新课标八年级数学竞赛讲座：第七讲 二次根式的运算
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值(含答案)
人教版八年级数学 竞赛专题：二次根式的化简与求值（含答案）【例1】 化简（1(ba b ab b -÷--（2（3（4解题思路：若一开始把分母有理化，则计算必定繁难，仔细观察每题中分子与分母的数字特点，通过分解、分析等方法寻找它们的联系，问题便迎刃而解.思想精髓：因式分解是针对多项式而言的，在整式，分母中应用非常广泛，但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中，恰当地作类似于因式分解的变形，可降低一些二次根式问题的难度.【例2】 比6大的最小整数是多少？解题思路：直接展开，计算较繁，可引入有理化因式辅助解题，即设x y ==想一想：设x =求432326218237515x x x x x x x --++-++的值.的根式为复合二次根式，常用配方，引入参数等方法来化简复合二次根式.【例3】 设实数x ，y 满足(1x y =，求x ＋y 的值.解题思路：从化简条件等式入手，而化简的基本方法是有理化.【例4】 （1的最小值.（2的最小值.解题思路：对于（1）的几何意义是直角边为a ，b 的直角三角形的斜边长，从构造几何图形入手，对于（2），设y =，设A （x ，0），B (4，5)，C (2，3)相当于求AB ＋AC 的最小值，以下可用对称分析法解决.方法精髓：解决根式问题的基本思路是有理化，有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例5】 设2)m a =≤≤，求1098747m m mm m +++++-的值.解题思路：配方法是化简复合二次根式的常用方法，配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.若满足0＜x＜y=x，y）是_______2.2x－3，则x的取值范围是（）A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x＞03）A．1B C. D. 54、有下列三个命题甲：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ+-是无理数；乙：若α，β是不相等的无理数，则αβαβ-+是无理数；丙：若α，β其中正确命题的个数是（）A.0个B.1个C.2个D.3个5、化简：（1（2（3（4（56、设x =(1)(2)(3)(4)x x x x ++++的值.77x =，求x 的值.B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则.2.已知42______1x x x ==++2x 那么.3.a =那么23331a a a++＝＿＿＿＿＿.4. a ，b 为有理数，且满足等式14a +=++则a ＋b ＝（ ）A .2B . 4C . 6D . 85． 已知1,2a b c ===，那么a ，b ，c 的大小关系是（ ）.Aa b c << B . b ＜a ＜c C . c ＜b ＜c D . c ＜a ＜b6.=） A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 7. 若[a ]表示实数a 的整数部分，则等于（ ）A .1B .2C .3D . 48． 把(1)a - ）A .B C. D .9、化简：（110099+（2（310、设01,x << 1≤<.12、已知a, b, c为有理数，证明：222a b ca b c++++为整数.参考答案例1 (1)⎤(2)+5．(3)3-；（4-++＝-．例2 x＋y＝，xy＝1，于是x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝22，x3＋y3＝(x＋y)(x2－xy＋y2)＝，x6＋y6＝(x3＋y3)2－2x3y3＝10582 ．∵01，从而0＜6＜1，故10 581＜6＜10 582．例 3 x＝－y…①；同理，y＝x…②．由①＋②得2x＝－2y，x＋y＝0．例4 (1)构造如图所示图形，P A PB．作A关于l的对称点A'，连A'B交l于P，则A'B13为所求代数式的最小值．(2)设yA(x，0)，B(4，5)，C(2，3)．作C关于x轴对称点C1，连结BC1交x轴于A点．A即为所求，过B作BD⊥CC1于D点，∴AC＋AB＝C1B＝例 5 m＝＋＝．∵1≤a≤2，∴01，∴－11≤0，∴m＝2．设S＝m10＋m9＋m8＋…＋m－47＝210＋29＋28＋…＋2－47 ①，2S＝211＋210＋29＋…＋22－94 ②，由②－①，得S＝211－2－94＋47＝1 999．A级1．(17，833)，(68，612)，( 153，420) 2．B 3．C4．A 5．(1)()2x yx y+-(2)22-(4) 6．48提示：由已知得x2＋5x＝2，原式＝(x2＋5x＋4)(x2＋5x＋6)．7．由题设知x＞0，(＋)(－)＝14x．∴－＝2，∴2＝7x＋2，∴21x2－8x－48＝0．其正根为x＝127．B级1．642．9553．1提示：∵－1)a＝2－1，即1a－1．4．B提示：由条件得a＋3＋a＝3，b＝1，∴a＋b＝4．5．B提示：a－b－11＝0．同理c－a＞0 6．B 7．B 8．D提示：注意隐含条件a－1＜0．9．(1)910提示：考虑一般情形＝－(2)原式＝8153+＝2+(3)210．构造如图所示边长为1的正方形ANMD，BCMN．设MP＝x，则CPAP，AC，AM AC≤PC＋P A＜AM＋MC，，则≤＋＜1＋11．设y＝－＝，设A(4，5)，B(2，3)，C(x，0)，易求AB的解析式为y＝x＋1，易证当C在直线AB上时，y有最大值，即当y＝0，x＝－1，∴C(－1，0)，∴y＝12b c+-＝)22233ab bc b acb c-+--为有理数，则b2 －ac＝0．又a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ac)＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋b2)＝()2cba++－2b（a＋b＋c）＝（a＋b＋c）（a－b＋c），∴原式＝a－b＋c为整数．。
八年级数学竞赛辅导讲义之第07讲 根式及其运算
