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奥数-第5讲线束定理、相似-联赛班学生版

与平行线相关的几何结论：一、线束定理：过一点的三条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例．如图所示，直线12l l ∥，过点O 的三条直线分别交1l 、2l 于A 、A '，B 、B '，C 、C '，求证AB BC ACA B B C A C ==''''''. 证明：因为AB A B ''∥，故AB OB OAA B OB OA ==''''．同理可证BC OB B C OB ='''，AC OAA C OA ='''．故AB BC ACA B B C A C ==''''''．特别地，当AB BC =时，有A B B C ''''=，反之亦然.点评：平行线的这种性质易于理解和掌握，它的证明利用了平行线截线段成比例定理，但它不同于后者，定理只考虑两条平行线上被截得的线段之间的关系，且由一条平行线上被截得的两线段相等，立即可得另一条平行线上被截得的两线段也相等，这一结论是证明两线段相等或线段被平分的重要依据.平行线的这一性质还可推广到两条平行线被过一点的n 条直线所截的情形，即“过一点的n (3n ≥，n ∈N)条直线截两条平行线，截得的线段对应成比例.”因为过一点的若干条直线叫作线束，故该定理叫作线束定理．二、线段等式：111x y z+=. 如图所示，AB CD EF ∥∥.若AB x =，CD y =，EF z =，则111x y z+=. 证明：由题意可得z CEx CA=，z AE y AC =，则1z zx y +=，即111x y z+=.三、线段等式：111EF AB CD λλλ=+++. 第５讲北京市初二数学竞赛专项训练FE DCBA在梯形ABCD 中，EF 平行于两条底边,交BC 和DA 于EF ,其中BE AFEC FDλ==,则有如下等式成立111EF AB CD λλλ=+++．证明：由面积关系有：ABF BEC FCD ABE BEC ECD ABC ACD ABC BCD ABCD S S S S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆++=++==+=+梯形则由ABF BEC FCD ABC BCD S S S S S ∆∆∆∆∆++=+得到11111sin sin sin sin sin 22222AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC θθθθθ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅(θ为底边和腰BC 的夹角)所以AB BF EF BC CD FC AB BC CD BC ⋅+⋅+⋅=⋅+⋅ 即()()EF BC AB BC BF CD BC CF ⋅=⋅-+⋅-可化简为CF BF EF AB CD BC BC =+，即111EF AB CD λλλ=+++．这条关系式也可以通过平移梯形的腰，将梯形转化为三角形后用平行线截线段成比例定理证明．【例 1】如图所示，在梯形ABCD 中，O 是底AB 的中点，OC 、OD 分别交对角线BD 、AC 于E 、F ，FE 交AD 、BC 于G 、H ，求证GF FE EH ==.GD FEHOC B A【例 2】如图所示，M 、N 分别是矩形的边AD 、BC 的中点，在CD 的延长线上取点P ，PM 交对角线AC 于Q ，求证NM 平分PNQ ∠.板块一：线束定理Q NMP D CBA【例 3】如图所示，在ABC∆中，D、E、F分别是AB、BC、AC的中点，DM、DN分别是CDB∆和CDA∆的角平分线，MN交CD于O，EO、FO的延长线分别交AC、BC于Q、P，求证PQ CD=.PQONMFEDCBA【例 4】如图所示，H是ABC∆的高AD上的任意一点，BH、CH分别交AC、AB于E、F，求证EDH FDH∠=∠．FEHD CBA【例 5】如图所示，AD是ABC∆的外接圆O⊙的直径，过D的切线交CB的延长线于P，PO分别交AB、AC于M、N，求证OM ON=.NMPCBDOA【例 6】 (全国初中数学联合竞赛试题) 设凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 的交点为M ，过点M 作AD 的平行线分别交AB 、CD 于点E 、F ，交BC 的延长线于点O ，P 是以点O 为圆心、OM 为半径的圆上的一点，求证OPF OEP ∠=∠.F PO E MCBA D板块二：线段等式相关【例 7】 (前苏联数学奥林匹克竞赛试题) 如图所示，已知正七边形127A A A …，证明121314111A A A A A A =+．A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1【例 8】 (基辅数学奥林匹克竞赛试题) 在凸四边形ABCD 中，K 和M 分别是AB 和CD 边上的点，且有BK DMKA MC=.AM 与DK 交于点P ，BM 与CK 交于点Q ，求证KCD ADM BCM S S S ∆∆∆=+且 MPKQ ADP BCQ S S S ∆∆=+.QPK M DC BA【例 9】如图所示，在四边形ABCD 中，DE EF FC ==，AG GH HB ==，求证四边形ABCD 的面积等于四边形EFHG 的面积的三倍．H DEG FCBA【例 10】（2004年北京市初二数学竞赛）设111111A B C D E F ，，，，，分别是凸六边形ABCDEF 的边AB ，BC ，CD ，DE ，EF ，FA 的中点．1ABC ∆，1BCD ∆，1CDE ∆，1DEF ∆，1EFA ∆，1FAB ∆的面积之和为m ，六边形ABCDEF 的面积为S ．证明：23S m =．A1AF1FE1ED1DC1CB1B习题 1.如图所示，AB是O⊙的直径，PA、PC是O⊙的切线，C是切点，CD AB⊥于D，PB交CD 于E.求证EC ED=.习题 2.如图所示，以线段AB为直径作半圆,在另一侧作矩形ABCD，使2AB AD=，P为半圆上的任意一点，PC、PD分别交AB于F、E两点，求证222AF BE AB+=.FEPD CBA习题 3. (苏州市数学竞赛试题)如图所示，D、E分别是ABC∆的边BC、AB上的点，AD、CE交于F，BF、DE交于G.过G作BC的平行线分别交AB、CE、AC于M、H、N，求证GH NH=.NMHGF E D CB A习题 4. 如图所示，已知梯形ABCD ，AB CD ∥且7AB =、4CD =.延长AD 、BC 交于点E ，过E 作平行于AB 的直线，分别交AC 、BD 的延长线于N 、M ，则MN = .BA CD ENM习题 5. 如图所示，直线l 同侧有三个相邻的等边ABC ∆、ADE ∆、AFG ∆，且G 、A 、B 都在直线l 上，设这三个三角形的边长依次分别为a 、b 、c ，连接GD 交AE 于N ，再连接BN 交AC 于L ，求证abcAL ab bc ca=++．lLNF DE GBA C两个简单的“悖论”你知道11111111-+-+-+-+等于多少？解：设23111x x x x=-+-++，则当1x =时，有111112=-+-+即1111111112-+-+-+-+=，另解1：11111111(11)(11)(11)0000-+-+-+-+=-+-+-+=++++=，即111111110-+-+-+-+= 另解2：1111111(11)(11)(11)1001-+-+-+=+-++-++-++=+++=即111111111-+-+-+-+=大家觉得怪不怪，同一个式子，由于计算方法不同而得到了不同的值，这该怎样解释才使人信服？原来这是一个令大数学家欧拉既感兴趣又伤脑筋的问题，这里暂且用“悖论”作答吧．萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言．因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的．这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目．。

