定理)
f(t)(t)
f(t-t0)(t-t0)
f(t)(t-t0)
2j j
F(s)称为象函数，大写字母表示,如I(s)，U(s)。
f(t )为原函数用小写字母表示，如 i(t ), u(t )。
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
lim f (t ) lim sF ( s)
s 0
பைடு நூலகம்
2.3 拉氏反变换
由象函数求取原函数的运算称为拉氏反变 换(Inverse Laplace Transform)。拉氏反 变换常用下式表示：
f (t ) L [ F ( s)]
1
2 j
1
c j
c j
F ( s )e
表2-1 常用函数的拉氏变换对照表
2.2 拉氏变换的运算定理
1.叠加定理 两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换 的代数和。即:
L[ f1 (t ) f 2 (t )] L[ f1 (t )] L[ f 2 (t )] F1 ( s) F2 ( s)
2.比例定理 K倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的K倍。 即:
f (t )dt
t 0
f (t )dt
2
t 0 f (t )dt
s
n
n 1 t 0
0
则：L[ f (t )dt ]
n
F ( s)
上式表明，在零初始条件下，原函数的 n 重积分的 n 拉氏式等于其象函数除以 s
5.延迟定理 当原函数 f (t )延迟 时间，成为 f (t )时，它 的拉氏式为： s L[ f (t )] e F ( s) 上式表明，当原函数 f (t ) 延迟 ，即成 f (t ) 时， 相应的象函数 F (t )应乘以因子 e s 。 6.终值定理 上式表明原函数在 f (t ) 时的数值(稳态值)，可以通过 将象函数 F (t )乘以 s 后，再求 s 0的极限值来求得。 条件是当 t 和 s 0 时，等式两边各有极限存在。 终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统 的稳态误差，求取系统输出量的稳态值等)有着很多的 应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算定理。
拉普拉斯变换基本应用
拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。
(2)希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。
三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤：（一）、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
拉普拉斯变换及其应用(补充内容)
自动控制原理
Automatic Control Theory
0
d
(t)
li m0
1
(t 0和t ) (0 t )
L
[d (t)]
0
1
est dt
1
(
1 s
est )
0
图2单位脉冲函数ຫໍສະໝຸດ 1 [1 s
(1 es )]
1 s
(1 (1
s))
拉普拉斯变换及其应用
1 拉普拉斯变换的定义 2 拉普拉斯变换的基本性质 3 拉普拉斯反变换 4 拉普拉斯变换应用实例 5 习题
自动控制原理
Automatic Control Theory
1
1 拉普拉斯变换的定义
自动控制原理
Automatic Control Theory
Laplace变换是求解线性常微分方程常用的一种数学工 具。与线性常微分方程的经典求解方法相比， Laplace变换有如下两个显著的特点：
1
即 L [d (t)] 1
9
常用函数的拉氏变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
(5)正弦函数 f (t) sin k t (k R)
解
ℒ [sin kt]
sin
kt estd t
0
1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e d (s jk )t t e(s jk )td t
则 L [af1(t) bf2 (t)] aF1(s) bF2 (s)
2 拉普拉斯变换的基本性质
2.微分性质 设 L [ f (t)] F(s)
拉普拉斯变换的应用
,X2
s2 (s 3)2
1 1 s 3 (s 3)2
X1(s)
(s
1 3)2
,
§5.3 Coefficients Linear ODEs
X2
s
1 3
(s
1 3)2
取反变换，得:
1 (t) te3t , 2 (t) e3t te3t (1 t)e3t
X1(s)
s4 (s 3)2
1 1 s 3 (s 3)2
, X 2 (s)
1 (s 3)2
1(t) (1 t)e3t , 2 (t) te3t
基解矩阵是
(t)
1
(t
)
2 (t)
1
(t
)
2 (t)
e 3t
1 t
并求出它的基解矩阵。
解 令 X1(s) L[x1(t)], X 2 (s) L[x2 (t)] 假设 x1 1(t), x2 2 (t) 满足微分方程组
对方程组施行拉普拉斯变换，有:
§5.3 Coefficients Linear ODEs
sX sX
1 (s) 2 (s)
t
t
1 t
作业 P.236, 第6(a)题（用拉普拉斯变换法）。
§5.3 Coefficients Linear ODEs
1 应用拉普拉斯变换可以将求解线性微分方程组的 问题转化为求解线性代数方程组的问题。
2 应用拉普拉斯变换还可以直接解高阶的常系数线性微 分方程组，不必先化为一阶的常系数线性微分方程组。
3 拉普拉斯变换提供了一种寻求常系数线性微分方程组
第2章拉普拉斯变换及其应用
0
st lim (t )e dt (t )e st dt 0 0
1 st s lim e dt lim 1 e st | lim 1 e 1 0 0 0 0 0 s s
1 1 L f t dt F s f -1 0 s s
【例】已知f(t),求F(s)=?
