初中数学一次函数的最值问题
初中数学一次函数的最值问题
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初中数学一次函数的最值问题一次函数在自变量x允许取值范围(即全体实数)内,它是没有最大或最小值的。
但是,如果给定了自变量的某一个取值范围(全体实数的一部分),那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地,有下面的结论:1、如果,那么有最大值或最小值(如图1):当时,,;当时,,。
图12、如果,那么有最小值或最大值(如图2):当时,;当时,。
图23、如果,那么有最大值或最小值(如图3)当时,;当,。
图34、如果,那么既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题,求其最值时,都需要用到边界特性,像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题,供参考:某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼,B楼,C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C楼之间的距离为60m,已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案:方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小;方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站距离之和。
(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?(3)在方案二的情况下,若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由。
解:(1)设取奶站建在距A楼xm处,所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当时,∴当x=40时,y的最小值为4400。
②当时,,此时y的值大于4400。
因此按方案一建奶站,取奶站应建在B楼处。
(2)设取奶站建在距A楼xm处。
①当时,,解得(舍去)。
②当时,解得x=80,因此按方案二建奶站,取奶站应建在距A楼80m处。
(3)设A楼取奶人数增加a()人,①当时,,解得(舍去)。
②当时,,解得,当a增大时,x增大。
专题73 一次函数在实际应用中的最值问题(解析版)
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专题73 一次函数在实际应用中的最值问题【专题说明】1、通过图象获取信息通过观察一次函数的图象获取有用的信息是我们在日常生活中经常遇到的问题,要掌握这个重点在于对函数图象的观察和分析,观察函数图象时,首先要看横轴、纵轴分别代表的是什么,也就是观察图象反映的是哪两个变量之间的关系.【注】函数图象中的特殊点观察图象获取信息时,一定要注意图象上的特殊点,这些特殊点对我们解决问题有很大的帮助.2、一次函数图象的应用一次函数和正比例函数是我们接触到的最简单的函数,它们的图象和性质在现实生活中有着广泛的应用.利用一次函数和正比例函数的图象解决问题是本节的一个重点,这部分内容在中考中占有重要的地位.【注】函数y=kx+b图象的变化形式在实际问题中,当自变量的取值范围受到一定的限制时,函数y=kx+b(k≠0)的图象就不再是一条直线.要根据实际情况进行分析,其图象可能是射线、线段或折线等等.1、甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠,所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示,请根据图象所提供的信息解答下列问题:(1)乙队开挖到30 m时,用了________ h.开挖6 h时甲队比乙队多挖了_______ m.(2)请你求出:①甲队在0≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式;②乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式.(3)当x为何值时,甲、乙两队在施工过程中所挖河渠的长度相等?分析:(1)由图象可以直接看出乙队开挖到30 m时,用了2 h.开挖6 h时甲队比乙队多挖了10 m;(2)设甲队在0≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k1x(k1≠0),由图可知,函数图象过点(6,60),∴6k1=60,解得k1=10,∴y=10x.设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=k2x+b(k2≠0),由图可知,函数图象过点(2,30),(6,50),代入y=k2x+b,求出k2=5,b=20,∴y=5x+20.(3)由题意,得10x=5x+20,解得x=4(h).解:(1)210(2)①y=10x.②y=5x+20.(3)由题意,得10x=5x+20,解得x=4(h).故当x为4 h时,甲、乙两队所挖的河渠长度相等.2、某单位急需用车,但又不准备买车,他们准备和一个体车主或一国有出租车公司签订月租车合同.设汽车每月行驶x km,应付给个体车主的月费用为y1元,应付给国有出租车公司的月费用是y2元,y1,y2分别与x之间的函数关系图象(两条射线)如图,观察图象回答下列问题:(1)每月行驶的路程在什么范围内时,租国有出租车公司的车合算?(2)每月行驶的路程等于多少时,租两家车的费用相同?(3)如果这个单位估计每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租哪家车合算?分析:本题从给出的两个函数图象中可获取以下信息:都是一次函数,一个是正比例函数;两条直线交点的横坐标为1 500;表明当x=1 500时,两个函数值相等;根据图象可知:x>1 500时,y2>y1;0<x<1 500时,y2<y1.解:观察图象,得:(1)每月行驶的路程小于1 500 km时,租国有出租车公司的车合算;(2)每月行驶的路程为1 500 km时,租两家车的费用相同;(3)如果每月行驶的路程为2 600 km,那么这个单位租个体车主的车合算.析规律函数图象交点规律两函数图象在同一坐标系中,当取相同的自变量时,下方图象对应的函数的函数值小;交点处的函数值相等.3、某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行耗油量实验,实验中汽车视为匀速行驶.已知油箱中的余油量y(L)与行驶时间t(h)的关系如下表,与行驶路程x(km)的关系如下图.请你根据这些信息求A型车在实验中的速度.分析:考查综合利用一次函数的相关知识解决问题的能力.解法一:∵余油量y与行驶路程x的关系图象是一条直线,∴可设关系式为y=kx+b(k≠0).由图象可知y=kx+b经过两点(0,100)和(500,20),则有b=100,20=500k+b.把b=100代入20=500k+b,得20=500k+100,解得k=-425.∴直线的解析式为y=-425x+100.当y=100时,x=0;当y=84时,x=100.由图表可知,油箱中的余油量从100 L到84 L,行驶时间是1 h,行驶路程是100 km. ∴A型汽车的速度为100 km/h.解法二:由图表可知:A型汽车每行驶1 h的路程耗油16L.由图象可知:A型汽车耗油80 L所行驶的路程为500 km.可设汽车耗油16 L 所行驶的路程为x km ,则500∶80=x ∶16,解得x =100.∴A 型汽车1 h 行驶的路程为100 km.∴它的速度为100 km/h.点评:有时,我们利用一次函数的图象求一元一次方程的近似解.3、有A B 、两个发电厂,每焚烧一吨垃圾,A 发电厂比B 发电厂多发40度电,A 焚烧20吨垃圾比B 焚烧30吨垃圾少1800度电.(1)求焚烧1吨垃圾,A 和B 各发多少度电?(2)A B 、两个发电厂共焚烧90吨垃圾,A 焚烧的垃圾不多于B 焚烧的垃圾的两倍,求A 厂和B 厂总发电量的最大值.【答案】(1)焚烧1吨垃圾,A 发电厂发电300度,B 发电厂发电260度;(2)当60x =时,y 取最大值25800度.【详解】(1)设焚烧1吨垃圾,A 发电厂发电a 度,B 发电厂发电b 度,则4030201800a b b a -=⎧⎨-=⎩,解得:300260a b =⎧⎨=⎩ 答:焚烧1吨垃圾,A 发电厂发电300度,B 发电厂发电260度.(2)设A 发电厂焚烧x 吨垃圾,则B 发电厂焚烧()90x -吨,总发电量为y 度,则300260(90)4023400y x x x =+-=+∵2(90)x x ≤-∵60x ≤∵y 随x 的增大而增大∵当60x =时,y 取最大值25800度.4、学校计划为“我和我的祖国”演讲比赛购买奖品.已知购买3个A 奖品和2个B 奖品共需120元;购买5个A 奖品和4个B 奖品共需210元.(1)求A ,B 两种奖品的单价;(2)学校准备购买A ,B 两种奖品共30个,且A 奖品的数量不少于B 奖品数量的13.请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 【答案】(1)A 的单价30元,B 的单价15元(2)购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少【详解】解:(1)设A 的单价为x 元,B 的单价为y 元,根据题意,得3212054210x y x y +=⎧⎨+=⎩, 3015x y =⎧∴⎨=⎩, ∴A 的单价30元,B 的单价15元;(2)设购买A 奖品z 个,则购买B 奖品为(30)z -个,购买奖品的花费为W 元, 由题意可知,1(30)3z z ≥-, 152z ∴≥, 3015(30)45015W z z z =+-=+,当=8z 时,W 有最小值为570元,即购买A 奖品8个,购买B 奖品22个,花费最少;5、某网店销售甲、乙两种防雾霾口罩,已知甲种口罩每袋的售价比乙种口罩多5元,小丽从该网店网购2袋甲种口罩和3袋乙种口罩共花费110元.(1)改网店甲、乙两种口罩每袋的售价各多少元?(2)根据消费者需求,网店决定用不超过10000元购进价、乙两种口罩共500袋,且甲种口罩的数量大于乙种口罩的45,已知甲种口罩每袋的进价为22.4元,乙种口罩每袋的进价为18元,请你帮助网店计算有几种进货方案?