中考技巧圆幂定理 、共高定理、共角定理、共边定理

中考技巧圆幂定理、共高定理、共角定理、共边定理

圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）的统一，例如如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。

圆幂定理是一个总结性的定理。

根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。则有AE·CE＝BE·DE。

切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。则有PA²＝PC·PD。

割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B、C、D，则有PA·PB=PC·PD。

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。

经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

点对圆的幂

定义：P点对圆O的幂定义为OP²—R²。

性质：

点P对圆O的幂的值，和点P与圆O的位置关系有下述关系：

点P在圆O内→P对圆O的幂为负数；

点P在圆O外→P对圆O的幂为正数；

点P在圆O上→P对圆O的幂为0。

注意：以上关系除正向应用通过点和圆的位置关系判断点对的圆的幂的符号，还可以逆向应用，通过点对圆的幂的符号反推点和圆的位置关系。

在某些书中，点P对圆O的幂表示为 |OP²—R²|。

共高定理

如图1，延长△PAM的边AM至点B，得△PBM，根据面积公式可以证明以下定理．

图1

共高定理：

若M在直线AB上，P为直线AB外一点，

则有S△PAM：S△PBM＝AM：BM．

证明：如图1，

因为S△PAM＝1/2AM·PM，S△PAM＝1/2BM·PM，

所以S△PAM：S△PBM＝AM：BM．

【举一反三】

如图2，点P在△ABC的边BC上，且∠BAP＝∠CAP，试用共高定理推出PB：PC＝AB：AC．

图2

共角定理

中考数学压轴题

昨天

共角定理

若两个三角形有一组对应角相等或互补,则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

命题：若两三角形有一组对应角相等或互补，则它们的面积比等于对应两边乘积的比。

已知：若△ABC和△ADE中，∠BAC=∠EAD ，

求证：S△ABC÷S△AED=

证明：

法一：

由三角形面积公式S=×a×b×sinC可推导出

S△ABC=1/2×AB×AC×sinA

S△ADE=1/2×AD×AE×sinA

∴S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE

证毕。

法二：

看到面积可作垂直做铺垫。如图，

分别过B、D点作AC垂线DF、BG交AC于点F、G。则DF∥BG。

∴∠ADF=∠ABG

∵S△ABC：S△ADE=AC×BG：AE×DF

∠ADF=∠ABG

∴AD：DF=AB：BG

∴AD：AB=DF：BG

∴S△ABC：S△ADE=AB×AC：AD×AE。

共边定理

百度中考数学压轴题昨天

有一条公共边的三角形叫做共边三角形。

几何课本里有相似三角形、全等三角形，但没有共边三角形。其实，共边三角形在几何图形中出现的频率更多。比如，平面上随意取四个点A、B、C、D，这其中一般没有相似三角形，也没有全等三角形，但却有许多共边三角形。由此，我们说一下共边定理。

共边定理：设直线AB与PQ交于点M，则S△PAB/S△QAB=PM/QM

证明：分如下四种情况，分别作三角形高，由相似三角形可证

S△PAB=(S△PAM-S△PMB)

=(S△PAM/S△PMB-1)×S△PMB

=(AM/BM-1)×S△PMB(等高底共线，面积比=底长比）

同理，S△QAB=(AM/BM-1)×S△QMB

所以，S△PAB/S△QAB=S△PMB/S△QMB=PM/QM(等高底共线，面积比=底长比）

定理得证！