勾股定理第一节

勾股定理的证明
【证法1】
c a
b
∵
1 2
ab×4+(b-a)² =c²
2ab+（b² -2ab+a² ）=c²
∴a² +b² =c²
【证法2】已知：在△ABC中，∠C=90°，∠A、
∠B、∠C的对边为a、b、c。 求证：a2＋b2=c2
b a
a
a
b
c
c a
c
b a
a b c
在直角三角形ABC中，∠C=900，∠A、∠B、 ∠C所对的边分别为a、b、c （1） 已知a=1，b=2，求c （2） 已知a=10，c=15，求b
A
b
C
c a
B
例2：将长为5米的梯子AC斜靠在墙上， BC长为2米，求梯子上端A到墙的底端 B的距离.
解：在Rt△ABC中，∠ABC=90° ∵BC=2 ，AC=5 ∴AB2= AC² - BC² = 5² -2² C =21 ∴ AB= 21（米） (舍去负值）
D
C
B
1）两锐角之间的关系： 2）若∠B=30°，则∠B的对边和斜边：
；
看 一 看
一种 铺 拉 下数 成 斯 图量 的 去 相 案关 地 朋 传 ，系 面 友 两 看， 反 家 千 看同 映 作 五 你学 直 客 百 能们 角 ， 年 发， 三 发 前 现我 角 现 ， 什们 形 朋 一 么也 三 友 次 ？来 边 家 毕 观的用达 察某砖哥
c
股
b
读一读
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾， 较长的直角边称为股，斜边称为弦 . 图 1-1 称为“弦图 ”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经 》作法时给出的 . 图 1-2 是在北京召开的 2002 年国际数 学家大会（TCM－2002）的会标，其图案正是“弦图 ”，它标志着中国古代的数学成就.
• 3、直角三角形两直角边长分别为5和12，则它 斜边上的高为__________。 • 4、.已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第 三边长的平方是（ ） • A、25 B、14 C、7 D、7或25 • 5、等腰三角形底边上的高为8，周长为32，则 三角形的面积为（ ） • A、56 B、48 C、40 D、32
2、下列说法正确的是（ D ） A.若a、b、c是△ABC的三边，则: a 2 b2 c 2 2 2 2 B.若a、b、c是Rt△ABC的三边，则 a b c A 90 ， C.若a、b、c是Rt△ABC的三边， 则 a 2 b2 c 2 D.若a、b、c是Rt△ABC的三边，C 90 ， 则 a 2 b2 c 2
• • • • • 1、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则SRt△ABC =________。
• 2、已知在Rt△ABC中，∠B=90°，a、b 、c是△ABC的三边，则 • ⑴c= 。（已知a、b，求c） • ⑵a= 。（已知b、c，求a）
勾股定理
历史因你而改变
学习因你而精彩
问题情境
星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风 景区游玩,同学们看到山势险峻,查看景区示意 图得知:凌峰山主峰高约为900米,如图:为了方 便游人,此景区从主峰A处向地面B处架了一条 缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距1200 米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少？
c
a b
b
c
b
a
b
S=1/2ab×4+ c² =1/2ab ×4+ a² +b² a² +b² =c²
【 证法3】（1876年美国总统Garfield证 D 明）
以a、b 为直角边，以c为斜边作两 个全等的直角三角形，则每个直角 b 三角形的面积等于ab. 把这两个直 角三角形拼成如图所示形状，使A、 A E、B三点在一条直线上.
你能发现图中的等腰直角三角形有什 么性质吗？
A
B
C
等腰直角三角形：斜边的平方等于两条直 角边的平方和。
（二）总结规律，大胆才猜想（5分钟） 一般的直角三角形三边关系
在等腰直角三角形中斜边的平方等于两条 直角边的平方和，其他的直角三角形中也 有这个性质吗？
A a B b
如果直角三角形的两条直角 边长分别是a、b，斜边长 为c.猜想:两直角边a、b
576
③
X=15
Y=5
Z=7
求下列直角三角形中未知边的长x:
比 一 比 看 谁 算 得 又 快 又 准 ！
X=15 17
X=12
X=13 5 16
8
x
20
x
12
x
勾股定理运用二: 可用勾股定理建立方程.