若使网店获利最大,应该购进甲、乙两种口罩各多少袋,最大获利多少元?【答案】(1)该网店甲种口罩每袋的售价为25元,乙种口罩每袋的售价为20元;(2)该网店购进甲种口罩227袋,购进乙种口罩273袋时,获利最大,最大利润为1136.2元.【详解】解:(1)设该网店甲种口罩每袋的售价为x元,乙种口罩每袋的售价为y元,根据题意得:5 23110 x yx y-=⎧⎨+=⎩,解这个方程组得:2520xy=⎧⎨=⎩,故该网店甲种口罩每袋的售价为25元,乙种口罩每袋的售价为20元;(2)设该网店购进甲种口罩m袋,购进乙种口罩(500﹣m)袋,根据题意得4(500)522.418(500)10000 m mm m⎧>-⎪⎨⎪+-≤⎩,解这个不等式组得:222.2<m≤227.3,因m为整数,故有5种进货方案,分别是:购进甲种口罩223袋,乙种口罩277袋;购进甲种口罩224袋,乙种口罩276袋;购进甲种口罩225袋,乙种口罩275袋;购进甲种口罩226袋,乙种口罩274袋;购进甲种口罩227袋,乙种口罩273袋;设网店获利w元,则有w=(25﹣22.4)m+(20﹣18)(500﹣m)=0.6m+1000,故当m=227时,w最大,w 最大=0.6×227+1000=1136.2(元),故该网店购进甲种口罩227袋,购进乙种口罩273袋时,获利最大,最大利润为1136.2元.6、某班级45名同学自发筹集到1700元资金,用于初中毕业时各项活动的经费.通过商议,决定拿出不少于544元但不超过560元的资金用于请专业人士拍照,其余资金用于给每名同学购买一件文化衫或一本制作精美的相册作为纪念品.已知每件文化衫28元,每本相册20元.(1)适用于购买文化衫和相册的总费用为W元,求总费用W(元)与购买的文化衫件数t(件)的函数关系式.(2)购买文化衫和相册有哪几种方案?为了使拍照的资金更充足,应选择哪种方案,并说明理由.【答案】(1)W=8t+900;(2)有三种购买方案.为了使拍照的资金更充足,应选择方案:购买30件文化衫、15本相册.【详解】1)设购买的文化衫t件,则购买相册(45﹣t)件,根据题意得:W=28t+20×(45﹣t)=8t+900.(2)根据题意得:,解得:30≤t≤32,∵有三种购买方案:方案一:购买30件文化衫、15本相册;方案二:购买31件文化衫、14本相册;方案三:购买32件文化衫、13本相册.∵W=8t+900中W随x的增大而增大,∵当t=30时,W取最小值,此时用于拍照的费用最多,∵为了使拍照的资金更充足,应选择方案一:购买30件文化衫、15本相册.7、江南农场收割小麦,已知1台大型收割机和3台小型收割机1小时可以收割小麦1.4公顷,2台大型收割机和5台小型收割机1小时可以收割小麦2.5公顷.(1)每台大型收割机和每台小型收割机1小时收割小麦各多少公顷?(2)大型收割机每小时费用为300元,小型收割机每小时费用为200元,两种型号的收割机一共有10台,要求2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,有几种方案?请指出费用最低的一种方案,并求出相应的费用.【答案】(1)每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷;(2)有七种方案,当大型收割机用8台时,总费用最低,最低费用为4800元.【详解】(1)设每台大型收割机1小时收割小麦x公顷,每台小型收割机1小时收割小麦y公顷,根据题意得:,解得:.答:每台大型收割机1小时收割小麦0.5公顷,每台小型收割机1小时收割小麦0.3公顷.(2)设大型收割机有m台,总费用为w元,则小型收割机有(10﹣m)台,根据题意得:w=300×2m+200×2(10﹣m)=200m+4000.∵2小时完成8公顷小麦的收割任务,且总费用不超过5400元,∵,解得:5≤m≤7,∵有三种不同方案.∵w=200m+4000中,200>0,∵w值随m值的增大而增大,∵当m=5时,总费用取最小值,最小值为5000元.答:有三种方案,当大型收割机和小型收割机各5台时,总费用最低,最低费用为5000元.8、为了推进我州校园篮球运动的发展,2017年四川省中小学生男子篮球赛于2月在西昌成功举办.在此期间,某体育文化用品商店计划一次性购进篮球和排球共60个,其进价与售价间的关系如下表:(1)商店用4200元购进这批篮球和排球,求购进篮球和排球各多少个?(2)设商店所获利润为y(单位:元),购进篮球的个数为x(单位:个),请写出y与x之间的函数关系式(不要求写出x的取值范围);(3)若要使商店的进货成本在4300元的限额内,且全部销售完后所获利润不低于1400元,请你列举出商店所有进货方案,并求出最大利润是多少?【答案】(1)购进篮球40个,排球20个;(2)y=5x+1200;(3)共有四种方案,方案1:购进篮球40个,排球20个;方案2:购进篮球41个,排球19个;方案3:购进篮球42个,排球18个;方案4:购进篮球43个,排球17个.最大利润为1415元.【详解】解:(1)设购进篮球m个,排球n个,根据题意得:6080504200m nm n+=⎧⎨+=⎩,解得:4020mn=⎧⎨=⎩.答:购进篮球40个,排球20个.(2)设商店所获利润为y元,购进篮球x个,则购进排球(60﹣x)个,根据题意得:y=(105﹣80)x+(70﹣50)(60﹣x)=5x+1200,∵y与x之间的函数关系式为:y=5x+1200.(3)设购进篮球x个,则购进排球(60﹣x)个,根据题意得:512001400 8050(60)4300 xx x+≥⎧⎨+-≤⎩,解得:40≤x≤1303.∵x取整数,∵x=40,41,42,43,共有四种方案,方案1:购进篮球40个,排球20个;方案2:购进篮球41个,排球19个;方案3:购进篮球42个,排球18个;方案4:购进篮球43个,排球17个.∵在y=5x+1200中,k=5>0,∵y随x的增大而增大,∵当x=43时,可获得最大利润,最大利润为5×43+1200=1415元.9、为解决消费者停车难的问题,某商场新建一小型轿车停车场,经测算,此停车场每天需固定支出的费用(包括设施维修费、管理人员工资等)为600元,为制定合理的收费标准,该商场对每天轿车停放辆次(每辆轿车每停放一次简称为“辆次”)与每辆轿车的收费情况进行调查,发现每辆次轿车的停车费定价不超过10元时,每天来此停放的轿车都为300辆次;若每辆次轿车的停车费定价超过10元,则每超过1元,每天来此停放的轿车就减少12辆次,设每辆次轿车的停车费x元(为便于结算,停车费x只取整数),此停车场的日净收入为y元(日净收入=每天共收停车费﹣每天固定的支出)回答下列问题:(1)∵当x≤10时,y与x的关系式为:;∵当x>10时,y与x的关系式为:;(2)停车场能否实现3000元的日净收入?如能实现,求出每辆次轿车的停车费定价,如不能实现,请说明理由;(3)该商场要求此停车场既要吸引顾客,使每天轿车停放的辆次较多,又要有最大的日净收入,按此要求,每辆次轿车的停车费定价应定为多少元?此时最大日净收入是多少元?【答案】(1)∵y=300x﹣600;∵y=﹣12x2+420x﹣600;(2)停车场能实现3000元的日净收入,每辆次轿车的停车费定价是15元或20元;(3)每辆次轿车的停车费定价应定为17元,此时最大日净收入是3072元.【详解】(1)∵由题意得:y=300x﹣600;∵由题意得:y=[300﹣12(x﹣10)]x﹣600,即y=﹣12x2+420x﹣600;(2)依题意有:﹣12x2+420x﹣600=3000,解得x1=15,x2=20.故停车场能实现3000元的日净收入,每辆次轿车的停车费定价是15元或20元;(3)、当x≤10时,停车300辆次,最大日净收入y=300×10﹣600=2400(元);当x>10时,y=﹣12x2+420x﹣600=﹣12(x2﹣35x)﹣600=﹣12(x﹣17.5)2+3075,∵当x=17.5时,y有最大值.但x只能取整数,∵x取17或18.显然x取17时,小车停放辆次较多,此时最大日净收入为y=﹣12×0.25+3075=3072(元).由上可得,每辆次轿车的停车费定价应定为17元,此时最大日净收入是3072元.10、攀枝花芒果由于品质高、口感好而闻名全国,通过优质快捷的网络销售渠道,小明的妈妈先购买了2箱A品种芒果和3箱B品种芒果,共花费450元;后又购买了l箱A品种芒果和2箱B品种芒果,共花费275元(每次两种芒果的售价都不变).(1)问A品种芒果和B品种芒果的售价分别是每箱多少元?(2)现要购买两种芒果共18箱,要求B品种芒果的数量不少于A品种芒果数量的2倍,但不超过A品种芒果数量的4倍,请你设计购买方案,并写出所需费用最低的购买方案.【答案】(1)A品种芒果售价为每箱75元,B品种芒果售价为每箱100元;(2)购买方案有:A品种芒果4箱,B品种芒果14箱;A品种芒果5箱,B品种芒果13箱;A品种芒果6箱,B品种芒果12箱;其中购进A品种芒果6箱,B品种芒果12箱总费用最少.【详解】解:(1)设A品种芒果箱x元,B品种芒果为箱y元,根据题意得:23450{2275x yx y+=+=,解得:75{100xy==.答:A品种芒果售价为每箱75元,B品种芒果售价为每箱100元.(2)设A品种芒果n箱,总费用为m元,则B品种芒果18﹣n箱,∵18﹣n≥2n且18﹣n≤4n,∵ 185≤n≤6,∵n非负整数,∵n=4,5,6,相应的18﹣n=14,13,12;∵购买方案有:A品种芒果4箱,B品种芒果14箱;A品种芒果5箱,B品种芒果13箱;A品种芒果6箱,B品种芒果12箱;∵所需费用m分别为:4×75+14×100=1700元;5×75+13×100=1675元;6×75+12×100=1650元,∵购进A品种芒果6箱,B品种芒果12箱总费用最少.11。
例析一次函数最值问题
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—
彩 电
1
— —
冰 箱
1
— —
1
—
—
2
3
4
产值 ( 元1
4 0 0 0
30 0 0
20 0 0
问 : 周 生 产 空 调 器 、 电 、 箱 各 多 少 台 , 能 使 总 产 值 最 高 ? 高 每 彩 冰 才 最
总产值 是 多少 ? 解 析 : 据 表 中 提 供 的 关 系 , 没 出 未 知 数 , 出 相 应 的 式 子 , 寻 根 先 列 再
备 每 周 ( 1 0个 T 时 计 算 ) 产 空 调 器 、 电 、 箱 共 3 0 台 , 冰 箱 至 按 2 生 彩 冰 6 且
少 生 产 6 台 .已 知 生 产 这 些 家 电产 品 每 台 所 需 的 T 时 和 每 台 家 电 的 产 0
值 如下 表所示 .
