小角度无阻尼单摆周期
杜芬方程
3. k>0，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整
个相平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不 动点。
k<0
k>0
有阻尼有驱动杜芬方程：
d2x dt 2
dx dt
x
x3
F cos t
单周期
双周期
a.讨论阻尼 系数γ的影响
举例：γ=1.5
γ=1.35
γ=1.15
混沌态和非混沌态比较 （初始速度差0.001）
b.讨论驱 动F的影响
γ
c.讨论驱动Ω的影响
杜芬方程的应用
1.微弱信号的检测 2.电机系统的控制 3.应用于保密通信
微弱信号的检测：
检测微弱特征信号的方法是将杜芬 系统的参数设置为临界值，通过观察系 统相图的变化来判断待测信号中是否含 有所要寻找的微弱特征信号。
因为结构的振动频率是表征结构是否有损伤的 重要参考指标之一，故可利用杜芬系统检测微弱 特征信号。
杜芬系统检测微弱特征信号， 一般是根据混沌 系统对特定小信号的敏感性以及对噪声“ 免疫” 的特点来检测的。将杜芬方程中的参数 F设置在 分叉值附近，使系统处于变化的边缘。根据混沌 学理论， 这时噪声对系统的影响很小，而微弱特 征信号对系统状态的 改变起着决定性作用。
电机系统的控制：
电力系统长时间连续运行的稳定性、 可靠性与安全性日益受到重视。
通过对电力系统建模与故障分析，避免电 力系统产生混沌振荡。对提高发电机组系统 的控制质量、改善系统动态过程的品质等方 面有重要的实际意义。
保密通信：
同步混沌系统产生的混沌信号 具有宽带、难以预测的类噪声特性。 这些特性为保密通信开辟了一条新 的途径。
杜芬方程是混沌现象的一个典型例子。
摆钟实验探究摆动周期与摆长的关系
摆钟实验探究摆动周期与摆长的关系摆钟是一种古老而经典的实验工具，在物理学教学中广泛应用。
通过摆钟实验，我们可以探究摆动周期与摆长之间的关系。
在这个实验中，我们需要一根细而轻的线或者细棒，挂上一个质量较小的物体，并将其悬挂在一个固定的支架上。
接下来，我们将改变摆长的长度，观察摆钟的摆动周期的变化。
首先，我们来介绍一下什么是摆动周期和摆长。
摆动周期是指一个摆钟完成一次完整的摆动所需要的时间。
摆长则是指从摆钟的吊点到摆钟质心的垂直距离。
在摆钟实验中，摆动周期和摆长之间存在着一定的关系。
在实验过程中，我们可以通过改变摆钟的摆长来观察摆动周期的变化。
摆钟摆动的周期与摆长的关系可以由科学家伽利略最先提出的摆钟公式来描述。
摆钟公式是一个简单的数学关系式，它表示了摆钟的摆动周期T与摆长L之间的关系。
按照伽利略的摆钟公式，摆钟摆动周期的平方与摆长成正比。
也就是说，T^2与L的比值是一个常数。
根据这个公式，我们可以通过观察不同摆长下摆钟的摆动周期来验证这个关系。
在实验过程中，我们可以先选择一个摆长，然后使用一个秒表来精确测量出摆动周期。
然后，我们可以改变摆长，再次测量摆动周期。
重复这一过程直到得到足够的数据。
最后，我们可以使用这些数据来绘制摆动周期和摆长的关系曲线。
通过摆钟实验，我们可以发现摆动周期和摆长之间确实存在着一定的关系。
在实验中我们可以观察到，当摆长增加时，摆动周期会变长，而当摆长减少时，摆动周期会变短。
这一观察结果与伽利略的摆钟公式所描述的关系是一致的。
需要注意的是，摆动周期和摆长的关系仅仅适用于小摆角的情况。
当摆幅较大时，这个关系将不再成立。
此外，摆钟实验中还需要注意保持摆钟摆动的幅度和速度稳定，以确保实验结果的准确性。
总之，摆钟实验是一个简单而经典的物理实验，通过观察摆长不同情况下摆动周期的变化，我们可以揭示摆动周期和摆长之间的关系。
这个实验不仅有助于我们理解物理学中的摆动现象，还能锻炼我们的实验操作和数据处理能力。
高中物理：单摆 单摆的回复力和周期
高中物理：单摆单摆的回复力和周期【知识点的认识】一、单摆1．定义：如图所示，在细线的一端拴一个小球，另一端固定在悬点上，如果线的伸长和质量都不计，球的直径比摆线短得多，这样的装置叫做单摆。
2．视为简谐运动的条件：摆角小于5°。
3．回复力：小球所受重力沿圆弧切线方向的分力，即：F ＝G 2＝Gsin θ＝x ，F 的方向与位移x 的方向相反。
4．周期公式：T ＝2π5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长l 和重力加速度g ，与振幅和振子（小球）质量都没有关系。
二、弹簧振子与单摆弹簧振子（水平）单摆模型示意图条件忽略弹簧质量、无摩擦等阻力细线不可伸长、质量忽略、无空气等阻力、摆角很小平衡位置弹簧处于原长处最低点回复力弹簧的弹力提供摆球重力沿与摆线垂直（即切向）方向的分力周期公式T ＝2π（不作要求）T ＝2π能量转化弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒重力势能与动能的相互转化，机械能守恒【命题方向】（1）第一类常考题型是对单摆性质的考查：对于单摆的振动，以下说法中正确的是（）A．单摆振动时，摆球受到的向心力大小处处相等B．单摆运动的回复力就是摆球受到的合力C．摆球经过平衡位置时所受回复力为零D．摆球经过平衡位置时所受合外力为零分析：单摆振动时，径向的合力提供向心力，回复力等于重力沿圆弧切线方向的分力，通过平衡位置时，回复力为零，合力不为零。
