[精]高三第一轮复习全套课件2函数函数的定义域值域

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为已知
0＜u＜2，即
0＜x 2
＜2 求 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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12
新疆
) 2 2 王新敞
奎屯
x
x
∴值域是 (,2] [2，+
) （此法也称为配方法） 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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说明：总结 y ax b cx d 型值域，变形：y ax2 b cx2 d 或 y ax2 b cx d
（5）三角换元法：
∵1 x2 0 1 x 1，∴设 x cos, [0, ] ，
函数的定义域、值域（最大、最小值）
例 1 已知函数 f x 定义域为(0，2)，求下列函数的定义域：
(1) f (x2 ) 23 ;
(2) y f (x2 ) 1 log1 (2 x)
2
分析：x 的函数 f(x 2 )是由 u=x 2 与 f(u)这两个函数复合而成的复合函
数，其中 x 是自变量，u 是中间变量 由于 f(x)，f(u)是同一个函数，故(1) 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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（7）判别式法：∵ x2
x 1
0 恒成立，∴函数的定义域为 R
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12
改题：求函数
y
3x2
x2
，
x [1,3]
的值域新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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新疆
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2x 3 (x 4)
（6）数形结合法： y | x 1| | x 4 | 5
(4 x 1) ，
2x 3 (x 1)
∴ y 5，
∴函数值域为 [5,
)
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例
2
已知函数
f
(x)
1 x 1 x
的定义域为
A ，函数
y
f
f
x
的定义
域为 B ，则
( A) A B B (B) A B (C) A B (D) A B B
解： A x | x 1， y f [ f (x)] f (1 x) f (1 2 ) 1 ，
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1
（8） y 2x2 x 1 x(2x 1) 1 x 1 x 1 2 1 ，
2x 1
2x 1
2x 1
2 x1 2
2
1
1
∵ x 1 ，∴ x 1 0 ，∴ x 1 2 2 (x 1) 2
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又∵ x2 6x 5 (x 3)2 4 4 ，
∴ 0 4 ，故 [0, 2]，
∴y
x2
6x 5
的值域为[0, 2]
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解：(1)由 0＜x 2 ＜2， 得
说明：本例(1)是求函数定义域的第二种类型，即不给出 f(x)的解析式，
由
f(x)的定义域求函数
f[g(x)]的定义域 关键在于理解复合函数的意义， 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
则 y cos sin 2 sin( )
4
∵ [0, ] ，∴ [ , 5 ] ，∴ sin( ) [ 2 ,1] ，
4 44
4
2
∴ 2 sin( ) [1, 2] ，
4
∴原函数的值域为[1,
2]
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函数 y x 1 的图像为： x
∴值域是 (,2] [2，+
) 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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∴函数
y
3x2
x
2
，
x [1,3]
的值域为[4, 26]
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由
y
2x2 x 2 x2 x 1
得： ( y
2) x 2
(
y
1) x
y
2
0
①
①当 y 2 0 即 y 2 时，①即 3x 0 0 ，∴ x 0 R
②当 y 2 0 即 y 2 时，∵ x R 时方程 ( y 2)x2 ( y 1)x y 2 0
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x
的取值范Biblioteka Baidu新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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恒有实根，
∴ ( y 1)2 4 ( y 2)2 0 ， ∴1 y 5 且 y 2 ，
∴原函数的值域为 [1, 5]
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（3）（法一）反函数法：
y 3x 1 的反函数为 y 2x 1 ，其定义域为{x R | x 3}，
x2
x3
∴原函数 y
3x 1 的值域为{y R | x2
2} 新疆 王新敞
奎屯
③ y x x 11 1 1
x 1 x 1
x 1
∵ 1 0 x 1
∴ y 1
即函数的值域是 { y| yR 且 y1}（此法亦称分离常数法）王新新疆敞 奎屯
④当 x>0，∴ y x 1 = ( x 1 )2 2 2 ，
x
x
当 x<0 时， y (x 1 ) =－ ( x
∴B
A A
B
B ,故选取
D
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例 3 求下列函数的值域
① y=3x+2(-1 x 1)
；
（8）y
2x2 x 1(x 2x 1
1) 2
；（9）y
1 sin x 2 cos x
解：（1）（配方法） y 3x2 x 2 3(x 1)2 23 23 ， 6 12 12
∴
y
3x2
x
2
的值域为[ 23 , )
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② f (x) 2 4 x
③y x x 1
1 新疆 ④ y x 王新敞
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x
解：①∵-1 x 1，∴-3 3x 3， ∴-1 3x+2 5，即-1 y 5，∴值域是[-1，5]
②∵ 4 x [0,)
∴
f
(x) [2,)
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即函数 f (x) 2
4 x 的值域是 { y| y
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用好换元法 (2)是二种类型的综合 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
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1 x
1 x x
令 1 2 1且 x 1，故 B x | x 1
1 x
x |
x
0
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（2）求复合函数的值域：
设 x2 6x 5 （ 0 ），则原函数可化为 y
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解：（利用函数的单调性）函数 y 3x2 x 2 在 x [1,3] 上单调增，
∴当 x 1时，原函数有最小值为 4 ；当 x 3 时，原函数有最大值为 26 新疆 源头学子小屋 http://www.xjktyg.com/wxc/
y
3}
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（法二）分离变量法： y 3x 1 3(x 2) 7 3 7 ，
x2
x2
x2
∵ 7 0 ，∴ 3 7 3 ，
x2
x2
∴函数 y
3x 1 的值域为{y R | x2
y
3}
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（4）换元法（代数换元法）：设 t 1 x 0 ，则 x 1 t2 ，
∴原函数可化为 y 1 t2 4t (t 2)2 5(t 0) ，∴ y 5 ，
∴原函数值域为 (,5]
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y
2 -1 o
1 fx = x+ x
1
x
-2
例 4 求下列函数的值域：
（1）y 3x2 x 2 ； （2）y
x2 6x 5 ；
（3）y 3x 1 ； x2
（4）y x 4 1 x ； （5）y x 1 x2 ； （6）y | x 1| | x 4 |；
（7）y
2x2 x 2 x2 x 1