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(完整版)阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比k ；第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+1PC 的最小值为_________.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为______，PD-32PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为______，PD-21PC 的最大值为________.2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；尝试体验：(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．解决应用：(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。
阿氏圆问题 知识点 例题 含答案(全面 非常好)
PC OPC O点 P 在圆上运动-----“阿氏圆”问题如图所示 2-1-1，⊙O 的半径为 r ,点 A 、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上的动点， 已知 r =k ·OB.连接 P A 、PB ，则当“PA+k ·PB ”的值最小时，P 点的位置如何确定？A》BB图 2-1-1图 2-1-2 图 2-1-31、“阿氏圆”构造共边共角型相似构造△PAB ∽△CAP 推出PA 2=AB ·AC即：半径的平方=原有线段 ×构造线段 2、“阿氏圆”一般解题步骤：第一步：连接动点至圆心 O （将系数不为 1 的线段的两个端点分别与圆心 相连接），则连接 O P 、OB ； 第二步：计算出所连接的这两条线段 O P 、OB 长度；第三步：计算这两条线段长度的比k OB OP= 第四步：在 O B 上取点 C ，使得OBOPOP OC = 第五步：连接 A C ，与圆 O 交点即为点 P ．APBO1、（2016江阴期中）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C 半径为 2，P 为圆上一动点，连结 AP，BP，求BPAP21的最小值．根号372、如图，在RT △ABC 中，B ∠=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心做圆B 与AC 相切，P 为圆B 上一动点，则PC PA 22+的最小值为_____.根号53、如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任意取一点P ，则PD PB 23的最小值为_____.二分之根号37AF=3/24、已知扇形COD 中，∠COD=90°，OC=6，OA=3，OB=5，点P 是弧CD 上一点，求2PA+PB 的最小值．135、如图，在边长为4的正方形中，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上一动点，PC PB 2最小值为多少？ 666、边长为6的正三角形，内切圆记为圆O ，P 为圆O 上的动点，2PB+PC 最小值为多少3倍根号72倍根号77、如图，半圆的半径为1，AB 为直径，AC 、BD 为切线，AC=1，BD=2,P 为弧AB 上一动点，求PD PC 22的最小值2分之3倍根号28、在平面直角坐标系中，A(2，0),B(0，2),C(4，0),D(3，2),P是三角形AOB外部的第一象限内一动点，且 BPA=135°，则2PD+PC的最小值为4倍根号29．（2016济南）如图1，抛物线y=ax 2+（a+3）x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．（1）求a 的值和直线AB 的函数表达式；43-=a ,AB: 343+-=x y（2）设△PMN 的周长为C 1，△AEN 的周长为C 2，若=，求m 的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+E ′B 的最小值．（2）m=2或4（舍）（3）3分之4倍根号1010．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值； 5,5（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号106，根号106（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．根号37，根号3711、如图所示，抛物线y=-x 2+bx+c 与直线AB 交于(-4,-4),b(0,4)两点，直线AC ：y=-21x-6交y 轴于点C 。
完整版阿氏圆
中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两定点一 B ,则所有满足PC k （ k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造" 斜A"型相似（也叫"母子型相似"）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
在几何画板上观察下面的图形，当 P 在在圆A 上运动时，PC PB 的长在不断的发生变化，但 PC 的比值却始终保持不变。
PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ APB 的边AB 上找一点C,使得AP AC ,贝吐匕时厶APS A ABPAB AP母子型相似（共角共边）A -C⑤计算AC 的长度即为最小值.②计算0P 的值，则k 0P 丄 OB OB 2的线段BP 的两端点, 半径 "圆心到定点的距离 OC ③计算OC 的长度，由一一k 得：OCOP④ 连接AC ,当A 、P 、C 三点共线时， 1OP （相似比X 半径）AP 1 -BP AP PC AC 2 那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢 ?我们来看一道基本题目：①分别连接圆心0与系数不为1 即 OP 0B;实战练习：- 已知O O半径为1, AC BD为切线，AC=1, BD=2试求上2 PC PD的最小值25、(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD -PC 的2、已知点3、已知点(1)-AP4 A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若点P为。
C上一动点，且。
C与y轴相切, BP的最小值;(2)S VPAB的最小值.4、如图1,在平面直角坐标系xoy中，半O O交x轴与点A B(2,0)两点，AD BC均为半O O 的切线，AD=2 BC=7.(1)求OD的长；(2)如图2,若点P是半O O上的动点，Q为OD的中点.连接PO PQ.①求证：△OP GA ODP;②是否存在点P,使PD 2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•A(4, 0)，B(4最小值和PD - PC的最大值.2 2⑵如图2,已知正方形ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD - PC的最小值为；PD -PC的最大值为3 ----------- 3 --------------(3)如图3,已知菱形ABCD勺边长为4,/ B=60°,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个1 1动点.那么PD 1 PC的最小值为；PD 1 PC的最大值为2 26、(2016年*济南28题)如图1,抛物线y = ax2+ (a+ 3)x+ 3 (0)与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E ( m, 0) (0v m v 4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设厶PMN的周长为AEN的周长为C2,若§ =-，求m的値；C25(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为皿0 ° av 90°)，连2接E'A、E'B,求E'A+ ；E B的最小值.x7、(2017年*遵义27题)如图，抛物线y=ax2+bx-a - b (a v 0, a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B 点，直线AB的函数关系式为y= 8x + 16.9 3(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标；(2)已知点M( m, 0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线I分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△ BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？(3)在(2)问条件下，当厶BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；NPi :探究：线段OB上是否存在定点P( P不与OB重合)，无论ON如何旋转，竺始终保持不变，若存在,NB试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii :试求出此旋转过程中，(NA+?NB的最小值.4。