解：A、单摆振动时，速度大小在变化，根据知，向心力大小在变化。
故A错误。
B、单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力。
故B错误。
C、摆球经过平衡位置时所受的回复力为零。
故C正确。
D、摆球经过平衡位置时，合力提供向心力，合力不为零。
故D错误。
故选：C。
点评：解决本题的关键知道单摆做简谐运动的回复力的来源，知道经过平衡位置时，回复力为零，合力不为零。
（2）第二类常考题型是单摆模型问题：如图所示，单摆摆球的质量为m，做简谐运动的周期为T，摆球从最大位移A处由静止开始释放，摆球运动到最低点B时的速度为v，则（）A．摆球从A运动到B的过程中重力做的功为B．摆球从A运动到B的过程中重力的平均功率为C．摆球运动到B时重力的瞬时功率是mgvD．摆球运动到B时重力的瞬时功率是零分析：某个力的功率应用力乘以力方向上的速度，重力做功与路径无关只与高度差有关，也可以运用动能定理求解。
动力学实验讲义
单摆实验讲义单摆是由一摆线l 连着重量为mg 的摆锤所组成的力学系统，是力学基础教科书中都要讨论的一个力学模型。
当年伽利略在观察比萨教堂中的吊灯摆动时发现，摆长一定的摆，其摆动周期不因摆角而变化，因此可用它来计时，后来惠更斯利用了伽利略的这个观察结果，发明了摆钟。
如今进行的单摆实验，是要进一步精确地研究该力学系统所包含的力学线性和非线性运动行为。
练习一是单摆的基础实验，适用于大学低年级开设，练习二是单摆的设计性实验，适用于高年级学生学习和认识非线性物理开设。
练习一 单摆的基础实验一 、实验目的1．学会使用光电门计时器和米尺，测准摆的周期和摆长。
2．验证摆长与周期的关系,掌握使用单摆测量当地重力加速度的方法。
3．初步了解误差的传递和合成。
二 、仪器与用具单摆实验装置，多功能微妙计，卷尺，游标卡尺。
三 、实验原理1．利用单摆测量当地的重力加速度值g用一不可伸长的轻线悬挂一小球，作幅角θ很小的摆动就是一单摆。
如图1所示。
设小球的质量为m ，其质到摆的支点O 的距离为l (摆长)。
作用在小球上的切向力的大小为θsin mg ，它总指向平衡点O '。
当θ角很小，则θθ≈sin ，切向力的大小为θmg ，按牛顿第二定律，质点的运动方程为θsin mg ma -=切，即 θθsin 22mg dtd ml-=，因为θθ≈sin ，所以θθlg dtd -=22， (1)这是一简谐运动方程(参阅普通物理学中的简谐振动)，(1)式的解为)cos()(0φωθ+=t P t ， （2）lg T==πω20， （3）式中, P 为振幅，φ为幅角，0ω为角频率（固有频率），T 为周期。
可见，单摆在摆角很小，不计阻力时的摆动为简谐振动，简谐振动是一切线性振动系统的共同特性，它们都以自己的固有频率作正弦振动，与此同类的系统有：线性弹簧上的振子，LC 振荡回路中的电流，微波与光学谐振腔中的电磁场，电子围绕原子核的运动等，因此单摆的线性振动，是具有代表性的。
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
机械振动第10章-非线性振动初步
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x3三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d2x dt2
dx dt
x
x3
F
cos t
实验中系数 由磁铁的吸力调整。
弱磁吸力时 ，
强磁吸力时 。 0 0
例：弱非线性单摆属Duffing方程：
d2x 取： dt2
dx dt
02 sin x 得：
2.平衡点[ ]为 单0 摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线；
3.从[ ]到 0[
]或 相 反 0的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线 单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极 大值，轨道就不再闭合，单摆 作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能
量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。
同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0
的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点
