您的位置：360文档中心› 2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷

合集下载

2019年最新辽宁省高考数学一模试卷(文科)及答案解析

2019年最新辽宁省高考数学一模试卷(文科)及答案解析

辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设U=R，集合M={﹣1，1，2}，N={x|﹣1＜x＜2}，则N∩M=（）A．{﹣1，2} B．{1} C．{2} D．{﹣1，1，2}2．复数z=（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．i B．﹣i C．1 D．﹣13．抛物线y=2x2的焦点坐标是（）A．（，0） B．（0，） C．（0，） D．（，0）4．给出下列四个命题：①若命题“若￢p则q”为真命题，则命题“若￢q则p”也是真命题②直线a∥平面α的充要条件是：直线a⊄平面α③“a=1”是“直线x﹣ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；④若命题p：“∃x∈R，x2﹣x﹣1＞0“，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x﹣1≤0”其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．35．已知MOD函数是一个求余数的函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．如图是一个算法的程序框图，当输入n=25时，则输出的结果为（）A．4 B．5 C．6 D．76．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1=1，公差d=2，S n+2﹣S n=36，则n=（）A．5 B．6 C．7 D．87．某餐厅的原料费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.5x+7.5，则表中的m的值为（）8．已知某锥体的正视图和侧视图如图，其体积为，则该锥体的俯视图可以是（）A．B．C．D．9．在三棱锥S﹣ABC中，侧棱SC⊥平面ABC，SA⊥BC，SC=1，AC=2，BC=3，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．14πB．12πC．10πD．8π10．双曲线C1：﹣=1（a＞0，b＞0）与抛物线C2：y2=2px（p＞0）相交于A，B两点，公共弦AB恰过它们公共焦点F，则双曲线的一条渐近线的倾斜角所在的区间可能是（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（0，）11．已知点G是△ABC的外心，是三个单位向量，且2++=，如图所示，△ABC的顶点B，C分别在x轴的非负半轴和y轴的非负半轴上移动，O是坐标原点，则||的最大值为（）A．B．C．2 D．312．已知函数y=f（x）在R上的导函数f′（x），∀x∈R都有f′（x）＜x，若f（4﹣m）﹣f （m）≥8﹣4m，则实数m的取值范围为（）A ．[﹣2，2]B ．[2，+∞）C ．[0，+∞）D ．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在区间[﹣5，5]内随机四取出一个实数a ，则a ∈（0，1）的概率为 ．14．已知x ，y 满足，则z=2x+y 的最大值为 ．15．数列{a n }的通项公式为a n =n 2﹣kn ，若对一切的n ∈N *不等式a n ≥a 3，则实数k 的取值范围 ．16．已知函数y=f （x ）的定义域为R ，当x ＞0时，f （x ）＞1，且对任意的x ，y ∈R 都有f （x+y ）=f （x ）•f（y ），则不等式f （log x ）≤的解集为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分。

辽宁省沈阳二中2019届高三数学一模考试（理科）试题Word版含解析

辽宁省沈阳二中2019届高三数学一模考试（理科）试题Word版含解析

辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三数学⼀模考试（理科）试题Word版含解析辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三⼀模考试（理科）数学试题⼀．选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．设集合M={y|y=x 2﹣1，x ∈R}，N={x|}，则M∩N 等于（）A ．[]B ．[﹣1，]C ．{﹣2，1}D ．{（），（）}2．设i 是虚数单位，若复数a ﹣（a ∈R ）是纯虚数，则实数a 的值为（）A ．﹣4B ．﹣1C ．4D ．13．某考察团对全国10⼤城市进⾏职⼯⼈均⼯资⽔平x （千元）与居民⼈均消费⽔平y （千元）统计调查发现，y 与x 具有相关关系，回归⽅程为=0.66x+1.562．若某城市居民⼈均消费⽔平为7.675（千元），估计该城市⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐约为（）A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%4．下列叙述中正确的是（）A ．若a ，b ，c ∈R ，则“ax 2+bx+c≥0”的充分条件是“b 2﹣4ac≤0”B ．若a ，b ，c ∈R ，则“ab 2＞cb 2”的充要条件是“a＞c”C ．命题“对任意x ∈R ，有x 2≥0”的否定是“存在x ∈R ，有x 2≥0”D ．l 是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l ⊥α，l ⊥β，则α∥β5．（﹣）6的展开式中，x 3的系数等于（）A ．﹣15B ．15C ．20D ．﹣206．偶函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则在该⼏何体中，最长的棱的长度是（）A ．4B ．2C ．6D ．48．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）=（2t+1）dt 的图象上，则数列{a n }的通项公式为（）A．an =2n﹣2 B．an=n2+n﹣2C．an =D．an=9．已知⼀次函数f（x）=ax﹣1满⾜a∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a，使得f（x）≤0在x∈[0，1]上成⽴的概率为（）A．B．C．D．10．点S、A、B、C在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，则点S与△ABC中⼼的距离为（）A．B．C．1 D．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极⼤值，在x2处取得极⼩值，满⾜x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的⼀条斜率为正值的渐近线平⾏，若双曲线C的右⽀上的点到直线l 的距离恒⼤于b，则双曲线C的离⼼率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]⼆.填空题：（本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．抛物线y=8x2的准线⽅程是．14．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数⽆限增加时，多边形⾯积可⽆限逼近圆的⾯积，并创⽴了“割圆术”．利⽤“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到⼩数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利⽤刘徽的“割圆术”思想设计的⼀个程序框图，则输出n的值为．（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）15．已知两个⾮零平⾯向量，满⾜：对任意λ∈R 恒有|﹣λ|≥|﹣|，若||=4，则= ．16．已知等⽐数列{a n }中，a 2=1，则其前三项和S 3的取值范围是．三、解答题（共70分）17．如图，△ABC 中，sin =，AB=2，点D 在线段AC 上，且AD=2DC ，BD=．（Ⅰ）求：BC 的长；（Ⅱ）求△DBC 的⾯积．18．以下茎叶图记录了甲、⼄两组个四名同学的植树棵树．⼄组记录中有⼀个数据模糊，⽆法确认，在图中以X 表⽰．（Ⅰ）如果X=8，求⼄组同学植树棵树的平均数和⽅差；（Ⅱ）如果X=9，分别从甲、⼄两组中随机选取⼀名同学，求这两名同学的植树总棵树Y 的分布列和数学期望．19．如图，在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，△ABC 是边长为2的等边三⾓形，AA 1⊥平⾯ABC ，点E 是AB 的中点，CE ∥平⾯A 1BD ．（1）求证：点D 是CC 1的中点；（2）若A 1D ⊥BD 时，求平⾯A 1BD 与平⾯ABC 所成⼆⾯⾓（锐⾓）的余弦值．20．已知椭圆离⼼率为，点P （0，1）在短轴CD 上，且．（I ）求椭圆E 的⽅程；（Ⅱ）过点P 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点．（i ）若，求直线l 的⽅程；（ii ）在y 轴上是否存在与点P 不同的定点Q ，使得恒成⽴，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．21．已知函数f （x ）=x 2﹣（2a+2）x+（2a+1）lnx（1）若曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线的斜率⼩于0，求f （x ）的单调区间；（2）对任意的a ∈[，]，x 1，x 2∈[1，2]（x 1≠x 2），恒有|f （x 1）﹣f （x 2）|＜λ|﹣|，求正数λ的取值范围．四.请考⽣在22，23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．作答时，⽤2B 铅笔在答题卡上把所选题⽬对应的标号涂⿊．[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标⽅程为θ=，曲线C 的参数⽅程为．（1）写出直线l 与曲线C 的直⾓坐标⽅程；（2）过点M 平⾏于直线l 1的直线与曲线C 交于A 、B 两点，若|MA|?|MB|=，求点M 轨迹的直⾓坐标⽅程．[选修4-5；不等式选讲]23．（Ⅰ）设不等式﹣2＜|x ﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M ，a ，b ∈M ．证明：|a+b|＜；（Ⅱ）若函数f （x ）=|2x+1|+|2x ﹣3|，关于x 的不等式f （x ）﹣log 2（a 2﹣3a ）＞2恒成⽴，求实数a 的取值范围．辽宁省沈阳⼆中2019届⾼三数学⼀模考试（理科）试题参考答案⼀．选择题：（本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的）1．设集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}，N={x|}，则M∩N等于（）A．[] B．[﹣1，] C．{﹣2，1} D．{（），（）}【考点】交集及其运算．【分析】求出集合M，集合N，然后求解M∩N即可．【解答】解：集合M={y|y=x2﹣1，x∈R}={y|y≥﹣1}，N={x|}={x|x}，所以M∩N={x|﹣1}，故选B．2．设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣4 B．﹣1 C．4 D．1【考点】复数的基本概念．【分析】利⽤复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：复数a﹣=a﹣=a﹣（4+i）=（a﹣4）﹣i是纯虚数，∴a﹣4=0，解得a=4．故选：C．3．某考察团对全国10⼤城市进⾏职⼯⼈均⼯资⽔平x（千元）与居民⼈均消费⽔平y（千元）统计调查发现，y与x具有相关关系，回归⽅程为=0.66x+1.562．若某城市居民⼈均消费⽔平为7.675（千元），估计该城市⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐约为（）A．83% B．72% C．67% D．66%【考点】线性回归⽅程．【分析】把y=7.675代⼊回归直线⽅程求得x，再求的值．【解答】解：当居民⼈均消费⽔平为7.675时，则7.675=0.66x+1.562，即职⼯⼈均⼯资⽔平x≈9.262，∴⼈均消费额占⼈均⼯资收⼊的百分⽐为×100%≈83%．故选：A．4．下列叙述中正确的是（）A．若a，b，c∈R，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2﹣4ac≤0”B．若a，b，c∈R，则“ab2＞cb2”的充要条件是“a＞c”C．命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x∈R，有x2≥0”D．l是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l⊥α，l⊥β，则α∥β【考点】命题的真假判断与应⽤；全称命题．【分析】本题先⽤不等式的知识对选项A、B中命题的条件进⾏等价分析，得出它们的充要条件，再判断相应命题的真假；对选项以中的命题否定加以研究，判断其真假，在考虑全称量词的同时，要否定命题的结论；对选项D利⽤⽴体⼏何的位置关系，得出命题的真假，可知本题的正确答案．【解答】解：A、若a，b，c∈R，当“ax2+bx+c≥0”对于任意的x恒成⽴时，则有：①当a=0时，要使ax2+bx+c≥0恒成⽴，需要b=0，c≥0，此时b2﹣4ac=0，符合b2﹣4ac≤0；②当a≠0时，要使ax2+bx+c≥0恒成⽴，必须a＞0且b2﹣4ac≤0．∴若a，b，c∈R，“ax2+bx+c≥0”是“b2﹣4ac≤0”充分不必要条件，“b2﹣4ac≤0”是“ax2+bx+c≥0”的必要条件，但不是充分条件，即必要不充分条件．故A错误；B、当ab2＞cb2时，b2≠0，且a＞c，∴“ab2＞cb2”是“a＞c”的充分条件．反之，当a＞c时，若b=0，则ab2=cb2，不等式ab2＞cb2不成⽴．∴“a＞c”是“ab2＞cb2”的必要不充分条件．故B错误；C、结论要否定，注意考虑到全称量词“任意”，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定应该是“存在x∈R，有x2＜0”．故C错误；D、命题“l是⼀条直线，α，β是两个不同的平⾯，若l⊥α，l⊥β，则α∥β．”是两个平⾯平⾏的⼀个判定定理．故D正确．故答案为：D．5．（﹣）6的展开式中，x3的系数等于（）A．﹣15 B．15 C．20 D．﹣20【考点】⼆项式系数的性质．【分析】写出⼆项展开式的通项公式，由x的指数等于3求出r的值，即可求出答案．【解答】解：（﹣）6的展开式中，通项公式为=??=（﹣1）r，Tr+1由6﹣=3，得r=2；∴（﹣）6的展开式中，x3的系数为（﹣1）2?=15．故选：B．6．偶函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π）的图象向右平移个单位得到的图象关于原点对称，则ω的值可以为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】先由条件利⽤正弦函数、余弦函数的奇偶性求得φ=，f（x）=Acosωx，再根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律以及正弦函数、余弦函数的奇偶性，结合所给的选项求得ω的值．【解答】解：∵偶函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0≤φ≤π），∴φ=，f （x ）=Asin （ωx+）=Acos ωx ，把它的图象向右平移个单位得到y=Acos ω（x ﹣）=Acos （ωx ﹣ω?）的图象，再根据所得图象关于原点对称，则ω可以等于2，故选：B ．7．如图，⽹格纸上⼩正⽅形的边长为1，粗线画出的是某⼏何体的三视图，则在该⼏何体中，最长的棱的长度是（）A ．4B ．2C ．6D ．4【考点】由三视图还原实物图．【分析】根据⼏何体的三视图还原⼏何体形状，由题意解答．【解答】解：由⼏何体的三视图得到⼏何体是以俯视图为底⾯的四棱锥，如图：由⽹格可得AD 最长为=；故答案为：．8．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点（n ，S n ）在函数f （x ）=（2t+1）dt 的图象上，则数列{a n }的通项公式为（）A ．a n =2n ﹣2B ．a n =n 2+n ﹣2C ．a n =D ．a n =【考点】数列递推式；定积分．【分析】通过计算可知（2t+1）dt=x 2+x ﹣2，从⽽S n =n 2+n ﹣2，当n≥2时利⽤a n =S n ﹣S n ﹣1可知a n =2n ，进⽽计算可得结论．【解答】解：∵（2t+1）dt=x 2+x ﹣2，∴S n =n 2+n ﹣2，∴当n≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=2n ，⼜∵a 1=S 1=1+1﹣2=0不满⾜上式，∴a n =，故选：D ．9．已知⼀次函数f （x ）=ax ﹣1满⾜a ∈[﹣1，2]且a≠0，那么对于a ，使得f （x ）≤0在x ∈[0，1]上成⽴的概率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】⼏何概型．【分析】由恒成⽴可得a 的取值范围，由⼏何概型可得．【解答】解：由题意可得f （x ）=ax ﹣1≤0在x ∈[0，1]上恒成⽴，当x=0时，可得﹣1≤0，显然恒成⽴；当x ∈（0，1]时，可化为a≤，⽽的最⼩值为1，故a≤1，结合a ∈[﹣1，2]可得a ∈[﹣1，1]，故由⼏何概型可得P==故选：B ．10．点S 、A 、B 、C 在半径为的同⼀球⾯上，点S 到平⾯ABC 的距离为，AB=BC=CA=，则点S 与△ABC 中⼼的距离为（）A ．B ．C ．1D ．【考点】点、线、⾯间的距离计算．【分析】设△ABC 的外接圆的圆⼼为M ，协S 作SD ⊥平⾯ABC ，交MC 于D ，连结OD ，OS ，过S 作MO 的垂线SE ，交MO 于点E ，由题意求出MC=MO=1，从⽽得到ME=SD=，进⽽求出MD=SE=，由此能求出点S 与△ABC 中⼼的距离．【解答】解：如图，∵点S 、A 、B 、C 在半径为的同⼀球⾯上，点S到平⾯ABC的距离为，AB=BC=CA=，设△ABC的外接圆的圆⼼为M，过S作SD⊥平⾯ABC，交MC于D，连结OD，OS，过S作MO的垂线SE，交MO于点E，∴半径r=MC==1，∴MO===1，∵SD⊥MC，ME⊥MC，∴MESD是矩形，∴ME=SD=，∴MD=SE===，∴SM===．故选：B．11．已知函数f（x）=x3ax2+bx+c在x1处取得极⼤值，在x2处取得极⼩值，满⾜x1∈（﹣1，0），x2∈（0，1），则的取值范围是（）A．（0，2）B．（1，3）C．[0，3] D．[1，3]【考点】函数在某点取得极值的条件．【分析】据极⼤值点左边导数为正右边导数为负，极⼩值点左边导数为负右边导数为正得a，b的约束条件，据线性规划求出最值．【解答】解：∵f（x）=x3ax2+bx+c，∴f′（x）=x2+ax+b∵函数f（x）在区间（﹣1，0）内取得极⼤值，在区间（0，1）内取得极⼩值，∴f′（x）=x2+ax+b=0在（﹣1，0）和（0，1）内各有⼀个根，f′（0）＜0，f′（﹣1）＞0，f′（1）＞0即，在aOb坐标系中画出其表⽰的区域，如图，=1+2×，令m=，其⼏何意义为区域中任意⼀点与点（﹣2，﹣1）连线的斜率，分析可得0＜＜1，则1＜＜3∴的取值范围是（1，3）．故选B．12．过点（0，2b）的直线l与双曲线C：﹣=1（a，b＞0）的⼀条斜率为正值的渐近线平⾏，若双曲线C的右⽀上的点到直线l 的距离恒⼤于b，则双曲线C的离⼼率的取值范围是（）A．（1，2] B．（2，+∞）C．（1，2）D．（1，]【考点】双曲线的简单性质．【分析】利⽤双曲线C的右⽀上的点到直线l的距离恒⼤于b，直线l与bx﹣ay=0的距离恒⼤于等于b，建⽴不等式，即可求出双曲线C的离⼼率的取值范围．【解答】解：由题意，直线l的⽅程为y=x+2b，即bx﹣ay+2ab=0．∵双曲线C的右⽀上的点到直线l的距离恒⼤于b，∴直线l与bx﹣ay=0的距离恒⼤于等于b，∴≥b，∴3a2≥b2，∴3a2≥c2﹣a2，∴e≤2，∵e＞1，∴1＜e≤2．故选：A．。

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题(精品解析)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题(精品解析)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.等比数列中，若，，则A. 4B.C.D. 5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合已知即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，则，等比数列中间隔两项的符号相同，．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】由于所以函数不是偶函数，判处选项．当时，，排除选项，故选．点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像．考查了特殊值法解选择题的技巧．首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称．然后利用特殊点来排除．也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐标为负数来选出正确选项．7.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．8.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A. B. C. 或 D.【答案】A【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线距离公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由已知，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，故，整理可得：，，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中等题．9.设函数，则下列结论正确的是A. 函数的递减区间为B. 函数的图象可由的图象向左平移得到C. 函数的图象的一条对称轴方程为D. 若，则的取值范围是．【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，故选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，故选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B 距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图所示，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为，点P在球面上，则四棱锥体积的最大值为A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可.【详解】因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且与垂直，则x的值为______．【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则______．【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为______．【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.在正方体中，下面结论中正确的有______写出所有正确命题的序号．平面；平面；异面直线AC与成角；与底面ABCD所成角的正切值是．【答案】【解析】【分析】逐一考查所给命题的真假即可.【详解】逐一考查所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A的大小；若，试判断ABC的形状并给出证明．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据已知条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟请计算“送达时间”的平均数与方差；根据茎叶图填写下表：分钟以内包括分钟在答题卡上写出A，B，C，D的值；在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，，，，．求证：平面DCF；当AB的长为何值时，二面角的大小为．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长.【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，则0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，则，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】本题主要考查空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可.【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，．当时，求函数图象在点处的切线方程；若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离【答案】（1）．（2）.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.设，且，记的最小值为M．求M的值，并写出此时a，b的值；解不等式：．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

