图与网络分析
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运筹学8图与网络分析
e3 。在剩下的图中，再取一个圈
定理8.7充分性的证明，提供了一个 寻找连通图支撑树的方法叫做“破圈法”。 就是从图中任取一个圈，去掉一条边。再 对剩下的图重复以上步骤，直到不含圈时 为止，这样就得到一个支撑树。
例8.4 用破圈法求出图8-11的一个支
撑树。
v2
e1
e7 e4
v1
e3 v4
e8
v5
e2
e5
v3
e6
图8-11
取一个圈(v1,v2,v3,v1)，在一个圈中去掉边
3
4
初等链：链中所含的 点均不相同, 也称通 路；
5
6
为闭链或回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点 均
不相同的圈；
连通图：图中任意两点之间均
至少有一条通路，否则 v1
v4 v5 v8
称为不连通图。
v2
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 ,
图的连通性：
简单链：链中所含的 边均不相同；
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否 则称
1
2
链：由两两相邻的点及其相 关联的边构成的点边序列。 如:v0 ,e1 ,v1 ,e2 ,v2，e3 ,v3 ,…,vn1 , en ， vn ; v0 ，vn 分别为链的起点和终点 。记 作（ v0 ,v1 , v2， ,v3 , …, vn-1 , vn ）
v5
v7
(v5
,v1v6),(v6
(v4 ,v6),(v5 ,v7)}
,v3),(v5
v6
,v4),
v2
v4
图8.5
下面介绍一些常用的名词：
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
图与网络分析
end;
例 1 中 1 到 7 点的最短路是 1-2-5-7
查伴随矩阵 E 的第一行
1234567
10020255 19
hw
小结
• 最短路有广泛的应用 (P176案例) • 最短路的多种形式：无向图，有向图无循环圈，有向
图，混合图，无负边权，有负边权，有负回路，k-最 短路等 • 当存在负权值边时，Floyd算法比Dijkstra算法效率高， 且程序极简单。但Dijkstra算法灵活 • 若图是前向的，则Dijkstra算法也可以求两点间最长路 • 一般情况下，两点间最长路是 NP-complete，但最短 路是 P算法 • 两点间k-最短路：分为边不相交的和边相交的 求边不相交的k-最短路非常容易：先求最短路，将该 最短路中的边从网路删去，再用Dijkstra算法可求次最 短路，以此类推
hw
6.1.4 链，圈，路径，回路，连通图
• 走过图中所有边且每条边仅走一次的闭行走称为欧拉 回路
定理 2：偶图一定存在欧拉回路(一笔画定理) 6.1.4 连通图，子图，成分
• 设有两个图 G1(V1, E1), G2(V2, E2), 若V2 V1, E2 E1， 则 G2 是 G1 的子图
• 无向图中，若任意两点间至少存在一条路径，则称为 连通图(connected graph)，否则为非连通图( disconnected graph)；非连通图中的每个连通子图称为成分 (component)
线表示实体间的关联
A
A D
C
C
D
B
B
2
hw
6.1 图与网络的基本概念
6.1.1图与网络 • 节点 (Vertex)
– 物理实体、事物、概念 – 一般用 vi 表示
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
图与网络分析(GraphTheoryandNetworkAnalysis)
e9
e5 {v1 , v3 } e6 {v3 , v5 }
e7 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 }
e9 {v6 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e1
e2
v2
e5 e3 e4 v4
e8
e6
v5 e7 v3
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无向图，记作
X={1}, w1=0
p1=0
2
6
1
2
3
1
10
p4=1
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
min {c12,c14,c16}=min {0+2,0+1,0+3}=min {2,1,3}=1 X={1,4}, p4=1
（9） T (v6 ) min[ T (v6 ), P(v5 ) l56 ] min[ , 5 2] 7 （10） P(v6 ) 7
反向追踪得v1到v6的最短路为：v1 v2 v5 v6
求从1到8的最短路径
