第3讲 椭圆的定义及几何性质

椭圆的定义及几何性质

一、复习目标：

1．掌握椭圆的定义、几何图形及标准方程 2．会用待定系数法求椭圆的标准方程 3．理解数形结合的思想 二、基础知识回顾 1．定义：

①平面内与两个定点12,F F 的距离之和等于常数等于2a （122___a F F ），这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫 )．

②点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e ，e ∈ ，则P 点的轨迹是椭圆。定点叫做双曲线的 ，定直线l 叫做双曲线的 。

③,,a b c 之间的关系 。 2．标准方程及几何性质：

（1）若椭圆的焦点在x 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。

（2）若椭圆的焦点在y 轴上，则椭圆的标准方程为 ，焦点坐标为 ，焦距为 ，横坐标的取值范围是 ，纵坐标的取值范围是 ，图像关于 对称，顶点坐标为 ，长轴长为 ，短轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 。

3.椭圆参数的几何意义（如图）：

（1）12PF PF += ，（2）12PM PM += ， （3）

1212||||

||||

PF PF PM PM == ；（4）1122A F A F == ；

（5）1221A F A F == ；（6） 1PF ≤≤ ；

（7）12BF BF == ，12OF OF == ；12OB OB == ；

（8）21F PF ∆中结合定义122PF PF a +=与余弦定理21cos PF F ∠，将有关线段1PF 、2PF 、21F F 和角结合起来，设122

F PF θ

∠=，则12PF F S ∆= ，

三、例题分析： 题型1．椭圆的定义

例1．下列说法中，正确的是（ ）

A ．平面内与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数的点的轨迹是椭圆

B ．与两个定点1F ，2F 的距离和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹是椭圆

C ．方程()22

22

2

10x y a c a a c +=>>-表示焦点在x 轴上的椭圆 D ．方程()22

2210,0x y a b a b

+=>>表示焦点在y 轴上的椭圆

练习1：1F ，2F 是定点，126FF =，动点M 满足126MF MF +=，则点

M 的轨迹是（ ）

A ．椭圆

B ．直线

C ．线段

D ．圆

题型2．椭圆的标准方程

例2．求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率为

2

2

，准线方程为8±=x ； （2）长轴与短轴之和为20，焦距为54

练习2：已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程．

题型3．椭圆的焦距

例3．椭圆63222=+y x 的焦距是（ ）

A ．1

B ．)23(2-

C ．52

D ．)23(2+

练习3：椭圆14

2

2=+y m x 的焦距为2，则m 的值是（ ）

A ．5

B ．3

C ．1或3

D ．不存在

题型4．求椭圆的的离心率

例 4. 已知1F 为椭圆的左焦点，

A 、

B 分别为椭圆的右顶点和上顶点，P 为椭圆上的点，当11PF F A ⊥，//PO AB （O 为椭圆中心）时，求椭圆的离心率.

练习4：椭圆的中心是原点O O ，它的短轴长为22，相应于焦点(,0)F c （0c >）的准线l 与x 轴相交于点A ，

2OF FA =，过点A 的直线与椭圆相交于P 、Q 两点。

（1）求椭圆的方程及离心率；

（2）若0OP OQ ⋅=

，求直线PQ 的方程；

题型5．椭圆的弦长问题

例5．若椭圆22

1ax by +=与直线1x y +=交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM （O 为原点）的斜

率为2

2

，且OA OB ⊥，求椭圆的方程.

练习5：已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与椭圆相交于点P 和点Q ，且

OP OQ ⊥，10

2

PQ =

，求椭圆方程.

题型6．椭圆弦中点问题

例6．求中心在原点,一个焦点为)25,0(且被直线23-=x y 截得的弦中点横坐标为

2

1

的椭圆方程. 解: 设椭圆方程 22

221y x a b

+=（0a b >>），直线与椭圆的交点为),(11y x A ，),(22y x B ，

练习6：直线l 过点(1,1)M ，与椭圆22

143

x y +=相交于A 、B 两点，若AB 的中点为M ，试求直线l 的方程。

三、达标练习一

1．与椭圆229436x y +=有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )

A ．

22

12520x y += B ．

22

12025x y += C ．

22

12045

x y += D ．

22

18085

x y += 2．若椭圆的两焦点为(2,0)-和(2,0)，且椭圆过点53(,)2

2

-，则椭圆方程是

（ ）

A ．22

184y x += B ．

22

1106y x += C ．

22

148y x += D ．

22

1106

x y += 3．已知P 是椭圆22

110036

x y +=上的一点，若P 到椭圆右准线的距离是172，则点P 到左焦点的距离是（ ）

A ．

16

5

B ．

665

C ．

758

D ．

778

4．直线y x =与椭圆2

214

x y +=相交于A B 、两点，则AB =（ ） A ．2

B ．

455

C ．

4

105

D ．

8

105

5．椭圆22

14

x y +=的两个焦点为12F F 、，过1F 作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则2PF = （ ）

A ．

32

B ．3

C ．

72

D ．4

6．椭圆22

1123

x y +=的右焦点为2F ，点P 在椭圆上，且线段2PF 的中点M 在y 轴，那么点M 的纵坐标是（ ） A ．34

±

B ．32

±

C ．22

±

D ．34

±

7．椭圆

13

42

2=+y x 上一点A 到左焦点的距离为52，则A 点到右准线的距离为 。 8．已知1F 、2F 为椭圆

19

252

2=+y x 的两个焦点，A 、B 为过1F 的直线与椭圆的两个交点，则2ABF ∆的周长是____________

9．椭圆122

22=+b

y a x ()0>>b a 上有一点P 到其右焦点的距离是长轴两端点到右焦点的距离的等差中项，则P