第3章代数式(压轴必刷30题6种题型专项训练)(原卷版)-2024-2025学年七年级数学上册同步

第3章代数式（压轴必刷30题6种题型专项训练）一．列代数式（共7小题）1．（2022秋•盱眙县期中）如图，两摞规格完全相同的课本整齐叠放在讲台上．请根据图中所给出的数据信息，回答下列问题：（1）每本课本的厚度为cm；（2）若有一摞上述规格的课本x本，整齐叠放在讲台上，请用含x的代数式表示出这一摞数学课本的顶部距离地面的高度；（3）当x＝56时，若从中取走14本，求余下的课本的顶部距离地面的高度．2．（2022秋•常州期中）李师傅下岗后，做起来小生意，第一次进货，他以每件a元的价格购进了30件甲种小商品，以每件b元的价格购进了40件乙种小商品，且a＜b．（1）若李师傅将甲种商品提价40%，乙种商品提价30%全部出售，他获利多少元？（用含有a，b的式子表示结果）（2）若李师傅将两种商品都以元的价格全部出售，他这次买卖是赚钱还是亏本，请说明理由？3．（2022秋•灌南县期中）如图①是1个直角三角形和2个小正方形，直角三角形的三条边长分别是a、b、c，其中a、b是直角边．正方形的边长分别是a、b．（1）将4个完全一样的直角三角形和2个小正方形构成一个大正方形（如图②）．用两种不同的方法列代数式表示图②中的大正方形面积：方法一：；方法二：；（2）观察图②，试写出（a+b）2，a2，2ab，b2这四个代数式之间的等量关系：；（3）请利用（2）中等量关系解决问题：已知图①中一个三角形面积是6，图②的大正方形面积是49，求a2+b2的值；（4）求3.142+6.28×6.86+6.862的值．4．（2022秋•海陵区校级月考）用字母表示数是数学发展史上的一个里程碑，利用字母表示数，可以简化计算，可以使数量之间的关系更加简明，且更具有普遍意义．（1）有理数的除法法则是“除以一个非零的数，等于乘以它的倒数”，请用字母表示这一法则：．（2）计算（++）﹣2×（﹣﹣﹣）﹣3×（++﹣）的结果是．（3）甲、乙两家商店都经营一种商品，一开始标价相同．甲先涨价20%，发现销量不好，接着降价20%出售；乙先降价20%，后来又涨价20%．设最后的实际售价分别是a甲和a乙，则a甲a乙．（填“＞”“＜”或者“＝”）5．（2022秋•建邺区校级月考）在数轴上有A、B、M三点，点M与点A、B之间的距离相等．（1）若A、B两点表示的数分别为﹣12、8，则点M表示的数为；（2）已知点A、B的运动方式如下：点A沿着数轴从数字﹣12处以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动，点B沿着数轴从数字8处以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t（t≠4）．①点M表示的数为；（用含t的代数式表示）②参照（2）中的描述方式，请直接写出点M的运动方式．6．（2022秋•秦淮区期中）（1）在下列横线上用含有a，b的代数式表示相应图形的面积．①②③④（2）请在图④画出拼图并通过拼图，你发现前三个图形的面积与第四个图形面积之间有什么关系？请用数学式子表达：．（3）利用（2）的结论计算10.232+20.46×9.77+9.772的值．7．（2022秋•宝应县期中）如图，在长方形中挖去两个三角形．（1）用含a、b的式子表示图中阴影部分的面积；（2）当a＝10，b＝8时求图中阴影部分的面积．二．代数式求值（共6小题）8．（2022秋•启东市校级月考）a※b是新规定的这样一种运算法则：a※b＝a2+2ab，例如3※（﹣2）＝32+2×3×（﹣2）＝﹣3（1）试求（﹣2）※3的值（2）若1※x＝3，求x的值（3）若（﹣2）※x＝﹣2+x，求x的值．9．（2022秋•常州月考）现定义一种新运算：a⊗b＝ab+a﹣b，如1⊗3＝1×3+1﹣3＝1．（1）求[（﹣2）⊗5]⊗（6）（2）新定义的运算满足交换律吗？试举例说明．10．（2022秋•江阴市校级月考）如果a，b互为相反数，c，d互为倒数，x的绝对值是1，y是数轴负半轴上到原点的距离为1的数，求代数式﹣cd+y2017的值．11．（2022秋•徐州期中）某校团委组织了有奖征文活动，并设立了一、二、三等奖，根据设奖情况买了50件奖品，其二等奖奖品的件数比一等奖奖品的件数的2倍少10，各种奖品的单价如下表所示：一等奖奖品二等奖奖品三等奖奖品单价/元12105数量/件x如果计划一等奖奖品买x件，买50件奖品的总价是y元．（1）先填表，再用含x的代数式表示y并化简；（2）若一等奖奖品买10件，则共花费多少？12．（2022秋•兴化市校级月考）某班将买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售同样品牌的乒乓球和乒乓球拍．乒乓球拍每副定价48元，乒乓球每盒定价12元，经洽谈后，甲店每买一副球拍赠一盒乒乓球，乙店全部按定价的9折优惠．该班需球拍5副，乒乓球x盒（不小于5盒）．问：（1）用代数式表示甲、乙两店购买所需的费用；（2）当需要40盒乒乓球时，通过计算，说明此时去哪家购买较为合算；（3）当需要40盒乒乓球时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试写出你的购买方法和所需费用．13．（2022秋•兴化市校级期末）某商场购进一批西服，进价为每套250元，原定每套以290元的价格销售，这样每天可销售200套．如果每套比原销售价降低10元销售，则每天可多销售100套．该商场为了确定销售价格，作了如下测算，请你参加测算，并由此归纳得出结论．（每套西服的利润＝每套西服的销售价﹣每套西服的进价）．（1）按原销售价销售，每天可获利润元；（2）若每套降低10元销售，每天可获利润元；（3）如果每套销售价降低10元，每天就多销售100套，每套销售价降低20元，每天就多销售200套，按这种方式，若每套降低10x元（0≤x≤4，x为正整数）请列出每天所获利润的代数式；（4）计算x＝2和x＝3时，该商场每天获利润多少元？（5）根据以上的测算，如果你是该商场的经理，你将如何确定商场的销售方案？三．规律型：数字的变化类（共6小题）14．（2022秋•江阴市期中）式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为；（3）计算：．15．（2022秋•宿城区期中）如表，从左边第一个格子开始向右数，在每个小格子中都填入一个整数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等．6a b x﹣21…（1）可求得x＝，第2019个格子中的数为；（2）判断：前m个格子中所填整数之和是否可能为2019？若能，求出m的值，若不可能，请说明理由；（3）如果x，y为前3格子中的任意两个数，那么所有的|x﹣y|的和可以通过计算|6﹣a|+|a﹣6|+|a﹣b|+|b ﹣a|+|6﹣b|+|b﹣6|得到．若x，y为前20格子中的任意两个数，则所有的|x﹣y|的和为．16．（2022秋•锡山区校级月考）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝（1﹣）第2个等式：a2＝＝（﹣）第3个等式：a3＝＝（﹣）第4个等式：a4＝＝（﹣）…请回答下列问题：（1）按上述等式的规律，列出第5个等式：a5＝＝（2）用含n的式子表示第n个等式：a n＝＝（3）求a1+a2+a3+a4+…+a100的值．17．（2022秋•广陵区校级月考）观察下列等式＝1﹣，＝，＝将以上三个等式两边分别相加得：++＝1﹣++＝1﹣＝（1）猜想并写出：＝（2）直接写出下列各式的计算结果：①+++…+＝②+++…+＝（3）探究并计算：+++…+．18．（2022秋•苏州期末）分类讨论是重要的数学方法，如化简|x|，当x＞0时，|x|＝x；当x＝0时，|x|＝0；当x＜0时，|x|＝﹣x．求解下列问题：（1）当x＝﹣3时，值为，当x＝3时，的值为，当x为不等于0的有理数时，的值为；（2）已知x+y+z＝0，xyz＞0，求的值；（3）已知：x1，x2，…，x2021，x2022，x2023，这2023个数都是不等于0的有理数，若这2023个数中有n个正数，，则m的值为（请用含n的式子表示）．19．（2022秋•靖江市月考）从2开始，连续的偶数相加，它们的和的情况如下：（1）按这个规律，当m＝6时，和为；（2）从2开始，m个连续偶数相加，它们的和S与m之间的关系，用公式表示出来为：．（3）应用上述公式计算：①2+4+6+…+200②202+204+206+ (300)四．规律型：图形的变化类（共4小题）20．（2022秋•大丰区校级月考）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10…这样的数称为“三角形数”，而把1，4，9，16…这样的数称为“正方形数”．从图中可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻“三角形数”之和．下列等式中，符合这一规律的是（）A．13＝3+10B．25＝9+16C．36＝15+21D．49＝18+3121．（2022秋•海陵区校级月考）如图，在数轴上，点A表示1，现将点A沿x轴做如下移动，第一次点A 向左移动3个单位长度到达点A1，第二次将点A1向右移动6个单位长度到达点A2，第三次将点A2向左移动9个单位长度到达点A3，按照这种移动规律移动下去，第n次移动到点A n，如果点A n与原点的距离不小于20，那么n的最小值是．22．（2022秋•灌云县期中）某餐厅中，一张桌子可坐6人，有以下两种摆放方式：（1）当有n张桌子时，两种摆放方式各能坐多少人？（2）一天中午餐厅要接待98位顾客共同就餐，但餐厅只有25张这样的餐桌，若你是这个餐厅的经理，你打算选择哪种方式来摆放餐桌？为什么？23．（2022秋•钟楼区校级月考）平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换（1）平移运动①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是．A．（+4）+（+1）＝+5B．（+4）+（﹣1）＝+3C．（﹣4）﹣（+1）＝﹣5D．（﹣4）+（+1）＝﹣3②一机器人从原点O开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，…，依此规律跳，当它跳2022次时，落在数轴上的点表示的数是．（2）翻折变换①若折叠纸条，表示﹣1的点与表示3的点重合，则表示2022的点与表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为2022（A在B的左侧，且折痕与①折痕相同），且A、B两点经折叠后重合，则A点表示，B点表示．③一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是﹣19、8，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A对应的点A'落在点B的右边，并且A'B＝2，求点C表示的数．五．整式的加减（共4小题）24．（2022秋•海州区期中）已知：A＝ax2+x﹣1，B＝3x2﹣2x+1（a为常数）（1）若A与B的和中不含x2项，求a的值；（2）在（1）的条件下化简：B﹣2A．25．（2022秋•宿城区期中）已知多项式（2x2+ax﹣y+6）﹣（bx2﹣2x+5y﹣1）（1）若多项式的值与字母x的取值无关，求a、b的值；（2）在（1）的条件下，先化简多项式2（a2﹣ab+b2）﹣（a2+ab+2b2），再求它的值．26．（2022秋•泗洪县期中）已知代数式A＝2x2+3xy+2y，B＝x2﹣xy+x．（1）求A﹣2B；（2）若A﹣2B的值与x的取值无关，求y的值．27．（2022秋•锡山区期中）对于整数a，b，定义一种新的运算“⊙”：当a+b为偶数时，规定a⊙b＝2|a+b|+|a﹣b|；当a+b为奇数时，规定a⊙b＝2|a+b|﹣|a﹣b|．（1）当a＝2，b＝﹣4时，求a⊙b的值．（2）已知a＞b＞0，（a﹣b）⊙（a+b﹣1）＝7，求式子（a﹣b）+（a+b﹣1）的值．（3）已知（a⊙a）⊙a＝180﹣5a，求a的值．六．整式的加减—化简求值（共3小题）28．（2022秋•东海县期中）小华从课外书上抄写了这样一道练习题：已知x＝3．求：6x2+4x﹣2（x2﹣1）﹣2（2x+x2）的值．粗心的小华把x＝3抄成了x＝﹣3，但计算的结果却是正确的．同学们你知道其中原因吗？29．（2022秋•东台市期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2．（1）按照这个规定，请你计算|的值；（2）按照这个规定，请你计算（x﹣2）2+（y+）2＝0时，值．30．（2022秋•海安市期中）阅读材料：对于任何数，我们规定符号的意义是＝ad﹣bc．例如：＝1×4﹣2×3＝﹣2（1）按照这个规定，请你计算的值．（2）按照这个规定，请你计算当|m+3|+（n﹣1）2＝0时，的值．。

历年初中数学竞赛试题精选(含解答)

初三数学竞赛试题 4、某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比进价高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整为原来零售价的b%出售，那么调价后每件衬衣的零售价是（）A. m(1+a%)(1-b%)元B. m?a%(1-b%)元C. m(1+a%)b%元D. m(1+a%b%)元解：选C。