高中阿氏圆例题
高中阿氏圆例题
（最新版）
目录
1.阿氏圆的定义与性质
2.阿氏圆的构造方法
3.阿氏圆的性质与应用
4.阿氏圆的例题解析
正文
一、阿氏圆的定义与性质
阿氏圆，又称为圆的外接圆或外接圆，是指一个三角形的外接圆。
阿氏圆具有以下性质：
1.阿氏圆的圆心是三角形三顶点所在直线的垂直平分线的交点。
2.阿氏圆的半径等于三角形面积除以半周长。
二、阿氏圆的构造方法
构造阿氏圆的方法有多种，常见的有以下两种：
1.以三角形的三个顶点为圆心，以三角形三边的垂直平分线为半径，分别作圆。
这三个圆相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。
2.作三角形的三边的垂直平分线，将垂直平分线相交于一点，该点即为阿氏圆的圆心。
然后以圆心到三角形三顶点的距离为半径，作圆。
三、阿氏圆的性质与应用
阿氏圆在解决一些与三角形相关的数学问题时具有重要作用，例如：
1.判断三角形是否为直角三角形。
若阿氏圆的圆心与三角形某一顶点重合，则该三角形为直角三角形。
2.求解三角形的面积。
通过阿氏圆的半径可以求得三角形的面积。
3.求解三角形的半周长。
通过阿氏圆的半径可以求得三角形的半周长。
四、阿氏圆的例题解析
例题：已知三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c，求三角形 ABC 的面积。
解：首先构造三角形 ABC 的阿氏圆，然后求得阿氏圆的半径。
根据
阿氏圆的性质，半径 r 等于三角形面积 S 除以半周长 p，即 r = S / p。
阿氏圆问题
阿氏圆问题1．阿氏圆的定义已知平面上两点A、B，则所有符合PAPB＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．2．阿氏圆的应用在初中阶段，阿氏圆主要用于求系数不相同的线段和的最小值．求PC＋kPD的最小值．3．解阿氏圆的基本方法构造子母相似△．4．解阿氏圆问题的一般步骤问题：求PC＋kPD的最小值（1）连接动点至圆心O（将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接），则连接OP、OD；（2）计算出所连接的两条线段OP、OD长度；（3）计算两条线段长度的比OPOD＝m；（4）在OD上取点M，使得OMOP＝m；（5）连接CM，与圆O的交点即为点P．5．阿氏圆问题的题型（1）两定点都在圆外：P A＋k·PB，k＜1（2）两定点都在圆内：P A＋k·PB，k＞1（3）一定点在圆外，一定点在圆内：m·P A＋n·PB，m＜1，n＞1（4）隐圆问题．类型1：两定点在圆外：系数不变，构造子三角形【例题1】（1）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________．（提示：记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝12PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值）（2）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝3，CB＝4，⊙C的半径为2，点P是⊙C上一动点，则AP＋12PB的最小值为___________．（提示：连接CP，在BC上取一点E，使得CE＝12CP＝1，则△EPC∽△PBC，∴PE＝12PB，当A、E、P三点共线时，AP＋PE（3）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝CB＝2，以点B为圆心作⊙B与AC相切，点P为⊙B上一动点，则P APC的最小值为____________．．（提示：连接BP，取BC的中点E，则△EPB∽△PCB，∴PE PC，当E、P、A三点共线时，PA＋PE）（4）如图，菱形ABCD边长为2，∠ABC＝60°，⊙A的半径为3，BC与圆相切于点E，点P在⊙A上运动，则PBPD的最小值为____________．．（提示：连接AP，作AF＝34AD＝32，则△AFP∽△APDPD＝PF）（5）如图，已知点A (－3，0)，B(0，3)，C(1，0)，若点P是⊙C上一动点，且⊙C与y轴相切，则1 4AP＋BP的最小值为___________．．（提示：连接CP，在OC上取一点E，使得CE＝14CP＝14，则△PEC∽△APC，∴PE＝14P A，当B、P、C三点共线时，PE＋BP（6）如图，若⊙OPOMO＝2，∠POM＝90°，点Q在⊙OPQ＋QM的最小值为____________．（提示：作OE＝15OP，则△QEO∽△PQOP Q＝QE）DDxxPP【例题2】如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，P为⊙B上一动点，则PD＋12PC的最小值为___________，PD－12PC的最大值为____________．【答案】5；5．（提示：连接BP，记BC与⊙B交于点E，取BE的中点F，则△PBF∽△CBP，∴PF＝1 2PC，当D、P、F三点共线时，PD＋PF有最小值5；当D、P、F三点共线时，PD－PF有最大值5）类型2：两定点在圆外：系数化简【例题3】（1）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，AC＝9，以点C为圆心，6为半径的圆上有一个动点D，连接AD、BD、CD，则2AD＋3BD的最小值为___________．【答案】（提示：在AC上取一点E，使得CE＝23CD＝4，则△CED∽△CDA，∴ED＝23AD，当E、D、B三点共线时，ED＋BD有最小值（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，半⊙O交x轴与点A、B(2，0)两点，AD、BC均为半⊙O的切线，AD＝2，BC＝7，若点P是半⊙O上的动点，则PD的最小值为___________．【答案】OD、OP，取OD的中点E，则△OPE∽△ODP，∴PEPD，当E、P、C三点共线时，PE＋PC有最小值）CDDCB Bx（3）如图，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，⊙B的半径为2，P为⊙B＋6PC的最小值为___________．【答案】．（提示：分别连接AC、BD交于点O，则BD＝BP，在BD上取一点M，使得BMBP，则△PBM∽△DBP，∴PMPD，当C、P、M三点共线时，PM＋PC有最小值）类型3：两定点在圆内：向外延长，构造母三角形【例题4】（1）如图，∠AOB＝90°，OA＝OB＝1，圆OP是圆O上一动点，则P APB的最小值为___________．．（提示：点在圆内，反向操作，延长OB至点C，使CO＝2OB＝2，则△OPB∽△OCP，∴P B＝PC）（2）如图，已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是弧CD上一点，则2P A ＋PB的最小值为___________．【答案】13．（提示：点在圆内，反向操作，延长OC至点E，使CE＝6，连接PE、OP，则△EOP∽△POA，∴PE＝2P A，当E、P、B三点共线时，PE＋PB有最小值13）DCC（3）如图，⊙O的半径为2，AB为直径，过AO的中点C作CD⊥AB交⊙O于点D，DE为⊙O的直径，点P为⊙O上一动点，则2PC＋PE的最小值为____________．【答案】（提示：连接OP，延长OA至点F，使AF＝OA，则△FOP∽△PCO，∴PF＝2PC，当F、P、E三点共线时，PF＋PE有最小值【例题5】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，⊙C的半径为2，点D是⊙C上一动点，点E在CB上，CE＝1，连接AD、DE，则12AD＋2DE的最小值为___________．（提示：连接CD，在CA上取一点F，使CF＝14CA＝1，则△FDC∽△DAC，∴DF＝12AD；∵CE＝1，CB＝4，∴△DCB∽△ECD，∴BD＝2DE，当F、D、B三点共线时，DF＋DB有最小值类型4：隐圆问题【例题6】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D为△ABC内一动点，且满足CD＝2，则AD＋23BD的最小值为____________．（提示：点D的运动轨迹为以C为圆心，2为半径的圆，在BC上取一点E，使得CE＝2 3CD＝43，则△ECD∽△BCD，∴DE＝23BD，当E、D、A三点共线时，AD＋DEBF BBBABCDDEDCBA【例题7】如图，A(2，0)、B(0，2)、C(4，0)、D(3，2)，P是△AOB外部的第一象限内一动点，且∠BP A ＝135°，则2PD＋PC的最小值为____________．【答案】．（提示：连接AB，∵∠BP A＝135°，AB＝，∴点P的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，连接OP，在OA上取一点E，使得OE＝12OA，则△POE∽△COP，∴PE＝12PC，当D、P、E三点共线时，PD＋PE有最小值xx。
初中数学阿氏圆最值模型归纳
几何模型：阿氏圆最值模型【模型来源】“阿氏圆”又称为“阿波罗尼斯圆”，如下图，已知A、B两点，点P满足PA：PB=k（k≠1），则满足条件的所有的点P的轨迹构成的图形为圆．这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”.A BPO【模型建立】如图1 所示，⊙O 的半径为R，点A、B 都在⊙O 外，P为⊙O上一动点，已知R=25OB，连接PA、PB，则当“PA+25PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？解决办法：如图2，在线段OB 上截取OC使OC=25R，则可说明△BPO与△PCO相似，则有25PB=PC。
