高斯小学奥数四年级下册含答案第03讲_多人多次相遇与追及
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第三讲多人多次相遇与追及
在之前的课程中,我们已经学过了如何处理两个对象之间的相遇追及问题.本讲我们进一步学习过程更为复杂的三个对象之间的行程问题.本讲中画线段图非常重要,你还记得画行程图要注意什么吗?
例题1
有甲、乙、丙三个人,甲每分钟走40米,乙每分钟走60米,丙每分钟走50米.A 、B 两地相距2700米.甲从A 地,乙、丙从B 地同时出发相向而行.请问,甲在与乙相遇之后多少分钟又与丙相遇?
「分析」全程已知,三个人的速度也都已知,那么甲乙的相遇时间、甲丙的相遇时间都是可以计算出来的. 练习1
有冰冰、雪雪、霜霜三个人,冰冰每秒钟走4米,雪雪每秒钟走5米,霜霜每秒钟走6米.A 、B 两地相距990米.雪雪从A 地,霜霜、冰冰从B 地同时出发相向而行.请问,雪雪与霜霜相遇之后多少秒又与冰冰相遇?
例题2
叮叮、咚咚两人开车从A 地,铛铛则从B 地同时出发,相向而行.叮叮的速度为每小时70千米,铛铛的速度为每小时50千米.出发3小时后,叮叮与铛铛相遇.又过了1小时,咚咚也与铛铛相遇.请问:咚咚的车速是多少?
「分析」请在图中把过程补全,并标出相应的数据,例如速度、时间、路程等.然后注意分析,看看哪个过程是可以计算的? 练习2
小春、小秋两人从A 地,小夏则从B 地同时出发,相向而行.小春的速度为每小时60千米,小夏的速度为每小时40千米.出发3小时后,小春与小夏相遇.又过了1小时,小秋也与小夏相遇.请问:小秋的速度是多少?
A 地
B 地
叮叮
咚咚
铛铛
例题3
甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米和每小时40千米,两车同时从A 地出发到B 地去,出发6小时后,甲车遇到一辆迎面开来的卡车.又过了1小时,乙车也遇到了这辆卡车.请问:这辆卡车的速度是多少?
「分析」本题的运动过程和上题类似吗?请先把图补充完整,仍然是标出数据进行分析,看看哪个过程是可以计算的? 练习3
甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时60千米和每小时45千米,两车同时从A 地出发到B 地去,出发7小时后,甲车遇到一辆迎面开来的卡车.又过了1小时,乙车也遇到了这辆卡车.请问:这辆卡车的速度是多少?
通过前面几道例题,同学们会发现解决多人多次的相遇与追及等更为复杂的行程问题,画线段图是相当重要的.然而我们不但要学会画图,还要学会看图.“横看成岭侧成峰”,同一个对象从不同的角度去观察往往会有不同的认识.就像例题4中红色的那条线段,既可以看成甲、乙两车的路程差,也可以看成乙车与卡车的路程和.当运动过程趋于复杂时,尤其需要这种从不同角度看待问题的思维习惯,这样才能充分利用好题目中的条件.
A 地
B 地
甲车卡车
乙车
例题4
甲、乙、丙三人走路,甲每分钟走60米,乙每分钟走50米,丙每分钟走40米.如果甲从A 地,乙和丙从B 地同时出发相向而行,甲和乙相遇后,过了15分钟又与丙相遇,求A 、B 两地间的距离为多少米?
「分析」请自己画出详细的线段图,好好分析一下,还能像前面两个例题那样一段一段计算吗?如果不能,该怎么办呢? 练习4
刘备、关羽、张飞三人,刘备每分钟走40米,关羽每分钟走60米,张飞每分钟走50米.如果刘备从A 地,关羽和张飞从B 地同时出发相向而行,刘备和关羽相遇后,过了10分钟又与张飞相遇,求A 、B 两地间的距离为多少米?
上面几道例题的运动过程是一样的,在这样的运动过程里面,会有两次相遇运动和一次追及运动.在这个运动过程中有一段路程既是路程和又是路程差,需要同学们格外注意.
接下来我们来看一下和速度倍数相关的行程问题.大家想象一下,如果甲、乙两人同时出发同向前进,甲的速度是乙的3倍,那么5分钟后,甲的路程是乙的几倍?30分钟后,甲的路程又是乙的几倍?2个小时后,甲的路程又是乙的几倍?
其实上述问题的答案都是3倍.不管时间过了多久,只要甲、乙两人的时间相同,他们路程的倍数关系就等于速度的倍数关系. 例题5
A 、
B 两城相距48千米,甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度行走.甲、乙两人从A 城,丙从B 城同时出发,相向而行.请问:出发多长时间后,甲正好在乙和丙的中点?
「分析」速度分别是4、2、2,那么我们可以把三人的路程分别设为几份呢?请试着画
出线段图,标份数进行分析.
A B
甲
乙 丙
例题6
A 、
B 两城相距50千米,甲、乙、丙三人分别以每小时4千米、2千米、2千米的速度前进.甲、乙两人从A 城,丙从B 城同时出发,相向而行.请问:出发多长时间后,丙正好在甲和乙的中点?
「分析」同上题,还是需要把路程设份数,画出线段图进行分析.但要注意,丙在甲、乙的中点,应该是在甲、丙相遇错开后发生的.
形象的来说,本讲行程问题最大的特点就是“繁”——人多、车多、过程多.怎么解决这样复杂的问题呢?
首先,必须有勇气,只要有勇气,你就敢面对这样的问题,积极开动脑筋去想. 其次,必须有耐心,只要有耐心,你就能动手去画图,细致的分析每一组数量关系,再花上些时间,题目自然能够搞定.
或许有人会说,这根本不是什么解题技巧,画线段图、分析倍数关系才是解题.其实,这些只是技巧中的皮毛,真正的技巧是一种智慧,而勇气和耐心就是这种智慧的内涵. 课堂内外
换个角度看问题
有这样一个故事:有个年轻人为贫所困,便向一位老者请教.老者问:“你为什么失意呢?”年轻人说:“我总是这样穷.”“你怎么能说自己穷呢?你还这么年轻.”“年轻又不能当饭吃.”年轻人说.老者一笑:“那么,给你一万元,让你瘫痪在床,你干吗?”“不干.”“把全世界的财富都给你,但你必须现在死去,你愿意吗?”“我都死了,要全世界的财富干什么?”老者说:“这就对了,你现在这么年轻,生命力旺盛,就等于拥有全世界最宝贵的财富,又怎能说自己穷呢?”年轻人一听,又找回了对生活的信心.
美国心理学家艾里斯曾提出一个叫“情绪困扰”的理论.他认为,引起人们情绪结果的因素不是事件本身,而是个人的信念.所以,许多在现实中遭遇挫折的人,往往认为“自己倒霉”,“想不通”,这些其实都是本人的片面认识和解释,正是这种认识才产生了情绪的困扰.实际情况是,人们的烦恼和不快,常常与自己的情绪有关,同自己看问题的角度有关.能否战胜挫折,关键在于自己要有主心骨,任何情况下都不被一时的失意和不快左右,永远怀
A
B
甲
乙
丙