表 2
空 调 器
的 运 费 分 别 为 40 0元 和 5 0元 . 0
没从 A 市 、 市 各 调 运 台 机 器 到 D 市 . 2 B 当 8台 机 器 全 部 调 运 完 毕 后 , 求 总 运 费 ( J 于 ( J 函数 关 系式 , 求 元 关 台 的 并 朗化. 也是解 这类 问题 的常用方法 之一. 这
,
一
引
口河
南
张 瑞 红
在 一 次 函 数 的 应 用 题 中 , 一 类 是 和 一 次 函 数 的 最 大 值 最 小 值 有 关 有 的 . 际 上 , 次 函 数 的 最 大 值 与 最 小 值 在 做 决 策 时 用 处 很 大 . 关 键 是 实 一 其
对 问 题 的 原 始 形 态 进 行 分 析 、 想 、 象 、 括 , 而 构 建 相 应 的 函数 关 联 抽 概 进 系. 面举几个 较典 型的例 子. 下 例 1 市 、 市 和 C 市 分 别 有 某 种 机 器 1 台 、 0 台 和 8台 . 决 定 曰 0 1 现
初中数学知识点各个击破专项练习:一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”(学生版)
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一次函数综合最值问题“将军饮马、胡不归”一、解答题1已知一次函数y=4kx+5k+132k≠0.(1)无论k为何值,函数图象必过定点,求该定点的坐标;(2)如图1,当k=-12时,一次函数y=4kx+5k+132的图象交x轴,y轴于A、B两点,点Q是直线l2:y=x+1上一点,若S△ABQ=6,求Q点的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,直线l2:y=x+1交AB于点P,C点在x轴负半轴上,且S△ABC=203,动点M 的坐标为a,a,求CM+MP的最小值.2已知一次函数y=4kx+5k+132(k≠0).(1)无论k为何值,函数图象必过定点,则该定点的坐标;(2)如图1,当k=-12时,该直线交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:y=x+1交AB于点P,点T是l2上一点,若S△ABT=9,求T点的坐标;(3)如图2,在第2问的条件下,已知D点在该直线上,横坐标为1,C点在x轴负半轴,∠ABC=45°,点M 是x轴上一动点,连接BM,并将线段BM绕点M顺时针旋转90°得到MQ,①求点C的坐标;②CQ+QD的最小值为.3如图,一次函数y=12x+2的图象分别与x轴、y轴交于点A、B,以线段AB为边在第二象限内作等腰Rt△ABC,∠BAC=90°.(可能用到的公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),①AB中点坐标为x1+x2 2,y1+y22;②AB=x1-x22+y1-y22(1)求线段AB的长;(2)过B、C两点的直线对应的函数表达式.(3)点D是BC中点,在直线AB上是否存在一点P,使得PC+PD有最小值?若存在,则求出此最小值;若不存在,则说明理由.4已知一次函数y=kx+b(k≠0)与x轴交于点A(3,0),且过点7,8,回答下列问题.(1)求该一次函数解析式;(2)一次函数的解析式也称作该直线的斜截式方程,如解析式y=kx+b我们只需要将y向右移项就可以得到kx-y+b=0,将x前的系数k替代为未知数A,将y前的系数1替代为未知数B,将常数项b替代为未知数C,即可得到方程Ax+By+C=0,该二元一次方程也称为直线的一般方程(其中A一般为非负整数,且A、B不能同时为0).一般地,在平面直角坐标系中,我们求点到直线间的距离,可用下面的公式求解:点P x0,y0到直线Ax+By+C=0的距离d 公式是:d=Ax0+By0+CA2+B2如:求:点P1,1到直线y=-13x+32的距离.5如图,一次函数y=kx+b的图象交x轴于点A,OA=4,与正比例函数y=3x的图象交于点B,B 点的横坐标为1.(1)求一次函数y=kx+b的解析式;(2)若点C在y轴上,且满足S△BOC=12S△AOB,求点C的坐标;(3)若点D4,-2,点P是y轴上的一个动点,连接BD,PB,PD,是否存在点P,使得△PBD的周长有最小值?若存在,请直接写出△PBD周长的最小值.6在平面直角坐标系xoy中,一次函数y=34x+3的图像分别与x轴、y轴交于A、B两点,点C为x轴正半轴上的一个动点,设点C的横坐标为t.(1)求A、B两点的坐标;(2)点D为平面直角坐标系xoy中一点,且与点A、B、C构成平行四边形ABCD.①若平行四边形ABCD是矩形,求t的值;②在点C运动的过程中,点D的纵坐标是否发生变化,若不变,求出点D的纵坐标;若变化,说明理由;③当t为何值时,BC+BD的值最小,请直接写出此时t的值及BC+BD的最小值.7已知,一次函数y=(2-t)x+4与y=-(t+1)x-2的图像相交于点P,分别与y轴相交于点A、B.其中t为常数,t≠2且t≠-1.(1)求线段AB的长;(2)试探索△ABP的面积是否是一个定值?若是,求出△ABP的面积;若不是,请说明理由;(3)当t为何值时,△ABP的周长最小,并求出△ABP周长的最小值.8如图1,已知一次函数y=x+3与x轴,y轴分别交于B点,A点,x正半轴上有一点C,∠ACO= 60°,以A,B,C为顶点作平行四边形ABCD.(1)求C点坐标.(2)如图2,将直线AB沿y轴翻折,翻折后的直线交CD于E点,在y轴上有一个动点P,x轴上有一动点Q,当DP+PQ+QE取得最小值时,求此时(DP+PQ+QE)2的值.(3)如图3,将△AOC向左平移使得点C与坐标原点O重合,A的对应点为A ,O的对应点为O ,将△A O O绕点O顺时针旋转,旋转角为α0°≤α≤180°,在旋转过程中,直线AB与直线A O 、A O交于M,G两点,在旋转过程中,△A MG能否成为等腰三角形,若能,求出所满足条件的α,若不能,请说明理由.9(1)问题解决:如图1,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=1x+1与x轴交于点A,与y轴交于点B,4以AB为腰在第二象限作等腰直角△ABC,∠BAC=90°,点A、B、C的坐标分别为、、.(2)综合运用:①如图2,在平面直角坐标系xOy中,点A坐标(0,-6),点B坐标(8,0),过点B作x轴垂线l,点P是l上一动点,点D是在一次函数y=-2x+2图像上一动点,若△APD是以点D为直角顶点的等腰直角三角形,请求出点D的坐标.②如图2,在⑵的条件中,若M为x轴上一动点,连接AM,把AM绕M点逆时针旋转90°至线段NM,ON+AN的最小值是.10已知一次函数y =kx +32的图象与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点M 的坐标为0,m ,其中0<m <32.(1)若点A (-32,0),过点O 作OP ⊥AM ,连接BP 并延长与x 轴交于点C ,①求k 的值;②求证:BP PC =OM OC ;(2)若点A -2,0 ,求2AM +BM 的最小值.11如图1,一次函数y=43x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A、B.(1)则点A的坐标为,点B的坐标为;(2)如图2,点P为y轴上的动点,以点P为圆心,PB长为半径画弧,与BA的延长线交于点E,连接PE,已知PB=PE,求证:∠BPE=2∠OAB;(3)在(2)的条件下,如图3,连接PA,以PA为腰作等腰三角形PAQ,其中PA=PQ,∠APQ=2∠OAB.连接OQ.①则图中(不添加其他辅助线)与∠EPA相等的角有;(都写出来)②试求线段OQ长的最小值.12如图一次函数y1=k1x+3的图象与坐标轴相交于点A-2,0和点B,与反比例函数y2=k2x (x>0)的图象相交于点C2,m.(1)求出一次函数与反比例函数的解析式;(2)若点P是反比例函数图象上的一点,连接CP并延长,交x轴正半轴于点D,若PD:CP=1:2时,求△COP的面积;(3)在(2)的条件下,在y轴上是否存在点Q,使PQ+CQ的值最小,若存在请直接写出PQ+CQ的最小值,若不存在请说明理由.13【定义】斜率,表示一条直线相对于横轴的倾斜程度.当直线l的斜率存在时,对于一次函数y=kx+b(k≠0),k即为该函数图象(直线)的斜率.当直线过点(x1,y1)、(x2,y2)时,斜率k=y2-y1x2-x1,特别的,若两条直线l1⊥l2,则它们的斜率之积k1•k2=-1,反过来,若两条直线的斜率之积k1•k2=-1,则直线l1⊥l2【运用】请根据以上材料解答下列问题:(1)已知平面直角坐标系中,点A(1,3)、B(m,-5)、C(3,n)在斜率为2的同一条直线上,求m、n的值;(2)在(1)的条件下,点P为y轴上一个动点,当∠APC为直角时,求点P的坐标;(3)在平面直角坐标系中另有两点D(3,2)、E(-1,-6),连接DA并延长至点G,使DA=AG,连接GE交直线AB于点F,M为线段FA上的一个动点,求DM+55MF的最小值.14如图,矩形OABC的顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,点B的坐标为(23,4),一次函数y= -3x+b的图象与边OC、AB、x轴分别交于点D、E、F,∠DFO=30°,并且满足OD=BE,点M是线3段DF上的一个动点.(1)求b的值;(2)连接OM,若ΔODM的面积与四边形OAEM的面积之比为1:3,求点M的坐标;(3)求OM+1MF的最小值.215如图1,一次函数y=34x-6的图象与坐标轴交于点A,B,BC平分∠OBA交x轴与点C,CD⊥AB,垂足为D.(1)求点A,B的坐标;(2)求CD所在直线的解析式;(3)如图2,点E是线段OB上的一点,点F是线段BC上的一点,求EF+OF的最小值.16如图,一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B0,2,与正比例函数y=32x的图象交于点C4,c.(1)求k和b的值.(2)如图1,点P是y轴上一个动点,当PA-PC最大时,求点P的坐标.(3)如图2,设动点D,E都在x轴上运动,且DE=2,分别连结BD,CE,当四边形BDEC的周长取最小值时直接写出点D和E的坐标.17在平面直角坐标系中,一次函数y=-23x+4的图象与x轴和y轴分别交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O即停止运动.其中A、Q两点关于点P对称,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为秒.如图①.(1)当t=2秒时,OQ的长度为;(2)设MN、PN分别与直线y=-23x+4交于点C、D,求证:MC=NC;(3)在运动过程中,设正方形PQMN的对角线交于点E,MP与QD交于点F,如图2,求OF+EN的最小值.18已知一次函数y=4kx+5k+132k≠0,(1)无论k为何值,函数图像必过定点,求该点的坐标;(2)如图1,当k=-12时,该直线交x轴,y轴于A,B两点,直线l2:y=x+1交AB于点P,点Q是l2上一点,若SDABQ=6,求Q点的坐标;(3)如图2,在第2问的条件下,已知D点在该直线上,横坐标为1,C点在x轴负半轴,ÐABC=45°,动点M的坐标为(a,a),求CM+MD的最小值.19如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图像经过点A(-2,0),B(0,-23)、过D(1,0)作平行于y轴的直线l;(1)求一次函数y=kx+b的表达式;PB+PD的最小值为.(2)若P为y轴上的一个动点,连接PD,则12(3)M(s,t)为直线l上的一个动点,若平面内存在点N,使得A、B、M、N为顶点的四边形为矩形,则求M,N点的坐标;+k(其中k·b≠0,且|k|≠|b|))为互助一次函数,例如:y=-2x+3和y=3x-2就是互助一次函数.