设全天下雨a天，上午晴下午雨b天，上午雨下午晴c天，全天晴d天。

由题可得关系式a=0①，b+d=6②，c+d=5③，a+b+c=7④，②＋③－④得2d-a=4，即d＝2，故b=4，c=3，于是x＝a+b+c+d=9。

解：出发1小时后，①、②、③号艇与④号艇的距离分别为各艇追上④号艇的时间为对＞＞＞有，即①号艇追上④号艇用的时间最小，①号是冠军。

解：设开始抽水时满池水的量为，泉水每小时涌出的水量为，水泵每小时抽水量为，2小时抽干满池水需n台水泵，则由①②得，代入③得：∴，故n的最小整数值为23。

答：要在2小时内抽干满池水，至少需要水泵23台解：设第一层有客房间，则第二层有间，由题可得由①得：，即由②得：，即∴原不等式组的解集为∴整数的值为。

答：一层有客房10间。

解：设劳动竞赛前每人一天做个零件由题意解得∵是整数∴＝16（16＋37）÷16≈3.3故改进技术后的生产效率是劳动竞赛前的3.3倍。

初中数学竞赛专项训练（2）（方程应用）一、选择题：答：D。

解：设甲的速度为千米/时，乙的速度为千米/时，根据题意知，从出发地点到A的路程为千米，到B的路程为千米，从而有方程：，化简得，解得不合题意舍去）。

应选D。

答：C。

解：第k档次产品比最低档次产品提高了（k－1）个档次，所以每天利润为所以，生产第9档次产品获利润最大，每天获利864元。

答：C。

解：若这商品原来进价为每件a元，提价后的利润率为，则解这个方程组，得，即提价后的利润率为16%。

答：B。

解：设甲乙合作用天完成。

由题意：，解得。

故选B。

答：A。

解：A与B比赛时，A胜2场，B胜0场，A与B的比为2∶0。

数学竞赛专项训练-整除、质数、合数、倍数、约数【精选】

数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数数学竞赛专项训练第一讲　数的整除一、内容提要：如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征除数能被整除的数的特征2或5末位数能被2或5整除 4或25末两位数能被4或25整除8或125末三位数能被8或125整除3或9各位上的数字和被3或9整除(如771，54324)11奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被11整除(如143,1859,1287,908270等)7,11,13末三位与末三位以前的数相减,其差能被7或11或13整除.(如1001，22743，17567，21281等)能被7整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍　③其差能被7整除。

如　1001 100－2＝98（能被7整除）又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）能被11整除的数的特征： ①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除如　1001 100－1＝99（能11整除）又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）二、例题例1已知两个三位数328和的和仍是三位数且能被9整除。

92x 75y 求x,y解：x,y 都是0到9的整数，∵能被9整除，∴y=6.75y ∵328＋＝567，∴x=392x 例2已知五位数能被12整除，求x 1234x解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当1＋2＋3＋4＋能被3整除时，x=2，5，8x 当末两位能被4整除时，＝0，4，84x x ∴＝8x 例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，　但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行　调整末两位数为30，41，52，63，均可，数学竞赛专项训练－整除、质数、合数、倍数、约数∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

(完整版)初中数学专项训练：多边形及其内角和

初中数学专项训练：多边形及其内角和一、选择题1．一个多边形的每个外角都等于72°，则这个多边形的边数为【】A．5 B．6 C．7 D．82．五边形的内角和为【】A．720° B．540° C．360° D．180°3．一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为720°，那么原多边形的边数为【】A．5 B．5或6 C．5或7 D．5或6或74．已知一个多边形的内角和是0540，则这个多边形是【】A. 四边形B. 五边形 C . 六边形 D. 七边形5．四边形的内角和的度数为A．180° B．270° C．360° D．540°6．如图，过正五边形ABCDE的顶点A作直线l∥BE，则∠1的度数为A．30°B．36°C．38°D．45°7．（2013年四川资阳3分）一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是【】A．正六边形 B．正八边形 C．正十边形 D．正十二边形8．（2013年四川眉山3分）一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是【】A．9 B．10 C．11 D．129．（2013年广东梅州3分）若一个多边形的内角和小于其外角和，则这个多边形的边数是【】A．3 B．4 C．5 D．610．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（）.两角互余（B）两角互补（C）两角互余或互补（D）不能确定11．正五边形、正六边形、正八边形的每个内角的度数分别是_______.12．若一个多边形的内角和等于1080°,则这个多边形的边数是 ( )A.9B.8C.7D.613．若一个多边形共有十四条对角线,则它是( )A.六边形B.七边形C.八边形D.九边形14．四边形中,如果有一组对角都是直角,那么另一组对角可能( )A.都是钝角;B.都是锐角C.是一个锐角、一个钝角D.是一个锐角、一个直角15．一个多边形的内角中,锐角的个数最多有( )A.3个B.4个C.5个D.6个16．若一个多边形的各内角都相等,则一个内角与一个外角的度数之比不可能是( ) A.2:1 B.1:1 C.5:2 D.5:417．不能作为正多边形的内角的度数的是( )A.120°B.(12847)° C.144° D.145°18．一个多边形的外角中,钝角的个数不可能是( )19．一个多边形恰有三个内角是钝角，那么这个多边形的边数最多为（）Ａ．5 Ｂ．6 Ｃ．7 Ｄ．820．如图，若90A B C D E F n +++++=o g ∠∠∠∠∠∠，那么n 等于（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．521．如果一个多边形的每个外角，都是与它相邻内角的三分之一，则这样的多边形有（）Ａ．无穷多个，它的边数为8Ｂ．一个，它的边数为8Ｃ．无穷多个，它的边数为6Ｄ．无穷多个，它的边数不可能确定22．如果一个正多边形的一个内角等于135o ，则这个正多边形是（）Ａ．正八边形Ｂ．正九边形Ｃ．正七边形Ｄ．正十边形二、填空题23．一个六边形的内角和是 .24．如图，在四边形ABCD 中，∠A=450，直线l 与边AB 、AD 分别相交于点M 、N 。

初中数学竞赛专题训练试题及解析(共10套)

初中数学竞赛专项训练（1）（实数）一、选择题1、如果自然数a 是一个完全平方数，那么与a 之差最小且比a 大的一个完全平方数是（） A. a ＋1B. a 2+1C. a 2+2a+1D. a+2a +12、在全体实数中引进一种新运算*，其规定如下：①对任意实数a 、b 有a *b=（a ＋b ）(b －1)②对任意实数a 有a *2＝a *a 。

当x ＝2时，［3*（x *2）］－2*x ＋1的值为（） A. 34B. 16C. 12D. 63、已知n 是奇数，m 是偶数，方程⎩⎨⎧=+=+m y x n y 28112004有整数解x 0、y 0。

则（）A. x 0、y 0均为偶数B. x 0、y 0均为奇数C. x 0是偶数y 0是奇数D. x 0是奇数y 0是偶数4、设a 、b 、c 、d 都是非零实数，则四个数-ab 、ac 、bd 、cd （） A. 都是正数B. 都是负数C. 两正两负D. 一正三负或一负三正5、满足等式2003200320032003=+--+xy x y x y y x 的正整数对的个数是（） A. 1B. 2C. 3D. 46、已知p 、q 均为质数，且满足5p 2+3q=59，由以p ＋3、1－p ＋q 、2p ＋q －4为边长的三角形是 A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形7、一个六位数，如果它的前三位数码与后三位数码完全相同，顺序也相同，由此六位数可以被（）整除。

A. 111B. 1000C. 1001D. 11118、在1、2、3……100个自然数中，能被2、3、4整除的数的个数共（）个 A. 4 B. 6C. 8D. 16二、填空题 1、若20011198********⋯⋯++=S ，则S 的整数部分是____________________2、M 是个位数字不为零的两位数，将M 的个位数字与十位数字互换后，得另一个两位数N ，若M －N 恰是某正整数的立方，则这样的数共＿＿＿个。

2014届八年级全国数学竞赛赛前专项训练_命题及三角形边角不等关系(详解)

初中数学竞赛专项训练（命题及三角形边角不等关系）一、选择题：1、如图8-1，已知AB ＝10，P 是线段AB 上任意一点，在AB 的同侧分别以AP 和PB 为边作两个等边三角形APC 和BPD ，则线段CD 的长度的最小值是（） A. 4B. 5C. 6D. )15(5-2、如图8-2，四边形ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7，则BC ＋CD 等于（） A. 36B. 53C. 43D. 333、如图8-3，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若EF ∥BC ，且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，则EF 的长为（） A. 745 B. 533 C. 539 D. 2154、已知△ABC 的三个内角为A 、B 、C 且α＝A+B ，β＝C+A ，γ＝C+B ，则α、β、γ中，锐角的个数最多为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 05、如图8-4，矩形ABCD 的长AD ＝9cm ，宽AB ＝3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，那么折叠后DE 的长和折痕EF 的长分别为（）A. 4cm cm 10B. 5cm cm 10C. 4cm cm 32D. 5cm cm 326、一个三角形的三边长分别为a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为a ，b ，b ，其中a>b ，若两个三角形的最小内角相等，则b a的值等于（）A.213+ B.215+ C. 223+ D. 225+ 7、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是（）A. 0B. 1C. 3D. 58、若函数)0(>=k kx y 与函数xy 1=的图象相交于A ，C 两点，AB 垂直x 轴于B ，则△ABC 的面积为（） A. 1B. 2C. kD. k 2二、填空题1、若四边形的一组对边中点的连线的长为d ，另一组对边的长分别为a ，b ，则d 与2ba +的大小关系是＿＿＿＿＿＿＿60°A B CD A CD P图8-1 图8-2图8-3 图8-42、如图8-5，AA ′、BB ′分别是∠EAB 、∠DBC 的平分线，若AA ′＝BB ′＝AB ，则∠BAC 的度数为＿＿＿3、已知五条线段长度分别是3、5、7、9、11，将其中不同的三个数组成三数组，比如（3、5、7）、（5、9、11）……问有多少组中的三个数恰好构成一个三角形的三条边的长＿＿＿＿＿4、如图8-6，P 是矩形ABCD 内一点，若PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，则PD ＝＿＿＿＿＿＿＿5、如图8-7，甲楼楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12时太阳光线与水平面的夹角为30°，此时求①如果两楼相距20米，那么甲楼的影子落在乙楼上有多高？＿＿＿＿＿＿②如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应当是＿＿＿＿＿＿米。

