SOR迭代法收敛性判定

迭代法的收敛性与误差估计

迭代法的收敛性与误差估计一…的童滚.11/{安务刊迭代法的收敛性.与误差估计’\虞福星..Z冬}7.在许多工程技术问题中,常常会遇到求解一元非线性方程的问题.例如,代数方程一x—l一0或超越方程x+{x—l看上去形式很简单,但不易求出其准确根,只能求出方程达到一定精度的近似根.求解这类方程的方法很多,迭代法就是其中的一种.迭代法有许多优点:1.其算法的逻辑结构简单f2.收敛速度快I3.中间结果有扰动不会影响计算结论;4.计算误差容易控制.正因为如此,迭代法得到非常广泛的应用.一,迭代法的基本思想设有方程f(11=0首先,我们设法将式(1)代成下列等价形式x—g∽然后按式(2)构造迭代公式(1)(2)+l—g{-,k=o,1,2, (3)从给定的初始近似根x.出发,按迭代公式(3)可以得到一个敦列x.,x1,x2,...,x, (4)如果这个数列{}有极限,则称迭代公式(3)是收敛的,此时数列螅极限x=limx就是原方程(1)的根.二,迭代法的收敛性及误差估计具备怎样的条件,迭代公式(3)是收敛的,这就是我们要讨论的中心问题.对此,我们有定理:设方程x—g在(a,b)内有根x,若gt满足李普希茨条件,即对(a,b)内任意的x】和都有lg(x1)g(x2)l≤qlxl—x2l(5)q为某个正数,当q<1时,则方程在(a’b)内有唯一的根I且迭代公式(3)对任意初始近似值xo均收敛于根x;还有误差估计式一≤lXk--Xkil≤lXI--Xol(6)证明:先证唯一性由已知条件知,x’是方程x—g的根,即x一g66设i也是方程x=g(x)的根,则x=g于是1x一i1=1g)--g1由李普希茨条件,得1x一;1一Ig(-～g’;I≤q1x一il因为0<q<1,故必有x.=;,根的唯一性得证. 再证收敛性由李普希茨条件,得IXk+I--X.l=Ig’--g)l≤qI一x.I同样l一x’l≤qIXk一1一x.1,…,1x1--X.1≤qI～x’1于是有1+I—x’I≤?Ix.一x’1因为0<q<1,当k—o.时,一0,即有Ix…--X’j—O(k—oo)所以,limxx.k一收敛性得证.利用李普希茨条件,得l+1～f=fg’)--g(,一.I≤Ix,一一1I于是对任意正整数P,有l+p一1≤1Xk—p一+rII+1Xk+p一1--Xk+p一±1+…+1一1一I≤(q+qP 一+…+q)?j一l一lxr令P—oo,得一I≤一一l≤IX1--X0I三,选择迭代公式的原则如果方程(2)中的g’满足Ig’I]l≤M<IxE(a,b)则可取这里的M作为李普希茨(5)中的q,由式(6)可知,正数q越小,收敛速度越快.所以,选遗代公式要遵循使IgI在(a山)的最大值M为最小这个原则.由于把方程f㈨一0化成等价形式x;g的方法很多.例如,方程x一x一1—0可以化成以下四种形式(1)x一一167(2)x一+1㈣x=X--每=㈤x一一由此可得四个迭代公式x+?=x:一1(7);(8):(9)’(9)l一—)(,)式(1I)也可用牛顿切线法导出,可见牛顿切线法可视为谴代法的特殊情形.由于=苎【)所以.f(?f().因此,只要ll≤q<l,L”)J公式(II)就收敛68。

