直线一级倒立摆控制器设计 自动控制理论课程设计说明书

H a r b i n I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y课程设计说明书课程名称：自动控制理论设计题目：直线一级倒立摆控制器设计院系：电气工程系班级：0806152设计者：段大坤学号：1082710118指导教师：郭犇设计时间：2011.6.13-2011.6.20哈尔滨工业大学教务处哈尔滨工业大学课程设计任务书1.1数学模型建立数学模型的建立过程需要用到以下参数：M 小车质量 m 摆杆质量 b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 I 摆杆惯量 F 加在小车上的力 x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下），其中θπφ=+分析小车水平方向所受的合力可得：Mx F bx N =-- （1）由摆杆水平方向受力分析可得：22(sin )d N m x l dtθ=+ （2）即2cos sin N mx ml ml θθθθ=+-（3）将（3）代入（1）可得系统的第一个运动方程：2()cos sin M m x bx ml ml F θθθθ+++-= （4）对摆杆垂直方向的合力进行分析可得：()22cos d P mg m l dtθ-=- （5）即：2sin cos P mg ml ml θθθθ-=+（6）力矩平衡方程如下：sin cos Pl Nl I θθθ--=（7）将（6）（7）合并可得第二个运动方程：2()sin cos I ml mgl mlx θθθ++=- （8）1、微分方程模型由于θπφ=+，当摆杆与垂直向上方向之间的夹角φ和1（弧度）相比很小时，即1φ时，可进行如下近似处理：cos 1θ=-，sin θφ=-，2()0d dtθ=。

用u 代表被控对象的输入力F ，将模型线性化可得系统的微分方程表达式：2()()I ml mgl mlxM m x bx ml uφφφ⎧+-=⎪⎨++-=⎪⎩ （9） 2、传递函数模型设初始条件为0，,对（9）进行拉普拉斯变换可得：22222()()()()()()()()()I ml s s mgl s mlX s sM m X s s bX s s ml s s U s ⎧+Φ-Φ=⎪⎨++-Φ=⎪⎩（10） 输出为角度φ，解方程组（10）的第一个方程可得：22()()[]()I ml gX s s ml s+=-Φ （11）或222(()()s mls X s I ml s mglΦ=+-）（12） 令小车加速度v x =则有22()()()s mlV s I ml s mglΦ=+- 将（11）式代入方程组（10）的第二个方程可得222222()()()[]()[]()()()I ml g I ml g M m s s b s s ml s s U s ml s ml s+++-Φ+-Φ-Φ=以u 为输入量，以摆杆摆角φ为输出的传递函数为：22432()()()()ml ss qb I ml M m mgl bmgl U s s s s sq q qΦ=+++--其中22[()()()]q M m I ml ml =++- 3、状态空间数学模型取x 、x 、φ、φ为状态变量作出系统的状态空间方程为2112222222220000x x -(I +ml )b m gl I ml 00x x I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml u 0000-mlbmgl(M +m)ml 00I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml I(M +m)+Mml φφφφ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦对于质量均匀分布的摆杆有：213I ml =有（9）的第一个式子可得243ml mgl mlx φφ-= 化简得：3344g x l lφφ=+ 设u x '=则有10011330440000x x 00x x u 0000g00l l φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 1000000100x x x y u φφφ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦实际系统参数：小车质量0.5kg M =，摆杆质量m 0.2kg =，小车摩擦系数0.1N/m/s b =,摆杆转动轴心到杆质心的长度0.3m l =，摆杆惯量20.006I kg m =。

摆杆角度和小车位移的传递函数：22(0.06()0.0240.588s s X s s Φ=-） 摆杆角度和小车加速度的传递函数：2()0.06()0.0240.588s V s s Φ=- 摆杆角度和小车所受外力的传递函数：2432() 4.5454()0.1818 3.1182 4.4545s s U s s s s sΦ=+-- 以外界作用力作为输入的系统状态方程为：10.1818 2.6727 1.818210.027231.18184.5455x x 0000x x 00u 000000φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 以小车加速度作为输入的系统状态方程：10011024.52.5x x 000x x 00u 000000φφφφ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 1.2、系统阶跃响应分析020004000600080001000012000T o : O u t (1)02040608010012014016050100150T o : O u t (2)Step ResponseTime (sec)A m p l i t u d e由图可知摆杆的摆角是发散的，系统不稳定。

