初中数学一次函数的最值问题

初中数学一次函数的最值问题

一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围（即全体实数）内，它是没有最大或最小值的。但是，如果给定了自变量的某一个取值范围（全体实数的一部分），那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。一般地，有下面的结论：

（1）如果m x n ≤≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图1）：当0k >时，b km y +=最大，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大，b km y +=最小。

图1

（2）如果n x ≥，那么b kx y +=有最小值或最大值（如图2）：当0k >时，b kn y +=最小；当0k <时，b kn y +=最大。

图2

（3）如果m x ≤，那么b kx y +=有最大值或最小值（如图3）当0k >时，b km y +=最大；当0k <，b km y +=最小。

图3

（4）如果m x n <<，那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。

凡是用一次函数式来表达实际问题，求其最值时，都需要用到边界特性，像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。

下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题，供同学们参考：

某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站，三栋楼在同一条直线上，顺次为A 楼，B 楼，C 楼，其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ，B 楼与C 楼之间的距离为60m ，已知A 楼每天有20人取奶，B 楼每天有70人取奶，C 楼每天有60人取奶，送奶公司提出两种建站

方案：

方案一：让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小；

方案二：让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。

（1）若按照方案一建站，取奶站应建在什么位置？

（2）若按照方案二建站，取奶站应建在什么位置？

（3）在方案二的情况下，若A 楼每天取奶的人数增加（增加的人数不超过22人），那么取奶站将离B 楼越来越远，还是越来越近？请说明理由。

解：（1）设取奶站建在距A 楼xm 处，所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。 ①当40x 0≤≤时，

8800

x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +⨯-=-+-+= ∴当x=40时，y 的最小值为4400。

②当100x 40≤<时，

)x 100(60)40x (70x 20y -+-+=

3200x 30+=，

此时y 的值大于4400。

因此按方案一建奶站，取奶站应建在B 楼处。

（2）设取奶站建在距A 楼xm 处。

①当40x 0≤≤时，

)x 40(70)x 100(60x 20-=-+， 解得03

320x <-

=（舍去）。 ②当100x 40≤<时，

)40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80，

因此按方案二建奶站，取奶站应建在距A 楼80m 处。

（3）设A 楼取奶人数增加a （22a 0≤≤）人，

①当40x 0≤≤时，

)x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得30

a 3200x +-=（舍去）。 ②当100x 40≤<时，

)40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++， 解得a

1108800x -=，当a 增大时，x 增大。 ∴当A 楼取奶的人数增加时，按照方案二建奶站，取奶站仍建在B 、C 两楼之间，且随着人数的增加，离B 楼越来越远。