2. ，0原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. ，0原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相平面被分
隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2
dt2
2
d
dt
02
0
阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
单摆周期公式的推导
单摆周期公式的推导一．简谐运动物体的运动学特征作简谐运动的物体要受到回复力的作用，而且这个回复力F 与物体相对于平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反，用公式表示可以写成kx F −=，其中k 是比例系数。
对于质量为m 的小球，假设t 时刻（位移是x ）的加速度为a ，根据牛顿第二运动定律有：kx ma F −==，即xmka −=因此小球的加速度a 与它相对平衡位置的位移x 成正比，方向与位移x 相反。
因为x （或F ）是变量，所以a 也是变量，小球作变加速运动。
把加速度a 写成22dt x d ，并把常数m k写成2ω得到x dtxd 222ω−=。
对此微分方程式，利用高等数学方法，可求得其解为)sin(ϕω+=t A x 。
这说明小球的位移x 是按正弦曲线的规律随着时间作周期性变化的，其变化的角速度为Tm k πω2==，从而得到作简谐运动物体的周期为kmT π2=。
二．单摆周期公式的推导单摆是一种理想化的模型，实际的摆只要悬挂小球的摆线不会伸缩，悬线的长度又比球的直径大很多，都可以认为是一个单摆。
当摆球静止在O 点时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 平衡，如图1所示，这个O 点就是单摆的平衡位置。
让摆球偏离平衡位置，此时，摆球受到的重力G 和摆线的拉力T 就不再平衡。
在这两个力的作用下，摆球将在平衡位置O 附近来回往复运动。
当摆球运动到任一点P时，重力G 沿着圆弧切线方向的分力θsin 1mg G =提供给摆球作为来回振动的回复力θsin 1mg G F ==，当偏角θ很小﹝如θ＜010﹞时，lx≈≈θθsin ，所以单摆受到的回复力x lmgF −=，式中的l 为摆长，x 是摆球偏离平衡位置的位移，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反，由于m 、g 、L 都是确定的常数，所以lmg可以用常数k 来表示，于是上式可写成kx F −=。
因此，在偏角θ很小时，单摆受到的回复力与位移成正比，方向与位移方向相反，单摆作的是简谐运动。
关于单摆的周期
关于单摆的周期(1)非线性摆的振动周期一根不可伸长、不计质量的绳长为l，一端固定于O点，另一端系质量为m的小球，就可组成一个摆，如图9－27所示，竖直线OP为摆以O点为轴摆动的平衡位置．为了研究摆动的一般规律，把摆看作是个绕O点转动的刚体，摆对O轴的转动惯量I=ml2．当角位移为θ时，作用于小球的重力对O点的力矩M=－mglsinθ．(其中的负号表示力矩的方向与角位移θ的方向相反．)根据定轴转动的定律Iβ=M，有整理后可得这是一个非线性微分方程，与简谐运动的微分方程不同．因此，一般情况下的摆，角位移对时间的变化规律不是余弦式，所作的摆动，不是简谐运动，而是一种非线性振动．这种摆的周期表达式为可见，一般情况下的摆的周期随摆幅(由θ0表示)的变化而变化，不是等时摆．(2)单摆和它的周期当摆动过程中，摆线对平衡位置的角位移θ的绝对值都很小，以致θ=θ0cos(ωt＋a)，其中θ0为最大摆角，为角振幅，周期通常所说的单摆是指一般的非线性摆在摆角振幅很小时的情形．这是一种等时摆，周期与振幅的大小无关，是一种理想模型．在实际应用中，在摆角足够小的条件下，就可以使用单摆的周期公式进行计算．(3)怎样认识“摆角足够小”的条件由摆的周期T′的公式以及单摆的周期T的公式的比较中，可知误差θ0为最大摆角．为了有一个定量的概念，在θ0为不同角度时周期的误差如下表所示．从以上数字可以看到：当最大摆角在15°以内时，误差在0.5％以内；当最大摆角在5°以内时，误差在0.05％以内．实验中还会有测量误差，如摆长测量误差，计时误差，等等．由于中学物理实验对精度要求不很高，同时，系统误差的精度与测量误差的精度应该协调．因此可以认为，θ0＜15°时，可以满足中学物理实验对误差的要求．做演示实验时，为了增加可见度，单摆的摆角不必过于拘泥小于5°这个角度．。
单摆实验原理
单摆实验原理单摆实验是物理学中常见的实验之一，通过单摆实验可以研究单摆的周期、振幅和频率等特性，从而深入理解单摆的运动规律。
单摆实验原理主要涉及单摆的运动方程、周期公式和影响因素等内容。
下面将从这些方面对单摆实验原理进行详细介绍。
首先，单摆的运动方程是描述单摆运动规律的基本公式。
单摆的运动可以用简单的三角函数关系来描述，其运动方程为：T = 2π√(l/g)。