计算科学中的迭代和收敛性分析

计算科学中的迭代和收敛性分析在计算科学中，迭代和收敛性分析是两个常见的概念。

迭代是指通过重复执行一定的计算过程来逐步逼近所要求解的问题的方法。

而收敛性则是评估所得解与真实解之间的误差以及迭代过程中的精度变化。

迭代方法在计算科学中的应用非常广泛。

例如，在求解非线性方程和求解常微分方程等问题中，常用的方法都是迭代法。

迭代法的基本思想是从初始条件开始，逐步逼近所要求解的问题。

具体操作时，首先需要选定一个初始值，然后通过一定的迭代公式进行计算，得到一个新的值，并将其作为下一次迭代时的初始值。

如此重复执行，直到所求解的问题达到所期望的精度要求为止。

然而，迭代方法并不总是能够收敛到所要求的真实解。

这就引出了收敛性分析的问题。

收敛性指的是迭代方法是否在无限迭代的情况下，能够收敛到真实解。

如果能够收敛，那么我们还需要考虑的是其收敛速度，即迭代过程中精度变化的规律。

在实际应用中，迭代法的收敛性和收敛速度是非常重要的问题，因为它们直接影响到所得结果的可靠性和计算效率。

因此，在迭代法的设计和评估中，收敛性分析是一个非常重要的环节。

收敛性分析的方法很多。

其中，最常用的方法是通过构造数值序列来评估迭代法的收敛性和收敛速度。

构造数值序列可以通过一系列数学技巧和推导来实现。

对于线性问题，可以通过构造矩阵和向量来实现数值序列的构造。

而对于非线性问题，一般需要考虑一些特定的方法，如牛顿迭代法、欧拉迭代法等。

除了构造数值序列外，在收敛性分析中还有一些其他的方法。

例如，可以考虑迭代法的局部收敛性和全局收敛性。

局部收敛性是指迭代法在某一点附近是否收敛。

这个问题往往可以通过利用泰勒级数来解决。

而全局收敛性则是指迭代法是否对任意的初始值都能收敛。

这个问题的解决通常需要使用一些特定的技巧和算法，例如逐步缩小逼近区间法。

总之，迭代和收敛性分析是计算科学中常见的概念，对于许多实际问题的求解都有重要的应用价值。

通过对迭代法的设计、评估和分析，我们可以帮助提高计算效率和解决实际问题，为科学研究和工程应用做出贡献。

第5节_迭代法的收敛性

x ≠0
Bx x
≥
Bx1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
= 1,与已知矛盾！
线性方程组迭代法收敛性
推论1：对任意初始向量x (0)和右端项g，若 M < 1, 由迭代式 x ( k +1) = Mx ( k ) + g产生的向量序列{ x ( k ) }收敛.
证明：矩阵范数性质3：ρ ( A) ≤ || A ||
迭代法收敛与否只决定于迭代矩阵的谱半径，与初始向量及右端项无关。对同一方程组，由于不同的迭代法迭代矩阵不同，可能出现有的方法收敛，有的方法发散的情形。
且至少有一个i值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱对角占优阵。若对所有i，上式不等号均严格成立，则称A 为严格角占优阵。
定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应的列互换成 A11 为形式 A = 0 A12 ,其中A11，A22为方阵，则称A为不可约。 A22
1 1 0 2 1 0 P = I13 例： A = 1 1 0 PT AP = 0 1 1 → 0 1 2 0 1 1
k →∞
证：设u为A特征值λ对应的特征向量，则：Ak u = λ Ak -1u =...=λ k u 即：λ k为矩阵Ak的特征值。
ρ 所以：（Ak） [ ρ ( A)]k =
线性方程组迭代法收敛性
1- ρ ( A) > 0， 2 定理：设A为任意n阶方阵，存在矩阵范数，使得则对任意正数ε , 存在矩阵 1 + ρ ( A) A ≤ ρ ( A) + ε = <1 范数，使得： 2 证：充分性：若ρ ( A) < 1 ，取ε = 则有： A = 0 lim
Gauss-Seidel迭代收敛性：

数值分析期末复习资料

数值分析期末复习资料数值分析期末复习题型：一、填空二、判断三、解答（计算）四、证明第一章误差与有效数字一、有效数字1、定义：若近似值X*的误差限是某一位的半个单位，该位到x*的第一位非零数字共有n 位，就说x*有n 位有效数字。

2、两点理解：（1）四舍五入的一定是有效数字（2）绝对误差不会超过末位数字的半个单位eg. ・§丄％ 3、定理1 （P6）：若x*具有n 位有效数字，则其相对误差虧疗茲T 4、考点：（1）计算有效数字位数：一个根据定义理解，一个根据定理1 （P7例题3）二、避免误差危害原则 1、原则:（1）避免大数吃小数（方法：从小到大相加；利用韦达定理：xl*x2= c / a ）避免相近数相减（方法：有理化）eg. V777-77 =c ・2 X2sin7 或减少运算次数（方法：秦九韶算法）eg.P20习题14 三. 数值运算的误差估计 1、公式：（1）一元函数：I £*（ f 3））1 Q |「（於）1・| £*（力|或其变形公式求相对误差（两边同时除以f （卅））eg. P19习题1、2、5(2) (3) ln(x + £)- In x = In 1；1 — cos X =（2）多元函数（P8） eg. P8例4, P19习题4第二章插值法一、插值条件1、定义：在区间［a, b］上，给定n+1个点，aWxoVx［V・・・VxWb的函数值yi=f(xi),求次数不超过n的多项式P(x),饋兀)=儿 i =0,1,2,…，力2、定理：满足插值条件、n+1个点、点互异、多项式次数Wn的P(x)存在且唯一二、拉格朗日插值及其余项1、n次插值基函数表达式(P26 (2.8))2、插值多项式表达式(P26 (2.9))3、插值余项(P26 (2.12))：用于误差估计4、插值基函数性质(P27 (2. 17及2. 18)) eg. P28例1三、差商(均差)及牛顿插值多项式1、差商性质(P30)：(1)可表示为函数值的线性组合(2)差商的对称性：差商与节点的排列次序无关(3)均差与导数的关系(P31 (3.5))2、均差表计算及牛顿插值多项式例：已知X=1,4,9的平方根为1,2,3,利用牛顿基本差商公式求"的近似值。

迭代法的收敛性

k
x* Mx* g 由迭代公式有 M (x
k k
x ( k ) x* Mx ( k 1) g Mx* g
( k 1)
x ) M (x
* 2 * k
( k 2) (k )
x ) M (x
* k
(0)
x )
*
于是有 lim M ( x
1 1 例：Ax b, A 2 1 2
1 2 1 1 讨论用三种迭代法求解的收敛性。 2 1 1 2 解：因A为对称且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩 1 2 阵。由判别条件3，Gauss-Seidel迭代法与松弛法(0 2) 均收敛。A不是弱对角占优阵，故不能用条件1判断。 0 1 -1 Jacobi迭代法的迭代矩阵为B I - D A 2 1 2 1 2 0 1 2 1 2 1 2 0

