5系统函数及系统特性分析.docx

系统函数及系统特性分析

实验目的：

1. 理解系统函数在分析离散系统特性吋的作用；

2. 掌握系统函数的不同表示形式及零极点分析方法；

3. 掌握利用系统函数求解频率响应的方法；

4. 了解用DFT 及DTFT 确定离散系统特性的方法。

实验原理：

一、系统函数的表示形式及零极点分析

MATLAB 信号处理工具箱提供的tf2zp 、zp2tf 和zp2sos 等函数可以进行系 统函

数的不同表示形式的转换。

> Z 有理多项式表示的系统函数： H(z) = 4+处：+…+ 加：

+ Q] Z + …+ Cl” Z '

>用零点、极点和常数表示的一阶因子形式的系统函数：

二 k (z-z(l))(z — z(2))・・・(z-z(M))

(z-p(l))(z — p(2))・・・(z — ”(N))

> Z 的二阶因子表示形式：

•

[z,p,k]=tQzp(b,a)将有理多项式表示的系统函数转换为一阶因子形式的系统 函数； • [b,a]=zp2tf(z,p,k)将一阶因子形式的系统函数转换为有理多项式的系统函数。

例：试将下面的系统函数表示为一阶因子形式。

H ⑵=(1+0.04Z -2)/(1-0.8Z 1+0.16Z 2-0.128Z 3)

解：

b=[l,0,0.04,0];

a=[l,-0.8,0.16,-0.128];

[z,p,k]=tf2zp(b,a);

dispC 零点);disp(z);

dispC 极点');disp(p');

dispC 常数);disp(k f );

[b,a]=zp2tf(z,p,k)% 还原验证

• sos=zp2sos(z,p,k)将零点、极点和增益常数表示转换为二阶因子表示。

例：求下面系统函数的零极点形式二阶因子形式。

s、Z3+0.04Z

H(z)=— ---------- ；------------------

」6Z-0」28

Z3-0.8Z2+0

解：

b=[l 0 0.04 0];

a=[l -0.8 0.16 ・ 0.128];

[z,p,k]=tf2zp(b,a); disp(*Zeros are at'); disp(z); disp('Poles are at'); disp(p);

disp('Gain constanf);disp(k);

sos=zp2sos(z,p,k); disp('Second-order sections');

disp(sos);

MATLAB提供roots函数可用来计算离散系统的零极点，以及zplane函数可绘制离散系统的零极点分布图。在利用这些函数时，要求H(z)的分子多项式和分母多项式的系数的个数相等，若不等则需要补零。

例：己知系统函数为H⑵=(l+2z-1)/(l+0.4z,-0.12z-2),计算该系统函数的零极点, 并画岀系统函数零极点分布图。

b=[l,2,0];

a=[l,0.4,-0.12];

z=roots(b)

p=roots(a) zplane(b.a)

二、离散系统的频率响应

当离散因果LTI系统的系统函数H(z)的极点全部位于Z平面单位圆内吋，系统的频率特性出屮)可由H(z)求出。

> 使用freqz(b,a)可计算系统的频率响应：

[H,w]=freqz(b,a,n)计算系统的n点频率响应H, w为频率点向量(默认取0到兀), b和a 分別为系统函数H⑵的分子分母系数矩阵(即H(z)对应的差分方程左右两边的系数向量)。

H=freqz(b,a,w)计算系统在指定频率点向量w上的频率响应。freqz(b,a)自动绘制频率响应曲线。

例：已知某离散因果系统的系统函数为H⑵=(1+『)/(1・『+0.5尹)，试分析该系统

幅频特性。

绘出系统的频率特性图：

b珂1丄0];

a=[l,-1,0.5]；

[H,w]=freqz(b,a); plot(w/pi,abs(H))

xlabel('Frequency(ra(i)'); ylabel(l Magnitude,); titlefMagnitude response1); 或计算系统的32点频率响应: b=[ 1,1,0];

a=[l,-l,0.5]；[H,w]=freqz(b,a,32); stem(w/pi,abs(H)) xlabel(f Frequency (rad)1); ylabel(f Magnitude f); title(f Magnitude response1);

三、利用DTFT和DFT确定离散系统的特性

在很多情况下，需要根据LTI离散系统的输入和输出对系统进行辨识，即通过测量系统在已知输入x[k]激励下的响应y[k]來确定系统的特性。若系统的单位脉冲响应为h[k],由于存在y[k] = x[kyh[k]f所以可以在时域通过信号解卷积方法求解h[k],但在实际应用中，进行信号解卷积比较困难，因此，通常从频域来分析系统，来确定系统的频率响应函数HG。），再由H（^）得到系统的单位脉冲响应h[k]o

若LTI系统输入x[k]的DTFT为X©。），系统输出y[k]的DTFT为丫（』°）, 则系统的频率响应函数HQ。）可表示为

X（严）

有限长序列的DTFT可以利用FFT计算岀其在区间Q w [0,2龙）内的等间隔频率点上的样本值。即利用fft（x,N）就可以计算出xeB在£1“0,2龙）区间内N个频率点#唏（“0,1,…，心）上的样点值X[m],利用附,N）就可以计算出丫@°）在Qw[0,2;r）区间内N个频率点Q”严加2（税=0,1,・・・,“-1）上的样点值N

Y[m],从而可以得到H（』°）在这些频率点上的样点值= 利用函数

X[m]

ifft（H）就可以得到系统的单位脉冲响应h[k]o

实验内容：

1.已知因果离散系统的系统函数为

z? + 2z +1

H（z） = ----- -------------- z ------ 5

Z3-0.5Z2-0.005Z_2+0.3

讣算该系统函数的零极点，并画出系统函数零极点分布图，在报告中记录下零极