2017年上海市普陀区高三一模数学试卷和参考答案

上海市普陀区2017届高三一模数学试卷

2016.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 若集合2

{|,}A x y x y R ==∈，{|sin ,}B y y x x R ==∈，则A B =I 2. 若2

2

π

π

α-

<<

，3

sin 5

α=

，则cot 2α= 3. 函数2()1log f x x =+（1x ≥）的反函数1

()f

x -=

4. 若55

0125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则125a a a ++⋅⋅⋅+=

5. 设k R ∈，

22

12

y x k k -=-表示焦点在y 轴上的双曲线，则半焦距的取值范围是 6. 设m R ∈，若23

()(1)1f x m x mx =+++是偶函数，则()f x 的单调递增区间是

7. 方程22log (95)2log (32)x x

-=+-的解x =

8. 已知圆222

:220C x y kx y k ++++=（k R ∈）和定点(1,1)P -，若过P 可以作两条直 线与圆C 相切，则k 的取值范围是

9. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ABC ∠=︒，

1AB BC ==，若1A C 与平面11B BCC 所成的角为

6

π， 则三棱锥1A ABC -的体积为

10. 掷两颗骰子得两个数，若两数的差为d ，则{2,1,0,1,2}d ∈--出现的概率的最大值 为 （结果用最简分数表示）

11. 设地球半径为R ，若A 、B 两地均位于北纬45°，且两地所在纬度圈上的弧长为

4

R ，则A 、B 之间的球面距离是 （结果用含有R 的代数式表示） 12. 已知定义域为R 的函数()y f x =满足(2)()f x f x +=，且11x -≤<时，

2()1f x x =-，函数lg ||,0

()1,0

x x g x x ≠⎧=⎨=⎩，若()()()F x f x g x =-，则[5,10]x ∈-，函

数()F x 零点的个数是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若0a b <<，则下列不等关系中，不能成立的是（ ）

A. 11a b

> B.

11a b a >- C. 11

3

3a b < D. 22a b >

14. 设无穷等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，前n 项和为n S ，则“11a q +=”是 “lim 1n n S →∞

=”成立的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分也非必要

15. 设l αβ--是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a 、b 与l 均不垂 直，则（ ）

A. a 与b 可能垂直，但不可能平行

B. a 与b 可能垂直，也可能平行

C. a 与b 不可能垂直，但可能平行

D. a 与b 不可能垂直，也不可能平行

16. 设θ是两个非零向量a r 、b r 的夹角，若对任意实数t ，||a tb +r r

的最小值为1，则下列判

断正确的是（ ）

A. 若||a r 确定，则θ唯一确定

B. 若||b r

确定，则θ唯一确定

C. 若θ确定，则||b r 唯一确定

D. 若θ确定，则||a r

唯一确定

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 已知a R ∈，函数1()||

f x a x =+

； （1）当1a =时，解不等式()2f x x ≤；

（2）若关于x 的方程()20f x x -=在区间[2,1]--上有解，求实数a 的取值范围；

18. 已知椭圆22

22:1x y a b

Γ+=（0a b >>）的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上

位于第一象限内的点，PQ x ⊥轴，垂足为Q ，且12||6F F =，12PF F ∠=

12PF F ∆的面积为

（1）求椭圆Γ的方程；

（2）若M 是椭圆上的动点，求||MQ 的最大值， 并求出||MQ 取得最大值时M 的坐标；

19. 现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为7.83

/g cm ，总重量为 5.8kg ，其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位：毫米）； （1）这堆螺帽至少有多少个；

（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要 耗材0.11千克，共需要多少千克防腐材料？ （结果精确到0.01）

20. 已知数列{}n a 的各项均为正数，且11a =，对任意的*

n N ∈，均有 2114(1)n n n a a a +-=⋅+，22log (1)1n n b a =+-；

（1）求证：{1}n a +是等比数列，并求出{}n a 的通项公式；

（2）若数列{}n b 中去掉{}n a 的项后，余下的项组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+； （3）设1

1

n n n d b b +=

⋅，数列{}n d 的前n 项和为n T ，是否存在正整数m （1m n <<），使得

1T 、m T 、n T 成等比数列，若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由；