9.1 无向树及生成树
离散数学
(注)以上算法需假定图中每条边的权都不 相同.但事实上对图中有若干条边的权相同的情 形,只要将它们的权作微小的变动,使之各不相同, 即可使用这个算法.
例：见书本图9.4
又有计算最小生成树的实例:
1 11
6
3 2
9
7 8
10
4 5
红绿粉红紫黄
另有“破圈法”：删除边破坏回路，同时保持图的连 通性，直到没有回路为止。 a
注意，具有 n 个结点和恰有 n-1 条边的图未 必是树，但连通或无回路的是。 连通无圈完全刻划了树，这是树的一个特
性；树还有另外一个重要性质是：它以最少的
边使结点连通。
定理9.2 给定树T=<V，E>，若|V|≥2，则T中至 少存在两个悬挂结点（树叶）。
证明: 1)设T=<V,E>是树,|V|=v.因为T是连通图,viT 有deg(vi)≥1且由定理5-1.1有∑deg(vi)=2(|V|-1)=2v-2.
例：下图为根树，右边是左图省掉方向的代替图。
v1
v2 v3 v4 v2
v1
v3 v4
v5
v6
v7
v8 v9
v5
v6
v7
v8 v9
v10 v11 v12
v10
v11 v12
为表示结点间的关系，有时借用家族中的
术语。一棵根树可以看成一棵家族树。令u是有
根树中的分枝结点，若从u到v有一条边或，则 结点v称为结点u的“儿子”，或称u是v的“父 亲”；若从u到w有一条路，称u是w的“祖先”， 或称w是u的“子孙”或“后代”，同一个分枝
第九章 树
9.1 无向树及生成树
9.2 根树及其应用
离散数学 图论-树
中序遍历（次序：左－根－右) 前序遍历（次序：根－左－右) 后序遍历（次序：左－右－根) b 中序遍历: c b e d g f a I k h j 前序遍历: a b c d e f g h i k j 后序遍历: c e g f d b k i j h a
例：给定二叉树，写出三种访问 结点的序列
是否为根树
(a) (no)
(b) (no)
(c) (yes)
从树根到T的任意顶点v的通 路(路径)长度称为v的层数。 v5的层数为 层。
层数最大顶点的层数称为树 高．将平凡树也称为根树。 右图中树高为（ ）。
v1
v2 v3
v4 v8v5Fra bibliotekv6v7 v10
v9
在根树中，由于各有向边的方向是一 致的，所以画根树时可以省去各边上的所 有箭头，并将树根画在最上方．
等长码：0-000；1-001；2-010；3-011；4-100； 5-101；6-110；7-111. 总权值: W2=3*100=300
4、二叉树的周游（遍历）
二叉树的周游：对于一棵二叉树的每一个结点都访问一次且 仅一次的操作 1）做一条绕行整个二叉树的行走路线（不能穿过树枝） 2）按行走路线经过结点的位臵（左边、下边、右边） 得到周游的方法有三种： 中序遍历（路线经过结点下边时访问结点） 访问的次序：左子树－根－右子树 前序遍历（路线经过结点左边时访问结点） 访问的次序：根－左子树－右子树 后序遍历（路线经过结点右边时访问结点） 访问的次序：左子树－右子树－根
2、根树中顶点的关系
定义：设T为一棵非平凡的根树， v2 ∀vi,vj∈V(T),若vi可达vj,则称vi为 vj的祖先,vj为vi的后代； v4 v5 若vi邻接到vj(即<vi,vj>∈E(T)，称 vi为vj的父亲,而vj为vi的儿子 v8 若vj,vk的父亲相同，则称vj与vk是兄 弟
9.1-无向树
条基本通路，这与题设条件矛盾。所以，图是连通 的且无回路，是树。
二、无向树的性质（续）
定理9.2 设T=<V,E>为n（n2）阶树，则T中至少有2个叶结点。 证明： (思路) 关键是应用 |E|=|V|-1
练习
已知树T中有度数为4、3和2的分支结点各1个，其余 结点均为叶结点，求树T中叶结点的数目？ 解 设树T中叶结点的数目为x，则树T的结点数目为(x+3) 。
定理 9.1 对于树T=<V,E>，|V|=n，|E|=m，下列性质 成立且相互等价： ① T中无回路且边数m=n-1； ② T是连通图且边数m=n-1； ③ T中无回路，但在T的任何不相邻结点之间增加一 条边，就得到唯一的一条基本回路。 ④ T是连通图，但删去任何一条边后，所得到的图 不连通。 ⑤ T中每对结点之间有唯一的一条基本通路。
二、无向树的性质（续）
（4） 由性质③来推证性质④。
如果T 不是连通图，则存在两个结点vi和vj，在结点vi 和vj之间没有通路，如果增加边(vi, vj)，不产生回路 ，这与性质③矛盾，因此，T 是连通图。
因为T 中没有回路，所以删除任意一条边，所得到的 图必定不是连通图。
二、无向树的性质（续）
§9.1 无向树
一、基本概念 无向树（简称树）：连通且不含有回路的无向图，常
用T表示。 森林：每个连通分支都是树的无向图。 叶结点（简称叶）：在树T中，度数为1的结点。 内部结点（或分支结点，简称分支点）：在树T中，
度数大于1的结点。
树？ 森林？ 叶？ 内部结点？
二、无向树的性质
（3） 由性质②来推证性质③。 对结点数进行归纳。 当n = 2时，m = n 1 = 1，由T的连通性质，T没有回路。如果两个结点之
图论——树
森林
推论： 具有k个分支的森林有nk条边， 其中n是G的顶点数。
无向树的性质
定理2.2
证明
设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
设T有x片树叶，由握手定理及定理2.1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例2.1
例2.1 画出6阶所有非同构的无向树。 解答 设Ti是6阶无向树。
唯一性（反证法）。 若路径不是唯一的，设Г1与Г2都是u到v的路径， 易知必存在由Г1和Г2上的边构成的回路， 这与G中无回路矛盾。
(2)(3)
如果G中任意两个顶点之间存在唯一的路径， 则G中无回路且m＝n-1。 首先证明 G中无回路。 若G中存在长度大于2的圈， 则圈上任何两个顶点之间都存在两条不同的路径， 这也与已知矛盾。
说明
注意：T 不一定连通，也不一定不含回路。
生成树的存在条件
定理2.3 无向图G具有生成树当且仅当G连通。 证明 必要性，显然。 充分性（破圈法）。 若圈，任取一圈，随意地删除圈上的一条边，
若再有圈再删除圈上的一条边，直到最后无圈为止。 易知所得图无圈(当然无回路)、连通且为G的生成子图， 所以为G的生成树。
分支点—— 7个
高度—— 5
家族树
常将根树看成家族树，家族中成员之间的关系如下定义。 定义2.7 设T为一棵非平凡的根树， vi、vj∈V(T)，若vi可达vj，则称vi为vj的祖先，vj为vi的后代。 若vi邻接到 vj（即 <vi,vj>∈E(T)）， 则称vi 为 vj的父亲，而 vj为 vi 的儿子。 若vj、vk的父亲相同，则称vj与vk是兄弟。 定义2.8 设v为根树T中任意一顶点，称v及其后代的导出子图为 以v为根的根子树。
离散数学 课件 PPT 精品课程 考研 大学课程 数学一 第九章 树
例 (2)为(1)的一棵生成树T,(3)为T的余树.