1,
1,由推论1无法判别收敛性。
对一些特殊的系数矩阵可给出几个常用的判别收敛条件
设有线性方程组Ax b, 下列结论成立（收敛充分条件） 1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。 2.若A为严格对角占优阵， 0 1, 则松弛法收敛。 3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为 0 2。 10 1 2 2 1 0 B 1 2 1 上两例中： A 1 10 2 1 1 5 0 1 2 A为严格对角占优阵，故Jacobi与Gauss-Seidel迭代均收敛。B为非严格对角占优阵，但为对称正定阵， =1.4故松弛法收敛。
推论1 对任意初始向量x 和右端项g，若 M 1,由迭代

预处理P=(I+C)后双分裂下的SOR迭代法收敛性

ＮＯＶ．２０１３
预处理Ｐ＝（Ｉ＋Ｃ）后双分裂下的ＳＯＲ迭代法收敛性
王慧勤，雷刚
（宝鸡文理学院数学系，陕西宝鸡７２１０１３）
摘要：针对预处理方法求解大型稀疏线性方程组Ａｘ＝ｂ，在以往选择预处理因子的基础上，结合矩阵分析、
ＰＡｘ＝Ｐｂ（１）
其中，为阶单位矩阵，Ｃ为方阵，满足
８０％以上的计算量，是整个问题计算的瓶颈。大量的数据和资料显示，线性方程组的求解时间在整个问题的总计算时间中占有非常大的比重，近年来许
Ａｂｓｔｒａｃｔ：ＦｏｒｉｔｅｒａｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｔｏｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｌｉｎｅａｒｓｙｓｔｅｍＡｘ＝ｂｉｎｔｈｅｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄ，ｏｎｔｈｅｂａｓｉｓｏｆｓｅｌｅｃｔｉｎｇｔｈｅｐｒｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｅｄｆａｃｔｏｒｓｉｎｔｈｅｐａｓｔｂｙｕｓｉｎｇｍａｔｉｘｒｉｔｅｒａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｔｈｅｏ — ｒｅｍｓ，ｔｗｏｔｙｐｅｓｏｆｔｈｅｓｐｌｉｔｆｏｒｍｗｉｔｈｐａｒａｍｅｔｅｒｓａｒｅｇｉｖｅｎ．Ｔｈｅｎｅｗｓｐｌｉｔｔｉｎｇｍｅｔｈｏｄｓｎｏｔｏｎｌｙｃａｎｍａｋｅ

数值分析PPT55迭代法收敛与SOR法

|| A || || D 1 P 1 APD ||1 max ( | i | ) ( A) 易证：
1 i r
是由 || x ||v || ( PD) 1 x ||1 导出的算子范数。 Bk 0 迭代从任意向量出发收敛
所以只要取 < ，就有|| A || < (A) 。
( k 1 ) (k ) ( k 1 ) (k ) 1 x (1 ) x D [ Lx Ux b ] ( k 1 ) (k ) 1 1 x ( D L) [(1 ) D U ] x ( D L) b H f 松弛迭代阵定理设 A 可逆，且 aii 0，松弛法从任意 x ( 0) 出发对某个收敛 ( H ) < 1。
(k ) (1) ( 0 ) qk ② || x * x || || x x || 1 q
证明： ① x * x ( k ) B( x * x ( k 1) ) B ( x * x ( k ) x ( k ) x ( k 1 ) ) (k ) (k ) ( k ) ( k 1) || x * x || q(|| x * x || || x x ||)
充分条件: ||B|| < 1
e (k ) 必要条件:
|| B ||k 0 as k ( k )等价于对 ||任何算子范数有 e || 0 || 0 as k Ak || 0 as kk A B ？
( Ak (aijk ) ) nn R nn .
ri( k 1) (1 ) xi( k ) [ aij x (jk 1) aij x (jk ) bi ] xi( k ) aii a ii j<i j i