其中，T表示单摆的周期，l表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从这个公式可以看出，单摆的周期与单摆的长度和重力加速度有关，周期与长度成正比，与重力加速度成反比。
这就是单摆运动的基本规律之一。
其次，单摆的周期公式是描述单摆周期与长度之间关系的具体公式。
单摆的周期公式可以表示为：T = 2π√(l/g)。
这个公式表明了单摆的周期与单摆的长度和重力加速度之间的定量关系。
通过实验测量单摆的周期和长度，可以验证这个公式，从而验证单摆的运动规律。
另外，影响单摆运动的因素还包括摆角、阻尼和外力等。
摆角是指单摆摆动的最大角度，摆角越大，周期越长。
阻尼是指外界对单摆的阻碍作用，会使单摆的振幅逐渐减小，周期逐渐增大。
外力是指施加在单摆上的外部力，会改变单摆的运动规律，使周期发生变化。
综上所述，单摆实验原理涉及单摆的运动方程、周期公式和影响因素等内容。
通过实验测量单摆的周期和长度，可以验证单摆的运动规律，从而加深对单摆运动规律的理解。
同时，还需要注意单摆摆角、阻尼和外力等因素对单摆运动的影响，这些因素也需要在实验中进行综合考虑。
总之，单摆实验原理是物理学中重要的实验内容，通过深入理解单摆的运动规律，可以更好地理解物理学中的振动现象，对于提高学生的物理学实验能力和科学素养具有重要意义。
单摆振动周期公式应用与拓展
单摆振动周期公式应用与拓展首先，我们来探讨一下单摆振动周期公式的基本原理。
单摆是一个能够满足简谐振动条件的物体，例如一根绳子上挂着的一个质点。
当质点被拉到一侧后，它会开始作周期性的来回摆动。
振动周期就是质点从一个极点到另一个极点所需要的时间。
根据实验结果和物理推导，可以得到单摆振动周期公式为：T=2π√(L/g)其中，T表示振动周期，L表示单摆的长度，g表示重力加速度。
从公式中可以看出，振动周期与单摆的长度和地球重力加速度有关，当长度增加或重力加速度减小时，振动周期增加，即摆动速度减慢。
单摆振动周期公式的应用非常广泛。
一个典型的应用是在建筑物的抗震设计中。
建筑物的抗震设计是非常重要的，可以保证建筑物在地震中的稳定性和安全性。
在抗震设计中，需要考虑建筑物的振动特性，以及地震力的作用。
单摆振动周期公式可以用于计算建筑物的自由振动周期，从而帮助工程师选择合适的结构参数，使得建筑物在地震中具有较好的抗震性能。
另一个应用是在钟表制作中。
钟表的摆钟是一种应用了单摆原理的装置，它的精确度和稳定性与单摆的振动周期有关。
根据单摆振动周期公式，可以通过调节摆钟的长度，使得摆钟的振动周期达到所需的精确值。
这样一来，摆钟就能够以非常准确的频率进行摆动，从而实现钟表的正常计时功能。
此外，单摆振动周期公式还可以应用到其他一些领域。
例如，在物理实验中，可以通过改变单摆的长度和重力加速度，来研究对振动周期的影响。
在工程计算中，可以根据单摆振动周期公式，计算一些动态系统的振动周期，例如桥梁的自由振动周期。
在天文学中，单摆振动周期公式可以用于计算天体的周期运动，例如行星的公转周期。
除了对单摆的普通振动，单摆振动周期公式还可以拓展到一些特殊情况下。
例如，当单摆受到阻尼力或驱动力的作用时，振动周期公式需要进行修正。
在阻尼振动中，振动周期随着阻尼系数的增加而减小。
在驱动振动中，振动周期与外力的频率相同或其整数倍相关。
在非线性振动中，单摆振动周期公式也需要进行修正。
单摆振幅与摆长的公式__理论说明以及概述
单摆振幅与摆长的公式理论说明以及概述1. 引言1.1 概述本文旨在研究和探讨单摆振幅与摆长的公式，通过对单摆系统进行理论分析和实际应用的探索，以揭示摆长对振幅的影响规律。
单摆是一种简单而又重要的物理学问题，其振动特性涉及到多个因素，其中最为显著的即是振幅与摆长之间的关系。
深入研究与了解这一关系不仅可以丰富我们对于振动现象的认识，还有助于在工程中合理设计和应用单摆装置。
1.2 文章结构本文共分为四个主要部分：引言、单摆振幅与摆长的公式、理论说明以及结论。
其中，“引言”部分主要介绍了文章的背景、目的和结构安排；“单摆振幅与摆长的公式”部分将详细阐述该公式的定义、推导过程和实际应用情况；“理论说明”部分将深入剖析单摆振动原理、摆长对振幅的影响以及相应数学模型的解析；最后，“结论”部分总结本文核心要点并探讨其实践意义与未来展望。
1.3 目的本文旨在阐明单摆振幅与摆长之间的关系，并推导出相应的公式。
通过理论分析与实际应用的结合，揭示了摆长对振幅的影响规律。
这一研究成果不仅有助于加深我们对于单摆系统中振动特性的理解，还为相关领域中的工程设计和应用提供了重要参考依据。
通过本文的研究和探索，我们可以更好地利用单摆系统进行各种实验和测量，同时也为理论物理学研究提供了新的思路与方法。
2. 单摆振幅与摆长的公式:2.1 定义与介绍:单摆是由一个质点在一根轻绳或杆上做简谐振动的物理系统。
它被广泛应用于物理学、力学和工程学等领域。
单摆的振幅是指摆球从最大位移位置向一个方向振动过程中，到达最大位移位置的距离，通常用A表示。
