广东自考线性规划
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第一章 线性规划问题
线性规划是运筹学的一个大分支—数学规划 的组成部分。
数学规划分为静态规划和动态规划； 静态规划又分为线性规划和非线性规划。 静态数学规划一般来说是研究一个n元实函 数（称为目标函数）在一组等式或不等式约束 条件下的极值问题。如果目标函数和约束条件 都是线性的，则称为线性规划；否则，称之为 非线性规划。
二、线性规划问题的基本结构
Min Z=10x1+20x2 s.t. x1+x2≥10
3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
目标函数 约束条件 非负限制
三、线性规划模型的一般形式（极大值型）
Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ b1
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
四、线性规划问题的标准形式
结构： 目标函数统一成求最小值；约束条件归
结为一组线性方程组和非负性限制。 注意点：
目标函数是求最大值,要化为求最小值； 约束条件是不等式，要化为等式和非负性 限制。
标准形式：
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3, m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
若使用向量和矩阵记号，则标准形式可写为： 此标准形式也称为LP。
min z cx
s.t.Ax b
x0
其中：C=(c1,c2,……cn)
一、线性规划问题的三要素
1.决策变量 ——问题需要求解的未知量。 它是通过模型计算来确定的决策因素。
2.目标函数——目标的数学表达式。目标 函数是求变量的线性函数的极大值和极 小值这样一个极值问题。
3.约束条件——实现目标的制约因素。它 包括：生产资源的限制（客观约束条 件）、生产数量、质量要求的限制（主 观约束条件）、特定技术要求和非负限 制。
常见的线性规划问题
■资源利用问题 ■运输问题 ■合理下料问题 ■经济配料问题 ■布局问题 ■分配问题 ■证券投资与组合问题
例题1（经济配料问题）
某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种原料 的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表1 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元， 求满足营养需要的饲料最小成本配方。
线性规划模型的一般形式（极小值型）
Min Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn ≥ b1
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn ≥ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≥ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
例题2（资源利用问题）
某农户计划用12公顷耕地生产玉米，大豆和地 瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1 公顷，需6个劳动日，资金36元，可获净收入20 元；生产1公顷大豆，需6个劳动日，资金24元， 可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动 日，资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排 才能使总的净收入最高。
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷， 总收入为Z，则有：
Max Z=1000x1+1200x2 280x1+150x2≤4200 6x1+15x2≤240 x1+x2≤20 x1≥0,x2≥0
例题4、（合理下料问题）
某工厂生产过程中分别需要长度为3.3米、 2.5米、1.7米的同种棒料毛坯200根、100 根、300根。现有的原料为9米长棒材，问 如何下料可使废料最少？
表1 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
营养成分
甲原料x 1
乙原料x 2
（营养成分单位/原料 （营养成分单位/原料
配合饲料的最 百度文库含量
单位）
单位）
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
设配合饲料中，用甲x1单位，用乙x2单位，则 配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函 数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制条 件后，可得这一问题的线性规划模型如下：
一根9米的棒材截断的方案如下表：
根数 方案
1 2 3 4 5 6 7 8
3.3米 2 1 1 1 0 0 0 0
2.5米 0 2 1 0 3 2 1 0
1.7米 1 0 1 3 0 2 3 5
废料 0.7 0.7 1.5 0.6 1.5 0.6 1.4 0.5
设按八种方案下料的9米棒各x1、x2 、x3、 x4 、x5 、 x6、 x7 、x8根
设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为x1、x2 和x3公顷，根据问题建立线性规划问题模型如下：
Max Z=200 x1+150 x2+100 x3
x1+x2+x3≤12
(1)
6x1+6x2+2x3≤48
(2)
36x1+24x2+18x3≤360 (3)
x1≥0，x2≥0，x3≥0
[例3]某农户有耕地20公顷，可采用甲乙 两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资280 元，每公顷投工6个，可获收入 1000 元 ， 乙 方 式 每 公 顷 需 投 资 150 元 ， 劳动15个工日，可获收入1200元，该户 共有可用资金4200元、240个劳动工日。 问如何安排甲乙两种方式的生产，可使 总收入最大?