如图1所示,一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象l1,l2交于点P,l1,l2与x轴、y轴分别交于点A,B 和点C,D.(1)如图1所示,当k=-1,b=5时,直接写出点P的坐标是.(2)如图2所示,已知点M(-1,1.5),N(-2,0).试探究随着k,b值的变化,MP+NP的值是否发生变化,若不变,求出MP+NP的值;若变化,求出使MP+NP取最小值时点P的坐标.+k(其中k⋅b≠0,且|k|≠|b|)为互助一次函数,例如y=-23x+2和y=2x-23就是互助一次函数.如图,一次函数y=kx+b和它的互助一次函数的图象l1,l2交于P点,l1,l2,与x轴,y轴分别交于A,B点和C,D点.(1)如图(1),当k=-1,b=3时,请回答下列问题:①直接写出P点坐标;②Q是射线CP上一点(与C点不重合),其横坐标为m,求四边形OCQB的面积S与m之间的函数关系式,并求当△BCQ与△ACP面积相等时m的值;(2)如图(2),已知点M(-1,2),N(-2,0).试探究随着k,b值的变化,MP+NP的值是否发生变化?若不变,求出MP+NP的值;若变化,求出使MP+NP取最小值时的P点坐标.22如图1,等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线DE经过点C,过A作AD ⊥DE于点D,过B作BE⊥DE于点E,则△BEC≌△CDA,我们称这种全等模型为 “K型全等”.(不需要证明)【模型应用】若一次函数y=kx+4(k≠0)的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点.(1)如图2,当k=-1时,若点B到经过原点的直线l的距离BE的长为3,求点A到直线l的距离AD的长;(2)如图3,当k=-43时,点M在第一象限内,若△ABM是等腰直角三角形,求点M的坐标;(3)当k的取值变化时,点A随之在x轴上运动,将线段BA绕点B逆时针旋转90°得到BQ,连接OQ,求OQ长的最小值.。
中考数学重难点专题13 一次函数的实际应用中最值问题(学生版)
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中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练(全国通用版)专题13一次函数的实际应用中最值问题【典型例题】1.(2022·河南汝阳·九年级期末)为满足市场需求,某超市在新年来临前夕,购进一款商品,每盒进价是40元.超市规定每盒售价不得少于45元.根据以往销售经验发现;当售价定为每盒45元时,每天可以卖出700盒,如果每盒售价每提高1元,则每天要少卖出20盒.(1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式;(2)要使每天销售的利润为6000元,且让顾客得到最大的实惠.售价应定为多少元?(3)当每盒售价定为多少元时,每天销售的利润P(元)最大?最大利润是多少?【专题训练】一、解答题1.(2022·山东青岛·模拟预测)“菊润初经雨,橙香独占秋”,如图,橙子是一种甘甜爽口的水果,富含丰维生素C.某水果商城为了了解两种橙子市场销售情况,购进了一批数量相等的“血橙”和“脐橙”供客户对比品尝,其中购买“脐橙”用了420元,购买“血橙”用了756元,已知每千克“血橙”进价比每千克“脐橙”贵8元.(1)求每千克“血橙”和“脐橙”进价各是多少元?(2)若该水果商城决定再次购买同种“血橙”和“脐橙”共40千克,且再次购买的费用不超过600元,且每种橙子进价保持不变.若“血橙”的销售单价为24元,“脐橙”的销售单价为14元,则该水果商城应如何进货,使得第二批的“血橙”和“脐橙”售完后获得利润最大?最大利润是多少?2.(2022·山东莱芜·九年级期末)2022年冬奥会即将在北京召开,某网络经销商购进了一批以冬奥会为主题的文化衫进行销售,文化衫的进价每件40元,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系如图所示,设每月获得的利润为W(元).(1)求出每月的销售量y(件)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)这种文化衫销售单价定为多少元时,每月的销售利润最大?最大利润是多少元?(3)为了扩大冬奥会的影响,物价部门规定这种文化衫的销售单价不高于60元,该商店销售这种文化衫每月要获得最大利润,销售单价应定为多少元?每月的最大利润为多少元?3.(2022·河南·郑州中学九年级期末)冰墩墩(Bing Dwen Dwen),是2022年北京冬季奥运会的吉祥物.将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合,头部外壳造型取自冰雪运动头盔,装饰彩色光环,整体形象酷似航天员.冬奥会来临之际,冰墩墩玩偶非常畅销.小冬在某网店选中A,B两款冰墩墩玩偶,决定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表:(1)第一次小冬550元购进了A,B两款玩偶共30个,求两款玩偶各购进多少个.(2)第二次小冬进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半.小冬计划购进两款玩偶共30个,应如何设计进货方案才能获得最大利润,最大利润是多少?(3)小冬第二次进货时采取了(2)中设计的方案,并且两次购进的玩偶全部售出,请从利润率的角度分析,对于小冬来说哪一次更合算?(注:利润率=(利润÷成本)×100%).4.(2021·山东青岛·一模)某学校为进一步做好疫情防控工作,计划购进A,B两种口罩.已知每箱A种口罩比每箱B种口罩多10包,每箱A种口罩和每箱B种口罩的价格分别是630元和600元,而每包A种口罩和每包B种口罩的价格分别是这一批口罩平均每包价格的0.9倍和1.2倍.(1)求这一批口罩平均每包的价格是多少元.(2)如果购进A,B两种口罩共5500包,最多购进3500包A种口罩,为了使总费用最低,应购进A种口罩和B种口罩各多少包?总费用最低是多少元?5.(2022·江苏滨湖·八年级期末)小李在某网店选中A、B两款玩偶,确定从该网店进货并销售.两款玩偶的进货价和销售价如表:(1)第一次小李用1100元购进了A、B两款玩偶共30个,求两款玩偶各购进多少个?(2)第二次小李进货时,网店规定A款玩偶进货数量不得超过B款玩偶进货数量的一半,小李计划购进两款玩偶60个.设小李购进A款玩偶m个,售完两款玩偶共获得利润W元,问应如何设计进货方案才能获得最大利润?并求W的最大值.6.(2021·山东北区·一模)六一前夕,某商场采购A、B两种品牌的卡通笔袋,已知每个A品牌笔袋的进价,比每个B品牌笔袋的进价多2元;若用3000元购进A品牌笔袋的数量,与用2400元购进B品牌笔袋的数量相同.(1)求每个A品牌笔袋和每个B品牌笔袋的进价分别是多少元;(2)该商场计划用不超过7220元采购A、B两种品牌的笔袋共800个,且其中B品牌笔袋的数量不超过400个,求该商场共有几种进货方式;(3)若每个A品牌笔袋售价16元,每个B品牌笔袋售价12元,在第(1)(2)问的前提下,不计其他因素,将所采购的A、B两种笔袋全部售出,求该商场可以获得的最大利润为多少元.7.(2022·四川简阳·八年级期末)某校准备组织八年级280名学生和5名老师参加研学活动,已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送120人;用3辆小客车和1辆大客车每次可运送135人.(1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少人?(2)若学校计划租用小客车m辆,大客车n辆,一次送完,且恰好每辆车都坐满.①请你设计出所有的租车方案;②若小客车每辆需租金6000元,大客车每辆需租金7500元,总租金为W元,写出W与m的关系式,根据关系式选出最省钱的租车方案,并求出最少租金.8.(2022·山东城阳·八年级期末)七月份河南暴雨,鸿星尔克因捐款5000万爆红网络,为表达对品牌的支持,国人掀起购物潮.我区一家鸿星尔克门店有库存上衣和裤子共1450件,若上衣按每件获利50元卖,裤子按每件获利80元卖,则售完这些库存共可获利92000元.(1)该门店库存有上衣、裤子各多少件?。
一次函数绝对值和最值问题
![一次函数绝对值和最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/3366a1e87e21af45b307a8a7.png)
含绝对值函数综合问题一、含绝对值函数的最值1、含一个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性(1)()||f x x =的图像是以原点为顶点的“V ”字形图像;函数在顶点处取得最小值“(0)0f =”,无最大值;在函数(,0],[0,)x ∈-∞↓+∞↑;对称轴为:0x =(2)()||(0)f x kx b k =+≠图像是以(,0)b k-为顶点的“V ”字形图像;在顶点取得最小值:“()0b f k -=”,无最大值;函数在(,],[,)b b x k k ∈-∞-↓-+∞↑;对称轴为:b x k=- (3)函数()||(0)f x k x b k =+≠: 0k >时,函数是以(,0)b -为顶点的“V ”字形图像;函数在顶点取得最小值:“()0f b -=”,无最大值;函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↓-+∞↑;对称轴为:x b =-0k <时,是以(,0)b -为顶点的倒“V ”字形图像,函数在顶点取得最大值:“()0f b -=”,无最小值;函数在(,],[,)x b b ∈-∞-↑-+∞↓;对称轴为:x b =-2、含两个绝对值的一次绝对值函数的最值、单调性、对称性(1)函数()||||()f x x m x n m n =-+-<的图像是以点(,),(,)A m n m B n n m --为折点的“平底形”图像;在[,]x m n ∈上的每点,函数都取得最小值n m -,无最大值;函数在(,],[,)x m x n ∈-∞↓∈+∞↑ ,在[,]x m n ∈无单调性;对称轴为2m n x +=。
(2)函数()||||f x x m x n =---: 当m n >时,()f x 是以点(,),(,)A m n m B n m n --为折点的“Z 字形”函数图像;在(,]x n ∈-∞上的每点,函数都取得最大值m n -,在[,)x m ∈+∞上的每点,函数都取得最小值n m -;函数在[,]x n m ∈↓,在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性;对称中心为(,0)2m n +; 当n m >时,()f x 是以点(,),(,)A m m n B n n m --为折点的“反Z 字形”函数图像; 在(,]x m ∈-∞上的每点,函数都取得最小值m n -,在[,)x n ∈+∞上的每点,函数都 取得最大值n m -;函数在[,]x m n ∈↑,在(,]x n ∈-∞及[,)x m ∈+∞上无单调性;对称中心为(,0)2m n +; (3)()||||()f x a x m b x n m n =-+-<图像是以(,()),(,())A m f m B n f n 为折点的折线。
专题训练7:一次函数中的最值问题
![专题训练7:一次函数中的最值问题](https://img.taocdn.com/s3/m/4245da22fe00bed5b9f3f90f76c66137ee064f87.png)
专题训练7:一次函数中的最值问题
问题1:在燃气管道l上修建泵站,分别向A、B两城镇供气。
要使所用的输气管线最短,泵站应该修建在什么地方?