故本题求“PA+25PB”的最小值可以转化为“PA+PC”的最小值，其中与A与C为定点，P为动点，故当A、P、C 三点共线时，“PA+PC”值最小。
【技巧总结】计算PA k PB+的最小值时，利用两边成比例且夹角相等构造母子型相似三角形问题：在圆上找一点P使得PA k PB+的值最小，解决步骤具体如下：1.如图，将系数不为1的线段两端点与圆心相连即OP，OB2.计算出这两条线段的长度比OPkOB=3.在OB上取一点C，使得OCkOP=，即构造△POM∽△BOP，则PCkPB=，PC k PB=4.则=PA k PB PA PC AC++≥，当A、P、C三点共线时可得最小值典题探究启迪思维探究重点例题1. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C为圆心，2为半径作圆C，分别交AC、BC 于D、E两点，点P是圆C上一个动点，则12PA PB+的最小值为__________．EABCDPMPDC BA【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA，此处P点轨迹是圆，注意到圆C半径为2，CA=4，连接CP，构造包含线段AP的△CPA，在CA边上取点M使得CM=2，连接PM，可得△CPA∽△CMP，故PA：PM=2:1，即PM=12PA．问题转化为PM+PB≥BM最小值，故当B，P，M三点共线时得最小值，直接连BM即可得13．变式练习>>>1．如图1，在RT△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP,BP，求①BPAP21+，②BPAP+2，③BPAP+31，④BPAP3+的最小值.[答案]：①=37，②=237，③=3372，④=237.例题2. 如图，点C 坐标为(2,5)，点A 的坐标为(7,0)，⊙C 的半径为10,点B 在⊙C 上一动点，AB OB 55的最小值为________.[答案]：5.变式练习>>>2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，A(6,-1)，M(4,4)，以M 为圆心，22为半径画圆，O 为原点，P 是⊙M 上一动点，则PO+2PA 的最小值为________.[答案]：10.例题3. 如图，半圆的半径为1，AB为直径，AC、BD为切线，AC＝1，BD＝2，P为上一动点，求PC+PD 的最小值．【解答】解：如图当A、P、D共线时，PC+PD最小．理由：连接PB、CO，AD与CO交于点M，∵AB＝BD＝4，BD是切线，∴∠ABD＝90°，∠BAD＝∠D＝45°，∵AB是直径，∴∠APB＝90°，∴∠P AB＝∠PBA＝45°，∴P A＝PB，PO⊥AB，∵AC＝PO＝2，AC∥PO，∴四边形AOPC是平行四边形，∴OA＝OP，∠AOP＝90°，∴四边形AOPC是正方形，∴PM＝PC，∴PC+PD＝PM+PD＝DM，∵DM⊥CO，∴此时PC+DP最小＝AD﹣AM＝2﹣＝．变式练习>>>3．如图，四边形ABCD为边长为4的正方形，⊙B的半径为2，P是⊙B上一动点，则PD+PC的最小值为5；PD+4PC的最小值为10．【解答】解：①如图，连接PB、在BC上取一点E，使得BE＝1．∵PB2＝4，BE•BC＝4，∴PB2＝BE•BC，∴＝，∵∠PBE＝∠CBE，∴△PBE∽△CBE，∴＝＝，∴PD+PC＝PD+PE，∵PE+PD≤DE，在Rt△DCE中，DE＝＝5，∴PD+PC的最小值为5．②连接DB ，PB ，在BD 上取一点E ，使得BE ＝，连接EC ，作EF ⊥BC 于F ．∵PB 2＝4，BE •BD ＝×4＝4，∴BP 2＝BE •BD ，∴＝，∵∠PBE ＝∠PBD ，∴△PBE ∽△DBP ， ∴＝＝，∴PE ＝PD ，∴PD +4PC ＝4（PD +PC ）＝4（PE +PC ），∵PE +PC ≥EC ，在Rt △EFC 中，EF ＝，FC ＝，∴EC ＝，∴PD +4PC 的最小值为10．故答案为5，10．例题4. 如图，已知正方ABCD 的边长为6，圆B 的半径为3，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．AB CDP【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=3，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M 使得此时PM=32，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD-PM 的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD-PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD-PM=DM 为最大值152． ABCD P MMPDCBAABCDPMMPDCBA变式练习>>>4．（1）如图1，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD +的最小值为，PD﹣的最大值为．（2）如图2，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．图1 图2【解答】解：（1）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．故答案为，（2）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．故答案为，．例题5. 如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与直线AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）两点，直线AC：y=﹣12x﹣6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．（1）求抛物线y=﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；（3）①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．【解答】解：（1）∵点A（﹣4，﹣4），B（0，4）在抛物线y=﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+4；（2）设直线AB的解析式为y=kx+n过点A，B，∴，∴，∴直线AB的解析式为y=2x+4，设E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG=OB=4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4=4，∴m=﹣2，∴G（﹣2，4）；（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y=2x+4，∴设E（a，2a+4），∵直线AC：y=﹣12x﹣6，∴F（a，﹣12a﹣6），设H（0，p），∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，∵直线AB的解析式为y=2x+4，直线AC：y=﹣12x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴12（﹣4+0）=12（a+a），12（﹣4+p）=12（2a+4﹣12a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如图2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=5，AE=25，设AE交⊙E于G，取EG的中点P，∴PE=52，连接PC交⊙E于M，连接EM ，∴EM=EH=，∴525PEME==12，∵525MEAE==12，∴PE MEME AE==12，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴PE MEME AE==12，∴PM=12AM，∴12AM+CM的最小值=PC，设点P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=52，∴5（p+2）2=54，∴p=52-或p=﹣32（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（52-，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC==552，即：12AM+CM=552．变式练习>>>5．如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB 于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a ＝﹣．∵A （4，0），B （0，3）， 设直线AB 解析式为y ＝kx +b ，则，解得，∴直线AB 解析式为y ＝﹣x +3．（2）如图1中，∵PM ⊥AB ，PE ⊥OA ，∴∠PMN ＝∠AEN ，∵∠PNM ＝∠ANE ，∴△PNM ∽△ANE ，∴＝，∵NE ∥OB ，∴＝，∴AN ＝（4﹣m ），∵抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +3，∴PN ＝﹣m 2+m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，∴＝，解得m ＝2．（3）如图2中，在y 轴上 取一点M ′使得OM ′＝，连接AM ′，在AM ′上取一点E ′使得OE ′＝OE ． ∵OE ′＝2，OM ′•OB ＝×3＝4， ∴OE ′2＝OM ′•OB ， ∴＝，∵∠BOE ′＝∠M ′OE ′，∴△M ′OE ′∽△E ′OB ， ∴＝＝，∴M ′E ′＝BE ′，∴AE ′+BE ′＝AE ′+E ′M ′＝AM ′，此时AE ′+BE ′最小 （两点间线段最短，A 、M ′、E ′共线时）， 最小值＝AM ′＝＝．