2.3 拉氏反变换
由象函数F(s)求取原函数f(t)的运算称为拉氏 反变换（Inverse Laplace Transform）。拉氏 反变换常用下式表示:
f(t)= L-1［F(s)］
常见函数的拉氏变换
【1】求单位阶跃函数（Unit Step Function） 1(t)的象函数。
解:在自动控制系统中，单位阶跃函数是一个突加
作用信号，相当于一个开关的闭合（或断开），
设函数
0 (t 0) 1 1 (t ) t (0 t ) (t ) 1
第2章 拉普拉斯变换及其应用
在经典自动控制理论中，自动控制系统的数学模 型是建立在传递函数基础之上的，而传递函数的概 念又是建立在拉氏变换的基础上的，因此，拉氏变 换是经典控制理论的数学基础。
2.1 拉氏变换的概念
2.2 拉氏变换的运算定理
2.3 拉氏反变换
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
2.1 拉氏变换的概念
和 的关系：
【3】求斜坡函数（Ramp Function）的象函数。 斜坡函数的定义式为： 式中， K为常数
解:在自动控制系统中，斜坡函数是一个对时间作均匀变
化的信号。在研究跟随系统时，常以斜坡信号作为典型 的输入信号。 同理，根据拉氏变换的定义式有 : st
拉普拉斯变换基本应用
拉普拉斯变换的应用一·拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在Matlab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二·拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的: (1)产生更适合人观察和识别的图像。
(2)希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有Roberts算子、Sobel算子、Laplacian算子、Canny算子等。
三·应用步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的Matlab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤：（一）、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
拉普拉斯(Laplace)变换及其应用
2s 1
1
1
1
t
2.4 应用拉氏变换求解微分方程
S (t=0)
R + UC -
+
Ｕs
-
C
这是一个一阶ＲＣ电路，我们取 电容两端的电压为输出电压，设 开关S闭合前，电路处于零初始状 态，即： uc (0 ) 0 在t=0时，开关S闭合，电路 接入直流电源Us。则根据KVL 定理，有：
u R uc U s
t 0
f ( ) d
p L( p)
1
0
性质3（相似性质） L
pt 性质4（延迟性质） L f ( t t 0 ) e L ( p )
p f ( a t ) L a a 1
性质5（位移性质） L
e
t
f ( t ) L ( p )
st 0
【例2-1】 求单位阶跃函数(Unit Step Function) 1(t)的象函数。
在自动控制原理中，单位阶跃函数是一个突加作用信 号，相当一个开关的闭合(或断开)。
在求它的象函数前，首先应给出单位阶跃函数的定义 式。
在自动控制系统中，单位阶跃函数相当一个突加作 用信号。它的拉氏式由定义式有：
F (t ) L[2 e
at
at
]
2 s
1 sa
3s 2a s ( s a)
例2-2 求
2s 1 s ( s 1)
的原函数。
解：首先用部分分式展开法，将所给的象函数展开：
2s 1 s( s 1) A s B s 1 A s B s 1 ( A B) s A s( s 1)
拉普拉斯变换及其应用(补充内容)
2
拉普拉斯变换的基本性质
证：
自动控制原理
Automatic Control Theory
d L [ f (t )] L f (t ) dt st d e f (t )dt 0 dt e st df (t )
0
f (t )e
st 0
3
拉普拉斯反变换
自动控制原理
Automatic Control Theory
根据极点的不同特点，部分分式分解法有以下两种情况： （1）A(s)=0且无重根 若A(s)=0且无重根，则F(s)可展开成n个简单的部分分式之 和，即 ki kn k1 k2 F s s p1 s p2 s pi s pn 系数可由右式求出：
自动控制原理
Automatic Control Theory
原函数 f (t ) 积分的拉氏变换为:
F (s) f (t )dt t 0 L [ f (t )dt] s s
2
拉普拉斯变换的基本性质
4.位移性质 设
L [ f (t )] F ( s)
自动控制原理
Automatic Control Theory
st 1 est dt ( 1 e )0 s s
[ (1 e
1
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即
