乘法公式 完全平方公式
完全平方的四个公式
完全平方的公式
数学完全平方公式：
(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2-2ab+b2=(a-b)2
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点
①项数：三项
②有两项是两个数的的`平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
三项式的完全平方公式口诀
我们要找出三项式的完全平方公式口诀。
首先，我们需要理解什么是完全平方公式。
一个三项式是完全平方当且仅当它可以表示为两个相同的数的乘积。
例如，a^2 + 2ab + b^2 是 (a+b)^2 的展开。
三项式的完全平方公式可以表示为：
a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2
为了方便记忆，我们可以使用一个口诀：
'头平方，尾平方，两倍头尾中间放'。
这个口诀的意思是：
1) '头' 指的是三项式的前两项的平方和。
2) '尾' 指的是最后一项的平方。
3) '两倍头尾中间放' 指的是中间的两倍项，它等于头和尾的乘积的两倍。
所以，三项式的完全平方公式口诀是：头平方，尾平方，两倍头尾中间放。
完全平方公式的应用
完全平方公式是多项式乘法中非常重要的一个公式。
掌握其变形特点并灵活运用，可以巧妙地解决很多问题。
一. 完全平方公式常见的变形有a 2+b 2=（a+b ）2-2ab ，a 2+b 2=（a-b ）2+2ab ，（a+b ）2-（a-b ）2=4ab ，a 2+b 2+c 2=（a+b+c ）2-2（ab+ac+bc ）二. 乘法公式变形的应用例1： 已知：x 2+y 2+4x-6y+13=0，x 、y 均为有理数，求x y 的值。
分析：逆用完全乘方公式，将x 2+y 2+4x-6y+13化为两个完全平方式的和，利用完全平方式的非负性求出x 与y 的值即可。
解：∵x 2+y 2+4x-6y+13=0，（x 2+4x+4）+（y 2-6y+9）=0，即（x+2）2+（y-3）2=0。
∴x+2=0，y=3=0。
即x=-2，y=3。
∴x y =（-2）3=-8。
例已知，试求的值。
21612242a a a a a a ++=++分析：本题巧妙地利用a a a aa a a a a a a a aa a a a a a a a a 222222422222112160161111561111111156136113311+=+-++=≠=++=++∴+=-∴++=++=+-=--=-=-()()()进行运算。
解：由，可知，因此可得，。
例3 已知：a+b=8，ab=16+c 2，求（a-b+c ）2002的值。
分析：由已知条件无法直接求得（a-b+c ）2002的值，可利用（a-b ）2=（a+b ）2-4ab 确定a-b 与c 的关系，再计算（a-b+c ）2002的值。
解：（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=82-4（16+c 2）=-4c 2。
即：（a-b ）2+4c 2=0。
∴a-b=0，c=0。
∴（a-b+c ）2002=0。
例4 已知：a 、b 、c 、d 为正有理数，且满足a 4+b 4+C 4+D 4=4abcd 。
乘法公式(完全平方公式)
04 完全平方公式应用举例
一元二次方程求解
完全平方公式可以帮助我们将一 元二次方程化为完全平方的形式，
从而更容易地求解。
例如，对于方程 $x^2 + 2x - 3 = 0$，我们可以将其化为
$(x+1)^2 - 4 = 0$，进而求解 得到 $x = -3$ 或 $x = 1$。
通过完全平方公式，我们还可以 判断一元二次方程是否有实数解，
03
利用完全平方公式解二元一次方程组，如 $begin{cases} x + y = 5 xy = 6 end{cases}$ 可化为 $(x - 3)(y - 2) = 0$，解得 $begin{cases} x = 3 y = 2 end{cases}$ 或 $begin{cases} x = 2 y = 3 end{cases}$。
立方和公式
$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$。
立方差公式
$(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$。
高阶乘法公式的应用
在处理涉及高次幂的代数问题时，高阶乘法公式能够提供简化的计算方法。同时，在解决一些复杂的几 何问题时，高阶乘法公式也能发挥重要作用。
完全平方公式的应用
在解决涉及一个二项式与自身相乘的问题时，可以直接套用 完全平方公式进行计算，如求解平方差、计算方差等。同时 ，在解决一些最优化问题时，完全平方公式也可以用于构造 目标函数或约束条件。
06 总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
1 2
完全平方公式的基本形式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ 和 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
乘法公式