达标检测 领悟提升 强化落实1. 如图，在RT △ABC 中，∠B=90°，AB=CB=2，以点B 为圆心作圆与AC 相切，圆C 的半径为2，点P 为圆B 上的一动点，求PC AP 22的最小值. [答案]：5.2. 如图，边长为4的正方形，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PA+PB的最小值为________.[答案]：25.3. 如图，等边△ABC的边长为6，内切圆记为⊙O，P是⊙O上一动点，则2PB+PC的最小值为________.[答案]：37.4. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，CA=3，CB=4，C的半径为2，点P是C上的一动点，则12 AP PB的最小值为？5. 如图，在平面直角坐标系中，()2,0A ，()0,2B ，()4,0C ，()3,2D ，P 是△AOB 外部第一象限内的一动点，且∠BPA=135°，则2PD PC +的最小值是多少？[答案]426. 如图，Rt △ABC ，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，以C 为顶点的正方形CDEF （C 、D 、E 、F 四个顶点按逆时针方向排列）可以绕点C 自由转动，且CD ＝，连接AF ，BD（1）求证：△BDC ≌△AFC ； （2）当正方形CDEF 有顶点在线段AB 上时，直接写出BD +AD 的值； （3）直接写出正方形CDEF 旋转过程中，BD +AD 的最小值．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形CDEF 是正方形，∴CF ＝CD ，∠DCF ＝∠ACB ＝90°，∴∠ACF ＝∠DCB ，∵AC ＝CB ，∴△FCA ≌△DCB （SAS ）．（2）解：①如图2中，当点D ，E 在AB 边上时，∵AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，∴AB ＝2，∵CD ⊥AB ，∴AD ＝BD ＝，∴BD +AD ＝+1．②如图3中，当点E ，F 在边AB 上时．BD ＝CF ＝，AD ＝＝，∴BD +AD ＝+．（3）如图4中．取AC 的中点M ．连接DM ，BM ．∵CD ＝，CM ＝1，CA ＝2，∴CD2＝CM•CA，∴＝，∵∠DCM＝∠ACD，∴△DCM∽△ACD，∴＝＝，∴DM＝AD，∴BD+AD＝BD+DM，∴当B，D，M共线时，BD+AD的值最小，最小值＝＝．7. （1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的中线，请用尺规作图做出AB边上的中线CE，并证明BD＝CE：（2）如图2，已知点P是边长为6的正方形ABCD内部一动点，P A＝3，求PC+PD的最小值；（3）如图3，在矩形ABCD中，AB＝18，BC＝25，点M是矩形内部一动点，MA＝15，当MC+MD 最小时，画出点M的位置，并求出MC+MD的最小值．【解答】解：（1）如图1中，作线段AB的垂直平分线MN交AB于点E，连接EC．线段EC即为所求；∵AB＝AC，AE＝EC，AD＝CD，∴AE＝AD，∵AB＝AC，∠A＝∠A，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝CE．（2）如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝．∵P A2＝9，AE•AD＝×6＝9，∴P A2＝AE•AD，∴＝，∵∠P AE＝∠DAP，∴△P AE∽△DAP，∴＝＝，∴PE＝PD，∴PC+PD＝PC+PE，∵PC+PE≥EC，∴PC+PD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝6，DE＝，∴EC＝＝，∴PC+PD的最小值为．（3）如图3中，如图2中，在AD上截取AE，使得AE＝9．∵MA2＝225，AE•AD＝9×25＝225，∴MA2＝AE•AE，∴＝，∵∠MAE＝∠DAM，∴△MAE∽△DAM，∴＝＝＝，∴ME＝MD，∴MC+MD＝MC+ME，∵MC+ME≥EC，∴MC+MD的最小值为EC的长，在Rt△CDE中，∵∠CDE＝90°，CD＝18，DE＝16，∴EC＝＝2，∴MC+MD的最小值为2．。
完整版阿氏圆
中考数学压轴之阿氏圆模型专题训练阿氏圆（阿波罗尼斯圆）：已知平面上两定点一 B ,则所有满足PC k （ k 不等于1）的点P 的轨迹是一个圆，这个轨迹PB最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现， 故称阿氏圆。
在初中的题目中往往利用逆向思维构造" 斜A"型相似（也叫"母子型相似"）+两点间线段最短解决带系数两线段之和的最值问题。
在几何画板上观察下面的图形，当 P 在在圆A 上运动时，PC PB 的长在不断的发生变化，但 PC 的比值却始终保持不变。
PB解决阿氏圆问题，首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法。
如图，在△ APB 的边AB 上找一点C,使得AP AC ,贝吐匕时厶APS A ABPAB AP母子型相似（共角共边）A -C⑤计算AC 的长度即为最小值.②计算0P 的值，则k 0P 丄 OB OB 2的线段BP 的两端点, 半径 "圆心到定点的距离 OC ③计算OC 的长度，由一一k 得：OCOP④ 连接AC ,当A 、P 、C 三点共线时， 1OP （相似比X 半径）AP 1 -BP AP PC AC 2 那么如何应用"阿氏圆"的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢 ?我们来看一道基本题目：①分别连接圆心0与系数不为1 即 OP 0B;实战练习：- 已知O O半径为1, AC BD为切线，AC=1, BD=2试求上2 PC PD的最小值25、(1)如图1,已知正方形ABC的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点，求PD -PC 的2、已知点3、已知点(1)-AP4 A(-3,0) , B( 0,3 ), C (1,0 ),若点P为。
C上一动点，且。
C与y轴相切, BP的最小值;(2)S VPAB的最小值.4、如图1,在平面直角坐标系xoy中，半O O交x轴与点A B(2,0)两点，AD BC均为半O O 的切线，AD=2 BC=7.(1)求OD的长；(2)如图2,若点P是半O O上的动点，Q为OD的中点.连接PO PQ.①求证：△OP GA ODP;②是否存在点P,使PD 2PC有最小值，若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由•A(4, 0)，B(4最小值和PD - PC的最大值.2 2⑵如图2,已知正方形ABCD勺边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点，那么PD - PC的最小值为；PD -PC的最大值为3 ----------- 3 --------------(3)如图3,已知菱形ABCD勺边长为4,/ B=60°,圆B的半径为2.点P是圆B上的一个1 1动点.那么PD 1 PC的最小值为；PD 1 PC的最大值为2 26、(2016年*济南28题)如图1,抛物线y = ax2+ (a+ 3)x+ 3 (0)与x轴交于点A (4, 0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E ( m, 0) (0v m v 4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM丄AB于点M.(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设厶PMN的周长为AEN的周长为C2,若§ =-，求m的値；C25(3)如图2,在(2)的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE',旋转角为皿0 ° av 90°)，连2接E'A、E'B,求E'A+ ；E B的最小值.x7、(2017年*遵义27题)如图，抛物线y=ax2+bx-a - b (a v 0, a、b为常数)与x轴交于A、C两点，与y轴交于B 点，直线AB的函数关系式为y= 8x + 16.9 3(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标；(2)已知点M( m, 0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线I分别与直线AB和抛物线交于D、E两点，当m为何值时，△ BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？(3)在(2)问条件下，当厶BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M，将OM绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；NPi :探究：线段OB上是否存在定点P( P不与OB重合)，无论ON如何旋转，竺始终保持不变，若存在,NB试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；ii :试求出此旋转过程中，(NA+?NB的最小值.4。
阿氏圆最值问题(超完整)(学生版)--初中数学专项训练
