信号与系统第二章_线性时不变系统

号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号
的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种
关系： u(t)
t
( )d

(t )d

0
对一般信号 x(t)，可以将其分成很多 宽度的区
段，用一个阶梯信号x (t) 近似表示x(t) 。当 0
时，有x (t) x(t)
x(n)
y(n) x(n) [h1(n) h2 (n)]
x(t) h1(n) h2 (n) y(t) x(t) [h1(t) h2 (t)]
h1(t) h2 (t)

h1(t) x(n) h1(n)
x(n)
h1(n)
y(n)

x(t)
y(t)
h2 (n)
h2 (t)
x(n) h2(n)
下，将 x(k) 与 h(n k) 对应点相乘，再把乘积的
各点值累加，即得到 n 时刻的 y(n) 。
例1： x(n) nu(n) 0 1 h(n) u(n) 10
x(k) ku(k)
1
0
k ...
h(n k) u(n k)
1
k
0
n
y(n) x(n) h(n)
即：x (t) x(k) (t k) k
当 0时， k d
(t k) (t )
x (t) x(t)
于是： x(t)

x( ) (t )d

表明：任何连续时间信号 x(t) 都可以被分解成移位
x(k)
1
0
4
h(n k) nk
k
n6
0
k
n
12
① n 0 时， y(n) 0
n
n
② 0 n 4 时， y(n) nk n k
k 0
k 0


n

1 (n1) 1 1
1 n1

1
③
4 n 6 时，
缺点：①只适用于两个有限长序列的卷积和； ②一般情况下，无法写出 y(n)的封闭表达式。
15
2.2 连续时间LTI系统：卷积积分
（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）
一. 用冲激信号表示连续时间信号
与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信
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x(t) x (t)
x(k)
t
0
k (k 1)
引用 (t)
，即：

(t)

1
/ 0
0t otherwise
则有：

(t
)

1 0
0t otherwise
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第k个矩形可表示为：x(k) (t k)
这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 x (t) ，
有用的。
20
例1: x(t) eatu(t) ,
x( )
1
a0
h(t) u(t)
u(t )
1


0
0t

y(t) x(t) h(t) x( )h(t )
ea u( )u(t )d
t ea d 1 (1 eat )u(t)
若 (n) h(n)，则 (n k) h(n k) 8
因此，只要得到了LTI系统对 (n)的响应 h(n)
单位脉冲响应( impulse response )，
就可以得到LTI系统对任何输入信号 x(n) 的响应：

y(n) x(k)h(n k) x(n) h(n) k
y(n)

4
nk
k 0
n
1 5 1 1
n4 n1 1
④ 6 n 10 时， y(n) 4 nk n4 7
k n6
1
⑤ n 10 时， y(n) 0
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通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对
x(0) x(1) x(2) x(3)
h(n) x(n) 1 0 2 1
h(1) 1 h(0) 2 h(1) 0 h(2) 3 h(3) 1
1021 y(1)
2042 y(0) 0 0 0 0 y(1) 3 0 6 3
y(2) 1 0 2 1 y(3) y(4) y(5) y(6)
优点：计算非常简单。
k

x(n k)h(k) h(n) x(n)
k

y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d

x(t )h( )d h(t) x(t)
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h(n)
x(n)
x(t) x(n)
h(t)
y(t) y(n)
可以由它的线性组合构成 u(n) ，即：
n

u(n) (k) (n k)
k
k 0
对任何离散时间信号 x(n) ,如果每次从其中取出
一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点
都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。
6
7

于是有： x(n) x(k) (n k) k
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三. 卷积积分的计算 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、
解析法和数值解法。 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，
一个不动，另一个反转后随参变量 t 移动。对每一 个 t 的值，将 x( ) 和 h(t ) 对应相乘，再计算相
乘后曲线所包围的面积。
通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很


x(k)h(n k) ku(k)u(n k)
k
k
n k 1 n1 u(n)
k 0
1
11
例2：
x(n)