课堂反馈
1、直角ABC的两直角边a=5,b=12,c=_____ 13
2、直角ABC的一条直角边a=10,斜边 c=26，则b= ( 24 ).
a
B
D
B
E C
作业
必做题：课本77页第1、2、3题. 选做题：收集有关勾股定理的其它 证明方法，下节课展示、 交流.
1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定 理的内容，会用面积法证明勾股定理。 2．培养在实际生活中发现问题总结规律的 意识和能力。 3．介绍我国古代在勾股定理研究方面所取 得的成就，激发爱国热情，勤奋学习。 重点：勾股定理的内容及证明。 难点：勾股定理的证明。
（一）、课前准备（2分钟）
1、直角△ABC的主要性质是：∠C=90°（用几何 A 语言表示）
c
C c
a
b
a D
美国总统证法：
D c C c a
b A
a
b
D
∵S梯形ABCD=1/2(a+b)(a+b) =1/2ab×2+1/2 c²
∴a² +b² =c²
三、应用定理 巩固新知
例：星期日老师带领初二全体学生去凌峰山风景区游玩
,同学们看到山势险峻,查看景区示意图得知:凌峰山主峰 高约为900米,如图:为了方便游人,此景区从主峰A处向地 面B处架了一条缆车线路,已知山底端C处与地面B处相距 1200米, ACB 90 ,请问缆车路线AB长应为多少? 分析：已知△ABC中，
ACB 90
，
AC=900米，BC=1200米， 求斜边AB的长.
四、随堂练习
• 1、如图，直角△ABC的主要性质是： ∠C=90°，（用几何语言表示） • ⑴两锐角之间的关系： ； • (2)若∠B=30°，则∠B的对边和斜边： A ； D • (3)三边之间的关系：
C B
五.课堂检测
与斜边c 之间的关系？
c
C
SA+SB=SC
2 2 2 a +b =c
结论：
直角三角形中，两条直角边的平方和， 等于斜边的平方.
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a， b，斜边为c，那么 a2 + b2 = c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 .
∵ ∠C＝90° ∴ a2 + b2 = c2 勾 a 弦
A
B
A
625
P
做一做：
225 P的面积 =______________
25 AB=__________
C B
400
20 BC=__________
15 AC=__________
6
2
4 2 X=_________
x
求下列图中表示边的未知数x、y、z的值. 144 81 144 ① 169 ②
z
625
小结
１、本节课我们经历了怎样的过程？
经历了从实际问题引入数学问题然后发现定理，再到探 索定理，最后学会验证定理及应用定理解决实际问题的过程. ２、本节课我们学到了什么？ 通过本节课的学习我们不但知道了著名的勾股定理，还 知道从特殊到一般的探索方法及借助于图形的面积来探索、 验证数学结论的数形结合思想. ３、学了本节课后我们有什么感想？ 很多的数学结论存在于平常的生活中，需要我们用数学 的眼光去观察、思考、发现，这节课我们还受到了数学文化 辉煌历史的教育.
3、一个直角三角形中，两直角边长分别为3和4，下 列说法正确的是（ C） A．斜边长为25 B．三角形周长为25 C．斜边长为5 D．三角形面积为20 4、如图,三个正方形中,S1＝25，S2＝144，则另一个 169 ． 的面积S3为________
S1 S3
S2
第4题图
5、一个直角三角形的两边长分别为5cm和12cm,则第 三边的长为 。
３、已知：∠C＝90°，a=6， a：b＝3：4， 求b和c.
b=8 c=10
a
b
c
分层测试:
A组: 1、在 ABC中，C 90 ， AB=7, AC=3,求BC的长. A
b
C
A
c
B组: 2、如图，在矩形ABCD中， DE⊥AC于E，设AE=8， 且AD=10, EC = 4, 求DE 和AB的长
勾股定理的运用
已知直角三角形的任意两条边长，求第三 条边长.
2 2 2 c =a +b
2 2 2 a =c -b
2 2 2 b =c -a
（三）随堂练习
1、在Rt△ABC中， C 90 ， 5 ； 1）如果a=3，b=4，则c=________ 10 ； 2）如果a=6，b=8，则c=________ 3）如果a=5，b=12，则c=________ 13 ； 4) 如果a=15，b=20，则c=________. 25