2019年辽宁省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年辽宁省高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，值有一项是符合题目要求的）1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2} 2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．1474．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．118．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.29．如图一所示，由弧AB，弧AC，弧BC所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家、机械运动学家勒洛首先发现的，它的构成如图二所示，以正三角形ABCd的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形即为勒洛三角形，有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．412．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=．14．①命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”②A、B、C三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：4，用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么样本的容量n=72③命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的必要不充分条件以上四个命题正确的是（把你认为正确的命题序号都填在横线上）．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），b n=，设数列{b n}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10=．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是．三．解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别于BC，AD 交于点P ，Q ，若|DQ |=λ|DA |（1）当λ=时，求证：平面SAE ⊥平面MNPQ（2）是否存在实数λ，使得三棱锥Q ﹣BCN 的体积为？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．19．2016﹣2017赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA ）正在如火如荼地进行，北京时间3月10日，CBA 半决赛开打，新疆队对阵辽宁队，广东队对阵深圳队：某学校体育组为了调查本校学生对篮球运动是否感兴趣，对本校高一年级两个班共120名同学（其中男生70人，女生50人）进行调查，得到的统计数据如表（1）完成下列2×2列联表丙判断能否在反错误的概率不超过0.05的前提下认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”？（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生个多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人中至少有1名女生的概率参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d 参考数据：20．已知椭圆C ： =1（a ＞b ＞0）左、右焦点分别为F 1，F 2，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F 2且垂直与x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |=3（1）求椭圆的方程（2）若直线l 与椭圆交于两点M ，N （M ，N 不同于点A ），若•=0，求证：直线l 过定点，并求出定点坐标．21．已知函数f （x ）=ax 2+（x﹣1）e x（1）当a=﹣时，求f （x ）在点P （1，f （1）处的切线方程 （2）讨论f （x ）的单调性（3）当﹣＜a ＜﹣＜0时，f （x ）是否存极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的参数方程为（θ为参数），曲线 C 2的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0． （1）求曲线C 1的普通方程和曲线 C 2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，值有一项是符合题目要求的）1．设全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则∁U（A∩B）=（）A．{﹣2，0}B．{﹣2，0，2}C．{﹣1，1，2}D．{﹣1，0，2}【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】根据交集和补集的定义写出运算结果即可．【解答】解：全集U={﹣2，﹣1，0，1，2}，A={x|x≤1}，B={﹣2，0，2}，则A∩B={﹣2，0}，∴∁U（A∩B）={﹣1，1，2}．故选：C．2．已知复数z=i（1+i）（i为虚数单位），则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，写成复数的代数形式，写出复数对应的点的坐标，根据点的横标和纵标和零的关系，确定点的位置．【解答】解：∵z=i（1+i）=﹣1+i，∴z=i（1+i）=﹣1+i对应的点的坐标是（﹣1，1）∴复数在复平面对应的点在第二象限．故选B．3．一已知等差数列{a n}中，其前n项和为S n，若a3+a4+a5=42，则S7=（）A．98 B．49 C．14 D．147【考点】等差数列的前n项和．【分析】根据题意和等差数列的性质求出a4的值，由等差数列的前n 项和公式求出S7的值．【解答】解：等差数列{a n}中，因为a3+a4+a5=42，所以3a4=42，解得a4=14，所以S7==7a4=7×14=98，故选A．4．下列命题正确的是（）A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．【分析】利用直线与平面所成的角的定义，可排除A；利用面面平行的位置关系与点到平面的距离关系可排除B；利用线面平行的判定定理和性质定理可判断C正确；利用面面垂直的性质可排除D．【解答】解：A、若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行、相交或异面，故A错误；B、若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行或相交，故B错误；C、设平面α∩β=a，l∥α，l∥β，由线面平行的性质定理，在平面α内存在直线b∥l，在平面β内存在直线c∥l，所以由平行公理知b∥c，从而由线面平行的判定定理可证明b∥β，进而由线面平行的性质定理证明得b∥a，从而l∥a，故C正确；D，若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行或相交，排除D．故选C．5．《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在集合学中的研究比西方早1千年，在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑，已知某“鳖臑”的三视图如图所示，则该鳖臑的外接球的表面积为（）A．200πB．50πC．100πD．π【考点】球内接多面体；简单空间图形的三视图．【分析】几何体复原为底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥，扩展为长方体，长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求其的表面积．【解答】解：由三视图复原几何体，几何体是底面是直角三角形，一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥；扩展为长方体，也外接与球，它的对角线的长为球的直径：=5该三棱锥的外接球的表面积为：=50π，故选B．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，特殊值的位置判断求解即可．【解答】解：函数是偶函数，排除B，x=e时，y=e，即（e，e）在函数的图象上，排除A，当x=时，y=，当x=时，y=﹣=，，可知（，）在（）的下方，排除C．故选：D．7．中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”如图1，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数学九章》中对此类问题的解法做了系统的论述，并称之为“大衍求一术”，如图2程序框图的算法思路源于“大衍求一术”执行该程序框图，若输入的a，b分别为20，17，则输出的c=（）A．1 B．6 C．7 D．11【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序运行过程，即可得出程序运行后输出的c值．【解答】解：模拟执行程序运行过程，如下；a=20，b=17，r=3，c=1，m=0，n=1，满足r≠1；a=17，b=3，r=2，q=5，m=1，n=1，c=6，满足r≠1；a=3，b=2，r=1，q=1，m=1，n=6，c=7，满足r=1；输出c=7．故选：C．8．广告投入对商品的销售额有较大影响．某电商对连续5个年度的广告费和销售额进行统计，得到统计数据如表（单位：万元）：由表可得到回归方程为=10.2x+，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为（）A．101.2 B．108.8 C．111.2 D．118.2【考点】线性回归方程．【分析】求出数据中心，代入回归方程求出，再将x=10代入回归方程得出答案．【解答】解：由题意，=4，=50．∴50=4×10.2+，解得=9.2．∴回归方程为=10.2x+9.2．∴当x=10时，=10.2×10+9.2=111.2．故选：C．9．如图一所示，由弧AB，弧AC，弧BC所组成的图形叫做勒洛三角形，它由德国机械工程专家、机械运动学家勒洛首先发现的，它的构成如图二所示，以正三角形ABCd的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，由三段弧所围成的曲边三角形即为勒洛三角形，有一个如图一所示的靶子，某人向靶子射出一箭，若此箭一定能射中靶子且射中靶子中的任意一点是等可能的，则此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设正三角形ABC的边长为a，先求出S△ABC，S扇形BAC，即可求出S勒洛三角形，根据几何概型的概率公式计算即可．【解答】解：设正三角形ABC的边长为a，则S△ABC=a2，S扇形BAC=，则S弓形=S扇形BAC﹣S△ABC=﹣a2，∴S勒洛三角形=a2+3（﹣a2）=πa2﹣a2，∴此箭恰好射中三角形ABC内部（即阴影部分）的概率为==，故选：B．10．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），若f（）=﹣f（0），则ω的最小值为（）A．B．1 C．2 D．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据f（）=﹣f（0），代入f（x）建立关系，0＜φ＜，可得，﹣＜﹣φ＜0，那么令π≤ω+φ，即可求解ω范围．可得ω的最小值．【解答】解：函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A≠0，ω＞0，0＜φ＜），∵f（）=﹣f（0），即sin（﹣φ）=sin（ω×+φ），∵0＜φ＜，∴﹣＜﹣φ＜0，那么令π＜ω×+φ，可得：φ．令，解得：ω=．故选：A．11．已知F是双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F 作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q，记点Q到E的两条渐近线的距离之积为d2，若|FP|=2d，则该双曲线的离心率是（）A．B．2 C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，求出可求双曲线的离心率．【解答】解：E上任意一点Q（x，y）到两条渐近线的距离之积为d1d2===d2，F（c，0）到渐近线bx﹣ay=0的距离为=b=2d，∴，∴e==2，故选B．12．给出如下四个命题：①e＞2②ln2＞③π2＜3π④＜，正确的命题的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】不等式比较大小．【分析】①利用分析法和构造函数，利用导数和函数的最值得关系即可判断，②根据对数的运算性质即可判断，③利用中间量即可判断，④两边取对数即可判断．【解答】解：①要证e＞2，只要证＞ln2，即2＞eln2，设f（x）=elnx﹣x，x＞0，∴f′（x）=﹣1=，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数单调递增，当x＞e时，f′（x）＜0，函数单调递减，∴f（x）＜f（e）=elne﹣e=0，∴f（2）=eln2﹣2＜0，即2＞eln2，∴e＞2，因此正确②∵3ln2=ln8＞ln2.82＞lne2=2．∴ln2＞，因此正确，③π2＜42=16，3π＞33=27，因此π2＜3π，③正确，④∵2π＜π2，∴＜，④正确；正确的命题的个数为4个，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．已知平面向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，若（m）⊥，则m=1．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求出的值，再由（m）⊥，得（m）•=0，展开后得答案．【解答】解：∵向量与的夹角为120°，且||=2，||=4，∴，又（m）⊥，∴（m）•=，解得m=1．故答案为：1．14．①命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x＜1，x2+3＜4”②A、B、C三种不同型号的产品的数量之比依次为2：3：4，用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，那么样本的容量n=72③命题“若x，y都是偶数，则x+y是偶数”的否命题是“若x，y都不是偶数，则x+y不是偶数”④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”是“a∈M∩N”的必要不充分条件以上四个命题正确的是②④（把你认为正确的命题序号都填在横线上）．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】由由全称命题的否定为特称命题，只要对结论否定，即可判断①；运用分层抽样抽取的比例，即可计算判断②；由原命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，即可判断③；由充分必要条件的定义，结合结合集合的交集和并集运算，即可判断④．【解答】解：①由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x≥1，x2+3≥4”的否定是“∃x≥1，x2+3＜4”，故①错误；②由用分层抽样抽出方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件，可得B种型号产品有24件，C种型号产品有32件，则n=16+24+32=72．故②正确；③由原命题的否命题，既对条件否定，也对结论否定，可得否命题是“若x，y不都是偶数，则x+y不是偶数”，故③错误；④若非空集合M⊂N，则“a∈M或a∈N”推不出“a∈M∩N”，反之，成立，故为必要不充分条件，故④正确．故答案为：②④．15．已知数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），b n=，设数列{b n}的前n项和为S n，则S1•S2•S3•…•S10=．【考点】数列的求和．【分析】利用数列递推关系可得a n，再利用“裂项求和”方法可得S n，进而利用“累乘求积”方法得出．【解答】解：数列{a n}满足：2a1+22a2+23a3+…+2n a n=n（n∈N*），∴n≥2时，2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1a n﹣1=n﹣1，∴2n a n=1，∴a n=．b n===，∴数列{b n}的前n项和为S n=+…+=1﹣=．则S1•S2•S3•…•S10=×…×=．故答案为：．16．设实数x，y满足约束条件，则的取值范围是[0，2] ．【考点】简单线性规划．【分析】画出约束条件的可行域，化简目标函数，转化为直线的斜率问题，通过函数的值域求解目标函数的范围即可．【解答】解：约束条件的可行域如图：由可得A（﹣，），可得B（，），则==，由题意可得∈[﹣1，1]，令t=∈[﹣1，1]，则=t+∈[2，+∞）∪（﹣∞，﹣2]，∴∈[0，2]．故答案为：[0，2]．三．解答题，本题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17．已知a，b，c分别为△ABC中角A，B，C的对边，函数且f（A）=5．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC面积的最大值．【考点】余弦定理．【分析】（1）利用三角恒等变换求得f（A）的解析式，由f（A）=5求得sin（2A+）的值，从而求得2A+的值，可得A的值．（2）利用余弦定理，基本不等式，求得bc的最大值，可得△ABC面积bc•sinA的最大值．【解答】解：（1）由题意可得：=3+sin2A+cos2A+1=4+2sin（2A+），∴sin（2A+）=，∵A∈（0，π），∴2A+∈（，），∴2A+=，∴A=．（2）由余弦定理可得：，即4=b2+c2﹣bc≥bc（当且仅当b=c=2时“=”成立），即bc≤4，∴，故△ABC面积的最大值是．18．如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，BC⊥CD，平面SCD⊥平面ABCD，SC=SD=CD=AD=2AB=2，M，N分别为SA，SB的中点，E为CD中点，过M，N作平面MNPQ分别于BC，AD交于点P，Q，若|DQ|=λ|DA|（1）当λ=时，求证：平面SAE⊥平面MNPQ（2）是否存在实数λ，使得三棱锥Q﹣BCN的体积为？若存在，求出实数λ的值，若不存在，说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由直角梯形性质可得PQ⊥AE，结合PQ⊥SE得出PQ⊥平面SAE，故而平面SAE⊥平面MNPQ；（2）根据V Q﹣BCN=V N﹣BCQ=S△BCQ•列方程解出λ．【解答】解：（1）E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AE ⊥CD当λ=时，Q为AD中点，PQ∥CD 所以PQ⊥AE因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD因为PQ⊂面ABCD，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE所以面MNPQ⊥面SAE…（2）V Q﹣BCN=V N﹣BCQ=V S﹣BCQ=××S△BCQ•h，∵SC=SD，E为CD中点∴SE⊥CD又∵平面SCD⊥平面ABCD，平面SCD∩平面ABCD=CD，SE⊂平面SCD，∴SE⊥平面ABCD∴SE即为S到平面BCQ的距离，即SE=h．在△SCD中，SC=SD=CD=2，∴SE=，在直角梯形ABCD中，易求得：BC=，∵M，N为中点，∴MN∥AB，∴AB∥平面MNPQ，又∵平面MNPQ∩平面ABCD=PQ，∴AB∥PQ，又∵AB⊥BC，∴PQ⊥BC，∴S△BCQ=BC×PQ=PQ，=××S△BCQ•h=××PQ×=PQ，∴V由题意：PQ=，∴PQ=．在梯形ABCD中，=，FQ=PQ﹣AB=，GD=1，∴=．∴=即λ=∴存在实数λ=，使得三棱锥Q﹣BCN的体积为．19．2016﹣2017赛季中国男子篮球职业联赛（即CBA）正在如火如荼地进行，北京时间3月10日，CBA半决赛开打，新疆队对阵辽宁队，广东队对阵深圳队：某学校体育组为了调查本校学生对篮球运动是否感兴趣，对本校高一年级两个班共120名同学（其中男生70人，女生50人）进行调查，得到的统计数据如表（1）完成下列2×2列联表丙判断能否在反错误的概率不超过0.05的前提下认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”？（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，其中男生和女生个多少人？从6人中随机选取3人做进一步的调查，求选取的3人中至少有1名女生的概率 参考公式：K 2=，其中n=a +b +c +d参考数据：【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；独立性检验的应用．【分析】（1）作出2×2列联表，由K 2计算公式得K 2≈1.143＜3.841，从而得到在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本，则抽样比例为=，应抽取男生4人，应抽取女生2人，不妨设4个男生为a ，b ，c ，d ，2个女生为A ，B ，利用列举法能求出从6人中随机选取3人，选取的3人中至少有1名女生的概率． 【解答】（本题满分12分） 解：（1）2×2列联表如下：由K 2计算公式得： K 2==≈1.143＜3.841∴在犯错误概率不超过0.05的前提下不能认为“对篮球运动是否感兴趣与性别有关”．…（2）采用分层抽样的方法从“对篮球运动不感兴趣”的学生里抽取一个6人的样本， 则抽样比例为=∴应抽取男生20×=4（人），应抽取女生10×=2（人）不妨设4个男生为a ，b ，c ，d ，2个女生为A ，B 从6人中随机选取3人所构成的基本事件有：（a，b，c），（a，b，d），（a，b，A），（a，b，B），（a，c，d），（a，c，A），（a，c，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，c，d），（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），（c，A，B），（d，A，B），共20个；选取的3人中至少有1名女生的基本事件有：（a，b，A），（a，b，B），a，c，A），（a，c，B），（a，d，A），（a，d，B），（a，A，B），（b，c，A），（b，c，B），（b，d，A），（b，d，B），（b，A，B），（c，d，A），（c，d，B），（c，A，B），（d，A，B）共16个基本事件；∴选取的3人中至少有1名女生的概率为=…20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）左、右焦点分别为F1，F2，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F2且垂直与x轴的直线交椭圆于P，Q 两点，且|PQ|=3（1）求椭圆的方程（2）若直线l与椭圆交于两点M，N（M，N不同于点A），若•=0，求证：直线l过定点，并求出定点坐标．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）由椭圆的通径公式求得=3，由a=2，即可求得b的值，求得椭圆方程；（2）当斜率不存在时，代入求得直线与椭圆的交点坐标，由丨MB 丨=丨AM丨即可求得m的值；当斜率存在且不为0，将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，求得k与b的关系，即可求出定点坐标．【解答】解：（1）令x=c，y=，则椭圆的通径丨PQ丨==3，又a=2，则b=，∴椭圆的标准方程为；…（2）当直线MN斜率不存在时，设l MN：x=m，与椭圆方程联立得：y=，丨MN丨=2=，设直线MN与x轴交于点B，丨MB丨=丨AM丨，即=2﹣m，∴m=或m=2（舍），∴直线m过定点（，0）；当直线MN斜率存在时，设直线MN斜率为k，M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MN：y=kx+b，与椭圆方程为：联立，得（4k2+3）x2+8kbx+4b2﹣12=0，x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+b）（kx2+b）=kx1x2+kb（x1+x2）+b2，△=（8kb）2﹣4（4k2+3）（4b2﹣12）＞0，k∈R，•=0，则（x1﹣2，y1）（x2﹣2，y2）=0，即x1x2﹣2（x1+x2）+4+y1y2=0，∴7b2+4k2+16kb=0，∴b=﹣k，或b=﹣2k，∴直线lMN：y=k（x﹣）或y=k（x﹣2），∴直线过定点（，0）或（2，0）舍去；综合知，直线过定点（，0）．…21．已知函数f（x）=ax2+（x﹣1）e x（1）当a=﹣时，求f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程（2）讨论f（x）的单调性（3）当﹣＜a＜﹣＜0时，f（x）是否存极值？若存在，求所有极值的和的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）当a=﹣时，f′（x）=﹣（e+1）x+xe x，利用导数的几何意义能求出f（x）在点P（1，f（1）处的切线方程．（2）由f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a），根据a≥0，﹣＜a＜0，a=﹣，a＜﹣，分类讨论，结合导数性质讨论f（x）的单调性．（3）x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f（x1）+f（x2，由此能求出所有极值的和的取值范围．【解答】（本题满分12分）解：（1）当a=﹣时，f（x）=﹣x2+（x﹣1）e x，∴f（1）=﹣f′（x）=﹣（e+1）x+xe x∴f′（1）=﹣1切线方程为：y+=﹣（x﹣1）即：2x+2y+e﹣1=0（2）f′（x）=2ax+xe x=x（e x+2a）①当2a≥0即a≥0时，f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；②当﹣＜a＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；③当a=﹣时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；④当a＜﹣时，f（x）在（﹣∞，0））上单调递增，在（0，ln（﹣2a））上单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）上单调递增；（3）由（2）知，当﹣＜a＜﹣＜0时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））上单调递增，在（ln（﹣2a），0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴x1=ln（﹣2a）为极大值点，x2=0为极小值点，所有极值的和即为f （x1）+f（x2），f（x1）+f（x2）=ax12+（x1﹣1）﹣1，∵x1=ln（﹣2a）∴a=﹣，∴f（x1）+f（x2）=﹣x12+（x1﹣1）﹣1=（﹣x12+x1﹣1）﹣1∵﹣＜a＜﹣∴＜﹣2a＜1∴﹣1＜x1=ln（﹣2a）＜0令ϕ（x）=e x（﹣x2+x﹣1）﹣1（﹣1＜x＜0）∴ϕ′（x）=e x（﹣x2）＜0∴ϕ（x）在（﹣1，0）单调递减，∴ϕ（0）＜ϕ（x）＜ϕ（﹣1）即﹣2＜ϕ（x）＜﹣﹣1．∴所有极值的和的取值范围为（﹣2，﹣﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的参数方程为（θ为参数），的极坐标方程为ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0．曲线C（1）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设P为曲线C1上一点，Q为曲线C2上一点，求|PQ|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程互化的方法，可得曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）利用参数方法，求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0…由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C的距离为（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线Cd==，…当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0…[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m（1）作函数f（x）的图象（2）若a2+b2+2c2=m，求ab+2bc的最大值．【考点】分段函数的应用；绝对值不等式的解法．【分析】（1）讨论x的范围：x≤﹣，﹣＜x≤1，x≥1，去掉绝对值，写出分段函数的形式，画出图象；（2）通过图象可得最大值m，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，求出t的值，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，由分段函数的图象画法可得图象如右；（2）由（1）知，当x=﹣时，f（x）的最大值为，即m=；∴a2+b2+2c2=，设a2+b2+2c2=a2+tb2+（1﹣t）b2+2c2≥2ab+2bc，令2：2=1：2，即8（1﹣t）=16t 得：t=，∴a2+b2+2c2=a2+b2+b2+2c2≥2•ab+4•bc=（ab+2bc）∴ab+2bc≤（a2+b2+2c2）=（当且仅当a2=c2=，b2=时取“=”号）．。