乘法公式【例1】 计算：⑴ ()()22552516a a a b +-=-；⑵ ()22121453259x y x y ⎛⎫-=-⎪⎝⎭； ⑶ 2211()()22x y x y -+；⑷ (41)(41)a a ---+；⑸ ()()m n m n a b a b +-基础知识示例剖析常用公式(一)：⑴平方差公式：()()22a b a b a b +-=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b ±=±+()()2224x x x +-=- ()()()()()()22x y x y x y x y x y x y ++-+--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=+--()2222m n m mn n -=-+常见变形：()()224a b a b ab +--=()()()22222a b a b a b ++-=+()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+2221()2ab a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 2221()2a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 221()()4a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ 公式的意义：乘法公式是在学习了单项式乘法、多项式乘法之后来进行学习的．一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳和总结；另一方面，乘法公式的推导是初中代数中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的运算，同时培养学生的求简意识．公式的特征：⑴公式中的a ，b 既可以表示单项式，也可以表示多项式；⑵乘法公式既可以单独使用，也可以同时使用；⑶这些公式既可以正用，也可以逆用，因此在解题时应灵活地运用公式，以计算简捷为宜．模块一 平方差公式【例2】 计算：⑴ 2(3)(3)(9)x x x +-+；⑵ 2244()()()()a b a b a b a b -+++；⑶ (23)(45)(23)(54)a b a b a b b a ++--【例3】 ⑴ 如果()()22122163a b a b +++-=，那么a b +的值是⑵ 已知2a b +=，则224a b b -+的值是_______【例4】 ⑴ 计算：()()()()2432212121211+++++⑵ 计算：2111111111124162562n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⑶ 计算：2481632(31)(31)(31)(31)(31)(31)++++++【备选】求123517.....(21)n -⨯⨯⨯⨯+的值．【例5】 计算：9621-有可能被60到70之间的两个整数整除，试求出这两个数．【例6】 计算：⑴2(4)m n +；⑵21()2x -；⑶2(32)x y -；⑷21(4)4y --；⑸2(811)a b -+；⑹2(23)x y --【例7】 计算：⑴22(2)(2)x x +-；⑵(59)(59)x y x y +--+；⑶()()a b c a b c ++--【例8】 ⑴ 若把代数式222x x +-化为2()x m k ++的形式，其中m k ，为常数，则m k +的值为（ ）A ．2-B ．4-C ． 2D ．4 ⑵ 如果多项式219x kx ++是一个完全平方式，那么k 的值为⑶ 若243(2)25x a x --+是完全平方式，求a 的值． ⑷ 如果2249x axy y ++是完全平方式，试求a 的值．【例9】 若整式241x Q ++是完全平方式，请你写一个满足条件的单项式Q 是 【巩固】 若式子294x M ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的M ．【例10】 ⑴ 若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵ 若a ，b 为有理数，且2222480a ab b a -+++=，则ab = ．模块二 完全平方公式【例1】 ⑴ 已知3a b +=，12ab =，求下列式的值：22a ab b -+= ；2()a b -=⑵ 已知实数a 、b 满足2()1a b +=，2()25a b -=，求22a b ab ++的值．【例2】 ⑴ 若22(2)(3)13x x ++-=，则(2)(3)x x +-= ．⑵ 已知(2012)(2010)2011a a --=，那么22(2012)(2010)a a -+-= ．【例3】 ⑴ 已知15a a+=，则4221a a a ++=_________．⑵ 已知：2217a a +=，求1a a+的值．【例4】 已知：2710x x -+=，求⑴ 1x x +；⑵ 221x x +；⑶ 441x x+的值．【备选】若271xx x =-+，则2421x x x ++=__________．模块三 公式的应用能力提升知识模块一 平方差公式 课后演练【演练1】 ⑴ 计算：()()()()()()x y x y y z y z z x z x +-++-++-=________；⑵ 计算 ()()2211ab ab +--=________；⑶ 已知1a b -= ，221a b -=- ，则a b +=_________； ⑷ 已知()()118a b a b +++-=，则a b +=_________【演练2】 已知2431-可能被20至30之间的两个整数整除，求这两个整数．知识模块二 完全平方公式 课后演练【演练3】 计算：⑴222(30.5)a b ab +；⑵2(1113)m n a b -；⑶2(25)(52)(25)x x x ----【演练4】 计算：⑴(22)(22)x y y x -+-+；⑵()()22a b c b c a --+-【演练5】 如果多项式24x kx -+是一个完全平方式，那么k 的值为【演练6】 ⑴ 已知222246140x y z x y z ++-+-+=，求x y z ++的值．⑵ 证明：当a ，b 取任意有理数时，多项式222611a b a b +-++的值总是正数．【演练7】 已知12020a x =+，11920b x =+，12120c x =+， 求代数式222a b c ab bc ca ++---的值．【演练8】 已知：2213a a +=，求1a a-的值．。
基本乘法公式
基本乘法公式
重点：1. 掌握基本的乘法公式(平方差公式、完全平方公式)，并能灵活运用。
2. 熟练掌握配方思想，灵活解决相关问题除法问题
难点：灵活运用基本的乘法公式.