不同分裂形式的SOR与AOR迭代法收敛性比较

不同分裂形式的SOR与AOR迭代法收敛性比较雷刚【摘要】讨论预条件后用迭代法求解的线性方程组Ax=b.在预条件的基础上引入参数,给出一种含参数形式的非负分裂.证明这种分裂形式可以加速SOR迭代法的收敛性,而且收敛效果超过AOR迭代法的收敛性,说明这种分裂形式更好.%The iterative method to solve the linear system Ax=b in preconditioned is discussed. A kind of nonnegative split with parameter is given on the base of the preconditioned. This new splitting form is proved to accelerate SOR iterative method convergence not only better than the general iterative method, but also convergence rate surpass the AOR iterative method.【期刊名称】《西安工程大学学报》【年(卷),期】2012(026)003【总页数】4页(P384-386,396)【关键词】收敛性;SOR迭代法;AOR迭代法;M-矩阵【作者】雷刚【作者单位】宝鸡文理学院数学系,陕西宝鸡721013【正文语种】中文【中图分类】O241.6在求解大型线性方程组Ax＝b时（其中A＝（aij）n×n∈Rn×n，x，b∈Rn），通常有直接法求解和迭代法求解两种方法，随着并行计算机的快速发展，特别是当系数矩阵具有某种特点时，迭代法的优势不断的体现出来，而数学、物理中的许多问题求解归结为线性方程组时系数矩阵大多为M-矩阵.为加速和改善收敛性，许多学者采用预条件方法来处理［1－4］，也就是对方程两边左乘以非奇异矩阵P，转化为PAx＝Pb.通常设矩阵A＝I－L－U，I单位矩阵，L和U分别是严格下三角矩阵和严格上三角矩阵.那么求解方程组Ax＝b的SOR迭代法时将系数矩阵分解为相应的SOR迭代矩阵为如果将系数矩阵A分解为A＝（1／ω）｛（I－γL）－［（1－ω）I＋（ω－γ）L ＋ωU］｝，相应的AOR迭代矩阵为现考虑常用的预条件矩阵P＝（I＋S），其中a12，a23，…，an－1，n是系数矩阵A＝（aij）n×n对应位置上的元素.那么DP，－LP和－UP分别是系数矩阵PA的对角线部分、严格下三角部分和严格上三角部分组成的矩阵.为使得预条件后的矩阵分裂更具有一般性，引入参数α，将系数矩阵PA分解为可知当α＝1时，式（4）即为一般预条件后的矩阵分裂形式.相应的SOR迭代法的迭代矩阵为一般的预条件后SOR迭代法的迭代矩阵为定义1［5－6］设n×n实矩阵A＝（aij），如果对任意i＝j，有aij≥0，且任意i≠j，有aij≤0，那么称矩阵A为L-矩阵，如果矩阵A能表示为A＝sI－B，B≥0，当s≥ρ（B）时，称A为M-矩阵，特别当s＞ρ（B）时，称A为非奇异的M-矩阵；当s＝ρ（B）时，称A为奇异M-矩阵.其中ρ（B）为B的谱半径.定义2［7］设A为实矩阵，那么对A＝M－N，（1）如果M－1≥0且N≥0，称A＝M－N为正规分裂；（2）如果M－1≥0且M－1 N≥0，称A＝M－N为弱正规分裂；引理1［7］设A－1≥0，并且A＝M－N＝M′－N′是弱正规分裂.如果M－1≤M′－1，且N≥0，则ρ（M′－1 N′）≤ρ（M－1 N）.引理2［7］设A是H-矩阵，当0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）时，ρ（TSOR）＜1，ρ（TAOR）＜1，其中TSOR，TAOR分别是SOR迭代矩阵和AOR迭代矩阵.引理3［7］设A为非负矩阵，则（1）若αx≤Ax对某一个非负向量x且x≠0成立，那么就有α≤ρ（A）；（2）若Ax≤βx对某一个正向量x成立，那么就有ρ（A）≤β，进一步，如果A不可约且有0≠αx≤Ax≤βx，αx≠Ax，Ax≠βx对某一个非负向量x成立，则α＜ρ（A）＜β.定理1 设线性方程组Ax＝b的系数矩阵A是不可约非奇异M-矩阵，且0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，i＝1，2，…，n－1，ω∈（0，1）时，TP和TPA分别由式（6）和（5）给出的一般预条件SOR迭代法和含参数形式的SOR迭代法的迭代矩阵，则∀ω≤α≤1，有ρ（TPA）≤ρ（TP）≤ρ（TSOR）＜1.证明预条件后的系数矩阵的分解可知由于ω≤α≤1，［DP－ωLP］和［αDP－ωLP］都是非负三角矩阵，且0≤［αDP －ωLP］≤［DP－ωLP］，所以［αDP－ωLP］－1≥［DP－ωLP］－1≥0.结合文献［1］的结论3，TP非负矩阵，从而迭代矩阵的谱半径是它特征值，且有与之相对应的非负特征向量x＝（x1，x2，…，xn）T，使得TPx＝ρ（TP）x.λ是通常形式的SOR迭代矩阵的谱半径，那么由引理2及其M-矩阵必是H-矩阵可知λ＜1，所以TPAx－ρ（TP）x≤0，利用引理3以及文献［8-9］得ρ（TPA）≤ρ（TP）≤ρ（TSOR）＜1.注1 从定理1可以看出，随着α的不断减小，迭代法的谱半径也在不断的减小，从而可以得到当α＝ω时，新分裂下的迭代法的谱半径达到最小.