辽宁省2019届高三一模拟考试数学(理)试卷及答案

辽宁省2019届高三一模拟考试数学(理)试卷及答案

姓 名:_______________________考生考号:___________________________2019年下学期高三第一次模拟考试试题数学(理科）时间：120分钟 试卷满分:150分第I 卷本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第n 卷(非选择题}两部分，其中第Ⅱ卷第22题〜第23题为选考题，其它题为必考题.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题(本题共12个小题，每题5分，共60分,四个选项中只有一个正确）1.设 P={x|x ＜4},Q={x|x 2＜4}，则（） A.P ⊆Q B.QP C.P ⊆C R Q D.Q ⊆C R P2.复数i mi21-2+=A+Bi(m 、A 、B ∈R)，且A+B=0，则m 的值是（ ） A.32- B.32C.2D.23.设样本数据x 1,x 2,…,x 10的均值和方差分别为1和4,若y i =x i +a (O 为非零常数，i= 1,2,…,10)，则y1,y2,…，y10的均值和方差分别为（ ）A.1+a,4B.l+a ，4+aC.1,4D.l,4+a4.公差不为零的等差数列{an}的前n 项为Sn,若a 4是a 3与a 7的等比中项,S 8=32,则S 10等于()A.18B.24C.60D.905.设F 1和F 2为双曲线12222=-by a x (a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1，F 2，(0,2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（） A.y=±33x B.y=±3x C.y=±721x D.y=±321x 6.设a=log 23,b=34,c=log 34，则a,b ，c 的大小关系为（） A.b<a<c B.c<a<b C.a<b<c D.c<b<a7.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是（ ）A.18B.62C.52D.428.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A.38π B.3π C.310πD.6π9.(x +y +z)4的展开式共（ ）项 A.10 B.15 C.20 D.2110.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB =60°，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为（ ）A.(1+23)米 B.2米 C.(1+3)米 D.(2+3)米11.已知函数f(x)在R 上满足f(x)=2f(2-x)-x+8x-8，则曲线y=f(x)在点(1,f (1))处的切线方程是（ ）A.y=-2x+3B.y=xC.y=3x-2D.y=2x-112.已知椭圆的左焦点为F 1有一小球A 从F 1处以速度v 开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F 1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（ ） A.31 B.21-5 C.53 D.32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷

辽宁省沈阳市高考数学一模试卷

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题５分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．Ｂ．ﻩC．ﻩD．2.(5分)设集合A={x|x>1},B=｛x｜２x>1}，则( ）A.Ａ∩B=｛ｘ|x>0}B．Ａ∪B=RﻩC.A∪B={x|ｘ＞0｝D.A∩B=∅3.(5分)命题“若xy=0,则x=０”的逆否命题是()Ａ.若ｘy=0,则x≠0ﻩB．若xy≠0，则x≠0ﻩC．若ｘｙ≠0,则y≠０Ｄ．若x≠0，则xy≠04．(５分)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时,输入的x的值为( ）Ａ.﹣3ﻩB.﹣3或9ﻩC．3或﹣9 D．﹣9或﹣3５．(５分)刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点,则此点取自该圆内接正六边形的概率是（)A.ﻩB． C.ﻩＤ．6．(５分）如图所示,网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为（)A.Ｂ. C.ﻩD．7.(５分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A.﹣15 B．﹣9ﻩC．1ﻩＤ．9８.（５分)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有()种不同的站法.A.4 B．8ﻩC．12 Ｄ．249．（5分)函数y=ｓin2ｘ＋2siｎxｃosｘ＋3cｏｓ2x在的单调递增区间是（）Ａ．ﻩB.ﻩC.ﻩD．1０．（5分)已知双曲线的一条渐近线与圆(x﹣４）2＋ｙ2=4相切，则该双曲线的离心率为()A．２ B.ﻩC.ﻩD．１1．（５分)在各项都为正数的等比数列{a n}中,若a1=2,且ａ1•ａ5=64，则数列的前n项和是（)Ａ．ﻩB.C．ﻩＤ．1２.（5分)设函数f（ｘ）是定义在R上的偶函数,且ｆ（x+2)＝f(２﹣ｘ)，当x ∈［﹣2，0]时，,若在区间（﹣2,6)内关于x的方程f(x）﹣log a(x+２）=0（a>0且a≠1）有且只有4个不同的根,则实数a的取值范围是() A． B.(1,4） C.(1,８）ﻩＤ.（8,＋∞）二、填空题：本大题共４小题,每小题５分，共20分.把答案填在答题纸上.1３.(5分）已知随机变量ξ～Ｎ（１，σ2），若Ｐ(ξ>3）=０.2，则Ｐ（ξ≥﹣1）＝. 14．(5分)在推导等差数列前ｎ项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin２1°+sin22°+…+sｉn２８9°＝.1５．（5分）已知正三角形△AOＢ(Ｏ为坐标原点)的顶点Ａ、B在抛物线y2=３x 上,则△AOＢ的边长是.16.（5分)已知△ＡＢC是直角边为2的等腰直角三角形,且A为直角顶点，P为平面AＢC内一点,则的最小值是.三、解答题:共７0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１7～21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22/２3题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题：共６０分.17.(12分)在△ABＣ中，已知内角A，B,Ｃ对边分别是a,ｂ，c，且２ccosB＝2ａ＋ｂ．(Ⅰ)求∠C；（Ⅱ）若a+ｂ=6，△ＡBC的面积为，求c．1８．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣AＢCD中，平面PＡD⊥平面ABCＤ，底面ABCD是正方形,且PA=PD，∠APＤ=90°.(Ⅰ）证明:平面PAB⊥平面PCD；(Ⅱ)求二面角A﹣ＰＢ﹣Ｃ的余弦值．19.（１2分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了４5人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占.为了考察高中生的“恋家(在家里感到最幸福）”是否与国别有关,构建了如下2×2列联表．在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计(Ⅰ）请将2×2列联表补充完整;试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关;（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了５人,再从这５人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为Ｘ，求随机变量X的分布列及期望.附:,其中n=a+ｂ+c＋d.P（k2≥k0）0.0500.０250.01０0．0０１k03．8４1 5.0２4 6.63510.8282０.（1２分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为Ｎ，点Ｐ满足.（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0)的直线l1与点P的轨迹交于A、Ｂ两点，过F（１,0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证:为定值.2１．（12分)已知f（x)=e x﹣aｘ2﹣2ｘ，ａ∈Ｒ．(Ⅰ)求函数f(x）图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若f'（ｘ）≥﹣aｘ﹣1恒成立,求a的值;(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的条件下，证明:ｆ（x）存在唯一的极小值点x０，且.（二)选考题:共10分.请考生在22、２３两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分．[选修4-4:极坐标与参数方程]22．(１０分)设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+ｙ2=16的一个交点为Ｐ,M点为线段OＰ的中点，以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ）求点M的轨迹Ｃ的极坐标方程；(Ⅱ）设点A的极坐标为,点B在曲线C上,求△OAB面积的最大值．[选修4－5:不等式选讲]23.已知a＞0,b＞0,函数ｆ（x）=|x+a｜﹣｜ｘ﹣b|．(Ⅰ）当ａ=1,ｂ=1时，解关于x的不等式f（x)＞1；（Ⅱ)若函数f(x）的最大值为2，求证：.2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共1２小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（5分）若i是虚数单位,则复数的实部与虚部之积为（)A.B．ﻩC. D.【解答】解:∵=,∴复数的实部为,虚部为，∴复数的实部与虚部之积为．故选:B．2.(5分)设集合A＝{x|x>1},B={x|2x>１},则()A．A∩Ｂ=｛x|x>0} B.Ａ∪B＝RﻩC.A∪B＝{x|x＞0}ﻩD．A∩Ｂ=∅【解答】解:集合A={x|x＞1}，B＝{x|2x＞1}=｛x|x>0}，则A∩B={x|x>１};Ａ∪Ｂ={ｘ|x>0}．故选C．３．(5分）命题“若ｘy=0，则ｘ=０”的逆否命题是(）A.若xy=0，则x≠０B.若xｙ≠0，则ｘ≠0ﻩC.若xy≠0，则y≠０Ｄ．若ｘ≠0,则xｙ≠0【解答】解:命题若ｐ则q的逆否命题为：若￢ｑ，则￢p，即命题的逆否命题为：若ｘ≠0，则xy≠0，故选:D4．(5分）已知一个算法的程序框图如图所示,当输出的结果为0时,输入的x的值为(）A.﹣３ﻩＢ.﹣３或9 Ｃ.３或﹣９D．﹣9或﹣3【解答】解：输出才结果为零，有ｙ=0由程序框图可知,当:ｙ＝（)ｘ﹣8＝0时,解得选x=﹣３;当y=2﹣log3x=0，解得x＝9．综上,有x＝﹣３,或者9.故选:B．5．(５分）刘徽是一个伟大的数学家,他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产,他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A.ﻩB． C.ﻩD.【解答】解：如图所示,设圆的半径为R，则圆的面积为πR2,圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；则所求的概率为P＝=．故选:B．6．（5分)如图所示，网络纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某简单几何体的三视图,则该几何体的体积为( ）A． B.ﻩC．D．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=２,高为2的圆锥的一半，如图,∴该几何体的体积为:V==.故选：A．7．（5分）设x、y满足约束条件,则的最大值是（)Ａ.﹣1５B．﹣9 C．1ﻩD.9【解答】解：作出ｘ、y满足约束条件对应的平面区域，由,得y=﹣ｘ+z，平移直线y＝﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时,直线y=﹣ｘ+z的截距最大，此时z最大.由,得Ａ(0，1)，此时z的最大值为z=+１＝１，故选：A．8.（5分)若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置,则共有(）种不同的站法．Ａ．4ﻩＢ．8 C.１2 D.24【解答】解:根据题意，分2步分析：①,先从４个人里选１人，其位置不变,其他三人的都不在自己原来的位置，有C41＝４种选法，②,对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有２种调换方法.故不同的调换方法有４×2=８,故选：Ｂ．9.（5分）函数y=sｉn2x+2ｓｉnｘcｏｓx＋3cos2x在的单调递增区间是( ）A.Ｂ． C.D．【解答】解:函数y=ｓｉｎ2x+2ｓinxcｏｓx＋３ｃoｓ2x=+siｎ2x+3•＝２＋sin2ｘ+ｃos2x=２+sｉn（2ｘ+)，令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤π+，故函数的增区间为[kπ﹣,kπ+］,ｋ∈Z．结合，可得增区间为（0,],故选:C．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆(x﹣4）2+y2=4相切,则该双曲线的离心率为( )A.2ﻩB.C．ﻩD．【解答】解:双曲线的一条渐近线ｙ=与圆(x﹣4)2+ｙ２=4相切，可得:＝2,可得：２b=c,即4ｂ2=c２,所以4c2﹣4a2＝ｃ2，解得ｅ==．故选:B.1１.(５分）在各项都为正数的等比数列{ａn}中，若ａ1=２,且a1•ａ5=６4，则数列的前n项和是（)Ａ． B. C.D．【解答】解：在各项都为正数的公比设为ｑ的等比数列{ａn｝中，若a1=２，且a1•a5＝64，则4q4＝6４,解得q=2,则ａn=2n，可得数列，即为｛}，可得=﹣,数列的前n项和是﹣+﹣+…+﹣=１﹣,故选：A.１２.(５分)设函数f(ｘ)是定义在R上的偶函数，且ｆ(ｘ+2)=f（2﹣x），当x∈[﹣2,０］时,，若在区间（﹣2,６)内关于x的方程ｆ(ｘ）﹣loｇa（x+2)=0（a＞０且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是( )Ａ．ﻩB．（1，4）ﻩC．(1，8）D．(8,+∞)【解答】解：∵对于任意的x∈R,都有f(x﹣2）=ｆ（2＋ｘ），∴f（ｘ＋4)=f[２+(ｘ＋2）]=f[（x＋2）﹣２]=f（x),∴函数f(x)是一个周期函数，且T=4.又∵当ｘ∈[﹣２，0]时,，且函数f（x）是定义在R上的偶函数,若在区间(﹣2,6)内关于x的方程ｆ(x）﹣lｏg a(ｘ+2）＝０恰有4个不同的实数解，则函数y＝ｆ(x）与ｙ=ｌog a(x+2）（a>1）在区间(﹣2,6)上有四个不同的交点，如下图所示：又f(﹣2）=f(2)=f(6)=１,则对于函数y＝loｇa（ｘ+２),由题意可得，当x=6时的函数值小于１，即log a８<１,由此解得：a>8，∴ａ的范围是（8,+∞）故选Ｄ.二、填空题：本大题共4小题，每小题５分,共2０分.把答案填在答题纸上.1３．(5分）已知随机变量ξ~N(１,σ2），若P(ξ>3)=0.2，则P(ξ≥﹣１）＝0．8 .【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N(1，σ2），∴曲线关于x＝１对称，∵P（ξ＞3)=0.2,∴P（ξ≤﹣1)=P（ξ＞3)，∴P（ξ≥﹣1)＝1﹣P(ξ>3)=１﹣0.2=0.8．故答案为：0.814．(５分)在推导等差数列前ｎ项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可求得ｓｉn21°+ｓin22°+…+ｓin２89°= ４４.５.【解答】解:设S=ｓin2１°+sｉｎ２2°+…+ｓin２8９°,则S=sin２89°＋sin288°+…＋sin２1°,两式倒序相加，得：2S=（siｎ２1°+sｉn２８9°）+（sin2２°+ｓin2８８°）+…+（sｉn289°+sｉn21°）=(ｓiｎ2１°＋cos２1°）+（sｉn22°＋cｏs２2°）+…+（ｓin289°＋coss２8９°)=89,∞S=44.5．故答案为:44．5．15.(5分)已知正三角形△AOB（O为坐标原点)的顶点Ａ、B在抛物线ｙ2=3x上,则△AOB的边长是6．【解答】解:由抛物线的对称性可得∠AOx＝30°，∴直线OA的方程为ｙ＝x,联立，解得A(9，３）．∴|ＡO|==６.故答案为:．16.(５分)已知△ＡBC是直角边为２的等腰直角三角形，且Ａ为直角顶点,Ｐ为平面ＡBC内一点，则的最小值是﹣1 ．【解答】解:以BC为ｘ轴,以BC边上的高为y轴建立坐标系,△ＡＢC是直角边为２的等腰直角三角形，且A为直角顶点,斜边BＣ=2，则Ａ（0，)，Ｂ（﹣，0），C（,0）,设P(x，y）,则+＝２=（﹣2x，﹣2ｙ），＝(﹣x，﹣ｙ）,∴＝２x2＋2y2﹣2y=2x２+２（y﹣）2﹣１,∴当ｘ=0，y=时,则取得最小值﹣1.故答案为：﹣1．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第１７～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题,考生根据要求作答.(一）必考题:共6０分．１7.（１２分)在△ABC中，已知内角Ａ,B，C对边分别是ａ,b，c,且2ｃcosB=2ａ+ｂ．（Ⅰ）求∠Ｃ;（Ⅱ）若a+ｂ=6,△AＢC的面积为,求ｃ.【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得２ｓinCcoｓＢ=２sinA+sｉｎB,又sｉnA=siｎ(Ｂ+C）,∴2sｉnCcoｓB=2sin（B+C）＋ｓinB,∴2sｉnCcｏsB=2sinBｃoｓＣ+２cosBsinC+sinＢ，∴2sinＢcoｓC+sｉnB=0，(sｉｎB>0)∴，又C∈(０,π）∴；(Ⅱ）由面积公式可得，即ab=2,∴ａb=8,ｃ2=a2＋ｂ2﹣2abcosC＝a2＋ab+b2=(a+ｂ）2﹣aｂ=3６﹣8=２8，∴．18．(12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面ＰＡＤ⊥平面ABＣD,底面ABＣＤ是正方形,且ＰＡ=ＰD，∠APＤ=90°.（Ⅰ)证明：平面PAＢ⊥平面PCＤ；（Ⅱ)求二面角A﹣ＰB﹣C的余弦值.【解答】(Ⅰ)证明：∵底面ABＣＤ为正方形，∴CＤ⊥AＤ.又∵平面ＰAD⊥平面ABＣD,∴ＣD⊥平面ＰＡＤ.又∵ＡP⊂平面PＡＤ，∴CＤ⊥AP.∵PD⊥AＰ，CD∩PD=D，∴AP⊥平面PCD．∵AＰ⊂平面PAB,∴平面PＡＢ⊥平面PCＤ;（Ⅱ)解:取AD的中点为O,ＢC的中点为Q，连接PO,OQ，可得PＯ⊥底面ABＣD,OQ⊥AD,以O为原点,以的方向分别为ｘ轴，y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图，不妨设正方形的边长为２,可得Ａ(1，0，０)，Ｂ（1，2，0），C(﹣１，２，0）,P （0，０,１）,设平面APＢ的一个法向量为，而，,则,即,取x1=１，得；设平面ＢCP的一个法向量为，而,,则，即,取y2＝1，得,∴＝，由图知所求二面角为钝角，故二面角Ａ﹣ＰB﹣C的余弦值为．１9.(12分）高中生在被问及“家,朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了５5人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占.美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福)”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表.在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ)请将2×2列联表补充完整;试判断能否有95％的把握认为“恋家”与否与国别有关；(Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这５人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X,求随机变量X的分布列及期望.附:,其中n=a+b+c＋ｄ．P（k2≥k０）0.05０0.02５0.0１00．001k03．８4１5．０２４６.6３５10．８28【解答】解：(Ⅰ)根据题意,填写列联表如下；在家其他合计中国２23３5５美国93645合计3169１０0根据表中数据，计算=，∴有9５％的把握认为“恋家”与否与国别有关;（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，３人来自于“在其他场所”是幸福,∴X的可能取值为0,1，２；计算,,;∴X的分布列为：X０13P数学期望为：．20．(１２分)设O为坐标原点,动点M在椭圆上，过Ｍ作x轴的垂线，垂足为N,点P满足.(Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ)过F（1，０)的直线l１与点P的轨迹交于Ａ、Ｂ两点,过F(1,0)作与ｌ１垂直的直线l2与点Ｐ的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．【解答】（Ⅰ)解:设P（x，y)，则N(x,０),，又∵,∴，由Ｍ在椭圆上,得，即; (Ⅱ）证明:当ｌ1与x轴重合时,|AＢ|＝6,,∴.当l1与x轴垂直时,,｜CD|=6,∴.当l１与ｘ轴不垂直也不重合时,可设ｌ１的方程为y=ｋ（x﹣１)(k≠0），此时设Ａ（x1，y1），Ｂ（ｘ2,y２），C（x３,ｙ3），Ｄ(x４，ｙ4),把直线l1与曲线E联立，得(8+9k2)x２﹣１8k2x+９k2﹣72=0,可得△=(﹣1８k2)2﹣4(8+9ｋ２）(9ｋ２﹣72）>0．,.∴,把直线ｌ2与曲线Ｅ联立，同理可得．∴为定值.21.(12分)已知f（x)=e x﹣ax2﹣2x，a∈Ｒ.（Ⅰ）求函数f(x）图象恒过的定点坐标;(Ⅱ)若f'(x)≥﹣ａｘ﹣１恒成立,求ａ的值；(Ⅲ）在(Ⅱ）成立的条件下，证明：f(ｘ)存在唯一的极小值点x0,且．【解答】解：（Ⅰ）∵要使参数a对函数值不发生影响，∴必须保证x=0，此时f(０)=ｅ0﹣a×02﹣2×0＝1,所以函数的图象恒过点(0，１)．(Ⅱ）依题意得：ｅx﹣2ａｘ﹣２≥﹣ａｘ﹣1恒成立,∴eｘ≥ax+1恒成立.构造函数g(x)＝eｘ﹣aｘ﹣１,则g（ｘ)=e x﹣ax﹣1恒过(0，０）,ｇ'（x）＝e x﹣a,①若ａ≤0时,ｇ＇（x)＞0,∴ｇ（x）在R上递增，∴e x≥ax＋1不能恒成立．②若ａ＞0时,g'（ｘ)=０，∴x＝lnａ．∵x∈（﹣∞，ｌna）时,ｇ'(x）<0，函数g（ｘ)=ｅｘ﹣aｘ﹣1单调递减；ｘ∈（lna,+∞)时,g＇(x)＞０,函数g（x)＝e x﹣ax﹣1单调递增,∴g（x)在x=lｎa时为极小值点,g（lｎａ）=a﹣alna﹣1，∴要使eｘ﹣2ａx﹣2≥﹣ax﹣1恒成立,只需a﹣ａlna﹣1≥０．设h（a）＝a﹣ａlnａ﹣1,则函数h(a）恒过（1，0),h＇(a)＝1﹣lnａ﹣1=﹣ｌna，a∈（0，1),h＇（a）>０,函数h(a）单调递增;a∈（1，＋∞），h'(ａ)＜0,函数h(a）单调递减，∴ｈ(ａ)在a=1取得极大值0，∴要使函数h（a)≥0成立，只有在a=1时成立．证明(Ⅲ)f'(x）＝ｅx﹣2x﹣2,设ｍ(x）=e x﹣2ｘ﹣2,∴ｍ'（x）＝ｅx﹣２，令ｍ'（x）>0，ｘ>ln2∴ｍ(x)在(﹣∞,ln2）单调递减，在（lｎ2,+∞）单调递增，m(ln2）=﹣2ln2＜0，∴ｆ'(ｘ）=ｍ(x)=e x﹣2x﹣2在x＝ln2处取得极小值,可得f'（x）一定有2个零点,分别为f(x)的一个极大值点和一个极小值点，设ｘ０为函数ｆ（ｘ）的极小值点,则x０∈(０，２),∴f'(x0)=0,,=∵m（2）=ｅ2﹣2×２﹣2=e２﹣6>0，,∴在区间上存在一个极值点,∴最小极值点在内.∵函数f(x)的极小值点的横坐标,∴函数f(x)的极小值,∴(二）选考题：共１0分．请考生在2２、２3两题中任选一题作答，如果多做,则按所做的第一题记分.[选修４-4：极坐标与参数方程]22．（１0分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=1６的一个交点为P,Ｍ点为线段OＰ的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ)求点M的轨迹Ｃ的极坐标方程；（Ⅱ)设点A的极坐标为，点B在曲线Ｃ上,求△OＡB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ),则P(2ρ，θ）又点P的轨迹的极坐标方程为ρ＝8ｃosθ∴2ρ=8cｏsθ，化简,得点M的轨迹Ｃ的极坐标方程为：ρ=4cｏsθ,,ｋ∈Z．(Ⅱ)直线OＡ的直角坐标方程为点(2,0)到直线的距离为：，∴△OＡB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲］2３.已知a>０，b>0，函数f(ｘ)＝|x+a|﹣|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=1时,解关于x的不等式f(x)>1;(Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．【解答】解:（Ⅰ）当a=1，b=1时，．不等式f(x)＞１为｜x＋1|﹣|ｘ﹣1|>1.①当x≥1时,因为不等式为x+1﹣x+1=2>1,所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为{x|x≥1｝;②当﹣１≤x<１时,因为不等式为x＋１＋ｘ﹣1＝2x>１，所以,此时,符合不等式的解集为；③当x≥１时，因为不等式为﹣x﹣１＋x﹣1=﹣2>1不成立，解集为空集；综上所述，不等式f(x）＞1的解集为.（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||x＋a|﹣｜x﹣b||≤｜a+ｂ｜,a＞０，b>0∴ａ+b=2.∴,当且仅当a=b=1时，等号成立．另解:（Ⅱ)因为a>0，b＞0,所以﹣ａ＜0＜ｂ，所以函数ｆ（ｘ）=｜x+a|﹣|x﹣b|=｜ｘ﹣(﹣a)|﹣｜x﹣b|=,所以函数f（x)的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段,所以函数的最大值等于a＋b,所以ａ＋b=2．∵a+b＝2，∴.或者=，当且仅当a＝2﹣a，即a=1时,“等号”成立．。