第七讲根式及其运算二次根式的概念、性质以及运算法则是根式运算的基础，在进行根式运算时，往往用到绝对值、整式、分式、因式分解，以及配方法、换元法、待定系数法等有关知识与解题方法，也就是说，根式的运算，可以培养同学们综合运用各种知识和方法的能力．下面先复习有关基础知识，然后进行例题分析．二次根式的性质：二次根式的运算法则：设a，b，c，d，m是有理数，且m不是完全平方数，则当且仅当两个含有二次根式的代数式相乘时，如果它们的积不含有二次根式，则这两个代数式互为有理化因式．例1 化简：法是配方去掉根号，所以因为x-2＜0，1-x＜0，所以原式=2-x+x-1=1．＝a-b-a+b-a+b=b-a．说明若根式中的字母给出了取值范围，则应在这个范围内进行化简；若没有给出取值范围，则应在字母允许取值的范围内进行化简．例2 化简：分析两个题分母均含有根式，若按照通常的做法是先分母有理化，这样计算化简较繁．我们可以先将分母因式分解后，再化简．解法1 配方法．配方法是要设法找到两个正数x，y(x＞y)，使x+y=a，xy=b，则解法2 待定系数法．例4 化简：(2)这是多重复合二次根式，可从里往外逐步化简．分析被开方数中含有三个不同的根式，且系数都是2，可以看成解设两边平方得②×③×④得(xyz)2=5×7×35=352．因为x，y，z均非负，所以xyz≥0，所以xyz=35．⑤⑤÷②，有z=7．同理有x=5，y=1．所求x，y，z显然满足①，所以解设原式=x，则解法1 利用(a＋b)3＝a3＋b3＋3ab(a＋b)来解．将方程左端因式分解有(x-4)(x2＋4x＋10)＝0．因为x2＋4x＋10＝(x＋2)2＋6＞0，所以x-4＝0，x＝4．所以原式＝4．解法2说明解法2看似简单，但对于三次根号下的拼凑是很难的，因此本题解法1是一般常用的解法．例8 化简：解(1)本小题也可用换元法来化简．解用换元法．解直接代入较繁，观察x，y的特征有所以3x2-5xy＋3y2＝3x2＋6xy＋3y2-11xy＝3(x＋y)2-11xy＝3×102-11×1＝289．例11 求分析本题的关键在于将根号里的乘积化简，不可一味蛮算．解设根号内的式子为A，注意到1＝(2-1)，及平方差公式(a＋b)(a-b)＝a2-b2，所以A＝(2-1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)…(2256＋1)＋1＝(22-1)(22＋1)(24＋1)(28＋1)…(2256＋1)＋1＝(24-1)(24＋1)(28＋1)(216＋1)…(2256＋1)＋1＝…＝(2256-1)(2256＋1)＋1＝22×256-1＋1＝22×256，的值．分析与解先计算几层，看一看有无规律可循．解用构造方程的方法来解．设原式为x，利用根号的层数是无限的特点，有两边平方得两边再平方得x4-4x2＋4＝2＋x，所以x4-4x2-x＋2＝0．观察发现，当x＝-1，2时，方程成立．因此，方程左端必有因式(x ＋1)(x-2)，将方程左端因式分解，有(x＋1)(x-2)(x2＋x-1)＝0．解因为练习七1．化简：2．计算：3．计算：。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中常见的概念，它在代数学、几何学和物理学等领域都得到广泛应用。
本文将为您详细介绍二次根式的运算过程和相关概念。
一、定义与性质二次根式，顾名思义，就是一个数的根号形式，其中根号下是一个有理数。
一般形式为√a，其中a表示一个非负实数。
在二次根式中，根号下的数被称为被开方数。
二次根式的性质如下：1. 二次根式的运算结果是一个实数，要么是有理数，要么是无理数。
2. 二次根式的和差运算只有当根号下的被开方数相同时，才能进行。
3. 二次根式的乘法运算可以进行，即√a × √b= √(a × b)。
4. 二次根式的除法运算可以进行，即√a ÷ √b = √(a ÷ b)，其中b不等于零。
二、二次根式的运算法则1. 化简当二次根式出现在分母中时，为了方便计算，我们通常会进行化简。
具体来说，如果根号下的被开方数可以被因式分解，我们就将其进行简化。
例如，对于√12，可以进行因式分解得到√(4 × 3)，进而简化成2√3。
2. 相加相减当根号下的被开方数相同时，我们可以进行二次根式的相加与相减。
例如，√5 + √5 = 2√5，√7 - √7 = 0。
3. 乘法二次根式的乘法运算非常简单，只需要将根号下的被开方数相乘即可。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。
4. 除法二次根式的除法运算也很简单，只需要将根号下的被开方数相除即可。
例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2。
三、例题解析为了更好地理解二次根式的运算过程，我们举几个例题进行解析。
例题1：化简下列二次根式。
(1) √72(2) √50 ÷ √2解析：(1) √72 = √(4 × 18) = √4 × √18 = 2√18。
由于18不能再进一步分解，所以2√18为最简形式的答案。
初二数学经典讲义 二次根式(基础)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）. （2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 2a .（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a2.3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式. 要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.显然是同类二次根式. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则： 类型 法则逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b ≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.≠. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________时，二次根式3x -在实数范围内有意义. 【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三【高清课堂：二次根式 高清ID 号：388065 关联的位置名称：填空题5】 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 . 