高中数学解题模板与方法专题06 确定抽象函数单调性解函数不等式

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综上，实数 a 的取值范围是 ( −5, −3] 【变式演练 1】
设奇函数 f (x) 在区间[−1,1]上是增函数，且 f (−1) = −1.当 x ∈[−1,1] 时，函数 f (x) ≤ t2 − 2at +1，对一
切 a∈[−1,1]恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
即 x2 − (a +1) x + 3 > 0 在 x∈[−1,+∞) 上恒成立，
令 g ( x) = x2 − (a +1) x + 3 ，即 g ( x) > 0 成立即可． min
①当 a +1 < −1，即 a < −3时， g ( x) 在 x∈[−1,+∞) 上单调递增， 2
则 g ( x) = g (−1) =1+ (a +1) + 3 > 0 解得 a > −5，所以 −5 < a < −3， min
令 g (a) = 2at − t2, a ∈[−1,1] ，当t > 0 时，g (a) 是减函数，故令 g (1) ≥ 0，解得t ≥ 2；当t < 0 时，g (a)
是增函数，故令 g (−1) ≥ 0 ，解得t ≤ −2 ，综上所述，t ≥ 2或t ≤ −2 或t = 0，故选 D. 考点：函数的单调性与函数的奇偶性的应用. 【 变 式 演 练 2 】 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 f (x) 为 增 函 数 ， 当 x1 + x2 =1 时 ， 不 等 式
使用情景：几类特殊函数类型
解题模板：第一步
（定性）确定函数
f
(
x)
在给定区间上的单调性和奇偶性； [来源:学科网]
第二步 （转化）将函数不等式转化为 f (M ) < f (N) 的形式；
第三步 （去 f ）运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“ f ”，转化成一般的不等式或不
等式组； 第四步 （求解）解不等式或不等式组确定解集； 第五步 （反思）反思回顾，查看关键点，易错点及解题规范.
A. −2 ≤ t ≤ 2 C.t ≤ 0 或t ≥ 2 【答案】D
B.t ≤ −2 或t ≥ 2 D.t ≤ −2 或t ≥ 2 或t = 0
【解析】
试题分析：由奇函数 f (x) 在区间[−1,1]上是增函数，且 f (−1) = −1，所以在区间 x ∈[−1,1]的最大值为1，
所以1 ≤ t2 − 2at +1当t = 0 时显然成立，当t ≠ 0时，则t2 − 2at ≥ 0 成立，又 a ∈[−1,1]，
f (x1) + f (0) > f (x2 ) + f (1) 恒成立，则实数 x1 的取值范围是（ ）
A. (−∞, 0)
【答案】D
B.
0,
1 2
C.
1 2
,1
D. (1, +∞)
【变式演练 3】定义在非零实数集上的函数 f (x) 满足 f (xy) = f (x) + f (y) ，且 f (x) 是区间(0,+∞) 上的 递增函数．
f (x) + f ( y) = f ( x + y ) ；②当 x ∈ (−1,0) 时，有 f (x) > 0 ，求证： 1+ x+ y
（1） f (x) 是奇函数； （2） f (x) 是单调递减函数；
（3） ，其中 ． f ( 1 ) + f ( 1 ) +L+ f ( 1 ) > f (1)
高中数学解题模板与方法
【高考地位】
函数的单调性是函数的一个非常重要的性质，也是高中数学考查的重点内容。而抽象函数的单调性解
函数不等式问题，其构思新颖，条件隐蔽，技巧性强，解法灵活，往往让学生感觉头痛。因此，我们应该
掌握一些简单常见的几类抽象函数单调性及其应用问题的基本方法。
【方法点评】
确定抽象函数单调性解函数不等式
11 19
n2 + 5n + 5
3
n∈ N*
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析．
【解析】
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试题分析：（1）由奇函数的定义及特殊值 f (0) = 0即可证明；（2）由单调性的定义,做差证明；（3）先由题
（3） f (n2
1 )= + 5n + 5
f [ (n + 3) − (n + 2) ] = (n + 2)(n + 3) −1
例 1 已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，若对于任意给定的实数 x1, x2 ，且 x1 ≠ x2 ，不等式
恒成立，则不等式 的解集为 ． x1 f ( x1) + x2 f ( x2 ) < x1 f ( x2 ) + x2 f ( x1)
( x +1) f (1− 2x) < 0
__________
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（1）求 f (1), f (−1) 的值； （2）求证： f (−x) = f (x) ；
（3）解不等式 f (2) + f (x − 1) ≤ 0 ． 2
【答案】（1）
f
(1)
=
0
,
f
(−1)
=
0
；（2）证明见解析；（3）
0,
1 2
U
1 2
,1
．
考点：抽象函数及应用． 【 变 式 演 练 4 】 定 义 在 (−1,1) 上 的 函 数 f (x) 满 足 下 列 条 件 ： ① 对 任 意 x, y ∈(−1,1) ， 都 有
【答案】
−1,
1 2
.
例 2.已知定义为 R 的函数 f (x)满足下列条件：①对任意的实数 x, y 都有：
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f ( x + y) = f ( x) + f ( y) −1；②当 x > 0 时， f ( x) >1． （1）求 f (0) ； （2）求证： f (x) 在 R 上为增函数； （3）若 f (6) = 7,a ≤ −3，关于 x 的不等式 f (ax − 2) + f (x − x2 ) < 3 对任意 x∈[−1,+∞) 恒成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） f (0) =1；（2）证明见解析；（3）(−5,−3]．
②当 即 时，有 a +1 ≥ −1 a ≥ −3 2
g ( x) min
=
g
a
+1 2
a +12 = 2
− (a +1)
a +1+3 > 2
0
Байду номын сангаас
解得 ，而 ，所以 ， −2 3 −1 < a < 2 3 −1 −2 3 −1 < −3
−3 ≤ a < 2 3 − 1 [来源:Zxxk.Com]