2019届辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（理科）Word版含解析

2019届辽宁省沈阳市大东区高考数学一模试卷（理科）Word版含解析

2019届辽宁省沈阳市⼤东区⾼考数学⼀模试卷（理科）Word版含解析2018-2019学年辽宁省沈阳市⼤东区⾼考数学⼀模试卷（理科）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题，每⼩题5分，共60分.在每⼩题给出的四个温馨提⽰：多少汗⽔曾洒下，多少期待曾播种，终是在⾼考交卷的⼀刹尘埃落地，多少记忆梦中惦记，多少青春付与流⽔，⼈⽣，总有⼀次这样的成败，才算长⼤。

⾼考保持⼼平⽓和，不要紧张，像对待平时考试⼀样去做题，做完检查⼀下题⽬，不要直接交卷，检查下有没有错的地⽅，然后耐⼼等待考试结束。

选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的.1．设集合M={x|x2=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（）A．[0，1]B．（0，1]C．[0，1） D．（﹣∞，1]2．复数z满⾜z（2﹣i）=2+i（i为虚数单位），则在复平⾯内对应的点所在象限为（）A．第⼀象限B．第⼆象限C．第三象限D．第四象限3．以下四个命题中，真命题是（）A．?x∈（0，π），sinx=tanxB．“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是“?x0∈R，x02+x0+1＜0”C．?θ∈R，函数f（x）=sin（2x+θ）都不是偶函数D．条件p：，条件q：则p是q的必要不充分条件4．（﹣2x）5的展开式中，含x3项的系数是（）A．﹣10 B．﹣5 C．5 D．105．在等差数列{a n}中，S n为其前n项和，若a3+a4+a8=25，则S9=（）A．60 B．75 C．90 D．1056．如图，⽹格纸上的⼩正⽅形边长为1，粗线或虚线表⽰⼀个棱柱的三视图，则此棱柱的侧⾯积为（）A．16+4B．20+4C．16+8D．8+127．我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采⽤正多边形⾯积逐渐逼近圆⾯积的算法计算圆周率π，⽤刘徽⾃⼰的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之⼜割，以⾄于不可割，则与圆合体⽽⽆所失矣．”设计程序框图是计算圆周率率不⾜近似值的算法，其中圆的半径为1．请问程序中输出的S是圆的内接正（）边形的⾯积．A．1024 B．2048 C．3072 D．15368．已知x，y满⾜约束条件，若⽬标函数z=x﹣2y的最⼤值是﹣2，则实数a=（）A．﹣6 B．﹣1 C．1 D．69．已知函数f（x）=，函数g（x）=f（x）﹣ax，恰有三个不同的零点，则a的取值范围是（）A．（，3﹣2） B ．（，） C ．（﹣∞，3﹣2） D ．（3﹣2，+∞）10．在正⽅体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 是线段A 1C 1的中点，若四⾯体M ﹣ABD 的外接球的表⾯积为36π，则正⽅体棱长为（） A ．2B ．3C ．4D ．511．过抛物线y 2=2px （p ＞0）焦点F 的直线与双曲线x 2﹣=1的⼀条渐近线平⾏，并交其抛物线于A ，B 两点，若|AF |＞|BF |，且|AF |=3，则抛物线⽅程为（）A ．y 2=xB ．y 2=2xC ．y 2=4xD ．y 2=8x12．已知函数f （x ）=，关于x 的⽅程f 2（x ）﹣2af （x ）+a ﹣1=0（a ∈R ）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（）A ．（，+∞）B ．（﹣∞，） C ．（0，）D ．{}⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．将y=sin （2x +）的图象向右平移φ（0＜φ＜π）个单位得到函数y=2sinx（sinx ﹣cosx ）﹣1的图象，则φ= ．14．在正⽅形ABCD 中，AB=AD=2，M ，N 分别是边BC ，CD 上的动点，当||?||=4时，则||的取值范围是．15．抛物线y=﹣x 2+2x 与x 轴围成的封闭区域为M ，向M 内随机投掷⼀点P （x ，y ），则P （y ＞x ）= ．16．已知数列{a n }的⾸项a 1=m ，其前n 项和为S n ，且满⾜S n +S n +1=3n 2+2n ，若对?n ∈N +，a n ＜a n +1恒成⽴，则m 的取值范围是．三、解答题（本⼤题共5⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC 中，⾓A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知cos2A ﹣3cos （B +C ）=1．（Ⅰ）求⾓A 的⼤⼩；（Ⅱ）若△ABC 的⾯积S=5，b=5，求sinBsinC 的值．18．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底⾯为菱形，∠BCD=120°，AB=PC=2，AP=BP=．（I）求证：AB⊥PC；（Ⅱ）求⼆⾯⾓B⼀PC﹣D的余弦值．19．语⽂成绩服从正态分布N，数学成绩的频率分布直⽅图如图：（1）如果成绩⼤于135的为特别优秀，这500名学⽣中本次考试语⽂、数学特别优秀的⼤约各多少⼈？（2）如果语⽂和数学两科都特别优秀的共有6⼈，从（1）中的这些同学中随机抽取3⼈，设三⼈中两科都特别优秀的有x⼈，求x的分布列和数学期望．（3）根据以上数据，是否有99%的把握认为语⽂特别优秀的同学，数学也特别优秀．①若x～N（µ，σ2），则P（µ﹣σ＜x≤µ+σ）=0.68，P（µ﹣2σ＜x≤µ+2σ）=0.96．②k2=；③20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）和直线l：﹣=1，椭圆的离⼼率e=，坐标原点到直线l的距离为．（Ⅰ）求椭圆的⽅程；（Ⅱ）已知定点E（﹣1，0），若直线m过点P（0，2）且与椭圆相交于C，D两点，试判断是否存在直线m，使以CD为直径的圆过点E？若存在，求出直线m 的⽅程；若不存在，请说明理由．21．已知，函数f（x）=2x﹣﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=3时，求f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=f（x）﹣x+2alnx，且g（x）有两个极值点x1，x2，其中x1＜x2，若g（x1）﹣g（x2）＞t恒成⽴，求t的取值范围．请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分.[选修4-4：坐标系与参数⽅程]22．在平⾯直⾓坐标系中，曲线C1：（a为参数）经过伸缩变换后的曲线为C2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建⽴极坐标系．（Ⅰ）求C2的极坐标⽅程；（Ⅱ）设曲线C3的极坐标⽅程为ρsin（﹣θ）=1，且曲线C3与曲线C2相交于P，Q两点，求|PQ|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=2时，求不等式f（x）＜4的解集；（Ⅱ）若a，b∈R，且+=1，求证：f（x）≥；并求f（x）=时，a，b的值．。

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(理科)(解析版)

19．（12 分）如图，矩形 ABCD 和梯形 BEFC 所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝90°， ，BE＝3，CF＝4，EF＝2．
（1）求证：AE∥平面 DCF； （2）当 AB 的长为何值时，二面角 A﹣EF﹣C 的大小为 60°．
20．（12 分）椭圆
的左、右焦点分别为 F1、F2，离心率为 ，
C．∃x∈R，x2﹣x+1＞0
D．∀x∈R，x2﹣x+1≥0
5．（5 分）等比数列{an}中，若 a3＝2，a7＝8，则 a5＝（ ）
A．4
B．﹣4
C．±4
D．5
6．（5 分）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
第 1 页（共 16 页）
C．
D．
7．（5 分）某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得 由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信 息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（ ）
） B．{7}
2．（5 分）在复平面内，复数
C．{3，7} 对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．{1，3，5} D．第四象限
3．（5 分）设函数
，则
＝（ ）
A．﹣1
B．1
C．
D．
4．（5 分）已知命题 p：∀x∈R，x2﹣x+1＞0，则￢p（ ）
A．∃x∈R，x2﹣x+1≤0
B．∀x∈R，x2﹣x+1≤0
A．π
B．2π
C．3π
D．4π
11．（5 分）如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面为矩形，矩形的四个顶点 A，B，C，D 在球 O

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(文)试题(解析版)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(文)试题(解析版)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（文）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为 A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于 A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则 A. B. 1 C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则 A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.在等比数列中，，，则 A. 4B. 5C.D.【答案】C【解析】【分析】设等比数列的公比为，由等比数列的通项公式可得，可解得的值，代入通项公式计算可得答案．【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，，可得，都符合题意，所以，故选C．【点睛】本题主要考查等比数列的性质与通项公式的应用，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题．6.已知是空间中的两条不同的直线，，是空间中的两个不同的平面，则下列命题正确的是 A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】D【解析】【分析】由直线还可以在平面内判断；由直线还可以在平面内判断；由直线还可以在平面内，可以与平面斜交，或者与平面平行判断；根据面面垂直的判定定理判断．【详解】对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，所以选项错误；对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，所以选项错误；对于选项，符合已知条件的直线还可以在平面内，与平面斜交，或者与平面平行，所以选项错误；对于选项，根据面面垂直的判定定理可知其正确性，所以选项正确，故选D．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，除了利用定理、公理、推理判断外，还常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.7.曲线的方程为，则曲线的离心率为 A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由双曲线方程求得的值，再由求得，则曲线的离心率可求．【详解】因为曲线的方程为，所以，，则，，，双曲线的离心率，故选A．【点睛】本题主要考查双曲线的方程与离心率，是基础的计算题．离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8.某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且字母“”只可能在最后两个位置中的某一个位置上如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为 A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由列举法得到满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，根据古典概型概率公式可得结果．【详解】因为某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成，并且字母“”只可能在最后两个位置中的某一个位置上．该同学根据已有信息填入上述三个字母，。

2019年辽宁省沈阳市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2019年辽宁省沈阳市高考数学模拟试卷(理科)(解析版)

