向量组的线性关系

第十讲 向量组的线性关系

一、考试内容与考试要求

考试内容

向量的概念；向量的线性组合与线性表示；向量组线性相关与线性无关． 考试要求

（1）理解n 维向量的概念；

（2）理解向量的线性组合与线性表示的概念； （3）理解向量组线性相关与线性无关的概念；

（4）掌握向量组线性相关与线性无关的有关性质及判别法； 注 适合于第十讲和第十一讲．

二、知识要点

引入 学习向量组的线性相关和线性无关，直接的目的是为探讨当方程组Ax o =（Ax b =）有无穷解时，它的所有解能否用有限个解表示出来？且这些有限个解之间的关系是什么？

线性表示（线性组合）：探讨消除线性方程组中的多余方程（即无效方程）； 矩阵秩：探讨矩阵所对应的线性方程组中的有效方程个数； 线性相关：方程组Ax o =有无穷解时，能否用有限个解表示出来； 线性无关：这有限个解之间的关系，引出基础解系和最大线性无关向量组． 复习 （1）非齐次方程组Ax b =有解的条件：()(,)R A R A b m =≤

其中A =（12,,,m αααL ），要特别注意m 是未知量个数，也是向量组12,,,m αααL 中向量的个数．

（2）齐次方程组Ax o =⎧⎨

⎩唯一零解

无穷解（有非零解）

，o 是向量．

1．线性组合（线性表示）

定义1 线性组合（线性表示）

给定向量12,,,,m βαααL ，如果存在数12,,,m k k k L ，使关系式成立

则称β是向量组12,,,m αααL 的线性组合，或称β可以由向量组12,,,m αααL 线性表示：

注意1

（1）线性组合（或线性表示）对12,,,m k k k L 没有要求，可以全为零； （2）零向量可由任一同维的向量组线性表示；

（3）判断β是否可由向量组12,,,m αααL 线性表示转化为求Ax β=是否有解，一个具体表示就是Ax β=有一个特解．

（4）表示式可以不惟一，但若12,,,m αααL 线性无关时，表示式惟一； （5）任一n 维向量可由同维的单位坐标向量组12,,,n e e e L 线性表示； （6）向量组12,,,m αααL 中每个向量都可由自身向量组线性表示： 定义2 向量组的等价

向量组（I ）：12,,,s αααL 中每个向量都可由向量组（II ）：12,,,t βββL 线性表示，而向量组（II ）中每个向量都可由向量组（I ）线性表示，则称两个向量组的等价，记为（I ）:（II ）．

向量组的等价具有

① 反身性：每个向量组都和自身等价，即（I ）:（I ）； ② 对称性：若（I ）:（II ），则（II ）:（I ）；

③ 传递性：若（I ）:（II ），（II ）:（III ），则（I ）:（III ）． 注意 2

记()12,,,s A ααα=L ，()12,,t B βββ=L

，则

（1）向量组（II ）可以由向量组（I ）线性表示的充分必要条件是()(,)R A R A B = 这是单个向量β可由向量组12,,,s αααL 线性表示的推广．

（2）向量组（I ）与向量组（II ）等价的充分必要条件是()()(,)R A R B R A B ==

（3）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

Λ21线性表示，则当r s >时，向量组（I ）必线性相关；

（4）若向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

Λ21线性表示，且向量组（I ）线性无关，则必有r s ≤；

这是（3）的逆否命题．

向量组（I ）：12r αααL ，，，(2)r ≥可由向量组（II ）：s βββ，，，

Λ21线性表示，则必有r s ≤；反之不成立

２．线性相关与线性无关

定义3 线性相关与线性无关

给定向量组（I ）：12,,,m αααL ，如果存在不全为零的数12,,,m k k k L ，使 则称向量组（I ）是线性相关的，否则称它线性无关．

例如：由于23⎛⎫ ⎪⎝⎭=210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭，即210⎛⎫ ⎪⎝⎭+301⎛⎫ ⎪⎝⎭-23⎛⎫ ⎪⎝⎭=o ，向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭，23⎛⎫ ⎪⎝⎭

是

线性相关的．而向量组10⎛⎫ ⎪⎝⎭，01⎛⎫ ⎪⎝⎭与向量组100⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭，010⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，001⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭

均是线性无关的．

注意3

(1）单位坐标向量组12,,,n e e e L 是线性无关的； (2）含有零向量的向量组线性相关； (3）单个非零向量线性无关；

(4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例． 证明如下：

(1）单位坐标向量组12,,,n e e e L 是线性无关的．

证 由1k 100⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭M +2

k 010⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

M +L +n

k

001⎛⎫

⎪

⎪ ⎪

⎪

⎝⎭M =o ，有12n k k k ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

M =o

故1k =2k =L =n k =0，故向量组12,,,n e e e L 是线性无关．

(2）含有零向量的向量组12,,,m αααL ，o 线性相关． 证 120001m o o ααα⋅+⋅++⋅+⋅=L (3）单个非零向量线性无关．

证 设o α≠，若k o α=，必有k =0，故线性无关． (4）两个向量线性相关⇔对应坐标成比例．

证 设12(,,,)T n a a a α=L ，12(,,,)T

n b b b β=L