初中数学动点问题专题讲解

例1(2０00年·上海)如图1，在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上，有一个动点P ，ＰH ⊥O Ａ,垂足为H,△OPH 的重心为Ｇ．

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段？如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度．

(２)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围）．

(３）如果△P ＧH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长．

解：(１)当点Ｐ在弧A Ｂ上运动时,ＯP 保持不变,于是线段GO 、GP 、

GH 中,有长度保持不变的线段，这条线段是ＧH=32NH=2

1

32⋅OP=2.

(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴

2362

1

21x OH MH -==

. 在Ｒt △MPH 中,

.

∴y =GP=

32M Ｐ＝23363

1x + （０

①GP ＝P Ｈ时，

x x =+233631

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根，且符合题意. ②G Ｐ=G Ｈ时, 23363

1

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时，2=x .

综上所述，如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2(2００6年·山东）如图2,在△ＡBC 中,ＡB=ＡC ＝1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y ． (１)如果∠B ＡC ＝３0°,∠DAE ＝1０５°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠B ＡC 的度数为α，∠DA Ｅ的度数为β，当α,β满足怎样的关系式时,（1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由．

解:(1）在△ABC 中,∵A Ｂ＝A Ｃ,∠B ＡＣ＝３0°,

∴∠A ＢC ＝∠A ＣB ＝7５°, ∴∠ＡB Ｄ＝∠ＡC Ｅ=105°. ∵∠BAC=3０°,∠D ＡE ＝105°, ∴∠DAB ＋∠CAE ＝７5°, 又∠ＤA Ｂ＋∠ADB=∠ＡBC=７５°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△AD Ｂ∽△E ＡC, ∴AC

BD CE AB =,

∴

11x y =, ∴x

y 1=. 222223362

1

419x x x MH PH MP +=-

+=+= A

E

D C

B 图2

H

M N

G

P

O

A

B

图1

x y

（２)由于∠ＤAB ＋∠C ＡＥ=αβ-，又∠DAB+∠ADB ＝∠ＡＢC=2

90α

-︒,且函数关系式成立, ∴2

90α

-

︒=αβ-， 整理得=-

2

α

β︒90.

当=-2α

β︒90时，函数解析式x

y 1

=成立.

例3(２00５年·上海)如图3(1),在△AB Ｃ中,∠ABC=９0°，AB=4,B

Ｃ=3． 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边ＡB 相切于点Ｄ,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F ．

（1)求证: △ＡDE ∽△ＡEP.

（2)设OA=x ，ＡP=y ，求y 关于x 的函数解析式,并写出它的

定义域．

(３)当B Ｆ＝１时，求线段AP 的长.

解：（1)连结OD. 根据题意,得O Ｄ⊥ＡB ，∴∠OD Ａ＝９０°,∠OD Ａ=∠DE Ｐ．

又由OD=OE,得∠OD Ｅ=∠ＯＥＤ．∴∠ADE=∠A ＥＰ， ∴△Ａ

DE ∽△AEP.

（２)∵∠ＡBC=90°,AB=4，ＢC=3, ∴AC ＝5. ∵∠ABC ＝∠A ＤO ＝90°, ∴O Ｄ∥ＢC, ∴53x OD =,5

4x

AD =, ∴OD=

x 53,A Ｄ=x 54． ∴A Ｅ=x x 53+=x 5

8

． ∵△ＡDE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =， ∴x x y

x 5

854

58=

. ∴x y 516= （8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1），则CF=4.

∵∠ＡDE=∠ＡＥP, ∴∠PDE=∠ＰE Ｃ. ∵∠ＦBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE ， ∴∠F=∠ＰDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=ＣE. ∴5-

x 58=４,得8

5

=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段C Ｂ于点F,如图3（2), 则ＣF ＝2. 类似①,可得CF ＝ＣE ． ∴5-

x 58＝2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF ＝1时,线段A Ｐ的长为2或6．

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4(200４年·上海)如图,在△ＡBC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22，⊙Ａ的半径为1.若点Ｏ在BC 边

A 3(2)

3(1)