定理2 设线性方程组Ax＝b的系数矩阵A是不可约非奇异M-矩阵，且0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，i＝1，2，…，n－1，0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）时，TPA是由式（5）给出的含参数形式的SOR迭代法的迭代矩阵，TAOR是由式（2）给出的AOR迭代法的迭代矩阵，那么∀ω≤α≤1，有ρ（TPA）≤ρ（TAOR）＜1.证明令预条件后PA＝（1／ω）｛（αDP－ωLP）－［（α－ω）DP＋ωUP］｝＝EP－FP.其中（1）证明E－1P≥0，FP≥0.假设SL＋SU＝D1＋L1＋U1；D1，L1，U1分别是矩阵SL＋SU的对角线部分、严格下三角部分和严格上三角部分.那么DP＝（I－D1），LP＝（L＋L1），UP＝（U－S＋U1），由于0＜ai，i＋1ai＋1，i＜1，所以DP≥0，LP≥0，UP≥0，结合0＜ω≤α≤1，可知EP－1≥0，FP≥0.又由于P＝（I＋S）是非奇异的非负矩阵，且对角线元素都为1，那么令MP＝（I ＋S）－1 EP，NP＝（I＋S）－1 FP可知，MP－1＝EP－1（I＋S）≥0，M1PNP ＝EP－1（I＋S）（I＋S）－1 FP＝EP－1FP≥0，从而A＝P－1 PA＝（I＋S）－1（EP－FP）＝MP－NP是矩阵A的一个弱正规分裂.另一方面，对于AOR迭代法，令A＝（1／ω）｛（I－γL）－［（1－ω）I＋（ω－γ）L＋ωU］｝＝M－N，那么M＝（1／ω）（I－γL），N＝（1／ω）［（1－ω）I＋（ω－γ）L＋ωU］.结合0≤γ≤ω≤1 （ω≠0）可知M－1≥0，N≥0，所以A＝M－N是一个正规分裂.（2）证明MP－1≥M－1.首先说明MP不可能等于M，如果MP＝（I＋S）－1 EP＝M，那么也就是（I＋S）MP＝（1／ω）（αDP－ωLP）＝（I＋S）（1／ω）（I－γL）＝（I＋S）M，那么可得这样，左边是下三角矩阵，右边是上三角含有非零元的矩阵，所以MP≠M.结合0＜ω≤α≤1，0≤γ≤ω≤1 （ω≠0），还可得到α（I－D1）－ω（L＋L1）≤I＋S－γL－γSL.也就是MP≤M，且它们都是非负的，所以MP－1≥M－1.综上，利用引理1及文献［10］有ρ（TPA）≤ρ（TAOR）＜1.例1 如果矩阵当ω＝0.6时，可以得到SOR迭代法的谱半径为ρ（TSOR）＝0.926 5，在预条件P＝（I＋S）后，SOR迭代法的谱半径ρ（TP）＝0.902 1，引入参数α＝1，0.8，0.6以后，可以得到新分裂下的SOR迭代法的谱半径为ρ（TPA）＝0.902 1，0.890 3，0.884 2，取γ＝0.5时，可以得到相应的AOR迭代法的谱半径为ρ（TAOR）＝0.912 8，符合定理2的结论.从理论上的分析和证明可以看出，预条件后含参数的分裂形式更一般，而且加速SOR迭代法的收敛效果要优于一般的SOR迭代法和一般的预条件SOR迭代法，并找到新分裂形式下参数的最优选择，然后将所得的结论与近年来常用的AOR迭代法的收敛性进行比较，证明这种新分裂的形式的收敛性更好，为运用计算机处理数值计算中的大型稀疏线性方程组的求解提供理论分析和算法设计.【相关文献】［1］ WAMG Xuezhong，HUANG Tingzhu，FU parison results on preconditioned SOR-type iterative method for Z-matrices linear systems［J］.Journal of Computational and Applied Mathematics，2007，206：726-732.［2］张拴红，畅大为.矩阵双分裂下的收敛定理与比较定理［J］.纺织高校基础科学学报，2011，24（3）：322-325.［3］刘娟宁，畅大为.预条件I＋S＋R下的AOR迭代方法［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：396-400；438.［4］ HUNAG Tingzhu，CHENG Guanghui，CHENG Xiaoyu.Modified SOR-type iterative method for Z-matrices［J］.Applied Mathematics and Computation，2006，175：258-268.［5］ YUN Jaeheon.A note on the modified SOR method for Z-matrices［J］.Applied Mathematics and Computation，2007，194：572-576.［6］高树玲，畅大为.相容次序矩阵AOR迭代收敛的充要条件［J］.纺织高校基础科学学报，2009，22（2）：229-231.［7］张谋成，黎稳.非负矩阵论［M］.广州：广东高等教育出版社，1995.［8］康锋艳，畅大为.奇异p－循环阵块AOR迭代的半收敛性［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（4）：389-392.［9］雷刚.预条件（I＋S）后改进矩阵分裂的SOR迭代法收敛性分析［J］.宝鸡文理学院学报，2010，31（3）：13-17.［10］刘晓光，畅大为.（1，2）相容次序矩阵SOR迭代法的敛散性［J］.纺织高校基础科学学报，2010，23（3）：303-308.。