1.2 双闭环PID 调节器设计设计双闭环的PID 控制器，使得当在小车上施加0.1N 的脉冲信号，闭环系统的响应指标为：（1）稳定时间小于5秒；（2）稳态时摆角与垂直方向的夹角变化小于0.1弧度。

（1）双闭环控制系统模型（2）内环设计 内环的开环传递函数为：2()0.06()0.0240.588s V s s Φ=-其根轨迹为-6-4-20246-6-4-2246Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s闭环极点有一个会位于复平面的右部，可见系统不稳定。

可以采用PD 反馈将内环设计成典型二阶系统，对阶跃响应误差，调整时间可调。

设反馈的PD 传递函数为()pd p d G s K K s =+，传递函数前面的P 调节器为()p G s P =。

则可求得闭环传递函数为：1220.06()0.0240.5880.060.062.52.5 2.524.5p d p p d p PG s s PK K s PK Ps PK K s PK =-++=++-根据调整时间并留一定的余量设期望的0.707ζ=，2n ω=，则稳定时间为42.8s nt s ζω==，可以满足要求。

22.54n P ω==得 1.6P =22.524.54p n PK ω-==得7.125p K = 2.52 2.828p d n PK K ζω==得0.099d K =所以变换传递函数变为124() 2.8284G s s s =++脉冲响应为：-0.0200.020.040.060.080.1超调很小，稳态误差，在3s 左右稳定，内环设计完成。

（3）外环设计内环设计完成后可以将模型简化，利用方块图变换规则，可以变换为如下所示：开环传递函数变为：22222224(0.0240.588)()0.06( 2.8284)1.6(24.5)(2.8284)s G s s s s s s s s -=++-=++这是一个四阶非最小相位系统，其根轨迹为-20-15-10-505101520Root LocusReal AxisI m a g i n a r y A x i s也会存在闭环极点位于复平面的右半部，使系统不稳定。

可以通过PD 调节器引入一个零点将根轨迹变化，以使系统闭环极点都位于复平面左边。

外环设为正反馈调节。

PD 调节器传递函数为：()pd p d G s K K s =+ 则可得到其闭环传递函数为：222224321.6(24.5)()( 2.8284) 1.6(24.5)()1.6(24.5)(2.828 1.6)(4 1.6)39.239.2p d d p d ps G s s s s s K K s s s K s K s K s K -=++--+-=+-+-++由特征方程可知存在Kp 、Kd 使系统稳定。

当选Kp=0.01、Kd=0.05时可得如下图：05101520253035404550-5510-4-0.15-0.1-0.0500.05从图中可以看书，摆角超调量很小，稳定时间很小，而且小车的位移也有稳定值。

外环PD 控制器为()0.010.05pd G s s =+1.3 空间极点配置在小车上施加0.2N 的阶跃信号可以达到：摆杆角度θ和小车位移x 稳定时间小于3秒，x 的上升时间小于1秒，θ的超调量小于0.35弧度，稳态误差小于2%。

选择期望超调为=0.707ζ，主导极点的n 2ζω=。

1）选期望极点为：10,10,22j ---±期望特征方程为：43224188560800s s s s ++++ 所以：****1234=24=188=560=800a a a a ，，， 系统的特征方程为：421024.51024.5s 000s 0sI A s s 00s 0s 0-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-==-⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦有12340,24.5,0,0a a a a ==-==所以反馈矩阵为：****144332211K a a a a a a a a T -⎡⎤=----⎣⎦2）求反馈矩阵T MW =2311002.561.252.5061.250000M BABA BA B 000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3212111024.51124.5010101001001000a a a a a 0W a 000-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-24.5 0 1 0 0 -24.5 0 1 0 0 2.5 0 0 0 0 2.5T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦于是[][]****1443322110.040800.01630.040800.016380056018824.5240.40000.4-32.6531 -22.8571 98.0612 18.7429K a a a a a a a a T 00000-⎡⎤=----⎣⎦-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦= 得到控制量：32.6531+22.8571-98.0612-18.7429KX x x μφφ=-=做仿真可得：12345由图可见小车的位移和摆杆的角度都得到了控制，这是极点配置的优异之处。