而摆长则是指摆球到支点垂直位置的距离，通常用L表示。
2.2 公式推导:根据简谐振动原理和几何关系，我们可以得到单摆振幅与摆长之间的数学关系。
在小角度近似下，可以使用以下公式计算单摆振幅A：A = L * θ其中θ为最大振幅时的角度，可以通过初始条件得到。
该公式表明，单摆的振幅与其摆长成正比。
2.3 实际应用:单摆的振幅与摆长的关系对于物理实验和工程设计具有重要意义。
探究单摆振动的周期
探究单摆振动的周期什么是单摆振动？在物理学中，单摆振动指的是一种简单的振动现象，它是指一个质量为m的物体，通过一根不可伸长、不可折叠的细线或杆（称为支杆），悬挂在一个固定点上并自由运动的情况。
单摆的摆动是受到重力作用下的摆动，又称为重力摆，是一种简谐振动。
单摆的振动过程中，重力和张力一直保持平衡状态。
当振幅较小的情况下，单摆的运动可以被建模为简谐振动。
单摆的振幅越大，摆动的周期就越长，这是因为摆动的幅度越大，重力作用的影响就越大。
单摆振动的周期单摆的振动周期是指从一个端点摆至另一个端点的时间，它受到摆长l和重力加速度g的影响。
通过简单的数学推导，我们可以得到单摆振动周期的公式：$T = 2\\pi \\sqrt{\\frac{l}{g}}$其中，T代表单摆的振动周期，l代表摆长，g代表重力加速度。
实验探究实验器材清单：•单摆装置•计时器•直尺•质量•计量杯•滴定管实验步骤：1.确定振动的摆长，用直尺测量支杆到质心的距离，即摆长l，记录下来。
2.给单摆加上一定的质量，记为m，每次加一定质量之后都要等待单摆达到静止状态。
3.将单摆置于给定的角度，并同时打开计时器，记录下在摆动一个完整周期的时间T。
4.重复上述步骤，重复多次，记录下每次测量的结果。
实验数据处理：假设我们在实验中测得单摆的摆长为l=1.00米，添加质量m=50克，进行10次测量，得到以下数据：试验次数T1 (s) T2 (s) T3 (s) 平均周期T (s)1 1.90 1.85 1.87 1.872 1.90 1.89 1.85 1.883 1.82 1.85 1.87 1.854 1.87 1.85 1.87 1.865 1.92 1.89 1.90 1.906 1.83 1.87 1.82 1.847 1.80 1.81 1.83 1.818 1.81 1.82 1.83 1.829 1.87 1.89 1.87 1.8810 1.90 1.89 1.85 1.88根据上表得出平均周期T为1.86秒。
高三物理单摆知识点
高三物理单摆知识点一、单摆的定义和基本原理单摆是由一个质点和一根轻、不可伸长的线组成的，质点沿着垂直于地面的平面做简谐振动的物体。
单摆的基本原理是受到重力的恢复力将摆动的物体拉回到平衡位置。
二、单摆的周期与频率1. 周期：单摆从一个极点摆动到另一个极点所需的时间。
设单摆长度为L，重力加速度为g，则单摆周期T与摆长L的关系为T = 2π√(L/g)。
2. 频率：单摆单位时间内摆动的次数。
频率f与周期T的关系为f = 1/T。
三、单摆的振动运动方程单摆的振动运动方程可以通过小角度近似求得。
设单摆摆长为L，摆角为θ，则单摆的运动方程为θ''(t) + (g/L)θ(t) = 0，其中θ''表示角加速度。
四、单摆的能量变化1. 势能：单摆在摆动过程中，由于高度的变化而具有势能。
当单摆位于最低点时，势能取得最小值；当单摆位于最高点时，势能取得最大值。
2. 动能：单摆在摆动过程中，由于速度的变化而具有动能。
当单摆通过平衡位置时，速度取得最大值；当单摆通过最大偏离位置时，速度取得最小值。
3. 能量守恒：在摆动过程中，单摆的总能量守恒。
势能和动能的变化互相转化，使得单摆的总能量保持不变。
五、单摆的影响因素1. 摆长：单摆的周期与摆长的平方根成正比。
摆长越大，周期越长；摆长越小，周期越短。
2. 重力加速度：单摆的周期与重力加速度的平方根成反比。
重力加速度越大，周期越短；重力加速度越小，周期越长。
六、单摆的应用1. 时间测量：利用单摆的周期性质，可以用作时间的测量工具。
2. 加速度测量：通过测量单摆振动的周期，可以求出重力加速度，进而用于加速度的测量。
3. 节拍器：单摆具有较为稳定的周期，可以作为节拍器用于音乐演奏或其他需要控制节奏的场合。
以上就是关于高三物理单摆知识点的介绍。
通过了解单摆的定义和基本原理、周期与频率、振动运动方程、能量变化、影响因素以及应用，可以更好地理解和应用单摆的相关知识。
单摆运动方程及其周期近似解
单摆运动周期和相轨迹特性的研究摘要：本文首先分别用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程求解单摆运动方程，其次通过线性近似法求解在小摆角下的周期近似解，再通过构建“局部常化”的近似处理方法，得到大摆角运动周期的一个新结论。
最后，用数值模拟（四阶龙格-库塔法）求解无阻尼无驱动单摆非线性方程，用origin作图软件绘制出θ时，取不同初值时的相轨迹，并<90分析了其相轨迹特性，验证对小角度单摆几乎只有摆动，对大角度单摆既有摆动又有转动。