（1）
（2）
（3）
余树可能不连通，也可能含回路。
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11
定理9.3 任何连通图G至少存在一棵生成树. 推论1 设n阶无向连通图G有m条边,则 m≥n-1. 推论2 设n阶无向连通图G有m条边,T是G的生 成树,T'是T的余树,则T'中有m-n+1条边.
（1）
（2）
（3）
m=8,n=5
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a
d b
f
e
图中, 初级回路aed， bdf，cef.
c
这3个回路中每一 个回路都只含一条 弦,其余的边都是树 枝,这样的回路称为 基本回路.
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13
定义9.3 设T是n阶连通图G=<V,E>的一棵生成 树,G有n条边.设e1,e2· · · ,em-n+1为T的弦,设Cr是T 加弦er产生的G的回路,r=1,2,…m-n+1.称Cr为 对应于弦er的基本回路,称{C1,C2,· · · ,Cm-n+1}为 对应生成树T的基本回路系统.
连通分支数大于等于2,且每个连通分支均
平凡图称为平凡树. 设T＝<V,E>为一棵无向树,v∈V,若d(v)＝1,
则称v为T的树叶.若d(v)≥2,则称v为T的分 支点.
2019/1/30 3
例
（a）
（b）
（c ）
图中（a），（b）为树，而（c）不是树， 但（c）为森林。
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T有5个树枝a, b, c, d, e, 因而有5个 基本割集:Sa={a,g,f } ; Sb={b,g,h } ; Sc={c,f,h } ; Sd={d,i,h } ; Se={e,f,i}. 基本割集系统为{Sa,Sb,Sc, Sd,Se}.
离散数学第四版课后答案(第9章)
第9章 习题解答9.1 有5片树叶.分析 设T 有x 个1度顶点(即树叶).则T 的顶点数Tx x n ,523+=++=的边数.41x n m +=-=由握手定理得方程.∑=+=⋅+⨯+⨯==+=ni ix x vd x m 1.1312233)()4(22由方程解出.5=x所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.分析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数,7x n +=边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122由方程解出x=5.所求无向树T 的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T 中有5个3度顶点.要析 设T 中有x 个3度顶点,则T 中的顶点数x n +=7,边数x n m +=-=61,由握手定理得方程.∑=+==+=ni ix v d x m 173)(2122.由此解出5=x ,即T 中有5个3度顶.T 的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T 中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.9.3 加1-k 条新边才能使所得图为无向树.分析 设具有k 个连通分支的森林为G,则G 有k 个连通分支i K T T TT ,,,21全为树,.,,2,1k i =加新边不能在i T 内部加,否则必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加1-k 条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取iv 为iT 中顶点,加新边1,,2,1),(1-=+k i vv i i,则所得图为树,见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.9.4 不一定.分析 n 阶无向树T 具有1-n 条边,这是无向树T 的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即1-n 个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有1-n 条边, 但它显然不是树.9.5 非同构的无向树共有2棵,如图 9.9所示.分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.9.6 有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.分析图9.10 是5阶图(5个顶点的图), 5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下. 5阶无向树中,顶点数5=n,边数4=m,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树, 但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的生成树. 但在图9.10 中已经找出了两个非同构的生成树,其中(1)的度数列为③,(2) 的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.9.7 基本回路为: .,,,hfab C gfa C ead C cbad C h g e c====基本回路系统为}.,,,{h g e cC C C C基本割集为:},,{},,{},,,{},,,,,{h g f Sc ed S h c b S h g ce a S fd b a ====基本回路系统为},,,{f d b aS S S S.