一，基本乘法公式
基本知识点：
1.两个数的和乘以这两数的差，积为它们的平方差，即：(a+b)(a-b) =
2.完全平方公式：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们积的两倍即：,
例题：
1.计算：(-5)( -5), (-)( ), (-5)(-5)
()(), , ,
2.计算： – , ,
3.计算：(a+b+c)(a-b-c), () (), (2) (-2)
4.计算：(2+1)()()…() + 1
二、配方思想
解形如的二次三项式的一般步骤
(1)降幂排列，首项为正
(2)提取二次项因数，保留常数项
(3)添加一次项系数一半的平方
例题：
1.,
2.当x为何值时，代数式有最小值，最小值是多少？
3.当x为何值时，代数式-有最大值，最大值是多少？
4.已知, 求a+b
5.当x,y为何值时，代数式有最小值，最小值为多少？
课前测：
1.计算(12) x (6) x (15) ; -2(2+ 3)
2.计算(x+y)(x-2y); (4)( 2)
3.计算(-) x x (-27a) ;
4.计算÷
5.若(x-2)(x+a) = , 求a+b
拓展：
6可以被2x-3整除，求a。
北师大版七年级下册数学《第一章 整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解!
北师大版七年级下册数学《第一章整式的乘除--完全平方公式》知识点讲解！1.完全平方公式：(a+b)2=a2+b2+2ab (a-b)2=a2+b2-2ab两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。
叫做完全平方公式．为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
2.派生公式：(a+b)2-2ab=a2+b2(a-b)2+2ab=a2+b2(a-b)2+(a+b)2=2(a2+b2) (a+b)2-(a-b)2=4ab考点解析完全平方公式是进行代数运算与变形的重要知识基础。
该知识点重点是对完全平方公式的熟记及应用，难点是对公式特征的理解(如对公式中积的一次项系数的理解)。
两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍，叫做完全平方公式。
为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式。
理解公式左右边特征(一)学会推导公式(这两个公式是根据乘方的意义与多项式的乘法法则得到的)，真实体会随意“创造”的不正确性;(二)学会用文字概述公式的含义：两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.都叫做完全平方公式.为了区别，我们把前者叫做两数和的完全平方公式，后者叫做两数差的完全平方公式.(三)这两个公式的结构特征是：1、左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上或减去这两项乘积的2倍;2、左边两项符号相同时，右边各项全用“+”号连接;左边两项符号相反时，右边平方项用“+”号连接后再“-”两项乘积的2倍(注：这里说项时未包括其符号在内);3、公式中的字母可以表示具体的数(正数或负数)，也可以表示单项式或多项式等数学式.(四)两个公式的统一：因为所以两个公式实际上可以看成一个公式：两数和的完全平方公式。
这样可以既可以防止公式的混淆又杜绝了运算符号的出错。
乘法公式完全平方公式人教版八年级数学上册
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
新课学习a2+2ab+b2a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
知识点.完全平方公式a2+2ab+b2a2-2ab+b2
x2+2×x×2+22
x2+4x+4
a2-2×a×4+42
a2-8a+16
x2+2×x×2+22x2+4x+4a2-2×a×4+42
x2+2×x×1+12
x2+2x+1
a2-2×a×5+52
a2-10a+25
x2+2×x×1+12x2+2x+1a2-2×a×5+52a
4x2-4x+1
4x2+4xy+y2
4x2-4x+1 4x2+4xy+y2 乘法公式——完全平方
4x2-12xy+9y2
4x2+20xy+25y2
4x2-12xy+9y24x2+20xy+25y2乘法公式—
16x2+8xy+y2
16x2-24xy+9y2
16x2+8xy+y216x2-24xy+9y2 乘法公式—
4a2+12ab+9b2
4a2+12ab+9b2 乘法公式——完全平方公式人教版八年
x2-2x+1
完全平方公式