【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.a ab --B. a ab -C. a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）.1448ab44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A. 【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式；（2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）.A. 14772⨯=B. 60523÷=C. 9258a a a +=D. 3223-= 【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确；选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三 【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)⋅. 【答案与解析】201020102010=(32)32)(32)(32)32)32)132)3 2.⋅⋅⎡⎤=⋅⋅⎣⎦=⋅=原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6 已知2231,12x x x x=-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)1313331=3x x x xx x x =+∴->∴=--++==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【高清课堂:二次根式 高清ID 号：388065关联的位置名称：计算技巧6-7】 【变式】已知a b +=-3, ab =1,求ab b a +的值. 【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11+==-(+)=-=3--ab ab a bb a b a ab∴+原式.。
《二次根式》 讲义
《二次根式》讲义一、二次根式的定义形如\（＼sqrt{a}（a\geq 0)＼）的式子叫做二次根式。
其中，＼（＼sqrt{｝＼）称为二次根号，＼（a\）叫做被开方数。
需要特别注意的是，二次根式有两个非常重要的限制条件：一是根指数为 2；二是被开方数必须是非负数。
例如，＼（＼sqrt{5}＼），＼（＼sqrt{16}＼），＼（＼sqrt{x^2 ＋1}＼）（其中\（x\）为任意实数）等都是二次根式；而\（＼sqrt{－5}＼）就不是二次根式，因为被开方数\（－5\）是负数。
二、二次根式的性质1、＼（＼sqrt{a^2} ＝｜a|＼）当\（a ＼geq 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）；当\（a ＜ 0\）时，＼（＼sqrt{a^2} ＝ a\）。
例如，＼（＼sqrt{3^2} ＝ 3\），＼（＼sqrt{（－5)＾2} ＝ 5\）。
2、＼（（＼sqrt{a}）＾2 ＝ a\）（＼（a\geq 0\））例如，＼（（＼sqrt{7}）＾2 ＝ 7\）。
3、＼（＼sqrt{ab} ＝＼sqrt{a} ＼cdot ＼sqrt{b}＼）（＼（a\geq 0\），＼（b\geq 0\））例如，＼（＼sqrt{12} ＝＼sqrt{4\times 3} ＝＼sqrt{4} ＼cdot ＼sqrt{3} ＝ 2\sqrt{3}＼）。
4、＼（＼sqrt{＼dfrac{a}｛b}｝＝＼dfrac{＼sqrt{a}｝｛＼sqrt{b}｝＼）（＼（a\geq 0\），＼（b ＞ 0\））例如，＼（＼sqrt{＼dfrac{18}｛2}｝＝＼dfrac{＼sqrt{18}｝｛＼sqrt{2}｝＝＼dfrac{3\sqrt{2}｝｛＼sqrt{2}｝＝ 3\）。
三、二次根式的化简化简二次根式是二次根式运算中的重要环节，其目的是将二次根式化为最简二次根式。
最简二次根式需要满足以下两个条件：1、被开方数不含分母；2、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
八年级下册专题：二次根式的全面计算
八年级下册专题：二次根式的全面计算1. 什么是二次根式？二次根式是指具有形如√a的数，其中a是一个非负实数。
二次根式可以进一步进行计算，包括化简、相加、相减、相乘和相除等运算。
2. 二次根式的化简化简二次根式的目的是将其写成最简形式。
化简的步骤如下：- 将根号下的数分解为互质因子的乘积；- 将相同因子提取到根号外面。
例如，对于√8，我们可以将8写成2的平方乘以2，即8=2²×2。
然后，将根号内的2²提取到根号外面，得到√8=2√2。
3. 二次根式的相加和相减当计算两个二次根式的和或差时，需要满足根号内的数相同。
即只有当根号内的数相等时，才能进行相加或相减。
例如，√2 + √2 = 2√2；√5 - √3 = √5 - √3。
4. 二次根式的相乘和相除二次根式的相乘和相除可以通过分别对根号内的数进行乘法和除法来实现。
例如，√2 × √3 = √(2 × 3) = √6；√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2。
5. 二次根式的综合计算在进行二次根式的综合计算时，可以按照上述规则进行化简、相加、相减、相乘和相除等运算的组合。
例如，计算√2 + √5 - √2 + √3，首先化简得到√5 + √3，然后进行相加，最终结果为2√2 + √3。
6. 注意事项在进行二次根式的计算时，需要注意以下几点：- 根号内的数必须是非负实数；- 化简时要将根号内的数分解为互质因子的乘积；- 相加或相减时，根号内的数必须相同；- 相乘或相除时，直接对根号内的数进行乘法或除法。
希望以上内容对八年级下册专题“二次根式的全面计算”有所帮助！。
人教版数学八年级培优竞赛 二次根式的性质与化简求值 专题课件
24 x 8 x 24 x 8 x
2
24 x
2
8x
24 x
8 x 16 又有
24 x 8 x 2 ，可得 24 x 8 x 8 ，将这两式相加可得 24 x 5 ，且
8 x 3 ，将 24 x 5 两边平方可解得 x 请你学习小明的方法，解下面的方程：
1，经检验 x
1是原方程的解.