分析 1°注意基本回路用边的序列表示,而基本割集用边的集合表示.2° 基本回路中,只含一条弦,其余的边全为树枝,其求法是这样的: 设弦),(j iv ve =,则jiv v,在生成树T 中,且在T 中,ji v v ,之间存在唯一的路径ji ,Γ与),(j iv ve =组成的回路为G 中对应弦e 的基本回路.3° 基本割集中,只含一条树枝,其余的边都是弦,其求法是这样的:设树枝),(j iv ve =,则e 为T 中桥,于是eT-(将e 从T中支掉),产生两棵小树1T 和2T ,则}|{21'''中和的两端点分别在中且在T T e G e e S e =e S 为树枝e 对应的基本割集. 显然ee S S e ,∈中另外的边全是弦. 注意,两棵小树1T 和2T ,中很可能有平凡的树(一个顶点).aT -得两棵小树如图9.11中(1) 所示. G 中一个端点在i T 中,另一个端点在2T 中的边为a(树枝), h g c e ,,,,它们全是弦,于是},,,,{h g c e a Sa=bT - 得两棵小树如图9.11中(2) 所示, 其中有一棵为平凡树. G 中一个端点在1T 中,另一个端点在2T 中的边数除树枝b 外,还有弦,,h c 所以, },,{h c b Sb=dT -产生的两棵小树如图9.11中(3) 所示 . G 中一个端点在1T 中,另中一个端点在2T 中的边,除树枝d 外,还有两条弦e c ,,所示, },,{e c d Sd=fT -产生的两棵小树如图9.11中(4) 所示. 由它产生的基本割集为},,{h g f Sf=9.8 按Kruskal 求最小生成树的算法,求出的图9.3(1)的最小生成树T 为图9.12中(1) 所示, 其7)(=T W .(2) 的最小生成树T 为图9.12中(2)所示,其.11)(=T W9.9 421,,B B B为前缀码.分析 在421,,B B B中任何符号串都不是另外符号串的前串,因而它们都是前缀码.而在3B 中, 1是11,101的前缀,因而3B不是前缀码. 在5B 中,,a 是ac aa ,等的前缀,因而5B 也不是前缀码.9.10 由图9.4 (1) 给出的2元前缀码.}11,011,01010,0100,00{1=B由(2) 给出的3元前缀码为.}.2,1,022,0202,0201,0200,01,00{2=B分析 1B 是2元树产生的2元前缀码(因为码中的符号串由两个符号0,1组成),类似地,2B 是由3元树产生的3元前缀码(因为码中符号串由3个符号0,1,2组成).一般地,由r 元树产生r 元前缀码.9.11 (1) 算式的表达式为ji h g f e d c b a *)*()()*)*((((++÷-+.由于使其成为因而可以省去一些括号优先于,,,*,-+÷ji h g f e d c b a **)()*)*((++÷-+.(2) 算式的波兰符号法表达式为.****hij fg bcde a ++-÷+(3) 算式的逆波兰符号法表达式为.****+÷+-+jI hi fg e d abc9.12 答案 A:①; B ②; C:④; D:⑨.分析 对于每种情况都先求出非同构的无向树,然后求出每棵非同构的无向树派生出来的所有非同构的根树.图9.13 中,(1),(2),(3),(4)分别画出了2阶,3阶,4阶,5阶所有非同构的无向树,分别为1棵,1棵,2棵和3棵无向树.2阶无向树只有1棵,它有两个1度顶点,见图9.13中(1)所示,以1个顶点为树根,1个顶点为树叶,得到1棵根树.3阶非同的无向树也只有1棵,见图9.13中(2)所示.它有两个1度顶点,1个2度顶点,以1度顶点为根的根树与以2度顶点为根的树显然是非同构的根树,所以2个阶非同构的根树有两棵.4阶非同构的无向树有两棵,见图9.13中(3)所示. 第一棵树有3片树叶,1个3度顶点, 以树叶为根的根树与以3度顶点为根的树非同构.所以,由第一棵树能生成两个非同构的根树, 见图9.14 中(1)所示. 第二棵树有两片树叶,两个2度顶点,由对称性,以树叶为根的根树与2度顶点为根的根树非同构,见图9.14中(2) 所示. 所以,4阶非同构的根树有4棵.5阶非同构的无向树有3棵,见图9.13中(4)所示. 由第一棵能派生两棵非同构的根树, 由第二棵能派生4棵非同构的根树,由第三棵能派生3棵非同构的根树,所以,5阶非同构的根树共有9棵,请读者将它们都画出来.9.13 答案 A:②; B:②; C:③; D:③; E:③;F:④; G: ④; H:③.分析 将所有频率都乘100,所得结果按从小到大顺序排列:.35,20,15,10,10,5,5=======a b c d e f g w w w w w w w以以上各数为权,用Huffman 算法求一棵最优树,见图9.15所示.对照各个权可知各字母的前缀码如下:a ——10，b ——01，c ——111，d ——110，e ——001，f ——0001，g ——0000.于是，a,b 的码长为e d c ,,,2的码长为g f ,,3的码长为4. W(T)=255(各分支点的权之和),W(T)是传输100按给定频率出现的字母所用的二进制数字,因则传输104个按上述频率出现的字母要用25500⨯个二进制数字..24=1055最后还应指出一点,在画最优树叶, 由于顶点位置的不同,所得缀码可能不同,即有些字母的码子在不同的最优树中可能不同,但一般说来码长不改变.特别是,不同的最优树,它们的权是固定不变的.9.14 答案 A:②; B:④分析用2元有序正则树表示算式,树叶表示参加运算的数,分支点上放运算符,并将被减数(被除数)放在左子树上,所得2元树如图9.16所示.用前序行遍法访问此树,得波兰符号表示法为abc-++de-*.**ghf用后序行遍法访问此树,得逆波兰符号表示法为dec*fghab--++**。
无向树及生成树
一、无向树及其性质
1、 无向树 定义 5-17:不包括回路的无向连通图称为无向树， 简称树,记为 T . （1）两棵以上的图称为森林。 （2）设 T 是树，则 T 的边称为树枝。 （3）树中度数为 1 的结点，称为树叶。 （4）树中度数大于等于 2 的结点称为分支点。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 1 设 v1 , v 2 是 T 的两个不同结点， 则连接 v1 , v 2 有 且仅有一条通路，而且这条通路是初级通路。 性质 2 设 v1 , v 2 是 T 的两个结点， 如果 v1 , v 2 不邻接， 则在 T 中添加边 v1 , v 2 后所得的图有且仅有一条回 路，而且这条回路是初级回路。
