小角度无阻尼单摆周期
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0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1
小角度无阻尼单摆
相图
d 2 0 2 dt
椭圆点
使 0 1 得：
一次积分后： 1 d 2
1 2 E 2 dt 2
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x 3 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d 2x dx g x x 3 F cost 2 dt dt
实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 0 ， 强磁吸力时 0 。 例：弱非线性单摆属Duffing方程：
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1. 阻尼单摆 不动点
相轨线
对阻尼单摆解
吸引子
P e t cos(t )
坐标从[ , ]变换到[u,v]
d P e t [ cos( t ) sin(t )] dt
微分
u Ae t cos(t ) cosf t v Ae sin(t ) sin f
1 dx 1 1 4 2 x x E 2 dt 2 2
2
由系统能量 K V E 得：
00
V
11 4 2 x x 22
0
讨论：由 dV / dx 0 知： 1. 当 0 时有一个平衡点：x 0 2. 当 0 时有三个平衡点：x 0 x 3. 平衡点 x 为两个能量最小点
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 0 sin 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
积分得双曲方程：1 df 2 1
2 2 f E 2 dt 2
当E＝0时有
df f dt
这是在[ f 0，f 0 ]处的双曲线的渐近线， 这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的[ , 0 ]点。
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
d 2 g sin 0 2 dt l
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
式中角频率：
非线性方程
0 g / l
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
线性化处理
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
0
0
2. 杜芬方程
阻尼方程相图
• 有阻尼： g 0
d 2x dx g x x3 0 dt2 dt
1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2. 0，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. 0 ，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相 平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线
dt
0t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin 2 / 2
d
1/ 2
最后得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆
作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的，
摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G‘点重迭一起
时，就把相平面卷缩成一个柱
面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线
式中 Ae t f t 消去时间 t t (f ) /
A P
Ce f /
• 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺 旋线簇。在[ , ]平面内也与此类似。 • 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向 坐标原点，原点为‚吸引子‛，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动
d 2 d 2 2 0 sin 0 dt2 dt
如果满足 sin x x 就有：
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt
1. 阻尼单摆 不动点
小摆角阻尼单摆的解
设解为 得特征方程
e t
2 2 2 0 0
为待定常数，特征方程解：
1. 阻尼单摆 不动点
任意摆角下的相图
1.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。 2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似; 3.鞍点的位置仍在处， 运动 从倒立开始往下摆，由于 能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另 一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向 坐标原点。原点是该区域的不 动点，是该区域吸引子。左右 两个区域也有相应的吸引子， 它们分别处在该图左( -2 )和 2 右(+2 )两侧。 2
0
2. 杜芬方程
相图
0
0
2. 杜芬方程
相图
从杜芬方程势能曲线，画出( x, x ）平面上的相轨线。 1. 对于 0，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 0 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 x 处是椭圆 点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 0 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另 两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同 宿点。
忽略3次以上的高次项 得线性方程
sin x x
d 2 2 0 0 dt2
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
椭圆点
