2016浙江省高等数学竞赛试题(数学类)

2016浙江省高等数学（微积分）竞赛试题

（数学类）

一、计算题（每小题14分，满分70分）

1

．求极限n n →∞其中为正整数。 2．求不定积分22

1cos (1sin )x x dx x x -+⎰. 3．设函数1()1x

xe f x x

+=+，求(5)(0)f . 4．求函数(,,)111z y x f x y z xy xz yz

=

+++++在3{(,,)0,,1}V x y z R x y z =∈≤≤的最大值。

5．已知cos()sin sin 3/2 αβαβ+++=. 其中0,/2αβπ≤≤，求,αβ的值。 二、（满分20）设曲面S 为：22

2(1)(2)1916

x y z --++= ,0z ≥ 计算 3S xdydz ydzdx zdxdy ++⎰⎰ S 方向向上。

三、（满分20分）设sin ,cos x x u e y v e y ==，

求 22()()C xu yv dx yu xv dy x y

++-+⎰ 其中C 为绕原点的任何一条光滑简单闭曲线。四、（满分20分）已知实系数多项式()P x 仅有实根，证明：()()P x P x '+也仅有实根。

五、（满分20分）设3,α≥有界数列{}n a 满足21(1) ,1n n n a a a n αα+-=+-≥ 证明：对1n ≥,0n a a = .