一、无向树及其性质
2、 树的性质 性质 3 树中任意删除一条边后所得的图是不连通 的。 性质 4 设 T 是 (n, m) 树，则 m n 1。 性质 5 设树 T 的结点数为 n(n 2) ，则至少两片树 叶。
一、无向树及其性质
2、 树的性质
例 5-7：设树 T 中有 7 片树叶，3 个 3 度结点，其余 都是 4 度结点，问: T 中有几个 4 度结点？ 例 5-8．设树 T 中有 1 个 3 度结点，2 个 2 度结点， 其余结点都是树叶，问 T 中有几片树叶？ 例 5-9 画出所有 6 个顶点非同构的无向树。
e1 , e2 ,, em ，它们带的权分别为 a1 , a2 ,, am ，不妨
设 a1 a2 am （1） 一开始取权最小的边 e1 ， 且 w(e1 ) a1 ， 取
e1 在 T 中。
三、求最小生成权的克鲁斯科尔算法
（ 2）若 e2 不与 e1 构成回路，将 e2 添加在 T 中，否 则放弃 e2 ，再查 e 3 ，继续这一过程，直到得到的子 图就是所求的一棵最小生成树 T 为止。
离散数学课件-无向树
12
(5) (6)的证明
如果G连通且每条边均为桥，则G中任意两个结点之间存在 惟一的路径。 证明 由G是连通的可知，任意两个结点间有一条路， 若存在两点它们之间有多于一条的路， 则G中必有回路， 删去该回路上任一边， 图仍是连通的， 与G中每条边都是桥矛盾。
13
(6) (1)的证明
如果G中任意两个结点之间存在惟一的路径，则G是无回路 的连通图。 证明 因为任意两结点间有唯一条路，则图G必连通。 若G有回路， 则在回路上任意两结点间有两条路， 与已知矛盾。
6 b 5
删除边6
a
2 (c)
e
最小生成树
对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e), 称作边e 的权. 图连同附加在边上的权称作赋权图, 记作G=<V,E,W>. 设G是G的子图, G所有边的权的和称作G的权, 记作W(G).
最小生成树: 赋权图的权最小的生成树
求最小生成树的算法——避圈法 (克鲁斯卡尔/Kruskal算法) 设G=<V,E,W>, 将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em. (1) 把e1加入T中 (2) 检查e2, 若e2与e1不构成回路, 则将e2加入T中, 否则弃去e2. (3) 检查e3,…, 重复进行直至得到生成树为止.
11
(4) (5)的证明
如果G中无回路, 但增加一条新边，得到一个且仅有一个包含 新边的回路，则G连通且每条边均为桥。 证明 反证法。 假设G不连通， 则存在结点ui与uj，在ui和uj之间没有路， 所以增加边(ui,uj)不会产生回路，与已知矛盾。 由于G无回路，故删掉任意条边e都使G-e为非连通， 所以G中每条边都是桥。
从连通图从连通图ggee中的某一顶点中的某一顶点uu出出发选择与它关联的具有最小权值的边发选择与它关联的具有最小权值的边uu00vv将其顶点加入到将其顶点加入到生成树的顶点集合生成树的顶点集合uu中
无向树及生成树
2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)
解出n=8, 4度顶点为1个.
T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4
有3棵非同构的无向树
生成树
生成树的存在性
定理任何无向连通图都有生成树.
证用破圈法.若图中无圈,则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边,这不破坏连通性,重复进行
直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.
推论1设n阶无向连通图有m条边,则mn1.
推论2设n阶无向连通图有m条边,则它的生成树的余树
有mn+1条边.
基本回路与基本回路系统
定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成
树，设e1, e2, … , emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er
（1）G是树(连通无回路);
（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;
（3）G中无回路且m=n1;
（4）G是连通的且m=n1;
（5）G是连通的且G中任何边均为桥;
（6）G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
下次课预习要点：
有向树
根树、树根、树叶、内点、分支点
设G=<V,E,W>,将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em.
(1)取e1在T中
(2)检查e2,若e2与e1不构成回路,则将e2加入T中,否则弃去e2.
(3)检查e3,…,重复进行直至得到生成树为止.
实例
例求图的一棵最小生成树
复习思考题、作业题：
设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：
离散数学(第二版)第9章树
e10， 则分别产生初级回路e1e3e4， e1e4e5e2， e6e8e9，
•
•
•
e7e6e9e10。
•
第九章 树
这些初级回路有一个共同特点： 它们中均只含一条弦，
其余的边均是树枝， 我们称这样的回路为基本回路。 对于
G的每棵生成树T， m-n+1条弦对应着m-n+1个基本回路，
这些基本回路构成的集合称为对应T的基本回路系统。 显
例如图9.1.3中， T1和T2是图G的两棵生成树， 1 和2 是 分别对应于它们的余树。
第九章 树
图9.1.3 图的生成树和余树
第九章 树
由图9.1.3可见， G与T1、 T2的区别是G中有回路， 而 它的生成树中无回路， 因此要在一个连通图G中找到一棵 生成树， 只要不断地从G的回路上删去一条边， 最后所得 无回路的子图就是G的一棵生成树。 于是有如下定理。