令 e t 2 2 代入方程得得特征方程： 0 0 1,2 i0 特征根： 得通解为： (t ) C1ei t C2ei t
2 1, 2 2 0
故有：
1,2 i
2 0 2
通解为
C1e( i )t C2e( i )t e t (C1eit C2eit )
最后有：
P e t cos(t )
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。
1
小角度无阻尼单摆
相图
椭圆点
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用 相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时 刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的 运动轨迹称为轨线。 能量方程 2 1 d 1 2 K V E E 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过 程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能 量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
d 2x dx 2 g 0 sin x 0 dt2 dt 取： sin x x x 3 / 6 得：
d 2x dx 2 g 0 ( x x 3 / 6) 0 dt2 dt
2. 杜芬方程
势能曲线
• 研究无驱无阻尼杜芬方程： d 2 x （ F 0 ， 1 ，g 0 ） x x3 0 dt2 积分得：
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
双曲点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f 2 代入单摆方程 d 2 sin 0
dt2
0
得方程
d 2f 2 0 sin f 0 2 dt
利用 sin x x 得方程
d 2f 2f 0 dt2
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 第四节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子 受迫振荡
第三节 相图方法
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
0 0
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必 须满足条件： * * C1 ei0t C2ei0t C1ei0t C2ei0t
将 C1,C2 写成指数形式后得：
(t ) ( P / 2)(ei ( t ) ei ( t ) ) P cos(0t )
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt 阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
d 2x dx 2 e ( x 2 1) 0 x 0 0 1/ LC dt 2 dt 阻尼项系数是 e ( x 2 1) 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程
是柱面上的相轨线的展开图。
第二节 阻尼振子
1 阻尼单摆 不动点
2 无驱杜芬方程 3 非线性阻尼 范德玻耳方程
1. 阻尼单摆 不动点
数学表达式
• 无阻尼时：
d 2 ml 2 F m gsin dt 设阻尼力与摆的速度成 l 正比： d 2 d ml 2 F gl m gsin dt dt 取β＝g / 2m 得：
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 0 sin 0 dt 2
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0
该式是振幅为P，角频率为 0 的简谐振动，其振动波形为正弦曲线。角频 率只与摆线 l 得长度有关，与摆锤质量无关，称为固有角频率。
1
小角度无阻尼单摆
相图
d 2 0 2 dt
椭圆点
使 0 1 得：
一次积分后： 1 d 2
1 2 E 2 dt 2
2. 杜芬方程
杜芬方程
• 数学上将含有 x 3 三次项的二阶方程称为Duffing方程。有驱动力方程为：
d 2x dx g x x 3 F cost 2 dt dt
实验中系数 由磁铁的吸力调整。 弱磁吸力时 0 ， 强磁吸力时 0 。 例：弱非线性单摆属Duffing方程：
2 dt 2
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期
周期与摆角无关？ 看看实验结果：
T/T0
双曲点
T0 2 / 0 2 l g ? T
0 1.0000 5 1.0005 10 1.0019 20 1.0077 30 1.0174 45 1.0369
定性结论： 1. 周期随摆角增加而增加 2. 随摆角增加波形趋于矩形
1. 阻尼单摆 不动点
相轨线
对阻尼单摆解
吸引子
P e t cos(t )
坐标从[ , ]变换到[u,v]
d P e t [ cos( t ) sin(t )] dt
微分
u Ae t cos(t ) cosf t v Ae sin(t ) sin f
1 dx 1 1 4 2 x x E 2 dt 2 2
2
由系统能量 K V E 得：
00
V
11 4 2 x x 22
0
讨论：由 dV / dx 0 知： 1. 当 0 时有一个平衡点：x 0 2. 当 0 时有三个平衡点：x 0 x 3. 平衡点 x 为两个能量最小点
势能曲线
• 基本方程 若取 0 1后积分得
d 2 2 0 sin 0 dt2
2
1 d cos E 2 dt 左边第一项是单摆动能 K， 左边第二项是势能 V 右边积分常数E是单摆总能
势能曲线是余弦函数
V ( ) cos
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
积分得双曲方程：1 df 2 1
2 2 f E 2 dt 2
当E＝0时有
df f dt
这是在[ f 0，f 0 ]处的双曲线的渐近线， 这点称为双曲奇点，也称鞍点。 相图上这点为的[ , 0 ]点。
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
d 2 g sin 0 2 dt l
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
式中角频率：
非线性方程
0 g / l
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
线性化处理
椭圆点
d 2 2 0 sin 0 dt2
x3 x5 x7 sin x x 3! 5! 7!