L [d (t )] 1
9
常用函数的拉氏变换
(5)正弦函数
自动控制原理
Automatic Control Theory
f (t ) sin k t
f ( n1) (0) 0 时,
df (t ) L [ ] sF ( s ) dt d 2 f (t ) 2 L [ ] s F (s) 2 dt d n f (t ) n L [ ] s F ( s) n dt
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拉普拉斯变换的应用一•拉普拉斯变换的应用拉普拉斯变换在许多领域中都有着重要的作用，在工程学上应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。
在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（S域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。
在计算机图像处理方面，拉普拉斯变换在MatIab上的拉普拉斯算子在图像处理上有很强的应用性，例如：在图像的边缘检测、对图像进行拉普拉斯锐化、对图像进行滤波等。
二•拉普拉斯变换在图像处理方面的应用计算机进行图像处理一般有两个目的：（1）产生更适合人观察和识别的图像。
⑵ 希望能由计算机自动识别和理解图像。
数字图像的边缘检测是图像分害IJ、目标区域的识别、区域形状提取等图像分析领域的重要基础，图像处理和分析的第一步往往就是边缘检测。
物体的边缘是以图像的局部特征不连续的形式出现的，也就是指图像局部亮度变化最显著的部分，例如灰度值的突变、颜色的突变、纹理结构的突变等，同时物体的边缘也是不同区域的分界处。
图像边缘有方向和幅度两个特性，通常沿边缘的走向灰度变化平缓，垂直于边缘走向的像素灰度变化剧烈。
根据灰度变化的特点，图像边缘可分为阶跃型、房顶型和凸缘型。
首先要研究图像边缘检测，就要先研究图像去噪和图像锐化。
前者是为了得到飞更真实的图像，排除外界的干扰，后者则是为我们的边缘检测提供图像特征更加明显的图片，即加大图像特征。
早期的经典算法有边缘算子法、曲面拟合法、模版匹配法等。
经典的边缘检测算法是对原始图像中像素的某小领域米构造边缘检测算子，常用的边缘检测算子有RObertS算子、Sobel算子、LaPlaCian算子、Canny算子等。
三•应!步骤用拉普拉斯变换进行数字图像处理，需要借用计算机上的MatIab软件去进行程序编码和运行来实现。
下边是应用步骤:(一)、选好需要进行处理的照片，用拉普拉斯算子实现数字图像的边缘检测。
保存检测后图像进行分。
(二)、用Matlab 软件编辑代码编写拉普拉斯算子对图片进行处理的程序。
(三)、用拉普拉斯算子得到的图像处理后的一系列结果。
四•用MATLA实现步骤(1)打开计算机，安装和启动MATLA程序。
(2)窗口左边的current folder 下的就是读取图片的默认路径，图片放置于程序所保存的文件夹内。
(3)调用MATLA工具箱中的拉普拉斯算子编写函数程序。
(4)调入、显示获得的图像，图像存储格式应为“ .jpg ” 。
(5)对该程序进行编译，检在错误并纠正。
(6)运行，并显示结果，比较差异。
五•利用MATLA语言编写的数字图像处理的源代码读入图片i=imread('img.jpg'); %i1=rgb2gray(i); % 把rgb 图像转换成灰度图像bw1=edge(i1,'log',0.005); % 做阈值为0.001 的高斯—拉普拉斯( Log )算法figure(1),imshow(i); % 显示原图title(' 原图像');figure(2),imshow(i1); % 显示灰度图像title(' 灰度图像');figure(3),imshow(bw1); % 显示高斯一拉普拉斯(Log)边缘检测后的图title(' 边缘检测后图像');i=imread('img.jpg');figure(4),subplot(1,3,1);imshow(i);title(' 原始图像'); % 显示原始图像double 类图像J=double(i); % 将图像转化为归一化的拉普拉斯运算模板K=[0 -1 0 %-1 4.5 -10 -1 0] ;L=imfilter(J,K,'replicate'); % 图像进行滤波subplot(1,3,2);imshow(L,[]);title(' 拉普拉斯算子增强图像');H = fspecial('unsharp');sharpened = imfilter(i,H,'replicate'); % subplot(1,3,3); imshow(sharpened);title(' 锐化处理后图像');k=[1 1 1;1 -8 1;1 1 1]; %L1=J-imfilter(J,k,'replicate'); % figure(5);subplot(1,2,1);imshow(L1,[]); % title(' 中心为8 的拉普拉斯算子'); k=[1 1 1;1 -6 