《迭代法及其收敛性》课件

猜测一个初始解，作为迭代的起点。
2 建立迭代公式
根据问题的特性和已知条件，建立迭代公式。
3 判断迭代是否收敛
判断迭代得到的解是否足够接近真实解，停止迭代。
迭代法的例子
牛顿迭代法
用于求解方程的数值方法，通过不断迭代逼近方程的根。
埃特金迭代法
用于求解线性方程组的数值方法迭代法
用于求解线性方程组的数值方法，通过不断迭代逼近方程组的解。
迭代法的收敛性
收敛性是指迭代得到的解越来越接近真实解，而收敛速度是指迭代得到的解的收敛速度有快有慢。
收敛速度的度量方法
1 零点误差
迭代得到的解与真实解之间的差距。
2 牛顿数列
迭代得到的解之间的差值的变化规律。
3 收敛阶
《迭代法及其收敛性》 PPT课件
迭代法及其收敛性
迭代法是一种求解数值问题的方法，通过反复迭代得到更精确的解。这个PPT 课件将讲解迭代法的定义、步骤、例子以及收敛性的度量方法。
什么是迭代法？
迭代法是一种求解某些数值问题的方法，从一个猜测的解开始，通过反复迭代得到更精确的解。
迭代法的步骤
1 猜测初始解
迭代得到的解的收敛速度的量化指标。
如何判断迭代是否收敛？
1 绝对误差减小
迭代得到的解的绝对误差逐渐减小。
2 相对误差减小
迭代得到的解的相对误差逐渐减小。
3 后验估计准则
通过计算后验估计准则判断迭代的结果是否满足要求。
总结
1 迭代法是一种常用的数值求解方法 2 收敛性和收敛速度是迭代法的重要评价指标 3 判断迭代收敛的方法有多种，需要根据问题具体情况选择