这个问题的数学模型为： 在已知的带权图上求权最小 的生成树。
定义9.1.4 设无向连通带权图G=〈V, E, ω〉， G中带 权最小的生成树称为G的最小生成树(最优树)。
定理9.1.4 设连通图G的各边的权均不相同， 则回路 中权最大的边必不在G的最小生成树中。
证明略。
第九章 树
定理的结论是显然的， 由此寻找带权图G的最小生成 树， 可以采用破圈法， 即在图G中不断去掉回路中权最大 的边。
(5) 1， 1， 1， 1， 1， 2， 5
(6) 1， 1， 1， 1， 1， 3， 4
(7) 1， 1， 1， 1， 1， 1， 6
第九章 树
注意到， 不同构的度数列对应不同的树， 但对应同一 度数列的非同构的树不一定唯一， 所以对应(1)有T1， 对应 (2)有T2、 T3和T4， 对应(3)有T5和T6， 对应(4)有T7和T8， 对应(5)有T9， 对应(6)有T10， 对应(7)有T11(见图9.1.2)。
网络工程专业《离散数学》本科课程教学大纲
网络工程专业《离散数学》本科课程教学大纲（2022版）计算机学院2022年编制一、课程基本信息课程代码：128003课程名称：离散数学学分/学时：4.5学分/72学时课程类别：专业教育模块课程性质：专业基础课开课学期：第三学期授课对象：22网络工程本先修课程：高等数学、线性代数二、课程简介《离散数学》课程在讲授利用离散问题进行建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力，为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。
主要内容包括命题逻辑基本概念、等值演算、推理理论，一阶逻辑基本概念、推理理论，集合代数、二元关系、函数、基本组合计数公式、图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、代数系统。
通过本课程的学习，学生能够掌握离散数学的基本知识、概念、公式及其应用，掌握离散数学中的常规逻辑推断方法，能够具备有效地收集、整理和分析数据的能力，并对所考察的问题作出推断或预测，以及应用数据挖掘和数据分析方法解决实际问题的能力，从而为今后学习、工作和发展建立良好的知识储备。
三、课程具体目标1.通过该课程的教学，了解并掌握计算机科学中普遍地采用离散数学中的一些基本概念、基本思想和基本方法。
通过本课程的学习将得到良好的数学训练，提高抽象思维能力和逻辑推理能力，掌握有关逻辑和证明的基本技巧和方法，理解并能初步运用离散结构进行问题建模和求解，从而为其学习计算机专业各门后续课程做好必要的知识准备，并为从事计算机的应用提供理论基础。
【毕业要求1.1工程知识】（M）2.掌握命题逻辑基本概念、等值演算、推理理论，一阶逻辑基本概念、推理理论，集合代数、二元关系、函数、基本的组合计数、图论等知识的相关的基本概念、基本表示和一些相关运算。
【毕业要求1.1工程知识】（M）3.在传统模式课堂上让学生自带移动智能终端（BYOD，Bring Your Own Device）开展即时互动反馈的信息化教学新模式，以满足教师和学生课堂教学互动与即时反馈需求，从而激发学生的独立思考、自主学习和探究的能力。
生成树工作步骤
生成树工作步骤生成树是图论中的一个重要概念，它是指能够将一张无向图的所有节点遍历一遍的有向树。
在计算机科学中，生成树也是一种常见的算法，在许多应用中都有广泛的应用。
下面将介绍一下生成树的工作步骤。
1. 确定起始点生成树的第一步是要确定起始点，这是生成树的基础。
在无向图中任选一个节点作为起点，进行深度优先遍历或广度优先遍历，找到与该节点相连接的所有节点，然后将连接节点的边加入到生成树的集合中。
2. 生成树集合初始化第二步骤是生成树集合初始化。
这一步骤将起始点的边加入到生成树的集合中，并将这些加入的边的状态标记为已访问。
在这一步骤之后，生成树集合就有了起始节点以及连接节点之间的边。
3. 确定下一个要加入的边第三步骤是要确定下一个要加入的边。
在生成树中，边可以通过多种方法被加入。
最常见的方法是通过确定边权值最小的两个节点之间的边，然后将这条边加入到生成树集合中。
4. 判断新边加入后是否成环确定下一条要加入的边后，第四步骤是要判断新边加入后是否成环。
如果新边加入后形成环，那么该边就不能被加入到生成树集合中。
此时需要选择下一条边来代替当前的边，直到找到一条不会成环的边。
5. 将新边加入到生成树中当找到不会成环的边后，第五步骤是将新边加入到生成树中，并将这些加入的边的状态标记为已访问。
在这一步骤之后，生成树集合就会多出一条新的边。
6. 重复以上步骤当新的边加入到生成树中后，需要重复以上步骤，继续寻找下一条合适的边加入到生成树中。
这一过程一直持续到生成树包含了所有的节点，即已经遍历了无向图中的所有节点。
以上就是生成树的工作步骤。
通过以上的步骤，我们就可以构建出一颗覆盖了无向图所有节点的生成树。
生成树在计算机科学中有很广泛的应用，例如网络设计、电路分析和数据压缩等。
离散数学第九章树知识点总结
生成树的存在性 定理 任何无向连通图都有生成树. 证 用破圈法. 若图中无圈, 则图本身就是自己的生成树.
否则删去圈上的任一条边, 这不破坏连通性, 重复进行 直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树. 推论 1 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则 mn1. 推论 2 设 n 阶无向连通图有 m 条边, 则它的生成树的余树 有 mn+1 条边.
{0,10,010, 1010} 不是前缀码
例 在通信中，设八进制数字出现的频率如下：
0：25%
1：20%
2：15%
3：10%
4：10%
5：10%6：5% Nhomakorabea7：5%
采用 2 元前缀码, 求传输数字最少的 2 元前缀码 (称作最佳前
缀码), 并求传输 10n(n2)个按上述比例出现的八进制数字需
要多少个二进制数字？若用等长的 (长为 3) 的码字传输需要
推论 3 设
为 G 的生成树 T 的余树，C 为 G 中任意一个
圈，则 C 与
一定有公共边.