2
6
1
2
3
1
10
5
9
3
4
7
5
6
5
2
3
4
6
7
4
8 8
v2
v5
v2
v4
v3
v4
v3
一个图G 有生成树的充要条件是G 是连通图。
用破圈法求出下图的一个生成树。
v2
e1 v1
e4 e7 e3 v4 e8
第5章图与网络分析163页PPT
bi j 0wi j
(vi ,vj)E (vi ,vj)E
例6.4 下图所表示的图可以构造权矩阵B如下:
v1 4
v2
36
72
v6 4
3
3
v3
5
2
v5
v4
v1 0 4 0 6 4 3
v
2
4
0
2
7
0
0
B
v3
0
2
0
5
0
3
v4 6 7 5 0 2 0
v
5
4
17
v4
树与图的最小树
v1 23 v6
20
v2
1
4
v7
9
15 v3
28 25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7
9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23 v6
1
4
v7 9
15 v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
v2
23
1
4
v7
v6
9
v3
28
25
16 3
v5
17
v4
v1
②
15
9
7 ④ 14
⑤
①
10
19
20
6 ⑥
③
25
图的矩阵描述： 邻接矩阵、关联矩阵、权矩阵等。
1. 邻接矩阵 对于图G=（V，E），| V |=n， | E |=m，有nn阶方矩阵
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
《图与网络分析》课件
网络的定义与分类
总结词
网络的定义与分类是理解图与网络分析的关键。
详细描述
网络是由节点和边构成的集合，用于描述系统中各个组成部分之间的关系。根据 不同的分类标准，网络可以分为多种类型，如无向网络和有向网络、单层网络和 多层网络等。
图与网络的应用领域
总结词
图与网络的应用领域广泛，包括计算机科学、交通运输、生物信息学等。
从任意一个顶点开始，每次选择一条与已选顶点集合相连的边中权 重最小的边，将其加入最小生成树中。
最短路径算法
Dijkstra算法
01
用于求解图中从一个顶点到其他所有顶点的最短路径。
Bellman-Ford算法
02
用于求解图中所有顶点之间的最短路径。
Floyd-Warshall算法
03
用于求解图中所有顶点之间的最短路径，时间复杂度较低。
网络流算法
01
Ford-Fulkerson算法
用于求解最大网络流问题，通过不断寻找增广路径来增加网络的流量。
02
Dinic算法
基于层次搜索和增广路径的算法，用于求解最大网络流问题。
03
Edmonds-Karp算法
基于广度优先搜索的算法，用于求解最大网络流问题。
03
网络分析与应用
网络中心性分析
节点中心性
社区结构特征
包括社区大小、社区密度、社区连通性等。
社区结构分析的应用
在社交网络中识别用户群体，在组织结构中划分部门和团队等。
网络动态分析
网络动态模型
常见的网络动态模型有随机游走、马尔科夫链和自组 织映射等。
网络动态特征
包括节点的活跃度、网络的演化规律和网络的鲁棒性 等。
网络动态分析的应用
图与网络分析-(共34张PPT)
4、环：某一条孤起点=终点，称为环。 5、基础图：给定一个有向图D=(V,A) ，从D中去掉所有
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
弧上的箭头，所得到的无向图。记之为G(D)。
第九页，共34页。
6、链：设(vi1,ai1,vi2,ai2,…,vik-1,aik-1,vik)是D中的
一个点弧交错序列，如果这个序列在基础图G(D)中
所对应的点边序列是一条链，则称这个点弧交错序列
v(f) fij–fji= 0
–v(f)
i=s is，t
i=t
且使v(f)达到最大。
第二十三页，共34页。
3、增广链 给定可行流f={fij}，使fij=cij的弧称为饱和弧，使
fij<cij的弧称为非饱和弧，把fij=0的弧称为零流弧， fij>0
的弧称为非零流弧。
若是网络中连接发点vs和收点vt的一条链，定义链
22
21
44
(0，Vvs)1
89
62
31
32 63
45
24
47
(44,V1) v4
37 27
(78,V3)
v6
32
v3 (31, V1) 34
第十九页，共34页。
v5 (62,V1)
第三节 最大流问题
如下是一运输网络，弧上的数字表示每条弧上 的容量，问：该网络的最大流量是多少？
4 vs
3
v1
3
1 2
2
v2
v3 3
2
vt
4 v4
第二十页，共34页。
一、基本概念和基本定理
1、网络与流
定义1：给定一个有向图D=(V,A),在V中有一个发点 vs和一收点vt，其余的点为中间点。对于每一条弧 (vi,vj),对应有一个c(vi,vj)0,(cij)称为弧的容量。这 样的有向图称为网络。记为D=(V,A,C)。