1 0
0n4 otherwise
n
h(n) 0
1,0 n 6
otherwise
0
a
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例2 :
1 x(t) 0
h( )
2T
0t T otherwise
h(t)

t 0
0 t 2T otherwise
x(t )
1

0
2T
t T 0 t

y(t) x(t) h(t) x( )h(t )d x(t )h( )d
加权的单位冲激信号百度文库线性组合。
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二. 卷积积分（The convolution integral） 与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统
对 (t )的响应为 h (t)，则该系统对 x(t) 的响应可
表示为： y(t)

x( )h (t)d
若系统是时不变的，即：若 (t) h(t)，则有:
表明：任何信号x(n) 都可以被分解成移位加权的
单位脉冲信号的线性组合。
二. 卷积和（Convolution sum）
如果一个线性系统对 (n k) 的响应是 hk (n) ，
由线性特性就有系统对任何输入 x(n) 的响应为： y(n) x(k)hk (n) k
若系统具有时不变性，即：
1
本章主要内容：
• 信号的时域分解——用 (n) 表示离散时间信号； 用 (t) 表示连续时间信号。
• LTI系统的时域分析——卷积积分与卷积和。
• LTI系统的微分方程及差分方程表示。 • LTI系统的框图结构表示。 • 奇异函数。
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2.0 引言 ( Introduction )
由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有 时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的 理论与方法奠定了基础。
将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变 换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析 法、频域分析法和变换域分析法。
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2.1 离散时间LTI系统：卷积和
（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）
一. 用单位脉冲表示离散时间信号
离散时间信号中,最简单的是 (n) ,我们已经看到
x(n) h1(n)
h2 (n) y(n) [x(n) h1(n)] h2(n)
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x(t ) x(n)
h1(t) h2 (t)
y(t) x(t) [h1(t) h2 (t)] y(n) x(n) [h1(n) h2 (n)]
h1(n) h2 (n)
结论：
• 两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲)响 应等于各子系统单位冲激(脉冲)响应的卷积。
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结论：两个LTI系统并联，其总的单位脉冲(冲激)响 应等于各子系统单位脉冲(冲激)响应之和。
3. 结合律:
[x(n) h1(n)] h2 (n) x(n)[h1(n) h2 (n)] [x(t) h1(t)] h2 (t) x(t)[h1(t) h2 (t)]
x(t) h1(t) x(t) h1(t) h2 (t) y(t) [x(t) h1(t)] h2(t)
于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是
很有用的。
例3. 列表法 分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：
① x(n) 与 h(n) 的所有各点都要遍乘一次；

② 在遍乘后，各点相加时，根据 x(k)h(n k) ， k
参与相加的各点都具有 x(k) 与 h(n k) 的宗量之
和为 n 的特点。 14

h(t) h(n)
x(t)
y(t) y(n)
结论：
一个单位冲激响应是 h(t) 的LTI系统对输入 信号 x(t) 所产生的响应，与一个单位冲激响应 是x(t)的LTI系统对输入信号 h(t) 所产生的响应
相同。
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2. 分配律： x(n) [h1(n) h2 (n)] x(n) h1(n) x(n) h2(n) x(t) [h1(t) h2 (t)] x(t) h1(t) x(t) h2(t)
作为基本单元的信号应满足以下要求： 1. 本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示 （构成）尽可能广泛的其它信号； 2. LTI系统对这种信号的响应易于求得。
4
如果解决了信号分解的问题，即：若有
x(t) ai xi (t)
i
则 y(t) ai yi (t)
i
分析方法：
xi (t) yi (t)
这表明：一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲 响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷 积和（The convolution sum）。
9
三. 卷积和的计算
计算方法：
有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。
运算过程： 将一个信号x(k) 不动，另一个信号经反转后成
为h(k) ,再随参变量n 移位。在每个n 值的情况
基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号 的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信 号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统 对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信 号的响应的线性组合。
3
问题的实质：
1. 研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成 任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单 元的线性组合来构成任意信号； 2. 如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。
(t ) h(t ) 于是系统对任意输入 x(t) 的响应
可表示为： y(t)

x( )h(t )d x(t) h(t)

表明:LTI系统可以完全由它的单位冲激响应 h(t)
来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积
分（The convolution integral）。
t T
2
⑤ 当 t 3T 时， y(t) 0
y(t)
3T2 2
1T2
2
t
0
T
2T 3T
23
2.3 线性时不变系统的性质
（ Properties of Linear Time-Invariant Systems） 一. 卷积积分与卷积和的性质
1. 交换律： y(n) x(n) h(n) x(k)h(n k)

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① 当 t 0 时， y(t) 0
② ③ ④
当 0 t T 时，y(t) 当T t 2T 时，y(t) 当 2T t 3T 时，y(t)
t
d

1 t2
0 t
d
2 Tt

1T2
t T 2T
d

2T 2
2
1
(t
T )2