基本回路与基本回路系统
定义 设 T 是 n 阶 m 条边的无向连通图 G 的一棵生成 树，设 e1, e2, … , emn+1 为 T 的弦. 设 Cr 为 T 添加弦 er 产生的 G 中惟一的圈(由 er和树枝组成), 称 Cr 为对应 弦 er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1. 称{C1, C2, …, Cmn+1}为对应 T 的基本回路系统. 求基本回路的算法: 设弦 e=(u,v), 先求 T 中 u 到 v 的路径 uv, 再并上弦 e, 即得对应 e 的基本回路. 基本割集与基本割集系统定义 设 T 是 n 阶连通图 G 的一棵生成树, e1, e2, …, en1 为 T 的树枝，Si 是 G 的只含树枝 ei, 其他边都是弦
离散数学第9章习题解答
第9章习题解答9.1 有5片树叶.分析设T有x个1度顶点(即树叶).则T的顶点数的边数由握手定理得方程.由方程解出所求无向树T的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T中有5个3度顶点.分析设T中有个3度顶点,则T中的顶点数边数,由握手定理得方程.由方程解出x=5.所求无向树T的度数列为1,1,1,1,1,2,2,3,3,3.由这个度数列可以画多棵非同构的无向树,图9.6给出的4棵都具有上述度数列,且它们是非同构的.9.2 T中有5个3度顶点.要析设T中有x个3度顶点,则T中的顶点数,边数,由握手定理得方程..由此解出,即T中有5个3度顶.T的度数列为1,1,1,1,1,1,1,3,3,3,3,3.由于T中只有树叶和3度顶点,因而3度顶点可依次相邻,见图9.7所示. 还有一棵与它非同构的树,请读者自己画出.9.3 加条新边才能使所得图为无向树.分析设具有个连通分支的森林为G,则G有个连通分支全为树,加新边不能在内部加,否则必产生回路.因而必须在不同的小树之间加新边. 每加一条新边后,所得到的森林就减少一个连通分支. 恰好加条新边,就使得图连通且无回路,因而是树.在加边过程中,只需注意,不在同一人连通分支中加边. 下面给出一种加边方法,取为中顶点,加新边,则所得图为树,见图9.8 给出的一个特例.图中虚线边为新加的边.9.4 不一定.分析 n阶无向树T具有条边,这是无向树T的必要条件,但不是充公条件.例如, 阶圈(即个顶点的初级回路)和一个孤立点组成无向简单图具有条边, 但它显然不是树.9.5 非同构的无向树共有2棵,如图 9.9所示.分析由度数列1,1,1,1,2,2,4不难看出，唯一的4度顶点必须与2度顶点相邻，它与1个2度顶点相邻，还是与两个2度顶点都相邻，所得树是非同构的，再没有其他情况.因而是两棵非同构的树.9.6 有两棵非同构的生成树,见图9.10所示.分析图9.10 是5阶图(5个顶点的图), 5阶非同构的无向树只有3棵,理由如下. 5阶无向树中,顶点数,边数,各顶点度数之和为8,度数分配方案有3种,分别为①1,1,1,1,4;②1,1,1,2,3;③1,1,2,2.2.每种方案只有一棵非同构的树.图9.10所示的5阶图的非同构的生成树的度数列不能超出以上3种,也就是说,它至多有3棵非同构的生成树, 但由于图中无4度顶点,所示,不可能有度数列为①的生成树,于是该图最多有两棵非同构的生成树. 但在图9.10 中已经找出了两个非同构的生成树,其中(1)的度数列为③,(2) 的度数列为②,因而该图准确地有两棵非同构的生成树.9.7 基本回路为:基本回路系统为基本割集为:基本回路系统为.分析1°注意基本回路用边的序列表示,而基本割集用边的集合表示.2° 基本回路中,只含一条弦,其余的边全为树枝,其求法是这样的: 设弦,则在生成树T中,且在T中,之间存在唯一的路径与组成的回路为G中对应弦的基本回路.3° 基本割集中,只含一条树枝,其余的边都是弦,其求法是这样的:设树枝,则为T中桥,于是(将从T中支掉),产生两棵小树和,则为树枝对应的基本割集. 显然中另外的边全是弦. 注意,两棵小树和,中很可能有平凡的树(一个顶点).得两棵小树如图9.11中(1) 所示. G中一个端点在中,另一个端点在中的边为(树枝),,它们全是弦,于是得两棵小树如图9.11中(2) 所示, 其中有一棵为平凡树. G中一个端点在中,另一个端点在中的边数除树枝外,还有弦所以,产生的两棵小树如图9.11中(3) 所示 . G中一个端点在中,另中一个端点在中的边,除树枝外,还有两条弦,所示,产生的两棵小树如图9.11中(4) 所示. 由它产生的基本割集为.9.8 按Kruskal求最小生成树的算法,求出的图9.3(1)的最小生成树T为图9.12中(1) 所示, 其.(2) 的最小生成树T为图9.12中(2)所示,其9.9为前缀码.分析在中任何符号串都不是另外符号串的前串,因而它们都是前缀码.而在中, 1是11,101的前缀,因而不是前缀码. 在中,是等的前缀,因而也不是前缀码.9.10 由图9.4 (1) 给出的2元前缀码.由(2) 给出的3元前缀码为.分析是2元树产生的2元前缀码(因为码中的符号串由两个符号0,1组成),类似地,是由3元树产生的3元前缀码(因为码中符号串由3个符号0,1,2组成).一般地,由元树产生元前缀码.9.11 (1) 算式的表达式为.由于.(2) 算式的波兰符号法表达式为(3) 算式的逆波兰符号法表达式为9.12 答案A:①; B②; C:④; D:⑨.分析对于每种情况都先求出非同构的无向树,然后求出每棵非同构的无向树派生出来的所有非同构的根树.图9.13 中,(1),(2),(3),(4)分别画出了2阶,3阶,4阶,5阶所有非同构的无向树,分别为1棵,1棵,2棵和3棵无向树.2阶无向树只有1棵,它有两个1度顶点,见图9.13中(1)所示,以1个顶点为树根,1个顶点为树叶,得到1棵根树.3阶非同的无向树也只有1棵,见图9.13中(2)所示.它有两个1度顶点,1个2度顶点,以1度顶点为根的根树与以2度顶点为根的树显然是非同构的根树,所以2个阶非同构的根树有两棵.4阶非同构的无向树有两棵,见图9.13中(3)所示. 第一棵树有3片树叶,1个3度顶点, 以树叶为根的根树与以3度顶点为根的树非同构.所以,由第一棵树能生成两个非同构的根树, 见图9.14 中(1)所示. 第二棵树有两片树叶,两个2度顶点,由对称性,以树叶为根的根树与2度顶点为根的根树非同构,见图9.14中(2) 所示. 所以,4阶非同构的根树有4棵.5阶非同构的无向树有3棵,见图9.13中(4)所示. 