2019年辽宁省高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．42．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．23．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．44．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．36．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．10247．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=．三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，共计60分）1．全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x=2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）的子集个数为（）A．1 B．3 C．8 D．4【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据题意，分析可得集合A、B，由集合并集的定义可得A ∪B，进而由补集的定义可得∁U（A∪B），分析集合∁U（A∪B）元素数目，由集合子集与元素数目的关系分析可得答案．【解答】解：根据题意，A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，B={x|x=2a，a∈A}={2，4}，则A∪B={1，2，4}，∁U（A∪B）={3，5，6}，有3个元素，其子集个数为23=8，故选C．2．已知复数z=﹣2+i，则复数的模为（）A．1 B．C．D．2【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把z=﹣2+i代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z=﹣2+i，∴，则复数的模，故选：B．3．已知点A（2，0），B（3，2），向量，若，则为（）A．B．C．D．4【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的数量积求出λ的值，再求其模即可．【解答】解：，，故选A．4．执行如图的程序框图（N∈N*），那么输出的p是（）A．B．C．D．【考点】EF：程序框图．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量p的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体，k=1，p=A11，满足继续循环的条件，k=2；第二次执行循环体，k=2，p=A22，满足继续循环的条件，k=3；第三次执行循环体，k=3，p=A33，满足继续循环的条件，k=4；…第N次执行循环体，k=N，p=A N N，满足继续循环的条件，k=N+1；第N+1次执行循环体，k=N+1，p=A N+1N+1，不满足继续循环的条件，故输出的p值为A N+1N+1，故选：C5．下列说法正确的个数是（）①若f（x）=+a为奇函数，则a=；②“在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B”的逆命题是假命题；③“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件；④命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．A．0 B．1 C．2 D．3【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】利用函数的奇偶性判断①的正误；利用三角形中正弦定理判断②的正误，利用充要条件判断③的正误，命题的否定判断④的正误．【解答】解：对于①，若f（x）=+a为奇函数，则f（0）=0，解得a=﹣，所以①不正确；对于②，“在△ABC中，若sinA＞sinB，由正弦定理可得a＞b，则A ＞B”，的逆命题是真命题；所以②不正确；对于③，“三个数a，b，c成等比数列”则b2=ac，∴b=±，若a=b=c=0，满足b=，但三个数a，b，c成等比数列不成立，∴“三个数a，b，c成等比数列”是“b=”的既不充分也不必要条件，所以③正确．对于④，命题“∀x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“∃x0∈R，x03﹣x02+1＞0”．满足命题的否定形式，所以④正确．故选：C．6．若（x+1）n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，且a0+a1+…+a n=243，则（n﹣x）n展开式的二次项系数和为（）A．16 B．32 C．64 D．1024【考点】DC：二项式定理的应用．【分析】令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n=243，求得n=5，可得（n﹣x）n展开式的二次项系数和．【解答】解：∵（x+1）n =[2+（x﹣1）]n=a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a n（x﹣1）n，令x=2，可得a0+a1+…+a n=3n，再根据a0+a1+…+a n =243，可得3n=243，求得n=5，故（n﹣x）n=（5﹣x）5展的开式的二次项系数和为2n=25=32，故选：B．7．设等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，则“|q|=1”是“S6=3S2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据等比数列的前n项和为S n．结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若q=1时，S6=6a1=3S2=3•2a1=6a1，q=﹣1时，S6=3S2=0，符合题意，是充分条件；反之也成立，故“|q|=1”是“S6=3S2”的充要条件，故选：C．8．已知焦点为F的抛物线y2=2px（p＞0）上有一点，以A 为圆心，|AF|为半径的圆被y轴截得的弦长为，则m=（）A．B． C． D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】运用点满足抛物线的方程可得p（由m表示），运用抛物线的定义可得|AF|，即圆的半径，运用圆的弦长公式，解方程可得m 的值．【解答】解：由在抛物线y2=2px上，∴2pm=8，∴，∴抛物线的焦点，即，准线方程为x=﹣，由抛物线的定义可知，即圆A的半径．∵A到y轴的距离d=m，∴，即，解得，故选D．9．函数与的图象关于直线x=a对称，则a 可能是（）A． B． C． D．【考点】HB：余弦函数的对称性．【分析】根据函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式，根据它与一样，求得a的值．【解答】解：由题意，设两个函数关于x=a对称，则函数关于x=a的对称函数为，利用诱导公式将其化为余弦表达式为，令，则．故选：A．10．设正实数a，b，c分别满足2a2+a=1，blog2b=1，clog5c=1，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．a＞c＞b【考点】4H：对数的运算性质．【分析】令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，即可得出a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象得1＜b＜c，即可得出大小关系．【解答】解：令f（x）=2x2+x﹣1，则f（x）=﹣在x＞0时单调递增，且f（0）•f（1）=﹣1×2=﹣2＜0，即a∈（0，1），在同一坐标系中作出的图象，由图象，得1＜b＜c，即c＞b＞a；故选：C．11．已知实数x，y满足，若目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，则实数m的取值范围是（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[2，3]D．[﹣1，3]【考点】7D：简单线性规划的应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，由z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，即当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，利用数形结合确定m的取值范围．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由目标函数z=﹣mx+y得y=mx+z，则直线的截距最大，z最大，直线的截距最小，z最小．∵目标函数z=﹣mx+y的最大值为﹣2m+10，最小值为﹣2m﹣2，∴当目标函数经过点（2，10）时，取得最大，当经过点（2，﹣2）时，取得最小值，∴目标函数z=﹣mx+y的目标函数的斜率m满足比x+y=0的斜率大，比2x﹣y+6=0的斜率小，即﹣1≤m≤2，故选：A．12．过双曲线x2﹣=1的右支上一点P，分别向圆C1：（x+4）2+y2=4和圆C2：（x﹣4）2+y2=1作切线，切点分别为M，N，则|PM|2﹣|PN|2的最小值为（）A．10 B．13 C．16 D．19【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之和取得最小值，计算即可得到所求值．【解答】解：圆C1：（x+4）2+y2=4的圆心为（﹣4，0），半径为r1=2；圆C2：（x﹣4）2+y2=1的圆心为（4，0），半径为r2=1，设双曲线x2﹣=1的左右焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0），连接PF1，PF2，F1M，F2N，可得|PM|2﹣|PN|2=（|PF1|2﹣r12）﹣（|PF2|2﹣r22）=（|PF1|2﹣4）﹣（|PF2|2﹣1）=|PF1|2﹣|PF2|2﹣3=（|PF1|﹣|PF2|）（|PF1|+|PF2|）﹣3=2a（|PF1|+|PF2|﹣3=2（|PF1|+|PF2|）﹣3≥2•2c﹣3=2•8﹣3=13．当且仅当P为右顶点时，取得等号，即最小值13．故选B．二、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分）13．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n，且，则=．【考点】8F：等差数列的性质．【分析】利用等差数列的前n项和把S n，T n与a7和b7建立关系可得答案．【解答】解：由等差数列的前n项和，可知：，可得：．同理：，可得：．那么：则=．故答案为：．14．函数f（x）=x3﹣x2+x+1在点（1，2）处的切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积等于．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程；6G：定积分在求面积中的应用．【分析】由题意利用导数可求得过点（1，2）处的切线方程，利用定积分即可求得切线与函数g（x）=x2围成的图形的面积．【解答】解：∵（1，2）为曲线f（x）=x3﹣x2+x+1上的点，设过点（1，2）处的切线的斜率为k，则k=f′（1）=（3x2﹣2x+1）|x=1=2，∴过点（1，2）处的切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x．∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形如图：由得二曲线交点A（2，4），又S△AOB=×2×4=4，g（x）=x2围与直线x=2，x轴围成的区域的面积S=x2dx==，∴y=2x与函数g（x）=x2围成的图形的面积为：S′=S△AOB﹣S=4﹣=．故答案为：．15．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积与其外接球体积之比为【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由题意，得到几何体是两个相同的四棱锥对底的几何体，计算其体积以及外接球体积即可．【解答】解：由已知三视图得到几何体是两个底面边长为1的正方形的四棱锥对底放置的几何体，所以其几何体体积为，其外接球的半径为，所以体积为，因此体积之比为；故答案为：．16．已知O是△ABC外接圆的圆心，已知△ABC外接圆半径为2，若，则边长AB=3．【考点】9F：向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由，得16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，由2∠ACB=∠AOB，得cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3【解答】解：设△ABC的外接圆的半径为R，因为，所以，则16R2+25R2+40R2cos∠AOB=36R2，即8cos∠AOB=﹣1，解得：cos∠AOB=﹣．由2∠ACB=∠AOB，2cos2∠ACB﹣1=cos∠AOB=﹣，则cosC=⇒sin∠ACB=由⇒AB=4sin∠ACB=3故答案为：3三、解答题（共6题，总计70分）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理将边化角，结合和与差的公式可得∠C 的大小．（Ⅱ）降次后利用辅助角公式转化为三角函数，利用三角函数的有界限即可得取值范围．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵，∴由正弦定理可得：，∴sinCcosB+sinBcosC+2sinAcosC=0，∴sinA+2sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴，∵0＜C＜π．∴．（Ⅱ）∵，又∵，∴，∴，即．故得sin2A+sin2B的取值范围是[，）．18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从市区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）（Ⅰ）从这15天的数据中任取一天，求这天空气质量达到一级的概率；（Ⅱ）从这15天的数据中任取3天的数据，记ξ表示其中空气质量达到一级的天数，求ξ的分布列；（Ⅲ）以这15天的PM2.5的日均值来估计一年的空气质量情况，（一年按360天来计算），则一年中大约有多少天的空气质量达到一级．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；BA：茎叶图；CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）用频率估计概率，求出“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”的概率；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，ξ的可能值为0，1，2，3，且P（ξ=k）=，写出分布列；（Ⅲ）依题意知一年中每天空气质量达到一级的概率P，一年中空气质量达到一级的天数η，η～B，计算Eη即可．【解答】解：（Ⅰ）记“从这15天的数据中任取一天，这天空气质量达到一级”为事件A，则P（A）==；（Ⅱ）依据条件，ξ服从超几何分布，其中N=15，M=5，n=3，ξ的可能值为0，1，2，3，其分布列为：P（ξ=k）=，其中k=0，1，2，3；ξ0 1 2 3P…（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为P==，一年中空气质量达到一级的天数为η，则η～B；∴Eη=360×=120（天），∴一年中平均有120天的空气质量达到一级．19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=1，D 是棱AA1上的点，DC1⊥BD（Ⅰ）求证：D为AA1中点；（Ⅱ）求直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小；（Ⅲ）在△ABC边界及内部是否存在点M，使得B1M⊥面BDC，存在，说明M位置，不存在，说明理由．【考点】MI：直线与平面所成的角；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明D为AA1的中点．（Ⅱ）求出面BDC的法向量，利用向量法能求出直线BC1与平面BDC 所成角正弦值．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，利用向量法推导出在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．【解答】证明：（Ⅰ）根据题意以CA、CB、CC1所在直线为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，∴D（1，0，h），C1（0，0，2），B（0，1，0），B1（0，1，2），∴=（﹣1，0，2﹣h），=（1，﹣1，h），∴﹣1+h（2﹣h）=0，解得h=1，∴D为AA1的中点．（Ⅱ）=（0，﹣1，2），设面BDC的法向量=（x，y，z），则，设x=1，得=（1，0，﹣1），设直线BC1与平面BDC所成角为θ，则sinθ===．∴直线BC1与平面BDC所成角正弦值大小为．（Ⅲ）设M（x，y，0），0≤x≤1，0≤y≤1，x+y≤1，∴，∵B1M⊥面BDC，∴，∴，解得，∵x＞1，∴在△ABC边界及内部是不存在点M，使得B1M⊥面BDC．20．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，若△PQF1的周长为短轴长的2倍．（Ⅰ）求C的离心率；（Ⅱ）设l的斜率为1，在C上是否存在一点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，得到，由此能求出椭圆C的离心率．（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得，由此利用韦达定理、椭圆性质、向量知识，结合已知条件能求出不存在点M，使成立．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C：=1（a＞b＞0）的焦点F1，F2，过右焦点F2的直线l与C相交于P、Q两点，△PQF1的周长为短轴长的2倍，△PQF1的周长为4a…∴依题意知，即…∴C的离心率…（Ⅱ）设椭圆方程为，直线的方程为y=x﹣c，代入椭圆方程得…设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，…设M（x0，y0），则①…由得…代入①得…因为，，所以②…而…从而②式不成立．故不存在点M，使成立…21．已知函数f（x）=（x﹣2）lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；（2）若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，求实数a的取值范围．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为在（1，+∞）上恒成立即可，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，根据函数的单调性结合函数的图象求出a的范围即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），，要使f（x）在区间（1，+∞）上单调递增，只需f'（x）≥0，即在（1，+∞）上恒成立即可，易知在（1，+∞）上单调递增，所以只需a≤y min即可，易知当x=1时，y取最小值，，∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．（2）不等式f（x0）＜0即（x0﹣2）lnx0＜ax0﹣1，令g（x）=（x﹣2）lnx，x＞0，h（x）=ax﹣1，则，g'（x）在（0，+∞）上单调递增，而g'（1）=﹣1＜0，g'（2）=ln2＞0，∴存在实数m∈（1，2），使得g'（m）=0，当x∈（1，m）时，g'（x）＜0，g（x）在（1，m）上单调递减；当x∈（m，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（m，+∞）上单调递增，∴g（x）min=g（m）．g（1）=g（2）=0，画出函数g（x）和h（x）的大致图象如下，h（x）的图象是过定点C（0，﹣1）的直线，由图可知若存在唯一整数x0，使得f（x0）＜0成立，则需k BC＜a≤min{k AC，k DC}，而，∴k AC＞k DC．∵，∴．于是实数a的取值范围是．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程（φ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM：θ=与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；Q8：点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，联立即可解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，同理可解得．利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（I）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程为参数）化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（II）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，由，解得．设（ρ2，θ2）为点Q的极坐标，由，解得．∵θ1=θ2，∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．∴|PQ|=2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，c＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c的最大值为10．（1）求a+b+c的值；（2）求（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2的最小值，并求出此时a、b、c的值．【考点】RA：二维形式的柯西不等式；R4：绝对值三角不等式．【分析】（1）利用绝对值不等式，求出f（x）的最大值为a+b+c，即可求a+b+c的值；（2）利用柯西不等式，即可得出结论．【解答】解：（1）f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|+c≤|b+a|+c，当且仅当x≥b时等号成立，∵a＞0，b＞0，∴f（x）的最大值为a+b+c．又已知f（x）的最大值为10，所以a+b+c=10．（2）由（1）知a+b+c=10，由柯西不等式得[（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2]（22+12+12）≥（a+b+c﹣6）2=16，即（a﹣1）2+（b﹣2）2+（c﹣3）2≥当且仅当（a﹣1）=b﹣2=c﹣3，即a=，b=，c=时等号成立．。

精品解析：【市级联考】辽宁省沈阳市郊联体2019届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(解析版)

精品解析：【市级联考】辽宁省沈阳市郊联体2019届高三第一次模拟考试数学(理科)试题(解析版)

2019年辽宁省沈阳市郊联体高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．【点睛】本题考查集合并集的计算，一元二次不等式解法，关键是求出集合M、N，属于基础题．2.若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A. 3B.C.D. ﹣3【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可. 【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查乘法/除法运算，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3.根据图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C. 2008年我国实际利用外资同比增速最大D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．【点睛】本题主要考查对图表信息的提取能力，难度不大，属于基础题．4.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A. 磅B. 磅C. 磅D. 磅【答案】D【解析】【分析】设出等差数列的首项和公差，利用已知条件列方程组并转化为的形式，由此求得最小分的磅数.【详解】由于数列为等差数列，设最小一份为，且公差为，依题意可知，即，解得.故选D.【点睛】本小题主要考查数学史，考查等差数列的通项公式的计算以及等差数列前项和公式的应用，属于基础题. 基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等差数列的通项公式或前项和公式，结合已知条件列出方程组，通过解方程组即可求得数列，进而求得数列其它的一些量的值.5.函数f（x）＝xe﹣|x|的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因为函数的定义域为，，所以函数为奇函数，排除A，B；当时，，因为，所以，即在时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括等.6.正方体A1C中，E、F为AB、B1B中点，则A1E、C1F所成的角的正弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，分别求出与的坐标，利用数量积求夹角公式求解．【详解】如图所示，以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），则，，∴cos．∴A1E、C1F所成的角的正弦值为．故选：B．【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，准确计算是关键，是中档题．7.设，是非零向量，则“”是“2”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】利用平面向量数量积的运算法则以及充分条件与必要条件的定义判断即可.【详解】因为是非零向量，所以若，则，即；若，则，可得或，所以是的充分不必要条件，故选A.【点睛】判断充分条件与必要条件应注意：首先弄清条件和结论分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.8.在平面直角坐标系xOy中，过A（4，4），B（4，0），C（0，4）三点的圆被x轴截得的弦长为（）A. 2B.C. 4D.【答案】C【解析】【分析】设圆的方程为,代入，求得圆的方程，令，解得圆M与轴的交点坐标，即可得到答案.【详解】根据题意，设过三点的圆为圆，其方程为,又由，则由，解得，即圆，令，得，解得，即圆M与轴的交点坐标分别为，所以圆M被轴截得的弦长为4，故选C.【点睛】本题主要考查了圆的方程的求解，以及直线与圆的弦长问题，其中解答中利用待定系数法求得圆的方程是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.已知函数f（x）＝sinπx，g（x）＝x2﹣x+2，则（）A. 曲线y＝f（x）+g（x）不是轴对称图形B. 曲线y＝f（x）﹣g（x）是中心对称图形C. 函数y＝f（x）g（x）是周期函数D. 函数最大值为【答案】D【解析】【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，函数f（x）＝sinπx，为轴对称图形，且其中一条对称轴为x，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，为轴对称图形，且其对称轴为x，故y＝f（x）+g（x）＝sinπx+（x2﹣x+2）是轴对称图形，且其对称轴为x，A错误；对于B，g（x）＝x2﹣x+2，不是中心对称图形，则曲线y＝f（x）﹣g（x）不是中心对称图形，B错误；对于C，g（x）＝x2﹣x+2不是周期函数，f（x）g（x）＝（sinπx）（x2﹣x+2）不是周期函数，C错误；对于D，g（x）＝x2﹣x+2＝（x）2，当x时，g（x）取得最小值，而f（x）＝sinπx，当x时，f（x）取得最大值1，则函数最大值为；D正确；故选：D．【点睛】本题考查函数的对称性、周期性和最值，推理求解能力，关键掌握函数的性质，属于基础题．10.一种画双曲线的工具如图所示，长杆OB通过O处的铰链与固定好的短杆OA连接，取一条定长的细绳，一端固定在点A，另一端固定在点B，套上铅笔（如图所示）．作图时，使铅笔紧贴长杆OB，拉紧绳子，移动笔尖M（长杆OB绕O转动），画出的曲线即为双曲线的一部分．若|OA|＝10，|OB|＝12，细绳长为8，则所得双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设，可得，则，由双曲线的定义可得，从而可得结果.【详解】设，因为，，所以，可得，由双曲线的定义可得的轨迹是双曲线的一支，且，，离心率，故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．11.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，则球面面积为（）A. 42πB. 48πC. 54πD. 60π【答案】C【解析】【分析】设出球的半径，小圆半径，通过已知条件求出两个半径，再求球的表面积．【详解】如图，设球的半径为R，O′是△ABC的外心，外接圆半径为r，则OO′⊥面ABC．在Rt△ACD中，cos A，则sin A．在△ABC中，由正弦定理得2r，r，△ABC外接圆的半径，．故选：C．【点睛】本题考查立体几何中的球的截面问题和球的表面积问题，考查球面距离弦长问题，正弦定理的应用，考查学生分析问题解决问题能力，空间想象能力，属于难题．12.已知过点A（a，0）作曲线C：y＝x•e x的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣4）∪（0，+∞）B. （0，+∞）C. （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）D. （﹣∞，﹣1）【答案】A【解析】【分析】设出切点，对函数求导得到切点处的斜率，由点斜式得到切线方程，化简为，整理得到方程有两个解即可，解出不等式即可.【详解】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.【点睛】这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.二、填空题：本大题共4个小题。

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷(文科)(解析版)