苏教版2022-2023学年九年级数学上册《一元二次方程的应用八大题型》专项训练

【讲练课堂】2022-2023学年九年级数学上册尖子生同步培优题典【苏科版】专题1.12一元二次方程的应用八大题型专项训练（重难点培优）【知识点1】增长率问题【例1】（2022·江苏·九年级专题练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．随着北京冬奥会开幕日的临近，某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆．据统计，该店2021年10月的销量为3万件，2021年12月的销量为3.63万件．(1)求该店“冰墩墩”销量的月平均增长率；(2)假设该店“冰墩墩”销量的月平均增长率保持不变，则2022年1月“冰墩墩”的销量有没有超过4万件？请利用计算说明．【变式1.1】（2020·江苏·南京市金陵汇文学校九年级阶段练习）2020年，受新冠肺炎疫情影响，口罩紧缺，某网店以每袋8元（一袋十个）的成本价购进了一批口罩，二月份以一袋14元的价格销售了256袋，三、四月该口罩十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，四月份的销售量达到400袋．(1)求三、四这两个月销售风的月平均增长率；(2)为回馈客户，该网店决定五月降价促销，经调查发现，在四月份销量的基础上，该口罩每袋降价1元，销售量就增加40袋，当口罩每袋降价多少元时，五月份可获利1920元？【变式1.2】（2022·江苏南通·八年级期末）为了满足师生的阅读需求，某校图书馆的藏书从2019年底到2021年底两年内由5万册增加到7.2万册．(1)求这两年藏书的年平均增长率；(2)该校期望2022年底藏书量达到8.6万册，按照（1）中藏书的年平均增长率，上述目标能实现吗请通过计算说明．【变式1.3】（2022·江苏盐城·一模）3月初某商品价格下跌，每件价格下跌20％，用3000元买到的该商品件数比下跌前多25件．3月下旬该商品开始涨价，经过两次涨价后，该商品价格为每件29.04元．(1)求3月初该商品下跌后的价格；(2)若该商品两次涨价率相同，求该商品价格的平均涨价率．【知识点2】传播问题【例2】（2022·江苏·泰州中学附属初中九年级期末）流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0．【变式2.1】（2021·江苏·连云港市新海实验中学九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，求每轮传染中平均每个人传染了几个人？【变式2.2】（2020·江苏宿迁·九年级阶段练习）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：（1）每轮传染中平均每个人传染了几个人？（2）如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？【变式2.3】（2011·江苏南通·九年级期中）某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染．请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？【知识点3】营销问题【例3】（2022·江苏·九年级）南京某特产专卖店销售某种特产，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后天经过市场调查发现，单价每降低1元，平均每天的销售量可增加10千克．专卖店销售这种特产若想要平均每天获利2240元，且销售尽可能大，则每千克特产应定价为多少元？(1)解：方法1：设每千克特产应降价x元，由题意，得方程为________；方法2：设每千克特产降低后定价为x元，由题意得方程为：________．(2)请你选择一种方法，写出完整的解答过程．【变式3.1】（2021·江苏扬州·九年级期中）某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件．为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润．据测算，每件童装每降价1元，平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元．(1)每天可销售多少件，每件盈利多少元？（用含x的代数式表示）(2)每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元．(3)平均每天盈利能否达到2000元，请说明理由．【变式3.2】（2022·江苏省锡山高级中学实验学校八年级期末）某地农产品专卖店收购了一种非常受欢迎的土特产，该店以80元/千克收购了这种土特产2000千克，若立即销往外地，每千克可以获利20元．根据市场调查发现，该种土特产的销售单价每天上涨0.4元/千克，为了获得更大利润，该店决定先贮藏一段时间后再出售．根据以往经验，这批土特产的贮藏时间不宜超过60天，在贮藏过程中平均每天损耗5千克．(1)若商家将这批土特产贮藏x天后一次性出售，请完成下列表格：每千克土特产售价（单位：元）可供出售的土特产质量（单位：千克）现在出售 2000x天后出售(2)将这批土特产贮藏多少天后一次性出售最终可获得总利润50000元？【变式3.3】（2022·江苏无锡·八年级期末）某网店第一次用17500元购进一批医用外科口罩，很快销售一空，第二次又用40000元购进该医用外科口罩，但这次每盒的进价比第一次进价多5元，购进数量则是第一次的2倍．(1)第一次每盒医用外科口罩的进价是多少元？(2)该网店发现：每盒售价为60元时，每星期可卖300盒．为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．该网店某星期销售该款口罩获得了6480元的毛利润，该款口罩每盒成本为第二次的进价，那么该网店这星期销售该款口罩多少盒？[毛利润=（售价-进价）×销售量]【知识点4】面积问题【例4】（2022·江苏泰州·中考真题）如图，在长为50 m，宽为38 m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260 m2，道路的宽应为多少？【变式4.1】（2022·江苏徐州·九年级期末）如图，有一张长6cm、宽5cm的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，用剩余（阴影）部分可制成底面积为6cm2的有盖长方体铁盒．求剪去的正方形的边长．【变式4.2】（2022·江苏南京·九年级期末）某单位要修建一个长方形的活动区（图中阴影部分），根据规划活动区的长和宽分别为20m和16m，同时要在它四周外围修建宽度相等的小路．已知活动区和小路的总面积为480m2．(1)求小路的宽度．(2)某公司希望用50万元承包这项工程，该单位认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以32万元达成一致．若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．【变式4。

初中数学竞赛专项训练之逻辑推理附答案

初中数学竞赛专项训练之逻辑推理一、选择题：1、世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分，小组赛完以后，总积分最高的两个队出线进入下轮比赛，如果总积分相同，还要按净胜球排序，一个队要保证出线，这个队至少要积（）A. 6分B. 7分C. 8分D. 9分2、甲、乙、丙三人比赛象棋，每局比赛后，若是和棋，则这两个人继续比赛，直到分出胜负，负者退下，由另一个与胜者比赛，比赛若干局后，甲胜4局，负2局；乙胜3局，负3局，如果丙负3局，那么丙胜（）A. 0局B. 1局C. 2局D. 3局3、已知四边形ABCD 从下列条件中①AB ∥CD ②BC ∥AD ③AB ＝CD ④BC ＝AD ⑤∠A ＝∠C ⑥∠B ＝∠D ，任取其中两个，可以得出“四边形ABCD 是平行四边形”这一结论的情况有（）A. 4种B. 9种C. 13种D. 15种4、某校初三两个毕业班的学生和教师共100人，一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空档处，那么满足上述要求的排法的方案有（）A. 1种B. 2种C. 4种D. 0种5、正整数n 小于100，并且满足等式n n n n =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡632，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，这样的正整数n 有（）个A. 2B. 3C. 12D. 166、周末晚会上，师生共有20人参加跳舞，其中方老师和7个学生跳舞，张老师和8个学生跳舞……依次下去，一直到何老师，他和参加跳舞的所有学生跳过舞，这个晚会上参加跳舞的学生人数是（）A. 15B. 14C. 13D. 127、如图某三角形展览馆由25个正三角形展室组成，每两个相邻展室（指有公共边的小三角形）都有门相通，若某参观者不愿返回已参观过的展室（通过每个房间至少一次），那么他至多能参观（）个展室。

(苏科版)七年级数学上册一元一次方程的实际应用专项训练18：比赛积分类问题(含答案与解析)

一元一次方程的实际应用专项练习—比赛积分类问题1．为了提升学生体育锻炼意识，七年一班进行了一次投掷实心球的测试，老师在操场上画出了A，B，C 三个区域，每人投掷5次，实心球落在各个区域的分值各不相同，落在C区域得3分．甲、乙、丙三位同学投掷后其落点如图所示，已知甲同学的得分是19分．请解答下列问题：（1）设投进B区域得x分，则投进A区域的得分是（用含x的式子表示）（2）若乙同学的得分是21分，求投进B区域的得分及丙同学的得分．2．下表是某年篮球世界杯小组赛C组积分表：排名国家比赛场数胜场负场总积分1 美国 5 5 0 102 土耳其 53 2 83 乌克兰 5 2 3 74 多米尼加5 2 3 75 新西兰 5 2 3 76 芬兰 5 1 m n（1）由表中信息可知，胜一场积几分？你是怎样判断的？（2）m= ；n= ；（3）若删掉美国队那一行，你还能求出胜一场、负一场的积分吗？怎样求？（4）能否出现某队的胜场积分与负场积分相同的情况，为什么？3．一名篮球运动员在一次比赛中20投12中得24分，投中的两分球的个数是投中三分球个数的4倍，则投中的三分球、两分球、罚球分别是几个？4．在学完“有理数的运算”后，我县某中学七年级每班各选出5名学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识竞赛．竞赛规则是：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答错一题倒扣1分．（1）如果七年级一班代表队最后得分为190分，那么七年级一班代表队回答对了多少道题？（2）七年级二班代表队的最后得分有可能为142分吗？请说明理由．5．2019年国际泳联第十八届世界游泳锦标赛7月28日晚在韩国光州落下帷幕．中国队共获得了30枚奖牌，其中铜牌3枚，金牌比银牌多5枚，本次大赛中国队共获得了多少枚金牌?6．足球比赛的规则为：胜场得3分，平场得1分，负一场得0分，一支球队在某个赛季共需比赛14场，现已经赛了8场，输了一场，得17分，请问：（1）前8场比赛中胜了几场？（2）这支球队打满14场后最高得多少分？（3）若打14场得分不低于29分，则在后6场比赛中这个球队至少胜几场？7．某班的一次数学小测验中，共有20道选择题，每题答对得相同分数，答错或不答扣相同分数.现从中抽出了四份试卷进行分析，结果如下表：(1)此份试卷的满分是多少分？如果全部答错或者不答得多少分？(2)如果小颖得了0分，那么小颖答对了多少道题？(3)小慧说她在这次测验中得了60分，她说的对吗？为什么？8．列方程解应用题：为提高学生的计算能力,我县某学校八年级在元旦之前组织了一次数学速算比赛。