（1）方程 x2 42 x2 10 16的解是
...
...
求满足 an bn cn 2019 3 2 1 的n可以取得的最小整数.
32
由 a1 ＋ b1 ＋ c1 ＝ 2 ＋ 2 3 ＋ 3 ＋2＋1＋ 2 2 ＝3（ 3 ＋ 2 ＋1），a 2 ＋ b2 ＋ c2 ＝9（ 3
＋
2 ＋1），… an ＋ bn ＋ cn ＝ 3（n
3＋
2 ＋1），而 an＋bn＋cn ≥2019×（
16.求代数式 x2 4 12 x 2 9 的最小值.
构造如图所示的图形，BD＝12，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝2，CD＝3，设 PB＝
x，则 AP＋CP＝ x2＋4 ＋ 12－x2＋9 ，当 A，P，C 三点在同一直线上时，上述式
子取最小值，作 AE⊥CD，在△AEC 中，最小值为 AC＝13.
（1）这列数，每 6 个数循环，故，第 50 个数是－1；（2）2018 个数中含有 336 个循环还余第 1，第 2 共 2 个数，而一个循环的和是 0，故从第 1 个数开始的前 2018 个数的和是 0；（3）因为一个循环的平方和为 12，而 520 中含有 43 个 12 且余下 4，并且前面 3 个数的平方和恰好是 4，43×6＋3＝261，共有 261 个数 的平方相加.
八年级数学二次根式知识点
八年级数学二次根式知识点在八年级数学中，二次根式是比较基础的一个知识点，也是初学者需要特别掌握的内容之一。
本文将详细介绍二次根式的定义、性质、运算方法和解题技巧，希望能够帮助大家更好地掌握这个知识点。
1. 二次根式的定义二次根式是指如下形式的算式：$\sqrt{a}$其中，a是一个非负实数，$\sqrt{a}$表示a的平方根。
例如，$\sqrt{4}$等于2，$\sqrt{9}$等于3。
2. 二次根式的性质（1）二次根式的值不超过其被开方数的值。
即，对于任意非负实数a和b，当a≥b时，有$\sqrt{a}≥\sqrt{b}$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是单调递增的。
（2）二次根式的值域为非负实数。
即，对于任意非负实数a，有$\sqrt{a}≥0$。
这是因为，平方根函数$\sqrt{x}$在x≥0的范围内是非负的。
（3）二次根式可以转化为分数形式。
即，对于任意非负实数a和正整数b，有$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$。
这是因为，分子、分母分别乘以$\sqrt{b}$，可以得到等式右边的形式。
3. 二次根式的运算方法（1）二次根式的加减法对于相同根式$\sqrt{a}$和$\sqrt{b}$，有：$\sqrt{a}±\sqrt{b}=\sqrt{a±b}$例如，$\sqrt{2}+\sqrt{8}=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$。
（2）二次根式的乘法对于非负实数a和b，有：$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}$例如，$\sqrt{2}·\sqrt{8}=\sqrt{16}=4$。
（3）二次根式的除法对于非负实数a和b（b≠0），有：$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$例如，$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{2}}=\sqrt{4}=2$。
二次根式的概念与运算
二次根式的概念与运算二次根式是指形如√a的数，其中a为非负实数。
在数学中，我们常常遇到二次根式的概念与运算，本文将详细介绍二次根式的概念与运算方法。
一、二次根式的概念及表示二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号（√）作为符号，其表示如下：√a其中，a表示被开方数，且a必须是非负实数。
如果a为正实数，则二次根式具有两个相等的实数解；如果a为0，则二次根式等于0；如果a为负实数，则二次根式无实数解，但可以表示为复数形式。
二次根式可以进一步扩展，形式如下：b√a其中，b为系数，a为被开方数，同样要求a为非负实数。
二、二次根式的运算法则1. 二次根式的加减法：当二次根式的被开方数相同，即√a与√a相加或相减时，可以直接对系数进行加减运算。
例如：2√3 + 3√3 = 5√34√5 - √5 = 3√5当二次根式的被开方数不同，即√a与√b相加或相减时，无法简化为一个二次根式，需要保持原样。
例如：2√3 + 3√53√7 - 5√22. 二次根式的乘法：二次根式相乘时，可以分别对系数和被开方数进行乘法运算，并合并结果。
例如：2√3 * 3√2 =6√64√5 * 2 = 8√53. 二次根式的除法：二次根式相除时，可以分别对系数和被开方数进行除法运算，并合并结果。
例如：3√6 / √2 = 3√(6/2) = 3√34√10 / 2 = 2√10三、二次根式问题的简化与应用在实际问题中，我们常常需要对二次根式进行简化，使其表达更加简洁和明确。
1. 简化二次根式：当二次根式的被开方数可以被分解为完全平方数与非完全平方数的乘积时，可以进行简化。
例如：√18 = √(9 * 2) = 3√22. 二次根式的应用：二次根式在几何学、物理学等领域具有广泛应用。
例如，计算三角形的边长、面积等问题中常常涉及到二次根式的运算。
四、总结本文对二次根式的概念与运算进行了详细的介绍。
二次根式是一种特殊的无理数形式，具有根号作为符号。
二次根式的运算