2019年辽宁省高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．23．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．905．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：37．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．1810．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．14．如图所示，输出的x的值为．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为．（用数值作答）16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}，则（）A．P⊆Q B．Q⊆P C．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P【考点】子集与真子集．【分析】此题只要求出x2＜4的解集{x|﹣2＜x＜2}，画数轴即可求出．【解答】解：P={x|x＜4}，Q={x|x2＜4}={x|﹣2＜x＜2}，如图所示，可知Q⊆P，故选：B．2．复数，且A+B=0，则m的值是（）A．B．C．﹣D．2【考点】复数相等的充要条件．【分析】复数方程两边同乘1+2i，利用复数相等求出A、B，利用A+B=0，求出m的值．【解答】解：因为，所以2﹣mi=（A+Bi）（1+2i），可得A﹣2B=2，2A+B=m 解得5（A+B）=﹣3m﹣2=0所以m=故选C．3．设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a （a为非零常数，i=1，2，…，10），则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为（）A．1+a，4 B．1+a，4+a C．1，4 D．1，4+a【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．【分析】方法1：根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论．方法2：根据均值和方差的公式计算即可得到结论．【解答】解：方法1：∵y i=x i+a，∴E（y i）=E（x i）+E（a）=1+a，方差D（y i）=D（x i）+E（a）=4．方法2：由题意知y i=x i+a，则=（x1+x2+…+x10+10×a）=（x1+x2+…+x10）=+a=1+a，方差s2= [（x1+a﹣（+a）2+（x2+a﹣（+a）2+…+（x10+a﹣（+a）2]= [（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x10﹣）2]=s2=4．故选：A．4．公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n．若a4是a3与a7的等比中项，S8=32，则S10等于（）A．18 B．24 C．60 D．90【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式．【分析】由等比中项的定义可得a42=a3a7，根据等差数列的通项公式及前n项和公式，列方程解出a1和d，进而求出s10．【解答】解：∵a4是a3与a7的等比中项，∴a42=a3a7，即（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），整理得2a1+3d=0，①又∵，整理得2a1+7d=8，②由①②联立，解得d=2，a1=﹣3，∴，故选：C．5．设F1和F2为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，由F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点可知|F1P|==2c，由此可求出b==a，进而得到双曲线的渐近线方程．【解答】解：若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，设F1（﹣c，0），F2（c，0），则|F1P|=，∵F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，∴=2c，∴c2+4b2=4c2，∴c2+4（c2﹣a2）=4c2，∴c2=4a2，即c=2a，b==a，∴双曲线的渐近线方程为y=±x，即为y=±x．故选：B．6．在△ABC中，O为其内部一点，且满足，则△AOB 和△AOC的面积比是（）A．3：4 B．3：2 C．1：1 D．1：3【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则．【分析】设M为AC的中点，则由向量加法的平行四边形法则可得+=2，结合题意可得2=﹣3，由数乘向量的性质可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；进而可得==，而又由S△AOB+S△=S△ABC，分析可得S△AOB=S△ABC，结合题意计算可得△AOB和△AOC BOC的面积比，即可得答案．【解答】解：根据题意，如图：在△ABC中，M为AC的中点，则+=2，又由，则有2=﹣3，从而可得B，O，M三点共线，且2OM=3BO；由2OM=3BO可得，==，S△AOB+S△BOC=S△ABC，又由S△AOB=S△BOC，则S△AOB=S△ABC，则=；故选：D．7．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是（）A．18 B．C．D．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，进而可得答案．【解答】解：∵圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0，∴（x﹣2）2+（y﹣2）2=18，∴圆半径r=3．圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离分别是：d+r，d﹣r，其两者之差即为圆的直径，故圆x2+y2﹣4x﹣4y﹣10=0上的点到直线x+y﹣8=0的最大距离与最小距离的差是，故选：B8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．3πC．D．6π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图判断几何体的特征，利用三视图的数据，求出几何体的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是圆柱底面半径为1高为6的圆柱，被截的一部分，如图所求几何体的体积为：=3π．故选B．9．若变量x，y满足，则x2+2x+y2的最大值是（）A．4 B．9 C．16 D．18【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，再由x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1求解．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，∵x2+2x+y2=（x+1）2+y2﹣1=，其几何意义为可行域内的动点与定点P（﹣1，0）距离的平方减1，联立，解得A（3，﹣1），而|PA|2=（﹣1﹣3）2+（0+1）2=17，∴x2+2x+y2的最大值是16．故选：C．10．设a=log23，，c=log34，则a，b，c的大小关系为（）A．b＜a＜c B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．c＜b＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】利用对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=log23＞==b，=＞log34=c，∴a，b，c的大小关系为c＜b＜a．故选：D．11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求∠ACB=60°，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为（）A．（1+）米B．2米C．（1+）米D．（2+）米【考点】余弦定理；基本不等式．【分析】设BC的长度为x米，AC的长度为y米，依据题意可表示出AB的长度，然后代入到余弦定理中求得x和y的关系式，利用基本不等式求得y的最小值，并求得取等号时x的值．【解答】解：设BC的长度为x米，AC的长度为y米，则AB的长度为（y﹣0.5）米，在△ABC中，依余弦定理得：AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos∠ACB，即（y﹣0.5）2=y2+x2﹣2yx×，化简，得y（x﹣1）=x2﹣，∵x＞1，∴x﹣1＞0，因此y=，y=（x﹣1）++2≥+2，当且仅当x﹣1=时，取“=”号，即x=1+时，y有最小值2+．故选：D．12．已知椭圆的左焦点为F1，有一小球A从F1处以速度v开始沿直线运动，经椭圆壁反射（无论经过几次反射速度大小始终保持不变，小球半径忽略不计），若小球第一次回到F1时，它所用的最长时间是最短时间的5倍，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得a+c=5（a﹣c），由此即可求得椭圆的离心率．【解答】解：∵椭圆上的点到左焦点距离最小的点是左顶点，距离最大的点是右顶点，∴由题意可得a+c=5（a﹣c），即4a=6c，得．∴椭圆的离心率为．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．等比数列{a n}的公比q＞0．已知a2=1，a n+2+a n+1=6a n，则{a n}的前4项和S4=．【考点】等比数列的前n项和．【分析】先根据：{a n}是等比数列把a n+2+a n+1=6a n整成理q2+q﹣6=0求得q，进而根据a2求得a1，最后跟等比数列前n项的和求得S4．【解答】解：∵{a n}是等比数列，∴a n+2+a n+1=6a n可化为a1q n+1+a1q n=6a1q n﹣1，∴q2+q﹣6=0．∵q＞0，∴q=2．a2=a1q=1，∴a1=．∴S4===．故答案为14．如图所示，输出的x的值为17．【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，写出每次循环得到的x的值，当a=b=17时满足条件a=b，输出x的值为17．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=51，b=221不满足条件a=b，满足b＞a，b=221﹣51=170，不满足条件a=b，满足b＞a，b=170﹣51=119，不满足条件a=b，满足b＞a，b=119﹣51=68，不满足条件a=b，满足b＞a，b=68﹣51=17，不满足条件a=b，满足a＞b，a=51﹣17=34，不满足条件a=b，满足a＞b，a=34﹣17=17，满足条件a=b，x=17，输出x的值为17．故答案为：17．15．方程|cos（x+）|=|log18x|的解的个数为12．（用数值作答）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】作出y=|sinx|与y=|log18x|的函数图象，根据图象的交点个数得出答案．【解答】解：∵|cos（x+）|=|log18x|，∴|sinx|=|log18x|，作出y=|sinx|与y=|log18x|在（0，+∞）上的函数图象如图所示：由图象可知y=|sinx|与y=|log18x|有12个交点，∴方程|cos（x+）|=|log18x|有12个解．故答案为：12．16．已知四面体ABCD，AB=4，AC=AD=6，∠BAC=∠BAD=60°，∠CAD=90°，则该四面体外接球半径为2．【考点】球的体积和表面积；球内接多面体．【分析】作出图形，利用勾股定理，求出四面体外接球半径．【解答】解：如图所示，O′为△ACD的外心，O为球心，BE⊥平面ACD，BF⊥AC，则EF⊥AC，∴AF=2，AE=2，BE==2．设该四面体外接球半径为R，OO′=d，则2+（2+d）2=d2+（3）2，∴d=，CD=6，∴R==2，故答案为：2．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f （x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．【考点】两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性；函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）化简可得f（x）=2sin（2x+）+a+1，由题意易得﹣1+a+1=2，解方程可得a值，解不等式2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得单调区间；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，可得sin（4x﹣）=，解方程可得x=或x=，相加即可．【解答】解：（1）化简可得f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a=cos2x+1+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴f（x）的最小值为﹣1+a+1=2，解得a=2，∴f（x）=2sin（2x+）+3，由2kπ﹣≤2x+≤2kπ+可得kπ﹣≤x≤kπ+，∴f（x）的单调递增区间为[kπ﹣，kπ+]，（k∈Z）；（2）由函数图象变换可得g（x）=2sin（4x﹣）+3，由g（x）=4可得sin（4x﹣）=，∴4x﹣=2kπ+或4x﹣=2kπ+，解得x=+或x=+，（k∈Z），∵x∈[0，]，∴x=或x=，∴所有根之和为+=．18．某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度（学历）的调查，其结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（Ⅰ）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为10的样本，将该样本看成一个总体，从中任取3人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（Ⅱ）在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x、y的值．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，由此解得m=6，可得抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，故从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为．（Ⅱ）依题意得：，解得N的值，可得35～50岁中被抽取的人数，再根据分层抽样的定义和性质列出比例式，求得、xy的值．【解答】（Ⅰ）解：设抽取学历为本科的人数为m，由题意可得，解得m=6．∴抽取了学历为研究生4人，学历为本科6人，∴从中任取3人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为=．（Ⅱ）解：依题意得：，解得N=78．∴35～50岁中被抽取的人数为78﹣48﹣10=20．∴，解得x=40，y=5．19．如图，已知多面体EABCDF的底面ABCD是边长为2的正方形，EA⊥底面ABCD，FD∥EA，且FD=EA=1．（Ⅰ）求多面体EABCDF的体积；（Ⅱ）求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）记线段BC的中点为K，在平面ABCD内过点K作一条直线与平面ECF平行，要求保留作图痕迹，但不要求证明．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）连接ED，多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD ，只有分别求解两个棱锥的体积即可；（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，求出平面ECF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求直线EB与平面ECF所成角的正弦值；（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．【解答】解：（Ⅰ）连接ED，∵EA⊥底面ABCD，FD∥EA，∴FD⊥底面ABCD，∴FD⊥AD，FD∩AD=D，∴AD⊥平面FDC，V E﹣FCD=AD•S△FDC=××1×2×2=，V E﹣ABCD=EA•S正方形ABCD=×2×2×2=，∴多面体EABCDF的体积V=V E﹣FCD+V E﹣ABCD =+=；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）以点A为原点，AB所在的直线为x轴，AD所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系，如图．由已知可得A（0，0，0），E（0，0，2），B（2，0，0），C（2，2，0），F（0，2，1），∴=（2，2，﹣2），=（2，0，﹣2），=（0，2，﹣1）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设平面ECF的法向量为=（x，y，z），得：取y=1，得平面ECF的一个法向量为=（1，1，2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣设直线EB与平面ECF所成角为θ，∴sinθ=|cos＜，＞|==﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）取线段CD的中点Q；连接KQ，直线KQ即为所求．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣如图所示…20．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，F1、F2是椭圆的左、右焦点，过F2作直线l交椭圆于A、B两点，若△F1AB的周长为8．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为0，且它的中垂线与y轴交于Q，求Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）是否在x轴上存在点M（m，0），使得x轴平分∠AMB？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆的性质可知：2a=8，e==及b2=a2﹣c2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，将直线方程代入椭圆方程，求得关于x的一元二次方程，利用韦达定理求得x1+x2及x1•x2，根据中点坐标公式，求得P点坐标，求得直线PQ方程，令x=0，y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，即可求得Q的纵坐标的范围；（Ⅲ）假设存在m，由x轴平分∠AMB可得， +=0，由（Ⅱ）可知，代入即可求得m的值．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的性质可知：4a=8，a=2，e==，c=1，b2=a2﹣c2=4﹣1=3，b=，∴椭圆的方程；（Ⅱ）当k不存在时，Q为原点，y0=0，当k存在时，由，整理得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=1，∴x1+x2=，x1•x2=，设弦AB的中点为P（x P，y P），则x P=，y P=k（x P﹣1）=，则l PQ：（y+）=﹣（x﹣），令x=0，有y Q=∈[﹣，0）∪（0，]，∴综上所述，Q的纵坐标的范围[﹣，]；（Ⅲ）存在m=4，假设存在m，由x轴平分∠AMB可得，k MA+k MB=0，即+=0，k（x1﹣1）（x2﹣m）+k（x2﹣1）（x1﹣m）=0，∴2x1•x2﹣（m+1）（x1+x2）+2m=0，∴8k2﹣24﹣8k2m﹣8k2+6m+8mk2=0，解得：m=4．21．已知方程x3+ax2+bx+c=0（a，b，c∈R）．（1）设a=b=4，方程有三个不同实根，求c的取值范围；（2）求证：a2﹣3b＞0是方程有三个不同实根的必要不充分条件．【考点】利用导数研究函数的单调性；必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c有三个不同零点，可得结论；（2）若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0，故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件，再证明充分性即可．【解答】解：设f（x）=x3+ax2+bx+c．（1）当a=b=4时，方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根，等价于函数f（x）=x3+4x2+4x+c=0有三个不同零点，f'（x）=3x3+8x+4，令f'（x）=0得x1=﹣2或，f（x）与f'（x）的区间（﹣∞，+∞）上情况如下：x （﹣∞，﹣2）﹣2 （﹣2，﹣）﹣（﹣，+∞）f（x）+0 ﹣0 +f'（x） c c﹣所以，当c＞0时且时，存在x1∈（﹣4，﹣2），，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．由f（x）的单调性知，当且仅当时，函数f（x）=x3+4x2+4x+c 有三个不同零点．即方程x3+4x2+4x+c=0有三个不同实根．（2）当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b＞0，x∈（﹣∞，+∞），此时函数f（x）在区间（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（x）不可能有三个不同零点．当△=4a2﹣12b＜0时，f'（x）=3x2+2ax+b只有一个零点，记作x0，当x∈（﹣∞，x0）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（﹣∞，x0）上单调递增；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）在区间（x0，+∞）上单调递增．所以f（x）不可能有三个不同零点．综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有△=4a2﹣12b＞0．故a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要条件．当a=b=4，c=0时，a2﹣3b＞0，f（x）=x3+4x2+4x=x（x+2）2只有两个不同零点，所以a2﹣3b＞0不是f（x）有三个不同零点的充分条件．因此a2﹣3b＞0是f（x）有三个不同零点的必要而不充分条件．即a2﹣3b＞0是方程x3+ax2+bx+c=0有三个不同实根的必要而不充分条件．选修4-4：坐标系与参数方程22．选修4﹣4；坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C2的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A 的极坐标为（2，）．（1）求点A，B，C，D的直角坐标；（2）设P为C1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【考点】椭圆的参数方程；简单曲线的极坐标方程；点的极坐标和直角坐标的互化．【分析】（1）确定点A，B，C，D的极坐标，即可得点A，B，C，D 的直角坐标；（2）利用参数方程设出P的坐标，借助于三角函数，即可求得|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围．【解答】解：（1）点A，B，C，D的极坐标为点A，B，C，D的直角坐标为（2）设P（x0，y0），则为参数）t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ∵sin2φ∈[0，1]∴t∈[32，52]选修4-5：不等式选讲23．设不等式﹣2＜|x﹣1|﹣|x+2|＜0的解集为M，a、b∈M，（1）证明：|a+b|＜；（2）比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|的大小，并说明理由．【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值不等式的解法求出集合M，利用绝对值三角不等式直接证明：|a+b|＜；（2）利用（1）的结果，说明ab的范围，比较|1﹣4ab|与2|a﹣b|两个数的平方差的大小，即可得到结果．【解答】解：（1）记f（x）=|x﹣1|﹣|x+2|=，由﹣2＜﹣2x﹣1＜0解得﹣＜x＜，则M=（﹣，）．…∵a、b∈M，∴，所以|a+b|≤|a|+|b|＜×+×=．…（2）由（1）得a2＜，b2＜．因为|1﹣4ab|2﹣4|a﹣b|2=（1﹣8ab+16a2b2）﹣4（a2﹣2ab+b2）=（4a2﹣1）（4b2﹣1）＞0，…所以|1﹣4ab|2＞4|a﹣b|2，故|1﹣4ab|＞2|a﹣b|．…。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2020学年高考数学一月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，||)2πϕ<图象的一个对称中心为(3π，0)，其相邻一条对称轴方程为712x π=，该对称轴处所对应的函数值为1-，为了得到()cos2g x x =的图象，则只要将()f x 的图象( ) A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移12π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度【答案】B 【解析】 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，可得()f x 的解析式，再根据函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式，得出结论． 【详解】根据已知函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0A >，)2πϕ<的图象过点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭，7,112π⎛⎫-⎪⎝⎭， 可得1A =，1274123πππω⋅=-， 解得：2ω=．再根据五点法作图可得23πϕπ⋅+=，可得：3πϕ=，可得函数解析式为：()sin 2.3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭故把()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，可得sin 2cos236y x x ππ⎛⎫=++= ⎪⎝⎭的图象， 故选B ． 【点睛】本题主要考查由函数()sin y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出ϕ的值，函数()sin y A x ωϕ=+的图象变换规律，诱导公式的应用，属于中档题．2．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右顶点分别是,A B ，双曲线的右焦点F 为()2,0，点P 在过F 且垂直于x 轴的直线l 上，当ABP ∆的外接圆面积达到最小时，点P 恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（ ）A ．22122x y -=B ．2213y x -=C ．2213x y -=D ．22144x y -=【答案】A 【解析】 【分析】点P 的坐标为()2,m ()0m >，()tan tan APB APF BPF ∠=∠-∠，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案. 【详解】不妨设点P 的坐标为()2,m ()0m >，由于AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB ∠取得最大值时，APB ∆的外接圆面积取得最小值，也等价于tan APB ∠取得最大值，因为2tan a APF m +∠=，2tan aBPF m-∠=， 所以()2222tan tan 221a aa a m m APB APF BPF a ab b m m m m +--∠=∠-∠==≤=+-+⋅+， 当且仅当2b m m=()0m >，即当m b =时，等号成立，此时APB ∠最大，此时APB 的外接圆面积取最小值，点P 的坐标为()2,b ，代入22221x y a b-=可得a =b ==所以双曲线的方程为22122x y -=．故选：A 【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．已知角α的顶点与坐标原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点(3,4)P --，则tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．247-B ．1731-C ．247D ．1731【答案】B 【解析】 【分析】根据三角函数定义得到4tan 3α=，故24tan 27α=-，再利用和差公式得到答案.【详解】∵角α的终边过点(3,4)P --，∴4tan 3α=，22tan 24tan 21tan 7ααα==--. ∴241tan 2tan1774tan 2244311tan 2tan 1147παπαπα-++⎛⎫+===- ⎪⎝⎭-⋅+⨯. 故选：B . 【点睛】本题考查了三角函数定义，和差公式，意在考查学生的计算能力.4．()()()cos 0,0f x A x A ωϕω=+>>的图象如图所示，()()sin g x A x ωϕ=--，若将()y f x =的图象向左平移()0a a >个单位长度后所得图象与()y g x =的图象重合，则a 可取的值的是（ ）A ．112π B ．512π C ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】 【分析】根据图象求得函数()y f x =的解析式，即可得出函数()y g x =的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于a 的等式，即可得出结果. 【详解】由图象可得1A =，函数()y f x =的最小正周期为23471T πππ⎛⎫-=⎪⎝⎭=⨯，22T πω∴==， 777cos 2cos 112126f πππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，则()726k k Z πϕππ+=+∈，()26k k Z πϕπ∴=-+∈，取6πϕ=-， ()cos 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则()2sin 2cos 263g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()cos 226g x f x a x a π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭，22263a k πππ-=+，可得()512a k k Z ππ=+∈， 当0k =时，512a π=. 故选：B. 【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题. 5．甲、乙、丙、丁四位同学高考之后计划去、、A B C 三个不同社区进行帮扶活动，每人只能去一个社区，每个社区至少一人.其中甲必须去A 社区，乙不去B 社区，则不同的安排方法种数为 （ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】B 【解析】根据题意满足条件的安排为：A （甲，乙）B （丙）C （丁）；A （甲，乙）B （丁）C （丙）；A （甲，丙）B （丁）C （乙）； A （甲，丁）B （丙）C （乙）； A （甲）B （丙，丁）C （乙）；A （甲）B （丁）C （乙，丙）；A （甲）B （丙）C （丁，乙）；共7种，选B. 6．若函数f(x)＝13x 3＋x 2－23在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是A ．[－5，0)B ．(－5，0)C ．[－3，0)D ．(－3，0)【答案】C 【解析】 【分析】求函数导数，分析函数单调性得到函数的简图，得到a 满足的不等式组，从而得解. 【详解】由题意，f′(x)＝x 2＋2x ＝x(x ＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函数，在(－2，0)上是减函数，作出其图象如图所示．令13x 3＋x 2－23＝－23，得x ＝0或x ＝－3， 则结合图象可知，3050a a -≤<⎧⎨+>⎩解得a ∈[－3，0)，故选C. 【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性，进而研究函数的最值，属于常考题型. 7．已知(,)a bi a b R +∈是11ii +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12D ．1【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算法则求出11ii+-的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi ，从而确定a ，b 的值，求出a+b ． 【详解】()()21(1)21112i i ii i i ++===-+-i ， ∴a+bi ＝﹣i ， ∴a ＝0，b ＝﹣1， ∴a+b ＝﹣1， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题．8．执行下面的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是（ ）A ．5i ≤B ．6i ≤C ．7i ≤D ．8i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图，逐步执行，直到S 的值为63，结束循环，即可得出判断条件. 【详解】 执行框图如下： 初始值：0,1S i ==，第一步：011,112S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第二步：123,213S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第三步：347,314S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第四步：7815,415S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第五步：151631,516S i =+==+=，此时不能输出，继续循环； 第六步：313263,617S i =+==+=，此时要输出，结束循环； 故，判断条件为6i ≤. 故选B 【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.9．已知抛物线C ：28x y =，点P 为C 上一点，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，又知点()5,2A ，则PQ PA+的最小值为（ ） A ．132B ．102C ．3D ．5由2PQ PF =-,再运用,,P F A 三点共线时和最小，即可求解. 【详解】22523PQ PA PF PA FA +=-+≥-=-=.故选：C 【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题． 10．已知二次函数2()f x x bx a =-+的部分图象如图所示，则函数()'()x g x e f x =+的零点所在区间为（ ）A ．(1,0)-B ．(0,1)C ．(1,2)D ．(2,3)【答案】B 【解析】由函数f(x)的图象可知，0＜f(0)＝a ＜1，f(1)＝1－b ＋a ＝0，所以1＜b ＜2.又f′(x)＝2x －b ，所以g(x)＝e x ＋2x －b ，所以g′(x)＝e x ＋2＞0，所以g(x)在R 上单调递增， 又g(0)＝1－b ＜0，g(1)＝e ＋2－b ＞0，根据函数的零点存在性定理可知，函数g(x)的零点所在的区间是(0，1)， 故选B.11．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，则正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为（ ）A ．36B ．6C ．5D 53先根据平面的基本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解. 【详解】 如图所示：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ， 所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ， 所以四边形1APC Q 是平行四边形. 即正方体被平面截的截面. 因为12B P PC =， 所以112C B PC =， 即1PC PB ==所以115,23AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯ 所以16sin 5APC ∠=所以S 四边形1APQC 1112sin 262AP PC APC =⨯⨯⨯∠=故选：B 【点睛】本题主要考查平面的基本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题. 12．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D 【解析】因为11()()cos ()cos ()f x x x x x f x x x-=-+=--=-，故函数是奇函数，所以排除A ，B ；取x π=，则11()()cos ()0f ππππππ=-=--<，故选D.考点：1.函数的基本性质；2.函数的图象.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题(解析版)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学(理)试题(解析版)

辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集3，5，，集合，，则如图所示阴影区域表示的集合为A. B. C. D. 3，【答案】B【解析】【分析】先求出，阴影区域表示的集合为，由此能求出结果．【详解】全集3，5，，集合，，3，，如图所示阴影区域表示的集合为：．故选：B．【点睛】本题考查集合的求法，考查并集、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，考查集合思想，是中等题．2.在复平面内，复数对应的点位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】A【解析】【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，复数对应的点的坐标为，位于第一象限．故选：A．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.设函数，则A. B. 1 C. D.【解析】【分析】由题意结合函数的解析式求解函数值即可.【详解】函数，，故．故选：A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知命题p：，，则A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】命题“，”是全称命题，其否定应为特称命题，注意量词和不等号的变化．【详解】命题“，”是全称命题，否定时将量词对任意的变为，再将不等号变为即可．即已知命题p：，，则为，.故选：A．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题和特称命题，属于基本知识的考查注意在写命题的否定时量词的变化，属基础题．5.等比数列中，若，，则A. 4B.C.D. 5【答案】A【解析】【分析】直接由等比数列的性质结合已知即可求得．【详解】数列为等比数列，且，，，则，等比数列中间隔两项的符号相同，．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，是基础的计算题．6.函数的图象大致为A. B. C. D.【答案】A【解析】由于所以函数不是偶函数，判处选项．当时，，排除选项，故选．点睛：本题主要考查利用函数的奇偶性与单调性来选取正确的函数图像．考查了特殊值法解选择题的技巧．首先根据奇偶性来排除，奇函数图像关于原点对称，偶函数图像关于轴对称．然后利用特殊点来排除．也可以利用导数来判断，注意到极值点的位置，可以令导数为零，求得极小值点对应的横坐标为负数来选出正确选项．7.某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”、“e”、“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用列举法求出满足题意的字母组合有四种，拼写正确的组合只有一种，由此即可确定所求概率．【详解】满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以概率为．故选：B．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中等题．8.若点到双曲线的渐近线的距离为，则双曲线的离心率为A. B. C. 或 D.【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线，然后结合点到直线距离公式和离心率的定义求解双曲线的离心率即可.【详解】由已知，双曲线的渐进线方程为，又点到渐近线的距离为，，即，又，故，整理可得：，，故选：A．【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程以及点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中等题．9.设函数，则下列结论正确的是A. 函数的递减区间为B. 函数的图象可由的图象向左平移得到C. 函数的图象的一条对称轴方程为D. 若，则的取值范围是．【答案】D【解析】【分析】根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【详解】对于函数，令，解得，所以函数的递减区间为，故选项A错误；由于，所以函数的图象是由的图象向右平移得到的，故选项B错误；令，解得所以函数的图象的对称轴方程为，故选项C错误；由于，所以，当时，，当时，，的取值范围是，故选项D正确．故选：D．【点睛】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中给出了圆的另一种定义：平面内，到两个定点A、B距离之比是常数的点M的轨迹是圆若两定点A、B的距离为3，动点M满足，则M点的轨迹围成区域的面积为A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，首先确定圆的方程，然后确定其面积即可.【详解】以A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则设，依题意有，，化简整理得，，即，则圆的面积为．故选：D．【点睛】本题考查轨迹方程求解、圆的面积的求解等知识，属于中等题．11.如图所示，四棱锥的底面为矩形，矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，且球的表面积为，点P在球面上，则四棱锥体积的最大值为A. 8B.C. 16D.【答案】D【解析】【分析】首先求得球的半径，然后分别确定底面积的最大值和高的最大值来求解体积的最大值即可.【详解】因为球O的表面积是，所以，解得．如图，四棱锥底面为矩形且矩形的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，设矩形的长宽为x，y，则，当且仅当时上式取等号，即底面为正方形时，底面面积最大，此时点P在球面上，当底面ABCD时，，即，则四棱锥体积的最大值为．故选：D．【点睛】本题考查四棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.已知函数，若不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】将不等式进行恒等变形，则原问题转化为函数单调性的问题，据此求解a的取值范围即可．【详解】，所以在上恒成立，等价于在上恒成立，因为时，，所以只需在上递减，即，恒成立，即时，恒成立，，所以，故选：A．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道常规题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，且与垂直，则x的值为______．【答案】【解析】【分析】根据与垂直即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．【详解】；；．故答案为：．【点睛】本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算，属于基础题．14.已知等差数列的前n项和为，若，，，则______．【答案】1010【解析】【分析】由题意首先求得数列的公差，然后结合通项公式确定m的值即可.【详解】根据题意，设等差数列公差为d，则，又由，，则，，则，解可得；故答案为：1010．【点睛】本题考查等差数列的性质，关键是掌握等差数列的通项公式，属于中等题．15.抛物线上一点到其焦点的距离为，则点M到坐标原点的距离为______．【答案】【解析】【分析】由抛物线方程求得焦点坐标及准线方程，据此确定M纵坐标，最后由两点之间距离公式求解点M到坐标原点的距离即可.【详解】由题意知，焦点坐标为，准线方程为，由到焦点距离等于到准线距离，得，则，，可得，故答案为：．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查抛物线定义的应用，是中档题．16.在正方体中，下面结论中正确的有______写出所有正确命题的序号．平面；平面；异面直线AC与成角；与底面ABCD所成角的正切值是．【答案】【解析】【分析】逐一考查所给命题的真假即可.【详解】逐一考查所给的命题：在中，，平面，平面，平面，故正确；在中，平面，，又，平面，，同理，平面，故正确；在中，，为等边三角形，则异面直线AC与成角，故正确；在中，为与平面ABCD所成的角，，故错误．故答案为：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．求角A的大小；若，试判断ABC的形状并给出证明．【答案】（1）；（2）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合余弦定理求解角A的大小即可；(2)结合两角和差正余弦公式和(1)中的结论确定ABC的形状即可.【详解】根据题意，由可知，根据余弦定理可知，，又角A为的内角，所以；为等边三角形由三角形内角和公式得，，故根据已知条件，可得，整理得所以，又，所以，又由知，所以为等边三角形【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形内角和公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦定理等知识在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP软件层出不穷为调查某款订餐软件的商家的服务情况，统计了10次订餐“送达时间”，得到茎叶图如下：时间：分钟请计算“送达时间”的平均数与方差；根据茎叶图填写下表：分钟以内包括在答题卡上写出A，B，C，D的值；在问的情况下，以频率代替概率现有3个客户应用此软件订餐，求出在35分钟以内包括35分钟收到餐品的人数X的分布列，并求出数学期望．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【解析】【分析】(1)由题意结合茎叶图计算均值和方差即可；(2)由茎叶图确定A，B，C，D的值即可；(3)由题意结合二项分布的概率公式和期望公式求解分布列和期望即可.【详解】“送达时间”的平均数：分钟，方差为：.由茎叶图得：，，，由已知人数X的可能取值为：0，1，2，3，，，，X服从二项分布，．【点睛】本题主要考查茎叶图及其应用，二项分布的计算公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，，，，，．求证：平面DCF；当AB的长为何值时，二面角的大小为．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，由平面向量的法向量证明线面平行即可；(2)分别求得半平面的法向量，由二面角的余弦值公式得到关于AB长度的方程，解方程即可确定AB的长. 【详解】面面BEFC，面ABCD，且，面BEFC．以点C为坐标原点，以CB，CF和CD分别作为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系．设，则0，，，0，，，4，，0，，，，，所以，，又所以平面CDF．即为平面CDF的法向量又，，又平面CDF所以平面设与平面AEF垂直，则，，由，得，解得又因为平面BEFC，，所以，得到．所以当时，二面角的大小为【点睛】本题主要考查空间向量证明线面平行的方法，空间向量处理二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.椭圆的左、右焦点分别为、，离心率为，过焦点且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ点为椭圆C上一动点，连接，，设的角平分线PM交椭圆C的长轴于点，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)由题意分别确定a,b的值求解椭圆方程即可；(2)利用角平分线到两边的距离相等，结合椭圆方程分类讨论求解实数m的取值范围即可.【详解】1由于，将代入椭圆方程，得，由题意知，即．又，，．故椭圆C的方程为；2设，当时，当时，直线的斜率不存在，易知或．若，则直线的方程为．由题意得，，．若，同理可得．当时，设直线，的方程分别为，由题意知，，，且，，即．，且，．整理得，，故且．综合可得．当时，同理可得．综上所述，m的取值范围是．【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解，椭圆中角平分线的处理方法，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数，．当时，求函数图象在点处的切线方程；若函数有两个极值点，，且，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)首先由导函数确定切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)由题意结合韦达定理将原问题转化为一元函数的问题，然后利用导函数求解其取值范围即可.【详解】当时，，其导数，所以，即切线斜率为2，又切点为，所以切线的方程为函数的定义域为，，因为，为函数的两个极值点，所以，是方程的两个不等实根，由根与系数的关系知，又已知，所以，，将式代入得，令，，，令，解得，当时，，在递减；当时，，在递增；所以，，，即的取值范围是【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．求曲线的直角坐标方程；动点P，Q分别在曲线，上运动，求两点P，Q之间的最短距离【答案】（1）．（2）.【解析】【分析】(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可；(2)首先设出点的参数方程形式坐标，然后结合点到直线距离公式和三角函数的性质求解最值即可.【详解】由，可得：化为．由已知得曲线的普通方程：，点Q为曲线上动点，令点，．设点Q到曲线的距离为d，所以，其中，即两点P，Q之间的最短距离为．【点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23.设，且，记的最小值为M．求M的值，并写出此时a，b的值；解不等式：．【答案】（1）答案见解析；（2）【解析】【分析】(1)由题意结合均值不等式的结论求解M的值和满足题意时的a,b值即可；(2)结合(1)的结果分类讨论求解绝对值不等式即可.【详解】因为，所以，根据均值不等式有，当且仅当，即时取等号，所以M的值为当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；综上所述原不等式解集为．【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。

辽宁省沈阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷含解析

辽宁省沈阳市2019-2020学年第一次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知向量(,4)a m =-r ，(,1)b m =r （其中m 为实数），则“2m =”是“a b ⊥r r”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】结合向量垂直的坐标表示，将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】由2m =，则(2,4)(2,1)440a b ⋅=-⋅=-+=r r ，所以a b ⊥r r；而当a b ⊥r r，则2(,4)(,1)40a b m m m ⊥=-⋅=-+=r r ，解得2m =或2m =-.所以“2m =”是“a b ⊥r r”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本小题考查平面向量的运算，向量垂直，充要条件等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，应用意识.2．四人并排坐在连号的四个座位上，其中A 与B 不相邻的所有不同的坐法种数是（ ） A ．12 B ．16 C ．20 D ．8【答案】A 【解析】 【分析】先将除A ，B 以外的两人先排，再将A ，B 在3个空位置里进行插空，再相乘得答案. 【详解】先将除A ，B 以外的两人先排，有222A =种；再将A ，B 在3个空位置里进行插空，有23326A =⨯=种，所以共有2612⨯=种. 故选：A 【点睛】本题考查排列中不相邻问题，常用插空法，属于基础题.3．已知集合{}{}2|1,|31xA x xB x ==<„，则()R A B U ð=（ ）A ．{|0}x x <B ．{|01}x x 剟C ．{|10}x x -<„D ．{|1}x x -…【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合A ，B ，再求集合B 的补集，然后求()R A B U ð 【详解】{|11},{|0}A x x B x x =-=<剟，所以 (){|1}R A B x x =-U …ð.故选：D 【点睛】此题考查的是集合的并集、补集运算，属于基础题. 4．i 是虚数单位，21iz i=-则||z =（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】C 【解析】 【分析】由复数除法的运算法则求出z ，再由模长公式，即可求解. 【详解】由22(1)1,||1i i z i z i+==-+=-故选:C. 【点睛】本题考查复数的除法和模，属于基础题.5．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：如图的算法框图中输入的i a 为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m ，n 的值，则m n -=（ ）A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.6．函数()2xx e f x x=的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】根据()0f x >排除C ，D ，利用极限思想进行排除即可． 【详解】解：函数的定义域为{|0}x x ≠，()0f x >恒成立，排除C ，D ，当0x >时，2()xx x e f x xe x ==，当0x →，()0f x →，排除B ， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数值的符号以及极限思想是解决本题的关键，属于基础题． 7．M 是抛物线24y x =上一点，N 是圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆上的一点，则MN 最小值是（ ）A ．1112- B ．31- C ．221-D ．32【答案】C 【解析】 【分析】求出点()1,2关于直线10x y --=的对称点C 的坐标，进而可得出圆()()22121x y -+-=关于直线10x y --=的对称圆C 的方程，利用二次函数的基本性质求出MC 的最小值，由此可得出min min 1MN MC =-，即可得解.【详解】 如下图所示：设点()1,2关于直线10x y --=的对称点为点(),C a b ，则1210 22211a bba++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，整理得3030a ba b--=⎧⎨+-=⎩，解得3ab=⎧⎨=⎩，即点()3,0C，所以，圆()()22121x y-+-=关于直线10x y--=的对称圆C的方程为()2231x y-+=，设点2,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，则()224222213948416216y y yMC y y⎛⎫=-+=-+=-+⎪⎝⎭，当2y=±时，MC取最小值22，因此，min min1221MN MC=-=-.故选：C.【点睛】本题考查抛物线上一点到圆上一点最值的计算，同时也考查了两圆关于直线对称性的应用，考查计算能力，属于中等题.8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．48122+B．60122+C．72122+D．84【答案】B【解析】【分析】画出几何体的直观图，计算表面积得到答案.【详解】该几何体的直观图如图所示：故()2422626246622641222S+⨯=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=+.故选：B.【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9．已知集合{}1,0,1,2A =-，()(){}120B x x x =+-<，则集合A B I 的真子集的个数是（ ） A ．8 B ．7C ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】转化条件得{}0,1A B =I ，利用元素个数为n 的集合真子集个数为21n -个即可得解. 【详解】由题意得()(){}{}12012B x x x x x =+-<=-<<，∴{}0,1A B =I ，∴集合A B I 的真子集的个数为2213-=个.故选：D. 【点睛】本题考查了集合的化简和运算，考查了集合真子集个数问题，属于基础题.10．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升(注：一斗为十升).问，米几何？”下图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S=15(单位：升)，则输入的k 的值为（ ） A ．45B ．60C ．75D ．100【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图中程序的功能，可以列方程计算． 【详解】 由题意12315234S ⨯⨯⨯=，60S =．故选：B. 【点睛】本题考查程序框图，读懂程序的功能是解题关键．11．一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为1ξ；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为2ξ，则（ ）A ．12E E ξξ<，12D D ξξ<B ．12E E ξξ=，12D D ξξ>C ．12E E ξξ=，12D D ξξ< D ．12E E ξξ>，12D D ξξ>【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】1ξ可能的取值为0,1,2；2ξ可能的取值为0,1，()1409P ξ==，()1129P ξ==，()141411999P ξ==--=，故123E ξ=，22214144402199999D ξ=⨯+⨯+⨯-=. ()22110323P ξ⨯===⨯，()221221323P ξ⨯⨯===⨯，故223E ξ=，2221242013399D ξ=⨯+⨯-=,故12E E ξξ=，12D D ξξ>.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别.12．若()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()2f x f x +=-，则 A ．()f x 的值域为RB ．()f x 为周期函数，且6为其一个周期C ．()f x 的图像关于2x =对称D ．函数()f x 的零点有无穷多个【答案】D 【解析】 【分析】运用函数的奇偶性定义，周期性定义，根据表达式判断即可. 【详解】()f x 是定义域为R 的奇函数，则()()f x f x -=-，(0)0f =，又(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=， 即()f x 是以4为周期的函数，(4)(0)0()f k f k Z ==∈， 所以函数()f x 的零点有无穷多个；因为(2)()f x f x +=-，[(1)1]()f x f x ++=-，令1t x =+，则(1)(1)f t f t +=-， 即(1)(1)f x f x +=-，所以()f x 的图象关于1x =对称， 由题意无法求出()f x 的值域， 所以本题答案为D. 【点睛】本题综合考查了函数的性质，主要是抽象函数的性质，运用数学式子判断得出结论是关键. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)

辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三上学期第一次模拟考试数学(理)

23 23 72525 25A. -1B. 1C. -iD. i2.已知全集U = {X ^Z\JT -8x+12＜0} » A = {3,4,5}，^5 = {5,6}，则 A B = A. {5,6}B ・{3,4}C ・{2,3}D. {2,3,4,5}3.甲乙两名同学6次考试的成绩统计如下图，甲乙两组据的平均数分别为石、兀，标准差分别为化，则4.一个棱长为2的正方体被一个平而截去一部分后，剩余 儿何体的三视图如图所示，则截去的儿何体是• • A.三棱锥 B.三棱柱C.四棱锥D.四棱柱 5.下列命题中真命题的是A. 若p/\q 为假命题，则/? , g 均为假命题；C. 命题：若X 2 =1,则X = 1或X =-1的逆否命题为：若XH1或则『H1.D. 对于实数x, y ,":兀+歹工8, §:兀工2或丁工6，则p 是q 的充分不必要条件. 6.已矢Ucos aA.7 25B.C.D.2018-2019学年度上学期高三第一次模拟考试理科数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的.A ・x 甲< xb 甲V b乙正（主）视图 侧（左）视俯视图x<27.若实数兀,y满足r-y + inO ,则z = 2x-y的最小值为%+2y-2>0A. 4B. 1 C・一1 D. -4________ 28.已知函数? = lg（x + Vx2+tz2）是定义在R上的奇函数，且函数巩力=匚竺在（0,炖）上单调递增，则实数a的值为A. -1B. -2C. 1D. 29.某次文艺汇演，要将A、B、C、D、E、F这六个不同节目编排成节目单，如下表：序号123456节目如果A、B两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，则节目单上不同的排序方式有A. 192 种B. 144 种C. 96 种D. 72 种10.函数/（兀）=血加（亦+ 0）（其中A>0, |^| <y）的图象如图所示，为了得到g（x） = sin3x的图象，只需将/（x）的图象TT TTA.向右平移上个单位长度B.向左平移少个单位长度4 4IT 7TC•向右平移一个单位长度D•向左平移一个单位长度12 12X2 y2一11.设点存为双曲线C：—- jy = l（cz>0,Z?>0）的左焦点，点P为C右支上一点，点0为坐标原点，若AOPf；是底角为30°的等腰三角形，则C的离心率为A.內 + 1B. V3-1C.血D.血2 212.已知函数/（刃的导函数为.厂⑴，且对任意的实数x都有/（x） = ^A（2x + -）-/（x）（e是自然对数的底数），且/（0）= 1，若关于X的不等式0的解集中恰唯一一个整数，则实数加的取值范围是A. (--,0)乙C. (--,0]43e 9.2e第II卷（共90分）二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上)13.已知(mx + lf的展开式中，二项式系数和为32,各项系数和为243,则加=_.14.己知抛物线才=4兀的焦点为F,点A在y轴上，线段AF的中点B在抛物线上，则15.在正四面体P-ABC中，其侧而积与底面积Z差为2巧，则该正四面体外接球的表面积16.如图，设\ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c ,TT a cos C + ccos A =bsinB ,且ZdB = —•若点、D 是 AABC 外一点,6DC = 2,DA = 3 ,则当四边形ABCD面积最大值时，sin D = .三. 解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2019届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学(理)试卷及解析

2019届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学(理)试卷及解析

2019届辽宁省沈阳市郊联体高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}，则M∪N＝（）A. [﹣1，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （2，3]D. （1，3）【答案】A【解析】【分析】根据题意，求出集合M、N，由并集的定义计算可得答案．【详解】根据题意，M＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，N＝{x|y＝lg（x﹣2）}＝（2，+∞），则M∪N＝[﹣1，+∞）；故选：A．2.若复数（2﹣i）（a+i）的实部与虚部互为相反数，则实数a＝（）A. 3B.C.D. ﹣3 【答案】D【解析】【分析】利用复数乘法的运算法则化简复数，然后利用复数的实部与虚部的和为零，列方程求解即可.【详解】因为,且复数的实部与虚部互为相反数，所以，，解得，故选D.3.根据图给出的2000年至2016年我国实际利用外资情况，以下结论正确的是（）A. 2000年以来我国实际利用外资规模与年份负相关B. 2010年以来我国实际利用外资规模逐年增加C. 2008年我国实际利用外资同比增速最大D. 2010年以来我国实际利用外资同比增速最大【答案】C【解析】【分析】根据图表中的数据对选项逐项分析．【详解】从图表中可以看出，2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的，因此实际利用外资规模与年份正相关，选项A错误；我国实际利用外资规模2012年比2011年少，所以选项B错误；从图表中的折线可以看出，2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项C正确；2008年实际利用外资同比增速最大，所以选项D错误；故选：C．4.世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A. 磅B. 磅C. 磅D. 磅【答案】D。