阿氏圆最值问题(超完整)一、定点在圆外--向圆内找点构造相似1.如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CB =7，AC =9，以C 为圆心、3为半径作⊙C ，P 为⊙C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP +BP 的最小值为( )A.7B.52C.4+10D.2132.如图，在ΔABC 中，BC =6，∠BAC =60°，则2AB +AC 的最大值为 ．3.【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足PA PB=k (k 为定值)的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ΔABC 中，CB =4，AB =2AC ，则ΔABC 面积的最大值为 ．4.如图，已知菱形ABCD 的边长为8，∠B =60°，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则PD -12PC 的最大值为 ．5.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC的中点，以B为圆心，BE为半径作⊙B，点P是⊙B上一动点，连接PD、PC，则PD+12PC的最小值为 ．6.如图所示的平面直角坐标系中，A(0,4)，B(4,0)，P是第一象限内一动点，OP=2，连接AP、BP，则BP+12AP的最小值是 ．7.如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O，P为圆O上一动点，则2PA+PB的最小值为 ．8.已知：等腰RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=BC=8，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC+22PB的最小值是 ．9.如图，在RtΔAOB中，∠AOB=90°，OA=3，OB=2，⊙O的半径为1，M为⊙O上一动点，求AM+12BM的最小值．10.如图，在RtΔABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP．求①AP+12BP；②2AP+BP；③13AP+BP；④AP+3BP的最小值．11.如图，在平面直角坐标系中，A(2,0)、B(0,2)、C(4,0)、D(3,2)，P是ΔAOB外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC的最小值是 ．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(6,-1)，M(4,4)，以M为圆心，22为半径画圆，O为原点，P是⊙M上一动点，则PO+2PA的最小值为 ．二、定点在圆内--向外找点构造相似13.如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,1)，点B(2,0)，点P在弧MN上移动，连接PA，PB，则3PA+PB的最小值为 ．14.如图，在⊙O 中，点A 、点B 在⊙O 上，∠AOB =90°，OA =6，点C 在OA 上，且OC =2AC ，点D 是OB 的中点，点M 是劣弧AB 上的动点，则CM +2DM 的最小值为 ．15.如图，扇形AOB 中，∠AOB =90°，OA =6，C 是OA 的中点，D 是OB 上一点，OD =5，P 是AB上一动点，则PC +12PD 的最小值为 ．16.问题提出：如图1，在等边ΔABC 中，AB =12，⊙C 半径为6，P 为圆上一动点，连接AP ，BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD=3，则有CD CP =CP CB=12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴ΔPCD ∽ΔBCP ，∴PD BP=12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为．(2)自主探索：如图3，矩形ABCD 中，BC =7，AB =9，P 为矩形内部一点，且PB =3，13AP +PC 的最小值为．(3)拓展延伸：如图4，扇形COD 中，O 为圆心，∠COD =120°，OC =4，OA =2，OB =3，点P 是CD上一点，求2PA +PB 的最小值，画出示意图并写出求解过程．17.⊙O 半径为2，AB ，DE 为两条直线．作DC ⊥AB 于C ，且C 为AO 中点，P 为圆上一个动点．求2PC +PE 的最小值．18.问题提出：如图1，在Rt ΔABC 中，∠ACB =90°，CB =4，CA =6，⊙C 半径为2，P 为圆上一动点，连接AP 、BP ，求AP +12BP 的最小值．(1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP ，在CB 上取点D ，使CD =1，则有CD CP =CP CB =12，又∵∠PCD =∠BCP ，∴ΔPCD ∽ΔBCP ．∴PD BP =12，∴PD =12BP ，∴AP +12BP =AP +PD ．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP +12BP 的最小值为 37 ．(2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，13AP +BP 的最小值为 ．(3)拓展延伸：已知扇形COD 中，∠COD =90°，OC =6，OA =3，OB =5，点P 是CD上一点，求2PA +PB 的最小值．三、一内一外提系数19.如图，在ΔABC中，∠ABC=90°，AB=2BC=6，BD=1，P在以B为圆心3为半径的圆上，则AP+6PD的最小值为 ．20.如图，正方形ABCD边长为4，L是CD的中点，Y在⊙C上，|2LY-YA|的最大值是 ，22LY+YA的最小值是 四、真题演练21.如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，作CE⊥AB于点E，BE=2OE，延长AB至点D，使得BD=AB，P是弧AB(异于A，B)上一个动点，连接AC、PE．(1)若AO=3，求AC的长度；(2)求证：CD是⊙O的切线；(3)点P在运动的过程中是否存在常数k，使得PE=k∙PD，如果存在，求k的值，如果不存在，请说明理由．22.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C(0,6)，抛物线的顶点坐标为E(2,8)，连结BC、BE、CE．(1)求抛物线的表达式；(2)判断ΔBCE的形状，并说明理由；(3)如图2，以C为圆心，2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP+12EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．23.如图1，在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，y轴分别交于A，C两点，抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为B．(1)求抛物线解析式及B点坐标；(2)如图2，若P点是半径为2的⊙B上一动点，连接PC、PA，当点P运动到某一位置时，PC+12PA的值最小，请求出这个最小值，并说明理由．24.如图1，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点E(m，0)(0<m<4)，过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．(1)求a的值和直线AB的函数表达式；(2)设ΔPMN的周长为C1，ΔAEN的周长为C2，若C1C2=65，求m的值；(3)如图2，在(2)条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α(0°<α<90°)，连接E′A、E′B，求E′A+23E′B的最小值．25.如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为AE的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为(-2,0)，AE =8．(1)求点C 的坐标；(2)连接MG 、BC ，求证：MG ⎳BC ；(3)如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，OF PF的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．26.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-x 2+bx +c 交x 轴于点A 和C (1,0)，交y 轴于点B (0,3)，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，交抛物线于点F ．(1)求抛物线的解析式；(2)将线段OE 绕着点O 沿顺时针方向旋转得到线段OE ，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AE ′，BE ′，求BE ′+13AE ′的最小值；27.如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A(-4,-4)，B(0,4)两点，直线AC:y=-12x-6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G．(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)①在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标；②在①的前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求12AM+CM它的最小值．。