关键词：单摆运动周期非线性局部常化椭圆积分数值模拟相轨迹引言：非线性引起复杂性，复杂性产生的根源即“原来是禁锢在笼子里的非线性老虎被释放了”。
对线性模型简单、容易分析，且线性微分方程可求其解析解，而非线性模型复杂、不容易分析，非线性方程不容易求其解析解，我们利用这两种性质可对某一具体问题进行不同方式的分析，得出一部分规律。
单摆模型是简单与复杂的综合体，对该模型可用：线性化法、近似解析法、数值法和向空间法进行求解，分析。
本文求出单摆微分方程后，首先通过线性近似法求解在小摆角下的周期近似解，再通过构建“局部常化”的近似处理方法，得到大摆角运动周期的一个新结论，有用数值法和相空间法，验证了单摆运动在取不同初值时的运动形态，即为摆动或摆动加转动特性，对单摆特性研究有一定价值。
除了对无阻尼无驱动单摆系统研究，我们可将该分析方法用与其他几类单摆模型。
正文：1 单摆运动方程的求解单摆运动问题是一个古老而又十分有趣的问题。
对于摆长为L ，最大摆角为0θ的单摆系统，由于只有重力做功，因此满足机械能守恒。
分别用基本形式拉格朗日方程和保守系下的拉格朗日方程来求解如下： （1）基本形式拉格朗日方程为[]1：=12.d T TQ d t q q αααα∙⎛⎫∂∂ ⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪∂∂⎝⎭（，，） （1） 自由度为1，取广义坐标为θ，有：广义力为：αααq r g m q r F Q i iii∂∂=∂∂=→∑ )(2121mglsin θF jlsin θi lcos θθr jlcos θi lsin θr 222i AA ∙→→→→→→==-=∴-=∂∂∴+=θl m mv T 2220122d T T Q dt q q TT ml ml d T ml dt αααθθθθθθ∙∙∙∙∙∙∙⎛⎫∂∂ ⎪∴-= ⎪∂∂⎝⎭∂=∂∂=∙=∂∂∴=∂代入基本拉格朗日方程，得2sin 0ml mgl θθ+=sin 0glθθ+= （2）保守系下的拉格朗日方程为0=12.d L L dt q q ααα∙⎛⎫∂∂ ⎪-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪∂∂⎝⎭（，，） （2） 自由度为1，取广义坐标为θ，有：222222222111222cos 1cos 2sin T mv m l ml V mgl L T V ml mgl L ml d L d ml ml dt dt Lmgl θθθθθθθθθθθθ∙∙∙∙∙∙∙⎛⎫=== ⎪⎝⎭=-=-=+∂=∂⎛⎫∂⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∂⎝⎭∂=-∂代入到（1）式中，有0sin =+∙∙θθlg令lg=20ω，则有 0sin 20=+∙∙θθω （3）（3）式是一个非线性微分方程，而大多数非线性微分方程都很难找到其解析解，这给动力系统的分析带来了很大的困难。
高考物理 机械振动——单摆专题知识点梳理 新人教版
单摆专题●知识点梳理1．单摆：细线的一端固定在悬点，另一端拴一个小球，忽略线的伸缩和质量且球的直径比细线短得多的装置叫单摆．在实际摆中如果悬挂小球的细线的伸缩量和质量很小，可以忽略，细线的长度又比摆球的直径大得多时，才能将其理想化为单摆。
单摆在摆动时的摆角θ＜5°（或偏角θ＜10°）时，摆球的运动才是简谐振动。
2.单摆的周期公式：=T注：①单摆的摆长L 是指悬点到球心间的距离．②单摆的振动周期跟摆球的质量无关，只与摆长和所在处的重力加速度g 有关． ③单摆做简谐运动的条件是偏角α<10°，且周期与振幅无关．3.课外补充——秒摆周期T ＝ s 的单摆称为秒摆，由g L2T π=得224gT L π=，若2s /m 89g .=，则秒摆的摆长L 约为 m ．●难点突破1.等效摆长：摆球到摆动圆弧的圆心之间的距离。
如图所示，等效摆长为 ，而不是摆线L 的长度(小球半径忽略)。
2.等效重力加速度：如果单摆不在竖直平面内摆动，而是在一个斜面上摆动，如图所示，此摆公式中的“重力加速度”位置的数值应该变为了g ′=g sin α，即此摆的周期表达式为απsin 2g LT =；如果单摆处在海拔较高的位置上，加速度应该由2'R GM g =或()g r R R G 22'+=等公式来确定；如果单摆处于起动或制动中的电梯里，若电梯的加速度竖直向上，则g′=g +a 。
若加速度竖直向下，则g ′=g -a 。