2019届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测(一模)理数试卷【含答案及解析】

2019届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测(一模)理数试卷【含答案及解析】

2019届辽宁省沈阳市大东区高三质量监测（一模）理数试卷【含答案及解析】姓名___________ 班级____________ 分数__________一、选择题1. 设集合，，则（）A ．___________________________________B ．___________________________________ C ．___________________________________ D ．2. 复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点所在象限为（）A. 第一象限________B. 第二象限________C. 第三象限________D. 第四象限3. 以下四个命题中，真命题是（）A. ，B. “ ，”的否定是“ ，”C. ，函数都不是偶函数D. 条件：，条件 : 则是的必要不充分条件4. 的展开式中，含项的系数是（）A. -10B. -5C. 5D. 105. 在等差数列中，为其前项和，若，则（）A. 60B. 75C. 90D. 1056. 如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线或虚线表示一个棱柱的三视图，则此棱柱的侧面积为（）A. B. C. D.7. 我国魏晋时期的数学家刘徽，他在注《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率，用刘徽自己的原话就是“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。

”设计程序框图是计算圆周率率不足近似值的算法，其中圆的半径为1.请问程序中输出的是圆的内接正（）边形的面积。

A. 1024B. 2048C. 3072D. 15368. 已知满足约束条件，若目标函数的最大值是-2，则实数（）A. -6B. -1C. 1D. 69. 已知函数，函数，恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在正方体中，是线段的中点，若四面体的外接球体积为，则正方体棱长为（）A. 2B. 3C. 4D. 511. 过抛物线焦点的直线与双曲线的一条渐近线平行，并交其抛物线于两点，若，且，则抛物线方程为（）A. B. C. D.12. 已知函数，关于的方程有3个相异的实数根，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题13. 将的图象向右平移个单位得到函数的图象，则 __________ ．14. .在正方形中，，分别是边上的动点，当时，则的取值范围是 __________ ．15. 抛物线与轴围成的封闭区域为，向内随机投掷一点，则的概率为 __________ ．16. 已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对，恒成立，则的取值范围是__________ ．三、解答题17. 在中，角对应的边分别是，已知.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若的面积，，求的值.18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，，， .（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19. 某次考试中，语文成绩服从正态分布，数学成绩的频率分布直方图如下：（Ⅰ）如果成绩大于135的为特别优秀，随机抽取的500名学生在本次考试中语文、数学成绩特别优秀的大约各多少人？（假设数学成绩在频率分布直方图中各段是均匀分布的）（Ⅱ）如果语文和数学两科都特别优秀的共有6人，从（Ⅰ）中至少有一科成绩特别优秀的同学中随机抽取3人，设3人中两科都特别优秀的有人，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据以上数据，是否有99%的把握认为语文特别优秀的同学，数学也特别优秀. （附公及表）①若，则，；② ，；③20. 已知椭圆和直线：，椭圆的离心率，坐标原点到直线的距离为 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知定点，若直线过点且与椭圆相交于两点，试判断是否存在直线，使以为直径的圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21. 已知函数．(Ⅰ) 当时，求的单调区间；(Ⅱ) 设，且有两个极值点，其中，若恒成立，求的取值范围。

沈阳市高考数学一模试卷(I)卷(模拟)

沈阳市高考数学一模试卷(I)卷(模拟)

沈阳市高考数学一模试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·吴忠期中) 设全集，集合，，则右图中的阴影部分表示的集合为（）A .B .C .D .2. （2分）“直线l与平面a内无数条直线都平行”是“直线l与平面a平行”的（）A . 充要条件B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 不充分也不必要条件3. （2分）已知z=2x+y，x，y满足，且z的最大值是最小值的4倍，则m的值是（）A .B .C .D .4. （2分）如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC ， AM与BN相交于点P ， AP：PM=（）A . 4：1.B . 3:2C . 4：3D . 3:15. （2分）下列各命题中正确的命题是①“若都是奇数，则是偶数”的逆否命题是“若不是偶数，则都不是奇数”；② 命题“”的否定是“” ；③ “函数的最小正周期为” 是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是．A . ②③B . ①②③C . ①②④D . ③④6. （2分） (2018高一下·榆林期中) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A .B .C .D .7. （2分）数列1，2，4，8，16，32，…的一个通项公式是（）A . an=2n﹣1B . an=2n﹣1C . an=2nD . an=2n+18. （2分）若是奇函数，当时，的解析式是,当时，的解析式是（）A .B .C .D .9. （2分）(2018·广元模拟) 已知定义在上的函数的图象关于（1，1）对称，，若函数图象与函数图象的交点为，则（）A . 8072B . 6054C . 4036D . 201810. （2分）在如图所示的程序框图中，输入f0(x)=cosx，则输出的是（）A . sinxB . -sinxC . cosxD . -cosx11. （2分） (2017高一下·沈阳期末) 设向量满足，，则等于（）A .B . 1C .D . 212. （2分） (2016高一上·嘉峪关期中) 已知f（x）= 是R上的单调递减函数，则实数a的取值范围为（）A . （0，1）B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一上·延边月考) 设函数则 ________．14. （1分）(2014·陕西理) 观察分析下表中的数据：多面体面数（F）顶点数（V）棱数（E）三棱柱569五棱锥6610立方体6812猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．15. （1分） (2017高二下·徐州期末) 已知函数f（x）=x2﹣cosx，x∈[﹣， ]，则满足f（x0）＞f （）的x0的取值范围为________．16. （1分）(2017·兰州模拟) 已知数列{an}、{bn}满足，其中{bn}是等差数列，且a9a2009=4，则b1+b2+b3+…+b2017=________．三、解答题 (共6题；共65分)17. （10分）(2013·山东理) 设△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且a+c=6，b=2，．（1）求a，c的值；（2）求sin（A﹣B）的值．18. （10分）盒中有3个白球，2个红球，从中任取2个球．求：（1）取到的两球都是红球的概率．（2）取到一个白球，一个红球的概率．19. （10分） (2018高一下·南平期末) 已知数列的前项和为，且 .（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列是前项和 .20. （15分）(2019·广西模拟) 如图，正方体的棱长为2，P是BC的中点，点Q是棱上的动点．（1）点Q在何位置时，直线，DC，AP交于一点，并说明理由；（2）求三棱锥的体积；（3）棱上是否存在动点Q，使得与平面所成角的正弦值为，若存在指出点Q在棱上的位置，若不存在，请说明理由．21. （10分）已知函数f（x）=﹣x2+2lnx（1）求函数f（x）的最大值；（2）若函数f（x）与g（x）=x+ 有相同极值点，①求实数a的值；②若对于∀x1，x2∈[ ，3]（e为自然对数的底数），不等式≤1恒成立，求实数k的取值范围．22. （10分） (2017高一上·萧山期中) 已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[0，3]上有最大值5和最小值1．设f（x）= ．（1）求a，b的值；（2）若不等式f（x）﹣k≥0在x∈[1，4]上恒成立，求实数k的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、第11 页共14 页21-1、第12 页共14 页第13 页共14 页21-2、22-1、22-2、第14 页共14 页。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A．A∩B={x|x＞0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0}D．A∩B=∅3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x ≠0，则xy≠04．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣35．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C． D．6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．98．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法．A．4 B．8 C．12 D．249．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）A．B．C．D．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（）A．B． C．D．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）=．14．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=．15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x 上，则△AOB的边长是．16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.82820．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．2019年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若i是虚数单位，则复数的实部与虚部之积为（）A．B．C．D．【解答】解：∵=，∴复数的实部为，虚部为，∴复数的实部与虚部之积为．故选：B．2．（5分）设集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}，则（）A．A∩B={x|x＞0}B．A∪B=R C．A∪B={x|x＞0}D．A∩B=∅【解答】解：集合A={x|x＞1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∩B={x|x＞1}；A∪B={x|x＞0}．故选C．3．（5分）命题“若xy=0，则x=0”的逆否命题是（）A．若xy=0，则x≠0 B．若xy≠0，则x≠0 C．若xy≠0，则y≠0 D．若x ≠0，则xy≠0【解答】解：命题若p则q的逆否命题为：若￢q，则￢p，即命题的逆否命题为：若x≠0，则xy≠0，故选：D4．（5分）已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的x 的值为（）A．﹣3 B．﹣3或9 C．3或﹣9 D．﹣9或﹣3【解答】解：输出才结果为零，有y=0由程序框图可知，当：y=（）x﹣8=0时，解得选x=﹣3；当y=2﹣log3x=0，解得x=9．综上，有x=﹣3，或者9．故选：B．5．（5分）刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（）A．B．C． D．【解答】解：如图所示，设圆的半径为R，则圆的面积为πR2，圆内接正六边形的边长为R，面积为6××R2×sin=；则所求的概率为P==．故选：B．6．（5分）如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C．D．【解答】解：由几何体的三视图得该几何体是一个底面半径r=2，高为2的圆锥的一半，如图，∴该几何体的体积为：V==．故选：A．7．（5分）设x、y满足约束条件，则的最大值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9【解答】解：作出x、y满足约束条件对应的平面区域，由，得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，得A（0，1），此时z的最大值为z=+1=1，故选：A．8．（5分）若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（）种不同的站法．A．4 B．8 C．12 D．24【解答】解：根据题意，分2步分析：①，先从4个人里选1人，其位置不变，其他三人的都不在自己原来的位置，有C41=4种选法，②，对于剩余的三人，因为每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有两种站法，被站了自己位置的那个人只能站在第三个人的位置上，因此三个人调换有2种调换方法．故不同的调换方法有4×2=8，故选：B．9．（5分）函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x在的单调递增区间是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=+sin2x+3•=2+sin2x+cos2x=2+sin（2x+），令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤π+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．结合，可得增区间为（0，]，故选：C．10．（5分）已知双曲线的一条渐近线与圆（x﹣4）2+y2=4相切，则该双曲线的离心率为（）A．2 B．C．D．【解答】解：双曲线的一条渐近线y=与圆（x﹣4）2+y2=4相切，可得：=2，可得：2b=c，即4b2=c2，所以4c2﹣4a2=c2，解得e==．故选：B．11．（5分）在各项都为正数的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则数列的前n项和是（）A．B． C．D．【解答】解：在各项都为正数的公比设为q的等比数列{a n}中，若a1=2，且a1•a5=64，则4q4=64，解得q=2，则a n=2n，可得数列，即为{}，可得=﹣，数列的前n项和是﹣+﹣+…+﹣=1﹣，故选：A．12．（5分）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（2﹣x），当x ∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0（a＞0且a≠1）有且只有4个不同的根，则实数a的取值范围是（）A． B．（1，4） C．（1，8） D．（8，+∞）【解答】解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴f（x+4）=f[2+（x+2）]=f[（x+2）﹣2]=f（x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6）内关于x的方程f（x）﹣log a（x+2）=0恰有4个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=log a（x+2）（a＞1）在区间（﹣2，6）上有四个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=f（6）=1，则对于函数y=log a（x+2），由题意可得，当x=6时的函数值小于1，即log a8＜1，由此解得：a＞8，∴a的范围是（8，+∞）故选D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上. 13．（5分）已知随机变量ξ～N（1，σ2），若P（ξ＞3）=0.2，则P（ξ≥﹣1）= 0.8．【解答】解：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴曲线关于x=1对称，∵P（ξ＞3）=0.2，∴P（ξ≤﹣1）=P（ξ＞3），∴P（ξ≥﹣1）=1﹣P（ξ＞3）=1﹣0.2=0.8．故答案为：0.814．（5分）在推导等差数列前n项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得sin21°+sin22°+…+sin289°=44.5．【解答】解：设S=sin21°+sin22°+…+sin289°，则S=sin289°+sin288°+…+sin21°，两式倒序相加，得：2S=（sin21°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin289°+sin21°）=（sin21°+cos21°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin289°+coss289°）=89，∞S=44.5．故答案为：44.5．15．（5分）已知正三角形△AOB（O为坐标原点）的顶点A、B在抛物线y2=3x 上，则△AOB的边长是6．【解答】解：由抛物线的对称性可得∠AOx=30°，∴直线OA的方程为y=x，联立，解得A（9，3）．∴|AO|==6．故答案为：．16．（5分）已知△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，P 为平面ABC内一点，则的最小值是﹣1．【解答】解：以BC为x轴，以BC边上的高为y轴建立坐标系，△ABC是直角边为2的等腰直角三角形，且A为直角顶点，斜边BC=2，则A（0，），B（﹣，0），C（，0），设P（x，y），则+=2=（﹣2x，﹣2y），=（﹣x，﹣y），∴=2x2+2y2﹣2y=2x2+2（y﹣）2﹣1，∴当x=0，y=时，则取得最小值﹣1．故答案为：﹣1．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，已知内角A，B，C对边分别是a，b，c，且2ccosB=2a+b．（Ⅰ）求∠C；（Ⅱ）若a+b=6，△ABC的面积为，求c．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理得2sinCcosB=2sinA+sinB，又sinA=sin（B+C），∴2sinCcosB=2sin（B+C）+sinB，∴2sinCcosB=2sinBcosC+2cosBsinC+sinB，∴2sinBcosC+sinB=0，（sinB＞0）∴，又C∈（0，π）∴；（Ⅱ）由面积公式可得，即ab=2，∴ab=8，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+ab+b2=（a+b）2﹣ab=36﹣8=28，∴．18．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是正方形，且PA=PD，∠APD=90°．（Ⅰ）证明：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD为正方形，∴CD⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD，∴CD⊥平面PAD．又∵AP⊂平面PAD，∴CD⊥AP．∵PD⊥AP，CD∩PD=D，∴AP⊥平面PCD．∵AP⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD；（Ⅱ）解：取AD的中点为O，BC的中点为Q，连接PO，OQ，可得PO⊥底面ABCD，OQ⊥AD，以O为原点，以的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得A（1，0，0），B（1，2，0），C（﹣1，2，0），P（0，0，1），设平面APB的一个法向量为，而，，则，即，取x1=1，得；设平面BCP的一个法向量为，而，，则，即，取y2=1，得，∴=，由图知所求二面角为钝角，故二面角A﹣PB﹣C的余弦值为．19．（12分）高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题．中国高中生答题情况是：选择家的占、朋友聚集的地方占、个人空间占．美国高中生答题情况是：家占、朋友聚集的地方占、个人空间占．为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下2×2列联表．在家里最幸福在其它场所幸福合计中国高中生美国高中生合计（Ⅰ）请将2×2列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人．若所选2名学生中的“恋家”人数为X，求随机变量X的分布列及期望．附：，其中n=a+b+c+d．P（k2≥k0）0.0500.0250.0100.001 k0 3.841 5.024 6.63510.828【解答】解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；在家其他合计中国223355美国93645合计3169100根据表中数据，计算=，∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关；（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，∴X的可能取值为0，1，2；计算，，；∴X的分布列为：X013P数学期望为：．20．（12分）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足．（Ⅰ）求点P的轨迹方程E；（Ⅱ）过F（1，0）的直线l1与点P的轨迹交于A、B两点，过F（1，0）作与l1垂直的直线l2与点P的轨迹交于C、D两点，求证：为定值．【解答】（Ⅰ）解：设P（x，y），则N（x，0），，又∵，∴，由M在椭圆上，得，即；（Ⅱ）证明：当l1与x轴重合时，|AB|=6，，∴．当l1与x轴垂直时，，|CD|=6，∴．当l1与x轴不垂直也不重合时，可设l1的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），此时设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），把直线l1与曲线E联立，得（8+9k2）x2﹣18k2x+9k2﹣72=0，可得△=（﹣18k2）2﹣4（8+9k2）（9k2﹣72）＞0．，．∴，把直线l2与曲线E联立，同理可得．∴为定值．21．（12分）已知f（x）=e x﹣ax2﹣2x，a∈R．（Ⅰ）求函数f（x）图象恒过的定点坐标；（Ⅱ）若f'（x）≥﹣ax﹣1恒成立，求a的值；（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：f（x）存在唯一的极小值点x0，且．【解答】解：（Ⅰ）∵要使参数a对函数值不发生影响，∴必须保证x=0，此时f（0）=e0﹣a×02﹣2×0=1，所以函数的图象恒过点（0，1）．（Ⅱ）依题意得：e x﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，∴e x≥ax+1恒成立．构造函数g（x）=e x﹣ax﹣1，则g（x）=e x﹣ax﹣1恒过（0，0），g'（x）=e x﹣a，①若a≤0时，g'（x）＞0，∴g（x）在R上递增，∴e x≥ax+1不能恒成立．②若a＞0时，g'（x）=0，∴x=lna．∵x∈（﹣∞，lna）时，g'（x）＜0，函数g（x）=e x﹣ax﹣1单调递减；x∈（lna，+∞）时，g'（x）＞0，函数g（x）=e x﹣ax﹣1单调递增，∴g（x）在x=lna时为极小值点，g（lna）=a﹣alna﹣1，∴要使e x﹣2ax﹣2≥﹣ax﹣1恒成立，只需a﹣alna﹣1≥0．设h（a）=a﹣alna﹣1，则函数h（a）恒过（1，0），h'（a）=1﹣lna﹣1=﹣lna，a∈（0，1），h'（a）＞0，函数h（a）单调递增；a∈（1，+∞），h'（a）＜0，函数h（a）单调递减，∴h（a）在a=1取得极大值0，∴要使函数h（a）≥0成立，只有在a=1时成立．证明（Ⅲ）f'（x）=e x﹣2x﹣2，设m（x）=e x﹣2x﹣2，∴m'（x）=e x﹣2，令m'（x）＞0，x＞ln2∴m（x）在（﹣∞，ln2）单调递减，在（ln2，+∞）单调递增，m（ln2）=﹣2ln2＜0，∴f'（x）=m（x）=e x﹣2x﹣2在x=ln2处取得极小值，可得f'（x）一定有2个零点，分别为f（x）的一个极大值点和一个极小值点，设x0为函数f（x）的极小值点，则x0∈（0，2），∴f'（x0）=0，，=∵m（2）=e2﹣2×2﹣2=e2﹣6＞0，，∴在区间上存在一个极值点，∴最小极值点在内．∵函数f（x）的极小值点的横坐标，∴函数f（x）的极小值，∴（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）设过原点O的直线与圆（x﹣4）2+y2=16的一个交点为P，M点为线段OP的中点，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点M的轨迹C的极坐标方程；（Ⅱ）设点A的极坐标为，点B在曲线C上，求△OAB面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）设M（ρ，θ），则P（2ρ，θ）又点P的轨迹的极坐标方程为ρ=8cosθ∴2ρ=8cosθ，化简，得点M的轨迹C的极坐标方程为：ρ=4cosθ，，k∈Z．（Ⅱ）直线OA的直角坐标方程为点（2，0）到直线的距离为：，∴△OAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|．（Ⅰ）当a=1，b=1时，解关于x的不等式f（x）＞1；（Ⅱ）若函数f（x）的最大值为2，求证：．【解答】解：（Ⅰ）当a=1，b=1时，．不等式f（x）＞1为|x+1|﹣|x﹣1|＞1．①当x≥1时，因为不等式为x+1﹣x+1=2＞1，所以不等式成立，此时符合；符合要求的不等式的解集为{x|x≥1}；②当﹣1≤x＜1时，因为不等式为x+1+x﹣1=2x＞1，所以，此时，符合不等式的解集为；③当x≥1时，因为不等式为﹣x﹣1+x﹣1=﹣2＞1不成立，解集为空集；综上所述，不等式f（x）＞1的解集为．（Ⅱ）由绝对值三角不等式可得||x+a|﹣|x﹣b||≤|a+b|，a＞0，b＞0∴a+b=2．∴，当且仅当a=b=1时，等号成立．另解：（Ⅱ）因为a＞0，b＞0，所以﹣a＜0＜b，所以函数f（x）=|x+a|﹣|x﹣b|=|x﹣（﹣a）|﹣|x﹣b|=，所以函数f（x）的图象是左右两条平行于x轴的射线和中间连结成的线段，所以函数的最大值等于a+b，所以a+b=2．∵a+b=2，∴．或者=，当且仅当a=2﹣a，即a=1时，“等号”成立．。

相关文档
最新文档