【中考专题】阿氏圆应用方法、题目汇总（阿波罗尼斯圆）
【中考专题】阿⽒圆应⽤⽅法、题⽬汇总（阿波罗尼斯圆）说起阿⽒圆，很多⼈都不陌⽣了，之前写过⼀些⽂，画过⼀些图，录过⼀些视频，今天就来汇总⼀下阿⽒圆的应⽤题型！我们还是先从新介绍⼀下阿⽒圆，全称阿波罗尼斯圆，⾸先要有⼀个线段，端点为AB，到AB两点的距离之⽐为定值（不为1，为1那不就是中垂线吗）的所有点组成阿⽒圆，这个轨迹最先由阿波罗尼斯发现故名之。
看下图：图⽚下⽂为⽅便称呼，称AB这样的线段为阿圆的线段，称圆为线段的阿圆图⽚这个圆就是到AB距离⽐值为1:2的阿圆，⽤初中的知识解释就是存在恒成⽴的⼦母性相似！注意⼩细节：1.阿圆圆⼼与AB共线2.到哪个点近，阿圆圆⼼就在哪⼀侧,3.圆⼼绝不会在线段AB内图⽚图⽚记住⼦母相似的独特线段⽐值，共有线段平⽅等于另两线段积。
既然⽐值为定值，因此阿圆在问题中最常⽤到的就是转化线段（倍数关系）。
除了倍数关系之外，阿圆还有⼀个不太为⼈知的性质，恒有⾓平分线EF。
图⽚图⽚这⼀点可以通过第⼆性质的逆证明！图⽚图⽚刚说了阿圆最长⽤于，线段转化（倍数）。
学习任何模型，⾸先我们要学会识别模型，也就是这个模型有什么特点，阿圆问题（转化线段类）的特点：1.题中有⼀个圆（就是阿圆），圆上有⼀个动点2.此动点到两个点的距离，其中⼀段加权（加系数）3. 被转化的线段的端点（⾮动点），就是阿圆线段的⼀个端点，关键就是找到阿圆线段的另⼀个端点。
即可完成转化。
⼀般这样的题就是⽤阿圆做，阿圆做不了基本初中也就没法做了！当然两个线段都有系数，是可以转化为仅⼀个带系数的。
⼀个带系数也可以转化为另⼀个带系数的。
⽅法就是提公因式法，提系数。
应⽤题⼀：看题：图⽚这题就是加权线段差，熟悉最值问题其实思路不难想，我们之前做过加权线段和的⼏个模型。
加权线段和⼀般有胡不归（三⾓⽐转化系数），阿⽒圆（相似转化系数），加权费马点（固定三⾓形转化系数）。
所以基本就是这⼏种转化⽅向！先看⽅法⼀，图⾥有圆，⾃然联想阿⽒圆!! 使⽤阿⽒圆转化⽐值：⽅法⼀：图⽚想办法让这个圆成为阿⽒圆，以圆⼼为顶点构造⼦母相似即可！图⽚EA中点为F，蓝蓝相似， 这样构造圆就是线段FB的阿⽒圆，圆上任意⼀点到FB距离⽐为1:2.图⽚再构造⼀个：图⽚AG=⼆分之根2，红红相似，圆就是CG的阿⽒圆，圆上任意⼀点到CG的距离⽐都是？？？图⽚然后线段都转化到了PG,PF，利⽤三边关系，共线得最⼤值！图⽚图⽚应⽤题⼆：图⽚系数在PD，但是不⼀定必须转化PD，因为转化出根2 PD需要找到⼀点E，P到点E距离是到D 距离的根2倍，也就是动点到D近⼀些,到E远⼀些，看图中的圆的位置这是不可能的！图⽚那就转化PC，要找到阿圆线段的另⼀个端点⼀定在OC上，该点命名为M,则OM⽅=OP乘OC，易得OM长，M的位置确定了，剩下就好说了！图⽚图⽚图⽚图⽚图⽚应⽤题3：有了前两题的铺垫，这题就不细说了，⼤家⾃⼰试试吧！图⽚图⽚就直接转化PB：图⽚图⽚图⽚图⽚图⽚应⽤题四：这是⼀个证明，也算⼀个模型：图⽚图⽚也就是产⽣了阿圆，利⽤了⾓平分线的结论这个模型怎么记呢，就是，圆中做任意弦，做其垂径，过弦端点切线，切线与径交点，这个交点和垂径垂⾜连成此圆的阿圆线段。
(完整版)阿氏圆问题归纳
阿氏圆题型的解题方法和技巧以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.具体内容如下：阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m内分和外分定线段AB 的两个分点的连线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.阿氏圆一般解题步骤：第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比k ；第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.习题【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+32BD 的最小值为_______.2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+23PD 的最小值为________.3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+1PC 的最小值为_________.6.如图，边长为47.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+21PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+21FA 的最小值.11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+21PC 的最小值和PD-21PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+32PC 的最小值为______，PD-32PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+21PC 的最小值为______，PD-21PC 的最大值为________.2PA+PB 的最小值.【二次函数结合阿氏圆题型】13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若5621=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+32E ′B 的最小值．问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；尝试体验：(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．解决应用：(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。
最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DB AC DC =．证明：ABD ACD S BD S CD = ，ABD ACD S AB DE AB S AC DF AC⨯==⨯ ，即AB DB AC DC =（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DB AC DC=．证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DB AC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PA k MB PB ==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PA k NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k m x y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
中考数学最值专题05 阿氏圆最值问题(学生版)
专题05 阿氏圆最值问题（超完整）一．定点在圆外——向圆内找点构造相似1．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，7CB =，9AC =，以C 为圆心、3为半径作C ，P 为C 上一动点，连接AP 、BP ，则13AP BP +的最小值为( )A ．7B ．C ．4+D ．2．如图，在ABC ∆中，6BC =，60BAC ∠=︒，则2AB AC +的最大值为 ．3．【新知探究】新定义：平面内两定点A ，B ，所有满足(PA k k PB=为定值）的P 点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”【问题解决】如图，在ABC ∆中，4CB =，2AB AC =，则ABC ∆面积的最大值为 ．4．如图，已知菱形ABCD 的边长为8，60B ∠=︒，圆B 的半径为4，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC -的最大值为 ．5．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 为BC 的中点，以B 为圆心，BE 为半径作B ，点P 是B 上一动点，连接PD 、PC ，则12PD PC +的最小值为 ．6．如图所示的平面直角坐标系中，(0,4)A ，(4,0)B ，P 是第一象限内一动点，2OP =，连接AP 、BP ，则12BP AP +的最小值是 ．7．如图，边长为4的正方形，内切圆记为圆O ，P 为圆O PB +的最小值为 ．8．已知：等腰Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，8AC BC==，O是AB上一点，以O为圆心的半圆与AC、BC均相切，P为半圆上一动点，连PC、PB，如图，则PC的最小值是．9．如图，在Rt AOB∆中，90AOB∠=︒，3OA=，2OB=，O的半径为1，M为O上一动点，求12 AM BM+的最小值．10．如图，在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，4CB=，6CA=，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=．证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．