完全平方公式知识要点1．完全平方公式的推导： ①两数的平方：2)(b a +=))((b a b a ++=22b ab ab a +++（多项式乘法法则）=222b ab a ++（合并同类项） ②两数差的平方：2)(b a -=))((b a b a --=22b ab ab a +--（多项式乘法法则）=222b ab a +-（合并同类项） 2．完全平方公式：①2)(b a +=222b ab a ++ ②2)(b a -=222b ab a +-这就是说，两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或者减去）它们的积的2倍，这两个公式叫做乘法的完全平方公式．3．完全平方公式的结构特征：公式的左边是一个二项式的平方；右边是三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，即另一项是左边二项式中两项乘积的2倍． 4．知识的综合运用：①改变符号运用公式计算：如2)(b a --=[]2)(b a +-=2)(b a + ②根据加减法的运算律变形运用公式：如2)(b a +-=2)(a b - ③利用完全平方公式把代数式变形：如ab b a b a 2)(222-+=+=2)(b a -+ab 2；2)(b a -=ab b a 4)(2-+等④推广：[]22)()(c b a c b a ++=++=22)(2)(c c b a b a +++++=222222c bc ac b ab a +++++=bc ac ab c b a 222222+++++典型例题例1． 判断下列各式的计算是否正确，如果错了，指出错的地方，并把它改正过来． ①222)())((b a b a b a b a +=+=++ ②222)(b a b a -=-③2)3(y x -=2293y xy x +- ④222244)2()2(b ab a b a b a ---=+-=--⑤212)1(22++=+xx x x ⑥22241025)25(y xy x y x +-=--例2．计算： ①2)3(b a + ②2)3(y x +- ③2)(n m --例3．利用完全平方公式进行计算： ①2201 ②299例4．要使4142++mx x 成为一个两数和的完全平方式，则（ ）A 、2-=mB 、2=mC 、1=mD 、1-=m例5．已知3=+b a ，12-=ab ，求下列各式的值．①22b a + ②22b ab a +-③2)(b a -例6．计算下列各式： ①2)241(y x +- ②22)3()3(y y --+ ③2)2(b a +-例7．计算： ①2)(c b a +- ②2)312(+-y x例8．如果y x ,满足0)(22=++-y x x ，求x y 的值．1．填空：①+=-22)3(x x +9 ②+2a +4=2)2(+a ③++a a 62 =2)5(+a ④2244b ab a +-=（ ）22．计算： ①2)43(y x +- ②)211)(141(a a +--③2)52(n m +3．如果2642b ab M a +∙-是一个完全平方式，则M 等于（ ） A 、8B 、8±C 、16±D 、32±4．用完全平方公式计算： ①2204 ②22985．若5=+y x ，2=xy ，求22y x +6．已知b a b a 42522+=++，b a 53-求的值．7．用完全平方公式计算下列各题： ①2)74(-+y x ②2)(z y x ++③2)132(+-b a ④2)7(+-n m1．填空：（1）16x 2－8x+_______=（4x －1）2； （2）_______+6x+9=（x+3）2；（3）16x 2+_______+9y 2=（4x+3y ）2； （4）（a －b ）2－2（a －b ）+1=（______－1）2． （5）+=+229)3(n m n +2m （6）=++229124y xy x （ ）2 （7）+2a +25=2)5(+a （8）x 2- 6xy+ =（ ）22．用简便方法计算： ①2301 ②24993．计算下列各题： ①2)65(y x - ②2)83(b a + ③2)62(-+n m4. 有个多项式的前后两项被墨水污染了看不清，已知它的中间项是12xy ，•且每一项系数均为整数，请你把前后两项补充完整，使它成为一个完全平方式，•并将它进行因式分解．你有几种方法？ 多项式：■+12xy+■=（ ）25. 若代数式m 2+4加上一个单项式后可构成一个完全平方式，求这个单项式（要求至少写出两个）．。
完全平方公式
1 1 2 已知 x 3，求x 2 的值 . x x 1 2 1 1 2 解 : x 2 ( x ) 2( x ) x x x 1 2 (x ) 2 x
3 2 7
2
2ab
填一填：
1、如果 x²+ax+16 是一个完全平 +8 方式， 则a=___ 2、如果 25a²-30ab+m 是一个完全 平方式，则 m=___ 2 9m 3,16x²+（ +40xy)+25y²=（ 4x+5y ）²
注意
使用完全平方公式与平方差公式的使用一样, 先把要计算的式子与完全平方公式对照, 明确个是 a , 哪个是 b.