那么计算等效重力加速度g ′的方法是什么呢？3、利用单摆测重力加速度公式：=g （=T 、 L= ）摆球的质量的力静止在平衡位置时摆线方法是：='g●专题训练1．把实际的摆看作单摆的条件是（ ）①细线的伸缩可以忽略；②小球的质量可以忽略；③细线的质量可以忽略；④小球的直径比细线的长度小得多；⑤小球的最大偏角足够小A ．①②③④⑤B ．①②③④C ．①③④D ．②③④⑤ 2．下列有关单摆运动过程中受力的说法中，正确的是（ ）A ．回复力是重力和摆线拉力的合力B ．回复力是重力沿圆弧方向的一个分力C ．单摆过平衡位置时合力为零D ．回复力是摆线拉力的一个分力3．单摆运动到达其平衡位置时，摆球所受回复力的方向或数值正确的是（ ）A ．指向地面B ．指向悬点C ．数值为零D ．垂直于摆线4．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙，（α甲、α乙都小于10°）由静止开始释放，则（ ）A ．甲先到达平衡位置B ．乙先到达平衡位置C ．甲、乙同时到达平衡位置D ．无法判断5．将秒摆（周期为2 s ）的周期变为1 s ，下列措施可行的是（ ）A ．将摆球的质量减半B ．振幅减半C ．摆长减半D ．摆长减为原来的146．一个单摆从甲地移至乙地，，其振动变慢了，其原因和调整的方法应为（ ）A ．g 甲＞g 乙，将摆长缩短B ．g 甲＞g 乙，将摆长加长C ．g 甲＜g 乙，将摆长加长D ．g 甲＜g 乙，将摆长缩短 7．长为L 的单摆，周期为T ，若将它的摆长增加2 m ，周期变为2T ，则L 长为（ ） A 、13m B 、12m C 、23m D 、2m8．摆长为l 的单摆做简谐运动，若从某时刻开始计时（取作0t =），当运动至gl t 23π=时，摆球具有负向最大速度，则单摆的振动图象为下图中的（ ）9．如图所示为一双线摆，它是在水平天花板上用两根等长细绳悬挂一小球构成的，绳的质量可忽略。
考虑摆球线度与摆线质量时单摆的周期研究
物理设计实验10级物电科学教育4班彭淑莹考虑摆球线度与摆线质量时单摆的周期研究单摆的周期是物理学中的一个重要问题. 在单摆的实验中，当用公式来计算实际摆的振动周期时。
理论上要求摆长长度应远大于摆球的半径。
摆线的质量可以忽略不计, 这时摆球可简化为质点.在理想情况下当摆球为实心球并忽略空气阻力的影响且摆角小于5°，而摆球线度与摆线质量不能忽略时，摆球不能被看作为质点，应近似作为刚体。
预习要点1.学会用类比方法得到刚体的转动惯量, 建立了单摆的运动学方程, 并得到单摆的运动周期T。
2.学会通过画图分析单摆的周期。
一、实验目的1.当摆球线度与摆线质量不能忽略的情况下，周期T遵循怎样的规律。
2.验证由周期T 0 ( 理想情况下的周期) 与T ( 实际情况) 的比值与R ( 摆球尺寸)和k ( 摆线质量与摆球质量)的比值的关系。
3.分析其运动规律和物理意义。
二、实验原理1 考虑摆球线度与摆线质量时单摆的周期公式推导如图1 当小球半径相对于悬线长度不能忽略时, 由转动惯量可得:式中是摆球对O 轴的转动惯量, 其中l 为摆线长度, R 为摆球半径, 同样当摆线质量不能忽略时, 由转动惯量得:在理想情况下当摆球为实心球并忽略空气阻力的影响, 而摆球线度与摆线质量不能忽略时, 摆球不能被看作为质点, 而应近似作为刚体, 当摆角小于5°时如图2 所示。
悬线OC 基本上处于直线状态, 所以这时候的单摆可以近似地看成复摆, 由式( 1)、( 2) 可知:式中R 表示摆球半径, l 表示摆长. 作用在摆球上的外力对O 的力矩为:当时，可得:根据得：把( 3) 式代入( 6) 式得:令摆线质量, 又由移项消去m 得:由简单模型可知单摆运动学方程为:由( 9) 式知:又由式( 8) 、 ( 9) 式对比可知摆球线度与摆球质量不能忽略情况下单摆运动的角频率为:由式( 1) 可知:由式( 12) / ( 10) 得:令，如图3所示:从图3中看到，在理想情况下，即摆球为实心球,，摆角<<5°并且忽略空气阻力的影响。
单摆非线性运动周期的相图处理
, ’ ， "!! . / " "" "／ 摆角不大时 （ ） ， （ ） 式成为线性运动方程 式中， ! $% "# $ 1 . / "$ "， ! # "0 " , ’ "!! % "" ""
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（ ） !
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’ ’ ） 式是一单自由度保守系统， 其哈密顿量 （运动积分） 为 &" "" ／ 或由能量守恒 （ ! ’’! 3 "， "2 关系有 ’ ’ ’ （ （ " ! !’2 3 "） ! !’2 3 " % !’ "’ " " "）
第( .卷第-期
金亚平： 单摆非线性运动周期的相图处理
" (
" 由于系统的势函数为 ! （ !） $ % !， "#" !# "） 则当能量值低于势垒峰值 （ 时， 单摆 ! $ ! "" ! " 运动表现为势阱中的周期性振荡； 当 $ #" !
时， 单摆作无界的周期运动 （相应于转动） ； 而当
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相应地单摆周期为
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（ ， 当& !!时； % &） %$ ! $ ） ／ 当& "!时’ " &，
（ ） ! !
