2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题(江西)

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

数学（理科）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. z 是z 的共轭复数. 若2=+z z ，（2)(=-i z z （i 为虚数单位），则=z （ ）

A. i +1

B. i --1

C. i +-1

D. i -1 2. 函数)ln()(2x x x f -=的定义域为（ ）

A.)1,0(

B. ]1,0[

C. ),1()0,(+∞-∞

D. ),1[]0,(+∞-∞ 3. 已知函数||5)(x x f =，)()(2R a x ax x g ∈-=，若1)]1([=g f ，则=a （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -1

4.在ABC ∆中，内角A,B,C 所对应的边分别为,,,c b a ，若,3

,6)(2

2

π

=+-=C b a c 则ABC

∆的面积（ ） A.3 B.

239 C.2

3

3 D.33 5.一几何体的直观图如右图，下列给出的四个俯视图中正确的是（ ）

6.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量之间的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，泽宇性别有关联的可能性最大的变量是（ ）

A.成绩

B.视力

C.智商

D.阅读量

7.阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（ ）

A.7

B.9

C.10

D.11 8.若1

2

()2(),f x x f x dx =+⎰

则1

()f x dx =⎰（ ）

A.1-

B.13-

C.1

3

D.1 9.在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线

240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）

A.4

5π B.34π C.(6π- D.54

π

10.如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，

AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（ ）

二.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答，若两题都做，则按所做的第一题评阅计分，本题共5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

11(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4

11(2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ=

≤≤+ B.1,0cos sin 4

π

ρθθθ=≤≤+

C.cos sin ,02

π

ρθθθ=+≤≤

D.cos sin ,04

π

ρθθθ=+≤≤

三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 12.10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率是________. 13.若曲线x y e -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是________.

14.已知单位向量1e 与2e 的夹角为α，且1

cos 3

α=，向量1232a e e =-与123b e e =-的夹角为β，则cos β=

15.过点(1,1)M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>相交于,A B ，若M

是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为

三.简答题

16.已知函数()sin()cos(2)f x x a x θθ=+++，其中,(,)22

a R ππ

θ∈∈-

（1）当4

a π

θ=

=

时，求()f x 在区间[0,]π上的最大值与最小值；

(2)若()0,()12

f f π

π==，求,a θ的值.

17、（本小题满分12分）

已知首项都是1的两个数列（），满足

.

(1) 令，求数列的通项公式； (2) 若

，求数列

的前n 项和.

18、（本小题满分12分） 已知函数.

(1) 当时，求的极值； (2) 若

在区间上单调递增，求b 的取值范围.

19(本小题满分12分)

如图，四棱锥ABCD P -中，ABCD 为矩形，平面⊥PAD 平面ABCD . （1）求证：;PD AB ⊥

（2）若,2,2,90===∠PC PB BPC 问AB 为何值时，四棱锥ABCD P -的体积最大？并求此时平面PBC 与平面DPC 夹角的余弦值.

20.（本小题满分13分）

如图，已知双曲线)0(12

22>=-a y a x C n 的右焦点F ,点B A ,分别在C 的两条渐近线上，

x AF ⊥轴，BF OB AB ,⊥∥OA (O 为坐标原点）.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）过C 上一点)0)((00,0≠y y x P 的直线1:020=-y y a

x

x l 与直线AF 相交于点M ，与直线23=

x 相交于点N ，证明点P 在C 上移动时，NF

MF 恒为定值，并求此定值

21.（满分14分）随机将()

1,2,,2,2n n N n *

⋅⋅⋅∈≥这2n 个连续正整数分成A,B 两组，每组

n 个数，A 组最小数为1a ，最大数为2a ；B 组最小数为1b ，最大数为1b ，记

2112

,a a b b ξη=-=- （1）当3n =时，求ξ的分布列和数学期望；

（2）令C 表示事件ξ与η的取值恰好相等，求事件C 发生的概率()p c ；

对（2）中的事件C,c 表示C 的对立事件，判断()p c 和()p c 的大小关系，并说明理由。