1;1 1 1]; %L2=J-imfilter(J,k,'replicate'); % subplot(1,2,2);imshow(L2,[]);title(' 中心为6 的拉普拉斯算子');Instance_R = I_origin2(:, :, 1);Instance_G = I_origin2(:, :, 2);Instance_B = I_origin2(:, :, 3);figure('Name',' 原图的RGB分量');subplot(2, 2, 1), imshow(I_origin2), title('Origin');subplot(2, 2, 2), imshow(Instance_R), title('Vector R'); 对图像进行拉普拉斯锐化对角线的中心为8 的拉普拉斯运算模板用原图减去此滤波结果（以还原失去的灰度色调）显示图像对角线的中心为8 的拉普拉斯运算模板用原图减去此滤波结果（以还原失去的灰度色调）I_origin = imread('girl.jpg'); %[size_x, size_y, size_z] = size(I_origin); %if size_x > 1080 %I_origin2 = imresize(I_origin, 1080 / double(size_x)); elseI_origin2 = I_origin;end% --- 方法一%I_gray = rgb2gray(I_origin2); % figure('Name', ' 对灰度图的边缘检测'); subplot(1, 2, 1), imshow(I_origin2), title(' subplot(1, 2, 2), imshow(I_gray), title('读入图片读取图像的大小对图像进行适当的压缩先将彩色图像转化为灰度图像然后进行边缘检测将图像转化为灰度图原图'）;灰度图'）;Edge_gray = edge(I_gray, 'log'); % % --- 方法二%% -------------- 提取RGB分量并显示对灰度图像进行边缘检测将彩色图分解为RGB分量再进行边缘检测、、、subplot(2, 2, 3), imshow(Instance_G), title('Vector G');subplot(2, 2, 4), imshow(Instance_B), title('Vector B');% -------------- 对RGB分量进行边缘检测并合并Edge_R = edge(Instance_R, 'log');Edge_G = edge(Instance_G, 'log');Edge_B = edge(Instance_B, 'log');rgb = im2uint8(cat(3, Edge_R, Edge_G, Edge_B));figure('Name', 'RGB 分量的边缘检测');subplot(2, 2, 1), imshow(I_origin2), title('Origin');subplot(2, 2, 2), imshow(Edge_R), title('Laplace Vector R');subplot(2, 2, 3), imshow(Edge_G), title('Laplace Vector G');subplot(2, 2, 4), imshow(Edge_B), title('Laplace Vector B');figure('Name', ' 两种检测方法的对比');subplot(1, 2, 1), imshow(Edge_gray), title(' 方法一');subplot(1, 2, 2), imshow(rgb), title(' 方法二');% 灰度图的边缘检测与彩色图分别除去RGB分量的边缘检测对比figure('Name', 'image_sub1');subplot(2, 2, 1), imshow(Edge_gray), title('Gray');subplot(2, 2, 2), imshow(cat(3, zeros(size(Edge_R)), Edge_G, Edge_B)), title('Without R'); subplot(2, 2, 3), imshow(cat(3, Edge_R, zeros(size(Edge_G)), Edge_B)), title('Without G'); subplot(2 ,2, 4), imshow(cat(3, Edge_R, Edge_G, zeros(size(Edge_B)))), title('Without B');% 对彩色图执行RGB边缘检测后取灰度化与灰度化边缘检测对比figure('Name', 'image_sub2');subplot(1, 2, 1), imshow(Edge_gray), title('Gray');subplot(1, 2, 2), imshow(rgb2gray(rgb)), title('RGB to Gray');六∙MATLA程序文件夹内容（一）对原图先转为灰度图像然后用拉普拉斯算子进行边缘检测。