由第一棵能派生两棵非同构的根树, 由第二棵能派生4棵非同构的根树,由第三棵能派生3棵非同构的根树,所以,5阶非同构的根树共有9棵,请读者将它们都画出来.9.13 答案A:②; B:②; C:③; D:③; E:③;F:④; G: ④; H:③.分析将所有频率都乘100,所得结果按从小到大顺序排列:以以上各数为权,用Huffman算法求一棵最优树,见图9.15所示.对照各个权可知各字母的前缀码如下:a——10， b——01， c——111， d——110，e——001， f——0001，g——0000.于是，a,b的码长为的码长为的码长为4.W(T)=255(各分支点的权之和),W(T)是传输100按给定频率出现的字母所用的二进制数字,因则传输104个按上述频率出现的字母要用个二进制数字.最后还应指出一点,在画最优树叶, 由于顶点位置的不同,所得缀码可能不同,即有些字母的码子在不同的最优树中可能不同,但一般说来码长不改变.特别是,不同的最优树,它们的权是固定不变的.9.14 答案 A:②; B:④分析用2元有序正则树表示算式,树叶表示参加运算的数,分支点上放运算符,并将被减数(被除数)放在左子树上,所得2元树如图9.16所示.用前序行遍法访问此树,得波兰符号表示法为用后序行遍法访问此树,得逆波兰符号表示法为。
《离散数学课件》5树
W(T)等于所有分支点的权之和
36
实例
例 求带权为1, 1, 2, 3, 4, 5的最优树. 解题过程由下图给出，W(T)=38
7，4，5 4，3，4，5 2，2，3，4，5 7，9
37
小结
树与有序树
（ m=n1）
无向树及生成树
基本回路与基本回路系统 基本割集与基本割集系统 最小生成树
根树及其应用
23/60
例 求最小生成树
5 1 5 3 6 6 5 1 5 3 6 4 6 6 5 2 3 5 6 4 5 5 1 5 2 5 5 2 5
4
24/60
普里姆(Prim)算法
设置一个集合T，开始图上任选一点u0加入T，图顶点数 为n。重复以下工作n-1次:
• 在满足uT,vT的所有边中选边权w最小的 • 将v加入集合T中 • 输出边u ,v及边上的权 w
6
无向树的性质(续)
定理2 设T 是 n 阶非平凡的无向树，则T中至少 有两片树叶. 证 设T有x片树叶，由握手定理及定理1可知，
2(n 1) d (vi ) x 2(n x)
由上式解出x2.
7
例1 已知一棵树有5个4度顶点，3个3度顶点， 3个2度顶点，问有几个一度顶点？
(a)
(b) 只讨论(b)这样的所谓的“根 树”——有一个根的树。
28/53
根树
设T=(V,E)是一棵有向树，若仅有一个顶点的入度为0， 其余的顶点的入度均为1，这样一棵有向树我们称为 根树。 入度为0的顶点称为树根， 出度为0的顶点称为树叶， 出度不为0的顶点称为分枝点。 例
c d e a b d
有序树: 将根树同层上的顶点规定次序 r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树
生成树原理
生成树原理
生成树是图论中的一个重要概念，它是指一个无向图中的一棵包含所有顶点的子图，且该子图是一棵树。
生成树原理是指通过一定的算法，从一个无向图中生成一棵生成树的过程。
生成树原理的应用非常广泛，例如在网络设计中，生成树可以用来构建网络拓扑结构，保证网络的可靠性和高效性；在计算机科学中，生成树可以用来解决最小生成树问题，即在一个带权无向图中找到一棵权值最小的生成树。
生成树的算法有很多种，其中最常用的是Prim算法和Kruskal算法。
Prim算法是一种贪心算法，它从一个起始顶点开始，逐步扩展生成树的边集，直到包含所有顶点为止。
具体实现过程如下：
1. 选取一个起始顶点，将其加入生成树中。
2. 找到与生成树中的顶点相邻的所有顶点中，权值最小的边，将其加入生成树中。
3. 重复步骤2，直到生成树包含所有顶点。
Kruskal算法也是一种贪心算法，它从所有边中选取权值最小的边，逐步扩展生成树的边集，直到包含所有顶点为止。
具体实现过程如
下：
1. 将所有边按照权值从小到大排序。
2. 依次选取权值最小的边，如果该边的两个端点不在同一个连通分量中，则将该边加入生成树中。
3. 重复步骤2，直到生成树包含所有顶点。
无论是Prim算法还是Kruskal算法，它们都可以保证生成的树是最小生成树，即权值最小的生成树。
生成树原理是图论中的一个重要概念，它可以用来解决最小生成树问题，构建网络拓扑结构等。
Prim算法和Kruskal算法是生成树的两种常用算法，它们都是贪心算法，可以保证生成的树是最小生成树。
树
生成树的性质
设 G V , E 为连通图， V n， E m， (1) G至少有一棵生成树， (2) m n 1， (3) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
则 T '中有 m n 1条边。 (4) 设 T 是 G 的生成树， T ' 是 T 的余树，
又由(1) m n 1 ，代入上式，解得 k 2 ，
即 T 至少2片叶。
例题
画出所有的6个顶点的非同构的树。 解：所要画的树有6个顶点，则边数为5，因此 6个顶点的度数之和为10，可以产生以下五 种 度数序列：
(1) 1 1 1 1 1 5
T1
(2) 1 1 1 1 2 4
(3) 1 1 1 1 3 3
注意： (1) 生成树不唯一，
(2) 余树不一定是树。
(3)
(3)是(2)的余树。
生成树存在条件
定理：无向图G具有生成树当且仅当G是连通图 证明:
必要性 显然 充分性，如果G无回路,则G本身就是它的生成树,如G 有回路,则在回路上任取一条边并去掉后仍是连通的, 如G仍有回路,则继续在该回路上去掉一条边,直到图 中无回路为止,此时该图就是G的一棵生成树
树的性质
(1) 树中顶点数与边数的关系： n m 1 。
(2) 非平凡树至少2片树叶。
证明： 设 T V , E 为 n 阶非平凡树，
设 T 有 k 片树叶，则有 (n k) 个顶点度数大于等
n
于2， 由握手定理， 2m d (vi ) k 2(n k ) i 1
T2
(4) 1 1 1 2 2 3
T3
(5)1 1 2 2 2 2
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2m=2(n1)=51+21+31+4(n7)
解出n=8, 4度顶点为1个.
