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第十七章推理与证明

★知识网络★

第1讲合情推理和演绎推理

★知识梳理★

1.推理

根据一个或几个事实(或假设)得出一个判断,这种思维方式叫推理.

从结构上说,推理一般由两部分组成,一部分是已知的事实(或假设)叫做前提,一部分是由已知推出的判断,叫结论.

2、合情推理:

根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出的推理叫合情推理。

合情推理可分为归纳推理和类比推理两类：

（1）归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理

（2）类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演绎推理:

从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论是演绎推理的一般模式，它包括：（1）大前提---已知的一般原理；（2）小前提---所研究的特殊情况；（3）结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断。

★重难点突破★

重点:会用合情推理提出猜想,会用演绎推理进行推理论证,明确合情推理与演绎推理的区别与联系

难点:发现两类对象的类似特征、在部分对象中寻找共同特征或规律

重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明

1、归纳推理关键是要在部分对象中寻找共同特征或某种规律性

问题1<；….

对于任意正实数,a b ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22，故22=+b a

2、类比推理关键是要寻找两类对象的类似特征

问题2：已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A 、B 两点，则当AB 与抛物线的对称轴垂直时，AB 的长度最短；试将上述命题类比到其他曲线，写出相应的一个真命题为 ．

点拨：圆锥曲线有很多类似性质，“通径”最短是其中之一，答案可以填：过椭圆的焦点作一

直线与椭圆交于A 、B 两点，则当AB 与椭圆的长轴垂直时，AB 的长度最短（22

2||a

b AB ≥） 3、运用演绎推理的推理形式(三段论)进行推理

问题3：定义[x]为不超过x 的最大整数，则[-2.1]=

点拨：“大前提”是在],(x -∞找最大整数，所以[-2.1]=-3

★热点考点题型探析★

考点1 合情推理

题型1 用归纳推理发现规律

[例1 ] 通过观察下列等式，猜想出一个一般性的结论，并证明结论的真假。

2

3135sin 75sin 15sin 020202=

++；23150sin 90sin 30sin 020202=++；23165sin 105sin 45sin 020202=++；23180sin 120sin 60sin 020202=++ 【解题思路】注意观察四个式子的共同特征或规律（1）结构的一致性,（2）观察角的“共性”

[解析]猜想：23)60(sin sin )60(sin 02202=

+++-ααα 证明：左边=2002200)60sin cos 60cos (sin sin )60sin cos 60cos (sin ααααα+++- =2

3)cos (sin 2322=+αα=右边 【名师指引】（1）先猜后证是一种常见题型

（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性）

[例2 ] (09九校联考) 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂

巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图

有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以

()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________.

【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式

[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f

133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f

【名师指引】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系

【新题导练】

1. (2008二模文、理)对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：

2213=+ 23135=++ 241357=+++

3235=+ 337911=++ 3413151719=+++

根据上述分解规律，则2513579=++++, 若3*()m m N ∈的分解中最小的数是73，则m 的

值为___ .

[解析]3m 的分解中，最小的数依次为3，7，13，…，12

+-m m ，…，

由7312=+-m m 得9=m

2. (2010调研二理)函数()f x 由下表定义： 若05a =，1()n n a f a +=，0,1,2,n =，则2007

a = 4 ．

[解析]50=a ，21=a ，12=a ，43=a ， ,54=a ，n n a a =∴+4，432007==a a 点评：本题为循环型

3. (2010调研)图（1）、（2）、（3）、（4）分别包含1个、5个、13个、25个第二十九届奥运会吉祥物“福娃迎迎”，按同样的方式构造图形，设第n 个图形包含()f n 个“福娃迎迎”，则

(5)f = ；()(1)f n f n --= ．（答案用数字或n 的解析式表示）

[解析])1(4)1()(,41)5(-=--=n n f n f f

4. (2008揭阳一模)

设010211()cos ,()'(),()'(),

,()'()n n f x x f x f x f x f x f x f x +====,,n N *∈

则2008()f x =（ ）

A. sin x -

B. cos x -

C. sin x

D. cos x

[解析]x x f cos )(0=，x x f sin )(1-=，x x f cos )(2-=，x x f sin )(3=，x x f cos )(4=，x 2 5 3 1

4

()f x 1 2

3 4 5