【初中数学竞赛】专题06 逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练(全国竞赛专用)原卷版

【初中数学竞赛】专题06 逻辑推理竞赛综合-50题真题专项训练（全国竞赛专用）1．（2021·全国·九年级竞赛）有一个黑盒和8个分别标上1，2，…，8的白盒，8个白盒中共有8个球，允许进行如下操作A ：若标号为k 的白盒内恰有k 个球，则取出这k 个球，分别放入黑盒及标号为1，2，…，1k -的白盒中各一个球．证明：存在唯一一种放法，使得8个球开始都在白盒中，经过有限次操作A 后，使球全部在黑盒中． 2．（2022·福建·九年级统考竞赛）已知矩形ABCD 的边AB =21，BC =19，r 是给定的小于1的正实数．(1)在矩形ABCD 内任意放入114个直径为1的圆．证明：在矩形ABCD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这114个圆都没有交点（也不在某个圆的内部）；(2)在矩形ABCD 内任意放入95个单位正方形（边长为1的正方形）．证明：在矩形ABCD 内一定还可以放入一个直径为r 的圆，它和这95个正方形都没有交点（也不在某个正方形的内部）．3．（2021·全国·九年级竞赛）表（1）是一个英文字母显示盒，每一次操作可以使一行4个字母同时改变或者使某列4个字母同时改变，改变的规则是按照英文字母表的顺序，每个字母变成它们下一个字母（即A 变成B ，B 变成C ，…，Y 变成Z ，Z 变成A ）．问能否经过有限次操作，使表（1）变成表（2）？如果能，请写出变化过程；如果不能，请说明理由． S OB R K B D S T Z F PH E Z G H O C NR T B S A D V Z C F YA （1）（2）4．（2021·全国·九年级竞赛）正五边形的每个顶点对应一个整数，使得5个整数的和为正数，若其中相邻3个顶点上的整数依次为x ，y ，z 且0y <，则要进行以下调整：整数x ，y ，z 分别换成x y +，y -，z y +．要是5个整数中至少还有一个是负数，这种变换还要继续下去．问：这样的变换进行有限次后是否必然终止？5．（2021·全国·九年级竞赛）假设黑板上已写一个数2，然后甲、乙两人轮流写数，若刚才写的数为l ，则接着写的人可以写1l +至21l -中任意一个数，若甲先写，谁先写出2010则谁获胜．问谁有必胜策略？6．（2021·全国·九年级竞赛）A ，B ，C 三人做游戏，规则如下：三张牌每张上写一个正整数，这三个数是,,p q r ，且p q r <<，三张牌混合后再分给三个人，使每人各得一张，再按牌上的数分得小球，接着将牌收回重发，但分得的小球仍留在各人手中，这个游戏（发牌、分球、收牌）至少要进行两次，最后一次结束后，A ，B ，C 分别得20，10，9个球，还知道B 在最后一次游戏中得r 个球问：谁在第一次得q 个球?7．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流做如下游戏：甲每次可将平面上某点标以红色，乙接着将平面内10个未染色的点标以绿色．甲先开始，如果到某步有3个红点成为一个等边三角形的三个顶点，那么甲获胜问：是否乙总可以做到不让甲获胜？ 8．（2021·全国·九年级竞赛）这里有8个人在说话，他们说的话包括自己在内，请认真读他们说的话，然后回答下列问题：张一：“我们中间至少有1个人说的是正确的．”王二：“我们中间至少有2个人说的是正确的．”赵三：“我们中间至少有3个人说的是正确的．”李四：“我们中间至少有4个人说的是正确的．”钱五：“我们中间至少有1个人说的是错误的．”徐六：“我们中间至少有2个人说的是错误的．”亚七：“我们中间至少有3个人说的是错误的．”孙八：“我们中间至少有4个人说的是错误的．”说错话的是谁（有几个人就画上几个记号，如果没有就回答没有）9．（2021·全国·九年级竞赛）某大学的四位学生张亮、胡佳、李坤和王勇分别来自北京、上海、湖南和黑龙江，他们学的专业分别是数学、物理、计算机和英语．除此以外，还知道：（1）张亮学习的专业是数学和物理中一门，不是南方人；（2）胡佳是南方人，学的专业既不是数学也不是物理；（3）李坤和北京来的学生及学数学专业的学生三人同住在一栋宿舍；（4）湖南来的学生学的专业不是计算机；（5）王勇不是北京来的学生，年龄比黑龙江来的学生以及学计算机的学生这二人都小．根据这些情况，你能否判断这四位学生各来自什么地方各学习什么专业?10．（2021·全国·九年级竞赛）世界杯足球赛第一轮比赛中，每个小组有4支球队，每两队之间各赛一场，胜者得3分，负者得零分，平局时两队各得1分，每个小组总分多的两个队出线，进入第二轮比赛．（1）有人说：“得6分的队一定出线，得2分的队一定不出线．”请判断并说明对错；（2）如果小组比赛中至少有一场平局，那么上述说法是否正确?11．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙、丙、丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙胜的场数相同．问丁胜了几场？12．（2021·全国·九年级竞赛）能否找到这样的四个正整数，使得它们中任意两个之积与2002的和是完全平方数？若能够，请举出一例；若不能够，请说明理由． 13．（2021·全国·九年级竞赛）13位小运动员，他们身穿运动服的号码分别是1~13号，问这13名运动员能否站成一个圆圈，使任意相邻两名运动员的号码数之差的绝对值不小于3且不大于5．如果能，试举一例；如果不能，说明理由．14．（2021·全国·九年级竞赛）证明：在平面直角坐标系中，不存在以整点为顶点的正三角形．15．（2021·全国·九年级竞赛）100名运动员参加赛跑，已知其中任意12人中总有2人是彼此熟悉的，求证：运动的号码不论如何编排（未必是从1到100），总可以找到两个彼此熟悉的运动员，他们的号码的最高数位的数字相同．16．（2021·全国·九年级竞赛）在一次马拉松长跑比赛上，有100位选手参加，大会准备了100块标有整数1到100的号码布，分发给每位选手，选手们被要求在比赛结束时，将自己的号码布上的数与到达终点时的名次相加，并将这个和数交上去．问：这样交上去的100个数的末2位数字是否可能都不同？请回答可能或不可能，并清楚地说明理由（注没有同时到达终点的选手）．17．（2021·全国·九年级竞赛）（1）是否存在正整数,m n 使(2)(1) m m n n +=+？（2）设(3)k k ≥是给定的正整数，是否存在正整数,m n 使()(1)m m k n n +=+？ 18．（2021·全国·九年级竞赛）设甲有一条长为k 的线段，乙有一条长为l 的线段，甲先将自己的线段分成3段．然后乙也将自己的线段分成3段，如果可用分得的6条线段组成两个三角形，则乙胜；否则甲胜．问甲、乙两人谁能根据比值k l的大小保证自己获胜？他该如何进行？19．（2021·全国·九年级竞赛）在六张纸片的正面分别写上整数1,2,3,4,5,6，打乱次序后，将纸片翻过来，在它的反面也随意分别写上1~6这六个整数，然后计算每张纸片正面与反面所写数之差的绝对值．请你证明：所得的六个数中至少有两个是相同的． 20．（2021·全国·九年级竞赛）已知平面内任意四点，其中任意三点不共线．试问：是否一定能从这样的四点中选出三点构成一个三角形，使得这个三角形至少有一个内角不大于45︒？请证明你的结论．21．（2021·全国·九年级竞赛）在1,4,7,10,13,,97,100中任选20个不同的数，其中至少有4个不同的数a b c d ,,,使得104a b c d +=+=．22．（2021·全国·九年级竞赛）一群小朋友购买售价是3元和5元的两种商品，每人购买的商品最少是1件，他们也可以购买相同的商品，但每人购买的总金额不超过15元．若小朋友中至少有三人购买的两种商品的数量完全相同，问这群小朋友最少有多少人？ 23．（2021·全国·九年级竞赛）将数字1,2,3,4,5,6,7,8任意填在八边形1238A A A A 的顶点处，每个顶点上恰填一个数字，记12,,i i i A A A ++上所填3个数字之和为()911021,2,,8,,i S i A A A A ===．（1）试给出一种填法，使每个(1,2,,8)i S i =都大于或等于12；（2）请证明任何填法都不可能使每个(1,2,,8)i S i =都大于或等于13． 24．（2021·全国·九年级竞赛）证明：10个互不相同的两位数中，一定可选出两组数，使这两组没有公共的数，而且两组中各数的和相等．25．（2021·全国·九年级竞赛）一个书架有五层，从下到上依次为第一层，第二层，…，第五层．今把15册图书分放在书架的各层上，有些层可不放．证明：无论怎样放法，书架每层上的图书册数以及相邻两层上图书册数之和，这些数中至少有两个是相等的．26．（2021·全国·九年级竞赛）某学生为了准备参加数学竞赛，连续做了5周习题，他每天至少做一道习题，每周至多做10道习题．证明：他一定在连续若干天内恰做了19道习题．27．（2021·全国·九年级竞赛）从正整数1,2,3,,2008中任取n 个数．（1）求证：当1007n =时，无论怎样选取n 个数，总存在其中4个数的和等于4017；（2）当1006n ≤（n 是正整数），上述结论是否成立？请说明理由．28．（2021·全国·九年级竞赛）平面内任给5个点，其中任意3点不共线证明：这5点中必有4点构成一个凸四边形的四个顶点．29．（2021·全国·九年级竞赛）桌上放着2010根火柴，甲、乙两人轮流从中取走火柴，每次可取走1根或2根火柴，甲先取．谁先取到最后一根火柴谁获胜．问谁有获胜策略？他应该怎样操作？30．（2021·全国·九年级竞赛）（1）将从1到2010的正整数任意分为10组1210,,,A A A ，使得每个数恰属于一组．证明：存在两个正整数,()a b a b >属于同一组且11200a b ≤+；（2）试将从1到2009的正整数适当地分成10组1210,,,A A A ，使每个数恰属于一组且不存在两个正整数,()a b a b >属于同一组且满足11200a b ≤+． 31．（2021·全国·九年级竞赛）20个球队比赛若干场后发现每两个队至多比赛了一场，并且任意3个队中必有两个队比赛了一场．证明：这时至少比赛了90场，并请安排一种比赛方法使得20个队之间恰比赛了90场并且每两个队至多比赛一场，而每3个队中必有两个队比赛了一场．32．（2021·全国·九年级竞赛）一个盒子内装有200根火柴，甲、乙两人轮流从盒子内取火柴，每次至少取1根火柴，至多取20根火柴，且拿到最后一根火柴的人获胜问是先取火柴的甲还是后取火柴的乙有必胜策略？33．（2021·全国·九年级竞赛）在1100⨯的方格纸带的最左端的小方格内放一枚棋子，甲、乙两人轮流移动这枚棋子，每移动一次只允许棋子向右移1格，10格或11格，谁把棋子移到最右端方格内，则谁赢．问是先走的甲还是后走的乙有必胜策略？34．（2021·全国·九年级竞赛）将正2010边形的顶点相间染红、蓝两色，甲、乙两人轮流画两端点同色的对角线，但不能与自己前面画的对角线相交，也不能画已经画过的对角线．甲先画，谁不能画了就算谁输．问甲必胜还是乙必胜？35．（2021·全国·九年级竞赛）甲、两人进行如下游戏，甲先开始两人轮流从1，2，3，…，100，101中每次任意勾去9个数，经过11次勾掉后，还剩两个数，这时所余两数之差即为甲得的分数．试证不论乙怎么做，甲可保证自己至少得55分．36．（2021·全国·九年级竞赛）已知30个数1，2，3，…，30．甲、乙两人轮流将“+”号或“-”号放在这些数的前面（放的顺序不限），30步后计算代数和的绝对值S ．甲要使S 尽量小．而乙则要使S 尽量大，乙能保证S 的最大值是多少？37．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人在一个55⨯的方格纸上玩填数游戏：甲先填且两人轮流在空格中填数，甲每次选择一个空格写上数字1，乙每次选择一个空格写上数字0，填完后计算每个33⨯正方形内9个数之和，并将这些和数中的最大数记为A ．甲尽量使A 增大，乙尽量使A 减小，问甲可使A 获得的最大值是多少？38．（2021·全国·九年级竞赛）将4粒围棋子均匀放在一个圆周上，若相邻两粒棋子同色，则在它们之间放一粒黑子，若相邻两粒棋子不同色，则在它们之间放一粒白子，然后把原来的4粒棋子拿走．证明：经过若干次这样操作以后，所有棋子都为黑子，并且这样的操作至多进行4次．39．（2021·全国·九年级竞赛）黑板上写有n 个实数，允许从中擦去两个数，例如a 和b ，而写上另一个数1()4a b +，这种操作进行n 1-次，最后黑板上只剩下一个数．已知开始时黑板上写的n 个数都是1，求证：最后剩下的那个数不小于1n ．40．（2021·全国·九年级竞赛）在凸n 边形的顶点处放置一些火柴，每次操作允许将某个顶点处的两根火柴移动，分别放到它两侧相邻的顶点处各1根．求证：如果若干次移动后，各顶点处的火柴数恢复到和原来的一样，那么操作次数为n 的倍数．41．（2021·全国·九年级竞赛）6只盘子排成一行，每次操作任取两只盘子将它们移动到相邻（或左或右）的位置上，盘子可以重叠，问能否经过有限次操作使6只盘子叠在一起？42．（2021·全国·九年级竞赛）已知黑板上写着两个数：1和2，现允许按如下规则写出新的数：当黑板上有a 和b 时，可以写上数ab a b ++．试问：能否在黑板上写出数13121和12131？43．（2021·全国·九年级竞赛）将4个数1，9，8，8写成一行并进行如下操作：对每一对相邻的数，用右边的数减去左边的数，然后将所得之差写在这两个数之间，算是完成了一次操作，然后再对这个由7个数排成的数进行同样的操作．如此继续下去，共操作100次，求最后得到的一行数的和．44．（2021·全国·九年级竞赛）现有一个正方体和2种颜色：红色和绿色．甲、乙两人做如下游戏：甲先选取正方体的3条棱，并将它们涂上红色，乙从尚未涂色的棱中选取3条棱，并将它们涂上红色，最后乙将剩下的3条涂上绿色．谁能首先把一面的四条棱涂成相同的颜色，谁就获胜．问甲有必胜策略吗？45．（2021·全国·九年级竞赛）甲、乙两人轮流在2525⨯的方格棋盘上放置棋子，甲执白先放，乙执黑后放．每颗棋子都放于空格之中，但若一空格的4个邻格（即有公共边的方格）已被同色棋子占领，则禁止在其中再放此种颜色的棋子．若轮到某人着棋时无处下子，则此人告负，问当双方都采取正确策略时，谁能获胜？46．（2021·全国·九年级竞赛）甲乙两人轮流在一张1994⨯的方格表上进行游戏，每次每人可涂黑一个以网格线为边的(119)k k k ⨯≤≤的正方形，但该正方形中不能有已被涂黑的部分，即每个小方格只能被涂黑一次．甲先开始且两人轮流进行，谁涂黑了最后一个小方格，谁就获胜．问在两人都正确操作的情况下，谁有必胜策略？说明理由． 47．（2021·全国·九年级竞赛）在1993⨯的矩形方格纸的左下角的方格中放有一枚棋子，甲、乙两人进行如下游戏：甲先且两人轮流移动棋子，每次可将棋子向上或向右移动若干格，最后无法移动棋子者为负方．问谁有必胜策略？说明理由．48．（2021·全国·九年级竞赛）在33⨯方格表中每一方格内任意写上1+或1-中一个数，然后允许进行如下操作：每格中的数用所有与它相邻的方格（有公共边的方格）中的数之积代替．问能否经过有限步操作使小格中的数都变成1+？49．（2021·全国·九年级竞赛）有三堆石子数分别是19，8，9，现进行如下操作：从三堆中的任意二堆中分别取出1个石头，然后把这两个石头都放入第三堆中．试问：能否经过这样有限次操作使得（1）三堆的石子数分别为2，12，22？（2）三堆的石子数均为12？50．（2022·福建·九年级统考竞赛）将1，2，3，…，16这16个数分成8组112288()()()a b a b a b ⋯，，，，，，，若11228862a b a b a b -+-++-=．求222112288()()()a b a b a b -+-++-的最小值．必要时可以利用排序不等式（又称排序原理）：设12n x x x ≤≤≤，12n y y y ≤≤≤为两组实数，12n z z z ≤≤≤是12n y y y ≤≤≤的任一排列，则12111221122n n n n n n n x y x y x y x z x z x z x y x y x y -++≤++≤++．。