T的度数列为1,1,1,1,1,2,3,4
有3棵非同构的无向树
生成树
生成树的存在性
定理任何无向连通图都有生成树.
证用破圈法.若图中无圈,则图本身就是自己的生成树.
教学重点、难点:
重点：树及其性质、无向树的等价定义与性质、生成树、最小生成树
难点：生成树存在条件、基本割集与基本割集系统
教学内容:
9.1无向树及生成树
一、本节主要内容
无向树、森林
树枝、弦、余树
生成树
基本回路与基本回路系统
基本割集与基本割集系统
最小生成树
二、教学内容
无向树
无向树(树):连通而无回路的无向图，用T表示.
家族树、根子树、有序树
实施情况及教学效果分析:
院系部审核意见:
院系部负责人签字
年月日
设G=<V,E,W>,将非环边按权从小到大排序：e1, e2, …, em.
(1)取e1在T中
(2)检查e2,若e2与e1不构成回路,则将e2加入T中,否则弃去e2.
(3)检查e3,…,重复进行直至得到生成树为止.
实例
例求图的一棵最小生成树
复习思考题、作业题：
设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：
产生的G中惟一的圈(由er和树枝组成),称Cr为对应
弦er的基本回路或基本圈, r=1, 2, …, mn+1.称{C1,
C2, …, Cmn+1}为对应T的基本回路系统.
求基本回路的算法:设弦e=(u,v),先求T中u到v的路径
uv,再并上弦e,即得对应e的基本回路.
基本割集与基本割集系统
定义设T是n阶连通图G的一棵生成树, e1, e2, …,
en1为T的树枝，Si是G的只含树枝ei,其他边都是弦
的割集,称Si为对应生成树T由树枝ei生成的基本割
集, i=1, 2, …, n1.称{S1, S2, …, Sn1}为对应T的基本
割集系统.
求基本割集的算法:设e为生成树T的树枝, Te由两
棵子树T1与T2组成,令
Se={e | eE(G)且e的两个端点分别属于T1与T2}
授课时间第十七周第2次课
授课章节
9.1无向树及生成树
任课教师
及职称
唐新华
讲师
教学方法
与手段
板书和电子课件结合
课时安排
2课时
使用教材和
主要参考书
1、教材：
耿素云等，离散数学，清华大学出版社，2008
2.参考书
左孝琳、李为槛、刘永才，离散数学（上海科技文献版）2006
教学与目的要求：
掌握树、生成树的概念以及图是树的几个等价命题
则Se为e对应的基本割集.
实例
例图中红边为一棵生成树,
求对应它的基本回路系统
与基本割集系统
解弦e,f,g对应的基本回路分别为
Ce=e b c, Cf=f a b c, Cg=g a b c d,
C基={Ce, Cf, Cg}.
树枝a,b,c,d对应的基本割集分别为
Sa={a, f, g}, Sb={b, e, f, g}, Sc={c, e, f g}, Sd={d, g},
S基={Sa, Sb, Sc, Sd}.
无向图与最小生成树
对无向图或有向图的每一条边e附加一个实数w(e),称作边e
的权.图连同附加在边上的权称作带权图,记作G=<V,E,W>.
设G是G的子图, G所有边的权的和称作G的权,记作W(G).
最小生成树:带权图权最小的生成树
求最小生成树的算法——避圈法(Kruskal)
否则删去圈上的任一条边,这不破坏连通性,重复进行
直到无圈为止,剩下的图是一棵生成树.
推论1设n阶无向连通图有m条边,则mn1.
推论2设n阶无向连通图有m条边,则它的生成树的余树
有mn+1条边.
基本回路与基本回路系统
定义设T是n阶m条边的无向连通图G的一棵生成
树，设e1, e2, … , emn+1为T的弦.设Cr为T添加弦er
（1）G是树(连通无回路);
（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;
（3）G中无回路且m=nBiblioteka ;（4）G是连通的且m=n1;
（5）G是连通的且G中任何边均为桥;
（6）G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
下次课预习要点：
有向树
根树、树根、树叶、内点、分支点
（3）G中无回路且m=n1;
（4）G是连通的且m=n1;
（5）G是连通的且G中任何边均为桥;
（6）G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边后所得图中有惟一的一个含新边的圈.
无向树的性质(续)
例题
例1已知无向树T中,有1个3度顶点, 2个2度顶点,其余顶点全是树叶.试求树叶数,并画出满足要求的非同构的无向树.
平凡树:平凡图
森林:每个连通分支都是树的非连通的无向图
树叶:树中度数为1的顶点
分支点:树中度数2的顶点
右图为一棵12阶树.
声明:本章中所讨论的回路均
指简单回路或初级回路
无向树的性质
定理9.1设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：
（1）G是树(连通无回路);
（2）G中任意两个顶点之间存在惟一的路径;
解用树的性质m=n1和握手定理.
设有x片树叶，于是n=1+2+x=3+x,
2m=2(n1)=2(2+x)=13+22+x
解出x=3，故T有3片树叶.
T的度数列为1, 1, 1, 2, 2, 3
有2棵非同构的无向树,如图所示
例题
例2已知无向树T有5片树叶, 2度与3度顶点各1个,其余顶点的度数均为4.求T的阶数n,并画出满足要求的所有非同构的无向树.