FEDCBAABCDE证明：在BA 延长线上取点E 使得AE=AC ，连接BD ，则△ACD ≌△AED （SAS ），CD=ED 且AD 平分∠BDE ，则DB AB DE AE =，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA ：PB=k ，作∠APB 的角平分线交AB 于M 点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M 点为定点，即∠APB 的角平分线交AB 于定点；作∠APB 外角平分线交直线AB 于N 点，根据外角平分线定理，NA PAk NB PB==，故N 点为定点，即∠APB 外角平分线交直线AB 于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P 点轨迹是以MN 为直径的圆．法二：建系不妨将点A 、B 两点置于x 轴上且关于原点对称，设A （-m ，0），则B （m ，0），设P （x ，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线．那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB 的最小值为__________．【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．EABC DP（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P 点轨迹圆的圆心C 点和A 点在直线AC 上，故所求M 点在AC 边上，考虑到PM ：PA=1:2，不妨让P 点与D 点重合，此时DM=12DA =1，即可确定M 点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．ABCD【练习2】如图，已知正方ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，则12PD PC 的最大值为_______．【分析】当P 点运动到BC 边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC ，在BC 上取M使得此时PM=1，则在点P 运动的任意时刻，均有PM=12PC ，从而将问题转化为求PD -PM的最大值．连接PD ，对于△PDM ，PD -PM ＜DM ，故当D 、M 、P 共线时，PD -PM=DM 为最大值．AB CDP。
初中专题——阿氏圆
阿氏圆1、问题提出：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连结AP、BP，求AP+BP的最小值．（1）尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图2，连接CP，在CB上取点D，使CD ＝1，则有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP．∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP ＝AP+PD．请你完成余下的思考，并直接写出答案：AP+BP的最小值为．（2）自主探索：在“问题提出”的条件不变的情况下，AP+BP的最小值为．（3）拓展延伸：已知扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝6，OA＝3，OB＝5，点P是上一点，求2P A+PB 的最小值．1、在△AOB中，∠ABO＝90°，AB＝3，BO＝4，点C在OB上，且BC＝1，（1）如图1，以O为圆心，OC长为半径作半圆，点P为半圆上的动点，连接PB，作DB⊥PB，使点D 落在直线OB的上方，且满足DB：PB＝3：4，连接AD①请说明△ADB∽△OPB；②如图2，当点P所在的位置使得AD∥OB时，连接OD，求OD的长；③点P在运动过程中，OD的长是否有最大值？若有，求出OD长的最大值：若没有，请说明理由．（2）如图3，若点P在以O为圆心，OC长为半径的圆上运动．连接P A，点P在运动过程中，P A﹣是否有最大值？若有，直接写出最大值；若没有，请说明理由．1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B=60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为，PD﹣的最大值为．。
5最值系列之阿氏圆问题
最值系列之阿氏圆问题在前面的“胡不归”问题中，我们见识了“kPA+PB”最值问题，其中P 点轨迹是直线，而当P 点轨迹变为圆时，即通常我们所说的“阿氏圆”问题．所谓“阿氏圆”，是指由古希腊数学家阿波罗尼奥斯提出的圆的概念，在平面内，到两个定点距离之比等于定值（不为1）的点的集合叫做圆．如下图，已知A 、B 两点，点P 满足PA ：PB=k （k≠1），则满足条件的所有的点P 构成的图形为圆．下给出证明法一：首先了解两个定理（1）角平分线定理：如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，则AB DBAC DC=． FEDCBA证明：ABD ACDS BD SCD =，ABD ACDS AB DE AB SAC DF AC ⨯==⨯，即AB DBAC DC=（2）外角平分线定理：如图，在△ABC 中，外角CAE 的角平分线AD 交BC 的延长线于点D ，则AB DBAC DC=．ABC DE证明：在BA延长线上取点E使得AE=AC，连接BD，则△ACD≌△AED（SAS），CD=ED且AD平分∠BDE，则DB ABDE AE=，即AB DBAC DC=．接下来开始证明步骤：如图，PA：PB=k，作∠APB的角平分线交AB于M点，根据角平分线定理，MA PAk MB PB==，故M点为定点，即∠APB的角平分线交AB于定点；作∠APB外角平分线交直线AB于N点，根据外角平分线定理，NA PAkNB PB==，故N点为定点，即∠APB外角平分线交直线AB于定点；又∠MPN=90°，定边对定角，故P点轨迹是以MN为直径的圆．法二：建系不妨将点A、B两点置于x轴上且关于原点对称，设A（-m，0），则B（m，0），设P（x，y ），PA=kPB ，即：()()()()()()22222222222222222122102201x m y k x m k y kx y m k m x k m m k mx y x m k ++=-+-+-++-=++-+=-解析式满足圆的一般方程，故P 点所构成的图形是圆，且圆心与AB 共线． 那么这个玩意和最值有什么关系呢？且来先看个例子：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，以点C 为圆心，2为半径作圆C ，分别交AC 、BC 于D 、E 两点，点P 是圆C 上一个动点，则12PA PB +的最小值为__________．EABC DP【分析】这个问题最大的难点在于转化12PA ，此处P 点轨迹是圆，故转化方法与之前有所不同，如下，提供两种思路．法一：构造相似三角形注意到圆C 半径为2，CA=4，连接CP ，构造包含线段AP 的△CPA ，在CA 边上取点M 使得CM=2，连接PM ，可得△CPA ∽△CMP ，故PA ：PM=2:1，即PM=12PA ．问题转化为PM+PB 最小值，直接连BM 即可．【问题剖析】（1）这里为什么是12PA ？答：因为圆C 半径为2，CA=4，比值是1:2，所以构造的是12PA ，也只能构造12PA ．（2）如果问题设计为PA+kPB 最小值，k 应为多少？ 答：根据圆C 半径与CB 之比为2:3，k 应为23．【小结】此类问题都是构造好的图形搭配恰当的比例，构造相似转化线段即可解决．法二：阿氏圆模型对比一下这个题目的条件，P 点轨迹是圆，A 是定点，我们需要找出另一个定点M 使得PM:PA=1:2，这不就是把“阿氏圆”的条件与结论互换了一下嘛！已知PA 、圆确定PB已知PA 、PB 之比确定圆而且这种问题里，给定的圆的位置、定点A 的位置、线段的比例等，往往都是搭配好的！P点轨迹圆的圆心C点和A点在直线AC上，故所求M点在AC边上，考虑到PM：PA=1:2，不妨让P点与D点重合，此时DM=12DA=1，即可确定M点位置．如果对这个结果不是很放心，不妨再取个特殊的位置检验一下，如下图，此时PM=3，PA=6，亦满足PM:PA=1:2．【小结】法二其实是开了上帝视角，在已知其是阿氏圆的前提下，通过特殊点找出所求M 点位置，虽不够严谨，却很实用．【练习1】如图，在ABC ∆中，∠ACB=90°，BC=12，AC=9，以点C 为圆心，6为半径的圆上有一个动点D ．连接AD 、BD 、CD ，则2AD+3BD 的最小值是 ．ABCD【分析】首先对问题作变式2AD+3BD=233AD BD ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，故求23AD BD +最小值即可．考虑到D 点轨迹是圆，A 是定点，且要求构造23AD ，条件已经足够明显．当D 点运动到AC 边时，DA=3，此时在线段CD 上取点M 使得DM=2，则在点D 运动过程中，始终存在23DM DA =．问题转化为DM+DB 的最小值，直接连接BM ，BM 长度的3倍即为本题答案．【练习2】如图，已知正方ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，则12PD PC的最大值为_______．AB CDP【分析】当P点运动到BC边上时，此时PC=2，根据题意要求构造12PC，在BC上取M使得此时PM=1，则在点P运动的任意时刻，均有PM=12PC，从而将问题转化为求PD-PM的最大值．连接PD，对于△PDM，PD-PM＜DM，故当D、M、P共线时，PD-PM=DM为最大值．。
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阿氏圆题型的解题方法和技巧
以阿氏圆(阿波罗尼斯圆)为背景的几何问题近年来在中考数学中经常出现，对于此类问题的归纳和剖析显得非常重要.