做题时要边念边写： 2x −3 解：(1) (2x−3)2 = ( 2x )2 − 2 • 2x • 3 + 3 2 第一数 的平方, = 4x2 − 12x + 9 ; 加上 第二数 的平方.
1.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z ). 2.如图，一块直径为a+b的圆 形钢板，从中挖去直径分别为 a与b的两个圆，求剩下的钢板 的面积.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
4、 填空 : 1 a 6a _______ (a ______) 9 3
2 2
a 2 a 3 3
2
2
2 x
2 4 x 2 3 a
2
2
2 2x 5 5
2
5 2 20x ______ (2 x ______) 25 2
乘法公式(2)完全平方公式
= (4x)2 + 2 · 4x · 5y + (5y)2 =16 x2 + 40 x y +25y2
(3) ( m n − a )2
= ( m n )2 − 2 ·m n ·a + a2 = m2 n2 − 2 m n a + a2
学一学
例2：利用完全平方公式计算： (1) 0.982 (2) 10012 解：(1) 原式 = （ 1 − 0.02）2 = 12 − 2 ·1 ·0.02 + 0.022 = 1 − 0.04 + 0.0004 = 0.9964
知识小园地
利用贾宪三角对完全平方公式进行推广
（a+b)0=1 (a+b)1=a+b (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
作业
作业
1、基础训练：书本p.85第2 、 3 、4 题。 2、拓展训练：补充习题
拓 展 练 习(2)
1.思考： (a+b+c) 2 可以用完全平方公式进行计算吗？
练习：计算 ( m −2n + 3 )2 2.完全平方公式的变形应用： 1. 已知：x +y =3 ; x y =2 求 x2+y2
；
(x −y)2 的值 。
2.已知：a −b =1 ； a2 +b2 =25 求 ab 的值 。 3.已知：(x +y )2 =9 ; ( x − y)2= 5 求 xy ; x2+y2 的值。
14.2.2乘法公式—完全平方公式(2)
（2）(a + b +c ) 2. (a + b + c ) 2 解： = [ (a+b) +c ]2 = (a+b)2 +2 (a+b)c +c2 = a2+2ab +b2 +2ac +2bc +c2 = a2+b2+c2 +2ab+2bc +2ac.
练习
2.运用乘法公式计算: (1) (a + 2b – 1 ) 2 ; (2) (2x +y +z ) (2x – y – z )
遇加不变遇减变
练习
1.在等号右边的括号内填上适当的项:
(1) a + b + c = a + ( b + c ); (2) a – b – c = a – ( b + c ) ;
(3) a - b + c = a – ( b - c );
(4) a + b + c = a - ( -b - c ).
能否用去括号 法则检查添括 号是否正确?
例 运用乘法公式计算: (1)( x +2y-3) (x- 2y +3) ; (2) (a + b +c ) 2. 解: (1) ( x +2y-3) (x- 2y +3) = [ x+ (2y – 3 )] [ x- (2y-3) ] = x2- (2y- 3)2 = x2- ( 4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9.
出一个边长为m的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是 （ ）
学好完全平方公式的三点提示
学好完全平方公式的三点提示完全平方公式是两个形式相同的多项式相乘得到的公式，它的应用十分广泛，是教材中的重点和难点．那么如何掌握完全平方公式呢?下面给予三点提示，供参考．一、意义特征要牢记 1、完全平方公式：（1）(a+b)2=a 2+2ab+b 2 ；（2）(a -b)2=a 2-2ab+b 22、文字描述：这两个公式的左边是一个二项式的完全平方，右边是三项式，而且每一项都是二次式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，而第三项是左边二项式中两项乘积的2倍（或-2倍）．可用以下口诀来记忆：“头平方和尾平方，头（乘）尾两倍在中央，中间符号是一样”．这里的“头”指的是a ，“尾”指的是b ．这两个公式实质上是统一的，即都是二项式的平方展开式．其中第一个公式是基本的，第二个公式可由第一个公式导出．如：（a-b ）2=[a+（-b ）]2=a 2+2a （-b ）+（-b ）2= a 2-2ab+b 2．3、完全平方公式的几何意义图1ababb 2a 2b aba 图2(a -b )b (a -b )b(a -b)2b 2ba ba在图1中，大正方形的面积是(a+b)2，它等于两个小正方形的面积a 2、b 2及两个等积的长方形面积ab 的和，因此有(a+b)2=a 2+2ab+b 2．在图2中，大正方形的面积是a 2，它等于两个小正方形的面积b 2、(a -b)2及两个等积的长方形面积(a-b)b 的和，因此有(a -b)2=a 2-2(a-b)b-b 2= a 2-2ab+b 2．二、两个公式的区别要清楚在运用完全平方公式时，经常会出现类似于(a+b)2=a 2+b 2、(a -b)2=a 2 -b 2的错误．要注意从以下几个方面进行区别：（1）意义不同：(a+b)2表示数a 与数b 和的平方，(a -b)2表示数a 与数b 差的平方；而a 2+b 2表示数a 的平方与数b 的平方和，a 2-b 2表示数a 的平方与数b 的平方差．（2）读法不同：(a+b)2读作两数a 、b 和的平方，(a -b)2读作两数a 、b 差的平方；而a 2+b 2读作两数a 、b 平方的和，a 2-b 2读作两数a 、b 平方的差．（3）运算顺序不同：(a+b)2的运算顺序是先算a+b ，然后再算和的平方，(a -b)2的运算顺序是先算a -b ，然后再算差的平方；而a 2+b 2是先算a 2与b 2，再求和a 2+b 2，a 2-b 2是先算a 2与b 2，再求差a 2-b 2．（4）一般情况下它们的值不相等：如当a=2，b=1时，(a+b)2=(2+1)2= 32=9，(a -b)2=(2-1)2=12=1；而a 2+b 2= 22+12=5，a 2-b 2= 22-12=3．