x1
x2
X
xn
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
b1
b2
b
bm
0是n维零向量，即
0
0
0
0
x 0,则x j 0, j (1,2,3n)
五、线性规划模型的建立
步骤： 1、确定决策变量。 2、确定目标函数。 3、确定约束条件。 4、变量取值限制。
线性规划是运筹学的一个大分支—数学规划 的组成部分。
数学规划分为静态规划和动态规划； 静态规划又分为线性规划和非线性规划。 静态数学规划一般来说是研究一个n元实函 数（称为目标函数）在一组等式或不等式约束 条件下的极值问题。如果目标函数和约束条件 都是线性的，则称为线性规划；否则，称之为 非线性规划。
二、线性规划问题的基本结构
Min Z=10x1+20x2 s.t. x1+x2≥10
3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
目标函数 约束条件 非负限制
三、线性规划模型的一般形式（极大值型）
Max Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn≤ b1
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
四、线性规划问题的标准形式
结构： 目标函数统一成求最小值；约束条件归
结为一组线性方程组和非负性限制。 注意点：
目标函数是求最大值,要化为求最小值； 约束条件是不等式，要化为等式和非负性 限制。
标准形式：
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3, m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
若使用向量和矩阵记号，则标准形式可写为： 此标准形式也称为LP。
min z cx
s.t.Ax b
x0
其中：C=(c1,c2,……cn)
一、线性规划问题的三要素
1.决策变量 ——问题需要求解的未知量。 它是通过模型计算来确定的决策因素。
2.目标函数——目标的数学表达式。目标 函数是求变量的线性函数的极大值和极 小值这样一个极值问题。
3.约束条件——实现目标的制约因素。它 包括：生产资源的限制（客观约束条 件）、生产数量、质量要求的限制（主 观约束条件）、特定技术要求和非负限 制。
常见的线性规划问题
■资源利用问题 ■运输问题 ■合理下料问题 ■经济配料问题 ■布局问题 ■分配问题 ■证券投资与组合问题
例题1（经济配料问题）
某饲料公司用甲、乙两种原料配制饲料，甲乙两种原料 的营养成份及配合饲料中所含各营养成份最低量由表1 给出。已知单位甲、乙原料的价格分别为10元和20元， 求满足营养需要的饲料最小成本配方。
线性规划模型的一般形式（极小值型）
Min Z=c1x1+c2x2+c3x3+…+cnxn
a11x1+a12x2+…+a1nxn ≥ b1
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn ≥ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≥ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
min Z c1x1 c2 x2 cn xn
Min Z=10x1+20x2 x1+x2≥10 3x1+x2≥15 x1+6x2≥15
x1≥0 , x2≥0
例题2（资源利用问题）
某农户计划用12公顷耕地生产玉米，大豆和地 瓜，可投入48个劳动日，资金360元。生产玉米1 公顷，需6个劳动日，资金36元，可获净收入20 元；生产1公顷大豆，需6个劳动日，资金24元， 可获净收入150元；生产1公顷地瓜需2个劳动 日，资金18元，可获净收入1200元，问怎样安排 才能使总的净收入最高。
(1)
a21x1+a22x2+…+a2nxn≤ b2
(2)
…
…
am1x1+am2x2+…+amnxn ≤ bm
(m)
x1 ，x2 ，…xn≥0
其简缩形式为
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
n
s.t.
aij x j bi (i 1,2,3m)
j 1
x j 0 , j 1,2,3,, n
解：设甲方式种x1公顷，乙方式种x2公顷， 总收入为Z，则有：
Max Z=1000x1+1200x2 280x1+150x2≤4200 6x1+15x2≤240 x1+x2≤20 x1≥0,x2≥0
例题4、（合理下料问题）
某工厂生产过程中分别需要长度为3.3米、 2.5米、1.7米的同种棒料毛坯200根、100 根、300根。现有的原料为9米长棒材，问 如何下料可使废料最少？
表1 甲、乙两原料营养成份含量及最低需要量
营养成分
甲原料x 1
乙原料x 2
（营养成分单位/原料 （营养成分单位/原料
配合饲料的最 百度文库含量
单位）
单位）
钙
1
1
10
蛋白质
3
1
15
热量
1
6
15
设配合饲料中，用甲x1单位，用乙x2单位，则 配合饲料的原料成本函数，即决策的目标函 数为Z=10x1+20x2。考虑三种营养含量限制条 件后，可得这一问题的线性规划模型如下：
一根9米的棒材截断的方案如下表：
根数 方案
1 2 3 4 5 6 7 8
3.3米 2 1 1 1 0 0 0 0
2.5米 0 2 1 0 3 2 1 0
1.7米 1 0 1 3 0 2 3 5
废料 0.7 0.7 1.5 0.6 1.5 0.6 1.4 0.5
设按八种方案下料的9米棒各x1、x2 、x3、 x4 、x5 、 x6、 x7 、x8根
设种玉米，大豆和地瓜的数量分别为x1、x2 和x3公顷，根据问题建立线性规划问题模型如下：
Max Z=200 x1+150 x2+100 x3
x1+x2+x3≤12
(1)
6x1+6x2+2x3≤48
(2)
36x1+24x2+18x3≤360 (3)
x1≥0，x2≥0，x3≥0
[例3]某农户有耕地20公顷，可采用甲乙 两种种植方式。甲种植方式每公顷需投 资280 元，每公顷投工6个，可获收入 1000 元 ， 乙 方 式 每 公 顷 需 投 资 150 元 ， 劳动15个工日，可获收入1200元，该户 共有可用资金4200元、240个劳动工日。 问如何安排甲乙两种方式的生产，可使 总收入最大?
x1
x2
X
xn
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
b1
b2
b
bm
0是n维零向量，即
0
0
0
0
x 0,则x j 0, j (1,2,3n)
五、线性规划模型的建立
步骤： 1、确定决策变量。 2、确定目标函数。 3、确定约束条件。 4、变量取值限制。