0
0
2. 杜芬方程
阻尼方程相图
• 有阻尼： g 0
d 2x dx g x x3 0 dt2 dt
1. 所有闭合相轨线破裂成向内卷缩的螺旋线。 2. 0，原点为不动点，平面任一点都趋于原点，是整个相平面吸引子。 3. 0 ，原点是鞍点，坐标( x )处两不动点，是吸引子。整个相 平面被分隔成两个区域，不同区的相点分别流向这两个不动点。
单摆完整相图
1.坐标原点[ 0， 0 ]附近相轨线为近似椭圆形的闭合轨道； 2.平衡点[ 0]为单摆倒置点（鞍点），附近相轨线双曲线； 3.从[ 0 ]到[ 0 ]或相反的连线为分界线
在分界线内的轨线是闭合回线
dt
0t
ຫໍສະໝຸດ Baidu
d [2(cos cos0 )]1/ 2
设t = 0时， 0 ，周期为 T，在 t T / 4时应有 0 ，故有：
0T / 4
0
0
2 sin 2 0 / 2 sin 2 / 2
d
1/ 2
最后得：
1 2 2 0 1 3 2 4 0 T T0 1 sin sin 2 2 4 2 2
单摆作周期振动。分界线以外 单摆能量E 超过势能曲线的极
大值，轨道就不再闭合，单摆
作向左或向右方向的旋转运动
3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
柱面上的单摆相轨线
相图横坐标θ是以2为周期的，
摆角 是同一个倒立位置， 把相图上G点与G‘点重迭一起
时，就把相平面卷缩成一个柱
面。所有相轨线都将呈现在柱 面上。因此，平面上的相轨线
式中 Ae t f t 消去时间 t t (f ) /
A P
Ce f /
• 阻尼单摆轨线矢径随转角增加而缩短，在[u,v]平面上是向内旋转的对数螺 旋线簇。在[ , ]平面内也与此类似。 • 能量耗散使相轨线矢径对数衰减。无论从那点出发，经若干次旋转后趋向 坐标原点，原点为‚吸引子‛，它把相空间的点吸引过来，原点又称不动
d 2 d 2 2 0 sin 0 dt2 dt
如果满足 sin x x 就有：
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt
1. 阻尼单摆 不动点
小摆角阻尼单摆的解
设解为 得特征方程
e t
2 2 2 0 0
为待定常数，特征方程解：
1. 阻尼单摆 不动点
任意摆角下的相图
1.整相平面被通过鞍点G与G‘的轨线分成三个区域。 2.在坐标原点附近轨线是向内旋转的对数螺旋线,和小摆角情况相似; 3.鞍点的位置仍在处， 运动 从倒立开始往下摆，由于 能量耗散达不到原有高度。 轨线 从一个鞍点出发到不了另 一鞍点，分界线被破坏了。 相流 所有中间区域的相点流向 坐标原点。原点是该区域的不 动点，是该区域吸引子。左右 两个区域也有相应的吸引子， 它们分别处在该图左( -2 )和 2 右(+2 )两侧。 2
0
2. 杜芬方程
相图
0
0
2. 杜芬方程
相图
从杜芬方程势能曲线，画出( x, x ）平面上的相轨线。 1. 对于 0，坐标原点是椭圆点，附近为闭合椭圆轨道; 2. 对于 0 ,坐标原点是鞍点，邻近相轨线是双曲线;在 x 处是椭圆 点，附近是闭合轨道。因原点轨线附近呈双曲线，形成一对蛋形轨线。 3. 对于 0 ,通过坐标原点是两条相交界轨线。其中两条轨线走向原点，另 两条离开原点；当沿一条从原点出发绕了一圈后回到原点，这原点称同 宿点。
忽略3次以上的高次项 得线性方程
sin x x
d 2 2 0 0 dt2
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
椭圆点
令 e t 2 2 代入方程得得特征方程： 0 0 1,2 i0 特征根： 得通解为： (t ) C1ei t C2ei t
2 1, 2 2 0
故有：
1,2 i
2 0 2
通解为
C1e( i )t C2e( i )t e t (C1eit C2eit )