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
第六章 图与网络分析
v1 1 v8 5 v7 3 4 5 2 v6 2 4 2 v2 1 3 v0 4 4 v5 1 v3 1 v4 5
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
28
第三节 最短通路问题
29
一、最短通路问题
最短通路问题：就是从给定的网络图中找出 最短通路问题： 任意两点之间权重之和最小的一条路。 权重之和最小的一条路 任意两点之间权重之和最小的一条路。
8
例：图
e1
v1 e2 e4 e5 e3 e6 v3 v5
9
v4
v2
6、子图：图G1=（V1，E1）和图 2=（V2， 、子图： 和图G （ （ E2），如果 V1 ⊆ V2 和 E1 ⊆ E 2 ，称G1是G2的 ），如果 一个子图。 一个子图。 V 的支撑子图。 当V1= V2，1 ⊂ V2 时，称G1是G2的支撑子图。
32
①令P(vs)=0，T(vi)=+∞，i=(1,2,…,n-1,n) ， ， 计算T(vj)=min[T(vj), P(vi)+ ωij] ②计算 比较所有具有T标号的点 把最小者改为P标 标号的点， ③比较所有具有 标号的点，把最小者改为 标 号，即： P(vi)=min[T(vi)] ；当存在两个以上 最小者时，可同时改为P标号 标号， 最小者时，可同时改为 标号，若全部点均 标号则停止计算。 为P标号则停止计算。 标号则停止计算
39
2、流量：弧（vi,vj）实际通过量或安排的通 、流量： 过量，记为f 过量，记为 ij。 3、流：弧集E上所有边的流量所组成的集合， 、 上所有边的流量所组成的集合， 弧集 上所有边的流量所组成的集合 记为f={fij}。 记为 。
40
v1 (8,8)
(9,4)
v3 (5,5) (6,1) (10,8) vt
网络数学实验6图与网络分析-最短路问题
实验六：图与网络分析-最短路问题
一、实验目的：掌握不同问题的输入方法，求解网络模型，观察求解步骤，显示并读出结果。
二、内容和要求：用WinQSB软件求解最短路问题，并对结果进行简单分析。
例：求下图的最短路。
三、操作步骤：
1．“开始”菜单→“winQSB”→“Network Modeling”（网络模型）。
2．建立新问题：File→New Problem，出现下面界面。
选择Shortest Path Problem、Minimization、输入问题标题、节点的个数，然后单击“OK”。
3．修改节点名称：菜单“Edit”→“Node Names”，编辑完点“OK”，如下图。
4．按下图输入图的权矩阵，本例是无向图，每一条边必须输入两次。
5．菜单“Solve and Analyze”→“Solve the Problem”，出现以下对话框，
6．然后选择起点v1和终点v10，点“Solve”按键，出现下图：
从图中可以看到v1到v10的最短路径为v1→v3→v7→v10，总长为6，另外从v1到其他各点的最短距离也都计算了出来。
7．实例求解：有九个城市v1，v2…，v9，其公路网如下图，弧旁数字是该段公路的长度，有一批货物从v1运到v9，试用Dijkstra方法求出走哪条路最短？
自己先用标号法求出最短路，然后用winWSB软件进行验证。
8．思考题：教育部门打算在某新建城区建一所学校，让附近七个居民区的学生就近入学。
七个居民区之间的道路如下图所示，学校应建在哪个居民区，才能使大学都方便？(图中距离单位：百米)。
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f
（1 ） 工
序
交叉工序 —— 相互交替进行的工序。一般要借助虚工 序来表述。 所谓虚工序，是指不消耗人力、物质，也不需要时间的 一种虚拟工序。它只表示前后两个工序之间的逻辑关系。 一般用虚箭线表示:
1 A1 2 A2 A3 交叉工序借助于 虚工序来表述 B3 5
B1
3
B2
4
虚工序
回路
1
a 4 b 6 2
1 2
c e
4
g d
6
h
8
b
3
f
5
i
7
（1 ）
编制网络图的基本规则
b) 网络图只能有一个始点事项和一个终点事项（图的 封闭性）。如图中有两个终点事项⑦和⑧，就是错 误的。一般在实际中应将没有紧前工序的所有事项 合并起来，构成网络的始点事项，把没有紧后工序 的所有事项合并起来，构成网络的终点事项。 a
a
3 4 b 6 0
c 2
1
（1 ） 工
序
虚工序问题
——仅用于表明平行工序间的逻辑关系； ——虚工序越少越好。
判断虚工序是否必要： —— 虚工序箭头箭尾连接的两道工序是否 源于同一节点； —— 虚工序箭头箭尾连接的两道工序不源 于同一节点，且不能表示共同完工。
（2 ） 事
项
前后工序的交接点称为事项，常用“〇”加数字表 示，数字主要是标号作用，如图中标号从1至6，代表有6 个事项，有时也可用来表示工序，如图的工序 e = ②→ ⑤。根据事项之间的相互关系，也可分为前置事项，后 继事项、起（始）点事项和终点事项。