《迭代法的收敛定理》课件

《迭代法的收敛定理》 PPT课件
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迭代法的基本概念
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迭代法的原理和应用
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收敛定理的证明方法
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例题分析和实践应用
通过实际例题的分析和解决，加深对迭代法和收敛定理的理解。展示迭代法在实践中的应用和效果。
迭代法的收敛性质
研究迭代法的收敛性质，包括局部收敛、全局收敛和收敛速度。掌握如何评估和优化迭代算法的收敛性。
收敛定理的定义
介绍收敛定理的概念和定义。了解不同类型的收敛定理，如不动点定理、收敛性判别定理等。
常见的收敛定理
详细说明常见的收敛定理，如Banach不动点定理、Newton-Raphson法的收敛性等。展示定理的应用和实例。

多分裂形式下的SOR迭代法收敛性分析

Ａ＝ｓ — 日．ｌ
Ｊ为单位矩阵，和分别是严格下三角矩阵和严格上三角矩阵。那么求解方程组Ａ＝ｂ的ＳＲ迭代ｘＯ
法的迭代矩阵为
，ｎ阶的单位矩阵， ≥ ０当ｓ（时，Ａ为为， ≥ＰＢ）称Ｍ一阵，别当ｓ＞ＰＢ），Ａ为非奇异的Ｍ一矩特（时称矩阵；ｓ＝ＰＢ），Ａ为奇异Ｍ－阵。中ＰＢ）当（时称矩其（为的谱半径。
近年来，分方程、分方程等数学和物理学微差
科的许多实际问题都归结为求解大型稀疏线性方程组Ａ＝ｂ，ｘ一般的求解方法有直接法求解和迭代
ｂ时，线性方程组两边分别乘非奇异矩阵Ｐ，对转
式加速效果更好。最后用数值例子加以验证。
关键词：预处理；收敛性；ＯＳＲ迭代法
中图分类号：４．文献标识码：文章编号：６１—７４（０２００２１６Ａ１７１７２１）１—０９０１—０４
ＣｏｎｖｒｅｅＡｎａｙｓｓｏｈｅｇｎｃｌｉｆｔｅＳＯＲｔｒｔｖｅｈｏＩｅａｉｅＭｔｄ
ｙ１Ｌ］
Ａ＝［卜Ｄ） — ＋］ｓ ÷｛（－一（ＳＬ）．卢
［卢一（Ｄ）＋ｙ］（）Ｉ— Ｕ｝则改进的ＳＯＲ迭代法的迭代矩阵为（）６
２（ — 』）＝（）ＮＡｌＡ一１［Ｄｌ（）＋）ａ＋Ｓ１一ｙ１ＸＬ］

SOR迭代法

aij x(jk )
3.1
若记
i1
n
r(k)
i
(bi
a x(k 1) ij j
aij
x
(k j
)
),
j 1
j i
i 1,2,L ,n
则 3.1 式可写为
x( k 1) i
x(k) i
1 aii
r(k)
i
3.2
由此可以看出， Gauss Seidel 迭代法的第 k 1
步，相当于在第 k 步的基础上每一个分量增加
SOR迭代法常以这种形式进行计算。
格式（3.4）的矩阵形式为
X (k1) (1 ) X k D1 b LX k UX (k) ,
3.5
其中
a11
D
a22
O
0
0
,
ann
0 a12 L
U
0O
O
0
a1n
an1,n
0
显然，A D L U.
0
0
L
a21
O
OO
上述定理说明，对于任何系数矩阵 A，若要 SOR
法收敛，必须选取松弛因子 0,2 ，然而，当松
弛因子满足条件 0 2 时，并不是对所有系数矩阵 A 来说，SOR 法都是收敛的。但是，对一些特殊矩阵来说，这一条件是充分的。
定理7 如果矩阵 A 是对称正定的，则 SOR 法对于0 2 是收敛的。
其 Gauss Seidel 迭代格式可写为 (aii 0) ：
x(k1) i
x(k) i
1 aii
bi
a x(k1) i1 1
L
a x(k1) i,i1, i1

用sor法解方程组

用sor法解方程组
SOR法是一种迭代算法，可以用来解线性方程组。

它的方法是在Jacobi迭代的基础上加入松弛因子，以加快收敛速度。

对于一个n阶线性方程组Ax=b，SOR法的迭代公式为：
x_i^{(k+1)}=(1-omega)x_i^{(k)}+frac{omega}{a_{ii}}left(b_i-sum_{j=1}^{i-1}a_{ij}x_j^{(k+1)}-sum_{j=i+1}^{n}a_{ij}x_j^{ (k)}right)
其中，x_i^{(k)}表示第k次迭代中第i个未知数的值，a_{ij}表示方程组中系数矩阵的第i行第j列的元素，b_i表示方程组的右侧常数，omega为松弛因子，一般取值为0<omega<2。