三、应用方法要掌握完全平方公式中的字母可以表示具体的数，也可以表示单项式，还可以表示多项式及各种代数式．应用时要认真观察题目是否符合公式的特征和条件，变形后是否符合公式的特征和条件，若符合，再把公式中的字母同具体题目中的数或式对照，再逐项对照着计算；若不符合就不能应用公式．要搞清楚公式中各项的符号，灵活地进行公式的各种变形应用．例1、计算222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy分析：把23xy -看成a ，y x 221看成b ，原式即为两项差的平方，然后套用完全平方差公式．解：222213⎪⎭⎫⎝⎛--y x xy=()()⎪⎭⎫⎝⎛---y x xy xy222221323+（y x 221）2=2433424139y x y x y x ++例2、计算：（a-2b-c ）2分析：可以把（a-2b ）看作公式中a ，把c 看作公式中的b ，然后套用完全平方差公式． 解：2222)2(2)2(])2[()2(c c b a b a c b a c b a +---=--=-- ＝2a bc ac abc b a c bc ac b ab 4244424422222+--++=++-+-． 说明：本题还可以进行如下变形：222]2)[()2(b c a c b a --=--或22)]2([)2(c b a c b a +-=--完全平方公式应用错例分析完全平方公式是乘法公式中的重要组成部分，它能帮助同学们简捷、灵活的完成整式的乘法运算，但在运用公式解题的过程中，却经常出现这样或那样的错误，现将典型错例进行评析．一、漏掉“中间项” 例1 计算：(a+3)2 错解：(a+3)2=a 2+9分析：完全平方公式的结果有三项：首平方，末平方，乘积的2倍写中央．因此，运用公式时不要漏掉乘积项．不能将完全平方公式与平方差公式混淆．正解：(a+3)2=a 2+6a+9 二、“中间项”漏乘2例2 计算（2y+21）2错解：（2y+21）2 = 4y 2+2y ×21+41 分析：没有理解完全平方公式的中间项“2ab ”中2的意义，2y 中的2表示首项的一部分，不是乘积的2倍．防止发生这样错误的关键是要将题目中项与公式中的项进行对应，一定要找准哪个代表字母a ，哪个代表字母b ．正解：（2y+21）2 = 4y 2+2⨯2y ⨯21+41＝4y 2+2y+41三、“－”处理错误例3 计算(-t-1) 2错解：(-t-1) 2=t 2 -2t+1 或 (-t-1) 2= -t 2 +2t+1分析：本题可以看成首项-t 与末项1的差的平方，应把-t 看做一个整体． 正解：(-t-1) 2=(-t) 2-2 (-t) ×1 +12＝t 2＋2t+1. 四、系数未平方 例4 计算(3x-2y) 2错解：(3x-2y) 2=3x 2-12xy+2y 2分析：首项3x 与末项2y 都应看成一个整体进行平方． 正解：(3x-2y) 2 = (3x)2-12xy+(2y)2 = 9x 2-12xy+4y 2 五、问题考虑不全面例5 已知x 2-2mx+1是一个完全平方式，则m= 错解：因为12＝1由乘积项－2mx=2x ×1得m=-1．分析：错解忽略了另一种情况：因为(-1) 2=1，由－2mx=2x ×(-1)得m=1，所以m=±1. 正解：m=±1. 六、运算顺序错误 例6 计算2(a-) 2 错解：2(a-2b ) 2=(2a-b) 2 分析：由乘方的定义知：2(a-2b ) 2=2(a-2b )(a-2b )=(2a-b) (a-2b)，这与(2a-b) 2的结果是不相等的．因此，应按照运算顺序先算乘方，再算乘除进行化简．正解：2(a-2b ) 2=2(a 2-ab+41b 2)=2a 2-2ab+21b 2. 总之，运用完全平方公式进行整式的运算时，应牢固掌握公式的实质，并与其它相关法则、运算顺序有机的结合，才能简便、准确地进行整式的运算．完全平方公式学习导航1.完全平方公式有两个：2222)(b ab a b a ++=+,2222)(b ab a b a +-=-.即，两数和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍.这两个公式叫做完全平方公式.它们可以合写在一起，为2222)(b ab a b a ++=±.记忆口诀：“首平方、尾平方，2倍乘积在中央”.2.公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方.3.公式的结果是：这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍.4.公式的特征是：左边是两个相同的二项式相乘，右边是三项式，是左边二项式中两项的平方和，加上（这两项相加时）或减去（这两项相减时）这两项乘积的2倍.公式中的字母可以表示具体的数（正数或负数），也可以表示单项式或多项式等代数式.只要符合这一公式的结构特征，就可以运用这一公式.5. 完全平方公式的几何意义如图1，大正方形的面积可以表示为2)(b a +，也可以表示为IV III II I S S S S S ++=，同时22222b ab a b ab ab a S ++=+++=.从而验证了完全平方公式2222)(b ab a b a ++=+.6.完全平方公式重难点重点1 （1）公式右边是这两个数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（差）。
初二所有数学公式归纳总结
初二所有数学公式归纳总结大家都知道，学习数学，什么都不多，公式最多。
一起来看看初二的公式都有哪些吧。
下面是店铺分享给大家的初二所有数学公式归纳，希望大家喜欢!初二所有数学公式归纳(一)运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
(二)平方差公式1.平方差公式(1)式子： a2-b2=(a+b)(a-b)(2)语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
(三)因式分解1.因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2.因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
(四)完全平方公式(1)把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