、物力、财力），都必须编制一个科学的工作组织计划来
有效地组织、调度与控制该项活动的进程，以实现最佳的 效应和效益。而这种为编制科学的组织计划的有效方法统
称为网络计划法。
二、网络图的组成与编制
1. 网络图的组成
2. 网络图的编制
（1）编制网络图的基本规则 （2）绘制网络图的步骤
1. 网络图的组成
（1） 工序 工序泛指一切需要消耗人力、物质或时间的具体活动 过程，用箭线表示。常用 a 、 b 、 c 等表示工序，如图是由 工序a、b、c、d、e、f、g，7道工序组成的网络图，工序 旁边的数表示完成该工序需要的时间。
2 5 e d 3 3 5 2 g 1 6
2
1
a
b
3
2 c
4
f
（1 ） 工
序
紧前工序——紧接在某工序之前的工序，如图中的d、 c是f的紧前工序。 紧后工序——紧接在某工序之后的工序。如图中的e、 d均是a的紧后工序。 平行工序——可以同时开始进行的各工序。如图中的e 和d是平行工序（a和b）。 2 2 1 a b 3 3 d 2 c 5 e 3 4 5 2 g 1 6
（3 ） 线
路
线路 ( 或路线 ) 指网络图中从始点到终点的一条道
路（沿着箭头的方向），如图中共有三条线路。 a→e→g 即：①→②→⑤→⑥ a→d→f 即：①→②→④→⑥ a→c→f 即：①→③→④→⑥ 2 2 1 a b 3 3 d 2 c 5 e 3 4 5 2 g 1 6
f
（3 ） 线
路
举例
甲、乙两工程师从早上六时起床到上班前有一系列活 动要做。对于同样的活动过程，有人忙乱不堪，甚至迟到 ，有人则又快又好，关键在于一个科学的活动计划。
甲
穿衣 出门上班
刷牙 整理
洗脸
做稀饭 收拾房间 整理
热馒头 吃早饭 吃 早 饭
乙
穿衣
洗脸刷牙 做稀饭
收拾房 间 热馒头
网络计划法定义
对于任何一项生产制造、科学实验、工程实施、军事作 战等活动，为了充分利用有限的时间、空间与资源（人力
2 2 1 a b 3 3 d 2 c 5 e 3 4 5 2 g 1 6
f
（2 ） 事
项
前置事项——指某一工序箭尾所连接的事项，它表示一个工 序的开始，如图中 ②和③均是④的前置事项，或分别是d、 c两工序的前置事项。 后继事项——指某一工序箭头所指的事项，它表示一个工序 的结束。 2 2 1 a b 3 3 d 2 c 5 e 3 4 5 2 g 1 6
2 2 1 a b 3 3 d 2 c
5 e3Βιβλιοθήκη 52 g 1 6 f
4
2. 网络图的编制
（1） 编制网络图的基本规则
a)网络图中不允许出现循环回路 在网络图中，如果从某个事项出发，顺某一线路能到原 出发点，就称为循环回路。例如图中的 ② → ④→ ⑤ →②,就是一个循环回路。它表示的逻辑关系是错误 的。会出现工程永远不能完成的现象。 a
第五讲 计划（下）
☞ 概述 ☞ 网络图的组成与编制 ☞ 网络图的参数与计算 ☞ 网络图的优化与调整
一、概述 (一) 网络计划技术的发展
1. 基础来源于图论
2. 前身是甘特图 3. 50－60年代在美国取得成效
4. 62年前苏联列入国民经济计划中
5. 1962年进入我国
1957年，杜邦公司将网络计划法法应用于设备维修，使 维修停工时间由125小时锐减为7小时； 1958年，在北极星导弹设计中，应用网络计划法，将项 目任务之间的关系模型化，使设计完成时间缩短了2年。
线路长 它是指线路上各工序所延续的时间之和，如上面 的三条线路长分别是： 2+5+2=9 ， 2+3+1=6 ， 3+2+1=6 。 一个网络图中一般有很多条线路，称其中最长的线路为 关键线路。它决定着整个计划任务的总工期。网络图中 一般用粗线或双线表示。关键线路上的工序和事项分别 被称为关键工序和关键事项.
f
（2 ） 事
项
始点事项——整个网络图开始的事项，即没有箭头进入的事 项，也称为网络始点，如图中的①。 终点事项——网络图的最后一个事项，即没有箭尾出去的事 项，也称网络的终点。如图中的⑥。 介于始点事项和终点事项之间的所有事项均称为中间事 项，它们所代表的意义都是双重的：既表示前一项工序的结 束，又表示后一项工序的开始。 5 2 5 e 2 2 g a 3 1 6 d 3 1 b f 2 4 3 c
1 2
c
e
4
g d
6
h i
8
b
3
f
5
7
i
（1 ）
编制网络图的基本规则
c) 任何两事项之间只能由一条箭线连接，否则 不利于分析、计算，甚至无法解决问题。若出现
并行作业可引入虚工序.
虚工序
1
a 4 b 6 2
a 1 4
3 0 b
c
2
6
（1 ）
编制网络图的基本规则
d) 注意交叉工序的表示，并尽量避免箭线的交叉. 如一项工程由挖沟和埋管两个工序组成，我们 不必把沟全部挖好，再去埋管，可以挖好一段，在 继续挖下一段时，同时给前一段埋管子,接下去交 替进行。这时可把挖沟A分成三段a1、a2、a3，埋管 B分成三段b1、b2、b3，用下面网络图表示。