问题2:已知点A(4,3)和点B(0,1)。
若点C是x 轴上的动点,当AC+BC的值最小时,求C点的坐标。
问题3:已知点A(4,3)和点B(0,-1)。
若点C是x 轴上的动点,当AC-BC的值最大时,求C点的坐标。
问题4:已知点A(4,3),点B在直线x=5上,点C在直线y=-x+4上。
当△ABC的周长最小时,求点B和点C的坐标。
问题5:已知点A(4,3)和点B(1,2)。
若点C在y 轴上,点D在x轴上,当四边形ABCD的周长最小时,求点C和点D的坐标。
问题6:已知点A(4,3)和点B(1,2)。
若点C、D 是x轴上的两点,且CD=1,当四边形ABCD的周长最小时,求点C和点D的坐标。
问题7:已知点A(4,3)和点B(-1,-2)。
若点C在直线y=2上,点D在x轴上,且CD⊥x轴,当四边形
AC+CD+BD最小时,求点C和点D的坐标。
八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)
![八年级数学一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)(含答案)](https://img.taocdn.com/s3/m/971d14e683c4bb4cf6ecd18c.png)
一次函数之轴对称最值问题(人教版)(专题)一、单选题(共7道,每道15分)1.如图,在平面直角坐标系中,已知点A(2,3),点B(-2,1),在x轴上存在点P到A,B两点的距离之和最小,则P点的坐标( )A.(0,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(-1,0)答案:D解题思路:1.思路分析:2.解题过程:如图,作点A关于x轴的对称点C,连接BC,则直线BC与x轴的交点即为使点P到A,B两点的距离之和最小的点.设点B,C所在直线的表达式是y=kx+b,∵B(-2,1),C(2,-3),在直线y=kx+b上,∴,∴,∴,∴当y=0时,x=-1,∴图象与x轴交于点(-1,0).故选D.试题难度:三颗星知识点:略2.已知点M(1,2)和点N(5,6),点P是y轴上的一个动点,当△PMN的周长最小时,点P 的坐标是( )A.(0,)B.(0,1)C.(,0)D.(-1,0)答案:A解题思路:1.思路分析:C△PMN=PM+PN+MN,MN的长度固定,可转化为PM+PN最小2.解题过程:如图,作点M关于y轴的对称点M′,连接M′N,则直线M′N与y轴的交点即为使PM+PN最小的点.设点M′,N所在直线的表达式是y=kx+b,∵M′(-1,2),N(5,6)在直线y=kx+b上,∴,∴,∴,∴当x=0时,y=,∴图象与y轴交于点(0,).故选A.试题难度:三颗星知识点:略3.如图,已知A(1,3),B(5,1),长度为2的线段PQ在x轴上平行移动,当AP+PQ+QB 的值最小时,点P的坐标为( )A. B.C.(1,0)D.(5,0)答案:B解题思路:1.思路分析2.解题过程通过题意可知,PQ的长固定,所以若要AP+PQ+QB的值最小,则AP+BQ最小即可.如图,BQ向左平移两个单位到,此时就转化为要求即可.作出点关于x轴的对称点,此时连接,与x轴的交点即为所求的点P.根据题意可得,点的坐标为(3,-1),∴的直线解析式为:,∴点P的坐标为.故选B试题难度:三颗星知识点:略4.在平面直角坐标系中,矩形OACB的顶点O在坐标原点,顶点A,B分别在x轴、y轴的正半轴上,OA=3,OB=4,D为边OB的中点.若E,F为边OA上的两个动点,且EF=2,则当四边形CDEF的周长最小时,点F的坐标为( )A. B.C. D.答案:B解题思路:1.思路分析2.解题过程通过题意可知,EF和CD的长固定,所以若要四边形CDEF的周长最小,则DE+CF最小即可.如图,CF向左平移两个单位到,此时就转化为要求即可.作出点D关于x轴的对称点,此时连接,与x轴的交点即为点E.根据题意可得,点的坐标为(1,4),点的坐标为(0,-2),∴的直线解析式为:,∴点E的坐标为,∴点F的坐标为.故选B试题难度:三颗星知识点:略5.如图,当四边形PABN的周长最小时,a的值为( )A. B.1C.2D.答案:A解题思路:1.思路分析2.解题过程通过题意可知,PN和AB的长固定,且PN=2,所以若要四边形PABN的周长最小,则AP+BN最小即可.如图,BN向左平移两个单位到,此时就转化为要求即可.作出点关于x轴的对称点,此时连接,与x轴的交点即为点P.根据题意可得,点的坐标为(2,-1),∴的直线解析式为:,∴点P的坐标为,∴.故选A试题难度:三颗星知识点:略6.如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,1),B(3,-4),在x轴上有一点P,当的值最大时,点P的坐标是( )A. B.(0,0)C.(-1,0)D.(3,0)答案:C解题思路:1.思路分析2.解题过程故选C试题难度:三颗星知识点:略7.如图,已知直线是第一、三象限的角平分线,A,B两点的坐标分别为,B(1,2),在直线上找一点P,使的值最大,则此时点P的坐标是( )A.(-1,-1)B.C.(-2,-2)D.答案:A解题思路:1.思路分析2.解题过程故选A试题难度:三颗星知识点:略第11页共11页。
一次函数最值问题
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一次函数最值问题
一次函数一般形式为 y = kx + b,其中 k 和 b 是常数,且k ≠ 0。
对于一次函数,其斜率为 k。
1. 当 k > 0 时,函数 y = kx + b 是增函数,即随着 x 的增加,y 也增加。
因此,函数的最大值出现在 x 的正无穷大处,此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处,此时 y 的值为 -b。
2. 当 k < 0 时,函数 y = kx + b 是减函数,即随着 x 的增加,y 减小。
因此,函数的最大值出现在 x 的负无穷大处,此时 y 的值为正无穷大。
函数的最小值出现在 x = -b/k 处,此时 y 的值为 -b。
需要注意的是,由于一次函数的定义域是全体实数,因此其最值是相对于定义域而言的。
在实际情况中,我们可能需要考虑函数的定义域和值域,以及函数的实际应用背景来求解最值问题。
初中数学知识点总结:利用一次函数解决实际问题
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知识点总结
应用一次函数知识解决最值问题
一次函数中的自变量取值范围是全体实数,其图象是一条直线,所以此函数既没有最大值,也没有最小值,但由于在实际问题中,所列函数表达式中自变量往往有一定的限制,故就有了最大或最小值,在求函数最值时,就先求出函数表达式,并确定出增减性,再根据题目条件确定出自变量的取值范围,然后结合增减性确定出最大值或最小值。
常见考法
(1)根据图象获取信息解决问题;
(2)设计一个方案,比较哪个方案更优。
误区提醒
(1)不能正确的建立一次函数模型;
(2)忽视变量的实际意义。
【典型例题】(2010辽宁丹东市)某办公用品销售商店推出两种优惠方法:①购1个书包,赠送1支水性笔;②购书包和水性笔一律按9折优惠.书包每个定价20元,水性笔每支定价5元.小丽和同学需买4个书包,水性笔若干支(不少于4支).。
利用一次函数的性质解最值问题
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利用一次函数的性质解最值问题山东赵卫东众所周知,对于一次函数y kx b,具有以下性质::(1)当k时,y随x的增大而增大;(2)当k时,y随x的增大而减小.这实际上就是一次函数的增减性.利用该增减性,我们可以解决实际问题中的一些最值问题.例(湖北襄樊)襄樊市认真落实国家关于减轻农民负担,增加农民收入的政策,从2003年开始减征农业税,2002年至2004年征收农业税变化情况见表(1).2004年市政府为了鼓励农民多种粮食,实行保护收购,并对种植优质水稻(如中籼稻)另给予每亩15元的补贴(摘自《襄樊日报》2004年5月5日).我市农民李江家有4个劳动力,承包20亩土地,今年春季全部种植中籼稻和棉花,种植中籼稻和棉花每亩所需劳动力和预计每年平均产值见表(2).设2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P元,种植中籼稻的土地为x亩.表(1)200220032004年份农业税(元╱亩)117.2470.4438.26表(2)农作物产值(元∕亩)劳力(人∕亩)785中籼稻0.151200棉花0.35(1)李江家从国家开始减征农业税后两年可少交农业税多少元?(2)若不考虑上缴农业税,请写出P(元)与x(亩)的函数关系式.(3)李江家在不考虑他人和工等其他因素的前提下,怎样安排中籼稻和棉花的种植面积才能保证P最大?最大值是多少?析解:(1)由题可知,李江家后两年少交农业税都是相对于减征农业税前的2002年而言的,故他家后两年少交农业税为(117.24-70.44)×20+(117.24-38.26)×20=2515.6(元).(2)由表(2)可得,李江家种植中籼稻的收入为785x元,种植棉花的收入为1200(20-x)元,再加上种植中籼稻的补贴15x元,故2004年李江家种植中籼稻和棉花的预计总收入为P=785x+1200(20-x)+15x=-400x+24000.(3)由题可知,种植中籼稻所需劳力为0.15x人,种植棉花所需劳力为0.35(20-x)人,而所需总劳力不能超过李江家4口人,即0.15x+0.35(20-x)≤4,解得x≥15,故(2)中函数自变量的取值范围是15≤x≤20.又由于P是x的一次函数,且P随x的增大而减小,故当x=15时,P最大=-400×15+24000=18000(元),即种植中籼稻和棉花的面积分别为15亩和5亩时,才能保证P最大,最大值为18000元。
与一次函数有关的最值问题
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中考数学最值问题总结
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中考数学最值问题总结中考数学中最值问题是一个重要的考点,通常涉及到二次函数、一次函数、不等式等问题。
以下是一些常见的最值问题及解决方法:1. 二次函数最值问题二次函数的最值问题是最常见的最值问题之一。
解决这类问题的一般步骤是:首先确定自变量的取值范围,然后利用二次函数的顶点式或开口方向来求最值。
如果二次函数的开口向上,那么在顶点处取得最小值(当x<0时),在x轴上取得最大值(当x>0时)。
如果二次函数的开口向下,那么在顶点处取得最大值(当x<0时),在x轴上取得最小值(当x>0时)。
2. 一次函数最值问题一次函数的最值问题通常涉及到一次函数的单调性和自变量的取值范围。
如果一次函数是递增的,那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最大值时的函数值,最小值是当x取最小值时的函数值。
如果一次函数是递减的,那么在自变量取值范围内的最大值是当x取最小值时的函数值,最小值是当x取最大值时的函数值。
3. 不等式最值问题不等式的最值问题通常涉及到不等式的性质和不等式的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是:首先确定不等式的取值范围,然后利用不等式的性质来求最值。
如果是不等式左边是一个定值,右边是一个变量的形式,那么当变量取最大或最小值时,不等式取得最值。
如果是不等式两边都是变量,那么需要利用不等式的性质来求解。
4. 代数式的最值问题代数式的最值问题通常涉及到代数式的化简和代数式中字母的取值范围。
解决这类问题的一般步骤是:首先将代数式进行化简,然后根据代数式中字母的取值范围来确定最值。
如果代数式中包含有二次项,那么可以利用配方法将其化简为顶点式或开口方向式来求解最值。
如果代数式中包含有绝对值,那么需要先去掉绝对值符号再化简求解最值。
解决中考数学最值问题需要掌握各种知识点和方法,包括二次函数、一次函数、不等式、代数式等,同时需要注意自变量的取值范围和函数的单调性等问题。
人教版八年级下册数学一次函数与动点最值问题
