第三章离散傅里叶变换(DFT)

因此，我们感兴趣的是时域及频域都是离散 的情况。
离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
N 1
j 2 nk
X (k) x(n)e N
n0
x(n)
1
N 1
j 2 nk
X (k)e N
N k0
DFS演示
一个域的离散造成另一个域的周期延拓， 因此离散傅里叶变换的时域和频域都是离 散的和周期的
四种傅里叶变换形式的归纳
周期序列：x(n) x(n rN )
r为任意整数 N为周期
连续周期函数：
xa (t) xa (t kT0 ) T0为周期
xa (t) A(k )e jk0t
k
基频：0 2 / T0
k次谐波分量：e jk0t
N为周期的周期序列：
x(n) A(k )e jk0n
k
基频：0 2 / N
k次谐波分量：e jk0n
周期序列的DFS正变换和反变换：
X (k)
DFS[x(n)]
N 1
j 2 nk
x(n)e N
N 1
x(n)WNnk
n0
n0
x(n)
IDFS[ X (k)]
1 N
N 1
j 2 nk
X (k)e N
k 0
1 N
N 1
X (k )WNnk
k 0
其中：
WN
j 2
e N
解法二：公式解
X
k
DFS
x
n
N
1
x(n)e
j 2 N
kn
7
x
n0
n
e
j 2 8
n0
kn
3
e
n0
j kn 4
j k4
1e 4
j k
1e 4
j k
j k
j k
e 2 e 2 e 2
j k
j k
j k
e 8 e 8 e 8
e
j 3 k 8
sin 2
k
sin k
8
例：周期序列 x(n) cos n展开为DFS，求其系数。
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而频域的离散对应时域是周期函数。
FS演示
周期连续信号的频谱具有以下特点： ①离散性，即谱线是离散的； ②谱波性，即谱线只出现在基波频率的整数倍
上，且具有非周期性，是一种线谱； ③收敛性，即各次谐波的幅度随谐波次数的增
高而减小； ④各次谐波的幅度的衰减速度与信号波形有关，
n0
7
3
x(n)W8nk W8nk
n0
n0
j 2 k
j 2 2k
j 2 3k
1e 8 e 8 e 8
X (0) 4 X (1) 1 j 2 1 X (2) 0 X (3) 1 j 2 1
X (4) 0 X (5) 1 j 2 1 X (6) 0 X (7) 1 j 2 1
第三章 离散傅里叶变换（DFT）
Chapter 3: The Discrete Fourier Transform (DFT)
第三章学习目标
• 理解傅里叶变换的几种形式
• 了解周期序列的傅里叶级数及性质，掌握 周期卷积过程
• 理解离散傅里叶变换及性质，掌握圆周移 位、共轭对称性，掌握圆周卷积、线性卷 积及两者之间的关系
X ( j) x(t)e jtdt
x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域连续函数造成频域是非周期的谱， 而时域的非周期造成频域是连续的谱密度函数。
FT演示
连续时间、离散频率—傅里叶级数
X
(
jk
0
)
1 T0
T0 / 2 x(t)e jk0tdt
T0 / 2
Hale Waihona Puke Baidu
x(t) X ( jk0 )e jk0t k
X (0) 60 X (1) 9 j3 3 X (2) 3 j 3
X (3) 0 X (4) 3 j 3 X (5) 9 j3 3
例：已知序列x(n) R4 (n), 将x(n)以N 8为周期 进行周期延拓成x(n)，求x(n)的DFS。
解法一：数值解
N 1
X (k) x(n)WNnk
时域波形变化愈慢，高频分量衰减愈快，高 频成分愈少；反之，时域波形变化愈剧烈， 高频分量愈多。
离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换
X (e j ) x(n)e jn n
x(n) 1 X (e j )e jnd
2
SFT演示
时域的离散化造成频域的周期延拓， 而时域的非周期对应于频域的连续
易见，前三种傅里叶变换对都不适于计算机 上运算，因为它们至少在一个域（时域或频域）中 函数是连续的。
例：已知序列x(n)是周期为6的周期序列， 如图所示，试求其DFS的系数。
解：根据定义求解
N 1
X (k ) x(n)WNnk
n0
5
x(n)W6nk
n0
j 2 k
j 2 2k
14 12e 6 10e 6
j 2 3k
j 2 4k
j 2 5k
8e 6 6e 6 10e 6
2
2 j 2 ( k 1)
j 2 ( k 11)
1 e 12
1 e 12
6, k 1 12r
6,
k
11
12r
x(n)
co0s,
其 它 的k n
6
6, k 112r X~(k) 6, k 1112r
(k)
11 n0
1
2
j 2
e 12
n
e
j 2 12
kn
1 2
e
j 2 12
n
e
j 2 12
kn
X~ (k) 1
1 11 j 2 ( k 1)n e 12
11 j 2 ( k 11)n
e 12
2 n0
2 n0
j 2 ( k 1)12
j 2 ( k 11)12
1 1 e 12
1 1 e 12
• 了解频域抽样理论
• 理解频谱分析过程
• 了解序列的抽取与插值过程
一、Fourier变换的几种可能形式
时间函数
频率函数
连续时间、连续频率—傅里叶变换 连续时间、离散频率—傅里叶级数 离散时间、连续频率—序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率—离散傅里叶变换
四种信号频谱 演示
连续时间、连续频率—傅里叶变换
时间函数
频率函数
连续和非周期 非周期和连续
连续和周期(T0) 非周期和离散(Ω0=2π/T0) 离散(T)和非周期 周期(Ωs=2π/T)和连续
离散(T)和周期(T0) 周期(Ωs=2π/T)和离散(Ω0=2π/T0)
二 、周期序列的DFS及其性质
DFS: Discrete Fourier Series
6
解：方法1 整理x(n)有(N=12)：
x(n)
1
j 2π n
e 12
1
e
j 2π n 12
1
j 2
e 12
n
1
j 2
e 12
(11) n
2
2
2
2
与DFS定义对比知：在 k 112r 和 k 1112r时：
X (k) N / 2 6, 其他 X (k) 0。
方法2 由定义式直接计算，得
X