初中数学：专题1 实数的运算专项训练50道(举一反三)(解析版)

专题6.5 实数的运算专项训练（50道）参考答案与试题解析3+（﹣1）2021．1．（1分）（2021春•陆河县校级期末）计算：√9+|√5−3|+√−64【分析】先求算术平方根、绝对值、立方根运算，再进行计算即可．3+（﹣1）2021【解答】解：√9+|√5−3|+√−64＝3+3−√5−4﹣1＝1−√5．3+|√3−2|．2．（1分）（2021春•珠海期中）计算：（﹣2）2+√(−3)2−√27【分析】运用负数的平方、二次根式、三次根式，绝对值的定义及性质进行计算．3+2−√3【解答】解：原式＝4+√32−√33＝4+3﹣3+2−√3＝6−√3．3．（1分）（2021•天心区开学）计算：|7−√2|−|√2−π|−√(−7)2．【分析】由去绝对值及算术平方根运算法则计算即可．【解答】解：原式＝7−√2−（π−√2）﹣7＝7−√2−π+√2−7＝﹣π．3+|2−√5|+|3−√5|．4．（1分）（2021春•浏阳市期末）计算：√81+√−27【分析】本题涉及绝对值、二次根式化简、三次根式化简3个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．3+|2−√5|+|3−√5|【解答】解：√81+√−27＝9﹣3+√5−2+3−√5＝7．3+（﹣3）2−√25+|√3−2|+（√3）2．5．（1分）（2021春•淮北期末）√(−5)3【分析】先计算开方、乘方、绝对值的运算，再合并即可得到答案．【解答】解：原式=−5+9−5+2−√3+3=4−√3．3−√4．6．（1分）（2021春•昆明期末）计算：（﹣1）3+|−√2|+√27【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+√2+3﹣2=√2． 7．（1分）（2021春•宁乡市期末）计算：√−13+√49+|3−π|−(−√3)2．【分析】直接利用立方根的性质以及绝对值的性质和二次根式的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+7+π﹣3﹣3＝π． 8．（1分）（2021春•临沧期末）计算：√83−(−1)2021+√(−3)2−|1−√3|．【分析】首先计算乘方、开方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：√83−(−1)2021+√(−3)2−|1−√3|＝2﹣（﹣1）+3﹣（√3−1）＝6−√3+1＝7−√3．9．（1分）（2021春•曲靖期末）计算：﹣22×√14−√83+√9×（﹣1）2021．【分析】先化简有理数的乘方，算术平方根，立方根，然后先算乘法，再算加减．【解答】解：原式＝﹣4×12−2+3×（﹣1）＝﹣2﹣2﹣3＝﹣7． 10．（1分）（2021春•海拉尔区期末）计算：√−83÷√0.04+√14×(−2)2−(−1)2020．【分析】先化简立方根，算术平方根，有理数的乘方，然后先算乘除，再算加减．【解答】解：原式＝﹣2÷0.2+12×4﹣1＝﹣10+2﹣1＝﹣9．11．（1分）（2021春•红塔区期末）计算：（﹣1）2020﹣（﹣2）2+√4+√−273．【分析】直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根的性质、算术平方根分解化简得出答案．【解答】解：原式＝1﹣4+2﹣3＝﹣4．12．（1分）（2021春•盘龙区期末）计算：（﹣1）2021+|3﹣π|+√16+√−83−π．【分析】根据﹣1的奇、偶次方，绝对值、算术平方根、立方根的运算法则进行计算即可得出答案．【解答】解：原式＝﹣1﹣（3﹣π）+4﹣2﹣π＝﹣1﹣3+π+2﹣π＝﹣2． 13．（1分）（2021春•开福区校级期末）√(−1)2+√273+(−1)2021+|√3−3|．【分析】先计算平方根、乘方和绝对值运算，再合并同类项即可．【解答】解：原式＝|﹣1|+3+（﹣1）+3−√3＝1+3﹣1+3−√3=6−√3．14．（1分）（2021春•利川市期末）计算|√2−√3|﹣2（14+√22）−√−183．【分析】根据绝对值的性质、立方根的定义以及实数的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式=√3−√2−12−√2+12 =√3−2√2． 15．（1分）（2021春•永城市期末）计算：√16+√−643−√1−(35)2−|π﹣3.2|．【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝4﹣4−45−（3.2﹣π）＝4﹣4−45−3.2+π＝﹣4+π． 16．（1分）（2021春•鹿邑县期末）计算：√(−1)33−√3116+√(1−78)23．【分析】首先计算开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：√(−1)33−√3116+√(1−78)23＝﹣1−74+14=−52． 17．（1分）（2021春•恩平市期末）计算：√25+√−83−√49+√8273+(−1)2021．【分析】利用实数的运算法则对所求式子进行求解即可．【解答】解：√25+√−83−√49+√8273+(−1)2021 ＝5﹣2−23+23−1＝2．18．（1分）（2021春•潮阳区期末）计算：−12021+√(−2)2−√−1253+|√2−3|．【分析】直接利用绝对值的性质和立方根的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣1+2+5+3−√2＝9−√2． 19．（1分）（2021春•白云区期末）计算：√−273−√256−√116+√1−63643．【分析】实数的混合运算，先分别化简立方根，算术平方根，然后再计算．【解答】解：原式＝﹣3﹣16−14+√1643 ＝﹣3﹣16−14+14＝﹣19． 20．（1分）（2021春•杨浦区期中）计算：√−0.0013−（√23−√10003）−√162．【分析】直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣0.1−√23+10−42 ＝﹣0.1−√23+10﹣2 ＝7.9−√23．21．（2分）（2021春•青川县期末）计算：（1）（﹣3）2+2×（√2−1）﹣|﹣2√2|；（2）√−83−√1−1625+|2−√5|+√(−4)2．【分析】（1）先算乘方，化简绝对值，去括号，然后再算加减；（2）先化简立方根，算术平方根，绝对值，然后再计算．【解答】解：（1）原式＝9+2√2−2﹣2√2＝7；（2）原式＝﹣2−√925+√5−2+4＝﹣2−35+√5−2+4=√5−35．22．（2分）（2021春•西城区校级期中）计算：（1）(−√7)2−√62+√−83；（2）√49−√273+|1−√2|+√(1−54)2．【分析】（1）先化简，再计算加减法；（2）先算二次根式、三次根式，再计算加减法．【解答】解：（1）原式＝7﹣6+（﹣2）＝7﹣6﹣2＝﹣1；（2）原式＝7﹣3+√2−1+54−1＝2+54+√2=134+√2． 23．（2分）（2021春•抚顺期末）计算：（1）√−83+√36−√49；（2）√254+√−273−|2−√3|+√(−2)2．【分析】（1）根据立方根，算术平方根的运算法则进行运算，即可得出答案；（2）根据算术平方根，立方根，绝对值的法则进行运算，即可得出答案．【解答】解：（1）解：原式＝﹣2+6﹣7＝﹣3；（2）原式=52−3﹣2+√3+2 =−12+√3． 24．（2分）（2021春•乾安县期末）计算：（1）|√3−2|−(√3−1)+√−643；（2）√9+|﹣2|+√273+（﹣1）2021．【分析】（1）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及立方根的性质、有理数的乘方运算法则分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2−√3−√3+1﹣4＝﹣2√3−1；（2）原式＝3+2+3﹣1＝7．25．（2分）（2021春•曾都区期末）计算下列各式：（1）√(−1)2+√14×（﹣2）2−√−643；（2）|√3−√2|+|√3−2|﹣|√2−1|．【分析】（1）直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质化简，再合并二次根式得出答案．【解答】解：（1）原式＝1+12×4+4＝1+2+4＝7；（2）原式=√3−√2+2−√3−（√2−1）=√3−√2+2−√3−√2+1＝3﹣2√2．26．（2分）（2021春•林州市期末）计算：（1）|3−√13|+√−273−√13+√25；（2）−12−(−2)3×18+√−273×|−13|+|1−√3|．【分析】（1）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质、立方根的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式=√13−3﹣3−√13+5＝﹣1；（2）原式＝﹣1+8×18−3×13+√3−1＝﹣1+1﹣1+√3−1=√3−2．27．（2分）（2021春•黄冈期末）计算：（1）（−√2）2+|1−√2|+√−83；（2）﹣22+√(−4)2+√32+42−（﹣1）2021．【分析】（1）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．（2）首先计算乘方和开方，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）（−√2）2+|1−√2|+√−83＝2+√2−1+（﹣2）=√2−1．（2）﹣22+√(−4)2+√32+42−（﹣1）2021＝﹣4+4+5﹣（﹣1）＝6．28．（2分）（2021春•越秀区期末）（1）计算：√183+√(−2)2+√14；（2）计算：2（√3−1）﹣|√3−2|−√−643．【分析】（1）根据立方根以及算术平方根的定义解决此题．（2）由|√3−2|=2−√3，√−643=−4，得2(√3−1)−|√3−2|−√−643=3√3．【解答】解：（1）√183+√(−2)2+√14=12+2+12＝3．（2）2(√3−1)−|√3−2|−√−643=2√3−2−(2−√3)−(−4)=2√3−2−2+√3+4=3√3．29．（2分）（2021春•西城区校级期末）计算题（1）√83+√0−√14+√−183+|3−√2|；（2）√−273−√0−√14+√0.1253+√1−63643．【分析】（1）根据立方根，算术平方根，绝对值的性质计算即可；（2）先化简，再求这个数的立方根，化简即可．【解答】解：（1）原式＝2+0−12−12+3−√2＝4−√2；（2）原式＝﹣3﹣0−12+√183+√1643 ＝﹣3−12+12+14=−114．30．（2分）（2020春•合川区期末）计算：（1）|﹣2|+（﹣1）2020+√214−√−183；（2）（﹣24）﹣（12−23）÷（−16）×[﹣2−√(−3)2]﹣|14−0.52|．【分析】（1）直接利用有理数的乘方运算法则以及立方根的性质、算术平方根、绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用有理数的混合运算以及二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2+1+√94+12＝2+1+32+12＝5；（2）原式＝﹣16﹣（36−46）×（﹣6）×（﹣2﹣3）﹣|14−（12）2| ＝﹣16+16×（﹣6）×（﹣5）﹣0＝﹣16+5﹣0＝﹣11．31．（2分）（2020春•甘南县期中）计算下列各式：（1）√16−√273+√−183+√94 （2）|1−√2|+√−8273×√14−√2【分析】（1）原式利用平方根、立方根定义计算即可求出值；（2）原式利用绝对值的代数意义，平方根、立方根定义计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝4﹣3−12+32＝2；（2）原式=√2−1−23×12−√2=−43．32．（2分）（2020春•岳麓区校级月考）计算：（1）√83−√4−√(−3)2+|1−√2|（2）√6×（√6−√6）−√214−|2﹣π| 【分析】（1）首先计算立方根，化简二次根式，计算绝对值，然后再计算加减即可；（2）首先计算乘法、化简二次根式，计算绝对值，然后再计算加减即可．【解答】解：（1）原式＝2﹣2﹣3+√2−1=√2−4；（2）原式＝1﹣6−32−（π﹣2），＝1﹣6−32−π+2，＝﹣412−π． 33．（2分）（2020春•蕲春县期中）计算：（1）√−273+√(−3)2+√−13；（2）√16+√−27643×√(−43)2−|2−√5|．【分析】（1）首先根据二次根式和立方根的性质进行化简，再计算加减即可；（2）首先根据二次根式和立方根和绝对值的性质进行化简，再计算乘法，后算加减即可．【解答】解：（1）原式＝﹣3+3﹣1＝﹣1；（2）原式＝4−34×43−（√5−2）＝4﹣1−√5+2＝5−√5．34．