二次根式的运算二次根式是数学中常见的一种运算形式，它包含了一个根号和一个数的平方。
在进行二次根式的运算时，我们可以使用一些特定的方法和规则，以便简化运算并得到准确的结果。
本文将探讨二次根式的运算方法和应用。
一、二次根式的定义和性质二次根式是指形如√a的运算，其中a代表一个非负实数。
二次根式的运算有一些基本性质，我们来逐一了解。
性质1：非负实数的二次根式仍然是非负实数。
无论a是多少，√a的结果都是非负实数。
这是因为根号运算的结果必须是非负实数，不包括负数。
性质2：二次根式乘法的运算规则。
对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的乘法运算规则可以表示为：√a * √b = √(a * b)。
换句话说，两个二次根式相乘，可以将它们内部的数乘起来再开方。
性质3：二次根式的开方法则。
对于一个非负实数a和b，它们的二次根式的开方法则可以表示为：√(a * b) = √a * √b。
这个法则与性质2相反，即将一个二次根式分解为两个二次根式的乘积。
性质4：二次根式的加法和减法运算规则。
对于两个非负实数a和b，它们的二次根式的加法和减法运算规则可以表示为：√a ± √b = √(a ± b)。
这表示二次根式可以与同样含有根号的数进行加减运算。
二、二次根式的运算方法在进行二次根式的运算过程中，我们可以运用以上的性质和规则来简化运算和求解结果。
以下将介绍一些常见的运算方法。
方法1：合并同类项当二次根式中含有多个相同根号内的数时，我们可以合并它们，从而简化运算。
例如，√2 + √2 = 2√2。
方法2：分解二次根式如果二次根式内部含有可以分解的数或者因式，我们可以将其分解为更小的二次根式，从而便于运算。
例如，√12可以分解为√(4 * 3)，再进一步分解为2√3。
方法3：有理化分母当二次根式出现在分母中时，我们可以采取有理化分母的方法，将分母中的根号去除，转化为整数或者带有根号的有理数。
例如，1/√2可以有理化为√2/2。
二次根式的运算
二次根式的运算在数学中，二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a为一个非负实数。
二次根式在代数计算和几何问题中经常出现，因此正确地进行二次根式的运算是很重要的。
本文将介绍二次根式的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用二次根式。
一、二次根式的定义二次根式是由一个非负实数的平方根构成的表达式。
表达式√a中，a为非负实数。
根据二次根式的定义，我们可以得出以下性质：1. 非负实数的平方根为一个实数，记为√a，其中a ≥ 0。
2. 非负实数的平方根有两个值，一个为正数，一个为负数。
我们通常将正数平方根表示为√a，将负数平方根表示为-√a。
二、二次根式的运算规则1. 二次根式的相加减：当二次根式的底数相同时，可直接进行相加减运算，并保持底数不变。
如√a ± √a = 2√a。
当二次根式的底数不同时，无法直接进行运算，需要进行合并或化简。
2. 二次根式的乘法：将二次根式写成指数形式，再利用指数法则进行运算。
如√a × √b = √(a × b)。
3. 二次根式的除法：将二次根式写成指数形式，再利用指数法则进行运算。
如√a ÷ √b= √(a ÷ b)。
4. 二次根式的分式运算：对于一个分式，其中分子或分母是二次根式时，可以使用有理化的方法进行运算。
有理化的方法是将分母的根式进行合并或化简，使得表达式中不再有分母为二次根式的情况。
三、二次根式的应用举例接下来，我们通过几个具体的例子，来演示二次根式的运算。
1. 例子1：计算√18 + √50 - √32。
解：根据二次根式的相加减规则，我们可以合并相同底数的根式：√18 + √50 - √32 = 3√2 + 5√2 - 4√2合并相同底数的根式后，进行系数的相加减运算，得到：3√2 + 5√2 - 4√2 = 4√22. 例子2：计算(√7 + √3) × (√7 - √3)。
解：根据二次根式的乘法规则，我们可以将此表达式视为两个二次根式的乘积：(√7 + √3) × (√7 - √3) = (√7)² - (√3)²根据乘积公式和平方根的定义，我们得到：(√7)² - (√3)² = 7 - 3 = 43. 例子3：计算√(5/12) ÷ (√3/6)。
数学奥赛讲座：《二次根式》
二次根式的性质
1. 根式的乘法性质
$sqrt{a} times sqrt{b} = sqrt{a times b}$（$a geq 0, b geq 0$）。
2. 根式的除法性质
$frac{sqrt{a}}{sqrt{b}} = sqrt{frac{a}{b}}$（$a geq 有根式的式子， 可以通过有理化分母的方 法，将分母化为有理数。
合并同类项
对于形如$sqrt{a+b}$和 $sqrt{a-b}$的二次根式， 可以合并为$sqrt{2a}$。
运算规则
乘法运算
对于两个二次根式相乘， 可以直接将它们的系数相 乘，根号部分不变。
除法运算
对于两个二次根式相除， 可以直接将它们的系数相 除，根号部分不变。
二次根式的历史与发展
历史背景
二次根式起源于古希腊数学家对 几何图形的研究，特别是对直角
三角形和圆的性质的研究。
文艺复兴时期，数学家开始系统 研究二次根式的性质和运算规则，
为后续的发展奠定了基础。
17世纪，微积分学的发展推动 了二次根式理论的进一步深化。
现代发展
计算机科学的发展为二次根式计算提供了更高效的算法和软件工具，如符号计算和 数值计算。
总结词
二次根式具有一些基本的数学性 质，如根式的乘法、除法、加法、 减法等运算性质。
3. 根式的加法性质