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一次函数与动点最值问题知识导航1.关于x 的一次函数y =k (x -m )+n 或y =kx -km +n 一定过定点(m ,n ).2.直线外一点与直线上各点的连线中,垂线段最短.3.利用三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边求最值.4.利用平方数,绝对值,算术平方根的非负性求最值.【板块一】过定点的直线题型一 定点动直线【例1】(1)一次函数y =kx 一定经过点_________;若一次函数的图象经过原点,那么该一次函数的解析式可设为_________.(2)一次函数y =kx +2一定经过点_________;若一次函数的图象经过点(0,-4),那么该一次函数的解析式可设为_________;(3)一次函数y =kx -2k +1一定经过点_________;若一次函数的图象经过点(-2,4),该一次函数的解析式可设为_________. 题型二 动点定直线【例2】利用坐标判断点在定直线上. (1)点P (m ,m +2)一定在直线_________上; (2)点P (m +1,2m -3)一定在直线_________上.针对练习11.过定点的动直线的应用: 已知一次函数y =2kx -k +2. (1)其图象过定点_________;(2)直线y =2kx -k +2和直线y =4x 的交点是_________; (3)若0<k <2,不等式2kx -k +2≤4x 的解集是_________; (4)当x =1时,y <0,则k 的取值范围是_________;(5)若A (32,3),B (4,-3),该一次函数的图象与线段AB 有交点,则k 的取值范围是_________.2.动点在定直线上的应用:直线AB:y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C(1,0),点P为直线AB上一点,将线段PC绕点C 顺时针旋转90°,得CQ.(1)若点P横坐标为-1时,求点Q坐标;(2)若点P横坐标为m,试用含m的式子表示点Q的坐标;(3)当点P在直线AB上运动时,则点Q总在直线l上运动,求直线l的解析式.【板块二】直线型动点最值问题题型三点到直线的距离最短方法技巧利用垂线段最短,可求定点到直线型动点的最小值问题.【例1】点P是x轴上一点,A(0,4),将线段P A绕点A逆时针旋转90°得到线段AQ,求OQ的最小值.【例2】如图,A(4,0),△OAB为等边三角形,点C为x轴上一动点,以BC为边在直线BC的右侧作等边△BCD,连接OD.(1)点D在某一确定的函数图象上运动,其解析式为_________;(2)OD的最小值为_________.题型四两线段或多线段的和差最值问题方法技巧利用两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,求两线段或多线段的和差最大值或最小值;在平面直角坐标系中,常作一个定点的对称点,然后连接这一对称点与另一定点,求最值.这一方法也叫化折为直.【例3】如图,A(-4,2),B(-1,1),在x轴上找一点P,使△P AB的周长最小,求这个最小值及点P的坐标.【例4】如图,A(-4,2),B(-1,1),在x轴上找一点P,使|P A-PB|的值最大,并求此时点P的坐标.针对练习21.一次函数y=k(x-1)+3k-4的图象与x轴交于点A,与y轴交于点B,则点O到该直线的距离的最大值是_________;2.如图,B(0,3),点A为x轴上一动点,将线段AB绕点A顺时针旋转90°得线段AC,连接OC.(1)设A(a,0),用含a的式子表示点C坐标_________;(2)点C在某一确定的函数图象上运动,其解析式为_________;(3)OC长度的最小值为_________.3.如图,A(0,23),点B为x轴上一动点,将线段AB绕点A逆时针旋转60°,得线段AC,线段OC的最小值是_________.第2题第3题第4题第5题4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,点M为AB的中点,点D是射线BC上一动点,连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE,连接ME,点D在运动的过程中,ME的最小值为()A.2B.2 2C.4D.4 25.如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=5,点D为线段AC上一动点,将线段BD绕点D逆时针旋转90°,点B的对应点为E,连接AE,则AE的最小值为_________.6.如图,直线y=x+4与坐标轴交于点A,B,点C(-3,m)在直线AB上,在y轴上找一点P,使P A+PC的值最小,求这个最小值及点P的坐标.【板块三】动点的运动路径(轨迹)问题方法技巧动点的运动路径问题解题方法:1.选取三个或多个特殊点探索三个或多个特殊位置,一般选取起点,终点,和另外的特殊点探索;2.根据这些特殊点的位置猜想运动路径,然后验证.现阶段多用全等转换求值.【例1】如图,直线AB:y=2x+4交x轴于点A,交y轴于点B,C(1,0),点P为直线AB上一点,将线段PC绕点C顺时针旋转90°得CQ.(1)当点P从点A运动到点B时,点Q的运动路径长为_________;(2)线段OQ的最小值为_________.【例2】如图,A(4,0),B(0,4),点P在线段AB上运动,PQ⊥PO且PQ=PO.(1)试说明点Q在某一确定的直线上;(2)点M是OQ的中点,当点P从点A运动到点B时,求点M运动的路径长.针对练习31.在平面直角坐标系中,A(0,4),点B沿着某条路径运动,以点B为旋转中心,将点A逆时针旋转60°到点C(m,2).若-5≤m≤5,则点B运动的路径长为_________.2.在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),C(0,b),且a,b满足(a+1)2+b+3=0.(1)直接写出:a=_________,b=_________;(2)如图1,点B为x轴正半轴上的一点,BE⊥AC于点E,交y轴于点D,连接OE.若OE平分∠AEB,求直线BE的解析式;(3)如图2,在(2)的条件下,点M为直线BE上的一动点,连接OM,将线段OM绕点M逆时针旋转90°,点O的对应点为N,当点M运动时,判断点N的运动路线是什么图形,并说明理由.图1图23.如图1,直线y=-3x+33分别与y轴、x轴交于点A,B,点C的坐标为(-3,0),点D为直线AB 上的一动点,连接CD交y轴于点E.(1)点B的坐标为_________,不等式-3x+33>0的解集为_________;(2)若S△COE=S△ADE,求点D的坐标;(3)如图2,以CD为边作菱形CDFG,且∠CDF=60°,当点D运动时,点G在一条定直线上运动,请求出这条定直线的解析式.图1图2一次函数大综合——数形结合1.已知点A(a,3),点B(b,6),点C(5,c),AC⊥x轴,CB⊥y轴,点B在第二象限且到两坐标轴的距离相等.(1)写出A,B,C三点的坐标;(2)求△ABC的面积;(3)若点P为线段OB上的动点,当△BCP面积大于12小于16时,求点P的横坐标的取值范围.2. 在平面直角坐标系中,A(a,b),B(c,d),且a-c+4+|b-d-6|=0.(1)直接写出a与c,b与d的关系式;(2)如果b=c=0,点P(m,32m+6),且m>0,S△P AB=4S△AOB,求点P的坐标;(3)如果b=3,连接AB交x轴于点Q.①直接写出点Q的坐标(用含a的式子表示);②若S△AOB≤24,求a的取值范围.3. (2019黄陂区期末)如图,在平面直角坐标系中,点A在第一象限,AB⊥x轴于点B.AC⊥y轴于点C,点A(4a,3a),且四边形ABOC的面积为48.(1)如图1,直接写出点A的坐标为_________;(2)如图2,点D从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿y轴正半轴运动,同时,点E从点A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线BA运动,DE交线段AC于点F,设运动的时间为t秒,当S△AEF<S△CDF 时,求t的取值范围;(3)如图3,将线段BC平移,使点B的对应点M恰好落在y轴负半轴上,点C的对应点为N,连接BN交y轴轴于点P,当OM=3OP时,求点M的坐标.4. 在平面直角坐标系中,已知点A(a,0),B(a,6),C(a-2,2).(1)若a=2,则△ABC的面积为_________;(2)将线段BC向右平移m个单位,若△ABC的面积小于4,求m的取值范围;(3)若点D(a+8,8),连结AD,将线段BC向右平移n个单位,若线段BC与线段AD有公共点,请直接写出n的取值范围_________.5.在平面直角坐标系中,点A(a,b),B(c,d),且a-c+3+|b-d-4|=0.(1)如果a=-1,b=-3,求A,B两点的坐标;(2)如果a=-1,b=-3,求直线AB与x轴的交点M以及与y轴的交点N的坐标;(3)如果点A在x轴上方平行于x轴,且在到x轴距离等于2的直线上运动,若△ABO的面积不超过21,求a的取值范围.6.如图,在平面直角坐标系中,直线l交x轴于点A,交y轴于点B,下表列举的是直线l上的点P(x,y)的取值情况:(1)直线l上的点P(x,y)的横、纵坐标之间的数量关系是_________(直接写出结果);(2)若点P(-2,2),点Q(q,0),若以P,Q,O,B为顶点的四边形的面积大于5,求q的取值范围;(3)已知坐标平面内第一象限的点M(m,n),N(m+4,n+4),若△PMN的面积是12,求m,n的数量关系.。
专题10 一次函数的实际应用中最值问题(学生版) -2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练
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备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题10一次函数的实际应用中最值问题【专题训练】一、解答题1.(2020·四川广安市·中考真题)某小区为了绿化环境,计划分两次购进A,B两种树苗,第一次购进A种树苗30棵,B种树苗15棵,共花费1350元;第二次购进A种树苗24棵,B种树苗10棵,共花费1060元.(两次购进的A,B两种树苗各自的单价均不变)(1)A,B两种树苗每棵的价格分别是多少元?(2)若购买A,B两种树苗共42棵,总费用为W元,购买A种树苗t棵,B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍.求W 与t的函数关系式.请设计出最省钱的购买方案,并求出此方案的总费用.2.(2020·山东济南市·中考真题)5G时代的到来,将给人类生活带来巨大改变.现有A、B两种型号的5G手机,进价和售价如表所示:型号价格某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元,手机销售完成后共获得利润4400元.(1)营业厅购进A、B两种型号手机各多少部?(2)若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部,其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍,请设计一个方案:营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润,最大利润是多少?3.(2020·四川中考真题)推进农村土地集约式管理,提高土地的使用效率是新农村建设的一项重要举措.某村在小城镇建设中集约了2400亩土地,计划对其进行平整.经投标,由甲乙两个工程队来完成平整任务.甲工程队每天可平整土地45亩,乙工程队每天可平整土地30亩.已知乙工程队每天的工程费比甲工程队少500元,当甲工程队所需工程费为12000元,乙工程队所需工程费为9000元时,两工程队工作天数刚好相同.(1)甲乙两个工程队每天各需工程费多少元?(2)现由甲乙两个工程队共同参与土地平整,已知两个工程队工作天数均为正整数,且所有土地刚好平整完,总费用不超过110000元.①甲乙两工程队分别工作的天数共有多少种可能?②写出其中费用最少的一种方案,并求出最低费用.4.(2020·云南中考真题)众志成城抗疫情,全国人民在行动.某公司决定安排大、小货车共20辆,运送260吨物资到A地和B地,支援当地抗击疫情.每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资,这20辆货车恰好装完这批物资.已知这两种货车的运费如下表:现安排上述装好物资的20辆货车(每辆大货车装15吨物资,每辆小货车装10吨物资)中的10辆前往A地,其余前往B地,设前往A地的大货车有x辆,这20辆货车的总运费为y元.(1)这20辆货车中,大货车、小货车各有多少辆?(2)求y与x的函数解析式,并直接写出x的取值范围;(3)若运往A地的物资不少于140吨,求总运费y的最小值.5.