(2)完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
(3)当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
(4)完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
(5)分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(五)分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式.如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式.原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义.但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)=a(m+ n)+b(m+ n)=(m +n)•(a +b).这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法.从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式.(六)提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式.当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式;当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式.2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1.必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数.2.将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：① 列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况;②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数.3.将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式.(七)分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式.3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式.如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分.4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2，(x-y)3=-(y-x)3.5.分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理.当然，简单的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减.(八)分数的加减法1.通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形.约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言;约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来.2.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变.3.一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备.4.通分的依据：分式的基本性质.5.通分的关键：确定几个分式的公分母.通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.7.同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
专题：完全平方公式,十字相乘法
13
完成作业2.27作业
14
蓦然回首
对自己说，你有什么收获？ 对同学说，你有什么温馨提示？ 对老师说，你还有什么困惑？
15
＝(a＋2)2(a－2)2.
例4 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
x2 4x 22 y2 10 y 52 0
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0， 几个非负数的和为0， ∴x－2＝0，y－5＝0， 则这几个非负数都为0. ∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
＝112＝121.
知识要点2
十字相乘法
十字相乘法公式：
x2 (a b)x ab (x a)(x b)
11
(1)X2-7x+12 x x
(3)x2+8x+12
(2)x2-4x-12 (4)x2-11x-12
(5) 2x2-7x+3
(6) 5x2+6xy-8y2
A . 11
B. 9 C. -11 D. -9
解析：根据完全平方式的特征，中间项-6x=2x×(-3),
故可知N=(-3)2=9.
变式训练 如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么m的
值为___±__8___.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9；
分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解 因式；
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2；
乘法公式——完全平方公式(课件)七年级数学下册课件(浙教版)
= a2+2ab +b2 -2ac -2bc +c2
= 4x2-25y2+30y-9.
= a2+b2+c2 +2ab -2bc -2ac.