最后有：
P e t cos(t )
式中E 为积分常数，由初始条件决定。把 d dt , 看作为两个变量，则方 程是一个圆周方程，圆的半径为 E ，振动过程是一个代表点沿圆周转 动。
1
小角度无阻尼单摆
相图
椭圆点
相图即状态图，是法国伟大数学家庞加莱(Poincare)于十九世纪末提出用 相空间轨线表示系统运动状态的方法。相图上每一个点表示了系统在某一时 刻状态（摆角与角速度），系统运动状态用相图上的点的移动来表示，点的 运动轨迹称为轨线。 能量方程 2 1 d 1 2 K V E E 右边第一项为系统动能K ，第二项为系统势能V，E 是系统的总能量。运动过 程中K 和V 两者都随时间变化，而系统总能量E 保持不变。 当K =V =0时，E=0，有 0，这时摆处于静止状态，为静止平衡。 当E >0 时，由于系统总能量保持不变，摆的运动用确定周期描述。不同能 量E 相应于半径不同的圆，构成一簇充满整个平面的同心圆[或椭圆]。 同一圆周[或椭圆]上各点能量相同，又称为等能轨道。坐标原点是能量E =0 的点，围绕该点是椭圆，故称椭圆轨线围绕的静止平衡点为‘椭圆点’。
d 2x dx 2 g 0 sin x 0 dt2 dt 取： sin x x x 3 / 6 得：
d 2x dx 2 g 0 ( x x 3 / 6) 0 dt2 dt
2. 杜芬方程
势能曲线
• 研究无驱无阻尼杜芬方程： d 2 x （ F 0 ， 1 ，g 0 ） x x3 0 dt2 积分得：
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆倒立附近的相轨线 双曲奇点
双曲点
在倒立附近，取对铅垂的偏角f表示摆角，f 2 代入单摆方程 d 2 sin 0
dt2
0
得方程
d 2f 2 0 sin f 0 2 dt
利用 sin x x 得方程
d 2f 2f 0 dt2
第一章 非线性振动初步
非线性振动初步
第一节 第二节 第四节 无阻尼单摆的自由振荡 阻尼振子 受迫振荡
第三节 相图方法
第一节 无阻尼单摆的自由振荡
1 小角度无阻尼单摆 椭圆点 2 任意角度无阻尼单摆振动 双曲点 3 无阻尼单摆的相图与势能曲线
1
小角度无阻尼单摆
数学表达式
由牛顿第二定律：
d 2 ml 2 F m gsin dt
0 0
式中 C1,C2为复常数。由于描述单摆振动的应为实函数，所以常数 C1,C2 必 须满足条件： * * C1 ei0t C2ei0t C1ei0t C2ei0t
将 C1,C2 写成指数形式后得：
(t ) ( P / 2)(ei ( t ) ei ( t ) ) P cos(0t )
0
0
3 非线性阻尼振子 范德玻耳方程
非线性阻尼振子
• 小角度单摆方程
d 2 d 2 2 0 0 dt2 dt 阻尼项系数 2 常数。一个可变非线性阻尼的微分方程：
d 2x dx 2 e ( x 2 1) 0 x 0 0 1/ LC dt 2 dt 阻尼项系数是 e ( x 2 1) 与 x2 有关，e 为可以任意设定的小数。 它是为描述 LC 回路电子管振荡器，由范德玻耳建立,称为范德玻耳方程
是柱面上的相轨线的展开图。
第二节 阻尼振子
1 阻尼单摆 不动点
2 无驱杜芬方程 3 非线性阻尼 范德玻耳方程
1. 阻尼单摆 不动点
数学表达式
• 无阻尼时：
d 2 ml 2 F m gsin dt 设阻尼力与摆的速度成 l 正比： d 2 d ml 2 F gl m gsin dt dt 取β＝g / 2m 得：
2 任意角度无阻尼单摆振动
单摆周期数学表达式
对方程
d 2 2 0 sin 0 dt 2
双曲点
乘以 d / dt 后积分 其中 E 2 2 cos 0 0
d 2 E 20 cos dt
2
积分 d [2(cos cos )1 / 2 0 0