（2分）（2020春•西市区期末）计算：（1）√−13−√83÷√(−6)2；（2）（2−√3）2020×（2+√3）2021﹣2√34．【分析】（1）首先计算乘方、开方，然后计算除法，最后计算减法，求出算式的值是多少即可．（2）首先根据积的乘方计算，然后计算乘法、减法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（1）√−13−√83÷√(−6)2＝﹣1﹣2÷6＝﹣1−13=−43．（2）（2−√3）2020×（2+√3）2021﹣2√34 ＝[（2−√3）×（2+√3）]2020×（2+√3）﹣2×√32＝2+√3−√3＝2．35．（2分）（2020春•渝北区校级月考）计算下列各题．（1）|3−2√3|−√643+(√6)2；（2）√1.44+√1033−√0.04−√83−√−13．【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、绝对值的性质等知识分别化简得出答案；（2）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质等知识分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝2√3−3﹣4+6＝2√3−1；（2）原式＝1.2+10﹣0.2﹣2+1＝10．36．（2分）（2020春•牡丹江期中）计算题：（1）√81+√−273+√(−2)2+|√3−2|；（2）√22−√214+√78−13−√−13．【分析】各式利用算术平方根、立方根性质计算即可求出值．【解答】解：（1）原式＝9﹣3+2+2−√3＝10−√3；（2）原式＝2−32−12−（﹣1）＝2﹣2+1＝1．37．（2分）（2020春•凉州区校级期中）计算：（1）√2549+|﹣5|+√−643−（﹣1）2020；（2）√16+√−273−√3−|√3−2|+√(−5)2．【分析】利用二次根式的性质、绝对值得先年改制、立方根的性质、乘方的意义进行计算，再算加减即可．【解答】解：（1）原式=57+5﹣4﹣1=57；（2）原式＝4﹣3−√3−2+√3+5＝4．38．（2分）（2020秋•东港市期中）（1）(√6−√7)2019×(√6+√7)2020．（2）√32−√−273−√(−23)2+|1−√2|．【分析】（1）直接利用积的乘方运算法则，将原式变形得出答案；（2）直接利用立方根以及算术平方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝[（√6−√7）（√6+√7）]2019×（√6+√7）＝﹣1×（√6+√7） =−√6−√7；（2）原式＝4√2+3−23+√2−1 ＝5√2+43．39．（2分）（2020春•越秀区校级月考）计算：（1）√36−√273+√(−2)2−√214；（2）|√3−2|−√4−（3−√3）．【分析】（1）直接利用立方根的定义和算术平方根的定义分别化简得出答案；（2）直接利用绝对值的性质以及算术平方根的定义分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝6﹣3+2−32＝3.5；（2）原式＝2−√3−2﹣3+√3＝﹣3．40．（2分）（2020春•和平区校级月考）计算（1）√273+|3−√5|﹣（√9−√83）2+√5；（2）√16−√83−√13+√1+916+|1−√2|﹣|√3−√2|．【分析】（1）直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案；（2）直接利用立方根的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝3+3−√5−（3﹣2）2+√5＝3+3−√5−1+√5＝5；（2）原式＝4﹣2﹣1+54+√2−1﹣（√3−√2）＝4﹣2﹣1+54+√2−1−√3+√2 ＝2√2−√3+54．41．（4分）（2020春•硚口区期中）（1）计算：①√−8273×√14−√(−2)2；②√3−√25+|√3−3|+√1−63643．（2）求下列式子中的x 的值：①4（x ﹣2）2＝49；②（x ﹣1）3＝64．【分析】（1）①直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案；②直接利用立方根以及二次根式的性质分别化简得出答案；（2）①直接利用平方根的定义化简得出答案；②直接利用立方根的定义化简得出答案．【解答】解：（1）①原式=−23×12−2＝﹣213；②原式=√3−5+3−√3+14=−74；（2）①∵4（x ﹣2）2＝49， ∴(x −2)2=494， ∴x −2=±72，∴x =2±72，∴x =112或x =−32．②∵（x ﹣1）3＝64，∴x ﹣1＝4，∴x ＝5．42．（4分）（2020秋•射洪市月考）（1）计算：√16+√−643−√(−3)2+|√3−1|；（2）解方程：18﹣2x 2＝0；（3）解方程：（x +1）3+27＝0；（4）（2−√3）2020×（2+√3）2021﹣2√1−(35)2．【分析】（1）利用平方根与立方根的定义及绝对值的意义，先化简，再利用实数混合运算进行运算即可；（2）对方程进行转化，利用平方根的定义即可解答；（3）对方程进行转化，利用立方根的定义即可解答；（4）先利用幂运算法则和平方差公式进行简便运算，利用算术平方根的定义进行化简，再利用实数混合运算进行运算即可；【解答】解：（1）原式＝4﹣4﹣3+√3−1＝﹣4+√3；（2）∵18﹣2x 2＝0，∴2x 2＝18，即x 2＝9，∴x ＝±3；（3）∵（x +1）3+27＝0，∴（x +1）3＝﹣27，∴x +1＝﹣3，∴x ＝﹣4；（4）（2−√3）2020×（2+√3）2021﹣2√1−(35)2 ＝[（2−√3）×（2+√3）]2020×（2+√3）﹣2×45＝2+√3−85=25+√3．43．（4分）（2021春•南开区期中）（1）化简|1−√2|+|√2−√3|+|√3−2|．（2）计算：√−643+√16×√94÷(−√2)2．（3）解方程（x ﹣1）3＝27．（4）解方程2x 2﹣50＝0．【分析】（1）去掉绝对值符号，合并同类二次根式即可；（2）利用实数的混合运算法则进行运算即可；（3）利用立方根的意义解答；（4）利用平方根的意义解答．【解答】解：（1）原式=√2−1+√3−√2+2−√3=1；（2）原式＝﹣4+4×32÷2＝﹣4+3＝﹣1；（3）两边开立方得：x ﹣1＝3．∴x ＝4．∴原方程的解为：x ＝4．（4）原方程变为：2x 2＝50．∴x 2＝25．两边开平方得：x ＝±5．∴原方程的解为：x 1＝5，x 2＝﹣5．44．（4分）（2021春•红桥区期中）计算：（1）3√2+√2−6√2；（2）√5（√5+1√5）；（3）√−273+√(−2)2−|1−√3|；（4）√9−√−83+√(−3)2−（√2）2．【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（3）直接利用立方根以及二次根式、绝对值的性质分别化简得出答案；（4）直接利用立方根以及二次根式、绝对值的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣2√2；（2）原式＝5+1＝6；（3）原式＝﹣3+2﹣（√3−1）＝﹣3+2−√3+1=−√3；（4）原式＝3+2+3﹣2＝6．45．（4分）（2021春•硚口区期中）（1）计算：①√16−√273+√214；②√3（√3√3）+|2−√5|．（2）求下列式子中的x 的值：①（x ﹣2）2＝9；②3（x +1）3+81＝0．【分析】（1）①首先计算开方，然后从左向右依次计算即可．②首先计算绝对值和乘法，然后从左向右依次计算即可．（2）①根据平方根的含义和求法，求出x 的值是多少即可．②根据立方根的含义和求法，求出x 的值是多少即可．【解答】解（1）①√16−√273+√214＝4﹣3+32=52．②√3（√31√3）+|2−√5| ＝3﹣1+√5−2=√5．（2）①∵（x ﹣2）2＝9，∴x ﹣2＝±3，解得：x ＝5或﹣1．②∵3（x +1）3+81＝0，∴3（x +1）3＝﹣81，∴（x +1）3＝﹣27，∴x +1＝﹣3，解得：x ＝﹣4．46．（4分）（2021春•岷县月考）计算：（1）√−8×(−0.5)．（2）√4+√225−√400．（3）√−13+√(−1)33+√(−1)23．（4）√183−52×√−11253+√−3433−√−273．【分析】根据算术平方根和立方根的定义，分别计算即可．【解答】解：（1）原式=√4＝2；（2）原式＝2+15﹣20＝﹣3；（3）原式＝﹣1+√−13+√13＝﹣1+（﹣1）+1＝﹣1；（4）原式=12−52×（−15）+（﹣7）﹣（﹣3）=12−（−12）+（﹣7）+3=12+12+（﹣7）+3 ＝1﹣7+3＝﹣3．47．（4分）（2020秋•海曙区期中）计算．（1）−34×(−8+23−13)．（2）17﹣8÷（﹣4）+4×（﹣5）．（3）√25+(√−1273+13)−6．（4）−32×[−32×(−23)2−2]．【分析】（1）利用乘法分配律使得计算简便；（2）先算乘除，然后再算加减；（3）先化简算术平方根，立方根，然后算小括号里面的，再算括号外面的；（4）先算乘方，然后算乘除，最后算加减，有小括号先算小括号里面的．【解答】解：（1）原式=34×8−34×23+34×13＝6−12+14 ＝512+14＝524+14 ＝534；（2）原式＝17+2﹣20＝19﹣20＝﹣1；（3）原式＝5+（−13+13）﹣6＝5+0﹣6＝5﹣6＝﹣1；（4）原式=−32×（﹣9×49−2）=−32×（﹣4﹣2）=−32×（﹣6）＝9．48．（4分）（2020秋•嵊州市期中）计算：（1）（+1013）+（﹣11.5）+（﹣1013）﹣4.5；（2）（﹣6）2×（13−12）﹣23；（3）（﹣270）×14+0.25×21.5+（﹣812）×（﹣0.25）；（4）−√36+6÷（−23）×√−83．【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法分配律以及有理数的混合运算法则计算得出答案；（3）直接提取公因式14，进而计算得出答案；（4）直接利用算术平方根的性质以及立方根的性质分别化简得出答案．【解答】解：（1）原式＝﹣11.5﹣4.5+（1013−1013）＝﹣16+0＝﹣16；（2）（﹣6）2×（13−12）﹣23 ＝36×13−36×12−8＝12﹣18﹣8＝﹣14；（3）（﹣270）×14+0.25×21.5+（﹣812）×（﹣0.25） =14×（﹣270+21.5+812） =14×（﹣240）＝﹣60；（4）−√36+6÷（−23）×√−83＝﹣6﹣9×（﹣2）＝﹣6+18＝12．49．（4分）（2020秋•北仑区期中）计算：（1）（﹣3）2﹣（112）3×29−6÷|−23|；（2）﹣12020+|﹣3|+√−1273−√(−4)2；（3）3×（√3−√5）+2×（−32×√3+32）；（4）|√6−√2|+|√2−1|﹣|3−√6|．【分析】（1）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（2）直接利用立方根以及绝对值的性质、算术平方根的性质分别化简得出答案；（3）直接利用二次根式的混合运算法则计算得出答案；（4）直接利用绝对值的性质化简，进而得出答案．【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（112）3×29−6÷|−23|＝9−278×29−6×32＝9−34−9=−34；（2）﹣12020+|﹣3|+√−1273−√(−4)2＝﹣1+3−13−4＝﹣213；（3）3×（√3−√5）+2×（−32×√3+32）＝3√3−3√5−3√3+3＝﹣3√5+3；（4）|√6−√2|+|√2−1|﹣|3−√6|=√6−√2+√2−1﹣（3−√6）=√6−√2+√2−1﹣3+√6＝2√6−4．50．（4分）（2020秋•下城区校级期中）计算．（1）（+15）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）；（2）（﹣72）×（49−38+512−13）；（3）﹣12﹣（1﹣0.5）÷15×[2﹣（﹣2）2]；（4）|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+……+|√2019−√2020|．（结果保留根号形式）【分析】（1）直接利用有理数的加减运算法则计算得出答案；（2）直接利用乘法分配律进而计算得出答案；（3）直接利用有理数的混合运算法则计算得出答案；（4）直接去绝对值进而计算得出答案．【解答】解：（1）（+15）﹣（+11）﹣（﹣18）+（﹣15）＝15﹣11+18﹣15＝7；（2）（﹣72）×（49−38+512−13）＝（﹣72）×49+（﹣72）×（−38）+（﹣72）×512+（﹣72）×（−13）＝﹣32+27﹣30+24＝﹣11；（3）﹣12﹣（1﹣0.5）÷15×[2﹣（﹣2）2]＝﹣1−12×5×（2﹣4）＝﹣1−52×（﹣2）＝﹣1+5＝4；（4）|1−√2|+|√2−√3|+|√3−√4|+……+|√2019−√2020| =√2−1+√3−√2+√4−√3+⋯+√2020−√2019 =√2020−1．。