$sqrt{a} + sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} + sqrt{b})^2}$ （$a geq 0, b geq 0$）。
4. 根式的减法性质
$sqrt{a} - sqrt{b} = sqrt{(sqrt{a} - sqrt{b})^2}$（$a geq 0, b geq 0$）。
初中数学竞赛讲座《二次根式》
a a b ab 分母有理化： b b b b
分母有理化一巧用因式分解法
分母有理化
分母有理化一巧用因式分解法
二、乘方法
点评：在化简计算中出现二次根式的被开方数互为共轭 根式时，则可采用对整体先平方再开方的方法，这种方 法叫做乘方法．须注意的是，平方再开方时应保证符号 与原式相同．
数学方法是数学的灵魂，只有掌握了数学思 想方法，才能真正地学好数学知识，将知识转 化为能力。初中数学竞赛中渗透了不少数学思 想方法，下面本章的有关赛题为例，说明数学 竞赛中常用的数学方法。
二次根式中的数学方法一换元法
换元法是一种重要的数学方法，它在解题中有着广泛的应用． 对于一些复杂的根式运算，通过换元，将其转化为有理式的运算， 可以使得运算简便． 例1．
赛点归纳
赛点归纳
典题精讲二次根式的意义 C
点评：非负数的有关知识与性质虽然浅显易懂，但用它所能
解决的问题却非常广泛，近几年的各种竞赛中经常出现．有此赛 题从题目所给条件中不易看出与非负数有关，比较隐藏，但通过 配方，构造方程等方法或对实际问题的分析，却发现可利用非负 数的知识求解．
典题精讲二次根式的意义
九年级竞赛辅导
第一讲
二次根式
√a （a≥0）
泰和中 周光明
第一讲
二次根式
我们将数的范围扩大到实数的同时，代数 式中也就随之引进了根式．根式的研究使我们 初步了解了无理数的性质，数与式相辅相成， 相互促进，体现了代数知识紧密的联系性，因 此，根式问题不但是初中阶段常规试题和竞赛 试题的重点和难点之一，同时，对高中乃至更 深层的数学学习都有深远的意义．
构造方程与方程组
复合二次根式的化简
【点评】复合二次根式的化简，一般是将二次根式中的被开方数 配成完全平方式，然后再求解的方法，这也叫用配方法．配方时 有时需要通过几次拼凑方可达到目的． 配方法主要用来解竞赛中经常出现的复合二次根式的化简 问题和需要用完全平方公式解决的问题．
二次根式的定义和基本性质
二次根式的定义和基本性质二次根式，也称为平方根，是数学中常见的一种运算。
它的定义和基本性质在代数学和几何学中有着广泛的应用。
本文将介绍二次根式的定义，并探讨其基本性质。
在此之前，我们先来了解一下二次根式的定义。
二次根式的定义：二次根式是指一个数的平方根，如√x表示x的平方根，其中x为一个非负实数。
当x小于0时，√x是一个虚数。
在计算平方根时，我们通常提取其中的正根，即非负实数解。
基本性质：1. 非负数的平方根：对于非负实数a，它的平方根√a是一个非负实数。
例如，√9 = 3，因为3的平方等于9。
2. 平方根的乘法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√(a * b) = √a * √b例如，√(4 * 9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 63. 平方根的除法：对于非负实数a和b（b不等于0），有以下运算规则：√(a / b) = √a / √b例如，√(25 / 4) = √25 / √4 = 5 / 2 = 2.54. 平方根的加法与减法：对于非负实数a和b，有以下运算规则：√a ± √b 通常不能进行化简，可以合并成一个复合根。
例如，√2 + √3 无法化简，但可以合并为一个复合根√(2 + 3) = √55. 平方根的乘方：对于非负实数a和正整数n，有以下运算规则：(√a)^n = a^(1/n)例如，(√9)^2 = 9^(1/2) = 36. 平方根的传递性：对于非负实数a和b，如果a小于b，则√a小于√b。
例如，√4小于√9，因为4小于9。
通过以上基本性质，我们可以在实际问题中用到二次根式。
例如，在几何学中，可以通过求解平方根来计算物体的边长或面积；在代数学中，平方根可以用来求解方程的解等。
需要注意的是，对于负数的平方根，我们引入了虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
负数的平方根被称为虚数，属于复数的一种。
虚数在物理学和电气工程等领域有着重要的应用。
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案
八年级数学竞赛讲座二次根式的运算附答案第七讲：二次根式的运算二次根式是指形如a(a≥0)的式子，其运算基于以下几个法则：1) ac±bc=(a±b)c(c≥0)；2) ab=a×b(a≥0，b≥0)；3) a/b=a÷b(a≥0，b>0)；4) (a)²=a²(a≥0)。
同类二次根式的合并是二次根式加减的实质，而二次根式除法和混合运算则常常用到有理化概念。
因此，有理化是二次根式中重要的概念。
二次根式的运算是在有理式（整式、分式）运算的基础上发展起来的，因此，解决二次根式问题时，常常需要用到有理式运算的方法和技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等。
例题求解：例1】已知y=(x²-2)/(x²-2-5x+4+5x/(4-5x))，求x²+y²=4-5x。
解析：由于等式中含有两个未知量，初看似乎条件不足，因此，我们从二次根式的定义入手。
通过二次根式的性质，我们可以通过平方去掉根号有理化，揭示与绝对值的内在一致性。
这样，我们就可以充分运用概念解题。