(2020·山东烟台市·中考真题)新冠疫情期间,口罩成为了人们出行必备的防护工具.某药店三月份共销售A,B两种型号的口罩9000只,共获利润5000元,其中A,B两种型号口罩所获利润之比为2:3.已知每只B型口罩的销售利润是A型口罩的1.2倍.(1)求每只A型口罩和B型口罩的销售利润;(2)该药店四月份计划一次性购进两种型号的口罩共10000只,其中B型口罩的进货量不超过A型口罩的1.5倍,设购进A型口罩m只,这10000只口罩的销售总利润为W元.该药店如何进货,才能使销售总利润最大?6.(2020·广西中考真题)倡导垃圾分类,共享绿色生活.为了对回收的垃圾进行更精准的分类,某机器人公司研发出A 型和B 型两款垃圾分拣机器人,已知2台A 型机器人和5台B 型机器人同时工作2h 共分拣垃圾3.6吨,3台A 型机器人和2台B 型机器人同时工作5h 共分拣垃圾8吨.(1)1台A 型机器人和1台B 型机器人每小时各分拣垃圾多少吨?(2)某垃圾处理厂计划向机器人公司购进一批A 型和B 型垃圾分拣机器人,这批机器人每小时一共能分拣垃圾20吨.设购买A 型机器人a 台104()5a ≤≤,B 型机器人b 台,请用含a 的代数式表示b ;(3)机器人公司的报价如下表:在(2)的条件下,设购买总费用为w 万元,问如何购买使得总费用w 最少?请说明理由.7.(2020·广东深圳市·中考真题)端午节前夕,某商铺用620元购进50个肉粽和30个蜜枣粽,肉粽的进货单价比蜜枣粽的进货单价多6元.(1)肉粽和蜜枣粽的进货单价分别是多少元?(2)由于粽子畅销,商铺决定再购进这两种粽子共300个,其中肉粽数量不多于蜜枣粽数量的2倍,且每种粽子的进货单价保持不变,若肉粽的销售单价为14元,蜜枣粽的销售单价为6元,试问第二批购进肉粽多少个时,全部售完后,第二批粽子获得利润最大?第二批粽子的最大利润是多少元?8.(2020·黑龙江鹤岗市·中考真题)某农谷生态园响应国家发展有机农业政策,大力种植有机蔬菜,某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值,经调查甲种蔬菜进价每千克m元,售价每千克16元;乙种蔬菜进价每千克n元,售价每千克18元.(1)该超市购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜5千克需要170元;购进甲种蔬菜6千克和乙种蔬菜10千克需要200元.求m,n的值.(2)该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克,且投入资金不少于1160元又不多于1168元,设购买甲种蔬菜x千克,求有哪几种购买方案.(3)在(2)的条件下,超市在获得的利润取得最大值时,决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元,乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院,若要保证捐款后的利润率不低于20%,求a的最大值.9.(2020·湖北荆州市·中考真题)为了抗击新冠疫情,我市甲乙两厂积极生产了某种防疫物资共500吨,乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨,这批防疫物资将运往A地240吨,B地260吨,运费如下:(单位:吨)(1)求甲乙两厂各生产了这批防疫多少吨?(2)设这批物资从乙厂运往A地x吨,全部运往A,B两地的总运费为y元,求y与x之间的函数关系式,并设计使总运费最少的调运方案;<≤且m为整数),按(2)中设计的调运方案运输,总运费不超过5200元,求m的最小值.(3)当每吨运费降低m元,(0m1510.(2020·甘肃天水市·中考真题)天水市某商店准备购进A、B两种商品,A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元,用2000元购进A种商品和用1200元购进B种商品的数量相同.商店将A种商品每件的售价定为80元,B种商品每件的售价定为45元.(1)A 种商品每件的进价和B 种商品每件的进价各是多少元?(2)商店计划用不超过1560元的资金购进A 、B 两种商品共40件,其中A 种商品的数量不低于B 种商品数量的一半,该商店有几种进货方案? (3)“五一”期间,商店开展优惠促销活动,决定对每件A 种商品售价优惠()1020m m <<元,B 种商品售价不变,在(2)的条件下,请设计出m 的不同取值范围内,销售这40件商品获得总利润最大的进货方案.11.(2020·湖北咸宁市·中考真题)5月18日,我市九年级学生安全有序开学复课.为切实做好疫情防控工作,开学前夕,我市某校准备在民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生.已知每盒口罩有100只,每盒水银体温计有10支,每盒口罩价格比每盒水银体温计价格多150元.用1200元购买口罩盒数与用300元购买水银体温计所得盒数相同.(1)求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元?(2)如果给每位学生发放2只口罩和1支水银体温计,且口罩和水银体温计均整盒购买.设购买口罩m 盒(m 为正整数),则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套?请用含m 的代数式表示.(3)在民联药店累计购医用品超过1800元后,超出1800元的部分可享受8折优惠.该校按(2)中的配套方案购买,共支付w 元,求w 关于m 的函数关系式.若该校九年级有900名学生,需要购买口罩和水银体温计各多少盒?所需总费用为多少元?12.(2020·湖北孝感市·中考真题)某电商积极响应市政府号召,在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知1kg乙产品的售价比1kg 甲产品的售价多5元,1kg丙产品的售价是1kg甲产品售价的3倍,用270元购买丙产品的数量是用60元购买乙产品数量的3倍.(1)求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价分别是多少元?(2)电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共40kg,其中乙产品的数量是丙产品数量的2倍,且甲、丙两种产品数量之和不超过乙产品数量的3倍.请你帮忙计算,按此方案购买40kg农产品最少要花费多少元?13.(2020·黑龙江牡丹江市·中考真题)某商场准备购进A,B两种书包,每个A种书包比B种书包的进价少20元,用700元购进A种书包的个数是用450元购进B种书包个数的2倍,A种书包每个标价是90元,B种书包每个标价是130元.请解答下列问题:(1)A,B两种书包每个进价各是多少元?(2)若该商场购进B种书包的个数比A种书包的2倍还多5个,且A种书包不少于18个,购进A,B两种书包的总费用不超过5450元,则该商场有哪几种进货方案?(3)该商场按(2)中获利最大的方案购进书包,在销售前,拿出5个书包赠送给某希望小学,剩余的书包全部售出,其中两种书包共有4个样品,每种样品都打五折,商场仍获利1370元.请直接写出赠送的书包和样品中,A种,B种书包各有几个?14.(2020·湖南怀化市·中考真题)某商店计划采购甲、乙两种不同型号的平板电脑共20台,已知甲型平板电脑进价1600元,售价2000元;乙型平板电脑进价为2500元,售价3000元.(1)设该商店购进甲型平板电脑x台,请写出全部售出后该商店获利y与x之间函数表达式.(2)若该商店采购两种平板电脑的总费用不超过39200元,全部售出所获利润不低于8500元,请设计出所有采购方案,并求出使商店获得最大利润的采购方案及最大利润.15.(2020·四川达州市·中考真题)某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售,有关信息如下表:已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同.(1)求表中a的值;(2)该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张,且餐桌和餐椅的总数量不超过200张.若将一半的餐桌成套(一张餐桌和四张餐椅配成一套)销售,其余餐桌、餐椅以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是多少?16.(2020·四川泸州市·中考真题)某校举办“创建全国文明城市”知识竞赛,计划购买甲、乙两种奖品共30件.其中甲种奖品每件30元,乙种奖品每件20元.(1)如果购买甲、乙两种奖品共花费800元,那么这两种奖品分别购买了多少件?(2)若购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的3倍,如何购买甲、乙两种奖品,使得总花费最少?17.(2020·山东济宁市·中考真题)为加快复工复产,某企业需运输批物资.据调查得知,2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱;5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱.(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资;(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资,每辆大货车一次需费用5000元,每辆小货车一次需费用3000元.若运输物资不少于1500箱,且总费用小于54000元,请你列出所有运输方案,并指出哪种方案所需费用最少,最少费用是多少?18.(2020·山东聊城市·中考真题)今年植树节期间,某景观园林公司购进一批成捆的A,B两种树苗,每捆A种树苗比每捆B 种树苗多10棵,每捆A种树苗和每捆B种树苗的价格分别是630元和600元,而每棵A种树苗和每棵B种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的0.9倍和1.2倍.(1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元?(2)如果购进的这批树苗共5500棵,A种树苗至多购进3500棵,为了使购进的这批树苗的费用最低,应购进A种树苗和B种树苗各多少棵?并求出最低费用.19.(2020·贵州铜仁市·中考真题)某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球,每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%,用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个.(1)问每一个篮球、排球的进价各是多少元?(2)该文体商店计划购进篮球和排球共100个,且排球个数不低于篮球个数的3倍,篮球的售价定为每一个100元,排球的售价定为每一个90元.若该批篮球、排球都能卖完,问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润?最大利润是多少?20.(2020·贵州遵义市·中考真题)为倡导健康环保,自带水杯已成为一种好习惯,某超市销售甲,乙两种型号水杯,进价和售价均保持不变,其中甲种型号水杯进价为25元/个,乙种型号水杯进价为45元/个,下表是前两月两种型号水杯的销售情况:(1)求甲、乙两种型号水杯的售价;(2)第三月超市计划再购进甲、乙两种型号水杯共80个,这批水杯进货的预算成本不超过2600元,且甲种型号水杯最多购进55个,在80个水杯全部售完的情况下设购进甲种号水杯a个,利润为w元,写出w与a的函数关系式,并求出第三月的最大利润.21.(2020·浙江温州市·中考真题)某经销商3月份用18000元购进一批T恤衫售完后,4月份用39000元购进单批相同的T恤衫,数量是3月份的2倍,但每件进价涨了10元.(1)4月份进了这批T恤衫多少件?(2)4月份,经销商将这批T恤衫平均分给甲、乙两家分店销售,每件标价180元.甲店按标价卖出a件以后,剩余的按标价八折全部售出;乙店同样按标价卖出a件,然后将b件按标价九折售出,再将剩余的按标价七折全部售出,结果利润与甲店相同.①用含a的代数式表示b;②已知乙店按标价售出的数量不超过九折售出的数量,请你求出乙店利润的最大值.。
专题14 一次函数中的最值问题(解析版)
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∴
,即
,
∴PB
m.