SOR法的收敛性与松弛因子有关，如果选择合适的松弛因子，则可以保证收敛。

此外，SOR法也可以用于解非对称矩阵的线性方程组。

- 1 -。

数值分析中的迭代方法与收敛性分析

数值分析中的迭代方法与收敛性分析迭代方法是数值分析中一种重要的算法，用于求解数值问题。

迭代方法基于一个初始猜测解，并通过不断迭代逼近真实解。

本文将介绍迭代方法的基本原理以及如何进行收敛性分析。

一、迭代方法的原理迭代方法的基本原理是通过不断更新猜测解来逼近真实解。

假设我们要求解一个方程f(x)=0，其中f(x)表示一个函数。

我们可以通过选择一个初始猜测解x0，然后使用迭代公式x_{k+1}=g(x_k)来生成下一个近似解x_{k+1}，其中g(x_k)是一个迭代函数。

通过不断迭代，我们希望逐渐接近真实解。

二、常见的迭代方法在数值分析中，有许多常见的迭代方法被广泛应用于求解不同类型的数值问题。

以下是几种常见的迭代方法：1. 不动点迭代法不动点迭代法通过将方程f(x)=0转化为等价的x=g(x)的形式来求解。

其中g(x)是一个迭代函数，可以通过不断迭代x_{k+1}=g(x_k)逼近真实解。

不动点迭代法的收敛性通常需要满足收敛性条件，如Lipschitz条件或收缩映射条件。

2. 牛顿迭代法牛顿迭代法通过利用函数的导数信息来加速收敛速度。

迭代公式为x_{k+1}=x_k-\frac{f(x_k)}{f'(x_k)}，其中f'(x_k)表示函数f(x_k)的导数。

牛顿迭代法的收敛性通常需要满足局部收敛性条件，如满足Lipschitz条件和拟凸性条件。

3. 雅可比迭代法雅可比迭代法用于求解线性方程组Ax=b，其中A是系数矩阵，b是常数向量。

迭代公式为x_{k+1}=D^{-1}(b-(L+U)x_k)，其中D、L和U分别是矩阵A的对角线、下三角和上三角部分。

雅可比迭代法的收敛性要求系数矩阵A满足严格对角占优条件。

三、迭代方法的收敛性分析在使用迭代方法求解数值问题时，我们需要进行收敛性分析，以确定迭代方法是否能够逼近真实解。

常用的迭代收敛性分析方法包括：1. 收敛域分析收敛域分析用于确定迭代方法的收敛域，即迭代过程中能够保证收敛的初始猜测解的范围。

复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析

复变函数迭代法的收敛性和稳定性分析复变函数迭代法是数值计算中常用的求解复变函数的数值方法。

在使用复变函数迭代法求解问题时，我们首先将复平面划分为若干个矩形或圆形区域，然后使用迭代公式进行迭代计算，直到达到预定的精度要求或满足一些停止准则为止。

本文将对复变函数迭代法的收敛性和稳定性进行详细的分析。

一、收敛性的分析在复平面上，定义一个函数f(z)，其输入是复数z，输出也是复数。

对于给定的初始值z0，我们通过迭代公式z(n+1)=f(z(n))来进行迭代计算，直到满足一些停止准则为止。

那么我们需要分析迭代过程是否能收敛到问题的解。

下面是收敛性的分析过程。

1.收敛性定理在复平面上，如果函数f(z)是全局收敛的，即对于任意的初始值z0，迭代过程都会收敛到问题的解，那么我们称函数f(z)是全局收敛的。

收敛性定理指出，如果函数f(z)在一些区域R上解析，并且在该区域上的导数，f'(z)，的模不大于1，即，f'(z)，<=1，那么函数f(z)是局部收敛的。

2.收敛半径在复平面上，我们可以通过计算函数f(z)在一些点的导数值，f'(z)，的模来判断收敛性。

当，f'(z)，<1时，该点是函数f(z)的收敛点；当，f'(z)，>1时，该点是函数f(z)的发散点。

收敛半径可以定义为函数f(z)收敛的最大半径，即，z，<R时，函数f(z)是收敛的。

3.收敛域和发散域根据函数f(z)在复平面上的性质，我们可以将复平面分为收敛域和发散域两部分。

收敛域是指函数f(z)在该区域内收敛的点的集合，发散域是指函数f(z)在该区域内发散的点的集合。

二、稳定性的分析稳定性是指在计算过程中的误差是否会扩散和放大。

在复变函数迭代法中，稳定性是一个重要的性质，对于保证计算结果的准确性和可靠性起到关键作用。

下面是稳定性的分析过程。

1.条件数和误差扩散在复变函数迭代法中，函数f(z)的条件数用来衡量函数的敏感性。

严格对角占优矩阵与SOR迭代法的收敛性定理

解时常用的ＳＲ迭代方法的收敛性，给出了迭代法收敛性定理，解决了以往估计迭代矩阵谱半径的问题。结果不Ｏ仅适用于这两类矩阵．还适用于广义严格对角占优矩阵类，最后举例说明了所给结果的优越性。
关键词：ａ链严格对角占优矩阵；双严格对角占优矩阵；迭代法；收敛性．中图分类号：Ｏ２１；Ｏ１１４．６５．２文献标识码：Ａ文章编号：１７ — ８０（０１）１１００６２９７２１０－０７－３
一１０＞，又因为１，所以有
从而得到，对任意的ｉＮ， ∈［，１，皆有Ｅ０］
Ｉ４尺）ａ＞。
成立。
ห้องสมุดไป่ตู้
）［旺）（］・＝尺＋ ∽
）Ｓｔ］＋（ｏ
由引理３知，此时一１０１１．９＋＞２０，上式左边９－Ｉ
乘以１１ｏ，右边乘以ｌ４＋９－Ｉ ∞，得１０Ｉ．ａｌＡ１肛）ｌ・ ∞ Ｉ）＋９１，ｌ，０＞９般（ ∽］Ｓ＋，（［０）Ｒ］・砒 ∞ ］ ∽］９＋ ∞ 。Ｌｏｔ由于１＞１４，由上式得，１
第１期
宋岱才，：严格对角占优矩阵与ＳＲ迭代法的收敛性定理等Ｏ
ｌｌ７
Ⅳ，存在瑾０］ ∈［，１，皆有ｌｌａ＞）
），则称为
特征值１＞。由于Ａ∈ ４１１－Ｄ，所以有
Ｉ＞Ｉ）＋ ∽ ＋ ∽ （３）
６链严格对角占优矩阵，记为Ａ∈ 。若存在正对ｃ．Ｄ

迭代法的收敛条件

例３也说明了0 2 确实只是松弛法
的情形.
收敛的必要条件，而非充要条件，因为Gauss-Seidel 迭代即为
1
定理3.6虽然给出了判别迭代法收敛的充要条件，但实际使用是很不方便。因为求逆矩阵和特征值的难度并不亚于用直接方法求解线性方程组。推论１与推论２使用起来方便得多，但它们分别给出收敛的充分条件与必要条件，许多情形下，不能起作用.
( A) A
3
解线性方程组的迭代法
定理3.4 设A为n阶方阵，则对任意正数种矩阵范数
使得
,
存在一
A ( A)
证明参看［１］ . 对任意n 阶方阵 A, 一般不存在矩阵范数使得
,
( A) A . 但若
A为对称矩阵，则
2
( A) A
下面的结论对建立迭代法的收敛性条件非常重要。
k
A lim k
0
所以
k
lim Ak 0
6
解线性方程组的迭代法
3.5.2
迭代法的收敛条件
(0) 定理３.６对任意初始向量 x 和右端项 g ,
由迭代格式
x( k 1) Mx( k ) g
产生的向量序列 x ( k ) 收敛的充要条件是

(k 0,1,2,)
19
解线性方程组的迭代法
(2) 若
n阶方阵 A (aij ) 满足
n
aii aij
j 1 j i
(i 1,2,, n)
(3 25)
且至少有一个i 值，使上式中不等号严格成立，则称为A弱对角占优阵。定义3.5 如果矩阵Ａ不能通过行的互换和相应列的互换成为形式

迭代法收敛理论

第三章线性代数方程组数值解法（迭代法）3．3 迭代法收敛性理论 1．收敛性问题现在来研究与方程组fBx x +=对应的基本型迭代公式),2,1,0()()1( =+=+k f Bx x k k设*x 是方程组f Bx x +=（也即b Ax =）的就解，即有fBx x +=**要研究由迭代公式f Bx x k k +=+)()1(产生的序列)(k x 当 ∞→k 时是否收敛于*x ,4)()(*)1((*)k k x x B x x -=-+=)()1(*2--k x x B=)()0(*1x x B k -+可见当∞→k 时，是否有*)(x x k →，等价于是否有0→k B （零矩阵，即k B 的每一个元素趋于零）略证根据线性代数，任何n 阶矩阵B 都存在非奇异矩阵P ，使得 JP P B 1-= P J P B k k 1-= 其中J 为B 的Jordan标准形⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1J J 2Jnn r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k k J J 1kJ 2nn k r J ⨯⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i J λ 1 i λ ii n n i ⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1n n ri i =∑=1于是，可得),,2,1;(0)(0)(0r i k J k J k B ki k k =∞→→⇔∞→→⇔∞→→这时，若设⎢⎣⎡=λ2J ⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎣⎡=λ3J λ1 ⎥⎥⎥⎦⎤λ1 ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λm J λ1 1 λ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤λ1⎢⎣⎡=kkJ λ2⎥⎥⎦⎤-kk k λλ1=⎢⎣⎡kλ⎥⎥⎦⎤-kk kc λλ11⎢⎢⎢⎣⎡=kkJ λ3k k k λλ1-⎥⎥⎥⎦⎤---kk k k k k λλλ122/)1(⎢⎢⎢⎣⎡=kλ k k k c λλ11-⎥⎥⎥⎦⎤--kk k k k c c λλλ1122⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=k kmJ λkk k c λλ11-1122--k k k k c c λλ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤+--+--km k k m m k k m c c λλλ2211其中)!(!!m k m k c k m -=于是又可得到),,2,1(1)(0r i k J i k i =<⇔∞→→λ 注意到),,2,1(1r i =<λ，即 1)(<B ρ，于是最后可得 1)()(0<⇔∞→→B k B k ρ由上面就得到下面迭代法的收敛定理。