例2】化简1+1/n²+1/(n+1)²，所得的结果为（）A.1+1/n+1/(n+1)B.1-1/n+1/(n+1)C.1+1/n-1/(n+1)D.1-1/n-1/(n+1)解析：待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式。
特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律。
例3】计算：1）(6+4)/(3+2)；2）10+14-15-21/10+14/15+21；3）75+57+…+5+23+1/(315-10-26+33-2+18)。
解析：若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化。
因此，我们需要观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口。
八年级根号的运算法则
八年级根号的运算法则一、二次根式的乘法法则。
1. 法则内容。
- √(a)·√(b)=√(ab)(a≥slant0,b≥slant0)。
- 例如：计算√(2)×√(3)，根据这个法则，√(2)×√(3)=√(2×3)=√(6)。
2. 推导过程（简单理解）- 设√(a)=m，√(b)=n（m≥slant0，n≥slant0），那么m^2 = a，n^2=b。
- √(a)·√(b)=m· n，而mn=√(m^2)n^{2}=√(ab)。
3. 应用示例。
- 计算√(5)×√(10)。
- 解：根据二次根式乘法法则，√(5)×√(10)=√(5×10)=√(50)=√(25×2) = 5√(2)。
4. 多个二次根式相乘。
- √(a)·√(b)·√(c)=√(abc)(a≥slant0,b≥slant0,c≥slant0)。
例如：√(2)×√(3)×√(5)=√(2×3×5)=√(30)。
二、二次根式的除法法则。
1. 法则内容。
- (√(a))/(√(b))=√(frac{a){b}}(a≥slant0,b > 0)。
- 例如：计算(√(8))/(√(2))，根据法则，(√(8))/(√(2))=√(frac{8){2}}=√(4)=2。
2. 推导过程（简单理解）- 同样设√(a)=m，√(b)=n（m≥slant0，n > 0），则a = m^2，b=n^2。
- (√(a))/(√(b))=(m)/(n)，而(m)/(n)=√((m^2))/(n^{2)}=√(frac{a){b}}。
3. 应用示例。
- 计算(√(12))/(√(3))。
- 解：根据二次根式除法法则，(√(12))/(√(3))=√(frac{12){3}}=√(4)=2。
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第七讲 二次根式的运算
式子a (a ≥0)叫二次根式，二次根式的运算是以下列运算法则为基础． (1)c b a c b c a )(±=± (≥0)； (2)ab b a =⋅ (0,0≥≥b a )； (3)
b
a
b a =
(0,0>≥b a )； (4)22)(a a =(≥a 0)．
同类二次根式，有理化是二次根式中重要概念，它们贯穿于二次根式运算的始终，因为二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，二次根式除法、混合运算常用到有理化概念．
二次根式的运算是在有理式(整式、分式)运算的基础上发展起来的，常常用到有理式运算的方法与技巧，如换元、字母化、拆项相消、分解相约等． 例题求解 【例1】 已知2542
4
52
22+-----=
x
x x x y ，则22y x += ． (重庆市竞赛题)
思路点拨 因一个等式中含两个未知量，初看似乎条件不足，不妨从二次根式的定义入手．
注： 二次根式有如下重要性质：
(1)0≥a ，说明了a 与a 、n a 2一样都是非负数；
(2) a a =2)( (≥a 0)，解二次根式问题的途径——通过平方，去掉根号有理化； (3) a a =2)(，揭示了与绝对值的内在一致性．
著名数学教育家玻利亚曾说，“回到定义中去”，当我们面对条件较少的问题时，记住玻利亚的忠告，充分运用概念解题．
【例2】 化简2
2
)
1(111++
+
n n
，所得的结果为（ ）
A ．1111++
+
n n B ．1111++-n n C ．1111+-+n n D ．1
1
11+--n n (武汉市选拔赛试题)
思路点拔 待选项不再含根号，从而可预见被开方数通过配方运算后必为完全平方式形式．
注 特殊与一般是能相互转化的，而一般化是数学创造的基本形式，数学的根本目的就是要揭示更为普遍、更为深刻的事实和规律．
【例3】计算： （1）
)
23)(36(23346++++；
（2）
2115141021151410+--+； （3）
49
47474917
5571
5
33513
31+++++
++
+ ；
1
32518
2336210153+++-+--．
思路点拨 若一开始就把分母有理化，则使计算复杂化，观察每题中分子与分母的数字特点，通过分拆、分解、一般化、配方等方法寻找它们的联系，以此为解题的突破口． 【例4】 (1)化简324324-++； (北京市竞赛题) (2)计算223810++ (“希望杯”邀请赛试题)
(3) 计算1212--+-+a a a a ． (湖北省孝感市“英才杯”竞赛题)
思路点拨 （1）把4+23万与4—23分别化成一个平方数化简，此外，由于4+23与4—23是互为有理化因式，因此原式平方后是一个正整数，我们还可以运用这一特点求解；(3)通过配方，可以简化一重根号，解题的关键是就a 的取值情况讨论，解决含根号、绝对值符号的综合问题．