初中数学竞赛专项训练--找规律题

观察——归纳—猜想——找规律给出几个具体的、特殊的数、式或图形，要求找出其中的变化规律，从而猜想出一般性的结论.解题的思路是实施特殊向一般的简化；具体方法和步骤是：（1）通过对几个特例的分析，寻找规律并且归纳；（2）猜想符合规律的一般性结论；（3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 一、数字类基本技巧（一）标出序列号：例如，观察下列各式数：0，3，8，15，24，……。

我们把有关的量放在一起加以比较：给出的数：0，3，8，15，24，……。

序列号：1，2，3，4，5，……。

容易发现，已知数的每一项，都等于它的序列号的平方减1。

因此，第n 项是2n -1（二）公因式法：每位数分成最小公因式相乘，然后再找规律，看是不是与n,或2n 、3n 有关。

例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n 项为（2)12(-n ），1，2，3，4，5．。

，从中可以看出n=2时，正好是2×2-1的平方,n=3时，正好是2×3-1的平方，以此类推。

（三）增副A ：2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18答案与3有关且是n 的3次幂，即：n 3+1B ：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.......答案与2的乘方有关即：n2（四）有的可对每位数同时减去第一位数，成为第二位开始的新数列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位数与位置的关系。

再在找出的规律上加上第一位数，恢复到原来。

例：2、5、10、17、26……，同时减去2后得到新数列：0、3、8、15、24……，序列号：1、2、3、4、5，从顺序号中可以看出当n=1时，得1*1-1得0，当n=2时，2*2-1得3，3*3-1=8，以此类推，得到第n 个数为12-n 。

再看原数列是同时减2得到的新数列，则在12-n 的基础上加2，得到原数列第n 项12+n（五）有的可对每位数同时加上，或乘以，或除以第一位数，成为新数列，然后，在再找出规律，并恢复到原来。