故答案为:
m.
【点睛】本题考查了垂线段最短的性质,一次函数图象上点的坐标特征,勾股定理的应用,三角形相似
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的判定和性质,熟知垂线段最短是解题的关键.
2.如图,点 P 在第一象限,△ABP 是边长为 2 的等边三角形,当点 A 在 x 轴的正半轴上运动时,点 B 随之
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∴直线 A1B 的函数解析式为 y=1.5x+2, 把 P 点的坐标(n,0)代入解析式可得 n . ∴点 P 的坐标是 , .
【点睛】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题,综合运用了一次函数的知识.
4.如图所示,四边形 OABC 为正方形,边长为 6,点 A、C 分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,点 D 在 OA 上,
【点睛】本题考查轴对称的运用,有很强的综合性,难度较大. 2.如图,在平面直角坐标系中,Rt△OAB 的顶点 A 在 x 轴正半轴上,顶点 B 的坐标为(3, ),点 C 的
第 3页(共 25页)
坐标为( ,0)点 P 的斜边 OB 上一个动点,则 PC+PA 的最小值为( )
A.
B.
C.
D.2
【思路点拨】作 A 关于 OB 的对称点 D,连接 CD 交 OB 于 P,连接 AP,过 D 作 DN⊥OA 于 N,则此时
△ABC,∠BAC=90°.
( 可 能 用 到 的 公 式 : 若 A ( x1 , y1 ), Bx2 , y2 ), ①AB 中 点 坐 标 为 (
,
);
②AB
)
(1)求线段 AB 的长;
(2)过 B、C 两点的直线对应的函数表达式.
最值问题19种题型
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最值问题19种题型最值问题是一个在数学中非常常见的问题类型,它要求我们找出一组数值中的最大值或最小值。
在解决最值问题的过程中,我们需要运用数学知识和技巧来推导和计算,以找到正确的答案。
下面将介绍19种最值问题的题型及其解法。
1.一元一次函数最值问题:给定一个一元一次函数,求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导,然后令导数为零求解。
2.二次函数最值问题:给定一个二次函数,求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导,然后令导数为零求解。
3.分段函数最值问题:给定一个分段函数,求其最大值或最小值。
解法是分别求出每个区间内的最大值或最小值,并比较大小。
4.绝对值函数最值问题:给定一个含有绝对值的函数,求其最大值或最小值。
解法是分别讨论绝对值的取正值和取负值的情况,并比较大小。
5.指数函数最值问题:给定一个指数函数,求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导,然后令导数为零求解。
6.对数函数最值问题:给定一个对数函数,求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导,然后令导数为零求解。
7.三角函数最值问题:给定一个三角函数,求其最大值或最小值。
解法一般是对函数进行求导,然后令导数为零求解。
8.组合函数最值问题:给定一个由多个函数复合而成的函数,求其最大值或最小值。
解法一般是使用复合函数的链式法则进行求导,并令导数为零求解。
9.线性规划最值问题:给定一组线性不等式和线性目标函数,求其满足约束条件的最大值或最小值。
解法一般是使用线性规划的方法进行求解。
10.几何图形最值问题:给定一个几何图形,求其最大面积、最小周长等最值问题。
解法一般是使用几何知识和公式进行计算。
11.统计问题最值问题:给定一组数据,求其中的最大值、最小值或其他统计量。
解法一般是对数据进行排序或使用统计学方法。
12.矩阵最值问题:给定一个矩阵,求其中的最大值、最小值或其他特殊元素。
解法一般是使用矩阵运算和线性代数方法。
13.排列组合最值问题:给定一组元素,求其中的最大值、最小值或特殊组合。
人教版初中数学八下 小专题(十九) 一次函数的应用——最值问题
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(2)该品牌经销商计划新进一批A型车和新款B型车共60辆,且B型车的进货数量 不超过A型车数量的两倍,请问应如何安排两种型号车的进货数量,才能使这批自 行车售出后获利最多? 解:(2)设购进A型车m辆,总利润为w元. 根据题意,得60-m≤2m,解得m≥20. w=(1 600-1 100)m+(2 000-1 400)(60-m)=-100m+36 000. ∵-100<0,∴w随着m的增大而减小, ∴当m=20时,w取得最大值,此时购进A型车20辆,B型车40辆. 答:购进A型车20辆,B型车40辆时,才能使这批自行车售出后获利最多.
2.某品牌经销商经营的A型车去年销售总额为5万元,今年每辆售价比去年降低400
元,若卖出的数量相同,销售总额将比去年减少20%.
(注:下表是A,B两种型号车今年的进货价和销售价)
型号
A型车
B型车
进货价
1 100元/辆
1 400元/辆
销售价
x元/辆
2 000元/辆
(1)设今年A型车每辆销售价为x元,求x的值;
65
20
成套售价/ (元·套-1)
78
已知该家纺专卖店计划购进此款枕芯和枕套的总数量不超过70个,且枕芯的数量 比枕套数量的2倍多10个.若将一半的枕套配上枕芯成套(一个枕套配一个枕芯) 销售,其余均以零售方式销售,请问怎样进货,才能获得最大利润?最大利润是 多少元?
答:当购进枕套20个,枕芯50个时,才能获得最大利润,最大利润是1 030元.
小专题(十九) 一次函数的应 用——最值问题
1.某小区对广场进行改造,在广场周边种植景观树,通过市场调查,3棵甲景观树与 1棵乙景观树的种植费用为570元;1棵甲景观树与2棵乙景观树的种植费用为390 元. (1)甲、乙两种景观树每棵的种植费用分别为多少元?
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初中数学一次函数的最值问题
一次函数)0k (b kx y ≠+=在自变量x 允许取值范围(即全体实数)内,它是没有最大或最小值的。
但是,如果给定了自变量的某一个取值范围(全体实数的一部分),那么y=kx+b 的最大值或最小值就有可能存在。
一般地,有下面的结论:
(1)如果m x n ≤≤,那么b kx y +=有最大值或最小值(如图1):当0k >时,b km y +=最大,b kn y +=最小;当0k <时,b kn y +=最大,b km y +=最小。
图1
(2)如果n x ≥,那么b kx y +=有最小值或最大值(如图2):当0k >时,b kn y +=最小;当0k <时,b kn y +=最大。
图2
(3)如果m x ≤,那么b kx y +=有最大值或最小值(如图3)当0k >时,b km y +=最大;当0k <,b km y +=最小。
图3
(4)如果m x n <<,那么b kx y +=既没有最大值也没有最小值。
凡是用一次函数式来表达实际问题,求其最值时,都需要用到边界特性,像物质的运输与供应、生产任务的分配和订货、邮件的投递及空袋的调运等。
下面是一道利用一次函数的最小值的决策问题,供同学们参考:
某送奶公司计划在三栋楼之间建一个奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A 楼,B 楼,C 楼,其中A 楼与B 楼之间的距离为40m ,B 楼与C 楼之间的距离为60m ,已知A 楼每天有20人取奶,B 楼每天有70人取奶,C 楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站
方案:
方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小;
方案二:让每天A 楼与C 楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B 楼所有取奶的人到奶站距离之和。
(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?
(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?
(3)在方案二的情况下,若A 楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),那么取奶站将离B 楼越来越远,还是越来越近?请说明理由。
解:(1)设取奶站建在距A 楼xm 处,所有取奶的人到奶站的距离总和为ym.。
①当40x 0≤≤时,
8800
x 110)x 100(60)x 40(70x 20y +⨯-=-+-+= ∴当x=40时,y 的最小值为4400。
②当100x 40≤<时,
)x 100(60)40x (70x 20y -+-+=
3200x 30+=,
此时y 的值大于4400。
因此按方案一建奶站,取奶站应建在B 楼处。
(2)设取奶站建在距A 楼xm 处。
①当40x 0≤≤时,
)x 40(70)x 100(60x 20-=-+, 解得03
320x <-
=(舍去)。
②当100x 40≤<时,
)40x (70)x 100(60x 20-=-+ 解得x=80,
因此按方案二建奶站,取奶站应建在距A 楼80m 处。
(3)设A 楼取奶人数增加a (22a 0≤≤)人,
①当40x 0≤≤时,
)x 40(70)x 100(60x )a 20(-=-++, 解得30
a 3200x +-=(舍去)。
②当100x 40≤<时,
)40x (70)x 100(60x )a 20(-=-++, 解得a
1108800x -=,当a 增大时,x 增大。
∴当A 楼取奶的人数增加时,按照方案二建奶站,取奶站仍建在B 、C 两楼之间,且随着人数的增加,离B 楼越来越远。