显然， （ ） 式比 （ ） 式更具普遍性’ 有必要指出的是， 对于界轨邻域上的相点运动 （相应于 &’ ! ! & ） ， 单摆振动频率 ! （! ） ， 相应的周期 (’ ／ 因而频率的即使极小的变化也将引 ! ’ " $ # !’ (， 起相位的显著改变， 单摆运动已变得极其复杂， 此时若有外界的不可积扰动， 则界轨线一般会 发生破裂， 并在其附近形成随机层， 这是保守系统中孕育混沌的发源地’ 混沌现象现已成为非 线性科学研究的主要问题之一， 并且越来越受到人们的重视’ 以上结果表明， 在幅角较小时单摆相点作匀速圆周运动， 且单摆周期与幅角$ 无关； 摆幅 " 加大， 则相点作椭圆运动 （或变速圆周运动） ， 且单摆非线性频率和周期与幅角 $ 有关’ 此外， " 单摆运动还存在若干稳定点和鞍点 （不稳定点） 使相轨道形成界轨’ 正是在这些界轨邻域使单
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如果满足 sin x x 就有：
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt
1. 阻尼单摆 不动点
小摆角阻尼单摆的解
设解为 得特征方程
e t
2 2 2 0 0
为待定常数，特征方程解：
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 第四节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子 受迫振荡
第三节 相图方法
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
忽略3次以上的高次项 得线性方程
sin x x
d 2 2 0 0 dt2
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
椭圆点
令 e t 2 2 代入方程得得特征方程： 0 0 1,2 i0 特征根： 得通解为： (t ) C1ei t C2ei t
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 0 sin 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1. 阻尼单摆 不动点
相轨线
对阻尼单摆解
吸引子
P e t cos(t )
坐标从[ , ]变换到[u,v]
d P e t [ cos( t ) sin(t )] dt
微分
u Ae t cos(t ) cosf t v Ae sin(t ) sin f
0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1
小角度无阻尼单摆
相图
d 2 0 2 dt
椭圆点
使 0 1 得：
一次积分后： 1 d 2
1 2 E 2 dt 2
单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆
作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的，
摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G‘点重迭一起
时，就把相平面卷缩成一个柱
面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
双曲点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f 2 代入单摆方程 d 2 sin 0
dt2
0
得方程
d 2f 2 0 sin f 0 2 dt
利用 sin x x 得方程
d 2f 2f 0 dt2
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x 3 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d 2x dx g x x 3 F cost 2 dt dt
实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 0 ， 强磁吸力时 0 。 例：弱非线性单摆属Duffing方程：
dt
0t
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin 2 / 2
d
3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
d 2 g sin 0 2 dt l
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
式中角频率：
非线性方程
0 g / l
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
线性化处理
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
1 dx 1 1 4 2 x x E 2 dt 2 2
2
由系统能量 K V E 得：
00
V
11 4 2 x x 22
0
讨论：由 dV / dx 0 知： 1. 当 0 时有一个平衡点：x 0 2. 当 0 时有三个平衡点：x 0 x 3. 平衡点 x 为两个能量最小点
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。
1
小角度无阻尼单摆
相图
椭圆点
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用 相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时 刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的 运动轨迹称为轨线。 能量方程 2 1 d 1 2 K V E E 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过 程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能 量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
0
2. 杜芬方程
相图
0
0
2. 杜芬方程
相图
从杜芬方程势能曲线，画出( x, x ）平面上的相轨线。 1. 对于 0，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 0 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 x 处是椭圆 点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 0 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另 两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同 宿点。
0 0
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必 须满足条件： * * C1 ei0t C2ei0t C1ei0t C2ei0t
将 C1,C2 写成指数形式后得：
(t ) ( P / 2)(ei ( t ) ei ( t ) ) P cos(0t )
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线
d 2x dx 2 g 0 sin x 0 dt2 dt 取： sin x x x 3 / 6 得：
d 2x dx 2 g 0 ( x x 3 / 6) 0 dt2 dt
2. 杜芬方程
势能曲线
• 研究无驱无阻尼杜芬方程： d 2 x （ F 0 ， 1 ，g 0 ） x x3 0 dt2 积分得：
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt 阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
d 2x dx 2 e ( x 2 1) 0 x 0 0 1/ LC dt 2 dt 阻尼项系数是 e ( x 2 1) 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程
1. 阻尼单摆 不动点
任意摆角下的相图
1.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。 2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似; 3.鞍点的位置仍在处， 运动 从倒立开始往下摆，由于 能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另 一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向 坐标原点。原点是该区域的不 动点，是该区域吸引子。左右 两个区域也有相应的吸引子， 它们分别处在该图左( -2 )和 2 右(+2 )两侧。 2
2 1, 2 2 0
故有：
1,2 i
2 0 2
通解为
C1e( i )t C2e( i )t e t (C1eit C2eit )
最后有：
P e t cos(t )
式中 Ae t f t 消去时间 t t (f ) /
A P
Ce f /
• 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺 旋线簇。在[ , ]平面内也与此类似。 • 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向 坐标原点，原点为‚吸引子‛，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动