【例5】 已知52
1
332412---=----+c c b a b a ，求c b a ++的值．
(山东省竞赛题)
思路点拨 已知条件是一个含三个未知量的等式，三个未知量，一个等式怎样才能确定未知量的值呢?考虑从配方的角度试一试．
学历训练 1．如果22332+-+-=x x y ，那么y x 2+= ． (四川省竞赛题) 2．已知3=xy ，那么y
x
y
x y x
+的值为 ． (成都市中考题) 3．计算2001)13(2)13(2)13(199920002001++-+-+= ．(天津市选拔赛试题)
4．若 ab ≠0，则等式ab b
b
a -=
--3
5
1飞成立的条件是 ．(淄博市中考题)
5．如果式子2)1(2-+-x x 化简的结果为32-x ，则x 的取值范围是( )
A ．x ≤1
B ．x ≥2
C ．1≤x ≤2
D ．x >0 (徐州市中考题) 6．如果式子a
a --
-11
)1( 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ） A ．a -1 B ．1-a C ．1--a D ．a --1 7．已知)0,0(02>>=+-y x y xy x ，则
y
xy x y xy x 4353-++-的值为( )
A ．3
1 B ．
21 C ．3
2
D ．43 8．已知3
21
+=a ，那么a a a a a a -+--+-2221
211的值等于（ ） A ．)321(+- B ．1- C ．32- D ．3 9．计算：
(1)12002200120001999+⨯⨯⨯；
（2）7221756215422133021120291227625223-+-+-+-+-+-+-+-； (北京市数学竞赛题) （3）42
66777647511+++++；
（4）
)
19992001()19972001(2001
)
20011999)(19971999(1999
)
20011997)(19991997(1997
--+
--+--
(“希望杯”邀请赛试题)
10．(1)已知139+与139-的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值； (2)设n
n n n x ++-+=
11，n
n n n y -+++=
11，n 为自然数，如果199********=++y xy x 成立，
求n ．
11．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货．此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均会受到影响．
（1）问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由；
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物? (供选用数据：4.12≈，7.13≈) (贵阳市中考题)
12．已知2
323+-=
x ，2
323-+=
y ，那么
2
2
y
x x
y +
= ．(T1杯全国初中数学联赛题)
13．若有理数x 、y 、z 满足)(2
1
21z y x z y x ++=
-+-+，则2)(yz x -= ． (北京市竞赛题)
14．设b a +=-21027，其中a 为正整数，b 在0，1之间，则
b
a b
a -+= ． 15．正数m 、n 满足34424=+--+n n m mn m ，则
2002
282++-+n m n m = ．
(北京市竞赛题)
16．化简212172232-+-等于( )
A ．5—42
B ．42一1
C ． 5
D ．－1 (全国初中数学联赛题) 17．若x x +=-11，则2)1(-x 等于( ) A 1-x B ．x -1 C ．1 D ．－1 (2004年武汉市选拔赛试题)
18．若b a b a b a -≠、、,都是有理数，那么a 和b 面( ) A ．都是有理数 B ．一个是有理数，另一个是无理数 C ．都是无理数 D ．有理数还是无理数不能确定 (第13届“希望杯”邀请赛试题) 19．下列三个命题：
①若α，β是互不相等的无理数，则αβ+α－β是无理数；
②若α，β是互不相等的无理数，则β
αβ
α+-是无理数；
③若α，β是互不相等的无理数，则3βα+是无理数． 其中正确命题的个数是( )
A ． 0
B ．1
C ．2
D ．3 (全国初中数学联赛试题) 20．计算： （1）
3
426302352+--+； （ “希望杯”竞赛题）
（2）
2356
101528-+--+； （山东省竞赛题）
（3）
100
99991001
3
2231
2
1121+++++
+ ；（四川省选拔赛题）
(4))1552326(2+--；
(5)
2231
52
525--+-+
+． (新加坡中学生数学竞赛题)
21．(1)求证1
1)1(12
22
2
+-
+
=++
+
ab a
b a ab a b a ； (2)计算2000
1
20001999199912
22
-
+
+．（“祖冲之杯”邀请赛试题） 22．(1)定义32
323
21
21121
)(+-+-+++=x x x x x x f ，求)999()12()3()1(f k f f f +-+++ 的
值；
(2)设x 、y 都是正整数，且使y x x =++-100116，求y 的最大值． (上海市竞赛题 )
23．试将实数)71)(51(211+++改写成三个正整数的算术根之和． (2001年第2届全澳门校际初中数学竞赛题)
24．求比6)56(+大的最小整数． (西安交通大学少年班入学试题)。