具体内容如下：
阿氏圆定理(全称：阿波罗尼斯圆定理)，具体的描述：一动点P 到两定点A 、B 的距离
之比等于定比n m (≠1)，则P 点的轨迹，是以定比n m
内分和外分定线段AB 的两个分点的连
线为直径的圆．这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，该圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．
定理读起来和理解起来比较枯燥，阿氏圆题型也就是大家经常见到的PA+kPB ，(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或者圆弧的题型.
PA+kPB,(k ≠1)P 点的运动轨迹是圆或圆弧的题型
阿氏圆基本解法：构造母子三角形相似
【问题】在平面直角坐标系xOy 中，在x 轴、y 轴分别有点C(m ，0)，D(0，n).点P 是平面内一动点，且OP=r ，求PC+kPD 的最小值.
阿氏圆一般解题步骤：
第一步：确定动点的运动轨迹(圆)，以点O 为圆心、r 为半径画圆；(若圆已经画出则可省略这一步) 第二步：连接动点至圆心O(将系数不为1的线段的固定端点与圆心相连接)，即连接OP 、OD ； 第三步：计算出所连接的这两条线段OP 、OD 长度； 第四步：计算这两条线段长度的比k ；
第五步：在OD 上取点M ，使得OM:OP=OP:OD=k ；
第六步：连接CM ，与圆O 交点即为点P ．此时CM 即所求的最小值.
习题
【旋转隐圆】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，D 为AC 的中点，M 为BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始终保持点M 为BD 的中点），若AC=4，BC=3，那么在旋转过程中，线段CM 长度的取值范围是___________.
1.Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D 为△ABC 内一动点，满足CD=2，则AD+
3
2BD 的最小值为_______.
2.如图，菱形ABCD 的边长为2，锐角大小为60°，⊙A 与BC 相切于点E ，在⊙A 上任取一点P ，则PB+
2
3
PD 的最小值为________.
3.如图，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，P 为圆B 上一动点，则PD+
1
PC 的最小值为_________.
6.如图，边长为4
7.如图，边长为4的正方形，点P 是正方形内部任意一点，且BP=2，则PD+2
1
PC 的最小值为______；2PD+4PC 的最小值为______.
8.在平面直角坐标系xOy 中，A(2，0)，B(0,2)，C(4，0)，D(3，2)，P 是△AOB 外部的第一象限内一动点，且∠BPA=135°，则2PD+PC 的最小值是_______.
9.在△ABC 中，AB=9，BC=8，∠ABC=60°，⊙A 的半径为6，P 是⊙A 上的动点，连接PB 、PC ，则3PC+2PB 的最小值为_______.
10.如图，在Rt △ABC 中，∠A=30°，AC=8，以C 为圆心，4为半径作⊙C ． (1)试判断⊙C 与AB 的位置关系，并说明理由；
(2)点F 是⊙C 上一动点，点D 在AC 上且CD=2，试说明△FCD ～△ACF ； (3)点E 是AB 上任意一点，在(2)的情况下，试求出EF+
2
1
FA 的最小值.
11.(1)如图1，已知正方形ABCD 的边长为4，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，求PD+
21PC 的最小值和PD-2
1
PC 的最大值； (2)如图2，已知正方形ABCD 的边长为9，圆B 的半径为6，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+
32PC 的最小值为______，PD-3
2
PC 的最大值为______． (3)如图3，已知菱形ABCD 的边长为4，∠B=60°，圆B 的半径为2，点P 是圆B 上的一个动点，那么PD+
21PC 的最小值为______，PD-2
1
PC 的最大值为________.
2PA+PB 的最小值.
【二次函数结合阿氏圆题型】
13.如图1，抛物线y=ax ²+(a+3)x+3（a ≠0）与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点B ，在x 轴上有一动点E （m ，0）（0＜m ＜4），过点E 作x 轴的垂线交直线AB 于点N ，交抛物线于点P ，过点P 作PM ⊥AB 于点M ．
(1)求a 的值和直线AB 的函数表达式； (2)设△PMN 的周长为C1，△AEN 的周长为C2，若
5
6
21=C C ，求m 的值； (3)如图2，在（2）条件下，将线段OE 绕点O 逆时针旋转得到OE ′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E ′A 、E ′B ，求E ′A+
3
2
E ′B 的最小值．
问题背景：如图1，在△ABC中，BC=4，AB=2AC．
问题初探：请写出任意一对满足条件的AB与AC的值：AB=_____，AC=_______．问题再探：如图2，在AC右侧作∠CAD=∠B，交BC的延长线于点D，求CD的长．问题解决：求△ABC的面积的最大值．
1.小明的数学探究小组进行了系列探究活动．
类比定义：类比等腰三角形给出如下定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做邻等四边形．探索理解：
(1)如图1，已知A、B、C在格点（小正方形的顶点）上，请你协助小明用两种不同的方法画出格点D，连接DA、DC，使四边形ABCD为邻等四边形；
尝试体验：
(2)如图2，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=120°，∠ADC=60°，AB=2，BC=1，求四边形ABCD的面积．
解决应用：
(3)如图3，邻等四边形ABCD中，AD=CD，∠ABC=75°，∠ADC=60°，BD=4．
小明爸爸所在的工厂，需要裁取某种四边形的材料板，这个材料板的形状恰巧是符合如图3条件的邻等四边形，要求尽可能节约．你能求出这种四边形面积的最小值吗？如果能，请求出此时四边形ABCD面积的最小值；如果不能，请说明理由．
2.我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
(1)如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”．请写出你添加的一个条件．
(2)如图2，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD=90°，AC、BD为对角线，AC=2 AB，试探究BC，BD的数量关系．
(3)如图3，等邻边四边形ABCD中，AB=AD，AC=2，∠BAD=2∠BCD=60°，求等邻边四边形ABCD 面积的最小值.。