例5 若式子 x2+(m+7)x+25 是完全平方式，则m的值是______．
解：∵
式子x2+(m+7)x+25
是完全平方式，
∴ x2+(m+7)x+25 = x2±10x+25=（x±5)2 ,
(1)用多项式乘法证明：
(a+b)2 =(a+b)(a+b) =a2+ab+ab+b2 =a2+2ab+b2
(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-ab-ab+b2 =a2-2ab+b2
将(ɑ-b)2看成[ɑ+(-b)]2
转化
思想
[ɑ+(-b)]2
= ɑ2 +2ɑ(-b) +(-b)2
(2) 借助几何图形证明：
故选B.
2.已知 a,b 满足a2+b2-4a-6b+13=0,求(2a+b)(2a-b)-(b-2a)2的值.
解：(1) (2a+b)(2a-b)-(b-2a)2
= 4a2 - b2 - (b2 - 4ab + 4a2)
= 4a2 - b2 - b2 + 4ab - 4a2
= 4ab - 2b2 ,
注意
2.不能直接应用公式进行计算
的式子，需要先添括号变形
3.弄清完全平方公式和平方差
公式的不同点（从公式结构特
人教版初中数学八年级上册第十四章 完全平方公式
课堂检测
基础巩固题
14.2 乘法公式/
1. 运用乘法公式计算(a–2)2的结果是( A )
A．a2–4a+4
B．a2–2a+4
C．a2–4
D．a2–4a–4
2.下列计算结果为2ab–a2–b2的是( D )
A．(a–b)2
B．(–a–b)2
C．–(a＋b)2
D．–(a–b)2
课堂检测
14.2 乘法公式/
= x2–4y2+12y–9.
巩固练习
14.2 乘法公式/
计算：(1)(a–b＋c)2； (2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．
解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2 ＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c ＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；
(2)原式＝[1– (2x–y)][1＋(2x–y)] ＝12–(2x–y)2 ＝1–4x2＋4xy–y2.
3. 体验归纳添括号法则. 2. 灵活应用完全平方公式进行计算.
1. 理解并掌握完全平方公式的推导过程、 结构特点、几何解释.
探究新知
14.2 乘法公式/
知识点 1 完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边 长增加 b 米.形成四块实验田，以种植不同的新品种(如 图). 用不同的形式表示实验田的总面积， 并进行比较.
(a – b)2 = a2– 2ab + b2
=y2
–y
+
1 4
.
巩固练习
14.2 乘法公式/
利用完全平方公式计算： (1)(5–a)2； (3)(–3a＋b)2.
(2)(–3m–4n)2；
解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2； (2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
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多少?
3
3 a
练一练：
5.填空.
（1） 4a2＋4ab ＋b2=(2a＋b)2
（2） 4a2＋(-4ab)＋b2=(2a－b)2
练一练：
6.已知a+b=2,ab=1, 求a2+b2、(a－b)2的值.
课堂小结
1.理解并熟记两个完全平方公式; 2.能用语言叙述两个完全平方公式; 3.能用说出两个完全平方公式的特点; 4.能运用两个完全平方公式的进行
9.4 乘法公式
计算
1. (a b)2 2. (a b)2
ba
a ab a2
b b2 ab
古代中国、古埃及、古巴比伦、古印度 都曾通过这个图形认识了一个数学公式， 你也能从这个图形发现这个公式吗？
a b
b a
你能从这个图形发现什么公式？
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2
（2） (a-b)2=a2-2ab＋b2
这个两个公式都称为完全平方公式
你能用语言叙述吗？ （1）两数和的平方,等于这两个数的平方和 加上它们的积的2倍.
（2）两数差的平方,等于这两个数的平方和 减去它们的积的2倍.
你说说这两个公式的特点吗？
（1） (a+b)2=a2+2ab+b2
（2） (a- b)2=a2 -2ab+b2
前面这个 数的平方
后面这个 数的平方
前后两个 数的积的 2倍
符号与等号左 边的符号一致
例题：用完全平方公式计算
（1） (5＋3p)2 （2） (2x－7y)2 （3） (-2a－5)2
练一练： 1.用完全平方公式计算
（1） (1＋x)2 （2） (y－4)2 （3） (-3x＋2)2
（4） (3 x 4 y)2 23
练一练：
2.下面的计算是否正 确?如有错误,请改正.
（1） (x＋y)2=x2＋y2
（2） (-m＋n)2=-m2＋n2
（3） (x－y)2=x2＋y2
练一练：
3.利用完全平方公式计算.
（1） 20012 （2） 992
练一练：
4.如图,一个正方形的边长
为a cm,若边长减少6cm,
则这个正方形的面积减少
相关计算.ຫໍສະໝຸດ